Monomios y Polinomios Susana
Monomios y Polinomios Susana
Monomios y Polinomios Susana
lado
altura
AHORA HAZLO T!
1. Hallar la expresin algebraica que representa el rea de cada figura.
a. b.
c. d.
2. Hallar "A + B", si:
A = 3x
2
(5x
2
) B = 7x
4
(6)
3. Calcular el coeficiente de "A.B" si:
A = 4x
3
y
4
(4xy) B = 7x
5
(5xy
8
)
4. Indicar el exponente de "z", luego de simplificar: "P(x) . Q(x)" si:
P
(x)
= 7(8x
2
z
4
) + 2x
2
z
4
y Q
(x)
= 6(5x
3
z
2
) + 9x
3
z
2
5. Simplificar:
P
(x)
= 3x
2
y
2
(6x
3
y
2
) + 2x
4
y (4xy
3
)
3x
2
5x + 5x
3x 3x
4x
x
7xy
2
2 2 4
2
4
x 3 x 3
x 12
x 36
3 4
6 8
y x 3
y x 48
2 2
10 9
y x 34
y x 34
z y x 3
z y x 15
7 7
7 9
8 11 9
9 12 10
a y x 5
a y x 20
3 3
4 5
yz x 7
yz x 63
Divisin de Monomios
Cmo se dividen MONOMIOS?
Primero : Se dividen las partes numricas, signos y nmeros (coeficientes)
Segundo : Se dividen las partes literales, si tienen variables iguales, se pone la misma
variable y se restan los exponentes.
Si tienen variables diferentes, se deja el cociente indicado.
Se divide coeficiente entre coeficiente y variables iguales respectivamente.
Ejemplos:
a. b.
c. (81x
6
y
4
z
8
) (3x
3
y
3
z
3
) = d.
e f.
g. h. Si se cumple:
i. Si se cumple: (ax
10
y
b
) (2x
c
y
3
) = 3xy; hallar el valor de "a + b - c"
j. Si se cumple: (15x
m + n
y
n + 1
) (px
3
y
4
) = 3x
3
y; hallar "mnp"
k. Si: M(x) = 58x
2
; N(x) = 2x; hallar: M(x) N(x)
" n m " hallar , x 8
nx
x 48
5
2
m
l. Si: P(x) = 100x
3
; Q(x) = 25x
2
; hallar: P(x) Q(x)
m. Hallar: R(x) S(x); si: R(x) = 225x
3
y S(x) = 15x
n. Hallar: A(x;y) B(x;y); si: A(x;y) = 35x
2
y
2
y B(x;y) = 7xy
o. Si: C(x;y) = 48x
4
y
5
y D(x;y) = 12x
2
y
3
; hallar: C(x;y) D(x;y)
p. Hallar: M(x) N(x); si: M(x) = 18x
9
y N(x) = 6x
3
. El G.A. de M(x) N(x) es:
q. Hallar el G.A. de R(x) S(x); si: R(x) = 72x
8
y S(x) = 9x
4
Polinomios
Definicin: Es una expresin algebraica racional entera (los exponentes de sus variables son
nmeros enteros no negativos).
Ejemplos:
a. 2x
2
- 6x b. x
2
+ 2x + 1
c. x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
d. P(x) = x
2
- 2x + 4
e. P(x;y) = x
2
- y
2
f. Q(x) = 4x
3
+ 3x
2
+ x + 3
Grados de un polinomio
Tenemos que distinguir:
a. Grado relativo, respecto a una de sus variables. Est dado por el mayor exponente que
dicha variable tiene en el polinomio.
Ejemplo: En: 5x
2
y
4
+ 3x
3
y
3
+ 2x
4
y + x
5
y
2
, luego, GR
(x)
= 5; GR
(y)
= 4
b. Grado absoluto, respecto a todas sus variables. Est dado por el mayor grado absoluto
de los trminos del polinomio.
Ejemplo:
Sea: P(x;y) = x
2
y
6
+ 3x
4
y
5
- 2x
8
y
2
luego: G.R.(x) = 8 G.R.(y) = 6
Para calcular el grado absoluto, se debe calcular:
- el grado absoluto del 1er trmino = 2 + 6 = 8
- el grado absoluto del 2do trmino = 4 + 5 = 9
- el grado absoluto del 3er trmino = 8 + 2 = 10
- y el mayor es: 10 = G.A.
Nmeros enteros no negativos
significa nmeros mayores o
iguales a cero.
Recuerda:
AHORA HAZLO T
1. Identificar cuntos trminos tiene cada polinomio:
a. P(x) = x
2
+ 2x + 1 b. P(x) = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1
Rpta.: _________________ Rpta.: _________________
c. P(x;y) = x
2
y
2
+ 3x + 3y
3
d. x
2
+ y
2
+ 2xy
Rpta.: _________________ Rpta.: _________________
e. x
3
+ y
3
+ 2x
2
y
2
+ 2y
3
Rpta.: _________________
2. Hallar el grado absoluto de los siguientes polinomios:
a. P(x) = x
5
+ 2x
4
+ 3x
3
+ 2x + 1 b. P(y)
= y
6
+ y
5
+ 4y
4
+ 3y
2
+ 5
Rpta.: _________________ Rpta.: _________________
c. P(x) = 6x
2
+ 3x
3
+7x + 8x
4
d. P(x;y) = 5x
2
y
3
+ 3x
4
y
5
+ 8x
Rpta.: _________________ Rpta.: _________________
e. Q(x;y) = x
6
+ y
6
+ 3x
2
y
4
+ 6x
8
y
3
f. R(x;y;z) = 3x
3
y
4
z
8
+ x
8
y
2
z + z
4
Rpta.: _________________ Rpta.: _________________
3. Hallar el valor de "a", si el grado absoluto del polinomio:
P(x) = x
a
+ 3x
2
; es 3.
Rpta.: _________________
4. Hallar el valor de "b", si se sabe que el grado relativo de "x" es 6 en el siguiente polinomio:
P(x;y) = 5x
2
y
3
+ 3x
b
y
4
Rpta.: _________________
5. Hallar: GR
(x)
y GR
(y)
, si:
P(x;y) = 3x
2
y
3
+ x
4
y + y
4
GR
(x)
= GR
(y)
=
6. Hallar: GR
(x)
; GR
(y)
y GA en:
P(x;y) = 6x
2
+ 3y
5
+ x
4
y
3
+ 7
GR
(x)
= GR
(y)
= G.A. =
7. Indica verdadero (V) si la proposicin es verdadera y falso (F) si es falsa.
El grado absoluto de un polinomio es igual al grado absoluto del ( )
trmino de mayor grado.
En un polinomio el grado relativo respecto a una de sus variables ( )
viene dado por el mayor exponente que tiene dicha variable en el polinomio.
Los trminos algebraicos en un polinomio estn separados por ( )
los signos ( + ) y ( - ).
En: P(x;y) = 3ax
2
y
3
las variables son "a", "x" e "y". ( )
Si: P(x;y;z) = 5x
2
+ 3x
4
y
3
z + 3a sus variables son: "x" e "y". ( )
Adicin y Sustraccin de Polinomios
ADICIN DE POLINOMIOS
Para sumar polinomios, se colocan los polinomios uno debajo del otro, de tal forma que
coincidan los trminos semejantes.
Ejemplo:
a. Sumar: 3x
2
+ 6ab
3
; -2x
2
+ 3ab
3
entonces:
b. Sumar: 9ab
3
+ 4z
4
+ 12b
2
y
3
+ 8x
2
; 5z
4
- 7b
2
y
3
- 5ab
3
c. Sumar: 8x
4
z
5
+ 5m
3
+ 7x
2
y
2
; -3m
3
- 7x
2
y
2
+ 2x
4
z
5
d. Sumar: x
2
+ 2x + 1; +5 - 2x + 7x
2
e. Sumar: 5x
3
+ 4x + 7; 4 - 4x - 5x
3
f. Sumar: x
2
+3x + 5; 3x
2
+ 4x - 2; -7x - 3
g. Sumar: x
10
+ 2x
6
- x
3
- 1; 2x
3
- 2x
6
+ 2x
10
+ 1
h. Sumar: x
2
y
3
+ 3x
3
y
2
; 7x
2
y
3
- 6x
3
y
2
; x
2
y
3
+ 3x
3
y
2
i. Sumar: 7ab
2
+ 5c
3
; 2ab
2
+ 6c
3
; ab
2
- 10c
3
j. Sumar: 6x
3
y + 2xy - 9xy
2
; 4x
3
y + 8xy - xy
2
3x + 6ab
-2x + 3ab
x + 9ab
2 3
2 3
2 3
+
*
*
Si dos o ms cantidades tienen el mismo signo
se suman y se pone el mismo signo.
Si dos cantidades tienen signos contrarios se
restan y se pone el signo del mayor.
Recuerda:
SUSTRACCIN DE POLINOMIOS
Se procede como en la suma de polinomios, slo que esta vez al polinomio sustraendo se le
cambia de signo a cada uno de sus trminos.
a. (6a
3
b
4
+ 2x
3
+ 3mn) - (-mn + 2x
3
- a
3
b
4
)
entonces:
b. (5a
3
+ 7b
2
x
3
+ 9m
3
n
8
) - (4b
2
x
3
- 7a
3
- 5m
3
n
8
)
c. (3x
3
+ 2x
2
+ x + 16) - (-2x
3
- 2x
2
- 6x + 13)
AHORA HAZLO T!
Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
I. Halla el resultado de las siguientes operaciones con monomios.
a. x
3
+ 5x
3
b. 3x
2
+ 8x
2
c. 2xyz + 9xyz d. 11ac - 7ac
e. 13ab - 5ab + 4ab f. 5a
n
- 4a
n
+ 11a
n
g. 10x
m
+ 7x
m
+ 16x
m
h. 7xy
4
+ 2xy
4
- 6xy
4
i. 6ax
9
- 6ax
9
+ 2ax
9
j. xy
n
+ 13xy
n
- 10xy
n
- 2xy
n
II. En los siguientes polinomios, reduce los trminos semejantes de cada clase.
a. 9x + 6y - 4x - 3y
b. 13ab + 6bc - 8ab + 9bc
c. 16an + 3am + 4an - an + 15am - am
d. 6x
2
+ 4y
2
- 3x
2
+ 16 - 2y
2
- 15
6a b + 2x + 3mn
+a b - 2x + mn
7a b + 0 + 4mn
3
4
4 3
3 4 3
3
Observa como los trminos del
sustraendo cambian de signo.
III. Resolver:
a. Restar: -5a + b + 10 de 7a + b + 18
b. Sumar: x
2
+ 14x; -5x + x
2
c. Sumar: a + b - b - a + 2a - 2b
d. Sumar: 3x + x
3
; 4x
2
+ 5; x
3
- 4x
2
+ 6
e. De: 31x
2
y restar - 12x
2
y
f. Restar: "c" de "b"
g. El resultado de sumar: 2x + 5x
2
con el doble de x + 2x
2
es:
h. Indicar el resultado del triple de la suma de: x
3
+ 2x
2
+ 3x + 1 con:
x
2
- 2x
2
- 2x - 1
i. Cul ser el resultado de sumar: el triple de a
2
+ 2ab + b
2
con el doble de:
b
2
- 3ab - a
2
?
j. De: 2x
2
+ 5x + 10 restar 2x
2
+ 2x + 3
IV. Sean los siguientes polinomios:
P(x) = 3x
2
+ 10x + 7
Q(x) = 9 + 11x + 16x
2
R(x) = 17x
3
+ 3x
2
+ 10x + 7
calcular:
a. E = P(x) + Q(x)
b. F = R(x) - P(x)
c. G = P(x) + Q(x) + R(x)
d. H = R(x) - Q(x)
V. Completa la tabla con monomios, de tal manera que al sumar las filas, columnas y
diagonales siempre de 26x
3
.
3x
3
x
3
6x
3
16x
3
2x
3
5x
3
VI. Hallar la expresin algebraica, en cada caso, que represente el permetro de la figura.
(Reducir trminos semejantes, de ser posible)
Permetro es la suma de todas las longitudes de los lados del polgono.
a. b.
c. d.
x + 5
x + 1
P =
P =
x + 2
P =
P =
P =
P =
x + 10
x + 8
x + 6
P =
P =
5x
4x
3x
Multiplicacin de un monomio por un polinomio
Se resuelve aplicando la propiedad distributiva.
Ejemplo 1 Ejemplo 2
Ejemplo 3 Ejemplo 4
Ejemplo 5 Ejemplo 6
5(8 + 3) = 5 . 8 + 5 . 3
= 40 + 15
= 55
6(9 - 3) = 6 . 9 - 6 . 3
= 54 - 18
= 36
6x(3x + 2) = 18x + 12x
2
7(8x + 3x) = 56x + 21x
2 2
AHORA HAZLO T
1. Resuelve y luego simplifica si es posible:
a. 7(8x + 3) g. 3x(3 + 5x
2
+ 3x
3
)
b. 6(3x - 3) h. 8x(7x
3
- 5x
2
+ 6x)
c. 8(x
2
+ 5x - 10) i. 4x
2
(5x
3
- 6x
4
+ 3x
5
)
d. 9(x
3
+ 3x
2
- 4x) j. 5x
2
(3x
2
- 8x
3
- 10x
4
)
e. 10(x
2
+ 6x - 6) k. 12x
3
(6x
2
- 7x
4
- 8x
6
)
f. 11(6x
3
- 3x
2
+ 4x) l. 9x
3
(3x
3
- 6x
2
- 3)
2. Simplificar en cada uno de los siguientes casos:
a. P(x) = 3x(2 + 4x) + (5x + 2)2x
b. Q(x) = 6(3x
2
+ 2) + 8(5x
2
- 1)
c. R(x) = 4x
2
(5 + 3x) + 6x
2
(6 + 8x)
8x(x + 2x + 5) = 8x + 16x + 40x
2 3 2
5x(3x - 6x + 10) = 15x - 30x + 50x
2 3 2
d. S(x) = 5x
3
(x
2
+ 7) + 7x
3
(x
2
- 4)
e. T(x) = x
4
(x
2
+ x
3
) + x
4
(x
3
- x
2
)
f. V(x) = 8(x
2
+ 1) + 6(x
2
+ 2)
g. U(x) = 9(12x + 3) + 7(12x + 4)