Calculo Diferencial

Segundo Parcial
01/02/2012 Ingeniera en Agronoma segundo semestre L.I. Jos Gabriel Mendoza Mancilla

Calculo Diferencial

Tasa de variacin
El incremento de una funcin se llama tasa de variacin, y mide el cambio de la funcin al pasar de un punto a otro. t.v.= f(x+h) - f(x)

Funcin estrictamente creciente

f es estrictamente creciente en a si slo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variacin es positiva.

Funcin creciente
f es creciente en a si slo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variacin es positiva o igual a cero.

Funcin estrictamente decreciente

f es estrictamente decreciente en a si slo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variacin es negativa.

Funcin decreciente
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f es decreciente en a si slo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variacin es negativa o igual a cero.

Funcin acotada superiormente

Una funcin f est acotada superiormente si existe un nmero real k tal que para toda x es f(x) k. El nmero k se llama cota superior.

Funcin acotada inferiormente

Una funcin f est acotada inferiormente si existe un nmero real k tal que para toda x es f(x) k . El nmero k se llama cota inferior.

Funcin acotada
Una funcin esta acotada si lo est a superior e inferiormente. k f(x) k

Mximo absoluto
Una funcin tiene su mximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la funcin.

Mnimo absoluto
Una funcin tiene su mnimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la funcin.

Mximo y mnimo relativo

Una funcin f tiene un mximo relativo en el punto a si f(a) es mayor o igual que los puntos prximos al punto a.

Resumen

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Una funcin f tiene un mnimo relativo en el punto b si f(b) es menor o igual que los puntos prximos al punto b.

Simetra respecto del eje de ordenadas

Una funcin f es simtrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica: f(-x) = f(x)

Las funciones simtricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funciones pares.

Simetra respecto al origen

Una funcin f es simtrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica: f(-x) = -f(x) Las funciones simtricas respecto al origen reciben el nombre de funciones impares.

Resumen

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Ejercicios:
Estudia la simetra de las siguientes funciones: 1.- f(x) = x 6 + x 4 - x 2 Solucin f(x)= (x)6 + (x)4 (x) 2 = x 6 + x 4 x 2 = f(x) Simtrica respecto al eje de ordenadas 2.- f(x) = x5 + x3 x Solucin f(x)= (x)5 + (x) 3 (x) = x5 x 3 + x = f(x) Simtrica respecto al origen

3.- f(x)= x |x| f(x) = x |x|= x |x|= f(x) Simtrica respecto al origen

4.- f(x) = |x| 1 f(x) = |x| 1= |x| 1 = f(x) Simtrica respecto al eje de ordenadas

Resumen

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Ejemplos de funciones crecientes y decrecientes.

Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 1f(x) = 5x 3x + 1 en x = 1 Tomamos un incremento, h=0.001, en el punto x=1. La funcin ser creciente o decreciente en el punto x = 1 si lo es en el intervalo [1, 1.001]. Para comprobarlo, calculamos la tasa de variacin en el intervalo dado: f(1.001 ) f(1) = (5 1.001 3 1.001 + 1 ) (5 1 3 1 + 1) = 0.007 > 0 Creciente

2 Tomamos un incremento, h=0.001, en el punto x= 3. La funcin ser creciente o decreciente en el punto x = 3 si lo es en el intervalo [3, 3.001]. Para comprobarlo, calculamos la tasa de variacin en el intervalo dado:

Dereciente

Ahora resuelva lo siguiente:

Estudia la simetra de las siguientes funciones:

2 Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
Resumen Pgina 6

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1f(x) = |x| en x = -2 2

Tipos de funciones.

Funciones constantes
y=n La pendiente es 0. La grfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Rectas verticales
Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imgenes y para que sea funcin slo puede tener una. Son del tipo: x=K

Funcin lineal
y = mx m es la pendiente, que es la inclinacin de la recta con respecto al eje de abscisas.

Resumen

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Su grfica es una lnea recta que pasa por el origen de coordenadas.

Funcin identidad

f(x) = x

Su grfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Funcin afn
y = mx + n m es la pendiente. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.

Funcin cuadrtica
Son funciones polinmicas es de segundo grado, siendo su grfica una parbola. f(x) = ax + bx +c

Representacin grfica de la parbola 1. Vrtice

Por este punto pasa el eje de simetra de la parbola. La ecuacin del eje de simetra es:

2. Puntos de corte con el eje OX.

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax + bx +c = 0

Resolviendo la ecuacin podemos obtener:

Resumen Pgina 8

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Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b - 4ac > 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b - 4ac = 0 Ningn punto de corte si b - 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OY.

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0)=a 0 + b 0 +c = c (0,c)

Funciones racionales
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los nmeros reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuacin:

Funciones radicales
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

Funciones definidas a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, segn los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos , sigiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la funcin, sin el valor absoluto, y se calculan sus races. 2. Se forman intervalos con las races y se evala el signo de cada intervalo.

Resumen

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3. Definimos la funcin a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la funcin. 4 Representamos la funcin resultante.

Funcin exponencial
Sea a un nmero real positivo. La funcin que a cada nmero real x le hace corresponder la potencia ax se llama funcin exponencial de base a y exponente x.

Funciones logartmicas
La funcin logartmica en base a es la funcin inversa de la exponencial en base a.

Funciones trigonomtricas

Funcin seno
f(x) = sen x

Funcin coseno
f(x) = cosen x

Funcin tangente
f(x) = tg x

Funcin cotangente
f(x) = cotg x

Funcin secante
f(x) = sec x

Funcin cosecante
f(x) = cosec x

Resumen

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Ejercicios para resolver

Ejercicios de grficas de funciones

1Representa las siguientes rectas:

1 y=2 2 y = 2 3 y= 4y=0 5x=0 6 x=5 7y=x 8 y = 2x 1 9 y = x 1 10 y = 2x

2Representa las siguientes funciones, sabiendo que:

1 Tiene pendiente 3 y ordenada en el origen 1. 2 Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (3, 2). 3 Pasa por los puntos A(1, 5) y B(3, 7). 4 Pasa por el punto P(2, 3) y es paralela a la recta de ecuacin y = x + 7.

Resumen

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3Tres kilogramos de boquerones valen 18 . Escribe y representa la funcin que define

el coste de los boquerones en funcin de los kilogramos comprados.

4En

las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que meda 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm. Establecer una funcin a fin que d la altura de la planta en funcin del tiempo y representar grficamente.

5Por el alquiler de un coche cobran 100 diarios ms 0.30 por kilmetro. Encuentra
la ecuacin de la recta que relaciona el coste diario con el nmero de kilmetros y represntala. Si en un da se ha hecho un total de 300 km, qu importe debemos abonar?

6Halla el vrtice y la ecuacin del eje de simetra de las siguientes parbolas:

1. y = (x1) + 1 2. y = 3(x1) + 1 3. y = 2(x+1) 3 4. y = 3(x 2) 5 5. y = x 7x 18 6. y = 3x + 12x 5

7Indica,

sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parbolas: 1. y = x 5x + 3 2. y = 2x 5x + 4 3. y = x 2x + 4 4. y = x x + 3

8Representa grficamente las funciones cuadrticas:

1. y = x + 4x 3 2. y = x + 2x + 1

9Una funcin cuadrtica tiene una expresin de la forma y = x + ax + a y pasa por el

punto (1, 9). Calcular el valor de a.

Resumen

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10Se sabe que la funcin cuadrtica de ecuacin y = ax + bx + c pasa por los puntos
(1,1), (0, 0) y (1,1). Calcula a, b y c.

11Representa las funciones definidas a trozos:

12Representa las funciones valor absoluto:

1f(x) = |x 2| 2f(x) = |x 4x + 3| 3f(x) = |x| x

13Representa las funciones de la parte entera de x:

1f(x) = x +1 E(x) 2f(x) = 2x E(x)

14Representa las funciones racionales y determina su centro:

1f(x) = 6/x

Resumen

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15Representa las funciones exponenciales:

1

16Representa las funciones logartmicas:

1

2 3 f(x) = ln x

17Representa las funciones trigonomtricas:

1 2

18 Calcula el valor de x aplicando la definicin de logaritmo:

1

Resumen

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3 4

5 6 7

19 Conociendo que log 2 = 0.3010, calcula los siguientes logaritmos decimales.

1 2 3 4

Ejercicios de grficas de funciones (segunda parte).

1Calcular los coeficientes de la funcin f(x)= ax + b, si f(0) = 3 y f(1) = 4.

1. Representar la funcin. 2. Indicar los intervalos en los que es positiva o negativa.

2Representa grficamente:
y = x + x + 1

3Una parbola tiene su vrtice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2). Halla su
ecuacin.

4Encuentra la expresin analtica de la funcin.

Resumen

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5Representa la funcin valor absoluto:

1f(x) = |x + 5x 4| 2f(x) = |x| / x

6Representa la funcin de la parte entera de x:

f(x) = E(x/2)

7Representa la funcin exponencial:

8Representa la funcin logartmica:

Resumen

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Lmite de una funcin en un punto

El lmite de la funcin f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imgenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imgenes cuando los originales tienden a x0. Vamos a estudiar el lmite de la funcin f(x) = x2 en el punto x0 = 2. x 1,9 1,99 1,999 ... 2 x 2,1 2,01 2,001 ... f(x) 3,61 3,9601 3,996001 ... 4 f(x) 4.41 4,0401 4,004001 ...

Resumen

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Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imgenes se acercan a 4.

Se dice que la funcin f(x) tiene como lmite el nmero L , cuando x tiende a x 0, si fijado un nmero real positivo , mayor que cero, existe un numero positivo dependiente de , tal que, para todos los valores de x distintos de x 0 que cumplen la condicin |x - x0| < , se cumple que |f(x) - L| < .

Tambin podemos definir el concepto de lmite a travs de entornos: si y slo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeo que sea su radio , existe un entorno de x0 , E(x0) , cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imgenes dentro del entorno de L , E(L).

Diremos que el lmite de una funcin f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y slo si para todo > 0 existe > 0 tal que si x (a+, a ) , entonces |f (x) - L| < .

Resumen

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Diremos que el lmite de una funcin f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y slo si para todo > 0 existe > 0 tal que si x (a, a + ), , entonces |f (x) - L| < .

El lmite de una funcin en un punto si existe, es nico.

En este caso vemos que el lmite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4. El lmite de la funcin es 4 aunque la funcin no tenga imagen en x = 2. Para calcular el lmite de una funcin en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.
Ejemplo

Dada la funcin:

Resumen

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Hallar

Como no coinciden los lmites laterales, la funcin no tiene lmite en x = 0.

Lmite infinito
Una funcin f(x) tiene por lmite + cuando x a, si fijado un nmero real positivo K>0 se verifica que f(x)>k para todos los valores prximos a a.

Resumen

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Lmite menos infinito

Una funcin f(x) tiene por lmite - cuando x a, si fijado un nmero real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores prximos a a.

Lmite cuando x tiende a infinito

Lmite cuando x tiende a menos infinito

Resumen

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Resumen

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Propiedades de los lmites

Lmite de una constante

Lmite de una suma

Lmite de un producto

Lmite de un cociente

Lmite de una potencia

Lmite de una funcin

Resumen

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g puede ser una raz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Lmite de una raz

Lmite de un logaritmo

Operaciones con infinito

Sumas con infinito

Infinito ms un nmero

Infinito ms infinito

Infinito menos infinito

Productos con infinito

Infinito por un nmero

Resumen

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Calculo Diferencial Infinito por infinito

Infinito por cero

Cocientes con infinito y cero

Cero partido por un nmero

Un nmero partido por cero

Un nmero partido por infinito

Infinito partido por un nmero

Cero partido por infinito

Infinito partido por cero

Cero partido por cero

Resumen

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Calculo Diferencial Infinito partido por infinito

Potencias con infinito y cero

Un nmero elevado a cero

Cero elevado a cero

Infinito elevado a cero

Cero elevado a un nmero

Un nmero elevado a infinito

Cero elevado a infinito

Infinito elevado a infinito

Uno elevado a infinito

Resumen

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No distinguimos entre + y - para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber: La regla de los signos y que a-n = 1/a n

Clculo del lmite en un punto

Si f(x) es una funcin usual (polinmicas, racionales, radicales, exponenciales, logartmicas, etc.) y est definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el lmite se sustituye en la funcin el valor al que tienden las x .

No podemos calcular porque el dominio de definicin est en el intervalo [0, ), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.

Sin embargo si podemos calcular , aunque 3 no pertenezca al dominio, D= {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan prximos a 3 como queramos.

Clculo del lmite en una funcin definida a trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los lmites laterales en los puntos de unin de los diferentes trozos.

Resumen

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Si coinciden, este es el valor del lmite. Si no coinciden, el lmite no existe.

. En x = 1, los lmites laterales son: Por la izquierda:

Por la derecha:

Como en ambos casos coinciden, existe el lmite y vale 1. En x = 1, los lmites laterales son: Por la izquierda: Por la derecha:

Como no coinciden los lmites laterales no tiene lmite en x = 1.

Clculo de lmites cuando x

Para calcular el lmite de una funcin cuando x

se sustituyen las x por .

Lmite de funciones polinmicas en el infinito

El lmite cuando x de una funcin polinmica es + o - segn que el trmino de mayor grado sea positivo o negativo.

Resumen

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Lmite de la inversa de un polinomio en el infinito

Si P(x) es un polinomio, entonces:

Clculo de lmites cuando x

No existe el lmite, porque el radicando toma valores negativos.

Lmite de la funcin exponencial

Si a > 0

Resumen

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Si 0 < a < 1

Resumen

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Lmite de la funcin logartmica

Si a > 0

Si 0 < a < 1

Resumen

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Resumen

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Lmites de logaritmos

Indeterminaciones

Una indeterminacin no significa que el lmite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicacin de las propiedades de los lmites tal como las hemos enunciadas no son vlidas. En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.

Tipos de indeterminacin
1. Infinito partido por infinito

2. Infinito menos infinito

3. Cero partido por cero

4. Cero por infinito

Resumen

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Calculo Diferencial 5. Cero elevado a cero

6. Infinito elevado a cero

7. Uno elevado a infinito

Comparacin de infinitos

1. f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si:

2. f(x) es un infinito de orden inferior a g(x) si:

2. f(x) es un infinito de igual orden a g(x) si:

Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.

Resumen

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Calculo Diferencial

Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior. Cualquier funcin exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de x. Las potencias de x son infinitos de orden superior a las funciones logartmicas. Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden.

Hallar los lmites por comparacin de infinitos:

Lmite de un nmero partido por cero

El lmite puede ser +, no tener lmite.

Tomamos los lmites laterales para determinar el signo de . Si le damos a la x un valor que se acerque a 1 por la izquierda como 1,1; tanto el numerador como denominador son negativos, por lo que el lmite por la izquierda ser: +.

Resumen

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Si le damos a la x un valor que se acerque a 1 por la derecha como 0,9. El numerador ser positivo y el denominador negativo, por lo que el lmite por la derecha ser: .

Como no coinciden los lmites laterales, la funcin no tiene lmite cuando x

1.

Resumen

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Indeterminacin infinito partido infinito

Podemos resolver esta indeterminacin por dos mtodos: 1. Por comparacin de infinitos.

El numerador tiene mayor grado que el denominador.

El denominador tiene mayor grado que el numerador.

Al tener el mismo grado el lmite es el cociente entre los coeficientes de mayor grado.

Resumen

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2. Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente.

Si son funciones exponenciales dividimos por la exponencial de mayor base.

Indeterminacin infinito menos infinito

1. Por comparacin de infinitos.

Resumen

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2. Con funciones racionales. Ponemos a comn denominador.

3. Cuando se trata de funciones irracionales podemos multiplicar y dividir por el conjugado.

Resumen

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Indeterminacin cero partido cero

1. Funcin racional sin radicales: Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fraccin.

No tiene lmite en x = 1

2. Funcin racional con radicales:

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En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de la expresin irracional. Realizamos las operaciones y simplificamos la fraccin.

Indeterminacin cero por infinito

Se transforma a

Resumen

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Indeterminacin uno elevado a infinito

Se resuelve transformando la expresin en una potencia del nmero e.

1er Mtodo:

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2 Mtodo:

Resumen

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Resumen

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Ejercicios de lmites de funciones

1Aplicando la definicin de lmite, probar que:

2Observa la grfica de esta funcin f(x) y calcular estos lmites.

Calcular los siguientes lmites:

5 6

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7 8 9

10

11

12 13 14 15

16

17 18Calcular:

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Resumen

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El trabajo aqu plasmado es un resumen de los temas del segundo parcial. Sin pasar por alto dejo una reflexin .

Un anciano se encontraba en un oasis afanado en hacer un pozo en la arena cerca de unas palmeras de dtiles, arrodillado y con gran esfuerzo, y agobiado por el intenso calor del desierto. Un rico mercader se detuvo en ese oasis a descansar y dar de beber a sus camellos, y pudo observar cmo ese hombre, viejo y sudoroso cavaba con entusiasmo. No pudo evitar la curiosidad y le pregunt qu estaba haciendo. El anciano le contest que estaba sembrando dtiles. Al viajero le pareci un disparate y pens que el calor haba trastornado al viejo; por esa razn lo invit a tomar algo en la posada. Pero el hombre no acept su invitacin porque deba terminar su siembra. Cuando le pregunt qu edad tena ni siquiera pudo recordarla, tal vez ms de ochenta le dijo. Entonces el acaudalado comerciante no pudo evitar sealarle que difcilmente llegara a cosechar algo de su siembra, ya que una palmera de dtiles demora unos cincuenta aos en dar sus frutos; y le insisti para que lo acompaara a tomar una copa. El viejo lo mir y le dijo que todos los dtiles que haba comido hasta ese momento tambin eran de palmeras que haban plantado otros, que tampoco haban soado con llegar a probarlos; y que l no sembraba para l sino para que otros pudieran comer en el futuro los dtiles de la palmera que l estaba plantando, y aunque slo fuera en agradecimiento de aquellos desconocidos que trabajaron para l, esta sola razn mereca que terminara su tarea. Conmovido por la respuesta, el adinerado hombre de negocios sac una bolsa de monedas de oro y recompens al hombre por su enseanza.

Resumen

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El viejo le agradeci sealndole al mismo tiempo que era verdad que no llegara a cosechar lo que sembraba, pero en cambio haba obtenido una bolsa de monedas y la gratitud de un amigo. El rico mercader qued asombrado por tanta sabidura y le regal otra bolsa igual repleta de monedas de oro para demostrarle nuevamente su profundo agradecimiento. El anciano le mostr al viajero que as como l se comportaba era la vida. l haba sembrado para no cosechar, sin pensar en si mismo; y antes de terminar ya haba recibido frutos no slo una vez sino dos veces, sin contar con los dtiles que se obtendran en el futuro cuando las palmeras que l sembrara crecieran para las prximas generaciones. El hombre, qued admirado por lo que haba aprendido y le rog al anciano que no le brindara ms enseanzas porque toda su cuantiosa fortuna no sera suficiente para recompensarlo. Este cuento suf nos ensea que el dinero sirve para comprar cosas tiles pero que la sabidura es valiosa y todo el dinero del mundo no alcanza para pagarla. Que el que solo piensa para si mismo reduce su horizonte, cierra su camino y obstruye el flujo de la abundancia. Que el hombre tiene capacidad para dar vida y para crear lo inimaginable ms all de l mismo; y su caudal de sabidura slo se agota cuando piensa en trminos de su propio ego, que es limitado y finito.

P.D. Los ejercicios son para entregar el dia 23 de marzo del 2012 como hora lmite las 9 a.m.

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