GU A DI DC T IC A

U N I DA D

ESO

Estadstica y
probabilidad

1
CONTENIDO

1 Programacin* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Sugerencias didcticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Actividades de ampliacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Propuesta de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
*Esta programacin podrs encontrarla tambin en el CD Programacin.

Estadstica y probabilidad

Unidad 9

Programacin de aula
Unidad 9

Estadstica y probabilidad

Probablemente, la estadstica y la probabilidad son las partes de las Matemticas que menos conocimientos previos necesitan para su aprendizaje. Adems tienen una fuerte conexin con el mundo real y son menos abstractas que otras partes.
Nuestros alumnos siempre preguntan para qu vale esto. Pues bien, en el presente caso podemos decir que se usa
para el clculo de las primas de los seguros, los riesgos nucleares, los pronsticos econmicos, polticos, del tiempo
En primer lugar, intentaremos crear un ambiente de inters por la estadstica y la probabilidad. Por ejemplo, haciendo encuestas sobre el lugar adonde quieren ir de excursin, el nmero de hermanos de cada uno, lanzando dados varias
veces e intentando calcular la probabilidad de un resultado, etc.
En la parte de estadstica, trataremos de agrupar los resultados obtenidos en una tabla, calculando las frecuencias, y
haremos ver la importancia de la simplificacin de estos datos mediante el clculo de la media y la moda. Conviene que
se familiaricen con la interpretacin y la elaboracin de grficos estadsticos ms usuales: los diagramas de barras con
el polgono de frecuencias asociado y los diagramas de sectores.
En la parte de probabilidad, intentaremos que dominen los conceptos bsicos del clculo de probabilidades: experimento
aleatorio, espacio muestral y suceso.
Debemos conseguir que comprendan la regla de Laplace para el clculo de la probabilidad de cualquier suceso.

OBJETIVOS
1. Dado un grupo de datos, saber
hacer un recuento, construccin
e interpretacin de tablas de frecuencias, diagramas de barras y
sectores. Asimismo deben saber
calcular e interpretar la media
aritmtica, ponderada y moda, y
resolver problemas de estadstica relacionados con la vida cotidiana.

CRITERIOS
DE EVALUACIN

COMPETENCIAS
BSICAS

1.1 Construir tablas de datos, utilizando el recuento y el clculo de

las frecuencias absoluta y relativa.
1.2 Dibujar e interpretar diagramas
de sectores y de barras, con su
correspondiente polgono de
frecuencias.
1.3 Calcular la media aritmtica
(simple y ponderada) y la moda
de un conjunto sencillo de datos.
1.4 Resolver problemas de la vida
cotidiana utilizando la estadstica.

Lingstica
Matemtica
Interaccin con el mundo fsico
Tratamiento de la informacin y
competencia digital
Aprender a aprender

2. Distinguir si los experimentos son

o no aleatorios. Dentro de un experimento aleatorio, definir espacio muestral, sucesos, y calcular
la probabilidad de un suceso.
Resolver problemas de probabilidad relacionados con nuestro entorno.

2.1 Escribir el espacio muestral y

sucesos de un experimento aleatorio.
2.2 Hallar la probabilidad de un suceso utilizando la regla de Laplace.
2.3 Resolver problemas de probabilidad relacionados con el entorno.

CONTENIDOS
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Tabla estadstica
Diagrama de barras
Polgono de frecuencias
Diagrama de sectores
Media aritmtica y ponderada
Moda

Unidad 9

Estadstica y probabilidad

Experimento aleatorio
Experimento determinista
Espacio muestral
Suceso
Suceso seguro. Suceso imposible
Probabilidad de un suceso
Regla de Laplace

Programacin de aula

ORIENTACIONES METODOLGICAS
1. Conocimientos previos
Para que los alumnos asimilen los contenidos de estadstica de esta unidad es preciso que dominen el concepto de proporcionalidad y que se manejen con soltura en el clculo con fracciones y porcentajes.

2. Previsin de dificultades
Los alumnos que no hayan adquirido destreza en el clculo de fracciones y porcentajes presentarn dificultades en la
elaboracin e interpretacin de grficos.

3. Vinculacin con otras reas

Como la estadstica es una rama de la matemtica que permite extraer conclusiones a partir de una recogida e interpretacin de datos, para poder tomar decisiones, est presente en todos los campos de la ciencia, la tcnica y la sociedad en general.

4. Esquema general de la unidad

El clculo de porcentajes, las fracciones, los nmeros decimales y las representaciones grficas vuelven a aparecer en
este tema. Ahora, aplicados al clculo de probabilidades y a la estadstica.
La unidad comienza con el agrupamiento de los datos en tablas estadsticas, para ordenarlos y resumirlos.
Despus se pasa a la representacin grfica de los mismos, utilizando el diagrama de barras, con su correspondiente
polgono de frecuencias y el diagrama de sectores, donde volvern a aparecer las magnitudes directamente proporcionales, para asignar un cierto nmero de grados a cada uno de los trozos que componen este diagrama.
Seguidamente se introducen las dos medidas ms bsicas y sencillas: media aritmtica (simple y ponderada) y moda.
Estas dos medidas nos pueden resumir todo el conjunto de datos en uno solo, y bien interpretadas, nos
darn una buena informacin del estudio que estemos
realizando.
Veremos que los datos ordenados en tablas pueden ser
muy tiles para los clculos anteriores.
Por ltimo, nos introducimos en probabilidad, donde se
ven cuatro conceptos fundamentales: experimento aleatorio (no podemos predecir su resultado), espacio
muestral (conjunto formado por los resultados de un
experimento aleatorio), suceso (cualquier parte del
espacio muestral) y, por fin, la regla de Laplace (casos
favorables entre casos posibles), para calcular la probabilidad de cualquier suceso aleatorio.

ESTADSTICA Y PROBABILIDAD
Estadstica

Probabilidad

Tablas de
frecuencias

Experimento aleatorio

Grficos

Media
Moda

Espacio muestral
Sucesos
Regla de Laplace

5. Temporalizacin
Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones:
1. Introduccin. Frecuencias. Tabla de frecuencias.
2. Diagrama de barras. Polgono de frecuencias.
3. Diagrama de sectores.
4. Media y moda.
5. Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos.
6. Probabilidad de un suceso. Ley de Laplace.
7. Actividades de repaso y consolidacin.
8. Pon a prueba tus competencias.
En todas las sesiones, la exposicin terica debera ir acompaada de la realizacin de ejemplos y de ejercicios de los
que se proponen tanto en los epgrafes como en las pginas finales de actividades.
Por supuesto, el contexto de la clase es tambin un factor determinante para fijar el nmero de sesiones necesarias
para desarrollar la unidad.

Estadstica y probabilidad

Unidad 9

Programacin de aula

CONTRIBUCIN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIN DE COMPETENCIAS BSICAS

Competencia lingstica
Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensin del texto es bsica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones Desarrolla tus competencias y Pon a prueba tus competencias, y,
en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma ms especfica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicacin oral y comunicacin escrita.

Competencia matemtica
Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prcticamente se trabajan todas las
subcompetencias y descriptores.
Al estar dedicada esta unidad a la elaboracin de tablas estadsticas y a la probabilidad, se trabajan descriptores de las
tres subcompetencias: razonamiento y argumentacin, resolucin de problemas, relacionar y aplicar el conocimiento matemtico a la realidad y uso de elementos y herramientas matemticos.

Competencia para la interaccin con el mundo fsico

A lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicacin de los contenidos matemticos expuestos a
situaciones y problemas de la vida real. En las sugerencias didcticas se detalla cmo poder desarrollar las subcompetencias conocimiento y valoracin del desarrollo cientfico-tecnolgico y aplicacin del mtodo cientfico en diferentes
contextos.

Competencia para el tratamiento de la informacin y competencia digital

La unidad contiene variadas referencias a la utilizacin de medios tecnolgicos para la bsqueda de informacin y la
resolucin de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprender

A partir de las actividades de evaluacin planteadas en las pginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de Autoevaluacin y Aprende a pensar, se puede trabajar en la adquisicin de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de construccin
del conocimiento.

Competencia para la autonoma e iniciativa personal

Se trabaja especialmente en las pginas de Pon a prueba tus competencias la subcompetencia planificacin y desarrollo
de proyectos, en particular el indicador afrontar los problemas de forma creativa, aprender de los errores, reelaborar
los planteamientos previos, elaborar nuevas ideas, buscar soluciones y llevarlas a la prctica.

Otras competencias de carcter transversal

Aprender a pensar
En el proyecto educativo de SM se incluye una competencia adicional que desarrolla las capacidades filosficas e intelectuales del alumnado. La unidad presenta mltiples oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un
ejercicio reflexivo y crtico.
En las sugerencias didcticas de los epgrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexin y debate.

Unidad 9

Estadstica y probabilidad

Programacin de aula

TRATAMIENTO ESPECFICO DE LAS COMPETENCIAS BSICAS EN LA UNIDAD

A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias bsicas que prescribe el currculo. Para esta unidad,
en concreto, sugerimos realizar un trabajo ms intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales especficos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEO

1.er nivel de concrecin

2. nivel de concrecin

3.er nivel de concrecin

4. nivel de concrecin

Comunicacin oral.

Valorar el dilogo como medio para resolver

conflictos, interactuar y mediar de forma
adecuada sabiendo escuchar y mostrndose
disponible al intercambio de ideas.

Realiza exposiciones orales en clase

delante de los compaeros.
Desarrolla tus competencias
Pon a prueba tus competencias: I

Comunicacin escrita.

Conocer y comprender diferentes tipos de

textos con distintas intenciones
comunicativas.

Interpreta textos y enunciados para

analizarlos matemticamente.
Desarrolla tus competencias
Problemas

Razonamiento y
argumentacin.

Interpretar y expresar con claridad y precisin

distintos tipos de informacin, datos y
argumentaciones, utilizando vocabulario
matemtico.

Interpreta grficos estadsticos.

En toda la unidad

Resolucin de problemas.

Utilizar las matemticas para el estudio y

comprensin de situaciones cotidianas.

Plantea y resuelve problemas

estadsticos y de clculo de
probabilidades.
En toda la unidad

Uso de elementos y
herramientas
matemticos.

Conocer y utilizar los elementos matemticos

bsicos (distintos tipos de nmeros, medidas,
smbolos, elementos geomtricos, etc.) en
situaciones reales o simuladas de la vida
cotidiana.

Representa variables estadsticas.

Clculo de la media y la moda.
En toda la unidad

Aplicacin del mtodo

cientfico en diferentes
contextos.

Formular hiptesis y prevenir consecuencias

sobre los problemas relevantes en situaciones
reales o simuladas.

Aplica el clculo de probabilidades a la

toma de decisiones.
Pon a prueba tus competencias: III

Conocimiento y valoracin
del desarrollo cientficotecnolgico.

Conocer y valorar la aportacin del desarrollo

de la ciencia y la tecnologa a la sociedad.

Conoce los diversos instrumentos de

medicin meteorolgica.
Desarrolla tus competencias
Pon a prueba tus competencias: I

Medio natural y desarrollo

sostenible.

Tener hbitos de consumo responsable en la

vida cotidiana.

Adquiere conciencia de la importancia

del agua para el desarrollo humano
Actividad 53

Obtencin,
transformacin y
comunicacin de la
informacin.

Buscar y seleccionar informacin con distintas

tcnicas segn la fuente o el soporte,
valorando su fiabilidad.

Busca en diferentes pginas de internet

para complementar la informacin.
En la red
Desarrolla tus competencias
Visita la pgina librosvivos.net para
realizar distintas actividades.
Actividades 8, 23 y 29

Planificacin y realizacin
de proyectos.

Afrontar los problemas de forma creativa,

aprender de los errores, reelaborar los
planteamientos previos, elaborar nuevas
ideas, buscar soluciones y llevarlas a la
prctica.

Resuelve problemas de forma creativa.

Actividades de ampliacin
Pon a prueba tus competencias: II y III

Lingstica

Matemtica

Interaccin con el
mundo fsico

Tratamiento de la
informacin y
competencia digital

Autonoma e iniciativa
personal

Estadstica y probabilidad

Unidad 9

Programacin de aula

EDUCACIN EN VALORES
Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo especfico de las competencias nos
permiten, adems, desarrollar algunos de los aspectos que el currculo recoge como educacin en valores:
Educacin para el desarrollo: actividad 53.
Educacin para el consumo: actividad 48.
Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didcticas permiten desarrollar la educacin para la convivencia y la educacin en comunicacin.

ATENCIN A LA DIVERSIDAD
En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado.
Actividades de refuerzo. Una pgina fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.
Actividades de ampliacin. Una pgina fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada
unidad del libro.
Propuesta de evaluacin. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de
asimilacin y comprensin de los conceptos y procedimientos tratados.
Cuaderno de evaluacin de competencias. En l se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para
evaluar la adquisicin por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemticos tratados a
situaciones en contextos reales, en conjuncin con el resto de competencias bsicas.

MATERIALES DIDCTICOS
Refuerzo y ampliacin de contenidos de este curso
Cuaderno de refuerzo de matemticas: Aprende y aprueba. 1. de ESO.

Bibliogrficos

Unidad 9. Estadstica y probabilidad.

Cuadernos de matemticas. 1. de ESO: N. 4: Proporcionalidad, grficas y estadstica.
Unidad III: Estadstica.
SM

Cuaderno Matemticas para la vida. 1. de ESO.

Lo echamos a suertes?
Cuaderno de Investigaciones matemticas. 1. de ESO.
Unidad 8: Funciones y grficas.
Unidad 9: Un estudio local.
Cuaderno de Resolucin de problemas I.
www.smconectados.com

Internet

SM

www.librosvivos.net
Unidad didctica de estadstica y probabilidad de la pgina de educacin digital a distancia del proyecto Descartes:

Otros

www.e-sm.net/1esomatprd16
Pgina de azar y probabilidad de la Sociedad Andaluza de Educacin Matemtica Thales:

Otros
materiales

www.e-sm.net/1esomatprd17

Unidad 9

Es importante que los alumnos aprendan los contenidos de una forma experimental; para ello se puede trabajar con monedas, ruletas, barajas de cartas, dados, bolas de colores y cualquier otro material
que nos sirva par simular un experimento aleatorio.
Calculadora cientfica.
Prensa diaria y revistas.

Estadstica y probabilidad

Sugerencias didcticas
Entrada
En la fotografa de la entrada podemos apreciar una tormenta con fuerte contenido elctrico.
Con ella conseguiremos captar la atencin de los alumnos
y hablarles de la importancia que tienen las predicciones
meteorolgicas en la sociedad que nos rodea. Podemos
pedirles que busquen en la red las predicciones meteorolgicas que haba para las zonas costeras de Espaa antes
de un puente, que lo comparen con el clima que hizo realmente y con la ocupacin hotelera de la zona. As vern
cmo puede influir la informacin meteorolgica en fechas
sealadas y la cautela que tienen los hombres del tiempo.
Para ilustrar que la climatologa no es predecible y que los
meteorlogos solo hablan de probabilidades, podemos
poner ejemplos reales en los que no se haya producido el
fenmeno que con alta probabilidad anunciaban los meteorlogos.

Desarrolla tus competencias

I. Con la actividad I, los alumnos mejorarn su comprensin y comunicacin oral, ya que debern explicar a sus
compaeros con un lenguaje coloquial, para que todos
lo entiendan, las diferencias entre meteorologa y climatologa. Debemos hacer hincapi en que no queremos que definan los dos conceptos sin ms, sino que
analicen sus diferencias y las describan. Adems, para
que vean clara la diferencia, podemos pedir a dos chavales que se inventen una situacin cotidiana en la que
se emplee cada uno de los dos conceptos.
II. Indicaremos a los alumnos que hagan dos tablas diferentes, una para la temperatura y otra con la velocidad del
viento. En la primera columna pondrn el da; en la segunda, el valor mnimo, y en la tercera, el valor mximo.
III. Para esta actividad podemos pedir a los profesores de
ciencias y de fsica y qumica que nos presten los instrumentos de medida meteorolgicos que tengan en
sus respectivos laboratorios.

1. Frecuencias
Para un adecuado aprendizaje de los contenidos es preciso que los alumnos dominen mnimamente la proporcionalidad, las fracciones y los porcentajes.
En este primer apartado procuraremos que todos los
alumnos sean capaces de organizar y ordenar los datos,
recogidos de cualquier estudio, en una tabla estadstica.
Para ello podemos ayudarnos de tablas aparecidas en la
prensa, y as los alumnos vern la importancia de las
tablas estadsticas, debido a su aparicin continua.
Es importante que, antes de confeccionar la tabla de frecuencias absolutas, los alumnos se acostumbren a anotar el recuento de datos, es decir, las veces que cada dato
aparece en el conjunto.
Recordar la relacin existente entre las frecuencias relativas y los porcentajes.
Es interesante que asimilen que una buena forma de
asegurarse de que no se han dejado ningn dato por contabilizar es comprobar que la suma de las frecuencias
absolutas coincide con el nmero total de datos.

Del mismo modo, es necesario que exijamos a los alumnos que comprueben que la suma de las frecuencias
relativas es uno. En ocasiones, esta suma no les dar
exactamente 1, debido al redondeo, por lo que debemos
indicarles que es necesario que ajusten las frecuencias
para que su suma sea 1.
Si completan la tabla de frecuencias con los porcentajes, conviene recordarles que la suma es 100.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Bsico

2, 3 y 30 a 32

Medio

33 y 34

2. Diagrama de barras
La mayora de las veces, la informacin estadstica aparece en forma de grficos. Es importante que el alumno
conozca los distintos tipos de grficas que hay, su construccin e interpretacin.
Aunque el diagrama de barras ya les resulta conocido,
conviene insistir en que, antes de comenzar la representacin, analicen los valores de las frecuencias para utilizar la escala adecuada. Es importante que los alumnos
tengan claro que para la construccin de un diagrama de
barras, sobre el eje horizontal se pondrn los datos, y en
el eje vertical, la frecuencia absoluta de cada uno de ellos.
Debemos resaltar que para hallar el diagrama de lneas
o polgono de frecuencias, primero debemos obtener el
punto medio de los extremos superiores de cada una de
las barras y, posteriormente, unirlos.
En ocasiones tendrn que elaborar la tabla de frecuencias a partir del diagrama de barras. Cuando se trate de
datos con frecuencias pequeas no tendrn problemas;
sin embargo, si la poblacin sobre la que se realiza el
estudio es grande y las frecuencias no son nmeros
redondos, conviene situar la frecuencia en el extremo
superior de cada una de las barras.
Podemos pedir a los alumnos que lleven al aula diagramas de barras que encuentren en los medios de comunicacin y extraer de ellos la tabla de frecuencias. Con
ello podrn darse cuenta de que las matemticas no son
una ciencia aislada, sino que aparecen a menudo en diferentes mbitos de nuestra vida.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Bsico

5, 6 y 37

Medio

Alto

53

53. Podemos aprovechar esta actividad para que los alumnos elaboren una tabla en la que figuren 10 actos que
supongan un ahorro de agua, tales como cerrar el grifo mientras nos cepillamos los dientes, poner la lavadora cuando el tambor est lleno indicando la cantidad
de agua que se ahorra con cada uno de ellos.
Una vez elaborada la tabla, les pediremos que calculen cuntos litros diarios ahorra cada uno de ellos para
despus calcular la media de la clase.

Estadstica y probabilidad

Unidad 9

Sugerencias didcticas

Con esta tabla les haremos conscientes de la necesidad de ahorrar agua, y les haremos ver que aunque
haya inviernos y primaveras lluviosos que mantienen
alto el nivel de los pantanos, siempre hay que ser previsores.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Bsico

13, 40, 41 y 48

Medio

14, 42 y 51

Alto

52 y 54 a 56

3. Diagrama de sectores
Para construir los diagramas de sectores conviene
recordar la proporcionalidad para calcular el nmero de
grados de cada sector. Con ello se empezar a ver la
importancia de la misma.
Tambin es interesante practicar la medida de ngulos
con el transportador para poder dividir el crculo en los
sectores correspondientes a cada una de las frecuencias
absolutas de los datos.
Como se deca en la pgina anterior, sera interesante
que los alumnos observaran la aparicin constante en
los medios de comunicacin de estos grficos y practicar la construccin de tablas de frecuencias a partir de
ellos.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Bsico

10, 11, 35 y 36

Medio

38 y 39

5. Experimentos aleatorios. Sucesos

Una vez introducida la diferencia entre experimento aleatorio y determinista, podramos explicar a los alumnos
la etimologa de la palabra aleatorio, indicando que alea
significa suerte en latn.
Para que los alumnos puedan describir con facilidad los
espacios muestrales de los experimentos compuestos
que vienen en la unidad, les ensearemos a utilizar el
diagrama de rbol. Para ello elaboraremos en clase el
diagrama de rbol que describe el experimento consistente en lanzar 3 veces una moneda.
Les resultar muy difcil comprender los conceptos de
suceso seguro y suceso imposible, por ello deberemos
poner numerosos ejemplos, siempre referidos a experimentos que puedan realizar los alumnos, como el lanzamiento de un dado.
Es preciso que el alumno tenga clara la idea de que el
azar es imprevisible.

ACTIVIDADES POR NIVEL

4. Media aritmtica simple

y ponderada. Moda
Adems de insistir en la utilidad de colocar los datos en
una tabla para calcular la media, hay que recordarles
que deben respetar la jerarqua de las operaciones a la
hora de calcular las medias para evitar errores, es decir,
deben realizar primero las multiplicaciones y despus
las sumas.
Conviene hacerles ver que al igual que los grficos nos
permiten sacar conclusiones rpidas e importantes de
un grupo de datos, tambin hay unos valores numricos,
en este caso la media aritmtica simple y ponderada, que
nos aportan mucha informacin sobre los datos.
Asimismo es interesante mostrarles la influencia de
datos extremos o anmalos en el clculo de la media y
su posterior interpretacin.
Seguir insistiendo en la importancia de los grficos y la
representacin de los datos en un nico valor numrico.
En este caso, el propio significado de la palabra moda
ayudar y dejar claro a los alumnos qu es lo que nos
indica este valor y su interpretacin.
Sera conveniente poner un ejemplo donde hubiese ms
de una moda. Podramos introducir en estos casos las
palabras bimodal (conjunto de datos con dos modas), trimodal (conjunto de datos con tres modas), etc., para que
los alumnos se vayan familiarizando con el vocabulario
estadstico.
Resaltar que si en un conjunto de datos todos los elementos tienen la misma moda, entonces decimos que
esta no existe.

Unidad 9

Estadstica y probabilidad

Bsico

17 a 19 y 43

Medio

20 y 21

6. Probabilidad
Es importante relacionar la probabilidad con cuantificar
la posibilidad de que ocurra algo. Para ello, debemos
comenzar con problemas sencillos en los que se calcule la probabilidad de extraer una carta, una bola, etc.
Es aconsejable, antes de asignar probabilidades a sucesos, aplicar la idea que ya tienen los alumnos de imposible, improbable, probable y seguro a sucesos que
propongan ellos mismos.
La regla de Laplace se tratar como una fraccin donde
el denominador indica las posibilidades totales, y el numerador, las favorables a nuestro suceso. Podramos relacionarla con la frecuencia relativa de un dato. Para ello
podemos dividir la clase en 6 grupos y repartir a cada grupo un dado cbico con las caras numeradas del 1 al 6. Les
pediremos que lo tiren 6 veces y anoten la frecuencia
absoluta de cada valor. Posteriormente calcularn la frecuencia relativa y vern que se aproxima bastante a la probabilidad.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Bsico

26 a 28, 46, 47 y 49

Medio

44, 45 y 50

Alto

57 y 58

Sugerencias didcticas

Organiza tus ideas

Debemos tener en cuenta que en este tema se pretende
hacer una simple introduccin a los conceptos ms bsicos del clculo de probabilidades y de la estadstica.
En esta pgina nos encontramos un esquema de los conceptos que se han desarrollado a lo largo de toda la unidad.
Est dividida en dos ncleos principales:
Estadstica y formas de representacin de un conjunto de
datos estadsticos.
Probabilidad de un suceso.
Intentaremos que los alumnos sean capaces de tratar de
un modo mecnico un conjunto de datos y de representarlos mediante una tabla estadstica, un diagrama de
barras o un diagrama de sectores. Para ello se les puede
pedir que traigan a clase los resultados de los partidos de
ftbol de la ltima jornada y, siguiendo el orden del esquema, hagan un estudio completo del nmero de goles marcados por partido, y as comprobar si el esquema es
completo o le falta algo.
Trataremos de que los alumnos aprendan los elementos
bsicos de la probabilidad a partir de sencillos experimentos.
Es un tema bastante apropiado para que trabajen en grupo, utilizando juegos para reproducir experimentos aleatorios que les sirvan para asimilar de una forma ms fcil
los conceptos de la unidad.

Pon a prueba tus competencias

EL PARTE METEOROLGICO
Las actividades que aqu aparecen son interdisciplinares,
ya que estn claramente relacionadas con la materia de
ciencias sociales.
Adems, tambin fomentamos la interpretacin de grficos, ya que lo necesitan para contestar a las cuatro primeras preguntas.
Podemos pedir a los alumnos que busquen en otras pginas de internet, diferente a la de la AEMET (Agencia Espaola de Meteorologa), la previsin del tiempo para su
localidad para los 10 das siguientes. Dividiremos la clase
en cuatro o cinco grupos, y cada uno traer la informacin
de una pgina diferente. Elaborarn con ella un pequeo
informe y un miembro lo narrar al resto de la clase. Una
vez explicadas las cuatro o cinco predicciones, los alumnos vern que no son iguales, que incluso son totalmente

opuestas algunas de ellas. De este modo comprendern

que la meteorologa no es algo determinista, sino totalmente aleatorio.
Para la realizacin de la actividad 7 podemos pedir ayuda
al profesor de sociales, para que d a los alumnos unas
nociones breves sobre los distintos tipos de clima que hay:
continental, tropical, desrtico y que averigen en cul
de ellos hay cuatro estaciones.

EL TELEFRICO
Los alumnos debern leer detenidamente la tabla para
poder deducir cul es la capacidad mxima del telefrico.
Adems debern relacionar la variacin de la ocupacin
con el transcurso de la semana y deducir que es mayor en
sbado y domingo. Podramos indicarles que observen el
fenmeno que ocurre la primera semana, en la que se
alcanza la ocupacin mxima el viernes, el sbado y el
domingo, y que traten de deducir las causas.
Lo primero que pensarn los alumnos para realizar la actividad 3 ser sumar los 28 datos que vienen en las primeras 4 filas y luego dividir entre 28. Muy pocos de ellos se
darn cuenta que si suman los datos de la quinta fila y luego dividen entre 7, obtendrn tambin un valor aproximado de la media. Habr que indicar que la pequea diferencia
que se obtiene al calcular la media por el segundo mtodo es porque los datos que utilizamos para ello son aproximados, ya que para dar la ocupacin media de la fila 5
hemos redondeado, y ello implica error.
El diagrama de barras de la actividad 4 podemos hacerlo
conjunto. En el eje horizontal colocaremos los das de la
semana, y a la hora de dibujar las barras para indicar la
ocupacin de cada da, elegiremos un color para cada una
de las semanas y las colocaremos juntas.

EL JUEGO DE LAS TAREAS

Esta actividad supone una aplicacin creativa de la probabilidad.
Vern que pueden aplicarla a otras facetas de su vida.
Lo ms prctico para resolver estas actividades es que los
alumnos describan ordenadamente, en forma de tabla, el
espacio muestral del experimento que consiste en tirar dos
dados. De esta manera solo tendrn que contar los casos
posibles de cada uno de los sucesos que se plantean.
Para la actividad 4, teniendo la tabla del espacio muestral,
les bastar con dividirla en tres partes de manera que en
cada una de ellas haya 12 elementos del espacio muestral.
Una vez dividida en partes, debern describir los sucesos
asociados a cada una de ellas.

Estadstica y probabilidad

Unidad 9

Actividades de refuerzo
Unidad 9

Estadstica y probabilidad

ORIENTACIONES METODOLGICAS
Pretendemos que los alumnos dominen los siguientes conceptos bsicos: frecuencia absoluta y relativa, media, moda,
diagramas de barras y sectores, y clculo de la probabilidad de un suceso mediante la regla de Laplace.
Frecuencia absoluta y relativa: sera interesante que realizasen una encuesta sobre algunos aspectos entre los miembros de sus familias, amigos, etc., para despus plasmar el resultado en una tabla de datos. Esto les resultar muy
sugestivo y motivador.
La media: es un parmetro de centralizacin que solo se da en conjuntos numricos. No todos los conjuntos de datos
tienen media.
La moda: existe en todos los conjuntos de datos, ya que es el valor que ms se repite. Incluso puede haber varias
modas, si varios datos se repiten el mismo nmero de veces.
Los grficos de sectores y barras: sera interesante acabar todas las encuestas y muestreos que hayan realizado
construyendo un grfico de sectores de cada uno de ellos.
Regla de Laplace: es importante que sepan contar los casos favorables a un suceso y los casos posibles de un experimento aleatorio.

ACTIVIDAD DE GRUPO
Vamos a las carreras
Para esta actividad se necesita un tablero como el de la figura, dos dados cbicos de distinto color y fichas de colores.
Se agrupa a los alumnos en grupos. El nmero mnimo de alumnos en el grupo debera de ser 5, y el mximo, 10, para
cubrir las distintas probabilidades que se pueden asignar a los distintos nmeros.
El juego consiste en que cada miembro del grupo elija una casilla, lanzar sucesivamente los dos dados y avanzar una
posicin su ficha el jugador cuyo nmero que haya elegido la casilla coincida con el resultado de la tirada.
Es aconsejable repetir varias veces el juego para que los alumnos vean que la probabilidad de cada casilla es distinta.
Tambin convendra repetir el juego con un tablero con 6 nmeros y utilizar un solo dado, comprobando que en este
caso la probabilidad de cada casilla es la misma.
2
3
4
5

9
10
11
12

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

1. N. de veces que se repite un dato: frecuencia absoluta.
Cociente entre la frecuencia absoluta y el n. total de
datos: frecuencia relativa.
Uno: suma de las frecuencias relativas.
Media aritmtica: valor que representa un conjunto de
datos.
N. total de datos: suma de las frecuencias absolutas.

2. a)

1
8

b)

1
12

c) Disminuye.

3. 1.er vagn: 72
2. vagn: 144
3. vagn: 108
4. vagn: 36

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar ms propuestas de actividades de refuerzo.

10

Unidad 9

Estadstica y probabilidad

Ms recursos
en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO

Estadstica y probabilidad

Unidad 9
1. Relaciona las dos columnas.

Nmero de veces que se repite un dato

Frecuencia relativa

Cociente entre la frecuencia absoluta y

el nmero total de datos

Frecuencia absoluta

Uno

Valor que representa un conjunto de datos

Media aritmtica

Suma de las frecuencias absolutas

Nmero total de datos

Suma de las frecuencias relativas

2. Cuando resolvemos problemas en los que aparecen dados, suponemos que estos tienen forma cbica
y que sus caras estn numeradas del 1 al 6. Si son normales, es decir, si no estn trucados, la probabilidad de que salga una cara es igual a uno dividido entre el nmero de caras del dado.
Si embargo, existen muchos tipos de dados: dados con forma de tetraedro, dados de quinielas
Aqu tienes algunos.
1

7
5

12

11

1
4

10

2
7
5

11

12
1

a) Calcula la probabilidad de obtener 8 en el dado con forma de octaedro.

b) Calcula la probabilidad de obtener 8 en el dado con forma de dodecaedro.
c) Observa los dos resultados anteriores. Qu pasa con la probabilidad cuando aumenta el nmero de
caras?
3. Seala cul de los dos diagramas de sectores representa el modo en que los viajeros se han repartido
entre los cuatro vagones del tren.
36
72

108
40

110

70

Pgina fotocopiable

140
144

Relaciona cada vagn con el sector del grfico que le corresponde.

40 pasajeros

80 pasajeros

60 pasajeros

20 pasajeros

Estadstica y probabilidad

Unidad 9

11

Actividades de ampliacin

Estadstica y probabilidad

Unidad 9

ORIENTACIONES METODOLGICAS
Estos ejercicios nos pueden servir para ese grupo de alumnos que ha alcanzado los objetivos propuestos en la unidad y que tiene necesidad de avanzar un poco ms.
Adems de los que ofrecemos aqu, podemos introducir ejercicios con un grado de dificultad un poco mayor, como,
por ejemplo, completar tablas estadsticas. Tambin se pueden utilizar otro tipo de representaciones grficas como
las pirmides de poblacin, los pictogramas o cualquier grfico aparecido en peridicos o revistas.
En cuanto a la parte de probabilidad, podemos introducir algunos conceptos sencillos, como suceso seguro o suceso
imposible, para que los alumnos se encarguen despus de calcular su probabilidad.

ACTIVIDAD DE GRUPO
Nos familiarizamos con la estadstica
Se organizan grupos de seis alumnos. En cada grupo se nombra un moderador que ser el encargado de hablar y comentar las decisiones de su grupo de compaeros.
Los alumnos se encargan de traer grficos y tablas estadsticas que aparezcan en la prensa.
A partir de las tablas o grficos, los alumnos calcularn la media y la moda. Despus dibujarn un grfico de barras
o de sectores.
Con todos estos datos, nuestros alumnos se van familiarizando con el mundo estadstico de una forma fcil y amena.
Al final de la actividad se har una puesta en comn de todos los resultados obtenidos.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

1.

3.

Datos

F. absoluta

10

F. relativa

0,5

0,1

0,25

0,15

2. a)

Clase 1
v

Clase 2
vf

vf

15

18

12

30

25

12

18

35

14

32

18

10

20

10

10

30

154

30

139

f. r.

vf

7,50

0,1

7,5

8,50

0,1

8,5

8,60

0,1

8,6

8,80

0,2

17,6

8,90

0,2

17,8

10

0,1

10

10,60

0,1

10,6

0,1

11,4

11,40

10
a) Media: 9,20
4.

92

b) Moda: 8,80 y 8,90

6
1
=
36
6

5. Se ha suprimido el 6.
6.

7.
b) Media de la clase 1: 5,13. Media de la clase 2: 4,63
Tiene mejor media la clase 1.

3
28
11
16

8. 1

c) Moda de la clase 1: 5. Moda de la clase 2: 3

Ms recursos
en tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar ms propuestas de actividades de ampliacin.

12

Unidad 9

Estadstica y probabilidad

ACTIVIDADES de AMPLIACIN
Unidad 9

Estadstica y probabilidad

1. Completa la siguiente tabla estadstica que hemos obtenido al preguntar a 20 alumnos de una clase sobre
el nmero de horas que dedican cada da al estudio.
Datos

F. absoluta

F. relativa

0,5

0,25

7
6
5
4
3
2
1
0

Clase 1
N. de alumnos

N. de alumnos

2. Las siguientes grficas representan las notas obtenidas por dos clases en el ltimo examen de Matemticas.

4 5 6
Notas

9 10

7
6
5
4
3
2
1
0

Clase 2

5 6
Notas

9 10

a) Construye una tabla estadstica con las frecuencias absolutas.

b) Cul tiene mejor media?
c) Cul es la moda de cada una de las clases?
3. Se ha hecho un estudio sobre el precio medio de una entrada de cine en algunos pases europeos y se
han obtenido los siguientes datos:
Pases
Suecia
Dinamarca
Reino Unido
Blgica
Grecia
Alemania
Francia
Italia
Irlanda
Espaa

Precio ()
11,40
10,60
10
8,90
8,90
8,80
8,80
8,60
8,50
7,50

a) Elabora una tabla estadstica.

b) Calcula la media.
c) Calcula la moda.

4. Cul es la probabilidad de que al lanzar dos dados, la diferencia de sus resultados sea 3?
5. De un conjunto de tres datos cuya media vale 8 se elimina uno de ellos, de tal forma que los dos datos
restantes tienen media 9. Qu dato se ha suprimido?

7. Al lanzar una moneda 4 veces, cul es la probabilidad de que el nmero de caras sea mayor o igual al
nmero de cruces?
8. Cuando tiras un dado de seis caras, numeradas del 1 al 6, no puedes ver la cara sobre la que se apoya.
Cul es la probabilidad de que el producto de los nmeros de las caras sea divisible por 6?

Estadstica y probabilidad

Unidad 9

Pgina fotocopiable

6. Se extrae al azar una ficha de un domin normal, compuesto por 28 fichas, y sumamos los puntos de
sus dos partes. Calcula la probabilidad de que la suma de sus puntos sea 5.

13

PROPUESTA de EVALUACIN

Estadstica y probabilidad

Unidad 9
APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. La paga semanal en euros que recibe cada uno de los 20 alumnos de una clase de 1. de ESO es:
10
9

9
7

8
6

7
6

6
7

9
8

8
7

9
6

10
7

8
9

a) Con estos datos, construye una tabla estadstica.

b) Calcula la media aritmtica simple y la moda.
2. Mi profesor de Matemticas es muy aficionado al flamenco y me ha pedido que haga una encuesta a 30
personas, para saber sus preferencias. Obtuve los siguientes resultados:
Artista

Camarn

Paco de Luca

Enrique Morente

Tomatito

15

N. de personas
a) Realiza la tabla estadstica.

b) Representa los datos mediante un diagrama de barras.

c) Dibuja su polgono de frecuencias.
3. La liga espaola de bisbol cerr su temporada con la siguiente clasificacin:
Equipo

Tiburones

Karbo

Helios

Gaiteiros

Puntos

Representa los datos mediante un diagrama de sectores.

4. Construye la tabla estadstica a partir del siguiente diagrama de barras.
60 000

53 306

F. absoluta

50 000

44 198

40 000

33 475

30 000
20 000

24 644
18 503

10 000
0

2005

2006

2007
Aos

2008

2009

5. En la segunda evaluacin de Matemticas hemos realizado tres exmenes. El primero vala un 20% de
la nota; el segundo, un 30%, y el tercero, un 50%. Un alumno ha obtenido las siguientes calificaciones:
Primer examen

Segundo examen

Tercer examen

Nota
Calcula la nota final.

Pgina fotocopiable

6. Escribe los elementos que componen el espacio muestral del experimento lanzar un dado y una moneda.

14

7. Tenemos un dado cuyas caras hemos coloreado. Del 1 al 4 las pintamos de rojo; el 5 y el 6, de verde.
a) Calcula la probabilidad de obtener un nmero par.
b) Calcula la probabilidad de que salga una cara pintada de verde.
c) Calcula la probabilidad de que salga un nmero par pintado de rojo.
Unidad 9

Estadstica y probabilidad

Propuesta de evaluacin

Estadstica y probabilidad

Unidad 9

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIN

Datos

F. absoluta

F. relativa

b) M. aritmtica =

0,2

Moda = 7 y 9

0,25

0,2

0,25

10

0,1

2. a)

Artista

F. absoluta

F. relativa

Camarn

15

0,5

Paco de Luca

0,17

Enrique Morente

0,2

Tomatito

0,13

b)

360
6 = 120
18
360
Karbo: n =
5 = 100
18

16
14
12
10
8
6
4
2
0

Camarn

= 7,8

Paco de Enrique
Luca
Morente

Tomatito

Gaiteiros (2)
Tiburones (6)

40
120
Helios (5)

100

360
5 = 100
18

Gaiteiros: n =

4.

20

c)

3. Tiburones: n =

Helios: n =

6 4 + 7 5 + 8 4 + 9 5 + 10 2

F. absoluta

1. a)

100
Karbo (5)

360
2 = 40
18

Ao

F. absoluta

F. relativa

2005

18 503

0,11

2006

24 644

0,14

2007

33 475

0,19

2008

44 198

0,25

2009

53 306

0,31

174 126

5. Para calcular la calificacin final debemos usar la media ponderada, puesto que el peso de cada examen es distinto.
Nota final =

3 20 + 5 30 + 6 50
60 + 150 + 300
510
=
=
= 51
,
100
100
100

6. E = (1, C), (1, X), (2, C), (2, X), (3, C), (3, X), (4, C), (4, X), (5, C), (5, X), (6, C), (6, X)
3
6

1
2

b)

3
6

1
2

c)

3
6

Pgina fotocopiable

7. a)

Estadstica y probabilidad

Unidad 9

15