MATEMTICAS B 149

Antes de empezar



























Para qu las funciones polinmicas?
Cuando se recogen los datos de un experimento se
obtiene una nube de puntos que hay que estudiar,
en la imagen se ve cmo un programa ajusta esa
nube a distintas funciones polinmicas (curvas de
regresin), indicando la bondad del ajuste en cada
caso.
Grficos tomados de
http://eio.usc.es/eipc1/MATERIALES/311121873.pdf











Funciones polinmicas
Regresin
lineal
Regresin
cuadrtica
Regresin
cbica
150 MATEMTICAS B
1. Funciones polinmicas

Caractersticas
Las funciones polinmicas son aquellas cuya
expresin es un polinomio, como por ejemplo:
f(x)=3x
4
-5x+6
Se trata de funciones continuas cuyo dominio es el
conjunto de los nmeros reales.
En la figura se pueden ver las grficas de las
funciones polinmicas de grado menor que 3, que son
las que se estudiarn en esta quincena.
Observa la forma segn su grado:
las de grado cero como f(x)=2, son rectas
horizontales;
las de grado uno, como f(x)=2x+4, son rectas
oblicuas;
las de grado dos, como f(x)=2x
2
+4x+3, son
parbolas cuyo eje es paralelo al de ordenadas.
































































Funciones polinmicas
EJERCICIOS resueltos

1. En cada caso haz una tabla de valores y comprueba que los puntos obtenidos son
de la grfica.
a) f(x)=3 b) f(x)=-2x+3 c) f(x)=x
2
-x+2
Solucin

x f(x) x f(x) x f(x)
0 3 0 3 0 2
1 3 1 1 1 2
2 3 2 -1 2 4
-2 3 -1 5 -1 4











MATEMTICAS B 151




















































2. Funciones de primer grado

Trmino independiente
En cualquier funcin f(x) el corte de su grfica con el
eje OY o eje de ordenadas, es el punto (0, f(0)), por
tanto su valor en cero define el corte con el eje de
ordenadas.
En el caso de las funciones polinmicas f(0) coincide
con el coeficiente de grado cero o trmino
independiente de la funcin, por tanto nada ms ver
la expresin ya reconocemos un punto de su grfica,
el corte en el eje de ordenadas



Pendiente
Es fcil ver que al modificar el coeficiente de x en
estas funciones, lo que cambia es la inclinacin de la
recta, y sta se mide con la tangente del ngulo que
forma la recta con el eje de abscisas, es decir, la
pendiente de la recta.

Observa que cuando a es positiva la funcin es
creciente, y cuando es negativa, decreciente.
As, viendo los coeficientes, sabemos cmo es la
grfica de la funcin sin necesidad de realizar ningn
clculo.


Recta que pasa por dos puntos
Para trazar una recta basta con dar dos puntos, por
tanto para representar una funcin polinmica de
primer grado dando valores, bastar con dar dos
valores.
Si dos puntos P(3, 3) y Q(-2, -1) definen una recta,
determinarn tambin su ecuacin que podemos
hallar resolviendo un sistema:
Ecuacin de la recta y=ax+b
Pasa por P:
Pasa por Q:

Sean P(x
0
,y
0
), Q(x
1
,y
1
) dos puntos, la pendiente de la
recta que pasa por ambos es
0 1
0 1
x x
y y
x
y

La pendiente de la recta f(x)=ax+b es a
La grfica de f(x)=ax+b corta al eje OY en b


Funciones polinmicas
5
3
b
5
4
a 4 a 5
1 b a 2
3 b a 3
= = =

= +
= +
152 MATEMTICAS B

Aplicaciones
Veamos algunos ejemplos de aplicacin de las
funciones polinmicas de primer grado.

1) Funciones de proporcionalidad directa
Las funciones polinmicas de primer grado con
trmino independiente cero, representan la relacin
entre dos variables directamente proporcionales.

y=constantex

La grfica de la funcin
de proporcionalidad
directa es una recta
que pasa por el origen,
y su pendiente es la
constante de
proporcionalidad


2) Tarificacin telefnica por segundos
Para calcular el precio de una llamada telefnica se
utilizan funciones polinmicas de primer grado.
y=precio por segundox+establecimiento de llamada












3) Recorrido con velocidad constante
Si a las 12 estoy en el km 5 de una carretera y
manteniendo una velocidad constante a las 12:15
estoy en el km 15, qu velocidad llevo?.
Punto kilomtrico=velocidadt+pto. kilomtrico inicial

La velocidad es la
pendiente de la recta
que pasa por los puntos
(12,5) y (12:15,17)

= =

=
min
km
15
12
15
5 17
vel
h
km
h
km
48
15
60 12
=

=










































Funciones polinmicas

Funciones polinmicas

Funciones polinmicas
0,75
/kg
f(x)=0,75x

Cunto pagaremos?
x: kg de naranjas que compramos
f(x): precio que se paga en euros
El precio de una llamada
x: segundos que dura la llamada
f(x): precio de la llamada en euros
Establecimiento de
llamada: 0,05
Coste por seg: 0,002
f(x)=0,002x+0,05

A qu velocidad?
t: tiempo transcurrido
f(t): punto kilomtrico
f(t)=velt+5
Punto kilomtrico
inicial: km 5
Velocidad: ? km/h
x seg f(x)
0 0,05
1 0.052
10 0,07
60 0,17
MATEMTICAS B 153
EJERCICIOS resueltos

2. Representa la grfica de f(x):
a) f(x)= 3 x
2
1
+ b) f(x)= 1 x
3
2
c) f(x)= 1 x 3 +
Coeficiente de grado 0: 3 Coeficiente de grado 0: -1 Coeficiente de grado 0: 1
Coeficiente de grado 1: -1/2 Coeficiente de grado 1: 2/3 Coeficiente de grado 1: 3









3. Qu grfica corresponde a cada ecuacin?

a) y=x/4 +3 3
b) y=4x+3 1
c) y=-x/4-3 4
d) y=-x/4 +3 8
e) y=-3 6
f) y=3x+4 2
g) y=x/4 5
h) y=-4x 7

4. Qu ecuacin corresponde a la recta que pasa por los puntos indicados?
1) (-1, 5) (1, -5) a) y=x/5+3 2
2) (-2, 2,6) (2, 3,4) b) y=5x+3 6
3) (-2, -0,4) (2, 0,4) c) y=-x/5-3 5
4) (-2, 3,4) (2, 2,6) d) y=-x/5-3 4
5) (-2, -2,6) (2, -3,4) e) y=-3 8
6) (-1, -2) (1, 8) f) y=3x+5 7
7) (-1, 2) (1, 8) g) y=x/5 3
8) (-1, -3) (1, -3) h) y=-5x 1









































































Funciones polinmicas
Cuando el valor absoluto de
las abscisas es el mismo, el
corte con el eje OY lo define el
punto medio.
154 MATEMTICAS B
3. Funciones de segundo grado
La grfica de las funciones polinmicas de segundo
grado es una parbola de eje vertical.
La parbola y=ax
2

Observa en la figura cmo se construye la grfica de
f(x)=ax
2
y como cambia segn los valores y el signo
de a.
Es simtrica respecto al eje OX.
El signo de a determina la concavidad de la grfica.
Si a>0, tiene un mnimo en (0,0)
Si a<0 tiene un mximo en (0,0)

Traslaciones de una parbola
En la figura vemos la grfica de f(x)=ax
2
+bx+c
Al modificar los valores de los coeficientes b y c, se
observa que la grfica no cambia de forma, solo se
traslada, as la grfica de y=f(x) tiene la misma
forma que y=ax
2
trasladada:

a 2
b
unidades en horizontal
2
a 2
b
x a y

=
hacia la derecha si -b/(2a)>0, hacia la izquierda si -b/(2a)<0

a 4
b
c
2
o f(
a 2
b
) en vertical
a 4
b
c
a 2
b
x a y
2
2
+

=
arriba si f(-b/(2a))>0, abajo si f(-b/(2a))<0).




Representar funciones cuadrticas
Para representar una funcin de segundo grado
f(x)=ax
2
+bx+c
comenzamos por colocar su vrtice: (
a 2
b
, f(
a 2
b
))
Se dibuja el eje de simetra y a continuacin hacemos
una tabla de valores aumentando en una unidad el
valor de x cada vez. Cuando tenemos algunos puntos
dibujamos los simtricos.
Al igual que en otras representaciones grficas es
interesante hallar los puntos de corte con los ejes,












































Funciones polinmicas
x f(x)
-2 -3
+1
-1 -1
+1
0 5

-4 5

-3 -1

El eje de simetra es x=-b/(2a)
El vrtice, mximo o mnimo, de la parbola
es (-b/(2a), f(-b/(2a))
El corte con el eje OY es c
Los cortes con el eje OX son las soluciones
de la ecuacin ax
2
+bx+c=0
MATEMTICAS B 155







































Aplicaciones
Mediante las funciones polinmicas de segundo grado
se pueden estudiar algunas situaciones, presentes en
el mundo fsico y la vida real.
Adems el vrtice de la parbola, es el mximo o
mnimo relativo y a la vez absoluto de la funcin
cuadrtica correspondiente; mnimo si es convexa
(hacia arriba) o mximo si es cncava hacia abajo.
Entonces para calcular los extremos relativos de estas
funciones basta calcular las coordenadas del vrtice,
como puedes observar en los ejemplos siguientes.
1) Movimiento uniformemente acelerado
Un ejemplo de movimiento uniformemente acelerado
o de aceleracin constante, es el de cada libre en el
que interviene la aceleracin de la gravedad.
Las ecuaciones de este movimiento son:
v=v
0
+gt e=
2
0
gt
2
1
t v + v
0
: vel. inicial g9.8 m/seg
2

Se lanza desde el suelo hacia arriba un objeto con
velocidad inicial 40 m/seg, qu altura alcanza?.
f(x)=v
0
x-4,9x
2
x:tiempo g-9.8 m/seg
2

Es una parbola de vrtice (v
0
/g, f(v
0
/g)), luego la
altura mxima que alcanza es f(v
0
/g) m.
2) Rectngulo de rea mxima
Con un mismo permetro se pueden construir distintos
rectngulos, entre todos ellos deseamos encontrar el
de rea mxima.
Entre todos los rectngulos cuyo permetro es 2p m.,
qu dimensiones tiene el de rea mxima?.
Permetro=2p base=x altura=2-x
rea=basealtura f(x)=x(p-x) f(x)=-x
2
+px
Es una parbola de vrtice (p/2, (p/2)
2
), luego se trata
de un cuadrado de lado p/2 m.
3) Punto de no retorno
Un avin tiene combustible para 4 horas, viajando a
velocidad constante de 250 km/h sin viento. Al despegar el
piloto observa que lleva viento a favor de v km/h, cul es
la mxima distancia a que puede viajar con la seguridad de
tener suficiente combustible para volver?.
Velocidad ida: 250+v Distancia al aeropuerto: f(x)=(250+v)x
Vel. vuelta: 250-v Distancia al aeropuerto: f(x)=(250-v)(4-x)
El punto en que se cortan las dos rectas es el punto de no
retorno, si el piloto va ms all no tendr combustible
suficiente para volver.
Al variar la velocidad del viento los puntos de no retorno
obtenidos estn sobre la parbola: d(x)=125x(4-x)


Funciones polinmicas
156 MATEMTICAS B







































































EJERCICIOS resueltos

5. Dibuja la grfica de las siguientes funciones:
a) f(x)= 1,5x
2
b) f(x)=-0,5x
2








6. Escribe la ecuacin de la funcin que resulta al trasladar el vrtice de la parbola al
punto indicado.
a) y= 1,5x
2
a A(2, -3) b) y=-0,5x
2
a B(-2, 3)









7. Representa grficamente las parbolas siguientes:
a) f(x)=2x
2
-8x+2 b) f(x)=-x
2
+4x+3









8. Escribe la ecuacin y= ax
2
+bx+c de la parbola de la grfica:
a) b)












Funciones polinmicas
Vrtice (0,0)
x=1 f(1)=1,5
x=2 f(2)=6
sus simtricos
respecto a OY:
(-1, 1,5)
(-2, 6)
Vrtice (0,0)
x=1 f(1)=-0,5
x=2 f(2)=-2
sus simtricos
respecto a OY:
(-1, 0,5)
(-2, -2)
Vrtice (-2,3)
2 unidades
a la izquierda:
y=-0,5(x+2)
2

3 unidades
hacia arriba:
y=-0,5(x+2)
2
+3
y=-0,5x
2
-2x+1
Vrtice (2,-3)
2 unidades
a la derecha:
y=1,5(x-2)
2

3 unidades
hacia abajo:
y=1,5(x-2)
2
-3
y=1,5x
2
-6x+3
a=2
Vrtice (2, -7)
2=-b/4 b=-8
Corte OY en 1
luego c=1
y=2x
2
-8x+1
a=-1
Vrtice (-1, 2)
-1=-b/(-2)
b=-2
Corte OY en 1
luego c=1
y=-x
2
-2x+1
Vrtice (2, -6)
Eje : x=2
x=3 f(3)=-4
x=4 f(4)=2
sus simtricos
respecto al eje:
(1, -4)
(0, 2)
Vrtice (2, 7)
Eje: x=2
x=3 f(3)=6
x=4 f(4)=3
sus simtricos
respecto al eje:
(1, 6)
(0, 3)
MATEMTICAS B 157
Para practicar

1. Escribe la ecuacin de la funcin que
representa el peso de un caballo si nace
con 30 kg y aumenta a razn de 1 kg
cada 2 das.
2. Escribe la ecuacin de la funcin que
representa el precio al finalizar la
conexin en un ciber, si el
establecimiento de la conexin cuesta
0,10 y cada minuto vale 0,03 .
3. Escribe la ecuacin de la funcin que
representa el n de la pgina del libro
que estoy leyendo, sabiendo que todos
los das avanzo el mismo n de pginas,
el da 10 iba por la 290, y el da 17 por
la 465.
4. Escribe la ecuacin de la funcin que
representa la cantidad total en (IVA
incluido) a pagar en una factura, en
funcin del precio sin IVA, sabiendo que
el porcentaje de aumento aplicado es
del 16%.
5. Escribe la ecuacin de la funcin de la
grfica. Determina la pendiente de la
recta y los cortes con los ejes.




6. Representa grficamente las funciones:
a) f(x)= x-1 b) f(x)= 2 x
3
4
+
7. Halla la ecuacin de la recta paralela a
la de la grfica que pasa por el punto
(2,1)







8. Halla la ecuacin de la recta paralela a
la y=2x+1, que pasa por el punto (-1,5)
9. Halla la ecuacin de la recta que pasa
por los puntos:
a) (0,70) (-7, 8)
b) (0,2) (-1,0)
10. Halla la ecuacin de la recta de
pendiente 4, que corta al eje de
abscisas en -10.
11. Halla la ecuacin de la recta de
pendiente 5, que corta al eje de
ordenadas en 15.
12. Estn alineados los tres puntos?
a) (0, 4) (2, 10) y (3, 11)
b) (3, 36) (5, 54) y (9, 90)
13. Juan recibe una factura mensual de 160
minutos de telfono. Decide qu tarifa
le interesa ms:
a) Cuota mensual de 10 ms 5
cntimos cada minuto.
b) Sin cuota mensual y 12 cnt. minuto.
14. Cierta compaa ofrece un mvil
rebajado segn puntos conseguidos tal
como indica la tabla, corresponde esta
tabla a una funcin polinmica de
primer grado?. En caso afirmativo cul
es la ecuacin?
Puntos (x) : 3000 5000 6000
Precio (y): 220 200 190
15. En la factura del telfono vemos que
una llamada de 2 minutos nos cuesta
0,26 y otra de 5 minutos 0,44. Cul
es el precio del establecimiento de
llamada?. Cunto se pagar por una
llamada de 9 minutos?
16. Calcula el valor de b para que la grfica
de la funcin f(x)=2x
2
+bx-4, pase por
el punto (-3, 2).



Funciones polinmicas
158 MATEMTICAS B

17. Calcula el valor de a para que la grfica
de la funcin f(x)=ax
2
-5x-2, pase por el
punto (-0,5, 1).
18. Calcula el valor de c para que la grfica
de la funcin f(x)=-2x
2
+3x+c, pase por
el punto (2, 1).
19. Escribe la ecuacin de la parbola que
tiene coeficiente a=-2, corta al eje de
ordenadas en (0, 2) y su vrtice es el
punto (-1, 4).
20. Escribe la ecuacin de la parbola que
tiene coeficiente a=1, corta al eje de
ordenadas en (0, -3) y su vrtice es el
punto (-2, -7).
21. Escribe la ecuacin de la parbola que
pasa por los puntos A(0, 5), B(4, 21) y
C(-1, 11)
22. Al lanzar verticalmente hacia arriba un
objeto, con velocidad inicial 24 m/seg la
altura mxima que alcanza viene dada
por: f(x)=24x-5x
2
(g=10 m/seg
2
y
x:tiempo).
Calcula la altura mxima que alcanza.
23. Con un listn de 194 cm de largo
queremos hacer un marco para un
cuadro. Calcula la superficie mxima
que se puede enmarcar.
24. En un comercio venden 144 unidades
de un producto a 12 la unidad. Se
sabe que por cada euro que aumenta el
precio se venden 3 unidades menos. A
cunto se deben vender para obtener el
mximo beneficio?
25. Calcula el valor de x para que el rea
del rectngulo de la figura sea mxima.







26. Dos nmeros suman 24, calcula cules
son si la suma de sus cuadrados es
mnima.
27. En un cuadrado de lado 20 cm se
inscribe otro como indica la figura.
Cunto medir el lado del cuadrado
inscrito para que su rea sea mnima?






28. Calcula lo que debe medir x para que el
rea coloreada en azul en la figura, sea
mnima.






29. Decide si la funcin f(x) es continua
2
3x si x 0
f(x)
x 3x 4 si x 0
<
=

+ +

30. La grfica del valor absoluto de una
funcin se traza haciendo la simetra de
la grfica de la funcin, respecto del
eje-X, a la parte que queda por debajo
de este. Representa grficamente la
funcin f(x)=|x
2
-6x+8|
31. El valor absoluto de una funcin
polinmica se puede expresar como una
funcin definida a trozos, en la que cada
trozo es un polinomio. Expresa en
trozos de funciones polinmicas la
funcin f(x)=|2x+2|



30
10
y
x


Funciones polinmicas
MATEMTICAS B 159

Interpolacin
Al estudiar un fenmeno, se obtiene
un conjunto de datos, para conocer
cmo se comportara la variable
dependiente se suele recurrir a un
proceso de interpolacin que
permite conocer de forma
aproximada el valor que toma una
funcin desconocida a partir de un
conjunto de datos observados.











La forma ms sencilla es la llamada
interpolacin lineal en la que la
funcin se aproxima mediante una
funcin lineal a trozos, como se ve
en la figura.
Si en vez de usar rectas utilizamos
parbolas, se habla de interpolacin
cuadrtica, y en general de
interpolacin polinmica.
























Para saber ms








































Funciones polinmicas
Otras maneras
de dibujar parbolas
Mediante circunferencias
concntricas y rectas
paralelas; uniendo puntos
trazados a intervalos
regulares sobre dos
semirrectas o aplicando el
Teorema de la altura, son
distintas formas de obtener
parbolas.
En las parbolas todos los rayos que
parten del foco o inciden en l son
reflejados en la misma direccin. De ah
que los faros de los coches o las antenas
tengan forma parablica.
De tercer grado: f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d
La recta y=ax+b corta al eje OX en b/a.
La abscisa del vrtice de una parbola es
b/2a.
La abscisa del punto de inflexin de una
cbica es b/3a.
0 ac 3 b
2
0 ac 3 b
2
x f(x) Diferencias Diferencias
0 4
1 7 3
2 12 5 2
3 19 7 2
4 28 9 2
5 39 11 2
6 52 13 2
7 67 15 2
f(x)=x
2
+2x+4
Las diferencias que se
obtienen al restar
valores consecutivos
de f(x) nos dan la
tabla de valores de
f(x)=2ax+(b-a)
y sus diferencias la
funcin constante 2a.
160 MATEMTICAS B
Recuerda
lo ms importante

Funciones de primer grado, rectas.













Funciones de segundo grado, parbolas












Traslaciones de la parbola
Para dibujar la parbola y=ax
2
+bx+c, basta trasladar y=ax
2

llevando su vrtice (0,0) al punto

a 4
b
c ,
a 2
b
2








f(x)=ax+b
La grfica de las funciones
polinmicas de primer grado es
una recta.
a es la pendiente
Si a>0 creciente.
Si a<0 decreciente.
Corte eje OY: b
Corte eje OX: -b/a






f(x)=ax
2
+bx+c
La grfica de las funciones
polinmicas de segundo grado es
una parbola.
a indica la concavidad
Si a>0 tiene un mnimo.
Si a<0 tiene un mximo.
Eje de simetra: x=-b/2a
Vrtice:

)
a 2
b
( f ,
a 2
b

Corte eje OY: c
Cortes eje OX:
a 2
ac 4 b b
2













Ecuaciones y sistemas
Recta que pasa por dos puntos:
(x
0
,y
0
) (x
1
,y
1
)
0 1
0 1
0
0
x x
y y
x x
y y

MATEMTICAS B 161


















































Autoevaluacin

1. Cul es la pendiente de la recta de la grfica?
2. Calcula la ecuacin de la recta paralela a la y=-0,75x-2 que
pasa por el punto (2, 3)
3. Cul es la ecuacin de la recta que pasa por los puntos
A(2,3) y B(4, 0)
4. Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados de la
recta y=-0,75x+1,5
5. Calcula el vrtice de la parbola y=-1,5x
2
-9x-18
6. Una parbola corta al eje de abscisas en (4, 0) y (9, 0).
Cul es su eje de simetra?
7. Averigua los puntos en que la parbola f(x)=-2x
2
+x+3 corta
al eje de abscisas.
8. La parbola de la grfica es como la y=-0,75x
2
. Introduce los
coeficientes de su ecuacin.
9. La parbola de la grfica es y=-x
2
-2x+3. Qu intervalo es la
solucin de la inecuacin -x
2
-2x+3>0
10. Con una cuerda de 35 m de largo se desea vallar una parcela
rectangular por tres de sus lados, ya que uno linda con un
ro. Cul es la superficie mxima que se puede vallar?



Funciones polinmicas
162 MATEMTICAS B
Soluciones de los ejercicios para practicar

1. x:das y: kg y=0,5x+30
2. x:min y: y=0,03x+0,10
3. x:da y:n pag y=25x+40
4. y=1,16x
5. Pendiente =1/2
Corte OY =1 Corte OX =-2
Ec. y = 1/2 x +1
6.






7. y=-x+3
8. y=2x+7
9. a) y =62/7x+70 b) y =2x+2
10. y=4x+40
11. y=5x+15
12. a) No b)Si
13. Interesa ms la a)
14. y=-0,01x+250
15. 0,14 el establecimiento de llamada 0,68
una llamada de 9 minutos
16. b=4 17. a=2 18. c=3
19. y=-2x
2
-4x+2
20. y=x
2
+4x-3
21. y=2x
2
-4x+5
22. 28,8 m 23. 2352,25 cm
2

24. 18 25. 4,5 26. 12 y 12
27. 10 2 28. 15
29. No es continua en x=0
30. .




31.
2x 2 si 2x 2 0 x 1
2x 2
2x 2 si 2x 2 0 x 1
+ < <
+ =

+ +

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Funciones polinmicas
Soluciones
AUTOEVALUACIN
1. pendiente= 1,5
2. y= 0.75x+4.5
3. y=1,5x+6
4. (0, 1,5) (2,0)
5. (-3, -4,5)
6. x=6,5
7. En -1 y 1,5
8. y=-0,75x
2
-3x-3
9. (-3, 1)
10. 153,13 m
2





ACTIVIDADES DE ESO

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Centro para la Innovacin y Desarrollo
de la Educacin a Distancia


1. Halla la ecuacin de la recta paralela a la y=2x-3 y que pasa por el punto (-2,4).








2. Halla la pendiente de las rectas correspondientes a los lados del tringulo ABC.










3. Los gastos mensuales, en euros, de una empresa por la fabricacin de x ordenadores
vienen dados por la funcin G(x)=2000+25x, y los ingresos que se obtienen por las
ventas son I(x)=60x-0,01x
2
, tambin en euros.Cuntos ordenadores deben
fabricarse para que el beneficio (ingresos-gastos) sea mximo.









4. La parbola de la figura es como la y=x
2
, escribe su ecuacin.

4
9 Matemticas B