Unidad 1.

Los números reales

1. Números racionales e irracionales

Piensa y calcula
Calcula mentalmente el volumen de un cubo de arista 2 m y escribe el valor exacto de la arista de un cubo de volumen 2 m3

Solución:
3
V = 23 = 8 m3 a= 2m

Aplica la teoría
1 Clasifica los siguientes números como racionales o
irracionales: b)
5 13
a) b) π c) 2 d) 1,23456… 2
13
3 3
Solución: 0 1 2 3 4
a) Racional. b) Irracional.
c) Irracional. d) Irracional. 6 Representa gráficamente, de forma aproximada:
3 5
a) 19 b) e c) 25 d) 300
2 Escribe cinco números racionales.
Solución:
Solución: 4,36
a)
2 4 1 0 1 2 3 4 5
9, – 5, , – , –
3 7 8
2,72
b)
3 . Escribe cinco números irracionales. 0 1 2 3 4 5

Solución: 2,92
c)
2 , – 3,
5
7 , π, e 0 1 2 3 4 5
3,13
4 Escribe tres números racionales comprendidos entre d)
1/3 y 1/2 0 1 2 3 4 5

Solución:
5 3 11 7 Calcula:
, ,
12 8 24 2 5
a) 3 – +
3 6
5 . Representa gráficamente, de forma exacta:
5 2 . 5
a) 10 b) 13 b) –
4 3 6

: e – 7o
Solución: 4 8
c)
a) 10 3 5
1 10
e –2+ o
3 4 5 3
d)
0 1 2 3 4 3 6 8

6 Bloque I. Aritmética y álgebra

 Solución: Solución:
19 25 20 19
a) b) c) – d) –
6 36 81 18
1 1

8 Halla de forma exacta la diagonal de un cuadrado de

lado 1 cm y escribe qué tipo de número es. x x–1 1

Solución: x 1 1+ 5 1– 5
a) = òx= ,x=
2 cm Es un número irracional. 1 x –1 2 2
1– 5
9 Un rectángulo mide de largo x y de alto 1; por un lado La solución negativa x = no tiene sentido.
2
le cortamos un cuadrado de lado 1, y se obtiene un
1+ 5
rectángulo semejante. La solución es x =
2
a) ¿Cuánto mide x?
b) Es el número áureo de oro.
b) ¿Qué número conocido es x?
c) Es irracional.
c) ¿x es racional o irracional?

2. La recta real
Piensa y calcula
Representa en la recta real, de forma aproximada, los números 3/4 y 7 = 2,64575131…

Solución:
3/4 7
0 1

Aplica la teoría
10 Representa en la recta real los siguientes pares de
b) {x ∈ R; – 2 < x < 1}
números y calcula la distancia que hay entre ellos.
–2 1
a) – 3 y 2 b) –2,5 y 3,7
0 1
Solución: Intervalo abierto.
–3 2
a) c) {x ∈ R; x > – 3}
0 1 –3
d (– 3, 2) = |2 – (– 3)| = 5 0 1
– 2,5 3,7 Semirrecta, intervalo abierto.
b)
0 1 d) {x ∈ R; x Ì 3}
d (– 2,5; 3,7) = |3,7 – (– 2,5)| = 6,2 –@ 3
0 1
11 Escribe en forma de desigualdad y representa gráfica- Semirrecta, intervalo semiabierto o semicerrado.
mente los siguientes intervalos, y clasifícalos:
a) [2, 5) b) (– 2, 1) 12 Escribe los intervalos que se representan en los
siguientes dibujos:
c) (– 3, +@) d) (– @, 3]
a)
Solución: 0 1
a) {x ∈ R; 2 Ì x < 5} b)
2 5 0 1

0 1 Solución:
Intervalo semiabierto o semicerrado. a) (– ∞, –1) b) [1, 5]

1. Los números reales 7

13 Representa gráficamente los siguientes entornos: 14 Escribe los entornos que se representan en los

a) E(4, 1) b) E *(– 3, 2) c) E *(2, 3) d) E (– 2, 3) siguientes dibujos:

a)
Solución: 0 1
4
a) b)
0 1 3 5 0 1
–3
b) c)
–5 –1 0 1 0 1
2 d)
c) 0 1
–1 0 1 5
–2 Solución:
d)
–5 0 1 a) E (1, 4) b) E *(0, 3) c) E (– 3, 2) d) E *(3, 3)

3. Aproximaciones y errores
Piensa y calcula
¿En qué unidad de medida y con cuántos decimales expresarías las siguientes cantidades?
a) La altura de la clase. b) El grosor de la mina de un lápiz.

Solución:
a) En metros; dos decimales. b) En milímetros; un decimal.

Aplica la teoría

15 Redondea a dos cifras decimales y calcula la parte 17 Trunca a dos cifras decimales los siguientes números:
entera y decimal de los siguientes números: 44
a) b) 23,99567
7
3 1+ 5
a) 5,4763 b) – π c) – 5 d) e c) 28 d)
2
Solución:
Solución:
a) 6,28 b) 23,99 c) 3,03 d) 1,61
a) 5,48 Parte entera: 5 Parte decimal: 0,48
b) – 3,14 Parte entera: – 4 Parte decimal: 0,86 18 Halla el error absoluto y relativo que se comete al aproxi-
c) – 2,24 Parte entera: – 3 Parte decimal: 0,76 mar con dos cifras decimales los siguientes números:
d) 2,72 Parte entera: 2 Parte decimal: 0,72 76 4
a) b) 5 c) π d) 26
13
Solución:
16 Redondea a dos cifras decimales los siguientes núme- a) Error absoluto: 0,0038 Error relativo: 0,00066
ros y di cuáles de las aproximaciones son por defecto b) Error absoluto: 0,0039 Error relativo: 0,0018
y cuáles por exceso:
c) Error absoluto: 0,0016 Error relativo: 0,00051
d) Error absoluto: 0,0019 Error relativo: 0,00084
44
a) b) 23,99567
7
19 Expresa en notación científica los siguientes números:
3 1+ 5 a) 567 000 000 b) 1 234 000 000
c) 28 d)
2
c) 0,00000005678 d) 0,000085
Solución: Solución:
a) 6,29; por exceso. b) 24; por exceso. a) 5,67 · 108 b) 1,234 · 109
c) 3,04; por exceso. d) 1,62; por exceso. c) 5,678 · 10– 8 d) 8,5 · 10– 5

8 Bloque I. Aritmética y álgebra

20 Expresa en notación decimal los siguientes números:
Solución:
a) 3,56 · 109 b) 1,23 · 10– 7 a) 1,7066 · 1012 b) 2,26 · 1013
c) 7,456 · 105 d) 9,99 · 10– 6
Solución: 22 Se define un año luz como la distancia que recorre
a) 3 560 000 000 b) 0,000000123 la luz en un año. Sabiendo que la velocidad de la luz
c) 745 600 d) 0,00000999 es de 300 000 km/s, calcula los kilómetros a los que
equivale un año luz y expresa el resultado en notación
científica.
21 Opera y expresa en notación científica:
Solución:
a) 2,3 · 1018 · 7,42 · 10–7
300 000 · 365 · 24 · 60 · 60 = 9,4608 · 1012
b) 7,9 · 108 : (3,5 · 10–5)

4. Sucesiones de números reales

Piensa y calcula
Escribe tres términos más en las siguientes sucesiones:
a) 2, 6, 10, 14… b) 1, 2, 4, 8… c) 3, – 3, 3, – 3… d) 1, 1, 2, 3, 5…

Solución:
a) 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26… b) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64… c) 3, – 3, 3, – 3, 3, – 3, 3… d) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

Aplica la teoría
23 Añade tres términos en cada una de las sucesiones 26 Representa los primeros términos de las siguientes
siguientes: sucesiones e indica el valor al que tienden:
a) 3, 7, 11, 15… b) 5, 10, 20, 40… 1
c) 1, 4, 9, 16, 25… d) 1, – 3, 5, – 7, 9… a) an = b) an = n2
n

Solución: 2n + 1
c) an = d) an = (– 1)n n
n
a) 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27…
b) 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320… Solución:
c) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64… a)
Y
d) 1, – 3, 5, – 7, 9, – 11, 13, – 15…

24 Escribe los cuatro primeros términos de las siguientes X

sucesiones:
a) an = 2n b) an = 2n + 3 1
lím =0
n n8+@ n
d) an = 3 e o
1
c) an = (– 1)n (n + 1)
2
b) Y
Solución:
a) 2, 4, 8, 16 b) 5, 7, 9, 11
3 3 3 3
c) – 2, 3, – 4, 5 d) , , ,
2 4 8 16

25 Halla el término general de las siguientes sucesiones:

a) 2, 4, 6, 8, 10… b) 1, 4, 9, 16, 25… X

Solución:
lím n2 = + @
a) an = 2n b) an = n2 n8+@

1. Los números reales 9

 c) Y d) Y

X
X
2n + 1
lím =2
n8+@ n

No existe el lím (–1) n n

n8+@
Los valores de la sucesión oscilan de negativo a
positivo en cada término haciéndose cada vez más
grandes en valor absoluto.

5. Radicales y operaciones
Piensa y calcula
Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos:
3 4 x 4
a) 8 = x b) x = 10 c) 32 = 2 d) 81 = x

Solución:
a) x = 2 b) x = 10 000 c) x = 5 d) x = ± 3

Aplica la teoría
27 Calcula mentalmente todas las raíces reales de los 31 Suma los siguientes radicales:
siguientes radicales: a) 5 8 – 3 50 + 98
4 3 5
a) 16 b) –125 c) –25 d) 32 3
b) 4 40 + 625 – 2 135
3 3

Solución: Solución:
a) ± 2 b) – 5 a) 7 2 b) 7 5
3

c) No tiene solución real. d) 2

32 Opera los siguientes radicales:
28 Escribe en forma de radical las siguientes potencias: 3 3 5 5
a) 20 . 12 b) 8 . 64
a) 73/4 b) 5–1/4 c) 3–5/7 d) 21/3 3 3 5 5
c) 12 : 6 d) 12 : 16
Solución:
4 1 1 3 Solución:
a) 73 b) 4
c) 7
d) 2 3 5 3 5
5 35 a) 2 30 b) 2 16 c) 2 d) 3/4

29 Escribe en forma de potencia los siguientes radicales: 33 Las expresiones que están como potencia pásalas a ra-
7 1 5 1 dical y las que están como radical pásalas a potencia:
a) 52 b) c) 3 d)
a) ^ 5 7 h d) ^ 7 5 h
6 3 2 3 4 2
11 5
2 b) 65 c) 53
Solución: Solución:
b) ^ 3 6 h c) ^ 4 5 h
a) 52/7 b) 11– 5/6 c) 31/5 d) 2– 1/3 5 5 3 7
a) 72 d) 52

30 Extrae mentalmente todos los factores que se pueda 34 Expresa con un solo radical las siguientes expresiones:
en los siguientes radicales: 3 3 3 4

a) 18 b) 20 c) 27 d) 72 a) 5 b) 8 c) 7 d) 5

Solución: Solución:
4 6 12
a) 3 2 b) 2 5 c) 3 3 d) 6 2 a) 5 b) 2 c) 7 d) 5

10 Bloque I. Aritmética y álgebra

 5^ 7 – 3h
35 Racionaliza las siguientes expresiones:
5 7 5 2– 3 c) d) 7 – 4 3
a) b) 5 c) d) 4
3 133 7+ 3 2+ 3
36 Halla la diagonal de un ortoedro cuyas aristas miden
Solución: 5 m, 4 m y 3 m
5
5 3 7 132 Solución:
a) b)
3 13
52 + 42 + 32 = 5 2 = 7,07 m

6. Logaritmos
Piensa y calcula
Halla el valor de x en los siguientes casos:
a) 23 = x b) x3 = 125 c) 2x = 32 d) 103 = x e) x4 = 10 000 f) 10x = 1 000 000

Solución:
a) x = 8 b) x = 5 c) x = 5 d) x = 1 000 e) x = 10 f) x = 6

Aplica la teoría
37 Halla mentalmente el valor de x en los siguientes 41 Sabiendo que log 2 = 0,3010 y aplicando las propieda-
casos: des de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos
a) 26 = x b) x5 = 32 c) 2x = 128 sin utilizar la calculadora:
d) 106 = x e) x4 = 10 000 f) 10x = 1 000 a) log 4 b) log 5 c) log 8 d) log 5

Solución: Solución:
a) x = 64 b) x = 2 a) log 4 = log 22 = 2 log 2 = 0,6020
c) x = 7 d) x = 1 000 000 10
b) log 5 = log = 1 – log 2 = 0,6990
e) x = 10 f) x = 3 2
c) log 8 = log 23 = 3 log 2 = 0,9030
38 Calcula mentalmente los siguientes logaritmos: 1 1
d) log 5 = log 5 = 0,699 = 0,3495
a) log2 32 b) log3 1 2 2
1
c) log5 d) log 100 42 Utilizando la calculadora y las propiedades de los
25
logaritmos, halla:
Solución:
a) log 2,517 b) log 0,0234–25
a) 5 b) 0 c) – 2 d) 2 5 6
c) log 87,012 d) log 0,0987
39 Calcula mentalmente la parte entera de los siguientes
Solución:
logaritmos:
a) 6,7650 b) 40,7696
a) log2 50 b) log3 36
c) 0,3879 d) – 0,1676
c) log5 98,75 d) log 5 678,24

Solución: 43 Utilizando la calculadora y la fórmula del cambio de

a) 5 b) 3 c) 2 d) 3 base, halla los siguientes logaritmos y redondea los
resultados a cuatro decimales:
40 Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos: a) log2 51,27 b) log3 8,431
a) log 725,263 b) log 0,00356 c) log5 0,034 d) log7 1 000
c) ln 24,6845 d) ln 0,000765
Solución:
Solución: a) 5,6800 b) 1,9406
a) 2,8605 b) – 2,4486 c) 3,2062 d) – 7,1756 c) – 2,1010 d) 3,5499

1. Los números reales 11

Ejercicios y problemas propuestos
1. Números racionales e irracionales 48 Calcula:

:e – 5+ o d – 3+ n
3 1 1 5 1 13
44 Clasifica los siguientes números como racionales o a) b)
4 6 2 3 8 6
irracionales:
3 Solución:
a) 3 b) c) e d) 25 9 85
7 a) – b) –
52 72
Solución:
a) Irracional. 49 Halla de forma exacta la arista de un cubo de volumen
b) Racional. 5 cm3 y escribe qué tipo de número es.
c) Irracional.
Solución:
d) Racional. 3
5 cm es un número irracional.
45 Escribe tres números racionales comprendidos entre
los siguientes: 2/5 y 3/5
2. La recta real
Solución:
1 9 11 50 Representa en la recta real los siguientes pares de
, , números y calcula la distancia que hay entre ellos.
2 20 20
a) – 5 y – 2 b) –2,4 y 3,5
46 Representa gráficamente de forma exacta:
Solución:
a) 5 –5 –2
a)
0 1
b) 34
d (– 5, – 2) = | – 2 – (– 5)| = 3
Solución: – 2,4 3,5
b)
a) 0 1
5
1 5 d (– 2,4; 3,5) = | 3,5 – (– 2,4) | = 5,9
2
0 1 2 3 4
51 Escribe en forma de desigualdad y representa gráfica-
b) mente los siguientes intervalos, y clasifícalos:
a) (– 1, 3] b) [– 2, 1]
34
3 c) [2, + @) d) (– @, –1)
34
5 Solución:
0 1 2 3 4 5 6 a) {x ∈ R; – 1 < x Ì 3}
–1 3
47 Representa gráficamente de forma aproximada: 0 1
a) 13 b) π Intervalo semiabierto o semicerrado.
3 5 b) {x ∈ R; – 2 Ì x Ì 1}
c) 50 d) 100 –2 1
Solución: 0 1
3,61
a) Intervalo cerrado.
0 1 2 3 4 5 c) {x ∈ R; x ≥ 2}
3,14 2
b)
0 1 2 3 4 5 0 1
3,68 Semirrecta, intervalo semiabierto o semicerrado.
c)
0 1 2 3 4 5 d) {x ∈ R; x < – 1}
–1
2,51
d) 0 1
0 1 2 3 4 5
Semirrecta, intervalo abierto.

12 Bloque I. Aritmética y álgebra

52 Escribe los intervalos que se representan en los siguien- Solución:
tes dibujos y clasifícalos:
a) – 4,68
a) Parte entera: – 5 Parte decimal: 0,32
0 1
b) 3,14
b) Parte entera: 3 Parte decimal: 0,14
0 1
c) 1,41
c)
0 1 Parte entera: 1 Parte decimal: 0,41
d) d) – 2,72
0 1 Parte entera: – 3 Parte decimal: 0,28
Solución: 56 Redondea a dos cifras decimales los siguientes números
a) (– 3, + @) y di cuáles de las aproximaciones son por defecto y
Semirrecta, intervalo abierto. cuáles por exceso:
b) (– 3, 4) 43
Intervalo abierto. a) 6 b) 83,7967
c) (– @, 4] 5
Semirrecta, intervalo semiabierto o semicerrado. c) 97 d) e
d) [– 4, – 1) Solución:
Intervalo semiabierto o semicerrado. a) 7,17; por exceso. b) 83,80; por exceso.
c) 2,49; por defecto. d) 2,72; por exceso.
53 Representa gráficamente los siguientes entornos:
a) E *(3, 2) b) E (– 1, 3) c) E (1, 2) d) E * (– 2, 1) 57 Trunca a dos cifras decimales los siguientes números:
43 5
Solución: a) 6 b) 83,7967 c) 97 d) e
3 5
a)
0 1 Solución:
–1 a) 7,16 b) 83,79 c) 2,49 d) 2,71
b)
–4 0 1 2
1 58 Halla el error absoluto y relativo que se comete al aproxi-
c) mar con dos cifras decimales los siguientes números:
–1 0 1 3
23 3
–2 a) b) 7 c) e d) 86
d) 11
–3 –1 0 1
Solución:
54 Escribe los entornos que se representan en los siguien- a) Error absoluto: 0,00091 Error relativo: 0,00043
tes dibujos: b) Error absoluto: 0,0042 Error relativo: 0,0016
c) Error absoluto: 0,0017 Error relativo: 0,00063
a)
0 1 d) Error absoluto: 0,004 Error relativo: 0,00091
b)
0 1 59 Expresa en notación científica los siguientes números:
c) a) 987 600 000 b) 567 800 000
0 1
c) 0,00003902 d) 0,006783
d)
0 1
Solución:
Solución: a) 9,876 · 108 b) 5,678 · 108
–5
a) E(2, 3) b) E *(1, 4) c) E *(– 3, 2) d) E(3, 3) c) 3,902 · 10 d) 6,783 · 10– 3

60 Expresa en notación decimal los siguientes números:

a) 9,845 · 108 b) 5,44 · 10– 5
3. Aproximaciones y errores
c) 3,2 · 104 d) 7,087 · 10– 7
55 Redondea a dos cifras decimales y calcula la parte ente-
ra y decimal de los siguientes números: Solución:
a) – 4,67506 b) π a) 984 500 000 b) 0,0000544
c) 32 000 d) 0,0000007087
c) 2 d) – e

1. Los números reales 13

61 Opera y expresa el resultado en notación científica: 5. Radicales y operaciones
a) 3,450
66 Calcula mentalmente todas las raíces reales de los
b) 0,991 000
siguientes radicales:
c) 7,56 · 1018 + 2,35 · 1017
4 4 7 5
d) 6,45 · 1023 : (2,63 · 10–15) a) 625 b) – 81 c) –128 d) 243

Solución: Solución:
a) 3,75 · 1026 b) 7,795 · 1018 a) ± 5 b) No tiene solución real. c) – 2 d) 3
–5 38
c) 4,32 · 10 d) 2,45 · 10
67 Escribe en forma de radical las siguientes potencias:

4. Sucesiones de números reales a) 5 – 2/3 b) 31/5 c) 23/4 d) 7 –1/5

62 Añade tres términos en cada una de las sucesiones: Solución:

a) 5, – 7, 9, –11, 13… b) 2, 5, 10, 17… 1 5 4 1
a) 3 b) 3 c) 23 d) 5
Solución: 52 7

a) 5, – 7, 9, – 11, 13, – 15, 17, – 19…

b) 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50… 68 Escribe en forma de potencia los siguientes radicales:
5 1 3 1
a) 73 b) c) 5 d)
63 Escribe los cuatro primeros términos de las siguientes 4
11
7
35
sucesiones:
a) an = 2n + 1 b) an = (– 1)n n (n + 1) Solución:
a) 73/5 b) 11– 1/4 c) 51/3 d) 3– 5/7
Solución:
a) 3, 5, 7, 9… b) – 2, 6, – 12, 20… 69 Extrae mentalmente todos los factores que se pueda en
los siguientes radicales:
64 Halla el término general de las siguientes sucesiones:
1 1 1 1 a) 32 b) 45 c) 50 d) 75
a) 1, 3, 5, 7, 9… b) , , , ···
2 5 8 11
Solución: Solución:
1 a) 4 2 b) 3 5 c) 5 2 d) 5 3
a) an = 2n – 1 b) an =
3n – 1
70 Suma los siguientes radicales:
65 Representa los primeros términos de las siguientes su-
cesiones e indica el valor al que tienden: a) 4 27 – 2 12 – 75
n+1 1 3
b) 5 16 + 2 54 – 3 250
3 3
a) an = b) an = 3 + (–1)n
n2 n
Solución: Solución:
3
a) Y a) 3 3 b) 2

71 Multiplica los siguientes radicales:

X 4 4 7 7
a) 60 . 24 b) 16 . 128
n+1
lím =0 Solución:
n8+@ n2 4 7
a) 2 90 b) 2 24
b) Y

72 Divide los siguientes radicales:

5 5 6 6
X a) 40 : 5 b) 24 : 36

lím d 3 + (–1) n n=3

1 Solución:
5 6
n8+@ n a) 8 b) 2/3

14 Bloque I. Aritmética y álgebra

 Ejercicios y problemas propuestos
73 Transforma los radicales siguientes. Los que están 77 Calcula mentalmente los siguientes logaritmos:
como potencia pásalos a radical y los que están como 1
radical pásalos a potencia: a) log2 1 b) log3 c) log5 25 d) log 0,0001
9
a) _ 3 5 i d) _11 13 i
2 5 7 5
b) 72 c) 35 Solución:
a) 0 b) – 2 c) 2 d) – 4
Solución:
b) _ 5 7 i c) _ 7 3 i
3 2 5 11
a) 52 d) 135 78 Calcula mentalmente la parte entera de los siguientes
logaritmos:
74 Expresa en forma de un solo radical las siguientes a) log2 27 b) log5 18,27 c) log 78,24
expresiones:
3 3 4 3 Solución:
a) 3 b) 64 c) 5 d) 7
a) 4 b) 1 c) 1
Solución:
a)
4
3 b) 2 c)
6
5 d)
12
7 79 Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos
y redondea los resultados a cuatro decimales:
75 Racionaliza las siguientes expresiones: a) log 86,233 b) log 0,0874 c) ln 765,023
2 3 3 Solución:
a) b) 7
c)
7 5 2 5 – 2 a) 1,9357 b) – 1,0585 c) 6,6399 d) – 4,3949
Solución:
7 80 Utilizando la calculadora y las propiedades de los loga-
2 7 3 55
a) b) c) 5+ 2 ritmos, halla los siguientes logaritmos y redondea los
7 5
resultados a cuatro decimales:
4
a) log 5,712 b) log 0,567 – 15 c) log 345,98

Solución:
6. Logaritmos a) 9,0705 b) 3,6963 c) 0,6348

76 Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos: 81 Utilizando la calculadora y la fórmula del cambio de
a) 33 = x b) x3 = 125 base, halla los siguientes logaritmos y redondea los
c) 3x = 81 d) 103 = x resultados a cuatro decimales:
e) x2 = 100 f) 10x = 1 000 000 a) log2 7,3456 b) log3 45,987
c) log5 0,3054 d) log7 0,056712
Solución:
a) x = 27 b) x = 5 c) x = 4 Solución:
d) x = 1 000 e) x = ± 10 f) x = 6 a) 2,8769 b) 3,4847 c) – 0,7370 d) – 1,4748

Para ampliar
82 ¿Qué números enteros tienen inverso entero? 84 Clasifica los números como racionales o irracionales:
3 3 3
Solución: a) 5 – 3 b) – c) π + e d) – 64
7 5
El 1 y el – 1; cada uno es inverso de sí mismo. Solución:
a) Irracional. b) Racional.
83 Halla el opuesto y el inverso de: c) Irracional. d) Racional.
2
a) b) –5 85 Escribe en forma de intervalo las desigualdades:
3
a) 2 Ì x Ì 5 b) x > 3 c) x < 4
Solución:
a) El opuesto es – 2/3 y el inverso es 3/2 Solución:
b) El opuesto es 5 y el inverso es – 1/5 a) [2, 5] b) (3, + @) c) (– @, 4)

1. Los números reales 15

86 Escribe en forma de entorno las siguientes desigualdades: 90 Calcula, aplicando la fórmula de cambio de base, los
a) | x – 2 | < 3 b) | x | < 2,5 siguientes logaritmos y redondea el resultado a cuatro
decimales:
c) | x + 3 | < 2 d) | x + 1| < 3,2
a) log1/2 15,87
Solución: b) log1/3 345,769
a) E (2, 3) b) E (0; 2,5) c) E (– 3, 2) d) E (– 1; 3,2) c) log1/5 0,0006

Solución:
87 Representa gráficamente los conjuntos dados por las
a) – 3,9882 b) – 5,3211 c) 4,6094
siguientes expresiones:
a) | x | = 3 b) | x | < 3 c) | x | Ì 3 d) | x | > 3

Solución:
Con calculadora
–3 3 91 Halla con la calculadora el valor de los siguientes núme-
a)
0 1 ros redondeando a 5 cifras:
–3 3
b) 1+ 5 7
0 1 a) π b) e c) ϕ = d) 5
2
–3 3 Solución:
c)
0 1 a) 3,14159 b) 2,71828 c) 1,61803 d) 1,25850
–3 3
d)
0 1 92 Halla el valor de los siguientes resultados y redondea el
resultado a cinco decimales:
88 Suma los siguientes radicales: a) 1,0000011 000 000 b) 0,9999991 000 000
a) 3a 8a3 – 5 18a5 + 7a 50a3 Solución:
3 3 3
8
b) 7 16x + 5 54x – 2 128x 5 2 a) 2,71828 b) 0,36788

Solución: 93 Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos;

a) 26a 2 2a redondea los resultados a cuatro decimales:
b) (14x2 + 15x – 8) 2x2
3
a) log π b) log e c) ln π d) ln 10

Solución:
89 Racionaliza las siguientes expresiones:
a) 0,4971 b) 0,4343 c) 1,1447 d) 2,3026
a b a a+ b
a) b) 7
c) d) 94 Utilizando la calculadora, halla:
a a 2 a – b a– b
a) ππ b) ee c) πe d) eπ
Solución:
b a5
7
a + ab a2 + 2a b + b Solución:
a) a b) c) d) a) 36,4622 b) 15,1543 c) 22,4592 d) 23,1407
a a–b a2 – b

Problemas
95 Halla de forma exacta la longitud de una circunferencia
de diámetro 1 m. ¿Qué clase de número es?
A
D
Solución: B C
L=πm
E
Es un número irracional. G
F

96 La siguiente figura se conoce con el nombre de tangram. Solución:

Si el lado del cuadrado mide 1 m, halla el área de cada 1 1 2 1 2
A = B = m2 C=F= m D=E=G= m
una de las figuras que lo componen. 4 16 8

16 Bloque I. Aritmética y álgebra

 Ejercicios y problemas propuestos
97 Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extremos Solución:
sean números enteros, que contenga al número π
^ 5– 2 h^ 5 + 2 h = 5 – 2 = 3
Solución:
(3, 4) 105 Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extremos sean
números enteros, que contenga a log 525
98 La longitud de una finca rectangular es 15 m y el perí- Solución:
metro es inferior a 50 m. ¿Qué valores puede tomar el
ancho de la finca? (2, 3)

Solución: 106 De dos números se sabe que log x + log y = 0. ¿Qué

2x + 30 Ì 50 ⇒ 0 < x Ì 10 relación hay entre x e y ?

Solución:
99 Si tomamos como valor de π al dado por Arquímedes de
22/7, ¿qué error absoluto y relativo estamos cometiendo? log xy = log 1
1
xy = 1 ⇔ y =
Solución: x
Error absoluto: 0,0013 Error relativo: 0,0004 Es decir, son inversos.

107 Sabiendo que log 5 = 0,6990 y aplicando las propieda-

100 Calcula las siguientes potencias redondeando los resulta-
des de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin
dos a cinco decimales. ¿A qué número real muy conocido
utilizar la calculadora:
se aproximan los valores que se van obteniendo?
a) log 2 b) log 25
a) 1,110 b) 1,01100
c) log 4 d) log 5
c) 1,0011 000 d) 1,000110 000
e) 1,00001100 000 f) 1,0000011 000 000 Solución:
10
Solución: a) log 2 = log = 1 – log 5 = 0,3010
5
a) 2,59374 b) 2,70481 c) 2,71692 2
b) log 25 = log 5 = 2 log 5 = 1,3980
d) 2,71815 e) 2,71827 f) 2,71828 c) log 4 = log 22 = 2 log 2 = 0,6020
Se aproximan hacia el número e log 5
d) log 5 = = 0,3495
2
101 Se construye un recipiente de un litro para envasar leche.
Si el envase tiene forma de prisma rectangular de medidas 108 Una célula se reproduce por bipartición cada hora.
9,6 cm × 6,3 cm × 16,6 cm, ¿qué error relativo estamos ¿Cuántos días tardará en sobrepasar el billón?
cometiendo?
Solución:
Solución:
2x = 1012
Volumen: 9,6 · 6,3 · 16,6 = 1 003,968 cm3 = 1,003968 L
x log 2 = 12
Error relativo: 0,003968
12
x= = 39,86
102 Halla la fórmula del área de un triángulo equilátero log 2
cuyo lado mide a cm Tardará casi 2 días.

Solución: 109 Un coche deportivo cuesta 70 000 € y se devalúa cada

a2 2 año un 15 %. ¿Cuántos años tardará en valer menos de
Área = 3 cm
4 10 000 €?

103 Halla la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide x  m Solución:

70 000 · 0,85x = 10 000
Solución:
7 · 0,85x = 1
d=x 2m log 7 + x log 0,85 = 0
x log 0,85 = – log 7
104 Demuestra que el producto de dos números irracio- log 7
nales no es siempre irracional, resolviendo el siguiente x=– = 11,97
log 0,85
contraejemplo: halla un número irracional que al multi-
Tardará casi 12 años.
plicarlo por el número irracional 5 – 2 sea racional.

1. Los números reales 17

Para profundizar 113 Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extremos sean
números enteros, que contenga al número áureo o de
110 Sabiendo que los triángulos ABC y ADE son semejantes, oro:
calcula el valor de x. ¿Qué número conocido es x? ¿Es 1+ 5
racional o irracional? f=
2
A
Solución:
1 (1, 2)

114 En informática 1 Kb = 210 bytes, si se toma por aproxi-

D x– mación 1 Kb = 1 000 bytes, ¿qué error absoluto y rela-
1 x tivo estamos cometiendo?
E
Solución:
210 = 1024
Error absoluto: 24 Error relativo: 0,023
1
B C
115 Si tomamos como valor de π el dado por Métius de
355/113, ¿qué error absoluto y relativo estamos come-
Solución: tiendo?
x 1 1+ 5 1– 5
= ⇒x= , x= Solución:
1 x –1 2 2
1– 5 Error absoluto: 0,00000027 Error relativo: 0,000000085
La solución negativa x = no sirve.
2
116 Si para hallar la longitud del Ecuador se toma 6 400 km
1+ 5
La solución es x = como radio de la Tierra y 3,14 como valor de π, ¿qué
2
error relativo estamos cometiendo, sabiendo que mide
Es el número áureo o de oro. 40 000 km?
Es irracional.
Solución:
Longitud aproximada: 40 192 km
111 Los números racionales son densos. Veamos dos for-
mas de demostrarlo: Error absoluto: 192 km Error relativo: 0,0048

a) Halla la media aritmética entre 2/3 y 4/5, comprueba 117 La masa de la Tierra es 5,98 · 1024 kg, y la del Sol,
que es racional y que está en el intervalo (2/3, 4/5) 1,98 · 1030 kg. ¿Cuántas veces es mayor la masa del Sol
que la de la Tierra?
b) Halla el número que se obtiene al sumar entre sí
los numeradores y los denominadores de 2/3 y 4/5, Solución:
comprueba que es racional y que está en el intervalo
1,98 · 1030 : (5,98 · 1024) = 331 103,68 veces
(2/3, 4/5)
118 Halla la fórmula del área del siguiente tetraedro regular,
Solución: cuya arista mide a cm
2 2
a) = 0,6666666666 b) = 0,6666666666
3 3
11 6 3
= 0,7333333333 = = 0,75
15 8 4
4 4
= 0,8 = 0,8 a
5 5

112 Escribe el menor intervalo cerrado, cuyos extremos

sean números enteros, que contenga al número e

Solución: Solución:
[2, 3] A = a2 3

18 Bloque I. Aritmética y álgebra

 Ejercicios y problemas propuestos
119 Halla la fórmula del área del siguiente octaedro regular, b) Un A2 es la mitad de un A1, un A3 es la mitad de un
cuya arista mide a cm A2, y un A4 es la mitad de un A3. Calcula de forma
a aproximada hasta los milímetros las dimensiones de
un A4 (el A4 es el sustituto del folio, por la seme-
janza entre todos los A…; esta semejanza permite
hacer fotocopias reduciendo o ampliando y mante-
niendo las proporciones del texto y/o dibujo y los
márgenes).

Solución:
a)

Solución:
x
A = 2a2 3
x/2
120 Halla la fórmula del área del siguiente icosaedro regular,
cuya arista mide a cm y y
2
x y x
= ⇔ = y2
a y x /2 2
1
Además: xy = 1 ⇒ y =
x
x2 1
= 2 ⇔ x4 = 2
2 x
4 1
x = 2, y = 4
2
b) 297 mm × 210 mm

124 Sabiendo que log 3 = 0,4771 y aplicando las propieda-

Solución: des de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin
A = 5a2 3 utilizar la calculadora:
a) log 30 b) log 900
121 Halla el volumen de un tetraedro cuya arista mide a cm 5
c) log 1/3 d) log 270
Solución:
Solución:
a3 2
V= a) log 30 = log 3 · 10 = log 3 + log 10 = 1,4771
12
b) log 900 = log 32 · 100 = 2 log 3 + log 100 = 2,9542
122 Halla el volumen de un octaedro cuya arista mide a cm log 3
c) log 1 / 3 = – = – 0 ,2 3 8 6
2
Solución:
5 log (33 . 10) 3 log 3 + log 10
a3 2 d) log 270 = = = 0,4863
V= 5 5
3
125 Sabiendo que log 45 = 1,6532 y aplicando las propieda-
123 Un papel A0 mide 1 m2, y cuando se corta a la mitad
des de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin
da origen a un A1 que tiene la particularidad de que es
utilizar la calculadora:
semejante al anterior.
a) log 4,5 b) log 450
3
c) log 45 d) log 4 500

x Solución:
x
– a) log 4,5 = 0,6532
2 b) log 450 = 2,6532
y y c) log 45 = 0,8266
3 3,6532
a) Calcula de forma exacta la longitud y la anchura de un d) log 4 500 = = 1,2177
3
papel de formato A0

1. Los números reales 19

Windows/Linux

Practica
134 Calcula:
Solución:
a) 5 – 2 . 5 b) 4 : d 8 – 7 n a) 7 3 b) – 72 5
4 3 6 3 5
Solución: 139 Racionaliza:
10 5
a) 25 b) – 20 a) b)
36 81 5 14 – 13
135 Halla las expresiones decimales, con 14 dígitos, de
Solución:
los siguientes números y clasifícalos como periódi- a) 2 5 b) 5 14 + 5 13
cos o irracionales:
140 Calcula:
a) 531 c) 251
7
b) 53 d) π a) ln 87,34 b) log 456,208
110 7
c) log2 0,00345 d) log27 890,45
Solución:
a) 4,827272727272727 Solución:
Periódico. ⇒ Racional. a) 4,4698 b) 2,659
b) 1,9932353156382018 c) – 8,179 d) 2,060
No periódico. ⇒ Irracional.
c) 35,857142857142857142 Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de
Periódico. ⇒ Racional. Wiris:
d) 3,1415926535914039 141 Halla la arista de un cubo de 5 dm3 de volumen.
No periódico. ⇒ Irracional.
Solución:
136 Calcula los 10 primeros términos de las siguientes Arista: 1,71 dm
sucesiones:
a) an = 2n b) an = 2n + 3
142 Mediante ensayo-acierto halla el término general
d) an = 3 d n
n 1 n de las siguientes sucesiones y luego calcula los 10
c) an = (–1) (n + 1)
2 primeros términos para comprobarlo.
Solución: a) 3, 7, 11, 15… b) 5, 10, 20, 40…
a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024 c) 1, 4, 9, 16, 25… d) 1, – 3, 5, – 7, 9…
b) 5, 7, 9, 11 ,13, 15, 17, 19, 21, 23 Solución:
c) – 2, 3, – 4, 5, – 6, 7, – 8, 9, – 10, 11 a) an = 4n – 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39
d) 2 , , 8 , , , , , , ,
4 16 32 64 128 256 512 1 024 b) an = 5 · 2n – 1
5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1 280, 2 560
137 Calcula los límites siguientes:
c) an = n2
1
a) lím n b) lím n 2 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
n 8 +@ n 8 +@
2n + 1 3n 2 + 5 d) an = (– 1)n + 1(2n – 1)
c) lím n d) l í m 2 1, – 3, 5, – 7, 9, – 11, 13, – 15, 17, – 19
n 8 +@ n 8 +@ n – 4n + 1

Solución: 143 Un yate cuesta 4,5 · 105 € y se devalúa cada año

a) 0 b) + @ c) 2 d) 3 un 18 %. ¿Cuántos años tardará en valer menos de
10 000 €?
138 Calcula:
Solución:
a) 7 27 – 5 192 + 2 507 4,5 · 105 · 0,82x = 10 000
b) 2 125 – 14 320 + 3 500 x = 19,18188200 años

20 Bloque I. Aritmética y álgebra