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Conceptos Basicos
Conceptos Basicos
Conceptos Basicos
CONCEPTOS BÁSICOS
EL MÉTODO DEDUCTIVO:
El método deductivo es el utilizado en la ciencia y principalmente en la geometría. Este método consiste en
conectar un conjunto de conocimientos que se aceptan como verdaderos, para obtener nuevas proposiciones
que son consecuencia lógica de las anteriores.
El método deductivo también es llamado método axiomático.
El método deductivo se basa en:
Conceptos no definidos:
La geometría necesita desarrollar su propio vocabulario y para desarrollarlo comenzamos con
unas palabras que se obtienen de la vida cotidiana.
Términos no definidos: Punto, Recta, Plano.
Las definiciones:
Necesitamos conocer el significado exacto de los términos que utilizamos en geometría y para ello
utilizamos las definiciones.
Ejemplo:
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que tiene su origen en el vértice del ángulo y lo divide en
dos ángulos congruentes.
Teoremas:
Son proposiciones que para aceptarlas como verdaderas deben ser demostradas a partir de postulados,
definiciones o teoremas ya demostrados, siguiendo una deducción lógica.
En un teorema se deben distinguir dos elementos fundamentales: LA HIPOTESIS Y LA TESIS.
La hipótesis son los datos que se dan en el enunciado del teorema.
La tesis es la conclusión a la que debemos llegar.
PUNTO:
Es un término no definido en geometría. La huella que deja un alfiler en una hoja nos da la idea de punto. Los
puntos los denominaremos por letras mayúsculas.
RECTA:
Es otro término no definido en geometría.
NOTACIÓN DE RECTA:
´
AB ĺ
recta AB o bien recta l
SEMIRRECTA:
Si en una recta, se da un punto O, este parte la recta en dos semirrectas de origen O.
Una semirrecta es el conjunto formado por O y todos los puntos que le siguen, o el conjunto formado por O y
todos los puntos que le anteceden.
⃗
OB
Semirrecta
⃗
OA
Semirrecta
SEGMENTO DE RECTA:
Dados dos puntos distintos A y B de una recta, el conjunto formado por A y B y todos los puntos entre A y B se
llama segmento de recta AB y se denota por AB .
PLANO:
Es otro término no definido en geometría.
POSTULADO:
Dados tres puntos no colineales determinan uno y solamente un plano.
POSTULADOS DE ENLACE:
Por dos puntos distintos pasa una y solamente una recta.
Si dos puntos distintos de una recta pertenecen al mismo plano, la recta se halla contenida en dicho plano.
La intersección de dos planos es una recta
Un plano y un punto determinan el espacio tridimensional
DEFINICIÓN: Tres o más puntos no colineales que pertenecen a un mismo plano, se llaman coplanares.
Si dos puntos P y Q del plano se encuentran en el mismo semiplano, se dice que se encuentran del mismo
´ ´
lado de la recta l (borde). En este caso PQ no corta a l, es decir PQ ∩ ĺ
´
PQ
Si P y R están en semiplanos distintos del plano, estos están en lados opuestos del borde l y se tiene:
∩ ĺ A
´
AB
DEFINICIÓN: Un conjunto P se dice que es convexo, si y solo si para todo par de puntos A y B de P,
está incluido en P, en caso contrario se dice que el conjunto es no convexo.
En las siguientes figuras a, b y c son convexas y las otras no.
ÁNGULO:
Un ángulo es la unión de dos semirrectas que tienen el mismo origen
⃗
AB ⃗
AC
A es el vértice del ángulo. y son los lados del triángulo.
NOTACIÓN DE UN ÁNGULO:
^
QOP ^
; POQ la letra del vértice, siempre en la mitad
DEFINICIÓN:
^
BAC ≈ ^ ^
EDF si m( BAC )=m (
^
EDF )
Dos ángulos son congruentes si tienen igual
medida.
NOTA: En este curso la unidad de medida que se utilizará para medir ángulos es el grado.
La congruencia de ángulos es también una relación de equivalencia, o sea que cumple las
Propiedades: Reflexiva, Simétrica y transitiva.
^
BAC , entonces:
Si D está en el interior del ángulo
^ ^ ^
m( BAD )m( DAC ) m( BAC )
^ ^ ^
O también: m( BAD ) m( BAC ) m( DAC )
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que tiene su origen en el vértice del ángulo; está en su interior y lo
divide en dos ángulos congruentes.
⃗
OC es la bisectriz de
^
BOA
^
BOC ^
COA
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS.
^ ^
Si m( BAC ) 90º entonces BAC es recto
ÁNGULOS CONSECUTIVOS:
TEOREMA 1.
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes
AFIRMACIÓN RAZÓN
1. m() m() 180º 1 . P o r que y forman un par lineal (ángulo llano)
2. m() m() 180º 2 . Por formar un par lineal
3. m() m() m() m() 3 . D e 1 y 2. Propiedad transitiva.
4. m() m() 4 . D e 3. Ley cancelativa en una igualdad
5. 5. De 4. Definición de congruencia de ángulos
RECTAS PERPENDICULARES
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO:
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES:
Dos ángulos son correspondientes si uno de ellos es exterior y el otro interior y están en el mismo
semiplano de borde t y no son adyacentes.
1^ y 6^ ; 2^ ^
y 5 ; 7^ y 4^ ; 8^ y 3^
CONSECUTIVOS INTERIORES: 4^ y 6^ ; 3^ y 5^ .
TRIÁNGULOS
´
AB ´ ´
Dados tres puntos no colineales A, B y C la unión de , BC y CA se lama triángulo.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
TRIANGULO ISÓSCELES: Es el que tiene dos lados congruentes. Generalmente al lado desigual
se llama base del triángulo
TRIANGULO RECTÁNGULO: Es el que tiene un ángulo recto. Los lados que forman el ángulo
recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa
MEDIANA DE UN TRIÁNGULO:
Es el segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
M, N, y P son puntos medios de los lados del triángulo.
´
AN ´ ´
CM
, BP y son las medianas del triángulo y se cortan en un punto G,
llamado BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD
ALTURA DE UN TRIÁNGULO:
BISECTRICES.
MEDIATRICES
TEOREMA
Si dos ángulos son congruentes entonces sus complementos también son congruentes.
HIPÓTESIS: 1^ 3^
El complemento de 1^ es 2^ .
El complemento de 3^ es 4^
TESIS: 2^ 4^
AFIRMACIONES RAZONES
^ 3^ 1. De hipótesis, los ángulos congruentes miden lo mismo
1. m 1 m
TEOREMA
Si dos ángulos son congruentes entonces sus suplementos también son congruentes.
NOTA: La demostración se deja como ejercicio.
EJERCICIOS SOBRE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA
´
AB
2. Los puntos A, B, C, D son colineales en ese orden, O es el punto medio de AD y BC demuestre que
´
CD ´
y AC BD .
´
AB
3. Los puntos O, A, B son colineales. X es el punto medio de . Demostrar que:
´ ´
´ = OA+ OB
OX
a. 2 si O – A – B
´
´ = OA− OB
OX
b. 2 si A – O – X – B
´ ´
´ ´ = 2 AB+ AD
AC
4. A, B, C, D son colineales en ese orden. Si 2BC = , CD demuestre que: 3
´
5. Los puntos A, B, C y D son colineales en ese orden. Si BD =8 unidades y la longitud del segmento que
´
AB ´
CD ´
AC
une los puntos medios de y mide 10 unidades, calcular .
´ ´
6. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Se sabe que BC = 2 AB , CD = 2DE y
´
AE = 12 unidades. Calcular BD .
7. A, B, C y D son cuatro puntos consecutivos y colineales. M y N son los puntos medios de los segmentos
´
AB ´
CD AC ´
y respectivamente. Calcular MN. Si = 15 cm y BD =25 cm.
8. Demostrar que si dos ángulos tienen el mismo complemento entonces son congruentes.
10.
En la figura OB es bisectriz de AOC y la semirrecta OD es
bisectriz de EOC y m ( AOC) = 50º, m ( COE) = 80º. Hallar:
m ( AOB); m ( BOD); m ( COD); m ( AOE); m ( BOE);
m ( DOA).
11. Las rectas AB, CD, EF se cortan en el punto O. y AOE = DOF. Demostrar que OE
es bisectriz de AOC.
12. Demostrar que las bisectrices de los ángulos de un par lineal son perpendiculares.
13. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice están sobre la misma
recta.
14. Los puntos A, B, C son colineales en ese orden. E es exterior a la recta AC de tal manera que
m ( EBA) + m ( ECB) = 180º. Demostrar que EBC = ECB
15. AOB y BOC son dos ángulos adyacentes tales que m ( AOC) – m ( AOB) = 90º, OX es
la bisectriz de AOB y OY es la bisectriz de AOC. Hallar m ( XOY).
16. Cuatro semirrectas coplanares consecutivas OA, OB, OC y OD forman ángulos tales que
DOA = COB. m( COB) = 2m( AOB) y m( COD) =3m( AOB)
a. Hallar las medidas de los ángulos AOB, DOA, COD.
b. Demuestre que las bisectrices de AOB y COD están en la misma recta.
20. Si uno de dos ángulos suplementarios tiene una medida de 50° menos que la medida del otro.
¿Cuál es la medida de cada uno?
21.
HIPÓTESIS: AOB COD
TESIS: AOC BOD
Si OM es la bisectriz de COB, demostrar que
también es bisectriz de AOD.
a. Calcular m(EOC)
b. Comprobar que A – O – D son colineales.
23. Dos ángulos adyacentes son suplementarios, si uno de ellos mide X°. ¿Cuál será el valor del
ángulo formado por las bisectrices de ambos?
24. Cuatro semirrectas consecutivas: OA;OB;OC;OD, forman ángulos tales que DOA BOC ;