Triangulo
Triangulo
Triangulo
PRELIMINARES:
Con la sigla: AS indicamos actividades sugeridas como una invitación al trabajo personal.
Con la sigla TE indicamos un tema especial para aquellos colegas que deseen profundizar
un poco los temas aquí tratados. Estos temas terminan con el símbolo: ♣
a) Por un punto fuera de una recta, trazar una recta paralela a ella.
P
C
l'
l
A B
Figura 1.
Construcción: Sea l una recta arbitraria y P un punto cualquiera que no esté en l .
Sea A un punto arbitrario de l . Hacemos AB = AP, luego trazamos dos circunferencias con
centros en B y en P. Estas se cortan en el punto C. Uniendo P con C hallamos la recta l ’
pedida. Esta solución se llama “método del paralelogramo”.
Traduciendo a lenguaje matemático, esta construcción se escribe:
A∈ l arbitrario
C(A, AP) : B
C(B,AP) ∩ C(P, AP) : C
P (↔) C : l ´.
b) Por un punto situado sobre una recta, levantar una perpendicular a ella.
l'
C
l
A B
P
Figura 2
Construcción:
P∈ l . C(P,r) r arbitrario: A , B
C(A, r’) ∩ C(B,r´), r´ > r: C
P(↔) C: l ´ recta pedida.
l
A B
l'
Figura 3
Construcción:
Sea P ∉ l . C(P, r) r arbitrario: A, B
C(A,r) ∩ C(B,r) : C
2
A B
M
SAB
Figura 4
Construcción:
Sea r un trazo arbitrario, pero mayor a AB/2.
C(A,r) ∩ C(B,r) : C y D
C(↔) D: SAB
Construcción:
Es la misma anterior, dado que por construcción MA = MB.
bα
B C
α
O A
Figura 5.
Construcción:
Sea α con vértice en O.
C(O,r) r arbitrario: A y B
C(A,r´) ∩ C(B,r´) : C
C(↔)O: bα
NOTA: El símbolo bα indica la “bisectriz del ángulo α”
3
AS: Restan otras construcciones como: sumar y restar trazos, dividir trazos en n partes
iguales, copiar ángulos, sumar y restar ángulos, etc.
3. Ángulos: La definición de ángulo requiere cierto cuidado. Algunos autores la definen con
unión de dos rayos que nacen en un mismo punto, pero esta definición produce problemas
cuando debemos medir los ángulos. Damos otra definición: Un ángulo es la figura formada
por la intersección de dos semiplanos.
l'
α
O
Figura 6
Observe, que en la figura 6 hay dos semiplanos indicados con líneas de puntos y de rayas y
cuyas rectas límites son l y l ´ y que se cortan en O. Evidentemente, el vértice del ángulo
será O y los lados del ángulo serán semirrectas que nacen en O. Así el ángulo α es la
intersección de ambos semiplanos.
Dados dos ángulos, ellos pueden ser opuestos por el vértice, adyacentes (tienen el vértice
y un lado en común), suplementarios (suman 1800), complementarios (suman 900), son
de la misma naturaleza (ambos agudos o ambos obtusos).
β
α α
β
α
β
α
β
Figura 7
RECTAS:
Definición 1. Se dice que dos rectas son paralelas cuando situadas en un mismo
plano, no tienen puntos en común. En caso contrario se dicen secantes.
Definición 2. Se dice que dos rectas son perpendiculares si ellas se cortan según un
ángulo recto.
Definición 3. Se dice que dos rectas son oblicuas si se cortan formando ángulos
distintos.
Teorema 1. “Por un punto fuera de una recta se puede trazar una paralela a esta recta”
Este Teorema está relacionado con el famoso 5 to Postulado de Euclides: “Por un punto fuera
de una recta, se puede trazar una única recta paralela a la recta dada”. Ver Construcciones
Geométricas Fundamentales a)
to
AS: Averigüe la relación que existe entre este 5 Postulado y las Geometrías no
Euclidianas.
Corolario: Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre sí.
Corolario: Si dos rectas son paralelas, entonces toda recta que corta a una de ellas, cortará
a la otra.
Definición 4. Dos rectas cualesquiera dividen al plano en tres regiones: una interior
limitada por las rectas y dos regiones exteriores.
exterior
l
exterior
interior
l'
Figura 9
Si estas dos rectas son cortadas por una secante, se forman 8 ángulos: 4 de ellos en el
interior, llamados ángulos internos, y los otros cuatro en el exterior, llamados ángulos
externos. Respecto de la secante, estos ángulos pueden estar al mismo lado, y se llaman
correspondientes, o en lados diferentes y se llaman alternos.
l*
γ
β
δ
α
l1
η φ l2
κ ε
Figura 10
AS: En la Figura 10, identifique cada par de ángulos, según las definiciones anteriores.
Observe que las rectas l 1 y l 2 son dos rectas cualesquiera, es decir, NO pueden ser
paralelas. La razón es sencilla, pero significativa: De las infinitas posiciones de dos rectas en
un plano, la probabilidad que ellas sean paralelas o perpendiculares, es cero. La recta l *, es
por definición secante a ambas, luego las corta.
Si las rectas l 1 y l 2 son paralelas, entonces todo par de ángulos o son iguales o son
suplementarios. Evidentemente, esta propiedad se puede probar si aceptamos que: “dos
ángulos de lados paralelos son iguales o suplementarios”. En este mismo caso, aparecen los
ángulos opuestos por el vértice, que siempre son iguales y tienen bisectrices comunes.
1
2 4
3
5
6 8
7
l
l"
l'
Figura 11.
En la figura 11, l y l ´ son paralelas y l ´´ es secante. Luego, los ángulos 1,2,7 y 8 son
exteriores; 3,4,5 y 6 son interiores. Los ángulos 1,4,5 y 8 son correspondientes, como
también 2,3,6 y 7. Los ángulos 1 y 7 son alternos externos, y como son ambos obtusos, son
iguales. Lo mismo para 2 y 8. Los ángulos 3 y 5 son alternos internos y obtusos, luego son
iguales; lo mismo para 4 y 6 que son agudos.
AS: Es fácil probar que las bisectrices de los ángulos adyacentes y suplementarios, son
perpendiculares. Inténtelo, ayudándose de la figura 12.
bβ
bα
α β
Figura 12
Como caso particular se tiene: “Dos rectas perpendiculares a una tercera, son paralelas entre
sí “. Esta propiedad puede considerarse como postulado.
Observe el recíproco de esta última propiedad: “Si dos rectas son paralelas, toda recta
perpendicular a una de ellas, será perpendicular a la otra”.
TRIANGULOS
Definiciones previas:
Recordemos que una poligonal o línea quebrada es una línea formada por una sucesión de
trazos y/o de semirrectas, como muestra la Fig. 13
Figura 13.
Figura 14.
Las poligonales y por lo tanto, los polígonos pueden ser convexos o cóncavos. Decimos
que una poligonal es convexa si al prolongar cualquiera de sus lados, toda la poligonal
pertenece al mismo semiplano, y evidentemente un polígono convexo estará formado por
una poligonal de este tipo, como muestra la Figura 15
Los estudiantes pueden visualizar la convexidad poniendo una regla sobre uno los lados ya
sea de la poligonal o del polígono, y observar que toda la figura queda a un solo lado de la
regla.
E
C E
D
C
F
D
A A B
B
Notación: ABC
A B
Figura 17.
Si ABC son los vértices, entonces denotamos por ABC el triángulo de la Figura 17. Los
lados se denotan por los 2 vértices que lo limitan, o bien con letras minúsculas a, b y c ,
opuestos a los respectivos vértices A, B y C ,. Los ángulos se denotan por los vértices, si no
hay confusión, o con las letras griegas α, β, γ .
Clasificación de triángulos:
Los ángulos iguales de un triángulo isósceles se llaman basales y el tercer ángulo de llama
ángulo de vértice y se denota por γ.
C
AB=CB
angulos
base basales angulo
del vertice
A B
Figura 19: Triángulo isósceles de base AC
2. Según sus ángulos:
Evidentemente, todo triángulo sólo podrá tener un ángulo agudo o bien un ángulo recto. En el
caso del triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa, y los otros
dos lados se llaman catetos.
Elementos secundarios:
Todo triángulo tiene tres alturas, tres bisectrices interiores, tres simetrales, tres transversales
de gravedad y tres medianas. Todas ellas se llaman transversales.
b a
H
ha
hb
hc
A B
q D c
p
AS: Considere un triángulo rectángulo y otro obtusángulo. ¿Dónde queda el ortocentro en cada
caso?.
10
bc
a
b
bb
ba
c
A B
Figura 22: Las bisectrices en un triángulo cualquiera
TE:
RELACIONES EN UN TRIÁNGULO: C
z
perímetros y semiperímetros
z
bγ
x
bα
bβ
ρ
y
A
x
y B
2s=a+b+c=2x+2y+2z s=x+y+z . Luego x=s-(y+z) , pero y+z=a, Por lo tanto
11
Las tres simetrales de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado circunscentro que
corresponde al centro de la circunferencia circunscrita, y cuyo radio se denota por r. Esta
circunferencia para por los tres vértices del triángulo.
C
Sa
Sb
A B
Sc
Definición 11. Se llama transversal de gravedad al trazo que une un vértice con el
punto medio del lado opuesto.
tc N
bL
G a
ta tb
A cM B
Figura 25. Las transversales de gravedad
Las tres transversales de gravedad de todo triángulo se cortan en un único punto baricentro
G o centro de gravedad. Este nombre “centro de gravedad” se debe a que si el triángulo
fuese un objeto material, entonces el centro de gravedad físico o centro de masa de ese
objeto coincide con G.
En la figura 25, observe que si ta es la transversal de gravedad respecto al lado a, entonces
NB = NC, y recíprocamente: si NB = NC entonces AN = ta
12
Definición 12. Se llama mediana al trazo que une los puntos medios de los lados del
triángulo.
C
M N
A L B
Figura 26. Las medianas de un triángulo cualquiera.
NOTA 2: Los ángulos α, β y γ del triángulo se llaman ángulos interiores del triángulo, para
distinguirlos, cuando así sea necesario, de los ángulos exteriores de ese mismo triángulo.
Este alcance se debe a la siguiente
φ C
δ ε
A B
Figura 27. Los ángulos exteriores en un triángulo cualquiera.
TE: Las bisectrices de los ángulos exteriores son centros de las circunferencias exinscritas,
es decir, circunferencias tangentes a los lados del triángulo y a sus prolongaciones
13
C
Oa
b n a
ρ
a
m
A c m
B S
m+n=a
AS=c+m, AT=b+n AS+AT=m+n+b+c=a+b+c =2s AS=s y AT = s
AS=AT
Figura 28 Una circunferencia exterior a un triángulo cualquiera.
Complete la figura anterior, dibujando las otras dos circunferencias exinscritas, una los
centros y observe atentamente la figura obtenida. ¿Qué puede afirma sobre la figura ?♣
Propiedades fundamentales:
NOTA 3: Se entiende que estamos sumando las medidas de los ángulos y que la unidad de
medida es un ángulo que está contenido 360 veces en la circunferencia. A veces decimos un
recto, y escribimos 1R, para indicar un ángulo de 900. Luego, los ángulos de 1800 se pueden
indicar como 2R.
Tesis: T α + β + γ = 2R
Demostración: D
14
C
l
α∗ β∗
γ
α β
A B
Figura 29.
Por un vértice cualquiera, digamos C, trazamos una recta l paralela al lado opuesto. Se
obtienen los ángulos α* y β*, como indica la Figura 29. Evidentemente
α* + γ + β* = 2R
Pero, α = α* pues son alternos internos entre paralelas. Por la misma razón β = β*. Luego,
reemplazando en la igualdad anterior, resulta la tesis.
ii) En todo triángulo rectángulo isósceles, los ángulos agudos miden 450
D
α 1
A 2
β
C
AB ⊥ BC , AD ⊥ DC
15
T α= β
α = 900 – 1
β = 900 – 1
∴ α= β.
Teorema 5. “El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos
interiores no adyacentes con él”.
C δ
γ
α β
A B
Figura 31.
T δ =α+β
D γ + δ = 1800
α + β + γ = 1800
∴γ+δ=α+β+γ
∴ δ = α + β.
16
Corolario: “El ángulo exterior en el ángulo del vértice de un triángulo isósceles es el doble
del ángulo basal”
φ C
δ α β ε
A B
Figura 32.
H δ, ε, φ ángulos exteriores
T δ + ε + φ = 3600
D α + δ = 1800
β + ε = 1800
γ + φ = 1800
∴ α+β+γ+δ+ε+φ = 5400
Pero, α + β + γ = 1800
∴δ + ε + φ = 3600.
Teorema 8. “Cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos”
D
ψ
A B
Figura 33
H ABC cualquiera
T AB < AC + CB
Corolario En todo triángulo, un lado cualquiera es mayor que la diferencia de los otros dos.
Escolio: Si a, b , c representan los lados de un triángulo, ha de tenerse; a < b +c, a > b-c,
etc.
NOTA 5: Para poder construir un triángulo dados los tres lados, es menester que cada uno
de ellos sea menos que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. Estas
condiciones se cumplirán si el trazo mayor es menor que la suma de los otros dos y el trazo
menor es mayor que la diferencia de los dos. Sabiendo esto, Ud. puede saber si tres trazos
cualesquiera pueden formar un triángulo o no. Intente enseñar esto a sus alumnos haciendo
varios ejemplos con tres trazos talque se cumpla y no se cumpla la propiedad. Puede servirle
para descubrir “mentes matemáticas” en estudiantes pequeños...
Construcciones de triángulos
18
Análisis: Tal vez la etapa más importante. Suponemos el problema resuelto dibujando una
“figura de análisis”, donde hemos colocado los elementos conocidos o datos del problema. A
veces es necesario construir figuras auxiliares para lograr la meta final.
Construcción: Como el nombre lo indica, es el proceso de construir la figura pedida,
siguiendo la ruta que la etapa anterior nos da. Como recomendación general, debemos tratar
que los datos sean parecidos a los datos ubicados en el análisis. En esta etapa es importante
saber algunas técnicas como copiar ángulos, trazar paralelas, perpendiculares, etc.
Demostración: En esta etapa debemos probar que la solución encontrada es
verdaderamente la solución del problema, es decir, cumple con las restricciones impuestas.
Discusión: En muchos problemas de construcción es conveniente discutir el número de
soluciones posibles. En general, esta etapa pone a prueba la solidez de los conocimientos de
nuestros estudiantes.
Regla de oro:
Para construir un triángulo cualquiera se necesitan tres datos independientes entre sí,
de los cuales, al menos uno, debe ser lineal.
Problemas resueltos:
β
α
Sobre una recta cualquiera (que por razones estéticas la dibujamos horizontal), copiamos
ambos ángulos con vértice común. El suplemento de esta suma α + β será el ángulo pedido
γ:
β
γ
α
19
2. ∆: α, β , c
C
α β
α β
A c B
Este es un problema demasiado sencillo como para hacer un análisis. La construcción es así:
sobre una recta cualquiera (horizontal por razones estéticas), copiamos el trazo c
determinándose los extremos A y B del triángulo pedido. En A copiamos el ángulo α y en B
copiamos el ángulo β. Donde se corten los lados libres, encontramos C.
AS: Escribir esta construcción “matemáticamente”.
Nada hay que probar, y la discusión está relacionada con la NOTA 5.
Ejercicios:
1) ∆ a,.b, c 2) ∆: a, β, c 3) ∆ rectángulo: la hipotenusa, un cateto 4) ∆ isósceles : la base y el
ángulo basal. 5) ∆: c, γ, hc 6) ∆: c, γ, tc 7) ∆ : c, γ, hc 8) ∆: c, ha, hb 9) p, q, γ 10) ∆: u, v, γ
11)∆ : a+b+c, hc, γ
TE : ∆ s, α, hc:
Análisis: De la figura 28 8, deducimos que podemos dibujar el cuadrilátero ASOaT dado que:
AT = AS = s (s = semiperímetro), SAT = α ; OaT ⊥ AT y Oa ⊥ AS. El vértice C de
encuentra a distancia hc del lado AS, luego bastará trazar una paralela a AS a distancia hc, y
tendremos un lugar geométrico para C. La circunferencia con centro en Oa determina el
punto de tangencia R, dado que CT = CR. Prolongando CR más allá de R, encontramos B.
Haga Ud. la construcción siguiendo el camino indicado por el análisis
Ejercicios:
Definición 14. Se llama relación métrica entre ciertas longitudes, a toda relación
entre los números que miden esas longitudes respecto de una misma unidad de longitud.
20
NOTACIÓN : Para abreviar, usamos los mismos símbolos: a, b, c, ....para indicar los lados y
sus respectivas medidas o longitudes. El producto de dos longitudes será ab y representa al
área de un rectángulo de lados a y b. Evidentemente a2 representará el área de un cuadrado
de lado a.
Definición 15. Se dice que una longitud a es media proporcional geométrica entre
otras dos b y c cuado:
b a
= o bien a2 = bc.
a c
Ahora estudiaremos las relaciones métricas determinadas en un triángulo por sus alturas.
A
b
c
h
m n
C B
D
a
Figura 35
H ∆ ABC recto en A
AD ⊥ CB
T 1) b2 = am 2) h2 =mn
D 1) Los triángulos rectángulos ABC y ADC son semejantes, pues tiene dos ángulos iguales,
luego sus lados son proporcionales, es decir, b2 = am.
Corolario “En un triángulo rectángulo, los cuadrados sobre los catetos son entre sí como sus
proyecciones sobre la hipotenusa”
b2 m
Es decir, =
c2 n
21
“El cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos
sobre los catetos”
AS Busque otras demostraciones del Teorema de Pitágoras. ¿Cómo trazaban las bases de
las pirámides los antiguos egipcios?
“En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados, menos dos veces el producto del segundo lado por la
proyección del tercero sobre el segundo”
B B
a c
c
hh h a
m n
C A
D m
b A
D C
b
Figura 36.
En efecto, estando el ángulo agudo en A, tenemos: a2 = h2+ m2 o bien h2 = c2-n2 . Además
m2=(b - n)2 = b2+ n2 - 2bn. Luego, a2 = b2+ c2 – 2bn.
AS: Para este teorema 11, especifique claramente la hipótesis y la tesis. complete la
demostración justificando cada paso.
Teorema 12. “En un triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es
igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más dos veces el producto del
segundo lado por la proyección del tercero sobre el segundo”.
B
a
h
c
n
C b A D
m
Figura 37.
22
NOTA 8: Los tres teoremas anteriores pueden resumirse así: Según como sea un ángulo de
un triángulo, agudo, recto u obtuso, el cuadrado construido sobre el lado opuesto será
inferior, igual o superior a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. ¿Cómo
redactaría Ud. el teorema recíproco?.
TE: Averigüe las relaciones métricas dadas por las transversales de gravedad y las
bisectrices.
CUADRILÁTEROS
Todo cuadrilátero tiene dos diagonales, que son los trazos que unen los vértices opuestos.
Evidentemente un cuadrilátero podrá ser convexo, cóncavo o estrellado. Nos interesan, por
ahora, sólo los convexos.
δ γ
D ε
β
B
φ α
A
Figura 38
Intente una demostración basada el la figura 38, donde hemos trazado una diagonal.
Casos especiales:
23
h = altura
A P B
Figura 39. Un paralelogramo cualquiera.
Rectángulo: cuadrilátero cuyos cuatro ángulos son iguales y por lo tanto, son rectos.
Trapecio: cuadrilátero con solo dos lados paralelos, llamados bases; los lados no paralelos
se llaman lados.
A B
Figura 41 Un sencillo experimento...
24
NO se extrañe que algunos digan es un rombo!. Luego, Ud. muestre la misma figura en la
forma B. Y la respuesta será un cuadrado!. Pregunte a un estudiante ¿Cómo te llamas? ....y
acostado ¿Cómo te llamas?.
D C
α β∗
β α∗
A B
Figura 41.
AS Escriba Ud. todos los pasos aprendidos para probar este teorema.
Teorema 15 (recíproco del teorema 14). “Todo cuadrilátero cuyos ángulos opuestos son
iguales, es un paralelogramo”.
AS: Demuestre este teorema y redacte el teorema recíproco. Ayúdese de los triángulos ABD
y DBC y de sus ángulos, según muestra la figura 41..
Teorema 17. “Todo cuadrilátero que tiene dos lados iguales y paralelos es un paralelogramo“
Q
A B
Figura 42
25
A B
Figura 43
Sea ABCD el rectángulo.
Este cuadrilátero es un paralelogramo pues sus ángulos opuestos son iguales. Las
diagonales son iguales pues los triángulos ABC y ABD son congruentes ¿porqué?. Luego
sus diagonales son iguales.
Q
A C
B
Figura 44
26
Teorema 22: “La recta que une los puntos medios de los lados no paralelos es paralela a las
bases y es igual a su semisuma”.
D C
E F
G
B
A
Figura 45.
Sea ABCD el trapecio de la figura 45, con diagonal BD y sean E y F los puntos medios de los
lados AD y BC respectivamente. Como G dimidia BD, EG y GF son medianas de los
triángulos ABD y DCB respectivamente, luego EF // AB // DC. Continúe Ud. con la
demostración y formalícela.
POLÍGONOS REGULARES
Definición 17 Se llama polígono regular a todo polígono convexo que tiene sus
lados y sus ángulos iguales.
27
Teorema 23. “Si dividimos una circunferencia en n (n>2) partes iguales y se unen los puntos
consecutivos, el polígono inscrito resulta ser regular”
A
B E
O
C D
Figura 46
Supongamos que la circunferencia está dividida en n partes iguales, luego el ángulo del
centro mide 3600 / n. Sea A, B, C,... los puntos de división consecutivos. El polígono es
regular. En efecto, los triángulo con vértices en O y lados las cuerdas AB, BC, ...son todos
triángulos isósceles y congruentes entre sí. Luego las cuerdas son iguales entre sí y el
polígono es regular. La figura 46 contempla el caso n = 5.
B E
O
ρ
5
C D
M P N
Figura 47
Basta unir P con D y P con C, y análogamente para los otros lados. Ver figura 23 para el
caso n = 5.
Si por el punto P trazamos una tangente a la circunferencia circunscrita (problema de
construcción geométrica que veremos mas adelante), que será perpendicular al radio de
contacto OP, y prolongamos los trazos OC y OD, encontramos los puntos M y N, que son los
vértices del polígono del mismo número de lados, pero ahora la circunferencia es inscrita a
este nuevo polígono. En la figura 47 dibujamos un pentágono regular inscrito, cuyo lado se
denota por l 5 . Al trazar la tangente MN, obtenemos el pentágono regular circunscrito, cuyo
lado se denota por L5.
Esto se resume en el siguiente
28
Teorema 24. “Si una circunferencia se divide en n partes iguales (n>2) y por los puntos de
división trazamos tangentes limitadas entre sí, el polígono circunscrito que se forma es
regular”
ρ4
D B
O
l4
A
Figura 48.
Solución: Se traza una circunferencia de radio y centro arbitrario y luego se trazan dos
diámetros perpendiculares. Uniendo los extremos A, B, C y D, resulta la figura pedida.
Además, si se baja la perpendicular desde el centro al lado l 4, obtenemos la apotema ρ4.
29
Figura 49.
División áurea o divina: Se trata de dividir un trazo en dos segmentos de modo que el
trazo mayor sea media proporcional geométrica entre el trazo completo t el segmento menor.
A X B
AB AX
=
AX BX
¿Cómo hallar un punto X tal cumpla con la proporción anterior?: Fácil, En uno de los
extremos del trazo se traza una perpendicular de longitud la mitad del traza AB. Digamos
BO = 21 AB
Luego se traza la circunferencia C(O, OB). Se une A con O y se prolonga más allá de O.
Hallamos C y D sobre la circunferencia. Hacemos centro A con radio AC y hallamos X..
30
A X B
Figura 50; División armónica de un trazo
La demostración que justifica esta construcción se basa en el teorema de la recta y la
secante (ver Teorema 30).
LA CIRCUNFERENCIA
Definición 20 Se llama circunferencia a todos los puntos del plano que equidistan de
otro punto llamado centro. La distancia se llama radio.
En una misma circunferencia todos los radios son iguales y dos circunferencias serán
congruentes si tienen el mismo radio.
Una circunferencia es una curva cerrada y encierra una región convexa llama círculo.
El trazo que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro se llama diámetro.
Si los trazos no pasan por el centro, se llama cuerdas. Toda cuerda determina sobre la
circunferencia una porción de curva llama arco.
Definición 21 Se llama ángulo del centro a todo ángulo formado por dos radios.
Todo ángulo del centro intercepta sobre la circunferencia un arco bien determinado llamado
arco comprendido o subtendido. El arco restante para formar la circunferencia se llama arco
capaz.
31
arco capaz
A
arco subtendido
Figura 51. Un ángulo del centro y su respectivos arcos
segmento
sector
Figura 52
Lema 26 “En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes dos arcos iguales
subtienden cuerdas iguales”
AS: Discuta con sus colegas la propiedad anterior. Enuncie el recíproco y discuta con sus
colegas.
Una recta y una circunferencia en un mismo plano pueden ocupar sólo tres posiciones
mutuamente excluyentes: O la distancia del centro de la circunferencia a la recta es menor
que el radio, o es igual al radio, o es mayor al radio.
32
P
l
l P
l P
r r r
O O O
Figura 53
En efecto, la distancia de la recta l al centro O de la circunferencia: PO, puede ser menor
que el radio r, igual al radio r o mayor que el radio r. Observe que siempre OP ⊥ l .En el
primer caso se dice que la recta l es secante a la circunferencia, en el segundo caso, se
dice tangente y el radio OP se llama radio de contacto, y en el tercer caso se dice exterior.
Teorema 27 “Para que una recta sea tangente a una circunferencia es necesario y suficiente
que sea perpendicular al radio de contacto”.
Teorema 28 “Todo diámetro perpendicular a una cuerda divide a ésta y a los arcos que
subtiende en dos partes iguales”
E
A B
C
Figura 54
En efecto, sea DC el diámetro perpendicular a la cuerda AB (figura 54). Trazamos los radios
OA y OB y así EA = EB, Por lo tanto DC es la simetral del trazo AB y así C equidista de A y
de B, es decir, AC = CB. Si las cuerdas son iguales, los arcos que subtienden son iguales
también AC = CB y AD = DB .
33
Escolio: El diámetro CD (eje de simetría de la cuerda AB, como veremos mas adelante), es
una recta que cumple las siguientes 5 condiciones, tales que verificadas dos de ellas, se
verifican las otras tres:
1. Es perpendicular a la cuerda
2. Pasa por el punto medio de ella
3. Pasa por el centro de la circunferencia
4. Divide en dos partes iguales el arco menor subtendido por la cuerda
5. Divide también en dos partes iguales el arco supletorio, que con el anterior completan
la circunferencia.
A E B
H
I
G O
D
F
C
Figura 55
H AB = CD
BG > AB
OE ⊥ AB, OF ⊥ CD, OH ⊥ BG
T OE = OF
OF > OH
tendrá OH < OI, por ser OH perpendicular y OI oblicua. Con mayor razón, OH < OE y
también OH < OF.
Corolarios i) Todas las curdas iguales de una misma circunferencia son tangentes a otra
circunferencia concéntrica, y cuyo radio es la distancia de las cuerdas al centro de la
circunferencia.
ii) De todas las cuerdas que pasan por un punto interior a una circunferencia, la
mayor es el diámetro que pasa por dicho punto y la menor es la perpendicular trazada por
dicho punto a este diámetro.
Teorema 31 “En una misma circunferencia los arcos comprendidos entre paralelas son
iguales”
AS: Haga la demostración, considerando los casos: las rectas son secantes, una es secante
y la otra es tangente, y las dos son tangentes
En todos estos casos la recta que une los centros se llama central.
35
A'
O B O'
Figura 56
Corolarios i) Si dos circunferencias son secantes, la distancia de los centros es menor que
la suma de los radios y mayor que su diferencia
ii) Si dos circunferencias son secantes, la central coincide con la simetral de la
cuerda común.
iii) Si dos circunferencias son tangentes, la central pasa por el punto de contacto
iv) Si dos circunferencias son tangentes, la perpendicular a la central en el punto
de contacto, es la tangente común
Teorema 33 “Si dos circunferencias de radios distintos, situadas en un mismo plano son:
i) Exteriores, la distancia entre los centros es mayor que la suma de los radios.
j) Tangentes exteriores, la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.
k) Secantes, la distancia entre los centros es menor que la suma de los radios y mayor
que su diferencia.
l) Tangentes interiores la distancia entre los centros es menor que la diferencia de los
radios”
Ángulos en la circunferencia
Definición 23: Se llama ángulo del centro al ángulos con vértice en el centro de la
circunferencia y sus lados son radios.
Definición 24: Se llama ángulo inscrito la distancia entre los centros es mayor que la
suma de los radios al ángulo periférico formado por dos cuerdas que parten del mismo punto.
Definición 25: Se llama semiinscrito al ángulo periférico cuyos lados son una cuerda
y una tangente.
36
Definición 26: Se llama exinscrito al ángulo periférico formado por una cuerda y la
prolongación de otra.
Teorema 24: “Todo ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulos del
centro que subtiende el mismo arco”
C
γ
O
δ
β
α
A B
D
Figura 57
H ACB = inscrito que subtiende arco AB
AOB = del centro que subtiende el mismo arco AB
T ACB = ½ AOB
D C(↔) O → O: D
∆CAO y ∆ COB isósceles, con ángulos basales α y β respectivamente.
∴ AOB = 2α
DOB = 2β
sumando:
AOB = 2(α +β) = 2 ACB.
AS: Demuestre que este teorema sigue siendo válido si uno de los lados del ángulo inscrito
es diámetro, y también sigue siendo válido si el centro de la circunferencia queda fuera del
interior del ángulo inscrito.
Corolarios :
i) Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, son iguales.
C
C'
γ γ
C''
A B
Figura 58
37
ii) Todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia, son rectos. (resultado conocido
como Teorema de Thales de Mileto, 600 AC).
Arco capaz de un ángulo: En la figura 58 todos los triángulo ABC, ABC’, ABC’’,...tiene la
misma base AB = c, lado opuesto al ángulo γ. Luego, al conocerse el lado c, se conocen los
vértices A y B de un eventual triángulo. Sólo quedaría por hallar el tercer vértice C, pero éste
se encuentra sobre el arco ACC’C`` ...B. Este arco se llama arco capaz del ángulo γ respecto
de la cuerda AB. Evidentemente es un L.G. ¿cuál?
A B
α M
Figura 59.
Construcción: Se copia el ángulo α en uno de los extremos del trazo dado, digamos A. Se
traza la simetral del trazo dado AB. En el punto A se levanta la perpendicular al lado del
ángulo α, como muestra la figura 59. Esta perpendicular corta la simetral en O, el centro de
una circunferencia. El arco capaz de γ es el arco que está sobre el trazo AB.
Teorema 25. “ En todo cuadrilátero inscrito la suma de los ángulos opuestos es 2R”
Teorema 26. “Un ángulo interior a una circunferencia mide la semisuma de los arcos de
subtienden sus lados y sus prolongaciones”
38
β
A D
ε
B
Figura 60
H ε = ángulo interior
T ε = ½( AB + CD )
D A(↔)C
ε=α+β
Pero medida de α = ½ AB ; medida de β = ½ CD
∴ medida ε = ½( AB + CD ).
Teorema 27 “Todo ángulo exterior a una circunferencia mide la semidiferencia de los arcos
comprendidos entre sus lados”.
Teorema 28 "Toda cuerda es media proporcional geométrica entre el diámetro que parte de
uno de sus extremos y la proyección de la cuerda sobre ese diámetro"
39
Teorema 29 "Si desde un punto fuera de un círculo se trazan dos secantes, éstas son
inversamente proporcionales a sus trazos externos"
C
D α
γ β ε
P
B
A
Figura 61.
H PA, PC secantes
PA PD
T PA • PB = PC • PD o bien =
PC PB
Teorema 30 "Si desde un punto fuera de un círculo se traza una tangente y una secante, la
tangente es media proporcional geométrica entre la secante y el trazo externo".
P γ α
B A
Figura 62
H PA secante
PT tangente
PA PT
T = ⇒ PT 2 = PA • PB
PT PB
40
AS siga Ud.
Teorema 31 " Los trazos de dos cuerdas que se cortan al interior de una circunferencia son
inversamente proporcionales" .
C B
2
1
P β
α D
A
Figura 63.
AS Con la ayuda de la figura 63, escriba la hipótesis, tesis y haga la demostración de este
teorema.
SIMETRÍAS
Simetría axial
Definición 27: Dos puntos A y B son simétricos respecto a un eje (o recta) si esta
recta es la simetral del trazo AB.
De esta manera, dos figuras son simétricas respecto de un eje cuando este eje es la simetral
de todos los trazos determinados por dos puntos correspondientes de las figuras.
A P A'
B B'
Q
F R F'
C E S E' C'
T
D D'
Figura 64. Figuras simétricas respecto a un eje.
41
l
Figura 65.
AS: 1) Discuta la siguiente afirmación: Las figuras simétricas respecto de un eje son
congruentes.
2) ¿Cuál es el eje de simetría de un triángulo isósceles?, de un triángulo equilátero?.
3) ¿Qué puede decir de la bisectriz de un ángulo?
4) Cuál es el eje de simetría de dos rectas que se cortan?
5) ¿Cuál es el eje de simetría de dos rectas paralelas?
6) ¿Cuál es el eje de simetría de una circunferencia?.
7) ¿Cuál es el eje de simetría de un cuadrado? De un rectángulo?.
Simetría central
Definición 28: Dos figura son céntricamente simétricas respecto de un punto
cuando al girar una de ellas en 1800 las figuras coinciden.
Para construir la figura simétrica respecto de un punto fijo O, se unen los puntos de la figura
y se prolongan en igual magnitud.
A'
B'
O
F'
E' C'
Figura 66
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AS: Hallar la figura simétrica respecto del punto O, del polígono A´,B´,C´D´E´F´, de la figura
66, de acuerdo con la definición 28.
Los puntos que coinciden después del giro en 1800 se llaman céntricamente simétricos y las
rectas que unen el centro de simetría O con los puntos de la figura, se llaman rayos de
simetría.
AS: Discuta las siguientes afirmaciones:
1) Los rayos simétricos forman ángulos iguales con los trazos simétricos
2) Trazos céntricamente simétricos son iguales y paralelos
3) La circunferencia y el círculo son céntricamente simétricos respecto del centro de la
circunferencia.-
4) Un paralelogramo es céntricamente simétrico respecto del punto intersección de las
diagonales.
BIBLIOGRAFIA
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