TP5 Razon de Cambio 1

FACULTAD DE ECONOMA Departamento de Matemtica Primer Cuatrimestre 2011
ANLISIS MATEMTICO I (Carreras de la Facultad de Ingeniera) Trabajo Prctico N 5 (Primera parte): Razn de cambio
Estrategias para resolver razones de cambio relacionadas. 1. Hacer un grfico y nombrar las variables y las constantes. Usar t para el tiempo. Suponer que todas las variables son funciones diferenciables de t. 2. Escribir la informacin numrica (en trminos de los smbolos elegidos) 3. Escribir lo que se nos pide hallar (usualmente una razn de cambio, expresada como derivada). 4. Escribir una ecuacin que relacione las variables. Podra requerirse combinar dos o ms ecuaciones para obtener una sola ecuacin que relacione la variable cuya razn de cambio se busca y la variable cuya razn de cambio se conoce. 5. Expresar la razn que se busca en trminos de la relacin dada y las variables cuyos valores se conocen. 6. Evaluar. Usar los valores conocidos para hallar la razn desconocida.
Ejemplo: Relaciones de Cambio relacionadas: Bombeo de un tanque. Entre parntesis se indica cada paso de la estrategia para resolverlo Con qu rapidez baja el nivel de un fluido contenido en un tanque cilndrico de almacenamiento, si bombeamos hacia afuera el fluido a razn de 3000 litros / min.?
(1)
dh ? dt
h
dV 3000 L / mmin dt
(2) Dibujamos una imagen de un tanque cilndrico parcialmente lleno, llamando r a su radio y h a la altura del fluido. Sea V el volumen del fluido.
A medida que pasa el tiempo, el radio permanece constante, pero V y h varan. Pensamos en V y h como funciones diferenciables del tiempo y usamos t para representarlo. Sabemos que:
dV 3000 (Bombeamos a razn de 3000 l/min. La razn es negativa porque el volumen dt

disminuye).
(3) Se nos pide hallar: Para hallar
dh dt
(Con qu velocidad baja el nivel?)
dh , primero escribimos una ecuacin que relacione h con V. dt
La ecuacin depende de las unidades que se elijan para V, r, y h. Con V en litros y r y h en metros,
(4) V = 1000 r2 h (porque un metro cbico tiene 1000 litros).
Como V y h son funciones diferenciables de t, podemos diferenciar ambos lados de la ecuacin V = 1000 r2 h con respecto a t para obtener una ecuacin que relacione (5)
dV dh 1000 r 2 dt dt
dh con dt
dV : dt
(r es una constante)
dV dh : 3000 y despejamos dt dt
Sustituimos el valor conocido de (6)

dh 3000 3 dt 1000 r 2 r2
El nivel del fluido disminuye a una razn de
3 metros/min. r2
La ecuacin anterior muestra cmo la razn a la cual el nivel del fluido disminuye depende del radio del tanque.
dh dh ser grande. Y si r es grande ser pequea. dt dt dh Si r = 1 metros, entonces - 95 cm/min. dt dh Si r = 10 metros - 0.95 cm/min. dt
Si r es pequeo,
EJERCICIOS: 1) Se deja caer una piedra en un lago en calma, lo que provoca ondas y crculos. El radio r del crculo exterior est creciendo a un ritmo constante de 1 m/seg. Cuando el radio es 4 metros, a qu ritmo est cambiando el rea A de la regin circular perturbada? 2) Una escalera de 9 metros de largo est apoyada sobre una pared. Suponiendo que la parte inferior de la escalera se desliza alejndose de la pared a razn de 0.9 m/seg, con qu rapidez est cambiando el ngulo entre la escalera y el suelo cuando la parte inferior de la escalera est a 4.5 metros de la pared?. 3) Un pescador ubicado en un puente a 30 metros por encima del nivel del agua, arrastra a un pez que mordi el anzuelo y rebobina el hilo a razn de 1,5 metros por segundo. Cul es la rapidez del pez con respecto al nivel del agua, en el instante en el que se encuentra a 50 metros del pescador? Suponga que el pez est permanentemente en la superficie del agua. Considerar al pescador y al pez como masas puntuales. 4) Un hombre de 1.8 m de altura camina hacia un edificio a razn de 1.5 m/s. Si hay una lmpara sobre el suelo a 15 m del edificio, con qu rapidez se acorta la sombra del hombre sobre el edificio cuando se encuentra a 9 m del mismo?. Ayuda: buscar una relacin entre el ngulo formado por el haz de luz (que emite la lmpara hacia el edificio) y el piso y la altura del hombre. Adems, establecer una relacin entre el ngulo formado por el haz de luz y el piso, la altura de la sombra proyectada y la distancia entre la lmpara y el edificio.

TP5 Razon de Cambio 1

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

TP5 Razon de Cambio 1

Cargado por

Información del documento

Descripción original:

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

TP5 Razon de Cambio 1

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

FACULTAD DE ECONOMA Departamento de Matemtica Primer Cuatrimestre 2011

dV 3000 (Bombeamos a razn de 3000 l/min. La razn es negativa porque el volumen dt

(3) Se nos pide hallar: Para hallar

(Con qu velocidad baja el nivel?)

dh , primero escribimos una ecuacin que relacione h con V. dt

(4) V = 1000 r2 h (porque un metro cbico tiene 1000 litros).

Sustituimos el valor conocido de (6)

El nivel del fluido disminuye a una razn de

También podría gustarte