ECUACIONES DIFERENCIALES

TABLA DE INTEGRALES

EMI

Tabla de integrales
Formas elementales
1. du = u + c
2.
3.

a du = au + c
[ f (u) + g (u )]du = f (u )du + g (u )du

4.

n
u du =

5.

u n +1
+c
n +1

(n 1)

du
= ln u + c
u

Formas racionales que contienen a + bu

u du
1
6.
= 2 [a + bu a ln a + bu ] + c
a + bu b

u 2 du 1 1
2
7.
= 3 (a + bu ) 2a (a + bu ) + a 2 ln a + bu
a + bu b 2

u du
1 a
8.
= 2
+ ln a + bu + c
2
(a + bu ) b a + bu

u 2 du

1
a2
= 3 a + bu
2a ln a + bu + c
a + bu
b

a
1
1
= 2

+c
2
a + bu
b 2(a + bu )

9.

(a + bu )

10.

(a + bu )

11.

u (a + bu ) = a ln a + bu

12.

u (a + bu ) = au + a

13.

u (a + bu )

u du

+ c

du

du

du

+c

b
2

ln

a + bu
+c
u

u
1
1
+ 2 ln
+c
a (a + bu ) a
a + bu

a + bu
2
14. u a + bu du =
(3bu 2a )(a + bu ) 32 + c
3
15b
3
2
15b 2 u 2 12abu + 8a 2 (a + bu ) 2 + c
15. u 2 a + bu du =
3
105b

Formas que contienen

2u n (a + bu ) 2
2an
16. u a + bu du =

u n 1 a + bu du

b(2n + 3)
b(2n + 3)
u du
2
17.
= 2 (bu 2a ) a + bu + c
a + bu 3b
3

Ing. M. Sc. Omar Montao Guevara

ECUACIONES DIFERENCIALES
TABLA DE INTEGRALES

EMI
18.
19.

2u n a + bu
u n du
u n 1 du
2an
=

b(2n + 1)
b(2n + 1) a + bu
a + bu

du
20.
=
u a + bu

21.

22.

23.

u 2 du
2
=
3b 2 u 2 4 abu + 8 a 2
15 b 3
a + bu

a + bu + c

a + bu a
1
+c
ln
a
a + bu + a

si a > 0

a + bu
2
+c
arctan
a
a

si a < 0

a + bu
b(2n 3)
du
du
=

n 1

n 1
2a (n 1) u
a (n 1)u
a + bu
a + bu

a + bu du
u
a + bu du
un

= 2 a + bu + a

(a + bu ) 2
=
a (n 1)u n 1

du
u a + bu

a + bu du
b(2n 5)
2a(n 1)
u n 1

Formas que contienen a 2 u 2

24.

1
du
u
= arctan + c
2
a
a
+u

u+a
1
du
25. 2
ln
=
+c=
2
2a u a
a u

26.

ua
1
du
u 2 a 2 = 2a ln u + a + c =

Formas que contienen

u
1
arctan h + c
a
a
1
u
arc coth + c
a
a

1
u
arctan h + c
a
a
1
u
arc coth + c
a
a

si u < a
si u > a

si u < a
si u > a

u2 a2

En las frmulas 27 a 38 se puede sustituir

Ing. M. Sc. Omar Montao Guevara

ECUACIONES DIFERENCIALES
TABLA DE INTEGRALES

EMI
(

ln u + u 2 + a 2

) por

u
a
u
por arccos h
a

ln u + u 2 a 2

ln

a + u2 + a2

por arcsenh

27.

28.

du
u a
2

31.
32.

a
u

= ln u + u 2 a 2 + c

u 2
a2
u a2
ln u + u 2 a 2 + c
2
2
u
a4
u 2 a 2 du = (2u 2 a 2 ) u 2 a 2
ln u + u 2 a 2 + c
8
8

u 2 a 2 du =

29. u 2
30.

arcsenh

u 2 + a 2 du

u 2 a 2 du

u
u a 2 du

u2 a2

u
u du
2

= u 2 a 2 a arc sec

a + u2 + a2

= u 2 + a 2 a ln

u
+c
a

+ ln u + u 2 a 2 + c

u 2
a2
u a2
ln u + u 2 a 2 + c
2
2

33.

34.

2
2
1 a+ u +a
ln
=

+c
u u2 + a2 a
u

35.

u2 a2
du

du

u a
2

du

36.

37.

(u

38.

u2 a2

(u

a2
du

a2

du =
=

1
1
arc sec + c
a
a

du
a u
2

u2 a2
a 2u

+c

u
2u 2 5a 2
8
u

a2 u2 a2

Formas que contienen

39.

+c

u2 a2 +

3a 4
ln u + u 2 a 2 + c
8

+c

a2 u2

= arcsen

u
+c
a

Ing. M. Sc. Omar Montao Guevara

ECUACIONES DIFERENCIALES
TABLA DE INTEGRALES

EMI
40.

u
a2
u
a2 u2 +
arcsen + c
2
2
a
u
a4
u
a 2 u 2 du = (2u 2 a 2 ) a 2 u 2 +
arcsen + c
8
8
a

a 2 u 2 du =

41. u 2
42.

a 2 u 2 du

a + a2 u2

= a 2 u 2 a ln

a 2 u 2 du

a2 u2

+ c = a 2 u 2 a arccos h

a
+c
u

u
+c
u
a
u
u 2 du
u
a2
u
2
2
=
a u +
arcsen + c
2
2
2
2
a
a u

43.

44.

45.

2
2
1 a+ a u
1
a
ln
=

+ c = arccos h + c
u a2 u2 a
u
a
u

arcsen

du

du

46.

47.

(a

48.

a2 u2

(a

u2
du

u2

a2 u2

du =
=

a2

a 2u

+c

u
2u 2 5a 2
8
u
+c
a2 u2

a2 u2 +

3a 4
u
arcsen + c
8
a

Formas que contienen 2 au u 2

ua
a2
1

2
au

u
+
2
arccos 1 + c

2
u
a

2
2
3
2u au 3a
a
u

50. u 2au u 2 du =
2au u 2 +
arccos 1 + c
6
2
a

2au u 2 du =

49.

51.

2au u 2 du
u
2au u 2 du

= 2au u 2 + a arccos 1 + c
a

2 2au u 2

arccos 1 + c
a

52.

53.

u
u

=
arccos
1

+c
a

2au u 2

54.

= 2au u 2 + a arccos 1 + c
a

2au u

55.

u
du

u du

u 2 du
2au u 2

(u + 3a )
2

Ing. M. Sc. Omar Montao Guevara

2au u 2 +

3a 2
u

arccos 1 + c
2
a

ECUACIONES DIFERENCIALES
TABLA DE INTEGRALES

EMI
56.

57.

58.

du
2au u 2
du

(2au u )
2

(2au u )
2

=
=

u du

=
2

2au u 2
au

+c

ua
a

+c

2au u 2
u

a 2au u 2

+c

Formas que contienen funciones trigonomtricas

sen u du = cos u + c
60. cos u du = sen u + c
61. tan u du = ln sec u + c
62. cot u du = ln sen u + c
63. sec u du = ln sec u + tan u + c = ln tan ( + u ) + c
64. csc u du = ln csc u cot u + c = ln tan u + c
65. sec u du = tan u + c
66. csc u du = cot u + c
67. sec u tan u du = sec u + c
68. csc u cot u du = csc u + c
1
1
69. sen u du = u sen 2u + c
2
4
59.

1
4

1
2

1
2

1
1
u + sen 2u + c
2
4
2
71. tan u du = tan u u + c

70. cos 2 u du =

72. cot 2 u du = cot u u + c

n 1
1
u du = sen n 1 u cos u +
sen n 2 u du

n
n
1
n

1
74. cos n u du = cos n 1 u sen u +
cos n 2 u du
n
n

73.

sen

1
tan n 1 u tan n 2 u du
n 1
1
76. cot n u du =
cot n 1 u cot n 2 u du
n 1
1
n2
sec n 2 u tan u +
sec n 2 u du
77. sec n u du =

n 1
n 1

75.

tan

u du =

Ing. M. Sc. Omar Montao Guevara

ECUACIONES DIFERENCIALES
TABLA DE INTEGRALES

EMI

n2
1
csc n 2 u cot u +
csc n 2 u du

n 1
n 1
sen (m + n )u sen (m n )u
79. sen mu sen nu du =
+
+c
2(m + n )
2(m n )
sen (m + n )u sen (m n )u
80. cos mu cos nu du =
+c
+
2(m + n )
2(m n )
cos (m + n )u cos (m n )u
81. sen mu cos nu du =

+c
2(m + n )
2(m n )

78. csc n u du =

82. u sen u du = sen u u cos u + c

83. u cos u du = cos u + u sen u + c

(
85. u cos u du = 2u cos u + (u

)
2)sen u + c

84. u 2 sen u du = 2u sen u + 2 u 2 cos u + c

2

86. u n sen u du = u n cos u + n u n 1 cos u du

87. u n cos u du = u n sen u n u n 1 sen u du

88.

m
n
sen u cos u du =

sen m 1 u cos n + 1 u m 1
+
sen m 2 u cos n u du

m+n
m+n

sen m + 1 u cos n 1 u
n 1
sen m u cos n 2 u du
+
m+n
m+n

Formas que contienen funciones trigonomtricas inversas

89. arcsen u du = u arcsen u + 1 u 2 + c

90. arccos u du = u arccos u 1 u 2 + c

91. arctan u du = u arctan u ln 1 + u 2 + c

92. arc cot u du = u arc cot u + ln 1 + u 2 + c

93. arc sec u du = u arc sec u ln u u 2 1 + c = u arc sec u arccos h u + c
94. arc csc u du = u arc csc u + ln u + u 2 1 + c = u arc csc u + arccos h u + c
Formas que contienen funciones exponenciales y logartmicas
95. e u du = e u + c
96. a u du =

au
+c
ln a

97. ue u du = e u (u 1) + c
Ing. M. Sc. Omar Montao Guevara

ECUACIONES DIFERENCIALES
TABLA DE INTEGRALES

EMI
98. u n e u du = u n e u n u n 1e u du

u n au
n

u n 1 a u du

ln a
ln a
u
u
e du
e u du
e
1
100. n =
+
u
(n 1)u n 1 n 1 u n 1
99. u n a u du =

101.

a u du
au
ln a a u du
=

+
un
(n 1)u n 1 n 1 u n 1

102. ln u du = u ln u u + c
103. u n ln u du =
104.

un +1

(n + 1)2

[(n + 1) ln u 1] + c

du

u ln u = ln ln u + c

105. e au sen nu du =

e au
(a sen nu n cos nu ) + c
a2 + n2

106. e au cos nu du =

e au
(a cos nu + n sen nu ) + c
a2 + n2

Formas que contienen funciones hiperblicas

senh u du = cosh u + c
108. cosh u du = senh u + c
109. tanh u du = ln cosh u + c
110. coth u du = ln senh u + c
111. sec h u du = arctan(senh u ) + c
107.

112. csc h u du = ln tanh 12 u + c

113. sec h 2 u du = tanh u + c

114. csc h 2 u du = coth u + c

115. sec h u tanh u du = sec h u + c

116. csc h u coth u du = csc h u + c

1
1
senh 2u u + c
4
2
1
1
118. cosh 2 u du = senh 2u + u + c
4
2
2
119. tanh u du = u tanh u + c
117.

senh

u du =

Ing. M. Sc. Omar Montao Guevara

ECUACIONES DIFERENCIALES
TABLA DE INTEGRALES

EMI
120. coth 2 u du = u coth u + c

121. u senh u du = u cosh u senh u + c

122. u cosh u du = u senh u cosh u + c
123. e au senh nu du =

e au
(a senh nu n cosh nu ) + c
a2 n2

124. e au cosh nu du =

e au
(a cosh nu n senh nu ) + c
a2 n2

Tcnicas de integracin
Integracin por partes
u dv = uv v du
Integrales trigonomtricas
Caso 1 (donde n es un nmero entero positivo impar)
n
i.
sen x dx

(
)
(
)
(sen x dx )
= (sen x )
(
)
= (1 cos x )
(sen x dx)

sen n x dx = sen n 1 x (sen x dx)

n 1

n 1

ii.

cos

x dx

(
)
(
)
= (cos x )
(cos x dx )
(
)
= (1 sen x )
(cos x dx)

cos n x dx = cos n 1 x dx (cos x dx)

2

n 1

n 1

Caso 2 (donde al menos uno de los exponentes es un nmero entero positivo impar)
n
m
sen x cos x dx
i.

Si n es impar, entonces
sen n x cos m x dx = sen n 1 x cos m x(sen x dx)
(n 1)

(
) (cos x )(sen x dx)
(
)
(cos x )(sen x dx )
= (1 cos x )
= sen 2 x

ii.

n 1

Si m es impar, entonces

Ing. M. Sc. Omar Montao Guevara

ECUACIONES DIFERENCIALES
TABLA DE INTEGRALES

EMI

sen n x cos m x dx = sen n x cos m 1 x(cos x dx)

(m 1)

(
) (cos x dx)
(
)
x(1 sen x )
(cos x dx )

= sen n x cos 2 x
= sen n

m 1

Caso 3 (donde m y n son nmeros positivos pares)

n
i.
sen x dx

sen n x dx =
ii.

cos

n
1
(1 cos 2 x ) 2 dx
2

x dx

n
1
(1 + cos 2 x ) 2 dx
2
n
m
sen x cos x dx

cos n x dx =
iii.

sen n x cos m x dx =

n
m
1
(1 cos 2 x ) 2 1 (1 + cos 2 x ) 2 dx
2
2

Caso 4 (donde n es un nmero entero positivo)

n
i.
tan x dx

tan n x dx = tan n 2 x sec 2 x 1 dx

ii.

cot

x dx

cot n x dx = cot n 2 x csc 2 x 1 dx

Caso 5 (donde n es un nmero entero positivo par)
n
i.
sec x dx
ii.

csc

(n 2 )

sec n x dx = tan 2 x + 1

(sec

x dx

(csc

x dx

x dx

csc n x dx = cot 2 x + 1

(n 2 )

Caso 6 (donde m es un nmero entero positivo par)

n
m
i.
tan x sec x dx
(m 2 )

tan n x sec m x dx = tan n x tan 2 x + 1

ii.

cot

(sec

x dx

(csc

x dx

x csc x dx

cot n x csc m x dx = cot n x cot 2 x + 1

(m 2 )

Caso 7 (donde n es un nmero entero positivo impar)

i.

tan

x sec m x dx

Ing. M. Sc. Omar Montao Guevara

ECUACIONES DIFERENCIALES
TABLA DE INTEGRALES

EMI
ii.

cot

(n 1)

tan n x sec m x dx = sec 2 x 1

sec m 1 x(sec x tan x dx)

csc m 1 x(csc x cot x dx)

x csc m x dx

cot n x csc m x dx = csc 2 x 1

(n 1)

Caso 8 (donde n es un nmero positivo impar, aplicar integracin por partes)

n
i.
sec x dx
Considerar u = sec n 2 x y dv = sec 2 x dx

ii.

csc

x dx

Considerar u = csc n 2 x y dv = csc 2 x dx

Caso 9 (donde n es un nmero entero positivo par y m es un nmero positivo entero impar)
n
m
i.
tan x sec x dx

sec m x dx

csc m x dx

tan n x sec m x dx = sec 2 x 1

ii.

cot

x csc m x dx

cot n x csc m x dx = csc 2 x 1

Integracin por sustitucin trigonomtrica

Caso 1 El integrando contiene una expresin de la forma a 2 u 2
Considere u = a sen
a 2 u 2 = a 2 cos 2
Caso 2 El integrando contiene una expresin de la forma a 2 + u 2
Considere u = a tan
a 2 + u 2 = a 2 sec 2
Caso 3 El integrando contiene una expresin de la forma u 2 a 2
Considere u = a sec
u 2 a 2 = a 2 tan 2

Ing. M. Sc. Omar Montao Guevara

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