Aplicaciones de primer orden

Ecuaciones Diferenciales

Prof: Doris González

1. La población de una comunidad crece a una tasa que es proporcional a la población presente en el tiempo t. La
población inicial de 500 individuos aumenta 15% en 10 años. ¿Cuál será la población en 30 años?¿Con cuánta rapidez
está creciendo la población en t = 30?
2. Con frecuencia, el fechado por carbono se usa para determinar la edad de un fósil. Por ejemplo, en una cueva
de Sudáfrica se halló un cráneo humano junto con los restos de una hoguera. Los arqueólogos creen que la edad
del cráneo sea igual a la edad de la hoguera. Se ha determinado que sólo queda 2% de la cantidad original de
carbono 14 en los restos de madera de la hoguera. Estime la edad del cráneo, si la vida media del carbono 14 es de
aproximadamente 5600 años.
3. Era el mediodía en un frío día de diciembre en Tampa: 16 C: El detective Taylor llegó a la escena del crimen para
hallar al sargento sobre el cadáver. El sargento dijo que había varios sospechosos. Si supieran el momento exacto de
la muerte, podrían reducir la lista de sospechosos. El detective Taylor sacó un termómetro y midió la temperatura
del cuerpo: 34:5 C: Luego salió a comer. Al regresar, a la 1 : 00 p.m., halló que la temperatura del cuerpo era de
33:7 C. ¿En qué momento ocurrió el asesinato? [La temperatura normal del cuerpo es de 37 C].
4. En t = 0; una probeta sellada que contiene una sustancia química se sumerge en un baño líquido. En la probeta, la
temperatura inicial de la sustancia es de 80 F: El baño líquido tiene una temperatura controlada (medida en grados
Fahrenheit) dada por Tm = 100 40e 0:1t ; t 0; donde t se mide en minutos. Asuma k = 0:1 para determinar la
temperatura en el tiempo t:
5. Un tanque grande se llena a toda su capacidad con 500 galones de agua pura. Hacia el tanque se bombea salmuera,
conteniendo 2 libras de sal, a velocidad de 5 galones por minuto. Perfectamente mezclada, la solución se bombea
hacia fuera a la misma velocidad. Encuentre la cantidad A(t) de libras de sal presentes en el tanque en el tiempo t,
¿cuál es la concentración c(t) de sal en el tanque en el tiempo t? ¿En t = 5 minutos? ¿Cuál es la concentración de
sal en el tanque después de un largo tiempo, es decir cuando t ! 1? ¿En qué tiempo la concentración de sal en el
tanque es igual a la mitad de este valor límite?
6. Un tanque grande se llena a toda su capacidad con 500 galones de agua pura. Hacia el tanque se bombea salmuera,
conteniendo 2 libras de sal, a velocidad de 5 galones por minuto. Perfectamente mezclada, la solución se bombea
hacia fuera velocidad de 10 galones por minuto. Encuentre la cantidad A(t) de libras de sal presentes en el tanque
en el tiempo t.
7. Una fuerza electromotriz de 30 volts se aplica a un circuito LR en serie donde la inductancia es de 0.1 henrys y la
resistencia de 50 ohms. Encuentre la corriente i(t) si i(0) = 0. Determine la corriente cuando t ! 1.
8. Una fuerza electromotriz de 100 volts se aplica a un circuito RC en serie donde la resistencia es de 200 ohms y la
capacitancia de 10 4 farads. Encuentre la carga q(t) sobre el capacitor si q(0) = 0. Determine la corriente i(t).
120 si 0 t 20
9. Una fuerza electromotriz E(t) = se aplica a un circuito LR en serie que tiene inductancia de
0 si t > 20
20 henrys y resistencia de 2 ohms. Encuentre la corriente i(t) si i(0) = 0.
10. ¿Qué tan alto? Sin resistencia del aire Suponga que una bala de cañón que pesa 16 libras se dispara verticalmente
hacia arriba con velocidad inicial de v0 = 300 ft/s. La respuesta la pregunta “¿qué tan alto puede llegar la bala?”
depende de si se toma en cuenta la resistencia del aire.a) Suponga que ignoramos la resistencia del aire. Si la dirección
positiva es ascendente, entonces el modelo para el estado de la bala de cañón estará dado por d2 s=dt2 = g Dado que
ds=dt = v(t), la última ecuación diferencial es igual a dv=dt = g, de donde tomamos que g = 32f t=s2 . Encuentre
la velocidad v(t) de la bala de cañón en el tiempo t b) Use el resultado obtenido en la parte a) para determinar la
altura s(t) de la bala de cañón medida desde el nivel del suelo. Encuentre la altura máxima que alcanzó esta bala.

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11. ¿Qué tan alto? Resistencia lineal del aire Repita el problema anterior pero esta vez asuma que la resistencia del
aire es proporcional a la velocidad instantánea. Es lógico pensar que la altura máxima alcanzada por la bala de
cañón debe ser menor que la de la parte b) del problema anterior. Demuestre esto suponiendo que la constante de
proporcionalidad es k = 0:0025
12. Una paracaidista pesa 125 libras, y su paracaídas y equipo juntos pesan otras 35 libras. Después de salir del avión a
una altitud de 15 000 pies, ella espera 15 segundos y abre su paracaídas. Asuma que la constante de proporcionalidad
tiene el valor de k = 0:5 durante la caída libre y k = 10 después de abrirse el paracaídas. ¿Cuál es su velocidad
y cuán lejos se ha trasladado la paracaidista 20 segundos después de abandonar el avión? ¿Cómo se compara su
velocidad a 20 segundos con su velocidad terminal? ¿En cuánto tiempo llegará al suelo? [Sugerencia: Piense en
términos de dos problemas de valor inicial distintos.]
13. Cierto modelo matemático de la tasa a la que un medicamento se difunde en el torrente sanguíneo está dado por
dx=dt = r kx, donde r y k son constantes positivas. La función x(t) describe la concentración del medicamento en
el torrente sanguíneo en el tiempo t. a) Dado que la ED es autónoma, use el concepto de retrato fase para encontrar
el valor limitante de x(t) cuando t ! 1. b) Resuelva la ED sujeta a x(0) = 0. Trace la grá…ca de x(t) y veri…que
la predicción que hizo usted en la parte a). ¿En qué tiempo la concentración es la mitad de este valor limitante?
14. La cantidad N(t) de supermercados que utilizan un sistema computarizado de cobro en cajas en todo el país se
dN
describe mediante el problema de valor inicial = N (1 0:0005N ); N (0) = 1: a) Utilice el concepto de retrato
dt
fase estudiado para predecir cuántos supermercados se espera que adopten el nuevo procedimiento durante un largo
periodo. Trace a mano una curva solución para el problema de valor inicial dado. b) Resuelva el problema de
valor inicial y después utilice una herramienta de gra…cación para veri…car la curva solución trazada en la parte a).
¿Cuántas compañías se espera que adopten la nueva tecnología cuando t = 10?

(a) Si en un criadero de peces se cosecha una cantidad constante h por unidad de tiempo, entonces un modelo para
la población P(t) del criadero en el tiempo t está dado por dP
dt = P (a b)P h, P (0) = P0 , donde a; b; h y P0
son constantes positivas. Suponga que a = 5, b = 1 y h = 4. Dado que la ED es autónoma, use el concepto de
retrato fase para trazar las curvas solución representativas correspondientes a los casos P0 > 4, 1 < P0 < 4 y
0 < P0 < 1. Determine el comportamiento de largo plazo de la población para cada caso.
(b) Resuelva el PVI dado en la parte a). Veri…que los resultados de su retrato fase de la parte a) mediante una
herramienta de gra…cación para trazar la grá…ca de P (t) con una condición inicial tomada de cada uno de los
tres intervalos dados. )
(c) Use la información de a) y b) para determinar si la población del criadero se extinguirá en un tiempo …nito.
De ser así, determine ese tiempo.

15. Dos productos químicos A y B se combinan para formar un nuevo producto químico C. La tasa, o velocidad, de la
reacción es proporcional al producto de las cantidades instantáneas de A y B que no se han convertido en el químico
C. En un principio hay 40 gramos de A y 50 gramos de B, y para cada gramo de B se usan 2 gramos de A. Se observa
que se forman 10 de gramos de C en 5 minutos. ¿Cuánto se forma en 20 minutos? ¿Cuál es la cantidad limitante de
C después de un tiempo largo? ¿Qué cantidad de los químicos A y B permanece después de un gran tiempo?

16. Un segmento de una cadena uniforme de 8 pies de longitud está enredado holgadamente alrededor de una clavija
situada a la orilla de una plataforma horizontal elevada, y la parte restante de la cadena cuelga en reposo sobre
la orilla de la plataforma. Asuma que la longitud de la cadena colgante es de 3 pies, que la cadena pesa 2 lb/ft,
y que la dirección positiva es hacia abajo. En t = 0 segundos, el peso de la porción colgante ocasiona que sobre
la plataforma la cadena se desenrolle suavemente y caiga hacia el piso. Si x(t) denota la longitud de la cadena
colgante que sobresale de la plataforma en el momento t > 0, entonces su velocidad es v = dx=dt. Cuando se ignoran
todas las fuerzas resistivas, es posible demostrar que un modelo matemático que relaciona a v con x está dado por
dv
xv + v 2 = 32x: Encuentre v(x):
dx

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 EJERCICIOS PARA ESTUDIAR

17. El aire de una pequeña habitación de 12 por 8 por 8 pies tiene 3% de monóxido de carbono. A partir de t = 0, se
introduce aire fresco sin monóxido de carbono en la habitación, a razón de 100 pies cúbicos/minuto. Si el aire de
la habitación sale por una ventila con la misma razón, ¿en qué momento tendrá el aire de la habitación 0.01% de
monóxido de carbono?
18. La sangre conduce un medicamento a un órgano a razón de 3 cm3 /s y sale con la misma razón. El órgano tiene un
volumen líquido de 125 cm3 . Si la concentración del medicamento en la sangre que entra al órgano es de 0,2 g/cm3 ,
¿cuál es la concentración del medicamento en el órgano en el instante t, si inicialmente no había rastros de dicho
medicamento? ¿En qué momento llegará la concentración del medicamento en el órgano a 0,1 g/cm3 ?
19. En 1970, la población de lagartos en los terrenos del Centro Espacial Kennedy se estimó en 300. En 1980, la
población había aumentado hasta un estimado de 1500. Use la ley de Malthus para el crecimiento de poblaciones y
estime la población de lagartos en el año 2020.
20. Una paracaidista cuya masa es de 75 kg se arroja de un helicóptero que vuela a 2000 m sobre el suelo y cae hacia
éste bajo la in‡uencia de la gravedad. Suponga que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la
velocidad de la paracaidista, con la constante de proporcionalidad b1 = 30 N-s/m cuando el paracaídas está cerrado
y b2 = 90 N-s/m cuando se abre. Si el paracaídas no se abre hasta que la velocidad de la paracaidista es de 20 m/s,
¿después de cuántos segundos llegará ella al suelo?
21. Un bote de motor pesa 32,000 lb y su máquina proporciona un empuje de 5000 lb. Considere que la resistencia del
agua es de 100 lb por cada ft/s de la velocidad v del bote. Entonces 1000 dv
dt = 5000 100v. Si el bote inicia a partir
del reposo, ¿qué velocidad máxima puede alcanzar?
22. De acuerdo con una información periodística, un soldado sobrevivió a un salto de entrenamiento en paracaídas desde
un avión a 1200 ft de altura cuando el dispositivo falló al abrirse, pero le proporcionó cierta resistencia mientras
caía con el paracaídas cerrado, y alcanzó el piso a 100 mi/h después de haber caído por 8 s. Pruebe la exactitud de
estas mediciones. (Sugerencia: encuentre r en la ecuación (4) considerando una velocidad terminal de 100 mi/h, y
calcule posteriormente el tiempo para caer 1200 ft.)
23. La razón de cambio con respecto al tiempo de una población de conejos P es proporcional a la raíz cuadrada de
P . En el tiempo t0 (meses) el número de conejos es de 100, y esta cifra crece a una tasa de 20 individuos por mes.
¿Cuántos conejos habrá un año después?
24. Considere que un p
cierto lago se llena con peces y que las tasas
p de natalidad y mortalidad b y d son ambas inversamente
proporcionales a P . (a) Muestre que P (t) = ( 21 kt + P0 )2 , donde k es una constante. (b) Si P0 = 100 y en 6
meses hay 169 peces en el lago, ¿cuántos habrá después de 1 año?
25. Suponga que una comunidad cuenta con 15,000 personas que son susceptibles de adquirir el síndrome de Michaud,
una enfermedad contagiosa. En el tiempo t = 0 el número N (t) de personas que han desarrollado el padecimiento
es de 5000 y éste se incrementa a una tasa de 500 sujetos por día. Asuma que N (t) es proporcional al producto
del número de aquellos que han adquirido la enfermedad y el de aquellos que no. ¿Cuánto tiempo tomará para que
otras 5000 personas desarrollen el síndrome de Michaud?
26. Suponga una población de conejos P (t) que satisface la ecuación logística como en el problema 15. Si la población
inicial es de 120 conejos y hay 8 nacimientos y 6 muertes por mes que ocurren en el tiempo t = 0, ¿cuántos meses
le tomará a P (t) alcanzar 95% de la población límite M?
27. Un tanque semiesférico tiene un radio superior de 4 ft y en el tiempo t = 0 está lleno de agua. En ese momento se
le hace un ori…cio circular con un diámetro de 1 pulgada en el fondo del tanque. ¿Cuánto tiempo tomará a toda el
agua salir del tanque?

28. En cierta roca lunar se encontró igual contenido en el número de átomos de potasio que de argón. Considere que
todo el argón es el resultado del decrecimiento radiactivo del potasio (su vida media es de alrededor de 1:28 109
años) y que una de cada nueve desintegraciones del átomo de potasio produce un átomo de argón, ¿cuál es la edad
de la roca, medida desde el tiempo en que contenía potasio solamente?

29. Un tanque de 100 galones contiene inicialmente 100 galones de agua azucarada con una concentración de 0:25 libras
de azúcar por galón. Suponga que se agrega azúcar al tanque p libras por minuto, que el agua azucarada se retira
a razón de 1 galón por minuto y se mantiene bien mezclada.

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 (a) ¿Qué valor de p debemos escoger para que, cuando queden en el tanque 5 galones de agua azucarada, la
concentración sea de 0:5 libras de azúcar por galón?
(b) ¿Es posible escoger p de manera que la última gota de agua en la cubeta que tenga una concetración de 0:75
libras de azúcar por galón?

30. Un radioisótopo utilizando en forma común para la detección de cáncer de mama es el tecnecio 99m. Este radionúclido
se agrega a una solución que, inyectada a un paciente, se acumula en los lugares cancerosos. Luego se detecta la
radiación del isótopo y se localiza el sitio, usando cámaras gama y otros dispositivos tomográ…cos. El tecnecio 99m
dy
decae radioactivamente, de acuerdo con la ecuación = ky, donde k = 0:1155=h. La corta vida del tecnecio 99m
dt
tiene la ventaja que su radioactividad no pone en peligro al paciente.Una desventaja es que el isótopo debe fabricarse
en un ciclotrón. Como los hospitales no tienen ciclotrones, las dosis de tecnecio 99m deben ordenarse de antemano
con los surtidores médicos. Suponga que debe administrarse una dosis de 5 milicuries (mCi) de tecnecio 99m a un
paciente. Estime el tiempo de entrega desde el lugar de producción hasta la llegada a la sala de tratamiento del
hospital como 24 horas y calcule la cantidad del radionúclido que debe solicitar el hospital para lograr administrar
la dosis adecuada.
31. El plasma sanguíneo se almacena a 40 F . Antes de poder usarse, el plasma debe estar a 90 F . Al colocar el plasma
en un horno a 120 F , se necesitan 45 minutos para que éste se caliente hasta 90 F . Suponga que podemos aplicar
la ley de enfriamiento de Newton. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el plasma se caliente hasta 90 F si la
temperatura del horno se …ja en (a) 100 F , (b) 140 F y (c) 80 F ?
32. Un problema geométrico que aparece con frecuencia en ingeniería es el de determinar una familia de curvas (trayec-
torias ortogonales) que intersecte a una familia dada de curvas en forma ortogonal en cada punto. Por ejemplo,
nos dan las líneas de fuerza de un campo eléctrico y queremos determinar la ecuación de las curvas equipotenciales.
Considere la familia de curvas descritas por F (x; y) = k, donde k es un parámetro. Recuerde, que para cada curva
@F
dy
de la familia, la pendiente está dada por = @x :
dx @F
@y

(a) Recuerde que la pendiente de una curva que sea ortogonal (perpendicular) a una curva dada es justamente el
negativo del recíproco de la pendiente de la curva dada. Use este hecho para mostrar que las curvas ortogonales
@F (x; y) @F (x; y)
a la familia F (x; y) = k satisfacen la ecuación diferencial dx + dy = 0:
@y @x
(b) Use la ecuación diferencial anterior para mostrar que las trayectorias ortogonales a la familia de curvas x2 +
y 2 = kx, don de k es un parámetro, satisfacen (2yx 1 )dx + (y 2 x2 1)dy = 0 . Determine las trayectorias
ortogonales resolviendo la ecuación anterior. Bosqueje la familia de curvas, junto con sus trayectorias ortogonales
[Sugerencia: Trate de multiplicar la ecuación por un factor de la forma xm y n ].

33. (La clepsydra, o reloj de agua) Un reloj de agua de 12 horas se diseña con las dimensiones que se muestran en la
…gura, dada la forma de la super…cie obtenida al girar la curva y = f (x) alrededor del eje y. ¿Cuál debe ser esta
curva, y qué radio debe tener el ori…cio circular del fondo para que el nivel del agua caiga a una velocidad constante
de 4 pulgadas por hora in/h?

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Tomado de:

Matemáticas avanzadas para ingeniería: Ecuaciones Diferenciales. Zill