PlATON:

MATEMATicA y DiAlECTicA

Alberto Qelancio Menendez.

Profesor de filosofia.

I.B. LaB Qealejos.

Etapas de la Matematica Griega Preuclidiana

Las rnatematicas griegas preuclideas se reconstruyen por relacion a un termino "post quem", la obra clave de Euclides, los Elementos, y un termino "ante quem" que son las matematicas egipcias y babilonicas.

Habria que dividir varios periodos.

En un primer periodo, que empieza en el siglo VI y se term ina hacia la mitad del V, las matematicas se desarrollan bajo la direccion de los fil6sofos milesios, pitagoricos y eleatas.

Proclo atribuye a Tales cuatro proposiciones del libro primero de los Elementos. Pitagoras -0 el circulo pitagorico- hizo de la geometria una disciplina liberal, remontandola a principios superiores, y busco los teoremas de manera abstracta y de forma puramente intelectual; a el se debe el descubrimiento de los irracionales y la construccion de las figuras del cosmos -segun

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refiere Eudemo-. Se convierte, entonces, la matematica en ciencia estricta.

Un segundo periodo iria de la segunda mitad del siglo V a principios del siglo IV, con varias escuelas. Los centros principales estaran en Quios (con Hipocrates), Cirene, Megara, y, al final, Atenas, en tomo a figuras como Protagoras (y otros sofistas) y Socrates, En el siglo IV sobre todo en el seno de la Academia plat6nica, y luego en Cizico, con la Escuela de Eudoxo de Cnido (manteniendose relaciones con la segunda generaci6n de pitagoricos, como Arquitas de Tarento, de la Magna Grecia y Sicilia).

Un tercer periodo, que corresponderia al resto del siglo IV, basta entroncar con el comienzo de la etapa helenistica y con la obra de Euclides -alrededor del 300 a.C.-, esta bajo la autoridad de Arist6teles y sus seguidores, que, de una u otra forma, sigue manteniendo la instrucci6n matematica, aunque no sea un centro activo de investigaci6n como la Academia.

Platon y la maternatlca

«No Ie fue extraiio ni oculto ninguno de los problemas que preocupaban a los matematicos de su epoca. No ignore ni los descubrimientos de Teodoro,ni las aportaciones de Teeteto a la teoria de los numeros irracionales y a la de los poliedros regulares, ni, desde luego, los trabajos de Eudoxio, que dominaban el pensamiento matematico del siglo IV.»

La opinion anterior sobre Platen es expresada por P.H.Michel y P.Louis, en la Historia de las ciencias dirigida por R Taton. Los conceptos matematicos -dicen dichos auto res- no son captables por generalizacion de los sentidos sino por una captaci6n intelectual directa sobre los objetos de las definiciones. Todo se hace descansar en el concepto,y la definicion da al objeto su forma estatica, absoluta, su naturaleza, su esencia, fuera de las apariencias. "EI objeto que este se propone -el matematico- es

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expresar relaciones estables 0 fijas entre objetos sustraidos a todo cambio".

Los numeros irracionales obligaron a amp liar el concepto de ser, ya que el numero discreto ya no 10 abarcaria todo; para que la diagonal del cuadrado se determine, exista, -exista logicamente-, solo tiene que ser definida de forma correcta. La construccion geometrica posible con los irracionales, las definiciones de Teeteto y, sobre todo, la nueva concepcion del logos matematico de Eudoxo lIevan al campo de la nociones estables las magnitudes irracionales, al campo de la ciencia. 1

Las hipotesis es 10 que esta a la base del razonamiento, los datos fundamentales que encontramos en nosotros mismos, que son los primeros principios de la ciencia, no los primeros principios en el conocimiento absoluto. El parentesco entre la dialectica y la matematica es limitado: esta consigue verdades irrefutables una vez admitidos sus principios, pero estos no dejan de ser condicionales, y la dialectica va mas alia de estos (vease la interpretacion de Cornford, infra).

Segun Sarton «es posible suponer que Platon recibio una buena formacion matematica; y si bien Socrates no se preocupaba por la matematica, gusto de emplear formas de raciocinio que pueden aplicarse facilmente a cuestiones matematicas. Y de aqui la paradoja de haber recibido Platon una parte esencial de su formacion matematica de Socrates, que decididamente no foe matematico.» Segun Sarton la Idea platonica es perfectamente

[1] Eudoxo dio una definicion de proporcion que no solo podia aplicarse a magnitudes conrnensurables -A.B.C y D estan en proporcion cuando la relacion enlre A y B es igual a la de C y D- sino Iarnbien a magniludes inconmensurables:se dice que cualro magniludes geometricas estan en proporcicn cuando lomados dos rnulliplos cualesquiera de A y B. par ejemplo rnA y nB (m y n enteros) y lomados los des multiples correspondienles de C y D. a sea mC y nD. siempre resulla verdad que. segun cual sea la relacion mA<nB a rnA> nB: sera tarnbien mC <nD 0 mC> nD

No se habla de una delerminada pareja de multiples sino de dos multiples cualesquiera de A y B (y los correspondienles a C yO). independienlemenle de que sean 0 no mensurables.

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comprensible en rnatematicas, y derivaria de ahi hacia otros campos de pensamiento, ya que si defmimos la circunferencia como una curva plana cerrada, cuyos puntos equidistan de un punto interior, cream os una Idea, la circunferencia ideal 0 esencial, que ninguna circunferencia dibujada puede igualar. Lo mismo para cualquier definicion matematica, No obstante Platen coloca a los entes matematicos por debajo de las ideas, porque la Idea de triangulo es una, pero los triangulos ideales son multiples. Platen mejoraria las definiciones y aumentaria la rigidez logica de los elementos, asi como contribuiria a mejorar el analisis y la sintesis matematicas asi como el anal isis de problemas, pero en un trabajo colectivo dentro de la Academia. (Confert. infra con Heath y Comford).

Despues de comentar los poliedros regulares y las diferentes disciplinas matematicas, Sarton afirma: «Platon foe probablemente un matematico que estaba al dia, si bien, definitivamen te, como aficionado. Con todo su influencia sobre el progreso matematico foe inmensa... Gracias a Platon el nivel superior de las artes liberales foe matematico. Su entusiasmo matematico foe contagioso. i

[2] En esle sen lido. conlra la idea de que Platen luviera una Iormacion lecnica malematica y pudiera ensenar algo Iecnico a olros malernaticos 0 hacer algun lipo de descubrimienlo propio. posicion que manliene Cherniss en The Riddle of the Early Academy. Fowler dice 10 siguiente: «I believe thal. within my new interpretation. we may argue that while Plato's principal interest was in dialectic. for which he regarded mathemetics only as a premiminary. he does none lhe less show detailed knowledge of important characteristics and problems of thechnical mathematics. and there is no indication lhal he could not communicate on equal terms with the mathematicians who seem to have dominated. if nol comprised. the group of friends and associates that assembled round him. This thesis I shall now attempt to illustrate by sketching an interpretation of his mathematics curriculum in Repuclic VII.»

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Heath y la interpretacion de Platon en la historia de las maternattcas

Heath considera el texto de Republica VII como el mas representativo de la actitud de Platen hacia las matematicas ', y sefiala que su valor primordial es la educacion de la mente, no su utilidad practica; asi el verdadero valor de la aritmetica y la geometria consiste en conducir el espiritu hacia la verdad e infundirles un animo abierto hacia la filosofia, hacia las ideas. La geometria tendria que estudiar objetos etemos e inmutables, los puntos, lineas, triangulos como objetos captados por el pensamiento, ya que las figuras representadas, los diagramas, son solo ilustraciones, imperfectas imitaciones de los verdaderos objetos captados por el pensamiento.

Si bien a Heath Ie parece mas natural que Platen hable en la geometria de numeros ideales, del alma que se vuelve hacia la esencia de las cosas, 0 del conocimiento de 10 que siempre existe 0 la idea de Bien, ya Ie resulta mas forzado que la astronomia no se ocupe de los movimientos de los cuerpos celestes que nosotros vemos sino que sea una cinematica ideal, una matematica celeste pura que toma como ilustracion, como si fueran diagramas geometricos, los movimientos siempre imperfectos de los astros en el cielo. Aunque el cree que Platen no habla de un "cielo ideal" sino de los movimientos aparentes que vemos frente a los verdaderos movimientos de las orbitas que deberian ser circulares y uniformes, tal como explicaria el modelo de Eudoxo (asi como en geometria se restringen las construcciones a 10 que se puede realizar mediante regia y compas, 0 mejor, en el contexto

[3] La division en cuaLro disciplines que hace Heath. a saber. aritmelica, geomelrla. esLereomeLria y astronorma. parece ilogica. ya que 10 normal serla incluir la eslereornelria en la geomeLria e incluir la ciencia de la arrnonia. como en el "quadrivium" piLag6rico. de donde se hereda.

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geometrico de la recta y el circulo, sin aceptar construcciones por medios mecanicos).

Segun Crombie 10 que Platen intenta con la ensefianza de la astronomia es que sus educandos comprendan todos los principios de orden implicados en las rnatematicas y que el Universo esta construido de una manera racional, a pesar de 10 que nuestros sentidos nos digan; debe apartarse la vista del cielo para ir a la teoria subyacente, al conocimiento cientifico (recuerdese, aunque Crombie parece olvidarlo, que para Platen el conocimiento observacional 0 de experiencia no es mas que opinion, nunca ciencia: no hay ciencia de la naturaleza, porque la ciencia solo versa sobre 10 in mutable, 10 que no esta sujeto a cambio).

Con la armonia ocurre 10 mismo. El conocimiento racional no es el de la observacion 0 el experimento. Los experimentos que producen diferentes movimientos audibles segun los diferentes largos de las cuerdas son representaciones imperfectas de aquellos "movimientos" matematicos que producen consonancias, que son los que debe estudiar la verdadera armonia, «un estudio util para la investigacion de 10 bello y 10 bueno». -dira el autor de la Republica-.

Aunque Heath reconoce que Platen no trabajaba en matematica puntera, si cree que estaba puesto al dia en las matematicas de su tiempo. Y ofrece «a summary, as complete as possible, of the mathematics contained in the dialogues».

Un esquema dara una idea de los temas tratados:

1. Un tipo de proposicion de proporcionalidad en el Parm en ides.

2. Ventajas del numero 5040, como numero de ciudadanos del Estado en Las Leyes.

3. Los solidos regulares en el Tim eo.

4. Las medias proporcionales entre numeros cuadrados y cubicos en el Tim eo.

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5. Los dos pasajes del Menon: el de la duplicacion del cuadrado y el de la posibilidad 0 imposibilidad de que el area de un triangulo inscrito en una circunferencia sea igual a un area dada.

6. Encontrar una serie de numeros cuadrados cuya suma es tambien un numero cuadrado, en el Hipias Mayor.

7. Las dos referencias a los irracionales en el Teeteto (la demostracion de Teodoro de las raices desde 3 a 17) y en el Hipias Mayor, (sobre que la suma de dos irracionales puede ser un numero racional 0 irracional).

8. EI pasaje que habla del Numero Geometrico en la Republica, «the whole thing is mystic rather than mathematical».

Es dudoso que este sumario que nos ofrece Heath pueda ir mas alia de 10 que puedan representar las concepciones de 10 que se consideraria que entra a forrnar parte de la ciencia matematica para un matematico de nuestros dias.

Cual seria el campo de 10 matematico para un matematico del siglo IV, 0 para Platen, seria otra cuestion que Heath, y los historiadores de la matematica en general, suelen dejar de lade con una tremenda facilidad.

Por otro lado, segun Heath se encuentra en los dialogos de Platen el primer acercamiento serio a una filosofia de las matematicas, Esta esta totalmente contextualizada en la teoria de las ideas platonica y a eso se alude con las referencias aristotelicas a que los objetos matematicos son seres interrnedios entre las cosas sensibles y las ideas: los seres matematicos com parten con las ideas el ser eternos e inrnutables pero difieren de estas en que son multiples, hay muchos triangulos matematicos -una clase entera de ellos de los cuales los triangulos sensibles son copiaspero solo hay una idea de triangulo; la idea es unica e indivisible -sobre los objetos matematicos como seres interrnedios, como aqui los considera Heath, y todo 10 que se ha especulado con las doctrinas escritas de Platen, seria tema de otro trabajo-.

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Sin embargo, el tema central para Heath, en la filosofia de las maternaticas, es el de las hipotesis en matematicas y en filosofia. Estas, como dice Platon, se dan por supuesto en las ciencias rnaternaticas y no se ponen en cuestion, sino que a partir de elias se van deduciendo teoremas 0 relaciones nuevas entre los objetos matematicos; el conocimiento matematico, cientifico, es un conocimiento discursivo, que mediante diagramas 0 imagenes, hace sus deducciones a partir de las hipotesis tomadas en cuanto principios, pero que no remonta estas hacia las ideas que en elias estan invol ucradas.

En el metodo dialectico, sin embargo, las hipotesis solo sirven de apoyo para remontarse a las ideas mismas, ideas que esten relacionadas con las tratadas 0 ideas mas generales, sin servirse de ningun auxilio sensible, sino teniendo como objeto de conocimiento las ideas en si mismas; anal isis que perrnitira luego reconstruir racionalmente, en el camino de la sintesis, el mundo desde el que se parte con verdadero conocimiento de causa.

Asi rmsrno, segun Heath el atribuir a Platon el descubrimiento del anal isis matematico, tal y como aparece mencionado en un texto de Proclo, no tiene senti do por dos razones. La primera porque analisis en el sentido anti guo no quiere decir mas que reducir sucesivamente un teorema 0 problema a otros ya conocidos, y en este sentido este metodo ya se utilizaba antes de Platen, probablemente desde los pitagoricos. Y la segunda razon, porque Proclo parece confundir el metodo dialectico de ascension hacia las ideas, tal y como aparece en la Republica, con un supuesto metodo de analisis utilizado en matematicas, que se dice que Platen comunicaria a Leodamas y por el cual este descubriria mucha cosas en geometria. De todas formas, frente al escepticismo de Heath, Sarton si cree que en el seno de la Academia debio de mejorarse el metodo de analisis matematico y que el mismo Platen contribuiria a ello, y que incluso se Ie podria deber el analisis de problemas 0, al menos, un metodo perfeccionado de este. (Vease mas adelante).

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Junto a 10 anterior si que parece que Platen tuvo algun influjo en completar el proceso de analisis con una sintesis y en dar rigor logico a los elementos que se estaban desarrollando en el trabajo colectivo de la Academia en matematicas. EI metodo de la diairesis 0 division dicotomica de los generos 0 formas, el camino descendente de la dialectica, SI que esta a la base de la creacion de la Logica por Aristoteles y pudo servir como modelo de la forma de las deducciones en matematicas (v ease mas abajo la discusion de Comford de las hipotesis, el metodo dialectico y el problema del anal isis ) y la sintesis en las matematicas y la dialectica.

La otra contribucion importante de Platen a este respecto fueron la importancia que Ie dio, en un cruce de la linea pitagorica y socratica, a las definiciones: aSI la figura como el limite de un solido, 0 la linea como longitud sin an chura, manteniendo Platen que el punto es una ficcion geometrica y que no es mas que el principio de la linea, 0 el circulo como aquel en que los puntos mas alejados en todas direcciones estan a la misma distancia del centro, 0 la esfera como aquella cuya distancia desde su centro a sus bordes es igual en todas direcciones, etc.

Cambio de Marcha en el Menon

E I esclavo del Menon representa una matematica ya superada, una memoria matematica que el propio Platen ya ha superado y que utiliza literariamente a Socrates como intermediario entre el viejo y el nuevo saber matematico. El esclavo representa un sentido comun ya desusado, representa la matematica del gnomon, de la escuadra que se afiade a las figuras para que mantengan su forma. Pero gnomon tambien significa "la tabla pitagorica -dice Michel Serres- que exhibe los cuadrados perfectos, los numeros impares y la serie de los enteros: los

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primeros en el diagonal, los ultimos en los lados. Los impares forman el gnomon, sabre la escuadra que queda. "

EI escIavo utiliza el algebra geornetrica de los pitagoricos, la de los numeros enteros y fracasa por exceso y por defecto al intentar solucionar el problema de la duplicacion del cuadrado. El esclavo recuerda la tabla de multiplicar que Ie pregunta Socrates, las tablas que rememoran las antiguas tab las babilonicas, ligadas a las figuras concretas, a 10 tangible, a 10 que se puede contar, calcular; y Socrates utiliza los viejos metodos algoritrnicos, paso a paso, para resolver el problema, un saber que Platon ya desprecia, ligado a la logistica, a la calculistica de las cosas numerables, y no del espacio abstracto de la geometria, ciencia rigurosa que ha dornefiado al irracional,

La discusion gira de la aritmetica a la geometria: si prefieres no hacer calculos, entonces muestra. Socrates ha preguntado la longitud del lado, ha preguntado por cantidades que el escIavo ha buscado sin fortuna, pero cuando lIega a la diagonal no habla mas que de calidad: "i,sobre que linea se construye el cuadrado de la superficie doble? .... Sobre esta". Ya no se pregunta por la longitud, se encuentra el lado, un lado que nadie ha medido; Socrates hace trampas, sabe que no se encontrara la longitud exacta. El esclavo habia ensayado con el par y con el impar, pero sin lIegar a ningun resultado.

EI espacio: muestra longitudes que el calculo ya no comprende. La demostracion de Socrates dice que el espacio hace posible 10 que los numeros hacen imposible. El gnomon solo conoce los cuadrados perfectos. Ciencia arcaica del logos que ignora los irracionales. La matematica demostrativa nace fuera del logos, fuera del lenguaje, cuando ya no basta contar, cuando la memoria es insuficiente. Tambien cuando de la mano de Zenon los puntos mensurables acaban por lindar con 10 que no se puede ya representar sobre el papel. Aquiles ya no puede alcanzar a la tortuga como nosotros no podemos trazar un punto que ya esta infinitamente lejos de la escritura, porque esta en un lugar

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a-topico, el de la abstraccion geornetrica, convertida en ellimite de la suma infinita de las sustracciones algoritmicas, es la idealidad no representable del pentagono regular cuyas diagonales generan otro pentagono cuyas diagonales generan otro pentagono ... hasta el infinito que desaparece en el papel, yendo hacia un punto idealmente lejano, fuera de nuestra representacion, pero que nosotros concebimos con Platen.

«La definicion de 10 abstracto geometrico -concluye Michel Serres, a quien debemos el relato anterior-, modelo de 10 abstracto teorico requerido por Platon para pensar 0 existir 0 percibir, emerge de un metoda, 0 via, infinito en el cual Aquiles y la jlecha nos preceden y nos guian, dejando, los algoritmos definitivamente atras, empantanados.» (Serres, p. 107).

Un Modelo Matematico de Conocimiento

Como nos hallamos separados -dice Werner Jaeger- por mas de dos mil aiios de la epoca en que las matematicas griegas recibieron a traves de Euclides su forma cientifica consagrada como clasica y que sigue manteniendo hasta hoy su vigen cia dentro de los limites entonces trazados no nos resulta facil retrotraemos a la situacion espiritual en que esta forma se hallaba todavia en gestacion 0 tendia a consumarse. Si tenemos en cuenta que foe obra de pocas generaciones comprenderemos como la labor concentrada de un puiiado de investigadores geniales, empeiiados mutuamente en impulsar su progreso, creo una atmosfera de conjianza, mas aim, de seguridad en la victoria, y que en un ambiente pletorico de estimulos espirituales como el de la Atenas del siglo IV tenia necesariamente que imprimir un impulso extraordinario al pensamiento filosofico. La filosofia veia ante ella una idea de

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saber de una exactitud y. de una perfeccion probatoria y de construccion logica como el mundo no la habia soiiado siquiera en los dias de los filosofos presocraticos de la naturaleza. La atencion que precisamente el aspecto metodico de los problemas despertaba por aquel entonces en los circulos matematicos hacia que este modelo juese de un interes inapreciable para la nueva ciencia de la dialectica, desarrollada por Platon a base de los dialogos socraticos sobre la virtud. Ni la filosofia platonica ni cualquier otra gran filosofia podria concebirse sin la injluencia fecundadora de los nuevos problemas planteados y de las nuevas soluciones ofrecidas por la ciencia de aquella epoca. Allado de la medicina, cuya injluencia podemos comprobar constantemente, jueron, principalmente las matematicas las que la impulsaron. Y si la medicina aporto la analogia entre la hexis [constitucion] del cuerpo y la del alma y, como corolario de ella, la fecundidad del concepto medico de la tee/me para la ciencia de la salud del espiritu, las matematicas dieron impulso principalmente a las operaciones realizadas con objetos puramente noeticos, como 10 eran las ideas platonicas. y, a su vez, Platon, gracias a sus nuevos conocimientos logicos, se hallaba en condiciones de impulsar con Ia mayor intensidad la construccion sistematica de su ciencia, estableciendose asi una relacion de intercambio, como sehala la tradicion.»4 (Paideia, pag. 708).

[4] cEmpero. al venir Platen, hizo que tanto la geomelria como las otras rnalernalicas lIegaran par su esfuerzo a su esplendor maximo. que es cosa manifiesla cuan Ilenos andan sus escrilos de razonamienlos malemalicos y como desvelo en lodes parles la admiracion par elias en los que se dedicaban a la filosofia. De esle liempo son Leodamas de Taso, Arquilas de Tarenlo y Teelelo el de Alenas, en cuyas manes se aumenlaron los leoremas y fueron progresando hacia una mas cienlifica orgenizacion Neoclides, mas joven que Leodarnas, y Leon. disci pula de Neoclides. facililaron muchos de los prccedimienlos anleriores. de modo que Leon llego a componer Elemenlos can una mayor preocupacion par su nurnero y par su empleo para las demoslraciones: encontro diorisrnos, es decir. cuando el problema a invesligar es posible y cuando, par el conlrario. imposible. Eudoxo el de Cnido -un poco mas joven que Leon-. una vez ingresado en el grupo platonico. fue el primero que aurnento el numero de los leorernas llarnados generales y anadio a las lres analogies olras tres: mulliplico los leoremas relatives a la "seccicn", teorernes cuyos principios provienen de Platen, empleando para ella el anelisis.c.Todos eslos y otros mas pasaban su liempo en la Academia dedicados a invesligaciones en cornun.s (Comenlarios de Proclo a Euclides. en Garcia Bacca. pp.

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Segun Jaeger el interes de Platen por las matematicas debio ser anterior al contacto con los pitagoricos, en la propia Atenas (interes que ya aparece en dialogos como el Protagoras y el Gorgias) pero relanzado por su primer viaje a Sicilia, sobre todo con la amistad de por vida con el pitagorico Arquitas de Tarento. Platen conoceria mas tarde a Teeteto -quien parece puso las bases para la estereometria, la nueva disciplina matematica que Platen introduce en la Republica-, en honor del cual escribiria un dialogo del mismo nombre, donde aparece como representante de la nueva generacion de matematicos interesados por los problemas filosoficos, frente a Teodoro de Cirene, investigador consagrado pero alejado de estes. Asimismo, la Academia mantendria contacto permanente con la escuela de Eudoxo, el cual estaria muchos alios, paralelamente a Aristoteles, en la escuela platonica. (Jaeger, pags. 707 y 709-10).

Pero la primera vez que aparece en la obra platonica un interes centrado en las maternaticas como modelo de conocimiento es en el Menon. Ya el propio rnetodo para indagar si la virtud es un saber que se pueda ensefiar recurre a las matematicas, pero estas son puestas ademas para ilustrar el tipo de saber que Socrates anda buscando, un saber que se parece al matematico en que, aun tomando como base los fenomenos perceptibles, solo puede ser captado por el espiritu, por el pensamiento. Esto se muestra en el momento central del dialogo, en el que Socrates, mediante una serie de preguntas, hara que un esc1avo ignorante en geometria descubra -"recuerde"- que la diagonal del cuadrado tomada como lado engendra un cuadrado doble que aquel del que se parte. Lo importante es que, aunque el esclavo yerre al principio, cuando ha comprendido las relaciones matematicas involucradas en el problema, la certeza de la solucion se presenta a su espiritu, a su vision interior, con total conviccion; saltando por encima de 10 que se aparece a su percepcion sensorial se convence a si mismo, se diria, que la solucion tiene que lograse asi y no de otra manera, sin

io-n)

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que Socrates se 10 ensefie desde fuera ni .le intente persuadir de ello.

El hecho anterior se presenta a Platen como una intuicion intelectual que solo es posible si el conocimiento, que anida potencialmente en el alma, Ie viene al hombre de una vision comunicada en una vida anterior, de una conternplacion que el alma tuvo en un tiempo preterite ; la inmortalidad del alma sera la base de una teoria del saber innato que anida en el alma humana. Esto abre la posibilidad a un tipo de saber despegado del mundo sensible, de las cosas mudables, apoyado en un mundo superior captable solo mediante el pensamiento, mediante la inteleccion, y es aqui donde las matematicas ocupan el puente de union con un tipo de saber superior que sera el conocimiento de las Ideas, solo captables por el alma mediante la intuicion intelectual, un conocimiento rememorado de un mundo independiente del mundo corporeo que habitamos.

Distinci6n entre Matematicas y Diah~ctica en Republica VI Y VII. La interpretaci6n de Cornford

Tal y como aparece en la Republica, Platen habla de un mundo sensible y un mundo inteligible, y en este ultimo mundo de dos tipos de Ideas, matematicas y morales; no habria ninguna otra clase de objetos intermedios entre los objetos sensibles y las Ideas, segun Cornford. (,cual seria, pues, la diferencia entre matematicas y dialectica? Procedamos por partes.

A) Diferencia de objetos entre matematicas y dialectica

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A pesar de que Platen distingue dos operaciones distintas en la parte racional del alma, la noesis y la dianoia, no hay distintos tip os de Ideas captadas por procedimientos intelectuales diversos,no se captan por noesis las Ideas morales y por dianoia las Ideas matematicas; no depende de la naturaleza de las Ideas, la distincion entre las matematicas y la dialectica, la (mica diferencia seria que las primeras pueden utilizar "imagenes visibles": un numero representado por una coleccion de cosas, un cuadrado por una figura. Tales ayudas se emplean siempre, y al maternatico no se Ie culpa por ello; el sabe que discurre acerca de Ideas, no sobre colecciones 0 figuras. Sin embargo, de las Ideas morales no hay imageries visibles: sus "imagenes'' (eikones) en este mundo son invisibles propiedades de las almas. Por eso es mas dificil distinguir entre la justicia de una accion particular respecto a la Idea de lusticia en si, que distinguir dos manzanas del numero dos, representado asimismo por un par visible. Por esto las matematicas sirven como el mas facil puente entre el mundo sensible y el inteligible, y preceden, por tanto, al estudio de las Ideas morales (en este sentido ayudan a la ensefianza).

B) "eual es la diferencia de procedimientos entre matematicas y dialectica?

EI contraste de procedimientos utilizados en matematicas y dialectica no se corresponde con la diferencia entre Ideas matematicas e Ideas morales. EI procedimiento dialectico sera establecido para aplicar en ambos campos de objetos, pero de manera diversa. A continuacion veremos en que consiste esta diversidad.

I) El procedimiento utilizado en matematicas.

Platen, en principio, describe el procedimiento de las rnatematicas y el estado de esta ciencia en su tiempo. Prevalece en ella el metodo deductivo, un movimiento descendente de premisas a conclusion: «fa mente es impufsada a empezar su investigacion a partir de hipotesis, dirigiendose no hacia su origen (principio) sino hacia su fin (conclusion)» (51 OB).

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EI ge6metra, por ejemplo, toma como hipotesis las figuras y los tres tipos de angulos, y las toma como conocidas, no dando cuenta de elias ni a si mismo ni a nadie, como si fueran evidentes para todos. Partiendo de estas hipotesis, «avanza a traves de 10 siguiente y I/ega a una conclusion sobre la cuestion que se habia propuesto investigar».

Pero, i,que se entiende en tiempos de Platen por hipotesis en matematicas?

Aristoteles recoge dos significados del termino hipotesis que es de suponer, segun Comford, que eran los usuales entre los matematicos de su tiempo, tal y como se habrian formulado en la Academia.

(1) Cualquier proposicion de una ciencia susceptible de prueba que se acepta como supuesto por parte del maestro y del aprendiz mediante un acuerdo mutuo.

Incluyendo aqui las hipotesis "relativas" 0 ad hoc, esto es, cualquier supuesto tornado con vistas a la solucion de un problema. Por ejemplo, el ofrecido en Menon, 86E y sigts., donde el ge6metra plantea si un area dada puede ser inscrita en forma de triangulo en un circulo dado. El geometra no sabe la respuesta, pero tiene una hipotesis que sera util: solo si el area es de tal y tal tipo podra ser inscrita de la forma dicha. Esto es un ejemplo de diorismes, "la determinacion de las condiciones 0 Iimites de posibilidad para la solucion de un problema, 0 bien en su forma original 0 bien en la forma a la que este se reduzca" -segun Heath-. EI procedimiento es analitico, y requiere encontrar las premisas verdaderas de las que la conclusion se debe seguir. EI metodo se puede aplicar a hechos observacionales en la Naturaleza. Se dice que Platen propuso en la Academia el problema de averiguar sobre que supuestos se podrian conciliar la aparente irregularidad de los movimientos de los cuerpos celestes con la regularidad real para "salvar las apariencias".

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La resolucion de "problemas" no solo atafie a la geometria, sino a la investigacion en astronomia y en armonia -segun el libro VII-.

(2) Hipotesis en sentido estricto, es decir, en cuanto verdades basicas tomadas como principios indemostrables.

La geometria toma como presupuestos, ademas de los axiomas comunes, i) las definiciones de su objeto material -la magnitud- y de ciertos "atributos esenciales" de la magnitud, tales como "recto", "triangular", y ii) la existencia de la magnitud y de otros objetos primarios que corresponden a las definiciones, como puntos 0 lineas. La existencia de todo 10 demas (p.e. las diferentes figuras y sus propiedades) tiene que ser probada por construccion y por demostracion.

Las definiciones no son hipotesis: ellas no suponen la existencia de nada, tan solo establecen significados que deben ser entendidos. Las hipotesis son supuestos de existencia de cosas definidas.

Al hablar de las hipotesis de las matematicas (SIOD), Platen, en principio, quiere decir hipotesis de tipo "absoluto" no "relativo". Y parece, al igual que Aristoteles, restringir "hipotesis" a supuestos de existencia, y no incluir definiciones; «a definition in mathematics is itself an 'account' (logos) of the meaning of a term, and no 'account of it' can be demanded.» -dice Cornford-. Sus ejemplos de definiciones son "los pares e impares (aritmetica), las figuras y sus tres tipos de angulos (geometria) y otras cosas similares en cad a rama de estudio" (S10D).

Segun Aristoteles, la aritmetica y la geometria suponen el significado (definicion) de los pares e impares, etc, 10 recto y 10 triangular, etc, pero la existencia de estas cos as debe ser demostrada. "Las unicas cosas -dice este- cuya existencia estas ciencias tienen derecho de tomas como presupuestos en cuanto hipotesis ultimas son la unidad (aritmetica) y la magnitud, los puntos y las lineas (geometria)" -Aristoteles esta de acuerdo con Platon en condenar a los matematicos que deben tomar como

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hipotesis ultimas la existencia de 'los pares y los impares', las figuras y los tres ti pos de angulos' -.

Probablemente, Platen tiene en mente, aparte de este ultimo significado de hipotesis resefiado, tambien el significado original de hipotithesthai, y piensa los supuestos de los matematicos como sugerencias que se ponen para su aceptacion al estudiante en el proceso de instruccion.

i,Cual era el estatus, entonces, de las matematicas y de las hipotesis en tiempos de Platen?

La geometria esperaba su estructuracion por Euclides. La geornetria de solidos todavia no habia sido descubierta en tiempos de Socrates (528B), y estaba en curso de ser descubierta en la Academia cuando la Republica fue escrita. EI libro de texto de geometria en la Academia tuvo que ser la obra de los discipulos de Platen, Teudio de Magnesia y otros; en cuanto composicion escrita tenia una estructura menos perfecta que los Elementos de Euclides.5 En ese momento la ciencia consistia en un numero de teoremas, con pruebas alternativas establecidas por varios matematicos que usaban diferentes hipotesis; los teoremas todavia no habian sido adaptados conjuntamente a una cadena deductiva unica. Nadie habia reducido las hipotesis primitivas de la propia ciencia al mas pequefio numero posible, "or made out what they were".

Platen vio que hipotesis tales como las que el menciona no era factible que aparecieran como "evidentes para cualquiera", 0 que se pudiesen tomar como principios de los cuales no se pudiera pedir cuenta razonablemente. Se podria rastrear su origen previo

[5] Resume Cornford aqui un lexlo de Proc!o. en su comenlario a Euclides I: Leodamas.

Arquilas y Teelelo incremenlaron el numero de los leoremas y los llevaron hacia una organizacion mas cienhlica: Eudoxo aumento el numero de los leoremas llarnados generales: los discipulos de Platen llevaron la geomelria a una mayor perleccion: y Teudio hizo una buena estrucluracion de los 'elementos'. Se citan lam bien olras conlribuciones antes de la estructuracion complete par parle de Euclides, -el lexlo de Proc!o enlero se puede ver en Garcia Bacca, pp, 10 Y 11-.

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en un principio superior. Se podria alcanzar, entonces, la genu ina hip6tesis (0 las genuinas hip6tesis) de la propia ciencia. A partir de aqui la estructura entera se podria deducir en forma de una cadena (mica de razonamientos, y los huecos entre los teoremas dispersos rellenados. La aritrnetica y las otras ramas serian sometidas a la misma operaci6n.

Se trataba, por parte de Plat6n, de convertir las matematicas en una ciencia genu ina mediante la reducci6n de las colecciones de teoremas desperdigados, 0 de las cadenas de teoremas que se apoyaban en hip6tesis no probadas pero demostrables, a una cadena simple que depende de un principio unico, No se sugiere aqui nunca, ni en ningun otro sitio de estos libros, ningun otro tipo de ciencia posible -10 que nosotros llamamos "ciencias naturales" no existen aqui en cuanto distintas de las "lower arts", como la medicina, que se han rechazado en cuanto que tienen que ver con el mundo del devenir. No existe ninguna ciencia de la 16gica,6 aunque Plat6n este empezando a descubrir una, pero sin conciencia de ello-.

Plat6n siempre habla de un principio unico como cabeza de toda la estructura, no de una colecci6n de conceptos y supuestos primitivos. La labor de la investigaci6n dialectica es regresar, no como Arist6teles hubiera dicho a las hip6tesis genuinas de cada rama (cientifica), sino al principio unico de toda deducci6n matematica , y por tanto, "abolir" la colecci6n indefinida de supuestos no probados entonces en uso. La unica verdad basica (arche) de toda ciencia descansara sobre 10 no-hipotetico

[6] Cornford se esta refiriendc en particular aqut ados aruculos de A.E.Taylor. aparecidos en Mind en 1926. titulados "Forms and numbers: a study in platonic metaphysics". donde Taylor intenta reconstruir Ia leona platonica transmitida por Aristoteles en Mel. A. en la cual este discrimina entre la leona pitag6rica de 10 ilimitado y el limite. frente a la plalonica del Uno. 10 grande y 10 pequeno 0 la dualidad indefinida. ast como la idenlificacion de los numeros con los objetos perceptibles de los pitagoricos frente a los objetos maternaticos pialonicos. clase de seres intermedios entre las cosas y las Ideas: todo un desarrollo. el de Taylor. demasiado "especulativo" para Cornford.

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(anypothetos), que es conocido de manera intuitiva con una perfecta claridad e inquebrantable certeza.

i,Cual va a ser esta hipotesis ultima?

Las cinco ciencias matematicas citadas en la Republica - aritmetica, geometria, la naciente estereometria, la astronomia y la arrnonia-, deben ser reducibles a una unica cadena de razonamientos segun el grado de complejidad creciente comenzando con la aritmetica. Ahora bien, de acuerdo con Aristoteles, la hipotesis primitiva de la aritmetica es ilia existencia de la unidad". Platen en su ultima etapa deriva los numeros de el Uno y la Diada Indefinida .. Segun 10 cual todo numero formaria parte del Uno en tanto es un numero particular y de la Diada Indefmida en cuanto es divisible, y, por tanto, una pluralidad. Si la pluralidad puede ser deducida, de alguna forma, de "la existencia del Uno", podemos prescindir de la existencia de la Diada Indefinida como una secundaria hipotesis primitiva.

Ahora bien, en el Parmenides (143) se encuentra un argumentos donde se deduce, de hecho, una pluralidad de numeros de "la existencia del Uno", de la forma que sigue. La hipotesis de que "existe una Unidad" (ei hen estin) quiere decir que este Uno ha existido 0 participa de la existencia (ousias metechei), El Uno en si, concebido aparte de la existencia que tiene, es "una cosa'' (hen). La existencia que tiene es "una cosa", otra cosa diferente al Uno. Tambien "10 otro" es una tercera cosa, distinta de ambos. Cualquier par de estos tres "unos" es dos; afiade un tercero y obtendras tres. Tres es impar, dos es par. Mediante multiplicacion de pares e impares podemos obtener indefinidas series de numeros, " Luego si el Uno es, es necesario tarnbien que el numero sea" (144A) -a partir de aqui Platen deducira, luego, las ideas de espacio, movimiento y tiempo, a partir de este principio unico-.

El Sofista podrian avalar al menos el comienzo de la argumentacion del Parmenides, ya que tambien en el se dice que cualquier proposicion tal como "el Uno existe" implica el

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reconocimiento de tres terminos: "el UNo", "la Existencia" y "10 Otro"; en el contexte de la condena a Parmenides de caer en contradicci6n cuando afirrna la existencia del Uno y niega, sin embargo, la pluralidad (Sofista, 244 y sigts.) Habria que hacer notar que las hipotesis especificadas en 510C como ilegitimas en aritmetica -la existencia de pares e impares- son "abolidas" mediante la deducci6n de "la existencia del Uno" (parm., 143D).7

Plat6n mismo indica que las ciencias mas complejas de las cinco -astronornia y armonia- tienen que ser estudiadas en forma de problemas susceptibles de expresarse en numeros y sus razones (529D-530A, 531C). El Epinomis (990C-991B) elabora esta reducci6n de todas las ciencias a expresiones nurnericas.

El resultado es que la meta de la investigaci6n dialectica en ciencia -matematicas- es primero ascender mediante analisis a la unica hip6tesis, "la existencia del Uno", y, entonces, completar aquella, en forma de una cadena simple de inferencias, con la deducci6n de toda verdad matematica que se haya descubierto . Esta es una labor que puede ser acometida de una vez por todas. El camino de descubrimientos ulteriores en matematicas yaceria, entonces, en la direcci6n descendente, resolviendo nuevos problemas y extendiendo la deducci6n a nuevas conclusiones de forma indefinida.

II) El procedimiento utilizado en la dialectica.

Nos encontrarmos que la ascensi6n al primer principio es parte de la labor de la dialectica, cuyo procedimiento de critica de las hip6tesis corrientes de las matematicas caminara, por tanto, en sentido inverso.

[7]

Aduce Cornford. en el mismo senlido. un pasaje de Sexlo Empirico (Adv malh .. X. 258-262) donde. en lenguaje plalcnico. se habla de la ascension desde los cuerpos sensible, a traves de la geomelria y la arilrnelica hasla lIegar a la exislencia del UNO.

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En la prueba matematica la mente "viaja" hacia abajo a traves de un argumento limitado por las premisas asumidas, "como si la mente no pudiera remontar sus hipotesis'' (ton hypotheseon anotero ekbainein, SllA). La dialectica incluye un movimiento opuesto de pensamiento, hacia arriba, "tratando sus hipotesis no como principios sino litera/mente como hypo-tesis, peldaiios y trampolines sobre los que e/ discurso puede remontar y sa/tar desde elias (take off from) para que avanzando todo e/ camino hacia aquello que pennanece como no-hipotetico -al principio del todo- se /0 pudiera aprehender. ,$

En el campo de las Ideas morales, la descripcion del metodo dialectico, que se corresponde con exactitud con el familiar metodo de Socrates para intentar definir las Ideas morales, no se corresponde con el metodo dialectico en el campo matematico, ya considerado. El dialectico debe ser capaz de "formular una definicion de la naturaleza del Bien, separadamente de todas las otras Ideas" (diorisasthai to logo apo ton allon panton afelon ten too. agathou idean). Debe "abrirse paso, como en una batalla, a traves de todas las criticas -elenchi- esforzandose por fundar sus pruebas no en la apariencia, sino en la esencia -reality-, y llegar al termino de todos estos obstaculos con su argumentacion invicta". Se esta hablando aqui de la tecnica de preguntas y repuestas socratica, para alcanzar una definicion de un termino moral y tener conocimiento en vez de creencia. El objetivo es aqui una definicion , no, como en el campo matematico, una hipotesis primera 0 un supuesto de existencia, y la tecnica para llegar a la correcta definicion no es la misma que la de arribar hasta la hipotesis ultima de la ciencia.

La "hypothesis" de la dialectica es una hipotesis en el sentido original, no un supuesto verdadero y demostrable de

[8] En la lraduccion de 5118 de Pabon y Fernandez-Galiano dice: "considerando las

hipotesis no como principios, sino como verdaderas hipolesis. es decir, pel dallas y trampolines que la eleven hasla 10 no hipolelico. hasla el principia de lodo" -pag. 366-.

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existencia, sino una tentativa inadecuada de definicion, sugerida por el que responde, sometida a la critica por el que pregunta en el elenchus, y 0 bien rectificada 0 bien abandonada total mente. Es transformada 0 eliminada mediante la critica, pero nunca restaurada 0 confirmada por la deduccion subsiguiente. Tales sugerencias son meros obstaculos en el camino que son apartados en el ascenso a la verdadera definicion. (mere stepping-stones which are kicked away in the ascent to the correct definition).

Incluso de esta forma, el que responde tiene tan solo un tramo de conocimiento. Debe remontar mas alia hasta la Idea suprema en el campo moral, y definir la naturaleza del Bien. Solo entonces lograra el sentido completo de la verdad, descubierto al ser visto en su relacion con el resto de la verdad. Si el parara de pronto, su definicion de Justicia 0 de otras Ideas, aunque correcta, seria analoga a una hipotesis matematica que es cierta, pero que no se ha esperado a que se deduzca del principio primero. Pero si el puede alcanzar el Bien, "adquirira el nous" (noun echein, 534B), cuya vision iluminadora de todo el campo solo puede ser obtenida desde la cumbre.

El filosofo puede, entonces, hacer el descenso final: puede "dar cuenta" no solo de una parcela de conocimiento, sino de todo. Deducira (presumiblemente en forma de una division) todas las Ideas morales subordinadas, "descendiendo a traves de Ideas hasta lIegar a Ideas, y terminando con Ideas". El resultado de su investigacion, si pudiera incluso ponerse por escrito, abocaria a un sistema completo de filosofia moral, seguramente por deduccion de la definicion de la Idea de Bondad.

C) Analisis y Sintesis en matematicas y dialectica.

I) El Analisis

Platen se da cuenta de que la mente debe poseer la capacidad de dar un saito hacia arriba desde la conclusion a las premisas implicadas en esta, La verdad primera no pude, naturalmente, ser deducida 0 probada desde la conclusion; debe ser alcanzada (hapsasthai, 511 B) mediante un acto de penetracion

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analitica; asi en el citado pasaje del Menon, 86, donde el geometra percibe directamente, sin un argumento discursivo, que una condicion primera debe ser satisfecha si se desea construir 10 que sigue.

Se ha entendido que, en un cierto pasaje, Proclo asociaba el rnetodo de ascension dialectica a los genuinos principios con el metodo de analisis en geometria. Despues de mencionar a un contemporaneo con un especial talento para obtener los resultados requeridos partiendo de los menos principios posibles, sin utilizar ningun metodo, Proclo afiade: ''No obstante, se han transmitido cienos metodos. EI mas excelente es el metoda que por medio del analisis /leva la cosas buscada hasta un principio (re)conocido (ep'archen homologumenen andogousa to dsetoumenon); un metoda que Platon, como se dice, comunico a Leodamas, y mediante el cual este ultimo, como se dice, habria descubierto muchas cosas en geometria ". Sir Thomas Heath sefiala:

EI analisis segun la concepcion antigua no era mas que una reduccion sucesiva de un teorema 0 problema hasta que jinalmente se reduce a un teorema 0 problema ya conocido, es dificil ver en que puede haber consistido el supuesto descubrimiento de Platon; porque analisis en este sentido debe haber sido Jrecuentemente utilizado en la investigacion mas antigua [y Heath da varios ejemplos de esto]. Por otro lado, el lenguaje de Proclo sugiere que 10 que el tenia en mente era el metoda filosofico descrito en la Republica [51lBj, el cual naturalmente, no se rejiere al analisis matematico en absoluto; pudiera ser, pues, muy bien que la idea de que Platon descubriera el metoda de analisis sea debido a un malentendido. Pero que el analisis y la sintesis se siguen mutuamente es relatado de la misma manera que el movimiento ascendente y descendente del metodo intelectual en la dialectica. Se ha sugerido, por tanto, que el logro de Platon foe observar la importancia, desde el punto de vista del rigor logico, de la sintesis conjirmatoria que sigue al analisis.

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Sin duda, Platen no invento el metodo de analisis; pero la conexion con el metodo dialectico -sefiala Cornford frente a Heath- es mas estrecha de 10 que aqui se sugiere. Platon pudiera haber sido muy bien el primero en reconocer como peculiar (distinct) el movimiento de pensamiento involucrado en 10 que Aristoteles llama el "analisis de un diagrama matematico". Esto esta descrito en Met., 1051 a, 21:

Tambien las jiguras geometricas son halladas por un acto; pues es par division [dibujando lineas en la jigura dada} que se descubren. Si han sido ya divididas [los diagramas=las figuras dadas}, se verian claramente [los diagramas=iconstrucciones geometricas 0 pruebas? los comentaristas no se ponen de acuerdo, la palabra es ambiguajpero antes de la division solo existen en potencia. ",Por que son los angulos de un triangulo iguales a dos rectos? Porque los angulos en tomo a un punto son iguales a dos rectos. En eJecto, si se trazara la para lela con relacion allado, quien la viera comprenderia inmediatamente por que.: Por consiguiente, esta claro que las figuras que existen en potencia son halladas al ser lIevadas al acto. Y es asi porque la intuicion (noesis) es acto ... (comentarios entre corchetes de CornJord).

EI proceso para lIegar a la verdad ongmana seria el siguiente:

En principio el ge6metra contempla la figura dada, un triangulo, 0 bien sobre un papel 0 bien en su mente. Conociendo ya que los angulos en torno un punto dado son iguales a dos rectos (Eucl.,I, 13), intuye (divines) que la verdad primaria esta latente en la figura dada. Lo hace explicito haciendo la base de este triangulo y dibujando la linea paralela allado. Trae, pues, este "elemento" a su existencia actual en la demostracion, haciendolo observable a simple vista. Tiene luego que demostrar que ha solucionado el problema. Habiendo descubierto los "elementos" necesarios para construir la prueba, y comprobando que todos los teoremas estan previamente establecidos, construira ahora su dernostracion en

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forma enteramente discursiva -una deduccion partiendo de las hipotesis, "Sea un triangulo ABC" (Eucl., 1. 32) ... -.

Aristoteles habla en otro lugar de los "elementos de los diagrammata y de las demostraciones en general" como analogos a los elementos en los que se dice que los cuerpos son, en ultimo termino, divisibles. Ellos son "las demostraciones primarias que se eontienen en un gran numero de demostraciones derivadas" (Met., 1014, a, 31). El titulo de Euclides, Elementos, preserva este significado.

Temistio define analisis como "asumir una conclusion verdadera Y, entonces, descubrir las premisas mediante las cuales se infiere". Cuando el problemas es una construccion, el geornetra puede comenzar por contemplar una figura de la deseada conclusion. En el Menon, por ejemplo, podria dibujar el triangulo dado y un triangulo inscrito en el circulo dado, y considerar, entonces, que propiedades debe tener el rectangulo. Estas propiedades son "elementos" en la solucion. Por esto, toma la construccion por partes. El proceso opuesto es la sintesis, "colocando juntos" estos elementos y otros en el propio orden deductivo. Por esto Aristoteles dice que uno pudiera "analizar un diagrama y no ser capaz de reconstruirlo de nuevo". Cada paso en la demostracion es un componente contenido en el diagramma completo (en el triple sentido de: la palabra de diagrama, construccion, prueba).

Es muy posible que haya que aceptar -afirma Cornfordla afirmacion de que Platen descubriera el metodo de analisis, en el mismo sentido en que Aristoteles descubrio el silogismo, 10 que quiere decir quefite el primero en rejlexionar sabre el metoda de pensamiento implicito (involved) y describirlo en contraste eon el metoda de sintesis. Y es cierto que en su consideracion del ascenso dialectico Platon esta describiendo el movimiento ascendente del pensamiento que habia tornado como ejemplo el analisis geometrico,

IT) Sintesis frente a Analisis

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El metodo dialectico incluye tambien un proceso descendente a continuacion del ascenso al principio, en que se ira pasando de unas Ideas a traves de otras, y terminando en Ideas. La descripcion primera de la dialectica comprende tanto a las matematicas como a la moral. Cuando los dos campos son distinguidos el procedimiento no es, en conjunto, el mismo en los dos. Pero ambos movimientos de pensamiento son empleados en ambos campos de objetos. Ni el poder analitico de la noesis ni el metodo de deduccion racional se Iimitan a objetos matematicos; y las "hipotesis'' (si bien de diferente cIase) se usan en la obra para defmir Ideas morales y son asunto de critica.

A traves de los triangulos visibles 0 imaginados el geometra contempla la Idea de triangulo, su verdadera naturaleza, que contiene, para Platen y Aristoteles, las "propiedades esenciales" que se pueden trazar y demostrar en una cadena indefinida de teoremas sobre el triangulo. El problema era algo que habia que realizar, el fruto de una accion (prattein) que traeria a la existencia actual las construcciones elementales conseguidas por intuicion y que estaban latentes en la figura dada, y que aparecen mostradas en un diagrama completo. El teorema es el fruto de la contemplacion (teo rein) que penetra mediante la intuicion en las propiedades latentes "contenidas en" la esencia. La "demostracion'' (apodeixis) es exhibicion de esas propiedades como pertenecientes a la esencia, en forma de proposiciones explicitas dispuestas en un secuencia logica, deductiva 0 silogistica.

Mas aun, no solo las Ideas como la de Triangulo sino las morales y otras Ideas son generos, que contienen potencialmente a las especies. Estas especies se quedan explicitadas en la Division (diairesis) tabular, apuntadas (aiming) en una definicion que separara las mas bajas especies de todas las demas. Cuando el metodo dialectico es aplicado a la definicion de una Idea, el ascenso es realizado por el "sinoptico" acto de averiguar (divine) por intuicion la unidad difundida en una multitud reuniendola (the unity pervading a manifold "gathered together") (synagoge). Esta unidad se convertira en el "genero" que debe establecerse como

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cabecera de la tabla. EI proceso descendente es la "Division", que percibe las "diferencias" dentro de esta unidad y las organiza en una secuencia logica.

Proclo percibio una analogia entre estos movimientos ascendentes y descendentes para obtener definiciones y los movimientos ascendentes y descendentes del analisis y sintesis geometricas para lograr construcciones. EI pasaje de Proclo arriba citado (p.5) continua conectando la Division platonica del genero en especies con la solucion de un problemas par construccion:

EI segundo es el metoda de la Division, que divide en sus partes (especies) el genera que se proponia en consideracion (como un resultado de un previo sinagoge), y da un punto de partida para la demostracion por medio de la eliminacion de otros elementos en la construccion de 10 que es propuesto, cuyo metodo tam bien Platon alabo por prestar ayuda en todas las ciencias.

A Prado la contemplacion del dialectico del genera propuesto para division, Ie parece analoga a la contemplacion del geometra de su figura dada. La definicion final de las especies expone en forma explicita (logos) los elementos, las diferencias contenidas en las esencia definida, asi como el diagrama entero del geornetra muestra los elementos de la demostracion. Cada uno, al alcanzar sus resultados, eliminan, paso a paso, los elementos irrelevantes: el dialectico al seleccionar cada diferencia rechaza su altemativa; el geometra retiene solo los elementos que figuraran en la demostracion y rechaza otros con los que se encuentra pera que no son relevantes para llegar a su conclusion.

D) Las disposiciones intelectuales del maternatico y del dialectico

Las disposiciones intelectuales, orientadas hacia un tipo determinado de conocimiento, caracteristicas de los maternaticos y de los dialecticos son, respectivamente, la dianoia y la noesis. En la medida en que se oponen entre si tienen el siguiente significado:

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I

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A) Dianoia quiere decir:

(1) el movimiento descendente del entendimiento que sigue a un argumento deductivo desde las premisas a la conclusion.

(2) un estado mental de incertidumbre de alguien para quien el asi llamado "conocimiento" consiste solo en cadenas sueltas de razonamiento dependientes de un supuesto todavia no demostrado o que no se ve que sea indemostrable.

B) Noesis quiere decir:

(1) el intuitivo acto de aprehension, por un saito ascendente, de una Idea 0 una verdad primaria implicita en una conclusion.

(2) el estado de la mente (propiamente llamado noun ejein 0 episteme) de alguien que ve con perfecta claridad una completa estructura de verdad iluminada por el principio incuestionable.

La disposicion intelectual (hexis) de los geometras y de los rnatematicos en general no es nous sino dianoia, entendida esta como algo interrnedio entre la creencia y el nous (5IIeD). Estas dos disposiciones intelectuales diferenciadas pueden encontrarse desde el Menon. Aqui el esclavo pasa de falsas creencias a verdaderas creencias, pero solo llega a tener conocimiento cuando se prueba su necesidad logica "by reflection on the reason" (aitias logismfi). Pero en la Republica se pide algo mas, porque la comprension intelectual de un coherente, pero aislado trozo de razonamiento deductivo, se queda en dianoia, y no llegara a ser nous, 0 genuine conocimiento, hasta que no se hayan elevado hasta la aprehension intuitiva del principio indemostrable de la ciencia en su totalidad. Por nous, aqui y mas tarde, Platen entiende la vision perfectamente clara de la estructura completa de la verdad matematica, a traves de todas las ramificaciones que se hayan descubierto, como iluminadas des de arriba por la luz de la premisa ultima, intuitivamente percibida y tal que no puede ser cuestionada.

No se puede Hamar conocmuento a las matematicas en cuanto que si bien la conclusion, [como los teoremas anteriores],

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[de la demostracion deductiva], son conocidos, en cambio el genuine primer principio es desconocido. EI metodo dialectico prosigue, mediante la abolicion de las hipotesis, hacia el principio primero, para hacerlo seguro. Este metodo utiliza las matematicas como ayuda para clarificar el ojo del alma y poco a poco tirar de ella hacia arriba. Pero las "artes" matematicas en su presente condicion no podrian ser llamadas "ciencias" (epistemes). EI estado mental del matematico aqui es mera dianoia, mas claro que la creencia pero menos que el conocimiento.

Pero nadie negara que las matematicas no son suficientes para alcanzar la verdadera comprension de la verdadera naturaleza de sus objetos; para esto se requiere otro metodo. Este metodo sera el de la ciencia dialectica, que, sin embargo, s610 podra revelar su verdad a alguien versado en las ciencias matematicas; s610 se puede llegar ala dialectica a traves de las matematicas, de ninguna otra manera.

Hemos examinado hasta ahora, en consecuencia, las diferencias fundamentales entre matematicas y dialectica, respecto a sus objetos, sus metodos de conocimiento -tanto sus analogias como sus divergencias- y, en particular, las similitudes y diferencias entre el analisis y la sintesis, y sus influencias mutuas en las matematicas y dialectica; tambien las diferentes disposiciones intelectuales que caracterizan tanto al maternatico y al dialectico, en su diverso talante ala hora de conocer.

Queda suficientemente patente la importancia de las matematicas en la educacion y en la investigacion del conocimiento como antesala imprescindible para llegar a la ciencia de la dialectica. En Republica VII, Platen describe todo un programa de educacion, que es, a la vez, un programa de investigacion, donde hay todo un curriculum de educacion matematica seguido por un curriculum de la dialectica moral. Seria el siguiente:

EI Curriculum de la Educaci6n Matematica (536D-537C)

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Los estadios educativos hasta la aparicion de la dialectica son los siguientes:

(1) La educacion elemental de rnusica y gimnasia ha sido ya esbozada en los libros IT y III del dialogo.

(2) 536D-537 A. Todos los estudios de la propaideia

matematica hasta la dialectica seran introducidos a los chicos a los 17 0 18 aiios en fonnas de juegos, no por fuerza (Confert. Leyes, 819B y sigts., donde se afirma que se pasara de tratar con manzanas y diagramas a pensamientos sobre numero abstractos e figuras ideales, con operaciones y pruebas ya expuestos en libros de texto).

(3) 537B Dos 0 tres afios de entrenamiento gimnastico exclusivamente.

(4) 537C A la edad de 20 afios un numero selecto sera propuesto para 10 afios de estudio de las mismas ciencias matematicas desde un punto de vista sinoptico 0 comparativo. "Deb en disponer conjuntamente los tramos sueltos de aprendizaje matematico que han adquirido cuando muchachos en una vision comprehensiva (sinopsis) de las relaciones de estos estudios entre sf y con la naturaleza de la realidad". Solo asi se establecera con seguridad el conocimiento. Ademas, esta prueba revelara cuales de ellos estan capacitados para continuar hasta la dialectica, donde una vision comprehensiva, captando muchas cosas juntas y encontrando en ellas su unidad, es esencial.(esto evoca 531CD: solo sera provechoso la labor con todas las ramas de la matematica si se perciben sus interconexiones y relaciones).

Aunque no se especifica, los diez afios parece que se dedicaran por parte de estos estudiantes ya maduros a ser introducidos en la investigacion maternatica avanzada, la cual ayuda precisamente a la coordinacion de la verdad matematica en todas las ramas. Puede ser que algunos ya comenzaran a investigar porsi mismos.

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Pero los guardianes tienen que ser formados tambien para el ejercicio de las funciones practicas morales en el arte de gobernar. Un grupo selecto debe ser adentrado mas aun en el campo de las Ideas morales. Su formacion en ella Ie ocupara los siguientes cinco afios, desde los 30 hasta los 35 (539C).

El objeto inmediato del educador es "ponerlos a prueba mediante fa conversacion filosofica y averiguar cuales de ellos son capaces de renunciar a los ojos y los demas sentidos y avanzar en compaiiia de la verdad hacia la realidad en si." (537D)

De todas formas, a pesar de los cinco afios de cur so de dialectica ninguno de los puestos a prueba lograra la vision total del Bien. En 540A se separa la revelacion del Bien de este curso de dialectica por un intervalo de quince afios (de los 35 a los 50 afios) pasado en cargos militares y civiles de importancia secundaria. Los pocos que consigan pasar todas esta pruebas educativas y de vida practica seran llevados hacia la meta final.

Platon no podria sostener que los resultados de la investigacion en el campo moral, como los resultados de las matematicas, puedan ser puestos por escrito en un libro de texto. Cada generacion de filosofos tiene que ser llevados hasta su objetivo a traves del trato directo con otros que 10 hayan alcanzado o que esten cerca de alcanzarlo. Todos ellos deben abrirse paso en su camino a traves de las criticas (elenchi) de la conversacion y descubrir por si mismos un conocimiento que no puede ser transmitido mediante instruccion.

Cuando el filosofo ha visto el Bien en si, el dividira el resto de su vida entre la investigacion (filosofia) y los deberes practices de supremo gobernante; en la investigacion matematica trabajara para extender y perfeccionar la estructura de la ciencia matematica. Tanto en el campo cientifico como en el moral, en cuanto educador formara a otros como el para sucederle (allons aei paideusantas toioutous). Como gobernante del estado, legislara.y usando la naturaleza del Bien como un "modelo",

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creara orden (kosmein) en su ciudad yen su pro pia alma y el alma de los demas. Y a su muerte, sera venerado como un daimon, 0 al fin, como un eudaimon y un hombre "divino".

Bibliografia Utilizada

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