Libro Matematicas 1ESO
Libro Matematicas 1ESO
Libro Matematicas 1ESO
matemticas
1
Objetivos
En esta quincena aprenders a:
Antes de empezar 1.Nmeros naturales pg. 6 Sistema de numeracin decimal Escritura Orden y redondeo 2.Operaciones pg. 8 Suma y resta Multiplicacin y divisin Jerarqua de las operaciones 3.Potencias pg. 10 Con exponente natural Propiedades 4.Races cuadradas pg. 12 Raz cuadrada exacta Raz cuadrada entera 5.La calculadora pg. 13 Raz cuadrada exacta Raz cuadrada entera Ejercicios para practicar Para saber ms Resumen Autoevaluacin Actividades para enviar al tutor
Leer y escribir nmeros mediante el sistema de numeracin decimal. Utilizar los smbolos de desigualdad. Redondear nmeros naturales. Realizar operaciones respetando la jerarqua. Calcular potencias y conocer sus propiedades. Calcular races cuadradas por tanteo.
MATEMTICAS 1 ESO
El misterioso nmero
triangulares
Elige un nmero de cuatro cifras distintas.
1. Escribe
El primer nmero triangular es 1. El segundo nmero triangular es 1+2=3. El tercer nmero triangular es 1+2+3=6 El dcimo nmero triangular 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 es
el mayor nmero que se puede formar con las cuatro cifras. el menor nmero que se puede formar con las cuatro cifras. Si hay ceros, se colocan al principio del nmero.
2. Escribe
Repite varias veces los tres pasos anteriores con el nmero obtenido en el tercer paso. Siempre se llega a 6174 en menos de 7 veces. Lo descubri Kaprekar y por eso este nmero lleva su nombre.
Sabras cul es el centsimo nmero triangular? Es decir, cunto vale 1+2+3+4+ y as sucesivamente hasta 100. No se trata de usar una calculadora o un ordenador. Busca una manera de sumar estos nmeros.
MATEMTICAS 1 ESO
7 5 7 0 3
3 unidades 3 0 decenas 0 7 centenas 700 5 unidades de millar 5000 7 decenas de millar 70000 75703
92013.0981099.421
nueve billones trece mil noventa y ocho millones noventa y nueve mil cuatrocientos veintiuno
Despus se leen de izquierda a derecha como si fuesen nmeros de tres cifras. Se aaden las palabras mil, trillones,... donde corresponda. millones, billones,
Redondeo de un nmero
Es la sustitucin, a partir de cierto lugar, de todas las cifras por ceros. Pero si la primera cifra que se sustituye es 5 o mayor que 5 se aumenta en uno la cifra anterior a la sustituida.
La cifra de los millones es 1, la cifra siguiente es un 4, menor que 5, luego el n redondeado es:
a. 126346 b. 33848590040 c. 734623783774 con palabras los siguientes nmeros: 90917 1200219 29073000116 10023456789 Noventa mil novecientos diecisiete. Un milln doscientos mil doscientos diecinueve. Veintinueve mil setenta y tres millones ciento diecisis. Diez mil veintitrs millones cuatrocientos cincuenta y seis mil setecientos ochenta y nueve.
2.
Escribe a. b. c. d.
Solucin
a. b. c. d.
3.
Utiliza los smbolos < o > para las siguientes parejas de nmeros: a. 344 433 b. 553675 553756 c. 900900 9008990
Solucin
4.
Aproxima mediante redondeo: a. 55344 a las centenas b. 29999999 a las decenas de millar c. 734545454847 a las unidades de millar de milln
Solucin
MATEMTICAS 1 ESO
Resta
Los nmeros que intervienen en una resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia: MinuendoSustraendo=Diferencia
Multiplicacin
La multiplicacin de un nmero a, mayor que 1, por otro b es la suma de a sumandos iguales al nmero b. Se expresa axb o ab; a y b se llaman factores.
Propiedades
Conmutativa: ab=ba
Propiedad conmutativa: 1860=6018 Propiedad asociativa: (1860)10=18(6010)
Asociativa: (ab)c=a(bc)=abc
Divisin
La divisin es la operacin contraria a la multiplicacin y se expresa a:b o a/b. a:b=c significa que a=bc; a es el dividendo, b el divisor y c el cociente. Muchas veces la divisin no es exacta. Por ejemplo, 45:8 no es una divisin exacta porque 85=40 y 86=48; entonces 45 entre 8 tiene de cociente 5 y de resto 4540=5.
Divisin exacta Dividendo=divisor cociente 18 = 6 3
MATEMTICAS 1 ESO
3) Sumas y restas
Si solo hay multiplicaciones y divisiones o solo hay sumas y restas, se realizan de izquierda a derecha. Otras propiedades Elemento neutro para la suma: 0. 0+a=a Elemento neutro para el producto: 1. 1a=a Propiedad distributiva: a(b+c)=ab+ac 0a=0
=(7+15)-5=22-5=17
5.
Clculo mental:
a) 23+6= g) 76-4= m) 39= r) 35:5= Solucin a) 29 g) 72 m) 27 r) 7 b) 57+8= h) 52-5= n) 68= s) 63:9=
EJERCICIOS resueltos
c) 39+4= i) 66-8= ) 77= t) 18:6= d) 54+9= j) 94-9= o) 96= u) 32:4= e) k) p) v) 76+5= 25-7= 67= 56:8= f) 88+7= l) 44-6= q) 88= w) 42:7=
b) 65 h) 47 n) 48 s) 7
c) 43 i) 58 ) 49 t) 3
d) 63 j) 85 o) 54 u) 8
e) k) p) v)
81 18 42 7
f) 95 l) 38 q) 64 w) 6
6.
Calcula:
b) (7+6)3= d) 6+48= f) 67+85= h) 81=
b) 133=39 f) 42+40=82 c) 3+9=12 g) 9
i) 70=
d) 6+32=38 i) 0
h) 8
7.
a) (4+5)6=
Solucin a) 46+56=24+30=54
c) (8+2)6=
c) 86+26=48+12=60
8.
a) 47+57=
Solucin a) (4+5)7=97
c) 67+47=
c) (6+4)7=107
9.
a)
Simplifica y calcula:
14 2 2 2 Solucin a) 14 / 2 2 2 /
b)
56 5 5 7 56 / 5 5 7 / 56 7
c)
36 8 8 4 36 / 8 36 4
14 2
= 7
b)
= 8
c)
8 4
= 9
MATEMTICAS 1 ESO
249 = 2641807540224
15=11111=1 110=1111111111=1 103=101010=1000 105=1010101010=100000
Ejemplos:
6365=63+5=68
58:52=58-2=56
(45)3=453=415
6323=(62)3=123
95:35=(9:3) 5=35
70=1
81=8
10
MATEMTICAS 1 ESO
b) 77+9=716 d) 2319+16=2335
12.
a) 57:53=
a) 57-3=54 c) 1310-5=135
Solucin
c) 1310:135=
d) 2218:226=
am:an = amn
13.
a) (46)2=
a) 462=412 c) 10104=1040
Solucin
c) (1010)4=
14.
a) 3646=
a) (34)6=126 9 c) (1012)9=120
Solucin
b) (86)7=487 d) (2012)14=24014
anbn = (ab)n
15.
Expresa con una nica potencia: b) 127:37 c) 489:89= d) 7713:1113 an:bn = (a:b)n
a) 85:45=
a) (8:4)5=25 c) (48:8)9=69
Solucin
b) (12:3)7=47 d) (77:11)13=711
16.
Calcula: b) 81= b) 8 d) 123 c) 470 d) 1231= a0 = 1 a1 = a b) 104= b) 10000 d) 1000000000 c) 183 1n = 1 10n = un 1 y n ceros d) 109=
a) 70= a) 1 c) 1 17.
Solucin
Calcula:
a) 18= a) 1 c) 1
Solucin
MATEMTICAS 1 ESO
11
El smbolo se llama radical y el nmero que est dentro del radical es el radicando. Si un nmero se eleva al cuadrado se obtiene un nmero cuadrado. Los nmeros cuadrados tienen una raz cuadrada exacta.
18. a)
Calcula:
81
Solucin
EJERCICIOS resueltos
b)
625
c)
19. a)
Calcula:
43
Solucin
2 2
b)
777
c)
2000
43 =6 y resto 7
Observa tambin cuntas cifras admite para un nmero. La de la imagen admite 13 cifras pero si pones ms cifras redondea el nmero.
Cientfica
Su principal caracterstica es que las operaciones se realizan respetando la jerarqua de las operaciones. Adems muchas teclas sirven para realizar dos o ms acciones. Para activar esa segunda accin hay que pulsar primero otra tecla (SHIFT o una tecla de cierto color). En esta calculadora basta pulsar encima. Adems, en unas calculadoras primero se pulsa el nmero y despus la accin (como en sta), y en otras primero la accin y despus el nmero.
La tecla sirve para hacer races cuadradas y la tecla x2 para elevar al cuadrado. La tecla AC borra todo lo que se haya introducido y la tecla SAC borra lo que est en la memoria. La tecla xy sirve para hacer potencias y la tecla EXP indica en cuntos ceros acaba el nmero. Por ejemplo, si tecleas 8 EXP 3 = aparecer 8000; o si ves 34EXP10 significa 340000000000
20.
Dile a un amigo: "Mi calculadora est loca. Si escribo 123456789 y pulso la tecla +, el ltimo 9 se coloca al principio". Antes de comprobarlo, sin que te vean, haz lo siguiente: 1) Pulsa la tecla CA 2) Teclea 788888889 (un siete, siete ochos y un nueve) 3) Pulsa + 4) Pulsa 0 5) Pulsa la tecla CE Ya est lista la calculadora: cuando alguien escriba 123456789 y pulse + aparecer en pantalla 912345678. Sabes el porqu? El experimento no se puede volver a repetir a no ser que vuelvas a prepararla con los 5 pasos anteriores.
EJERCICIOS resueltos
Solucin En el paso 1, se borr todo en la calculadora. En los pasos 2, 3 y 4 haba introducido 7888888889+0. En el paso 5 se borra el cero pero est preparada para hacer una suma. 7888888889+123456789=912345678.
MATEMTICAS 1 ESO
13
1. En
un partido de baloncesto, un jugador de 2,05 m de altura, ha encestado 12 canastas de dos puntos y 5 de tres puntos. Cuntos puntos anot? de las decenas por un 7, y se obtiene un nuevo nmero. Cul es la diferencia entre estos dos nmeros? y yo 12. Cuntos aos tendr mi madre cuando yo tenga 21 aos? que Alicia. Quin es la ms alta de las tres?
b) 249+33:3-27= c) 1418-48:2-6=
11. Calcula:
cada habitacin estn 4 amigos y 2 gatos. Cada amigo tiene 5 . Cuntos euros tienen mis amigos? El precio de cada disco es 7 . Cuntos discos puedo comprar, como mximo, con mi dinero?
autobs en el que estn 11 viajeros. En la primera parada bajan 5 personas y suben 4. En la siguiente parada suben 8 y bajan 3. Con estas dos paradas, cuntos viajeros estn en el autobs?
9. Calcula:
a) 186-45:3+18=
14
MATEMTICAS 1 ESO
10 11 12 13 14 15 X B N J Z S
16 17 14 18 19 20 21 Q V Z H L C K
(2+3)2=52=25 22+32=4+9=13
Cuidado...
Con las sumas y restas de potencias o races:
(a+b)2a2+b2
a+b a+ b
9 + 16 = 25 = 5 9 + 16 = 25 = 5
Observa que lo anterior sera cierto si se cambia la suma por una multiplicacin o una divisin.
El sistema de numeracin
El sistema de numeracin decimal, o sistema indoarbigo, tiene su origen en la India y, por los documentos que se conocen, se introdujo en Europa a travs de los rabes durante la invasin de la pennsula Ibrica. El primer documento conocido en el que aparecen escritas las cifras indoarbigas es el Cdice Vigilanus, del siglo X (ao 976). Su autor es el monje Vigila del monasterio de San Martn en Albelda (La Rioja).
Nmeros triangulares
Los nmeros triangulares son: 1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 1+2+3+4+5+6=21 1+2+3+4+5+6+7=28
Observa la figura: Si necesito saber 1+2+3+4+...+11+12 coloco esta cantidad de puntos naranjas y los mismos de puntos verdes como en la figura. Todos ellos forman un rectngulo de lados 12 y 13 luego hay 1213=156 puntos en total. Y la mitad de cada color: 1+2+3+4+...+11+12=(1213):2=68 Siguiendo la misma idea: 1+2+3+4+...+86+87=(8788):2=3828
12
El n de puntos naranjas es el mismo que el de puntos verdes. Todos ellos forman un rectngulo
12 + 1
MATEMTICAS 1 ESO
15
Hay diez cifras o dgitos para formar los nmeros. Cada cifra tiene un valor dependiendo de la posicin que ocupe (en el nmero 3588, la cifra 5 vale 500). Los nmeros estn ordenados y se usa el smbolo < para menor que y > para mayor que. Redondear un nmero es sustituir sus ltimas cifras por ceros pero observando la primera cifra que se sustituye por si hay que aadir una unidad a la cifra anterior.
Operaciones
En la suma hay sumandos; en la resta est el minuendo y el sustraendo, y el primero tiene que ser mayor que el segundo; en la multiplicacin hay factores; en la divisin se cumplir:
dividendo = divisor cociente + resto (resto<divisor)
dividendo divisor
resto
cociente
Cuando se realicen operaciones combinadas, primero se hacen los parntesis, despus los productos y divisiones, y lo ltimo son las sumas y restas.
Potencias
Una potencia es una multiplicacin de factores iguales. El factor que se repite es la base y el exponente es el n de veces que se repite la base. Propiedades: aman = am+n anbn = (ab)n a1 = a am:an = am-n an:bn = (a:b)n 1n = 1
baseexponente
Raz cuadrada
Si no hay raz exacta, elegimos el mayor nmero b tal que b2<a, y habr un resto=a-b2.
Usar la calculadora
Antes de usar una calculadora debes saber si es cientfica (respeta la jerarqua de las operaciones) o estndar (realiza las operaciones en el orden en que se introducen).
16
MATEMTICAS 1 ESO
5. Efecta 93+6(9-5+9)
6. Efecta 10+87-(6-10:5)
9. Completa
= 23
MATEMTICAS 1 ESO
17
12. a) 244
b) 9072 c) 336
13. a) 710
b) 56 c) 221 d) 916 e) 86 f) 340
14. a) 107
b) 26 c) 305 d) 38
10. a) 111
b) 200 c) 222
15. a) 1
b) 6 c) 1 d) 1000000
11. a) 448
b) 7320 c) 783
16. a) 3103+4102+510+6
b) 1103+0102+810+9
Soluciones AUTOEVALUACIN
1. cincuenta mil novecientas veinticuatro 2. 30147 3. 500000 km2 4. 5103+0102+810+3 5. 105 6. 62 7. 73 8. 522 9. 529 10. 19 cromos (y sobran 3)
No olvides enviar las actividades al tutor
18
MATEMTICAS 1 ESO
2
Objetivos
En esta quincena aprenders a:
Mltiplos y divisores
Saber si un nmero es mltiplo de otro. Reconocer las divisiones exactas. Hallar todos los divisores de un nmero. Reconocer los nmeros primos. Descomponer un nmero en sus factores primos. Hallar el mnimo comn mltiplo de varios nmeros. Hallar el mximo comn divisor de varios nmeros. Resolver problemas sencillos aplicando estos conocimientos.
Ejercicios para practicar Para saber ms Resumen Autoevaluacin Actividades para enviar al tutor
MATEMTICAS 1 ESO
19
20
MATEMTICAS 1 ESO
Mltiplos y divisores
Antes de empezar
Esta cascada de nmeros se transforma despus en un baile. Los nmeros que bajan, al llegar al centro comienzan un movimiento circular, cada nmero segn su valor, de manera que, al completar un ciclo, un nmero se encuentra con un mltiplo suyo. Segn ello podemos distinguir cuatro clases de nmeros: o o o o El nmero 0, que sigue su camino recto, ajeno a todo, y desaparece. El nmero 1, que incide sobre cada nmero de los que bajan. Los nmeros que al llegar al centro coinciden solamente con el nmero 1. Hacen sus ciclos por la izquierda. Son los nmeros primos. Los nmeros que, al llegar al centro coinciden con algn otro nmero adems del 1, hacen sus ciclos por la derecha. Son los nmeros compuestos.
MATEMTICAS 1 ESO
21
Mltiplos y divisores
1. Mltiplos y divisores
Los mltiplos de un nmero
Los mltiplos de un nmero natural son los nmeros naturales que resultan de multiplicar ese nmero por otros nmeros naturales. Decimos que un nmero es mltiplo de otro si lo contiene un nmero entero de veces. Los 50 primeros mltiplos de 7:
0 35 70 105 140 175 210 245 280 315 7 42 77 112 147 182 217 252 287 322 14 49 84 119 154 189 224 259 294 329 21 56 91 126 161 196 231 266 301 336 28 63 98 133 168 203 238 273 308 343
El nmero 0 solamente tiene un mltiplo, que es el 0. Los dems nmeros naturales tienen infinito nmero de mltiplos. El nmero 0 es mltiplo de todos los nmeros. Todos los nmeros son mltiplos de 1.
42 0
7 6 39 7
8 4
tiene 12 divisores
tiene 8 divisores
Solamente el 0 tiene infinito nmero de divisores, ya que todos los nmeros son divisores de 0. El nmero 1 tiene solamente un divisor. El 0 y el 1 son nmeros especiales.
22
MATEMTICAS 1 ESO
Mltiplos y divisores
Criterios de divisibilidad
El nmero 1650 Acaba en 0, es mltiplo de 2 Sus cifras suman 1+6+5+0=12, es mltiplo de 3 Acaba en 0, es mltiplo de 5 Tambin es mltiplo de 10 1+5=6, 6+0=6, y 6-6=0 es mltiplo de 11 El nmero 49275 4+9+2+7+5=27, es mltiplo de 3 y tambin de 9. Acaba en 5, es mltiplo de 5
Podemos saber fcilmente si un nmero es divisible por otro sin necesidad de hacer la divisin, observando estas caractersticas:
Los mltiplos de 2 terminan en 0, 2, 4, 6, 8. En los mltiplos de 3 si sumamos el valor individual de sus cifras resulta tambin un mltiplo de 3. Los mltiplos de 5 terminan en 0 5. En los mltiplos de 9 si sumamos el valor individual de sus cifras resulta tambin un mltiplo de 9. Los mltiplos de 10 terminan en 0. En los mltiplos de 11 si sumamos los valores individuales de las cifras que estn en posiciones par, aparte sumamos los valores individuales de las cifras que estn en posiciones impar, restamos esas cantidades nos da un mltiplo de 11, el 0 tambin lo es.
EJERCICIOS resueltos
1. Cules de los siguientes nmeros son mltiplos de 6? 33, 54, 9, 88, 68, 6, 89, 53, 73, 77, 42, 3.
Solucin: Son mltiplos 54, 6 y 42. 33, 9, 88, 68, 89, 53, 73, 77, y 3.
No son mltiplos
2.
3.
Cules de los siguientes nmeros son divisores de 48? 4, 7, 6, 35, 10, 8, 24, 1, 3, 17, 21, 12. Solucin: Son divisores 4, 6, 8, 24, 1, 3, 12. No son divisores 7, 35, 10, 17, 21.
4.
El nmero 74652, es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11? Solucin Es divisible por 2, 3, 4, y 6. No es divisible por 5, 8, 9, 10 y 11.
MATEMTICAS 1 ESO
23
Mltiplos y divisores
2. Nmeros primos y compuestos
Nmeros primos y nmeros compuestos
Al comprobar cuntos divisores tienen los nmeros observamos que: El 1 es el nico nmero que solamente tiene un divisor, por eso es un nmero especial. El 0 tiene infinito nmero de divisores, ya que todos los nmeros son divisores de 0, tambin es un nmero especial. Los dems nmeros pueden ocurrir dos casos que tengan slo 2 divisores, el 1 y el mismo nmero, o que tengan ms.
603 es un n compuesto,
se puede dividir por 3.
604 es un n compuesto,
se puede dividir por 2.
605 es un n compuesto,
se puede dividir por 5.
Los nmeros primos son los que tienen dos divisores, que son el 1 y el mismo nmero primo. Los nmeros compuestos son los que tienen ms de dos divisores, son los ms frecuentes.
606 es un n compuesto,
se puede dividir por 2 y por 3.
609 es un n compuesto,
se puede dividir por 3.
610 es un n compuesto,
se puede dividir por 2, 5 y 10.
Para poder afirmar que un nmero es primo debemos comprobar que ese nmero no es mltiplo de los primos menores que l, nos basta comprobarlo con los menores que la raz cuadrada.
611 es un n compuesto,
se puede dividir por 13.
dejamos, pero a partir de l contamos de 2 en 2 y tachamos los nmeros que sean mltiplos de 2. b) El primer nmero de los que quedan es el 3, lo dejamos y desde el nmero 3 eliminamos, contando de 3 en 3, los nmeros que sean mltiplos de 3. c) El siguiente nmero de los que quedan es el 5, lo dejamos y desde el nmero 5 eliminamos los nmeros que sean mltiplos de 5. d) As vamos avanzando, cuando llegamos a un nmero que no ha sido eliminado lo dejamos, pero a partir de l eliminamos los nmeros que sean sus mltiplos. As hasta el final. Habrn quedado solamente nmeros primos.
La Criba de Eratstenes es un procedimiento para obtener los primeros nmeros primos. Se colocan en un cuadro los nmeros naturales a partir del nmero 2. a) Comenzamos por el nmero 2, lo
24
MATEMTICAS 1 ESO
Mltiplos y divisores
Descomposicin factorial de 220
220 es divisible por 2 220:2 = 110 1100 es divisible por 2 110:2 = 55 55 es divisible por 5 55:5=11 220=2110 220=2255 220=22511 220=225111
11:11=1
11 es divisible por 11
Se dispone as:
2 2 5 11
220=22511
EJERCICIOS resueltos
5. Indica si estos nmeros son primos o compuestos. 76, 51, 23, 60, 72, 47, 36, 64, 21, 30, 53, 49.
Solucin Son primos 23, 47 y 53. Son compuestos 76, 51, 60, 72, 36, 64, 21, 30 y 49.
6.
7.
8.
MATEMTICAS 1 ESO
25
Mltiplos y divisores
3. Mnimo comn mltiplo y mximo comn divisor
Mnimo comn mltiplo
El mnimo comn mltiplo de varios nmeros, a, b, c, etc., es el nmero ms pequeo que es mltiplo de todos esos nmeros, sin considerar el 0. Se escribe m.c.m. (a, b, c, )
EJEMPLO:
m.c.m. de 12 y 30
Mltiplos de 12 12, 24, 36, 48, 60, 72, 96, 108, 120, Mltiplos de 30 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, Hay muchos ms nmeros que son a la vez mltiplos de 12 y de 30, pero el menor de todos es 60. m.c.m (12,30)= 60
12=223
30=235
m.c.m (12,30) = 2235 = 60 m.c.d (12,30) = 23 = 6 El mnimo comn mltiplo de varios nmeros es el producto de los factores comunes y no comunes elevados a su mayor exponente. El mximo comn divisor de varios nmeros es el producto los factores comunes elevados al exponente menor.
Los nmeros que no tienen divisores comunes (salvo el 1), se llaman primos entre s. Por ejemplo el 72 y el 55, el 8 y el 9, el 15 y el 16.
EJEMPLO:
m.c.d. de 12 y 30
Divisores de 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 Divisores de 30 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 1, 2, 3 y 6 son divisores de 12 y de 30, el mayor es el 6. m.c.d (12,30)= 6
EJERCICIOS resueltos
9. Halla el m.c.d. de 64 y 100
Descompuestos en factores son: Solucin m.c.d.(64, 100) = 22 = 4 64 = 26 100 = 22 52
10.
Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de 15 y 18, despus multiplcalos. Efecta tambin el producto 1518, qu observas?
Solucin: m.c.d.(15, 18)=3 m.c.m.(15, 18)=90 Su producto = 18 15 = 270 El producto de su m.c.d. por su m.c.m. = 3 90 = 270
11.
Los nmeros 8 y 21 no tienen divisores comunes, son primos entre s. Cul es su m.c.m.?.
Solucin: Si no tienen factores comunes, su m.c.d. es 1. Su m.c.m. es su producto = 821= 168
12.
26
MATEMTICAS 1 ESO
Mltiplos y divisores
4. Problemas de aplicacin
1) Tengo una coleccin de minerales, guardados cada uno en una cajita cuadrada, todas iguales. Deseo poner esas cajitas en exposicin de manera que formen un rectngulo completo. De cuntas maneras lo puedo hacer? Cul es la disposicin que ms se parece a un cuadrado?
Los divisores de 30 son 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30 Puedo poner las cajitas en rectngulos de las siguientes maneras: 1x30 2x15 3x10 5x6 30x1 15x2 10x3 6x5 Cualquiera de estas dos disposiciones es la ms cuadrada
2) Estas ruedas dentadas forman un engranaje. Cuntos dientes de cada rueda deben pasar para que vuelvan a coincidir los puntos sealados en color rojo?. Cuntas vueltas habr dado cada una de las ruedas?
12 dientes 8 dientes
La rueda azul tiene 8 dientes, la amarilla 12. El nmero de dientes que deben pasar para que vuelvan a coincidir es un mltiplo de 8 y de 12, adems el menor de los mltiplos comunes. 8=23 12=223 mc.m. (8,12)=233=24 Los puntos rojos volvern a coincidir cuando hayan pasado 24 dientes. La rueda azul habr girado 24:8 = 3 vueltas. La rueda amarilla habr girado 24:2 = 2 vueltas.
3) Tengo cuentas de colores para formar collares, hay 120 azules, 160 rojas y 200 blancas. Quiero montar collares lo ms grandes que sea posible, cada collar con el mismo nmero de cuentas sin que sobren y sin mezclar colores. Cuntas cuentas debo emplear en cada collar?. Cuntos collares puedo hacer de cada color?.
Si no pueden sobrar cuentas de ninguno de los tres colores, el nmero de cuentas que debo emplear es un divisor de 120, 160 y 200. Como adems quiero hacerlos lo ms grandes que se pueda ser el m.c.d. 120=2335 160=255
3
200 = 2352
m.c.d. (120,160,200)=2 5=40 40 cuentas emplear en cada collar Puedo hacer 120:40=3 collares azules, 160:40=4 collares rojos, 200:40=5 collares blancos.
MATEMTICAS 1 ESO
27
Mltiplos y divisores
Para practicar
1. Es 176 mltiplo de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 41?
Aplica los criterios de divisibilidad o realiza la divisin para ver si el resto es 0. o o Divisibilidad por 2 o por 5 que la ltima cifra lo sea. Divisibilidad por 3 o por 9 que la suma de las cifras lo sea.
8, 9, 41?
3. Escribe los 10 primeros mltiplos de
8.
4. Escribe los mltiplos de 12 menores
que 100.
5. La descomposicin en factores primos
23354.
Cuntos
M.c.d. o m.c.m.?
13. Ana viene a la biblioteca del instituto,
Para ello hacemos la descomposicin en factores primos, aumentamos en uno a cada uno de los exponentes. El producto de esos exponentes aumentados es el nmero de divisores.
6. Cuntos divisores tiene el nmero
abierta todos los das, incluso festivos, cada 4 das y Juan, cada 6 das. Si han coincidido hoy. Dentro de cuntos das vuelven a coincidir? 27 azules y 42 rojas y quieren hacer el mayor nmero posible de hileras iguales. Cuntas hileras pueden hacer? de 10 dm de largo y 6 de ancho, en cuadrados lo ms grandes posibles y cuyo lado sea un nmero entero de decmetros. Cul debe ser la longitud del lado?
810?
si
247
es
10. Decide
si
131
es
minutos, otro cada 21 minutos. Si acaban de coincidir los tres dando la seal. Cunto tiempo pasar para que los tres vuelvan a coincidir?
28
MATEMTICAS 1 ESO
Mltiplos y divisores
Para saber ms
Cuntos nmeros primos hay?
En qu proporcin estn los nmeros primos respecto al total de nmeros naturales?
Los nmeros primos son bastante frecuentes entre los primeros nmeros naturales, pero conforme vamos a nmeros grandes, escasean los nmeros primos, ello nos poda hacer pensar que a partir de cierto nmero ya no haya ms nmeros primos. Para resolver esta duda hagamos este razonamiento, que ya hicieron los antiguos griegos:
Si la cantidad de nmeros primos fuera concreta podramos multiplicarlos todos ellos, obtendramos el nmero m. El nmero m, lgicamente sera compuesto, pero el nmero que le sigue m+1 al ser dividido por cualquier nmero primo dara de resto 1 por tanto no sera mltiplo de ninguno de ellos, es decir sera primo. Luego siempre podemos obtener otro nmero primo ms, o sea que el conjunto de nmeros primos es ilimitado.
Soy perfecto!
Qu es un nmero perfecto?
Se dice que un nmero es perfecto cuando es igual a la suma de sus divisores, excepto l mismo. Los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 6 1+2+3=6 El 6 es un n perfecto. Los divisores de 28 son 1, 2, 4, 7, 14, 28 1+2+4+7+14=28 28 tambin es perfecto. El siguiente nmero perfecto es el 496. Te atreves a comprobarlo?. Despus viene el 8128, el 33550336 y el 8589869056, fjate que acaban en 6 o en 8. Ya Euclides descubri una frmula para calcular nmeros perfectos: 6=23=21(22-1) 28=47=22(23-1) 496=1631=24(25-1) 8128=64127=26(27-1) Pero cuidado no se cumple para todas las potencias de 2 sino slo cuando 2n-1 es un nmero primo, un primo de Mersenne!.
243112609 - 1 =
3164702693302559231480022181166697152511
Fue descubierto el 23 de agosto de 2008 en la Universidad de California y su descubridor gan el premio de 100.000 dlares, ofrecido por la EFF al primero que consiguiese un primo con ms de 10.000.000 de dgitos. Hace el n 46 de la lista de primos de Mersenne, aunque el n 45 fue descubierto 2 semanas ms tarde. En la actualidad hay un premio de 150.000 dlares para el primero que consiga un n primo con ms de 100.000.000 de cifras, as que nimo!.
Este nmero primo pertenece a los llamados primos de Mersenne, que son nmeros primos de la forma
2n-1
Deben su nombre a Marin Mersenne, fraile franciscano que en 1644, enunci que estos nmeros eran primos para determinados valores de n. As los nmeros primos y los nmeros perfectos estn relacionados. 29
MATEMTICAS 1 ESO
Mltiplos y divisores
Recuerda lo ms importante
Los mltiplos de un nmero son los que resultan de multiplicar ese nmero por cualquier nmero natural.
Ejemplo: mltiplos de 7={0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ... } La divisin exacta es aquella cuyo resto es 0, el dividendo es mltiplo del divisor. Es exacta. 48:8 = 6
Los divisores de un nmero son aquellos que le pueden dividir, su divisin es exacta. Todos los nmeros naturales son divisores de 0.
Ejemplo: los divisores de 18 son seis D(18)={1, 2, 3, 6, 9, 18}
48 es mltiplo de 8 8 es divisor de 48
Los nmeros primos son los que tienen dos divisores, que son el 1 y el mismo nmero.
Ejemplo: nmeros primos ={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ... }
Los nmeros compuestos son los que tienen ms de 2 divisores. Se les llama as porque se pueden poner como producto de potencias de nmeros primos.
Ejemplo: nmeros compuestos ={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...}
El mnimo comn mltiplo de varios nmeros es el nmero ms pequeo que es mltiplo de todos ellos, sin tener en cuenta el 0.
Producto de los factores comunes y no comunes elevados al exponente mayor
Ejemplo: 54= 233 60= 2235 m.c.m.(54, 60) = = 22335 = 540 m.c.d. (54, 60) = 23 =6
El mximo comn divisor de varios nmeros es el nmero ms pequeo que es divisor de todos ellos.
Producto de los factores comunes elevados al exponente menor
Cuando dos nmeros no tienen en comn ms divisores que el 1 se dice que son primos entre s.
Ejemplo 49 y 24 son primos entre s porque m.c.d.(49, 24)=1
30
MATEMTICAS 1 ESO
Mltiplos y divisores
Autoevaluacin
8. Calcula el m.c.m.(45,75)
MATEMTICAS 1 ESO
31
Mltiplos y divisores
Soluciones de los ejercicios para practicar
1. 176 es mltiplo de 2, 4, 8. 2. 198 es divisible por 2, 3, 4, 9, 11 3. 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80.
El 0 tambin se puede considerar ya que es mltiplo de todos.
4. 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 5. Al descomponer en factores primos
los exponentes son: 3, 1, 4. Aumentados cada uno de ellos en una unidad y multiplicados: 425=40 divisores. 252=20 divisores.
12. a) 72=2332
b) 56=237 81=33 m.c.d.(56,81)=1, primos entre s. c) 84=2237 108=2233 m.c.d.(84,108,36)=12 d) 54=233 60=2235 m.c.d.(54,60,18)=6 36=2232 18=232
Su nmero de divisores es 43=12. Hacemos 6 rayitas arriba y 6 abajo. 1 3 9 27 29 87 22707 7569 2523 841 783 261 Observa que una vez calculados los de arriba, se divide el n 22707 entre ellos y se obtienen los de abajo. 1 147 23= 6 divisores 3 7 49 21
2
volver a coincidir en la biblioteca son m.c.m.(4, 6)= 12 das. hacer es el m.c.d.(30, 27, 42)= 3 hileras. m.c.d.(10, 6)= 2 dm.
8. 147=37
15. La longitud del lado en dm es el 16. m.c.m.(9, 21, 15)= 315 minutos
han de pasar para coincidir de nuevo.
9. 247 es divisible por 13, compuesto. 10. 131, no es divisible por 2, ni por 3, ni
por 5, ni por 7, ni por 11. Es primo.
Soluciones AUTOEVALUACIN
1. 52, 78, 260 por ejemplo 2. 2, 3, 4, 6 (tambin 8, 12, 1, 24) 3. Ninguna de las dos 4. Es mltiplo de 3 y de 5 5. En 1 , 3, 7 9, como 11, 13, 17, 19 6. 61 primo, 60 y 65 compuestos 7. 240=2435 8. 225 9. Son primos entre s 10. 15
No olvides enviar las actividades al tutor
32
MATEMTICAS 1 ESO
3
Objetivos
En esta quincena aprenders a:
Antes de empezar 1.Nmeros enteros .pg. 36 Introduccin La recta numrica Valor absoluto Ordenar enteros Opuesto de un nmero entero 2.Suma y diferencia de enteros . pg. 38 Suma de dos enteros Suma de tres o ms enteros Expresiones sencillas con parntesis Suma y resta de enteros con parntesis 3.Producto y divisin de enteros pg. 41 Producto Divisin 3.Potencia y raz cuadrada . pg. 42 Potencia Raz cuadrada 3.Operaciones combinadas . pg. 43 Jerarqua de operaciones Ejercicios para practicar Para saber ms Resumen Autoevaluacin Actividades para enviar al tutor
Utilizar nmeros enteros en distintos contextos. Representar y ordenar nmeros enteros. Hallar el valor absoluto y el opuesto de un nmero entero. Sumar, restar, multiplicar, dividir, realizar potencias y extraer races cuadradas de nmeros enteros. Operar con nmeros enteros respetando la jerarqua de las operaciones
MATEMTICAS 1 ESO
33
34
MATEMTICAS 1 ESO
Aunque resulte extrao cost muchos aos admitir que se poda realizar. Parece que chinos e hindes utilizaban cantidades negativas desde el siglo V. Pero no fueron admitidos en Occidente hasta muchos siglos ms tarde.
Algn matemtico lleg incluso a decir que no deberan haber sido admitidos y que deberan eliminarse.
Cuadrados mgicos
(fragmento extrado de wikipedia) En la antigua China ya se conocan los cuadrados mgicos desde el III milenio a. C., como atestigua el Lo Shu. Segn la leyenda, un da se produjo el desborda miento de un ro; la gente, intent hacer una ofrenda al dios del ro Lo para calmar su ira. El Dios no aceptaba la ofrenda y siempre apareca una tortuga, hasta que un chico se dio cuenta de las marcas del caparazn de la tortuga, as pudieron incluir en su ofrenda la cantidad pedida (15), quedando el dios satisfecho y volviendo las aguas a su cauce. En Occidente llegaron mucho ms tarde, en el siglo XIV. Durante los dos siglos siguientes se llevaban grabados en una chapa como amuletos, pues se les atribua poderes mgicos. Sabras colocar los nmeros del 1 al 9 en este recuadro de forma que la suma de todas las filas, diagonales y columnas d siempre el mismo resultado?
El saldo es lo que se tiene en cada momento. Con cada ingreso (meter dinero) el banco suma. Con cada cargo (gasto) el banco nos resta esa cantidad. Los gastos son nmeros negativos. El da 20 de octubre esta chica ha gastado ms dinero del que tena. Est en nmeros rojos , es decir debe dinero al banco. Debe devolver ese dinero y adems le van a cobrar una importante cantidad de dinero por ello Pueden incluirla en una lista de morosos que puede darle muchos problemas ms adelante
MATEMTICAS 1 ESO
35
Tiene 113
Se escribe +113
Los naturales se consideran enteros positivos (se escriben con el signo +) Los enteros negativos van precedidos del signo -. El cero es un entero pero no es ni negativo ni positivo.
El buzo est a 15 m de profundidad Se escribe -15 m El globo est a 20 m de altura. Se escribe +15 m
La recta numrica
Los nmeros enteros pueden ordenarse de menor a mayor en la recta numrica. Debemos trazar una recta y pintar el cero en el centro Dividir la recta en segmentos iguales Colocar los n positivos a partir del cero a la derecha. y los n negativos a partir del cero a la izquierda.
Cul es el valor de A y de B ?
El valor de A = +1 El valor de B = - 6
Se escribe
6<-3
-1 est ms a la izquierda que +2 por tanto 1 es menor que +2. Se escribe 1 < +2
|+4|=4
La distancia de +4 a cero es 4. El valor absoluto de +4 es 4.
Valor absoluto
A qu distancia se encuentra 3 y cero? A qu distancia se encuentra +7 de cero? El valor absoluto de un nmero entero es la distancia que le separa del cero. Se escribe entre dos barras | | y es el nmero sin su signo: |+a| = a |-a| = a
|-3|=3
La distancia de -3 a cero es 3. El valor absoluto de -3 es 3. El valor absoluto es una distancia por lo que no puede ser negativo.
36
MATEMTICAS 1 ESO
-4 y +4 son opuestos. Se escribe op(+4)=-4 op(-4) = +4 +4 y 4 son simtricos respecto del cero
EJERCICIOS resueltos
1. Escribe el nmero que mejor representa la situacin que se plantea: a) Bajamos al stano 3 b) Naci en el ao 234 antes de Cristo c) El avin vuela a 2455 m de altura d) El termmetro marcaba 5 C bajo cero 2. Cul es el valor de A y de B? a)
b)
3. 4.
Escribe el signo < o > segn convenga: a) 2 -6 b) 2 +4 c) +5 +12 d) +4 -8 Ordena de menor a mayor a) +6, -5, -10, +12 b) +4, -20, -7, -4
5.
Soluciones: 1. 2. 3. 4. 5. a) 3 b) 234 c) +2455 d) 5 a) A=+1 B= -2 b) A=-4 B=+5 a) 2 > -6 b) 2 < +4 c) +5 < +12 a) 10<-5<+6<+12 a) +5 b) 7 c) 6 b) 20<-7<-4<+4 d) +4
d) +4>-8
MATEMTICAS 1 ESO
37
+3+1=+4
-2-3 =-5
+1-3 = -2
+2 -1 =+1
-4 + 1 + 2 = -3+2 = -1
2) Sumar los positivos por un lado (tener) y los negativos (deber) por el otro y finalmente hallar el resultado
deber tener
-4 + 1 + 2 = -4+3 = -1
-7 +8 -5 =
-12
+8
= -4
deber tener
+6 -4 +3 -2 = -6
+9 = +3
38
MATEMTICAS 1 ESO
+(+a) = +a +(-a ) = -a
-(-a ) = +a -(+a) = -a
Si los dos signos son iguales el resultado positivo Si los dos signos son distintos el resultado es negativo
Cmo escribimos "sumar al 5 el n -6"? No es correcto escribir 5 + -6 , lo correcto es 5+(-6) Cmo escribir "restar al 6 el n No es correcto 6 - -8 lo correcto es 5 - (-8) -8"?
-(-2) = +2 +(-2) = -2
Cul es el resultado?
Eliminar parntesis Operar
(+3) + (-5) = +3 5 (-2) + (+4) = -2 + 4 (+1) - (+7) = +1 7 (+2) - (-6) = +2 + 6 (-2) - (+6) = -2 - 6
= -2 = +2 = -6 = +8 = -8
Deberemos 1) Eliminar los parntesis 2) Operar adecuadamente los n resultantes Recuerda que : + (+a) = +a + (-a) = -a - (+a) = -a - (-a) = +a
= -9
(-3) + (-5) - (-7) = -3 5 + 7 = -5 (-2) (-5) + (-3) (-2) = -2 +5 3 +2 = +2 (-3) + (-4) (-3) + (-1) = -3 4 +3 1 = -5
MATEMTICAS 1 ESO
39
EJERCICIOS resueltos
6. Realiza las siguientes sumas de nmeros enteros a) +7 +4 = 7. b) 5 4 = c) +8 2 = d) 5 +9 =
8.
9.
10.
Realiza las siguientes sumas y diferencias de nmeros enteros a) +(+3) + (-5) = b) (+4) (+6) = c) (-5) + (+7) = d) -(+3) + (+1) (-4) = e) -(+2) - (+1) (+5) = f) -(+2) + (-1) + (-4) (-5)= g) -(+1) - (+3) - (-4) (-5)=
Soluciones: 6) 7) 8) 9) a) +7 +4 = +11 c) +8 2 = +6 a) 4+5-3 = +1-3=-2 c) 3+5-8=+2-8=-6 a)-4+5-3 = -7+2=-5 c)-3+5-8 =-11+5=-6 a) +3 c) +5 10) a) +3-5=-2 c) +5+7 = +12 e)-2-1-5 = -8 g) 1-3+4+5 = 5 b) 5 4 = -9 d) 5 +9 = +4 b) 3 5+7 = -2 +7 =+5 d) +4-7-8 = -3-8 =-11 b) 3-5+7 =-5+10=+ d) +4-7-8= 4-15 =-11 b) 4 d) 2 b)-4-6=-10 d) 3+1+4=+2 f) 2-1-4+5 = -2
40
MATEMTICAS 1 ESO
Producto de enteros
Para multiplicar enteros debemos: 1) Multiplicar los n sin signo 2) Aplicar la regla de los signos
al cabo de 4 meses.
Ana gasta 5 al mes. Cunto gastar al cabo de 3 meses? (-5)(+3) =-15 gastar al cabo de 3 meses. Luis gasta 7 al mes en CD. Deja de comprar durante 2 meses. Cunto ha ahorrado? (-7)(-2) =+14 ahorrar al cabo de 2 meses.
= = = =
Divisin de enteros
Qu nmero multiplicado por +6 da +30?
(+6)
=+30
Para dividir enteros debemos: 1) Dividir los n sin signo 8 9 2) Aplicar la regla de los signos
(+30):(+6)=+5
Qu nmero multiplicado por -5 da +15?
(5)
=+15
(+15): (5)=3
Qu nmero multiplicado por -7 da -21?
(7)
=21
(21): (7)=+3
EJERCICIOS resueltos
11. Realiza los siguientes productos y divisiones de nmeros enteros a) (+4)(+3)= e) (+24):(+3)=
Soluciones: a) +12
b) (+5)(-2)= f) (+15):(-3)=
c) (-4)(-5)= g) (-14):(-2)=
d) (-3)(+7)= h) (-30):(+6)=
b) 10
c) +20
d) 21
e) +8
f) 5
g) +7
h) 5
MATEMTICAS 1 ESO
41
(+a)
(-2)3 = (-2)(-2)(-2) = -8
(-2)4 =(-2)(-2)(-2)(-2)=+16
(-a)par
El resultado de una potencia de un nmero positivo es positivo. El resultado de una potencia de un nmero negativo es positivo si el exponente es par y negativo si el exponente es impar.
42=16 (-4)2=16
Se escribe
16 = 4
Observa que:
EJERCICIOS resueltos
12. Calcula las siguientes potencias y races cuadradas a) (+3)2 = f)
16 =
b) (-5)3 = g)
9=
c) (-3)4 = h)
9 =
d) (-3)5 = i)
25 =
e) (-2)4 = j)
16
42
MATEMTICAS 1 ESO
Jerarqua de operaciones
Observa que hay dos tipos de parntesis:
Parntesis de tipo I: en ellos hay operaciones Por ejemplo: 3+4-(2+35) = Parntesis de tipo II: sirven para separar signos. Ejemplo: -3- (-4) + (-2) =
Ej 2:
+1 + (-6):(+4-7)=
Los primeros deben operarse en primer lugar y los segundos deben eliminarse en el momento oportuno. Para realizar operaciones con nmeros enteros se ha de respetar el siguiente orden : 1) operar los parntesis (tipo I) 2) realizar las multiplicaciones y las divisiones 3) realizar las sumas y las restas
Ej 3: -4 + [-3 (-14):(+2)] =
1.-Divisin parntesis 2.-Quitar parntesis 3.-Suma parntesis 4.-Quitar parntesis 5.-Sumar
EJERCICIOS resueltos
13. Realiza las siguientes operaciones a) +7 + (-9)(+5) = b) 5 + (-6):(+6) = c) +1-(-36):(-9-9) = d) +1 +(+6)(+5-6) = e) 6 [+3 -(-5): (+5)] = f) +8+ [+4 +(-7)(-9)] =
Soluciones:
a) +7 + (-45) = +7 45 = -38 b) 5+(-1) = -5-1 = -6 c) +1-(-36) : (-18) = +1 (+2) = +1-2 = -1 d) +1+(+6)(-1) = +1+(-6) = +1 6 = -5 e) 6 [ +3 (-1) ] = -6 - (+3+1) = -6-(+4) = -6 4 = -10 f) +8+[+4+(+63)] = +8+(+4+63) = +8 +(+67) = +8 +67 = +75
MATEMTICAS 1 ESO
43
sumas
de
d. (-8)+(+8) (-2)
2. Calcula
sumas
de
9. El
termmetro marca ahora 7C despus de haber subido 15C. Cul era la temperatura inicial? una hora el termmetro marcaba 2C y ahora marca 2C. LA temperatura ha aumentado o ha disminuido? Cunto ha variado? la maana un termmetro marcaba 9 bajo cero. La temperatura baja 12 C a lo largo de la maana.Qu temperatura marca al medioda? stano 1 y sube 5 pisos hasta que se para. A qu planta ha llegado?
d. (-1)+(-1)+(-5) (+7)+(-7)
3. Operar
10. Hace
11. Por
4. Operar
d. +7 +[+1 -(+10):(+5)]
5. Operar
edificio y su plaza de garaje est en el stano 1.Cuntas plantas separan su vivienda de su plaza de garaje?
14. Despus de subir 6 pisos el ascensor
euros y hoy tiene 72 euros. Desde ayer ha ingresado o ha gastado dinero? Qu cantidad?
16. El saldo de la cartilla de ahorros de
Elena es hoy 154 . Le cargan una factura de 313 . Cul es el saldo ahora?
44
MATEMTICAS 1 ESO
Tambin los conseguirs si dado uno restas una cantidad o si dado un cuadrado mgico multiplicas o divides a cada nmero por una cantidad fija. Observa que esa cantidad puede ser positiva o negativa, segn prefieras.
MATEMTICAS 1 ESO
45
Los enteros aparecen en muchas situaciones de nuestro alrededor: temperaturas, fechas, dinero y deudas, ascensores, alturas y profundidades ...
Los nmeros enteros estn ordenados. Un nmero es menor que otro si, en la recta, est situado ms a la izquierda. Un nmero es mayor que otro si, en la recta, est situado ms a la derecha.
El opuesto de un n es otro nmero con la misma magnitud y distinto signo. Op (+a) = -a Op (-a) = +a
Suma de enteros Se eliminan parntesis Si tienen el mismo signo: se suman y se pone el mismo signo Si tienen distinto signo: se restan y se pone el
signo del mayor
+(+a) = +a -(-a ) = +a
- (+a) = -a +(-a) = -a
Producto Se multiplican los nmeros sin signo Se aplica la regla de los signos.
Divisin Se dividen los nmeros sin signo Se aplica la regla de los signos
4 + [8 (-4)(-2) 5] =
1.-Multiplicacin parntesis 2.-Quitar parntesis 3.-Suma parntesis 4.-Quitar parntesis 5.-Sumar
Jerarqua de operaciones En operaciones combinadas debe respetarse este orden: 1.- Los parntesis 2.- Las multiplicaciones y las divisiones. 3.- Las sumas y las restas
46
MATEMTICAS 1 ESO
2. Cul es el valor de A y de B?
3. Calcula:
a) | -14 | = c) op (-19) = b) | 9 | = d) op(+5)=
5. Calcula 7 3 +5 =
6. Calcula (-9)+(-4)(-1)+(+4) =
7. Calcula
8. Calcula
a) (-2)3 = b) (+3)4 =
MATEMTICAS 1 ESO
47
6. Tena 41 aos 7. 3. El ao 3 antes de Cristo 8. 23 despus de Cristo 9. 8 C. (8 bajo cero) 10. Ha aumentado 4 C 11. 21C. Marca 21 bajo cero 12. Ha llegado a la planta 4 13. Hay 3 plantas de separacin 14. En el stano 1 15. Ha ingresado 306 16. 159 . Debe 159
2. a) +27
3. a) -6
4. a) +2
5. a) -41
Soluciones AUTOEVALUACIN
1. a) +7 b) 57 c) 38 d) +19 2. A = +4
B = -7 c) 19 d) -5
48
MATEMTICAS 1 ESO
4
Objetivos
En esta quincena aprenders a:
Antes de empezar 1.Nmeros decimales pg. 52 Numeracin decimal Orden y aproximacin Representacin 2.Operaciones . pg. 54 Suma y resta Multiplicacin Divisin 3.Sistema mtrico decimal . pg. 56 Longitud Capacidad Peso Ejercicios para practicar Para saber ms Resumen Autoevaluacin Actividades para enviar al tutor
Conocer el valor de las cifras de un nmero decimal. Ordenar nmeros decimales. Aproximar por redondeo nmeros decimales. Representar grficamente nmeros decimales. Sumar, restar, multiplicar y dividir nmeros decimales. Transformar unidades de longitud, de capacidad y de peso.
MATEMTICAS 1 ESO
49
50
MATEMTICAS 1 ESO
1 km
Dos vueltas a la pista de atletismo por fuera
1m
La altura del bastn
Unidades de longitud
1 dm
El largo de un naipe
1 hm
El largo de un campo de ftbol
1 cm 1 dam
La altura de una casa pequea El dimetro de un cntimo
1 mm
El grosor de un cntimo
Unidades de peso
Unidades de capacidad
1 hl
Una baera
1 kl
Una depsito
1 dag
Una castaa
1 hg
Un filete
1 dal
Un cubo de agua
1g
Un cntimo de
1l
1 dl
Un vaso
1 dg
Un garbanzo
1 cg
Una lenteja
1 ml
Una gota grande de agua
1 mg
Un grano de arroz
1 cl
Una cucharilla
MATEMTICAS 1 ESO
51
2 5,7 8 6
6 milsimas 8 centsimas 7 dcimas 5 unidades 2 decenas
25,786
parte entera parte decimal
25,318
El nmero
649,595
Redondeado a las centenas: La cifra de las centenas es 6, la cifra siguiente es un 4, menor que 5, luego el n redondeado es:
600
Redondeado a las centsimas: La cifra de las centsimas es 9, la cifra siguiente es un 5, luego el n redondeado es:
649,60
52
MATEMTICAS 1 ESO
EJERCICIOS resueltos
1. Subraya la cifra que te indican en los siguientes nmeros: a. Centsimas en 126,346 b. Decenas en 3384,859 c. Cienmilsimas en 7346,2378
Solucin a. 126,346
b. 3384,859
c. 7346,23780
2.
Utiliza los smbolos < > o = para las siguientes parejas de nmeros: a. 3,44 3,5 b. 55,3675 55,37 c. 90,090 90,0890
Solucin a. 3,44 < 3,5
3.
Aproxima mediante redondeo: a. 55,344 a las centsimas b. 29,9999 a las milsimas c. 7345,45 a las decenas
Solucin a. 55,34
b. 30,000
c. 7350
4.
b.
c.
Solucin a. 16,39154
b. 35,73099
c. -45,4048
MATEMTICAS 1 ESO
53
Se suman o restan como si no estuviese la coma decimal. La coma decimal se coloca donde estaba.
Las reglas para las operaciones con decimales son las mismas que en los nmeros enteros.
3,73 0,1196=
Para restar, el minuendo (arriba) es mayor que el sustraendo (abajo).
=3,73000,1196= =3,6104
Multiplicacin
Nos olvidamos de la coma decimal. Multiplicamos enteros. como si fuesen nmeros
La coma decimal se mueve, hacia la izquierda, tantos lugares como la suma del nmero de decimales de los dos factores. Si es preciso, se aaden ceros por la izquierda.
Para multiplicar por 10, 100, 1000,... se desplaza la coma hacia la derecha 1, 2, 3,... lugares. Si es preciso, se aaden ceros por la derecha.
Divisin
Quitamos las comas decimales. Para ello, el dividendo y el divisor deben tener el mismo nmero de cifras decimales. Dividimos como si fuesen nmeros enteros. Cuando no queden cifras en el dividendo para bajar, en el cociente se coloca la coma decimal y se baja un cero para continuar la divisin. Se bajarn tantos ceros como decimales necesitemos en el cociente.
5,72 : 1,2= =5,72 : 1,20 = 572 : 120 572 120 0920 4,76 0800 080
Se coloca la coma decimal, se aade un cero a 92 y se contina la divisin.
54
MATEMTICAS 1 ESO
EJERCICIOS resueltos
12. Calcula:
a) 60,75+0,3= c) 36,84,016= e) 0,8348,74== g) 0,38(7,91+4,6)=
Solucin a) 61,05 e) 7,906 b) 140,813 f) 0,972
13.
Calcula:
a) 0,732= c) 0,760,8=
Solucin a) 22,4
b) 0,90,06= d) 2,70,59=
b) 0,054
c) 0,608
d) 1,593
14.
b) 0,08:0,2= d) 2,7:0,59=
c) 80 d) 4,57
15.
Calcula:
a) 0,675100= c) 0,010,001= e) 0,55:0,01=
Solucin a) 67,5 d) 0,0028 b) 0,354 e) 55
16.
Calcula:
a) 3,14:(1000,1)= c) 0,1:(0,01:0,001)= e) 0,056:(0,01:10)=
Solucin a) 3,14:10=0,314 d) 4:100000=0,00004
MATEMTICAS 1 ESO
55
dam
:10
dm cm mm
Unidades de capacidad
Sirven para medir lquidos. La unidad fundamental es el litro que se representa con el smbolo l.
kl hl 10 l
dal
:10
dl cl ml
56
MATEMTICAS 1 ESO
Sirven para medir la masa de un cuerpo. La unidad fundamental es el kilogramo que se representa con el smbolo kg.
:10
g dg cg mg
Sus
submltiplos son: hectogramo (hg), decagramo (dag), gramo (g), decigramo (dg), centigramo (cg) y miligramo (mg).
Para cambiar de una unidad a otra, se multiplica o divide sucesivamente por 10.
EJERCICIOS resueltos
17. Convierte:
a) 0,252 m= c) 0,01dam= e) 0,501 dm=
Solucin a) 25,2 cm d) 33300 dm
cm mm m
b) 0,0485 hm e) 0,0501 m
hm dm dam
c) 100 mm f) 0,153 dam
18.
Convierte:
a) 0,52 l= c) 0,001kl= e) 840 ml=
Solucin a) 5,2 dl d) 12300 dl
dl ml hl
b) 4,85 hl e) 0,084 hl
hl cl dl
c) 0,000 000 001 ml f) 1530 dl
19.
Convierte:
a) 64,6 kg= c) 0,051mag= e) 0,001 g=
Solucin a) 6460000 cg d) 0,38873 q
cg mg dag
b) 14950 kg e) 0,0001 dag
kg q t
c) 510000 mg f) 0,00000093 t
MATEMTICAS 1 ESO
57
1. Calcula:
litros de gasolina cada 100 km. Tiene el depsito lleno y son 45 litros. Recorre 888 km. Cuntos litros de gasolina quedan, aproximadamente, en el depsito?
8. Un depsito contiene 124 litros de
2. Calcula:
zumo. Con 57 litros se llenan botellas de 0,25 litros cada una y con el resto que queda en el depsito se llenan botellas de 0,5 litros. Cuntas botellas se llenan en total?
9. Un paquete de 500 folios tiene un
grosor de 6,8 cm y pesa 0,884 g. Cul es el grosor, en mm, de un folio? Cul es el peso, en gramos, de un folio?
10. Una
caja contiene 35 bombones iguales y pesa 0,471 kg. El peso de caja vaca es 149 g. Cuntos kg pesa la caja despus de comernos 26 bombones?
compr 12 gominolas y 14 chicles. Cada gominola cuesta 0,10 y cada chicle 0,15. Pag con un billete de 10 . Cunto dinero le tienen que devolver?
un kg, expresa en toneladas el peso del agua de un depsito que contiene 58,75 hl.
13. Miguel tiene 43 en monedas de 5
piso hay 15 escalones iguales que miden cada uno 0,175 m. Adems hay que pasar un escaln en el portal que mide 0,15 m. A cuntos metros de altura est el suelo de mi piso?
cntimos. Cada moneda pesa 3,92 g. Cuntos kg pesan todas las monedas?
14. Un grifo no cierra bien y pierde 2 ml
58
MATEMTICAS 1 ESO
Separador decimal
Debe usarse la coma para separar la parte entera de la parte decimal de un nmero, aunque se admite el punto y se usa en muchos pases. El punto como separador est en la mayora de las calculadoras. Nunca se usar la coma alta o apstrofe.
1: 0,000000000000000001=100000000000000000 1: 0,000000000000000000000000001=100000000000000000000000000
Se obtienen nmeros muy grandes!
Sistemas de medidas
Las distintas unidades para medir se fijaron con el Sistema Internacional de medidas que es habitual en casi todos los pases. En muchos pases an se emplean otras unidades, como millas o galones o libras en los pases anglosajones. Pero estas medidas no siempre son iguales, como los galones en el Reino Unido (4,5 l aprox.) y en Estados Unidos (3,75 l aprox.). Te imaginas los los y las confusiones?
MATEMTICAS 1 ESO
59
Nmeros decimales
Los nmeros decimales tienen una parte entera y una parte decimal. En la parte
decimal estn las dcimas, centsimas, milsimas,...
Redondear un nmero es sustituir sus ltimas cifras por ceros pero observando la
primera cifra que se sustituye por si hay que aadir una unidad a la cifra anterior. Los nmeros decimales se representan en la recta numrica.
Para dividir dos nmeros, si es preciso se aaden ceros en la parte decimal para que los
dos tengan el mismo nmero de cifras decimales.
1,5:0,03=1,50:0,03=150:3=50
Unidades de capacidad
Unidades de peso
60
MATEMTICAS 1 ESO
5. Completa: 8,403+
=212,14
6. Efecta: 6,7+0,1(0,7+2,4:100)=
7. Completa: 444:
=44400
MATEMTICAS 1 ESO
61
5. 10(120,10+140,15)=
=10(1,20+2,10)=103,30=6,70
6. 5150,175+0,15=750,175+0,15=
=13,125+0,15=13,275 m
7. 45888(4,2:100)=458880,042=
=4537,296=7,7048 litros
2. a) 63+1,20+0,59=64,79
b) 52028,0-29=492-29=463 c) 73056,1-7,3=673,9-7,3=666,6 d) 33164,3+0,07=131,3+0,07= =131,23
8. 57:0,25+(124-57):0,5=228+67:0,5=
=228+134=362 botellas
9. 0,68:500=0,00136 mm
0,884:500=0,001768 g
3. a) 58,60,001=43,00,001=0,043
b) 301,1:0,01=33,0:0,01=3300 c) 9,89,8:0,1=96,12:0,1=961,2 d) 1,90,090,01=0,1710,01= =0,00171
10. (0,4710,149):35(3526)=
0,322:359=0,00929=0,0828 kg
11. 72:1,8=40granos en 1 dg
4010000=400000 granos en 1 kg
4. a) 0,39+4,2(0,3+6)=
=0,39+4,26,3=0,39+26,46=26,85 b) 623,8(0,33+8,4)= =623,88,73=6233,174=28,826 c) 0,20,8(20+980)= =0,20,81000=0,2-800=799,8 d) 1,40,4(0,25+75)= =1,40,475,25=1,4-30,1=28,7
Soluciones AUTOEVALUACIN
1. 6,488<6,49<6,5 2. 72+7,9+0,87+0,063=80,833 3. 58,880 4. 5,9 5. 212,148,403=203,737 6. 6,7+0,10,724=6,7+0,0724=6,7724 7. 0,01 8. 3,6051,45=5,227255,23 9. 1906,15,1=19031,11=158,89 litros 10. 8,988100000:84=898800:84=
=10700 pasos
No olvides enviar las actividades al tutor
62
MATEMTICAS 1 ESO
5
Objetivos
En esta quincena aprenders a:
Fracciones
Antes de empezar 1.Concepto de fraccinpg. 66 Las fracciones en nuestra vida. Definicin y elementos de una fraccin. Cmo se lee una fraccin. El valor de una fraccin. Pasar una fraccin a un decimal. 2.Fracciones equivalentes pg. 68 Fracciones equivalentes. Nmero racional Productos cruzados. Simplificar una fraccin. 3.Operaciones con fracciones pg. 69 Paso a comn denominador. Suma de fracciones. Suma y resta de fracciones. Multiplicacin de fracciones. Fraccin inversa de una fraccin. Divisin de fracciones. Operaciones combinadas. 4.Problemas con fracciones pg. 73 Ejercicios para practicar Para saber ms Resumen Autoevaluacin Actividades para enviar al tutor
Conocer el valor de una fraccin. Identificar las fracciones equivalentes. Simplificar una fraccin hasta la fraccin irreducible. Pasar fracciones a nmeros decimales. Sumar fracciones. Restar fracciones. Multiplicar fracciones. Dividir fracciones. Resolver problemas utilizando fracciones.
MATEMTICAS 1 ESO
63
64
MATEMTICAS 1 ESO
Fracciones
Antes de empezar
En nuestro lenguaje habitual, utilizamos expresiones como stas: "Me queda la mitad". "Falta un cuarto de hora". "Tengo un dcimo". "Caben tres cuartos de litro". "Est al ochenta y cinco por ciento de su capacidad".
En estas expresiones estamos utilizando fracciones. Por tanto el empleo de fracciones es tan antiguo como nuestro lenguaje.
10 36
5 7:5 7 5
Una fraccin nos sirve para expresar cantidades en cosas partidas en partes iguales. Una fraccin nos sirve para expresar el valor numrico resultado de una divisin. Una fraccin nos sirve para expresar la razn que guardan dos magnitudes proporcionales. Una fraccin operador. aplicada a un nmero acta como
Una fraccin tambin es el tanto por ciento. En esta quincena aprenders a expresarlas matemticamente, a reconocer su valor numrico y a hacer las operaciones bsicas con ellas.
MATEMTICAS 1 ESO
65
Fracciones
1. Concepto de fraccin
Definicin y elementos de una fraccin
Una fraccin expresa un valor numrico. Sabemos que los nmeros naturales expresan cantidades referidas a objetos enteros, las fracciones expresan cantidades en las que los objetos estn partidos en partes iguales. Una fraccin es el cociente de dos nmeros. Es decir, es una divisin sin realizar. Una fraccin expresa el valor o nmero que resulta al realizar esa divisin. Los elementos que forman la fraccin son: El numerador. Es el nmero de arriba, indica las partes que tenemos. El denominador. Es el nmero de abajo, indica el nmero de partes en que dividimos a cada unidad.
numerador
2 6
3 5
denominador
5 8
10 4
Cmo se lee una fraccin
Primero se lee el numerador como cualquier nmero, despus se lee el denominador de esta manera:
Si es el 1 se lee enteros. Si es el 2 se lee medios. Si es el 3 se lee tercios. Si es el 4 se lee cuartos. Si es el 5 se lee quintos. Si es el 6 se lee sextos. Si es el 7 se lee sptimos. Si es el 8 se lee octavos. Si es el 9 se lee novenos. Si es el 10 se lee dcimos. Si es ms de 10 se lee el nmero terminado en
2 dos 6 sextos tres 3 quintos 5 5 cinco 8 octavos 12 doce 15 quinceavos siete 7 centsimas 100
onceavos,
doceavos,
66
MATEMTICAS 1 ESO
Fracciones
El valor de una fraccin
Puesto que una fraccin representa una divisin, para saber cul es el valor de una fraccin deberamos realizar esa divisin. No obstante podemos apreciar el valor de una fraccin si nos fijamos en su numerador y su denominador. Si el numerador es ms pequeo que el denominador, entonces la fraccin vale menos de 1.
3 5 < 8 8 3 3 < 8 4
Si el numerador es igual al denominador, entonces la fraccin vale 1. Si el numerador es mayor que el denominador, entonces la fraccin vale ms de 1. Su valor ser ms grande cuanto mayor tenga el numerador, y ser ms pequeo cuanto mayor tenga el denominador.
Para pasar una fraccin a un nmero decimal se divide el numerador entre el denominador. Hay divisiones cuyo resultado en un nmero natural. Otras divisiones su resultado es un nmero decimal con algunas cifras decimales. Otras divisiones su resultado es un decimal peridico, que tiene un grupo de cifras decimales que se repiten y por muchas cifras decimales que saquemos no se llega a tener de resto 0.
7=
7 1
Un nmero natural equivale a una fraccin cuyo numerador es ese nmero y cuyo denominador es 1.
MATEMTICAS 1 ESO
67
Fracciones
2. Fracciones equivalentes
Fracciones equivalentes, nmero racional
Una fraccin representa una divisin, sabemos que hay diversas divisiones que dan el mismo resultado, valen lo mismo. Las fracciones equivalentes tienen distinto numerador y denominador, pero valen lo mismo. Cada fraccin tiene infinitas fracciones equivalentes a ella. Para obtener otra fraccin equivalente a una dada nos basta con multiplicar o dividir sus trminos por el mismo nmero.
4 = 1 =2 12 :4 3 2 6
Representan la misma cantidad. Son equivalentes
:4
Un nmero racional es todo valor que puede ser expresado mediante una fraccin. Todas las fracciones equivalentes entre s expresan el mismo nmero racional.
1 = 0,2 5 3 =3 1
5 = 3 1,666...
Productos cruzados
Para comprobar si dos fracciones son equivalentes o no, el mtodo ms fcil es el de los productos cruzados. Multiplicamos sus trminos en aspa: El producto del numerador de una fraccin por el denominador de la otra ha de dar lo mismo en ambos casos.
5 2 = 15 6
65=30 215=30
irreducible
4 2 1 = = 12 :2 6 :2 3
:2 :2
24 12 6 2 = = = 60 30 15 5 84 7322 2 = = 126 7 3 3 2 3
m.c.d.(153,261)=9 153:9=17 261:9=29
153 17 9 17 = = 261 29 9 29
68
MATEMTICAS 1 ESO
Fracciones
EJERCICIOS resueltos
1. Ordena de mayor a menor estas fracciones:
3 9 8 2 , , , 7 4 8 5 2 3 8 9 < < < 5 7 8 4
Solucin:
2.
3.
5 x
6 5 = 30 x = 30 : 2 = 15
b)
2 6
x 24
2 24 = 48 x = 48 : 6 = 8
4.
24 2 = 60 5 70 5 = 42 3
112 2 = 168 3
6 2 = 5 3 15
m.c.m.(3,5) = 15
5 1 = 3 5 15
3 10
7 12
4 15
MATEMTICAS 1 ESO
69
Fracciones
Suma de fracciones
Para sumar fracciones es necesario que tengan todas el mismo denominador. Si ya tienen igual denominador se pueden sumar directamente. El denominador ser el mismo y el numerador ser la suma de los numeradores. Si las fracciones tienen distintos denominadores se pasan a comn denominador, es decir, se cambian por otras equivalentes a ellas pero con el mismo denominador todas, y ya se pueden sumar.
+
m.c.m.(3,5)
2 6 = 5 15
1 5 = 3 15
=15
2 1 6 5 6 + 5 11 + = + = = 5 3 15 15 15 15
3 2 1 + = 5 3 6
m.c.m.(3,5,6)=30
18 20 5 18 + 20 5 + = = 30 30 30 30
33 11 = 30 10
EJERCICIOS resueltos
5. Reduce a comn denominador las fracciones:
12=223 15=35 20=325
5 3 11 , , 12 15 45
180:12=15
5 5 15 75 = = 12 180 180
3 3 12 36 = = 15 180 180
180:45=4
11 44 = 45 180
6.
Calcula: a)
10 3 4 + + = 6 8 9
10 3 4 120 27 32 + + = + + = 6 8 9 72 72 72
b)
1 3 5 + = 6 18 9
1 7 5 9 21 30 + = + = 6 18 9 54 54 54
c)
4 5 + 7 6 4 5 + 7 6
4 = 3
4 24 35 56 = + = 3 42 42 42
70
MATEMTICAS 1 ESO
Fracciones
Multiplicacin de fracciones
3 5 3 5 15 = = 8 7 8 7 56
Para multiplicar fracciones no hace falta pasarlas a comn denominador, se multiplican directamente.
Multiplicamos sus numeradores y lo ponemos de numerador, multiplicamos sus denominadores y lo ponemos de denominador.
5 9
9 inversas 5
5 9 59 = =1 9 5 95
La inversa de una fraccin es otra fraccin que al ser multiplicada por ella da la fraccin unidad.
La fraccin que tiene el numerador y denominador intercambiados respecto de ella, es su fraccin inversa.
Lgicamente, si una fraccin es inversa de otra, tambin son sus inversas todas las equivalentes a esa. La fraccin de valor 0 es la nica que no tiene inversa.
7 5 7 9 63 : = = 2 9 2 5 10
Tambin puedes hacerlo as:
Multiplicando en aspa:
7 5 7 9 63 : = = 2 9 2 5 10
Una fraccin se puede dividir por cualquier otra, menos por la fraccin 0
EJERCICIOS resueltos
7. Multiplica: a)
6 7 = 5 9
5 = 6
Solucin:
67 42 14 = = 59 45 15
3 5 15 5 = = 6 6 2
b) 3 8.
Solucin:
Divide: a)
6 7 = : 8 3 2 = 3
Solucin:
6 3 18 = 8 7 56 3 15 = 2 2
9 28
b) 5 : c) 9.
Solucin: 5 Solucin:
6 :3 = 7 2 3 9 : 5 4 7
6 1 6 2 = = 7 3 73 7 2 3 7 42 7 = = 5 4 9 180 30
Calcula: a)
Solucin:
MATEMTICAS 1 ESO
71
Fracciones
Operaciones combinadas
Para resolver operaciones combinadas debemos tener en cuenta estas indicaciones:
La misin de los parntesis es la de unir o "empaquetar" aquello a lo que afectan. Los signos de multiplicar unen ms que los de sumar y restar, es decir, cuando dos nmeros estn unidos por el signo de multiplicar forman un bloque inseparable. Para poder sumar o restar dos nmeros deben estar sueltos, no podemos sumar dos nmeros si uno de ellos est unido por el otro lado a otra expresin mediante un signo de multiplicar. Las operaciones combinadas se resuelven en varios pasos, todo lo que no se resuelva en un paso se debe copiar otra vez tal como estaba, sin olvidarlo ni cambiarlo de posicin.
5 4 5 1 7 = + + 3 5 6 2 10
1) los parntesis:
5 4 5 3 9 = + + 3 5 6 6 10
= 5 4 8 9 + = 3 5 6 10 5 32 9 + = 3 30 10
m.c.m(3,30,10)=30
Como norma general es aconsejable comenzar resolviendo lo del interior de parntesis, seguir luego con las multiplicaciones y terminar realizando las sumas y restas que queden. Por eso, antes de comenzar a resolver operaciones combinadas debemos observar la expresin y plantearnos una estrategia a seguir, lo que vamos a hacer antes y despus.
50 32 27 45 + = = 30 30 30 30
4) se simplifica si se puede:
3 2
EJERCICIOS resueltos
10. Calcula: a)
3 1 11 + 6 + = 5 8 4 1 66 3 5 660 24 689 + + = + + = 8 4 5 40 40 40 40
b)
1 5 7 3 5 21 15 84 99 33 + = + = + = = 8 2 3 4 16 12 48 48 48 16
c)
3 1 1 = + 6 + 5 8 4
1 1 3
1 1 33 1 33 5 66 71 + = + = + = 8 4 5 8 20 40 40 40
1 2 30 3 3 27 35 5
+ d) = = : : 6 = : = 8 + 4 5 8 5 8 5 27 8 72 8 5
e)
1 8
7 3 5 4 = 2 + 3
1 10 14 3 1 24 3 24 3 3 = = = + 8 6 6 4 8 6 4 864 8
72
MATEMTICAS 1 ESO
Fracciones
Calcular la parte de un nmero
3 de 12=? 4
3 3 12 36 12 = = =9 4 4 4
Calcular un nmero conocida la parte
3 9 son de ? 4
3 9 4 36 = = = 12 4 3 3
9:
EJEMPLO 1
400 litros
Cuntos litros de agua contiene un depsito de 400 litros que est ocupado en sus 3/5 partes?
3 de 400 5
Un depsito contiene 320 litros de agua y est lleno las dos terceras partes. Qu capacidad tiene?.
320 litros
9 Los
30 pg.
Mara ley la semana pasada la mitad de un libro y esta semana la tercera parte, pero an le faltan 30 pginas, cuntas pginas tiene el libro?.
1 1 + 2 3
1 1 5 + = 2 3 6
306=180 pginas 73
MATEMTICAS 1 ESO
Fracciones
Para practicar
1. Calcula: 7. En una bolsa de 24 bolas, las bolas
5 7 4 + + a) 6 9 3
5 7 1 + b) 6 9 3
c)
2 11 1 + 3 15 5
d)
8 2 1 1 + 12 5 2 10
blancas son 1/4 de ellas. Sin sacar ninguna, cuntas bolas blancas debo aadir para conseguir que las blancas fuesen la mitad?
8. Un coche lleva circulando 26 minutos,
2. Calcula:
2 15 a) 3 14
4 7 b) : 3 11
c) 6
5 4 9 3 4 + 8
d)
4 :6 3 9 2 : 6 4 5
en los cuales ha recorrido 2/3 de su trayecto. Cunto tiempo emplear en recorrer todo el trayecto, yendo siempre a la misma velocidad?
9. Una pelota, al caer al suelo rebota
3. Calcula:
a)
6 7
b) 8 + d) f)
8 2 7 4 c) : + 9 3 12 5
8 2 6 + : 12 5 7
5 7 4 1 + 6 9 3 2
hasta los 3/8 de la altura desde la que se la suelta. Si se la deja caer desde 1024 cm, a qu altura llegar tras el tercer bote? sus 3/5 partes, poco despus hubo un incendio, en el que se quemaron los 5/7 de los pinos que quedaban. Cuntos pinos sobrevivieron?
e)
5 7 4 1 + 6 9 3 2
presupuesto en vivienda y 1/5 en alimentacin. Qu fraccin del presupuesto queda para otros gastos? Sus ingresos mensuales son de 2235 euros. Cunto pagarn por la vivienda?
12. Un ciclista tiene que recorrer 18 km
estos tringulos.
Elige un tipo de lado, por ejemplo el lado mayor y mdelo en los dos tringulos. Slo puedes emplear nmeros naturales.
que separan dos pueblos. Si han recorrido 2/3 Cuntos km le faltan todava?
13. Cada
Verde Naranja
paso de Eva mide aproximadamente 3/5 de metro. Cuntos pasos dar para recorrer 6 km? litros de zumo de naranja, si cada botella tiene una capacidad de 2/3 de litro, cuntas botellas necesitar? una pantalla tradicional es 4/3. Calcula lo que debera medir de alto una pantalla cuya anchura es 112 cm.
14. Una empresa quiere embotellar 912 6. Expresa la fraccin de cuadrado que
74
MATEMTICAS 1 ESO
Fracciones
Para saber ms
Desde siempre el hombre ha utilizado palabras para indicar particiones de una cosa, pero la forma de expresar por escrito en lenguaje matemtico esas fracciones ha cambiado, se ha mejorado. En la antigedad no se conocan buenos sistemas de numeracin, por ello las fracciones recibieron durante mucho tiempo notaciones poco claras e inadecuadas para las aplicaciones prcticas. Los egipcios solamente utilizaban fracciones unitarias, es decir de numerador 1. Los babilonios fueron los primeros en utilizar una notacin racional expresando los nmeros de forma algo ms parecida a la actual. La expresin de una fraccin poniendo el numerador arriba y el denominador abajo se la debemos a los hindes, pero ellos no ponan entre ambos la raya horizontal que ponemos en la actualidad, esa raya se la debemos a los rabes. Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci (1175-1240) contribuy mucho en extender a Europa en el siglo XIII los conocimientos matemticos de los rabes. Busca informacin sobre extraordinario matemtico. este
MATEMTICAS 1 ESO
75
Fracciones
Recuerda lo ms importante
Las fracciones expresan cantidades en las que los objetos estn
partidos en partes iguales. El numerador indica las partes que tenemos. El denominador indica las partes en que dividimos a la unidad.
2 6
12
7 14 70 28 = = = 8 40 16 4
Nmero racional es todo valor que puede ser expresado mediante una fraccin. Todas las fracciones equivalentes entre s son el mismo nmero racional.
84 84 : 6 14 = = 18 18 : 6 3
5 1 = = 4 6 12 12
m.c.m.(4,6)=12 12:4=3 53=15 12:6=2 21=2
15 2 = 12 12 15 2 13 = = 12 12 =
por
4 3 4 3 12 = = 5 7 5 7 35 4 3 4 7 28 : = = 5 7 5 3 15
76
MATEMTICAS 1 ESO
11
44 56
6. Calcula:
6 5 + 7 15 =
7. Calcula:
16 17 7 8 =
8. Calcula:
9 10 11 7 =
10. Calcula:
3 25 : 6 5 =
MATEMTICAS 1 ESO
77
53 18
b) d) b) d) b) d) f)
5 18
6. Amarillo, rojo
43 9 5 7
15 2
7 15 44 21
2 9
2. a)
c)
7. Debo aadir 12 bolas blancas. 8. Tardar 39 minutos. 9. Llegar a 54 cm de altura. 10. Sobrevivieron 24 pinos. 11. Para otros gastos quedan
presupuesto. En vivienda gastan 745 .
3. a)
c) e)
9 4 17 20
37 27
56 25 17 15
40 27
7 del 15
12. Le faltan 6 km. 13. 10000 pasos. 14. 1368 botellas. 15. 84 cm de alto.
Soluciones AUTOEVALUACIN
1.
5 15
796 100
1 24
5 3 9 136
No olvides enviar las actividades al tutor
5. 14 6. 7. 8. 9. 10.
99 70
12 7 1 10
78
MATEMTICAS 1 ESO
6
Objetivos
En esta quincena aprenders a:
Proporcionalidad
Antes de empezar 1.Razn y proporcin pg. 82 Razn entre dos nmeros Proporcin Cuarto proporcional 2.Proporcionalidad directa pg. 84 Magnitudes directamente proporcionales Mtodo de reduccin a la unidad La regla de tres 3.Porcentajes pg. 86 Significado Clculo del porcentaje de una cantidad Clculo del total y del porcentaje Ejercicios para practicar Para saber ms Resumen Autoevaluacin Actividades para enviar al tutor
Expresar una razn como cociente de dos nmeros. Formar proporciones. Dados tres nmeros calcular su cuarto proporcional. Identificar magnitudes que son directamente proporcionales. Resolver problemas usando reglas de tres directa Calcular porcentajes. Resolver problemas con porcentajes.
MATEMTICAS 1 ESO
79
80
MATEMTICAS 1 ESO
Proporcionalidad
Antes de empezar
REBAJAS
20%
Investiga
En poca de rebajas seguro que has visto en los escaparates carteles como el de la fotografa. Si la camiseta que te gusta costaba 25 y nos hacen un descuento del 20% Cunto ahorrars? Cunto pagars realmente?
Para elaborar esta tarta es necesario mantener las proporciones entre sus ingredientes.
MATEMTICAS 1 ESO
81
Proporcionalidad
1. Razn y proporcin
Razn entre dos nmeros
Estamos acostumbrados a dar informacin sobre situaciones de la vida cotidiana usando nmeros. Hay ocasiones en las que un solo nmero no es suficiente y debemos compararlo con otra cantidad para poder comprender mejor la situacin. Cuando comparamos dos cantidades formamos una razn. Razn es el cociente entre dos nmeros a y b. Se escribe a/b y se lee "a es a b". Una razn no tiene unidades y sirve para comparar: indica el n de veces que una cantidad es mayor que otra.
Observa que una razn no es una fraccin, en una razn los nmeros pueden ser decimales y en una fraccin son enteros.
El bote de pintura grande pesa 4,5 kg y el pequeo 1,5 kg. Cul es la razn entre el peso del bote grande y el peso del bote pequeo?. Qu indica?
Se lee 4,5 es a 1,5 La razn es 3 y nos indica que el bote grande pesa 3 veces ms que el pequeo.
Proporcin
Una proporcin es una igualdad entre dos razones: "a es a b como c es a d" a y d se llaman extremos b y c se llaman medios Las proporciones cumplen fundamental: la siguiente relacin
En el cuadro tenemos las horas diarias que dedican Luis y Ana al juego y al estudio.
ad = cb
Tanto Luis como Ana dedican el doble de tiempo al juego que al estudio. Las dos razones son iguales, forman proporcin. Se lee 3 es a 1,5 como 5 es a 2,5
82
MATEMTICAS 1 ESO
Proporcionalidad
EJERCICIOS resueltos
11. Un rectngulo mide 50 cm de ancho y 20 cm de alto. Hallar la razn entre su anchura y su altura. Qu nos indica la razn?
Solucin: Calculamos el cociente anchura del rectngulo/altura = 50/20=2. La razn es 2,5 e indica que la anchura es 2,5 veces la altura
12.
Una bolsa grande de magdalenas cuesta 5,2 y una bolsa pequea cuesta 1,3 . Hallar la razn entre el precio de la bolsa grande y el de la pequea. Explica qu indica la razn.
Solucin: Calculamos el cociente precio bolsa grande/precio bolsa pequea = 5.2/1.3= 4. La razn es 4 e indica que el la bolsa grande cuesta 4 veces ms que la bolsa pequea.
13.
Una chica tiene 15 aos y su padre 45. Hallar la razn entre la edad de la hija y la edad del padre. Explica qu significa la razn.
Solucin: Calculamos el cociente edad hija/edad padre = 15/45 = 1/3 La razn es 1/3 e indica que la edad de la hija es la tercera parte de la edad del padre.
14.
c)
Solucin:
15.
Solucin: a)
b)
c)
d)
MATEMTICAS 1 ESO
83
Proporcionalidad
2. Proporcionalidad directa
Magnitudes directamente proporcionales
Magnitud es una propiedad que se puede medir y expresar con nmeros.
Ejemplo de magnitudes son: nmero de cuadernos Kg de fruta que compramos precio a pagar
30 6 12 18
Las dos magnitudes (n balones y coste) son directamente proporcionales porque a doble, triple,.. cantidad de la primera le corresponde doble, triple,... cantidad de la segunda.
24 aos 6 aos 54 aos
En ocasiones las magnitudes estn relacionadas. Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar una de ellas por un nmero, la otra queda multiplicada por el mismo nmero.
1 ao
Edad y altura no son directamente proporcionales. A doble, triple... edad no le corresponde doble, triple, altura.
son directamente proporcionales si se verifica que a'/a = b'/b = c'/c = ... = k siendo k la razn de proporcionalidad. La constante de proporcionalidad directa, k, se calcula al dividir una cantidad cualquiera de la 2 magnitud entre la correspondiente de la 1.
Las dos magnitudes son directamente proporcionales. Al dividir los valores de la 2 magnitud entre los de la 1 se obtiene el mismo resultado:
EJERCICIOS resueltos
16. Razona si los siguientes pares de magnitudes son o no directamente proporcionales a.El nmero de obreros y el tiempo que tardan en terminar una obra. b.El nmero de entradas al cine y el precio que debemos pagar. c.El peso de una persona y su estatura. d.Las distancias en un mapa y las distancias reales 17.
a) No. Si en la obra trabajan el doble de obreros no van a tardar el doble de tiempo en terminarla , al contrario tardarn menos en hacerlo. b) Si. Si compramos el doble, triple.. de entradas deberemos pagar el doble, triple..de dinero. c) No. Cuando una persona dobla su estatura no dobla automticamente su peso. d) Si. Doble, triple distancia en la vida real le corresponde doble, triple distancia en el mapa.
Dada la siguiente tabla de valores directamente proporcionales, compltala y calcula la constante de proporcionalidad.
Solucin
k=8
84
MATEMTICAS 1 ESO
Proporcionalidad
EJEMPLO: Si 5 lpices cuestan 2 . Cunto costarn 8 lpices?
1) Son directamente proporcionales?
Las magnitudes n de lpices y coste son directamente proporcionales. Doble, triple... n de lpices costarn doble, triple...
Comprobar
magnitudes
son
4) Contestar la pregunta
costar un lpiz
costarn 8 lpices
5 8
lpices lpices
-- 2 -- x
EJERCICIOS resueltos
22. Si por 3 horas de trabajo un obrero cobra 12 (Resulvelo por reduccin a la unidad)
23.
Si por 5 horas de trabajo un obrero cobra 24 (Resulvelo mediante una regla de tres)
Llamamos x = euros que ganar Resolvemos
euros 76 x
MATEMTICAS 1 ESO
85
Proporcionalidad
3. Porcentajes
Significado del tanto por ciento
Es muy habitual escuchar noticias como las siguientes: "Las ventas de automviles ha descendido un 20%", "El 45% de los espaoles utiliza Internet". Expresar un tanto por ciento (20%,45%) de una cantidad (venta, poblacin ...) equivale a dividir esa cantidad en 100 partes y coger el tanto por ciento indicado. Un porcentaje (cuyo smbolo es %) es una razn de denominador 100. Se puede expresar como una fraccin y como decimal. EJEMPLO: El 30 % de la poblacin utiliza Internet
Se lee el treinta por ciento de la poblacin utiliza Internet
30 100
30%
0,30
Clculo de porcentajes
Para calcular el tanto por ciento de una cantidad disponemos de varios mtodos: 1. El porcentaje es una fraccin. 2. El porcentaje es un decimal. 3. El porcentaje es una proporcin y podemos usar una regla de tres simple directa. Observa en el ejemplo cmo se calcula el tanto por ciento de una cantidad segn los distintos mtodos. EJEMPLO: Se llena el 92% de un depsito de 500 litros de capacidad Cuntos litros se han necesitado?
92 100
92 500 = 460 litros 100
100% 92%
500 litros
litros
100 -- 500 92 -- x
x= 500 92 = 460 litros 100
86
MATEMTICAS 1 ESO
Proporcionalidad
EJEMPLO 1: Un depsito que contiene 460 litros de agua, est lleno al 92% de su capacidad, cuntos litros caben?.
total
litros
92 -- 460 100 -- x
92 460 = 100 x 460 100 x= = 500 92
EJEMPLO 1: En un depsito de 500 litros de capacidad, echamos 460 litros de agua, qu porcentaje hemos llenado?. litros %
1) La cantidad desconocida se llama x. 2) El 100% corresponde siempre al total. Observa los ejemplos de la izquierda.
magnitud
EJERCICIOS resueltos
18. Escribe en forma de fraccin y de nmero decimal a) 55 %
Solucin: Fraccin Decimal a) 55/100 a) 055 b) 39/100 b) 039 c) 90/100 c) 09
b)39 %
c) 90 %
19.
Calcula el
1)
2)
3)
=0,35500 =
20.
Solucin:
21.
En un depsito de 300 litros de capacidad echamos 135 l de agua. qu porcentaje del depsito hemos llenado?
Llamamos x = porcentaje del depsito que hemos llenado
Solucin:
MATEMTICAS 1 ESO
87
Proporcionalidad
Para practicar
Resuelve por el mtodo de reduccin a la unidad
1. Alicia pag 30 por 5 kg de peras. 10. En
una ciudad se envan 9800 mensajes de mvil diarios. El 57% de ellos son mensajes multimedia. Cuntos mensajes multimedia se envan al da?. estudian ingls. Si hay 9200 alumnos de instituto cuntos estudian ingls?
3. Viajamos
a un pas lejano cuya moneda es el yin-zu. Si un yin-zun equivale a 4 . cuntos yin-zu nos darn por 453 ?
ventas que consigue. Si quiere ganar 2976 cunto tendr que vender? afirman que practican algn deporte. Si sabemos que stas eran 228 cuntas fueron encuestadas? en un concesionario 690 son turismos. Expresa esa cantidad mediante un porcentaje.
4. Un
motorista tarda 4 horas en recorrer 276 km. Si mantiene una velocidad constante Cunto tardar en recorrer 414 km?
5 das. Cuntos folios se gastarn en 24 das? kg de pan. Cuntos kg de harina se necesitan para fabricar 16 kg de pan?
pero el vendedor nos hace un 13% de descuento. Cunto pagaremos en realidad? pero tiene un 51% de recargo. Cunto pagaremos en realidad? pero tiene un 10% de recargo. Cunto pagaremos en realidad?
8. Al
elaborar un postre para dos personas se necesitan 120 kg de arroz cunto arroz necesitars si preparas el postre para 3 personas?
Problemas de porcentajes
9. En un concesionario se venden 8100
vehculos al ao, de ellos el 67% son turismos. Hallar el nmero de turismos que se venden al ao en ese concesionario.
88
MATEMTICAS 1 ESO
Proporcionalidad
Para saber ms
Comisiones bancarias
Qu sabes de las comisiones bancarias? Sabes cundo las cobran y a quin?
El banco nos cobra cada vez que hacemos una transferencia y gana dinero cada vez que usamos la tarjeta de crdito para pagar nuestras compras. Averigua los porcentajes.
16%
por regla general
Se aplica a electrodomsticos, ropa, calzado, bricolaje, tabaco, bebidas alcohlicas, etc
7%
el reducido
Se aplica a entradas a teatros, conciertos, cine, agua; peluqueras; dentistas; servicios de hostelera; transporte de viajeros; edificios, viviendas y plazas de garaje; complementos para el diagnstico o alivio de enfermedades y alimentos no incluidos en el IVA superreducido ...
4%
el sper reducido
Se aplica a bienes y servicios de primera necesidad: pan, verduras, frutas, leche, quesos, huevos, hortalizas, que no hayan sido modificados de ninguna forma. Libros, peridicos y revistas no publicitarias; medicamentos; sillas de ruedas para minusvlidos y prtesis; viviendas de Proteccin Oficial.
Tales llam x = altura de la pirmide Cogi una vara y midi la vara (h) y altura de su sombra (s), y pidi medir la longitud de la sombra de la pirmide (S). Aplic una regla de tres:
altura objetos longitud sombra
Dato: Pregunta:
h x
--------------> s --------------> S
MATEMTICAS 1 ESO
89
Proporcionalidad
Recuerda lo ms importante
Razn: cociente entre dos nmeros.
Propiedad fundamental de las proporciones:
ad = cb
Se lee: "a es a b como c es a d" a y d se llaman extremos b y c se llaman medios
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al el doble, triple de la primera le corresponde doble, triple de la segunda...
Mag 1 Mag 2
0,5 1,5
1 3
1,5 4,5
2 6
3 9
10 30
La constante de proporcionalidad directa, k, es el cociente entre una cantidad cualquiera de la 2 magnitud y la correspondiente de la 1. k=
1,5 3 4,5 6 9 30 = = = = = =3 0,5 1 1,5 2 3 10
Dato: Pregunta:
3) Se calcula:
a c x=
------> ------>
c b a
b x
Porcentaje o tanto por ciento es la cantidad que hay en cada 100 unidades. Se expresa mediante el smbolo %. Un porcentaje es equivalente a una razn de denominador 100 y tambin al nmero decimal correspondiente.
% magnitud
90
MATEMTICAS 1 ESO
Proporcionalidad
Autoevaluacin
1. En un instituto hay 42 chicos y 21 chicas. Halla la razn entre el nmeros de chicos y el nmero de chicas. qu indica la razn?
8/3
de
la
siguiente
5. Si 7 DVDs cuestan 14 euros cunto costarn 2 DVDs? Resulvelo usando el mtodo de reduccin a la unidad.
6. Si 3 DVDs cuestan 24 euros cunto costarn 5 DVDs? Resulvelo usando una regla de tres
7. El 35% de los rboles de un parque se plantaron en abril. Si en total hay 600 rboles cuntos se plantaron en abril?
9. Una agencia de viajes ha vendido 560 plazas de un avin lo que supone un 28% del total. De cuntas plazas dispone el avin?
10. Un sof que costaba 5500 euros se ha rebajado un 12%. Cunto pagaremos en realidad?
MATEMTICAS 1 ESO
91
Proporcionalidad
Soluciones de los ejercicios para practicar
1. 6.5 kg 2. 325 3. 113,25 4. 6 horas 5. 2520 folios 6. 8 kg de pan 7. 16 km 8. 180 gr de arroz 9. 5427 turismos 10. 5586 mensajes multimedia
11. 1564 alumnos 12. 6200 13. 600 mujeres 14. 30% 15. 11% 16. 696 pagaremos 17. 10570 pagaremos 18. 5500 19. 3520 pagaremos 20. 186 pagaremos
Soluciones AUTOEVALUACIN
1. La razn es 2. Indica que el n de
chicos es el doble que el de chicas
No olvides enviar las actividades al tutor
2. No son directamente proporcionales 3. S forman proporcin 4. x = 72 5. 4 euros costarn 6. 40 euros costarn 7. 210 rboles se plantaron en abril 8. 25 % de descuento 9. 2000 plazas en total 10. 4840 euros pagaremos f
92
MATEMTICAS 1 ESO
7
Objetivos
En esta quincena aprenders a:
Expresiones algebraicas
Antes de empezar 1.Lenguaje algebraico pg. 96 Expresiones algebraicas Traduccin de enunciados Valor numrico 2.Monomios pg. 98 Caractersticas Suma y resta Producto 3.Ecuaciones pg. 100 Solucin de una ecuacin Ecuaciones equivalentes Resolucin de ecuaciones Resolucin de problemas Ejercicios para practicar Para saber ms Resumen Autoevaluacin Actividades para enviar al tutor
Utilizar letras para representar nmeros desconocidos. Hallar el valor numrico de una expresin algebraica. Sumar, restar y multiplicar monomios. Resolver ecuaciones de primer grado. Resolver problemas mediante ecuaciones de primer grado.
MATEMTICAS 1 ESO
93
94
MATEMTICAS 1 ESO
Expresiones algebraicas
Antes de empezar
En esta quincena veremos la forma de utilizar letras para representar nmeros desconocidos. Uno de los ejemplos de la utilizacin de las letras para representar nmeros lo tenemos en algunos ejercicios de investigacin y otro en los nmeros romanos.
Investiga
Nmeros romanos
Recordemos las letras que se utilizan en la numeracin romana
y recordemos tambin algunas de sus reglas: - Las letras I, X y C escritas a la derecha de otra de igual o mayor valor le suman a sta su valor. VI 5+1=6 - Las letras I, X y C escritas a la izquierda de otra de igual o mayor valor le restan a sta su valor. XC 100 10 = 90 - Solamente pueden repetirse las letras I, X, C y M y como mximo tres veces seguidas. CC 100 + 100 = 200 - Una lnea horizontal encima de un nmero multiplica por 1000 su valor (para nmeros mayores que 3999).
X 10 x 1000 = 100000
MATEMTICAS 1 ESO
95
Expresiones algebraicas
1. Lenguaje algebraico
Expresiones algebraicas
El lenguaje numrico expresa la informacin matemtica a travs de los nmeros, pero en algunas ocasiones, es necesario utilizar letras para expresar nmeros desconocidos. El lenguaje algebraico expresa la matemtica mediante letras y nmeros. informacin x bolas Ejemplos: Extraemos 3 bolas de una vasija que contiene x bolas. La expresin algebraica que da el nmero de bolas que quedan es x 3.
Una expresin algebraica es una combinacin de letras, nmeros y signos de operaciones. As, x+2 es una expresin algebraica formada por la letra x, el signo + y el nmero 2. Esta expresin algebraica puede leerse como un nmero ms dos. Para escribir una expresin algebraica debes tener en cuenta que puedes sustituir el signo x de la multiplicacin por el signo o bien puedes suprimirlo 3 x x2 3 x2 3x2 y tambin que no se suelen escribir ni el factor 1 ni el exponente 1. x5 8x1 8x 1x5 Un coche da 3 vueltas a un circuito de longitud l kilmetros. La expresin algebraica que indica el espacio que recorre es 3l.
Traduccin de enunciados
Como has visto el lenguaje algebraico permite expresar operaciones con nmeros desconocidos. As, se puede representar la suma de dos nmeros como x+y y el triple de la suma de dos nmeros como 3(x+y). De esta forma se realiza una enunciados a lenguaje algebraico. traduccin de
Ejemplos: Si Juan tiene x llibros y Ana tiene el doble de los libros que tiene Juan ms 5 se puede expresar el nmero de libros que tiene Ana como 2x+5. Si el precio de un lpiz es x euros y el de un bolgrafo y euros, el precio de 5 lpices y 3 boligrafos se puede expresar como 5x+3y.
Asimismo mediante la traduccin de enunciados se pueden expresar nmeros desconocidos en trminos de otros. Por ejemplo, si la edad de Juan es x y Lola tiene el triple de la edad de Juan mas cuatro aos, se puede expresar la edad de Lola como 3x+4 y si Pedro tiene el doble de la edad de Lola, se puede expresar la edad de Pedro como 2(3x+4).
x euros
y euros
96
MATEMTICAS 1 ESO
Expresiones algebraicas
Ejemplos: El valor numrico de 3x -5x para x = 2 es: 323-522= 38-54=24-20=4
3 2
Valor numrico
Las expresiones algebraicas indican operaciones con nmeros desconocidos. Por ejemplo, si un operario cobra 15 por el desplazamiento y 20 por cada hora , la expresin algebraica 15 + 20x indica el importe que cobrar por un nmero desconocido x de horas de trabajo. Y si queremos averiguar cuanto cobrar por trabajar 2 horas sustituiremos x por 2. Observa: 15+20x
para x = 2
Si el precio de alquiler de un coche es de 78 diarios ms 0,12 por km recorrido, la expresin algebraica 78x+0,12y indica el importe que se debe pagar por alquilar x das un coche y recorrer y km. Podemos hallar el importe que se debe pagar por alquilar un coche 2 das y recorrer 400 km sustituyendo la x por 2 y la y por 400. Observa: 782+0,12200=156+24=180 Se debern pagar 180 .
15+20.2=15+40=55 euros
De esta forma hemos hallado el valor numrico de 15 + 20x para x = 2 y hemos obtenido 55.
El valor numrico de una expresin algebraica es el nmero que se obtiene al sustituir las letras por nmeros y realizar las operaciones indicadas.
EJERCICIOS resueltos
1. Escribe en lenguaje algebraico: a) El doble de un nmero ms tres. b) El cuadrado de un nmero menos cinco. c) El doble de un nmero ms el triple del mismo nmero. a) 2x + 3 2. b) x2 5 c) 2x + 3x Escribe una expresin algebraica que de: a) El permetro de un tringulo equiltero de lado x b) El permetro de un rectngulo de base x cuya altura mide 1 cm menos que su base. c) El rea de un rectngulo de base x cuya altura mide 6 cm menos que su base. a) 3x 3. b) 4x - 2 c) x(x-6) Ana tiene 2 aos ms que Juan. Si representamos por x la edad actual de Juan expresa en lenguaje algebraico la suma de las edades de ambos dentro de 5 aos. Edad actual Edad dentro de 5 aos 4. Juan x x+5 Ana x+2 x+7
La suma de las edades de ambos dentro de 5 aos es: x + 5 + x + 7 Representamos por x el nmero de coches que hay en un aparcamiento y por y el nmero de motos. Escribe una expresin algebraica que indique el nmero de ruedas que hay en total. - Mediante la expresin algebraica hallada calcula el nmero total de ruedas si en el aparcamiento hay 12 coches y 5 motos. Ruedas de coches 4x Ruedas de motos 2y Hallamos el valor numrico de 4x + 2y para x = 12 e y = 5 412 + 25 = 48 + 10 = 58 En el aparcamiento hay 58 ruedas. Total 4x+2y
MATEMTICAS 1 ESO
97
Expresiones algebraicas
2. Monomios
Caractersticas
Las siguientes expresiones algebraicas: 8x3 2x4 3x estn formadas por el producto de un nmero y de una letra. Reciben el nombre de monomios. Un monomio est formado por un coeficiente y por una parte literal. Observa: Monomio Coeficiente Parte literal 8 x3 8x3 2x4 2 x4 3x 3 x
Grado = 6 Coeficiente = 7
7x6
Parte literal = x6
Si un monomio est formado por una nica letra su coeficiente es 1. El coeficiente de x7 es 1. El grado de un monomio es el exponente de la letra. El grado de 8x3 es 3, el de 2x4 es 4 y el de 3x es 1.
Suma y resta
Observa que los monomios 12x3 y 4x3 tienen la misma parte literal. Reciben el nombre de monomios semejantes. Para sumar o restar monomios semejantes se suman o se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal.
Ejemplos: Los monomios 3x10 y 8x10 son semejantes. Los monomios 5x7 y 8x6 no son semejantes ya que no tienen la misma parte literal. En un jardn hay x flores rojas y el doble de flores blancas ms cinco, es decir 2x + 5 flores blancas. Podemos expresar algebraicamente la suma de flores que hay en el jardn como: x + 2x + 5 = 3x + 5 Podemos expresar la diferencia de flores blancas y rojas como: 2x + 5 x = x + 5
2x x2 + 3x = 5x x2
Esta operacin recibe el nombre de reduccin de trminos semejantes.
98
MATEMTICAS 1 ESO
Expresiones algebraicas
Ejemplo: Observa las dimensiones del rectngulo de la siguiente figura:
Producto
Para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes y se multiplican las partes literales.
2x Para multiplicar un nmero por un monomio se multiplica el nmero por el coeficiente del monomio y se deja la misma parte literal.
As, el resultado obtenido tanto al multiplicar dos monomios como al multiplicar un nmero por un monomio es un monomio.
EJERCICIOS resueltos
5. Escribe para cada uno de los siguientes apartados un monomio que cumpla las condiciones requeridas: a) que tenga coeficiente 12 y el mismo grado que el momio 3x5. b) que tenga grado 5 y el mismo coeficiente que el monomio -2x6. c) que tenga por parte literal x2 y cuyo valor numrico para x = 5 sea 50. a) 12x5 6. b) -2x5 c) 2x2 Opera y reduce los trminos semejantes de las siguientes expresiones algebraicas: a) 3x3 + 4x2 + 5x2 + 4x3 b) 5x3 7x2 8x3 2x2 1 c) 2x 5x 3x 4x a) 7x3 + 9x2 7. b) -3x3 -9x2 1 c) 2x 5x 3x 4x = 10x2 12x2 = -2x2 Halla el monomio que se obtiene al efectuar el siguiente producto: 1 1 x 2x5 x3 5x2 6x3 2 15 1 1 Para hallar el coeficiente multiplicamos los coeficientes 2 5 6 = 2 2 15 Para hallar el grado se suman los exponentes 5 + 3 + 2 + 3 + 1 =14 El resultado del producto es el monomio 2x14. La suma de dos monomios es 5x2 y uno de ellos es 3x2. Cul es su producto? Hallamos el monomio que al sumarlo con 3x2 se obtiene 5x2. 5x2 3x2 = 2x2 El producto de los dos monomios es 3x2 2x2 = 6x4 9. El producto de dos monomios es 20x4 y uno de ellos es 4x2. Cul es su suma? El monomio que al multiplicarlo por 4x2 da 20x4 es 5x2. La suma de los dos monomios es 4x2 + 5x2 = 9x2
8.
MATEMTICAS 1 ESO
99
Expresiones algebraicas
3. Ecuaciones
Solucin de una ecuacin
Una igualdad est formada por dos expresiones separadas por el signo =. Si en alguna de ellas intervienen letras se tiene una igualdad algebraica. Una ecuacin es una igualdad algebraica que solo es cierta para un determinado valor de la letra. As x+5=11 es una ecuacin ya que solo se cumple si x es 6. En una ecuacin podemos identificar dos miembros separados por el signo = primer miembro x+5 =11 segundo miembro y tambin los trminos que son los sumandos que forman los miembros. As, 5 es un trmino. La incgnita de la ecuacin es la letra que aparece en la ecuacin. La incgnita de la ecuacin x+5 = 11 es x. Un nmero es solucin de la ecuacin si al sustituir la incgnita por este nmero la igualdad se verifica. As. el nmero 6 es solucin de la ecuacin x+5=11 ya que al sustituir x por 6 se obtiene la igualdad 6+5=11.
Ecuacin
Primer miembro Segundo miembro
3x + 2 = x + 4
trmino trmino trmino trmino
Incgnita: x Solucin:
31 + 2 = 1 + 4
Ejemplo: La ecuacin 6x - 2 = 4x + 6 tiene por solucin x = 4. Observa como obtenemos ecuaciones equivalentes: Sumando 2 a los dos miembros: 6x 2 + 2 = 4x + 6 + 2 6x = 4x + 8 Sumando -4x a los dos miembros: 6x 2 4x = 4x + 6 4x 2x - 2= 6 Restando 6 a los dos miembros: 6x 2 - 6 = 4x + 6 6 6x 8 = 4x Dividiendo por 2 los dos miembros: 3x 1 = 2x + 3 Fjate en que todas las ecuaciones halladas tienen por solucin x = 4.
Ecuaciones equivalentes
Las solucin de las ecuaciones x+2=5 y x+7=10 es la misma, 3. Las ecuaciones que tienen la misma solucin se denominan ecuaciones equivalentes. Para obtener una ecuacin equivalente a una dada se utilizan las siguientes propiedades de las igualdades: a) Si sumamos o restamos un mismo nmero o una misma expresin algebraica a los dos miembros de una ecuacin obtenemos otra ecuacin equivalente. Por ejemplo, para obtener una ecuacin equivalente a x+2=5 sumamos 3 a los dos miembros: x+2+3=5+3 x+5=8 Fjate en que la ecuacin obtenida x+5=8 tambin tiene por solucin 3. b) Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuacin por un mismo nmero diferente de cero obtenemos otra ecuacin equivalente. As, para obtener una ecuacin equivalente a x+2=5 podemos multiplicar por 4 los dos miembros: 4(x+2)=45 4x+8=20 La ecuacin obtenida 4x+8=20 tambin tiene por solucin 3. 100
MATEMTICAS 1 ESO
Expresiones algebraicas
Ejemplos: x+2=5 x=52 x=3 3x = 18 18 =6 x= 3 5x + 1 = 6 5x = 6 1 5x = 5 5 x= =1 5 5x + 12 = 2x 5x 2x = -12 3x = -12 - 12 = -4 x= 3
Resolucin de ecuaciones
Resolver solucin. una ecuacin consiste en hallar su
Observa como se procede para resolver la ecuacin 7x - 2 = 5x + 4 Realizamos una transposicin de trminos pasando a un miembro todos los trminos que contienen la incgnita y al otro miembro los que no la contienen. 7x - 5x = 4 + 2 Efectuamos operaciones en cada uno de los miembros para reducir los trminos semejantes. 2x = 6 Despejamos la incgnita y calculamos la solucin. 6 x = =3 2 La solucin de la ecuacin 7x -2 = 5x + 4 es x =3.
Resolucin de problemas
Se pueden resolver algunos problemas en los que se plantea una relacin de igualdad mediante ecuaciones. Por ejemplo, veamos el siguiente problema: El doble de un nmero menos 2 es igual a 8. De qu nmero se trata? La incgnita es el nmero desconocido: x Expresamos mediante una ecuacin la igualdad planteada en el enunciado: Al resolver un problema mediante una ecuacin seguiremos los siguientes pasos: Leer atentamente el enunciado. Identificar la incgnita. Plantear la ecuacin. Resolver la ecuacin planteada. Comprobar la solucin obtenida. Escribir la respuesta. 2x-2=8 Resolvemos la ecuacin: 2x = 8+2 2x = 10 10 =5 x= 2 Comprobamos si la solucin de la ecuacin verifica las condiciones del enunciado: 2.5-2=8 Respuesta: El nmero es 5. De esta forma hemos resuelto un problema mediante el planteamiento y la resolucin de una ecuacin.
MATEMTICAS 1 ESO
101
Expresiones algebraicas
EJERCICIOS resueltos
10. Comprueba si x = 3 es solucin de alguna de las siguientes ecuaciones: a) 4x 1 = 2 b) 5x 2 = 3x + 4 c) x + 4 = 2x + 1 No es solucin a) 4 3 1 # 2 Si es solucin b) 5 3 2 = 3 3 + 4 Si es solucin c) 3 + 4 = 2 3 + 1 11. Comprueba si las siguientes ecuaciones son equivalentes: a) x +5 = 6 b) 2x + 4 = 5x + 1 c) 5x -5 = 0 a) b) c) x+5=6 x=65 x=1 -3x = -3
x = -3 -3 = 1
2x + 4 = 5x + 1 5x - 5 = 0
2x 5x = 1 - 4
x = 5
5x = 5
12.
x =
13.
= -1 -2 En una bolsa que contiene 54 bolas entre blancas y negras, el nmero de bolas blancas es superior en 10 al de bolas negras. Cuntas bolas de cada color hay en la bolsa? x bolas blancas x + 10 bolas negras Ecuacin: x + x + 10 = 54 x + x = 54 - 10 2x = 44 44 x + 10 = 22 + 10 = 32 x= = 22 2 Los valores 22 bolas negras y 32 bolas blancas verifican las condiciones del enunciado. As en la bolsa hay 22 bolas negras y 32 bolas blancas. x =
5x 7x = 4 2
-2x = 2
14.
La suma de tres nmeros enteros consecutivos es igual al menor menos 43. De qu nmeros se trata? nmero menor x siguiente a x x+1 siguiente a x + 1 x+2 Ecuacin: x + x + 1 + x + 2 = x - 43 x + x + x - x = 43 1 - 2 2x = -46 - 46 x = = -23 2 x + 1 = -23 + 1 = -22 x + 2 = -23 + 2 = -21 Los valores -23, -22 y -21 verifican las condiciones del enunciado. As los nmeros son -23, -22 y -21.
102
MATEMTICAS 1 ESO
Expresiones algebraicas
Para practicar
1. Expresa en lenguaje algebraico: 7. Observa
y 3 9
completa 4 16 5 25 6
las 7 n
casillas
a) El triple de un nmero x ms 100. b) El precio en euros de x quilogramos de peras a 1,45/kg. c) El importe de una factura de x euros si se le aplica un 16% de IVA. d) El doble de la edad que tena Ana hace 5 aos si su edad actual es x aos.
2. En un aparcamiento hay coches de
vacas: 1 1 2 4
color blanco, de color rojo y de color negro. El nmero de coches de color rojo es el doble del de color blanco ms 1 y el de color negro el triple del de color blanco menos 5. Con estos datos completa la siguiente tabla: Nmero de coches Color blanco Color rojo Colar negro Total
3. Halla el valor numrico de x 5x + 6
2
9. Indica
cuales de los siguientes monomios son semejantes: 3x 1 x 2 8xy 1 2 x 3 5x -5xy -4x2 7x2
c(a + b) 2ab c
a) 3x + 5x + 2x b) 3x2 4x2 +7x2 c) x3 5x3 + 4x2 - 3x2 d) 5x4 + 7x3 6x4 +11x3
11. Completa la siguiente la tabla:
para a = 1, b = 2 y c = 3.
5. Si x + y = 5 calcula:
a) x + y + 2 b) x + y 4 c) 6(x + y) d) x + y 8(x + y)
6. Una empresa de
4x
x2
a) Expresa en lenguaje algebraico el importe que se debe pagar si se alquila para realizar un trayecto de x kilmetros. b) Halla el precio que se debe pagar al alquilar el autocar y recorrer 400 km.
continuacin semejantes:
reduce
los
trminos
103
Expresiones algebraicas
13. Completa:
2x + 2x -7x2 x -2x2 -5x2
siguientes ecuaciones: a) 3 + 2y = 9 b) 2d + 5 = 17 c) 3m + 2 = m + 8 d) 2t + 5 = 4t
3x
2x
diferencia nmeros?
5.
Cules
son
estos
14. Completa:
amigos, uno de ellos se ha quedado con 8 caramelos ms que el otro. Cuntos caramelos tiene cada uno de ellos?
22. Halla las dimensiones de un rectngu-
a) Al sumar 10 al triple de un nmero se obtiene 46. b) El doble de un nmero sumado a su triple es igual a 40. c) La diferencia entre el triple de un nmero y su mitad es igual a 5. d) El cuadrado de un nmero es igual a 121.
17. Resuelve las siguientes ecuaciones:
agudos de un tringulo rectngulo es el quntuplo del otro. Halla la medida de dichos ngulos. 20. Cuntos aos hace que la suma de las edades de Juan y de Pedro era igual a la edad de Miguel?
25. Los
a) 5x = -5 b) -2x = -6 c) 6x = 0 d) x + 8 = 3 e) -x 4 = 1 f) x 2 = 1 g) 2x 3 = 3 h) 4x 5 = 2x
18. Resuelve las siguientes ecuaciones:
tres finalistas de un concurso deben repartirse 2100 de forma que cada uno de ellos reciba 500 ms que el que ocupa una posicin inferior. Qu cantidad de dinero recibe cada uno? es 29 cm. Halla la medida de sus lados. 2x x 3x + 1 x
a) 3x + 2 = 5 b) 4x + 6 = 2x c) 6x + 4 = 4x + 7 d) 5x + 8 = 2x 3 e) 3x 4 = x + 1 f) 3x 2 = 5x 1 g) 3x 4 = x + 3
Halla el valor de x.
x x 1 kg 5 kg
104
MATEMTICAS 1 ESO
Expresiones algebraicas
Para saber ms
Cuadrados mgicos
Un cuadrado mgico consiste en la disposicin de una serie de nmeros de forma que al sumar las filas, las columnas o las diagonales se obtiene siempre el mismo valor. El cuadrado de la derecha es mgico ya que la suma de filas, columnas y diagonales es 15.
En 1514, el pintor alemn Alberto Durero pint un grabado, "La Melancola", en el que aparece un cuadrado mgico
8 3 4
1 5 9
6 7 2
En una de las fachadas de la Sagrada Familia en Barcelona hay un cuadrado mgico que se debe al escultor Jos M. Subirachs
x+6 x-1 7
2x+2 6 x+5
5 3x+1 x
Qu es una identidad?
Una identidad es una igualdad algebraica que se verifica para cualquier valor de la letra. En la igualdad algebraica 5x - 3x = 2x comprueba que al sustituir la x por cualquier valor se verifica. As, 5x - 3x = 2x es una identidad.
Un juego
Piensa un nmero, smale 5, multiplica el resultado obtenido por 6, rstale 20, smale 5, rstale 15 y finalmente divide el resultado entre 6. Obtienes el nmero que has pensado?. Investiga por qu siempre obtienes el nmero que habas pensado.
Una serie
Cmo completaras esta serie en la que cada nmero se obtiene sumando los dos anteriores? 3 39
MATEMTICAS 1 ESO
105
Expresiones algebraicas
Recuerda lo ms importante
Lenguaje algebraico
El lenguaje algebraico expresa la informacin matemtica mediante letras y nmeros. Una expresin algebraica es una combinacin de letras, nmeros y signos de operaciones. Mediante el lenguaje algebraico se puede realizar una traduccin de enunciados.
Ejemplos de traduccin de enunciados:
Monomios
Un monomio es una expresin algebraica formada por el producto de un nmero y de una letra. Un monomio consta de un coeficiente y de una parte literal. El grado de un monomio es el exponente de la letra.
Ejemplos:
Ecuaciones
Una ecuacin es una igualdad algebraica que solo es cierta para un determinado valor de la incgnita. Un nmero es solucin de la ecuacin si al sustituir la incgnita por este nmero la igualdad se verifica. Resolver una ecuacin consiste en hallar su solucin.
Ejemplos de resolucin de ecuaciones: x+3=2 x2=5
El doble de un nmero x menos 12. 2x 12 La edad de una persona dentro de 4 aos si actualmente tiene x aos. x+4 El nmero total de ruedas de x coches y de y bicicletas. 4x + 2y
El monomio 7x3 tiene por coeficiente 7 por parte literal x3 y su grado es 3. El monomio -x tiene por coeficiente -1 por parte literal x4 y su grado es 4. El monomio 6x2y3 tiene por coeficiente 6 por parte literal x2y3 y su grado es 5.
4
x=23 x = -1
2x = 6
x=5+2 x=7
5x 6 = 4x
x=
6 2
5x 4x = 6 x=6
x=3
El valor numrico de una expresin algebraica es el nmero que se obtiene al sustituir las letras por nmeros y realizar las operaciones indicadas.
Ejemplos:
Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes y las partes literales.
Ejemplos:
Se pueden resolver problemas en los que se plantea una relacin de igualdad mediante ecuaciones. Los pasos a seguir son: Identificar la incgnita. Plantear una ecuacin. Resolver la ecuacin planteada. Comprobar la solucin obtenida. Dar la respuesta al problema.
El valor numrico de 5x3 para x = 2 es: 5 2 3 = 10 3 = 7 El valor numrico de x - 1 para x = 4 es: 4 1 = 16 1 = 15 El valor numrico de 2x+y para x = 6 e y = 5 es: 2 6 + 5 = 12 + 5 = 17
2 2
7x3 + 2x3 = 9x3 -x4 + 8x4 = 7x4 10x7 -6x7 + x7 = 5x7 4x7 6x3 = 24x10 x4 5x3 = 5x7
106
MATEMTICAS 1 ESO
Expresiones algebraicas
Autoevaluacin
Ana. Si x representa el nmero de canicas de Ana, cul es la expresin algebraica que indica las que tienen entre los tres?
3. Halla el valor numrico de 6x2 + 2x + 6 para x = 1. 4. Efecta la siguiente suma y la siguiente resta de monomios:
4x5 + 3x5 3x4 - 18x4
MATEMTICAS 1 ESO
107
Expresiones algebraicas
Soluciones de los ejercicios para practicar
1. a) 3x + 100
c) 1,16x b) 1,45x d) 2(x 5)
13.
5x
+ 2x
2x
10x2
-7x2
Nmero de coches x 2x +1 3x - 5 6x - 4
3x
2x
3x2
-2x2
6x2
-5x2
x2
c) 3x2 d) 2x2
c) 30 b) 310
d) - 35
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
7 49
n n2
b) 2x + 3x = 40 d) x2 = 121 c) 0 g) 3 c) d) -11 h) d) g)
rea ac bc ad bd
Permetro 2a + 2c 2b + 2c 2a + 2d 2b + 2d
5 2
18. a) 1
e)
3 10
11 3
5 4
1 2
7 2 5 2
1 2
x ; 8xy, -5xy ;
x , 7x2
2
19. a) y 3 b) d 6 c) m 3 d) t
b) 6x2 d) - x4 + 18x3
c) - 4x + x
x 2x x2 3x+1
2
4x 8x 16x2 12x + 1
5
x2 2x2 x4 3x2+ 1
12. a) -2x
b) 22x
c) 2x
d)
35 6
Soluciones AUTOEVALUACIN
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
respuesta n 3) 3x + 5 14 7x5 -15x4 5 5x 2x3 9 2 respuesta n 1) 61 cromos
No olvides enviar las actividades al tutor
MATEMTICAS 1 ESO
108
8
Objetivos
En esta quincena aprenders a:
Antes de empezar 1. Rectas. Paralelismo y perpendicularidad ..........................pg. 112 El plano Puntos y rectas Recta, semirrecta y segmento Propiedades de la recta Posiciones relativas Paralelismo Perpendicularidad 2. Mediatriz de un segmento ...............pg. 119 Definicin de mediatriz Construccin de la mediatriz Simetra 3. ngulos. Clasificacin y medida .......pg. 122 Definicin Tipos de ngulos Relaciones entre ngulos Medida de ngulos Sistema sexagesimal 4. Bisectriz de un ngulo ....................pg. 123 Definicin de bisectriz Construccin de la bisectriz 5. Operaciones con ngulos ................pg. 124 Suma de ngulos Resta de ngulos Multiplicacin por un nmero Divisin por un nmero Operaciones en forma compleja Ejercicios para practicar Para saber ms Resumen Autoevaluacin Actividades para enviar al tutor
Conocer los elementos del plano. Conocer las rectas y sus propiedades. Manipular rectas y otros elementos relacionados con ellas. Conocer los diferentes tipos de ngulos. Conocer los ngulos y sus propiedades. Medir ngulos y realizar operaciones con ellos. Utilizar recursos para resolver problemas sencillos de geometra plana.
110
MATEMTICAS 1 ESO
BOLAS IMAGINARIAS
MESAS IMAGINARIAS
En un tiro a dos bandas cuadruplicamos nuestra mesa para obtener una mesa real y tres imaginarias. Apuntando a la bola de la mesa que est en la esquina superior derecha, logramos dar a la roja tocando antes en dos bandas. Las rectas, puntos, simetras, ngulos y otros elementos geomtricos son la base del juego del billar. Y de muchas otras cosas!
MATEMTICAS 1 ESO 111
Puntos y rectas.
Dentro del plano distinguimos dos elementos fundamentales, tal y como Euclides, considerado como el primer gran matemtico de la historia, los defini: el punto y la recta. As, podemos identificar una estrella como un punto en el firmamento, la estela dejada por un avin como una recta, y el tablero de nuestra mesa de trabajo como un plano. Es todo lo que necesitamos para empezar a "hacer geometra".
Cuando observamos la va del tren, con sus dos rales paralelos que terminan por unirse en el infinito!, obtenemos una valiosa informacin acerca de la distancia, de la que no dispondramos si visemos los rales como realmente son, es decir, paralelos.
Punto es lo que no tiene longitud ni anchura. Recta es lo que tiene longitud, pero no anchura.
Prueba a buscar toda clase de objetos y propiedades geomtricas a tu alrededor. Seguramente te sorprendern en muchas ocasiones.
112
MATEMTICAS 1 ESO
Si prolongamos el segmento indefinidamente por ambos extremos, obtenemos una recta. Si prolongamos el segmento AB por uno solo de sus extremos (B por ejemplo) obtenemos una semirrecta. En este caso decimos que el punto A es el origen de esta semirrecta.
Propiedades de la recta.
Volviendo a Euclides, existen algunas propiedades de la recta que, a pesar de su sencillez, resultan absolutamente esenciales para la geometra. Estas son algunas de ellas:
1 propiedad: Dados dos puntos distintos en un plano, existe una nica recta que los une. 2 propiedad: Toda recta divide al plano en dos regiones, llamadas semiplanos.
Si un punto no pertenece a la recta, entonces estar en alguno de los dos semiplanos determinados por ella.
Dados dos puntos distintos en un plano, existe una nica recta que los contiene.
Posiciones relativas.
Tracemos dos rectas sobre un plano. Pueden ocurrir varios casos distintos. Podra suceder que ambas rectas estn colocadas de manera superpuesta una a la otra. Sera imposible distinguirlas; seran, en definitiva, una misma recta. Decimos que las dos rectas son coincidentes. Si las rectas son distintas, podra ser que no llegaran a tocarse nunca (decimos en este caso que son rectas paralelas) o bien que se toquen en algn punto. En este ltimo caso decimos que son secantes y el punto en que se cortan es nico.
Rectas secantes
Se cortan en un punto.
Dos rectas son paralelas si no se cortan en ningn punto y son secantes si se cortan en un nico punto.
Paralelismo.
Sabemos ya que dos rectas son paralelas si no tienen ningn punto comn y, como consecuencia de su famoso 5 postulado, Euclides afirm que por cualquier punto exterior a una recta puede trazarse una nica recta paralela a ella. Podemos as trazar paralelas a una recta, utilizando una regla y un comps. El mtodo es el que se describe en la escena contigua. De acuerdo con nuestro Euclides, el paralelismo es uno de los conceptos bsicos de la geometra. Por este motivo, la geometra que estamos descubriendo recibe el nombre de "geometra eucldea".
Por un punto exterior a una recta se puede trazar una nica recta paralela a ella.
114
MATEMTICAS 1 ESO
Perpendicularidad.
Dos rectas que se cortan en un punto, dividen al plano en cuatro regiones. Si estas cuatro regiones tienen la misma amplitud, decimos que las dos rectas son perpendiculares. Dada una recta y un punto cualquiera sobre ella, existe una nica recta perpendicular a la primera y que contiene a ese punto. Disponemos de un mtodo para trazar perpendiculares usando regla y comps.
Recta que pasa por C y es perpendicular a r
rectas
Dos rectas son perpendiculares si dividen al plano en cuatro regiones de igual amplitud.
EJERCICIOS resueltos
1. Traza tres rectas diferentes que contengan a un punto A. Cuntas rectas ms puedes trazar que pasen por ese punto?
Sol Por un punto se puede trazar un nmero infinito de rectas distintas.
2.
Traza dos rectas distintas que contengan a la vez a dos puntos A y B. Es esto posible? Explcalo con tus propias palabras.
Sol Por dos puntos distintos slo es posible trazar una recta.
3.
Es posible trazar una recta que contenga a los tres puntos A, B y C? Cmo se deben situar los tres puntos para que se pueda trazar una recta que los contenga?
Sol No es posible en este caso, ya que por tres puntos distintos se puede trazar una recta siempre que estn alineados.
4.
Representa el segmento AB, una semirrecta con origen en C, una semirrecta con origen en D y que contenga al punto B, una recta que pase por A y una recta que pase por A y por C.
Sol Revisa la pgina Recta, semirrecta y segmento.
5.
Traza la recta r que une los puntos A y B. Representa los siguientes puntos: un punto, distinto de A y de B, que pertenezca a la recta; dos puntos que no pertenezcan a la recta y que estn situados en distintos semiplanos.
Sol Revisa la pgina Propiedades de la recta.
6.
Traza una recta paralela a r y otra paralela a s. Qu figura forman los puntos de corte de las cuatro rectas?
Sol Forman un paralelogramo.
9.
Utilizando una regla y un comps, traza una recta paralela a r que pase por el punto C.
Sol Revisar la pgina Paralelismo.
10.
En la figura del ejercicio anterior traza una nueva recta paralela a r. Cmo son entre s las dos rectas trazadas?
Sol Las tres rectas son paralelas.
11.
Utilizando una regla y un comps, traza una recta s que sea perpendicular a r y que pase por el punto C.
Sol Revisar la pgina Perpendicularidad.
12.
Sobre la recta s construida en el ejercicio anterior, marca un punto D que no est en r y traza otra recta perpendicular a s que pase por el punto D. Qu relacin existe entre la recta r y esta ltima que acabas de representar?
Sol Son paralelas.
13.
Traza tres rectas perpendiculares a la recta r. Cmo son entre s estas tres rectas?
Sol Todas las rectas perpendiculares a r son paralelas entre s.
Aqu tienes ejemplos de trazado con regla y comps. En las pginas correspondientes dispones de un vdeo en el que se muestran ambas construcciones.
116
MATEMTICAS 1 ESO
Construccin de la mediatriz.
Vamos a construir la mediatriz de un segmento utilizando, como en casos anteriores, la regla y el comps. Para ello representa dos puntos y traza el segmento que los une utilizando la regla. Coloca el comps sobre uno de los extremos del segmento y brelo para que coincida con el otro extremo. Traza as una circunferencia. Haz la misma operacin apoyando el comps sobre el otro extremo. Une ahora los puntos donde se cortan las dos circunferencias que acabas de trazar. El nuevo segmento es perpendicular al inicial y si lo prolongas obtendrs la recta mediatriz que buscabas.
Mediatriz de un segmento
Simetra.
Dada una recta y un punto C que no pertenezca a ella, vamos a buscar otro punto C' con la condicin de que la recta sea la mediatriz del segmento CC'. El punto C' as buscado se llamar simtrico de C y la recta se llamar eje de simetra. Este tipo de simetra se denomina reflexin y se puede aplicar a cualquier figura geomtrica. Para ello representamos los simtricos de todos los vrtices de la figura original y obtenemos as otra figura simtrica a la primera. La reflexin produce figuras simtricas de forma similar a como acta un espejo.
Simtrico de un punto
EJERCICIOS resueltos
14. 15. Con regla y comps traza el segmento AB y su mediatriz.
Sol Revisa la pgina Construccin de la mediatriz.
Sobre la mediatriz trazada en el ejercicio anterior, marca un punto cualquiera y mide la distancia entre este punto y los dos extremos del segmento inicial. Qu observas en el resultado obtenido?
Sol La distancia de cualquier punto de la mediatriz a uno u otro extremo del segmento es la misma.
16.
Traza el segmento que une los puntos A y B. Localiza los puntos simtricos de A y B con respecto a la recta r y nelos mediante un segmento. Qu relacin existe entre los dos segmentos?
Sol Son segmentos simtricos con respecto a la recta r y su longitud es la misma.
17.
18.
118
MATEMTICAS 1 ESO
AGUDO
Tipos de ngulos.
Por su amplitud clasificamos los ngulos en: RECTO
OBTUSO
ngulo recto: es el comprendido entre dos semirrectas perpendiculares. ngulo llano: es el que resulta al trazar dos semirrectas de igual origen y sentido opuesto. ngulo nulo: es el que resulta al trazar dos semirrectas con igual origen e idntico sentido.
Por comparacin con el ngulo recto: Un ngulo es agudo si es de menor amplitud que el ngulo recto. Es obtuso si tiene mayor amplitud que un recto y menor que un llano. Por comparacin con el ngulo llano: Un ngulo es convexo si es de menor amplitud que el ngulo llano. Es cncavo si su amplitud es mayor que la del ngulo llano.
ngulos suplementarios
Medida de ngulos.
Para medir la amplitud de un ngulo utilizaremos como unidad el grado, representado por el smbolo "". Asignamos al ngulo nulo una amplitud de 0 y al ngulo recto una amplitud de 90. Dos ngulos rectos equivalen a uno llano, que tendr por tanto una amplitud de 180. Y cuatro ngulos rectos (o dos llanos) ocupan todo el plano, cuya amplitud ser de 360. El resto de los ngulos se medirn por comparacin con estos. Por ejemplo, si dividimos un recto en dos ngulos iguales, obtendremos dos ngulos de 45. Si dividimos en cambio un recto en tres partes iguales, obtendremos tres ngulos de 30.como unidad el grado, representado por el smbolo "". Asignamos al ngulo nulo una amplitud de 0 y al ngulo recto una amplitud de 90. Al dividir una circunferencia en 360 partes iguales obtenemos un grado.
100
120
MATEMTICAS 1 ESO
Sistema sexagesimal.
Para medir la amplitud de ngulos con mayor precisin se utiliza el sistema sexagesimal. Este sistema consiste en dividir un grado en 60 partes iguales. A cada una de estas divisiones la llamamos minuto, de manera que cada grado contiene 60 minutos. De igual forma, cada minuto se divide en 60 partes iguales para obtener un segundo y obtenemos la siguiente equivalencia: 1 grado = 60 minutos = 3 600 segundos
Utilizando este sistema de medida diremos, por ejemplo, que la amplitud de un ngulo es 25 grados, 31 minutos y 7 segundos, y lo escribiremos as:
20.
Indica sobre la figura si estos ngulos son agudos, rectos, obtusos o llanos.
Sol El ngulo a es llano, b es agudo, c es recto y d es obtuso.
21.
Representa utilizando los instrumentos de dibujo un ngulo recto, un ngulo llano, un ngulo nulo, un ngulo agudo, un ngulo obtuso, un ngulo cncavo y un ngulo convexo.
Sol Revisa la pgina Tipos de ngulos.
22.
23.
Representa sobre el vrtice B un ngulo igual al ngulo DEF y que sea consecutivo al ngulo ABC.
Sol Utiliza el transportador de ngulos.
25.
Seala en la figura los ngulos que tienen la misma amplitud. Qu nombre reciben estos ngulos?
Sol Decimos que son iguales los ngulos que tienen la misma amplitud. En ela figura, los ngulos a y e son iguales (son rectos) y los ngulos b y d tambin son iguales.
26.
Representa utilizando los instrumentos de dibujo los ngulos de las siguientes amplitudes: 30, 60, 90, 45, 10, 135 y 240.
Sol Revisa la pgina Medida de ngulos.
122
MATEMTICAS 1 ESO
Construccin de la bisectriz.
Los instrumentos bsicos de la geometra plana permiten trazar la bisectriz de un ngulo. Traza dos semirrectas con un mismo origen, que ser el vrtice A del ngulo. Coloca el comps sobre A y traza un arco de circunferencia que corte a los dos lados, en los puntos B y C. Traza otros dos arcos, uno de centro B y radio C y el segundo con centro C y radio B. Une por fin el vrtice A con el punto donde se cortan los dos arcos que acabas de trazar y obtendrs la bisectriz del ngulo.
Bisectriz de un ngulo
EJERCICIOS resueltos
27. Indica sobre la figura cual es la bisectriz de los ngulos representados. Sol 28. 29. Las bisectrices son respectivamente. las rectas b, d y f,
Traza sobre la figura la bisectriz del ngulo representado. Sol Revisa la pgina Construccin de la bisectriz. Traza las bisectrices de los dos ngulos consecutivos que aparecen en la figura. Qu relacin guardan entre s estas dos bisectrices? Sol Si los ngulos son suplementarios, como en este caso, las dos bisectrices son perpendiculares entre s.
EJEMPLO
138 + 97 = 235
Resta de ngulos.
La resta o diferencia de ngulos puede hacerse, igual que la suma, de dos formas: grfica y analtica. Grficamente, basta colocar los dos ngulos de manera que compartan el vrtice y un lado. As, el ngulo mayor comprende al menor, y el exceso es la diferencia entre ambos. La resta analtica se realiza restando la amplitud del ngulo menor de la del mayor. Para restar analticamente dos ngulos calculamos la diferencia entre el ngulo mayor y el menor.
EJEMPLO
253 166 = 87
124
MATEMTICAS 1 ESO
7 46 = 322
Para multiplicar analticamente un ngulo por un nmero natural multiplicamos el nmero por la amplitud del ngulo correspondiente.
EJEMPLO
253 : 11 = 23
En el caso de que no sea exacta, necesitamos ms herramientas matemticas para calcular el resultado de la divisin. Alguna de estas herramientas se explica en el siguiente apartado.
SUMA de compleja
ngulos
en
forma
En primer lugar sumaremos los segundos. Si esta suma es igual o superior a 60'', llevaremos un minuto y anotaremos los segundos restantes. Para los minutos realizaremos la misma operacin, contando con el que hemos llevado en el paso anterior. En el caso de que tengamos 60 o ms minutos, llevaremos un grado. Finalmente sumaremos los grados, contando con el que nos hemos llevado, de ser el caso. RESTA de compleja ngulos en forma
El mtodo para la resta comienza tambin por los segundos. Si en el minuendo tenemos un nmero suficiente de segundos, restamos los que hay en el sustraendo. En caso contrario, deberemos "traer" un minuto del minuendo y convertirlo en 60''. De esta forma reunimos una cantidad suficiente de segundos en el minuendo y restamos de manera natural. El proceso se repite ahora con los minutos, teniendo en cuenta que si hemos necesitado convertir en segundos, tendremos ya un minuto menos en el minuendo. Si los minutos que nos quedan en el minuendo son suficientes procedemos a la resta. Si no es as, deberemos traer un grado, que equivale a 60'. Finalmente restamos los grados, descontando, en su caso, el que hayamos llevado anteriormente.
126
MATEMTICAS 1 ESO
EJERCICIOS resueltos
30. Clcula de forma grfica y analtica la suma de los ngulos de 110 y 40.
Sol Para la suma grfica revisa la pgina Suma de ngulos. La suma analtica es 110 +40 = 150 .
31.
32.
Calcula el resultado de las siguientes operaciones con ngulos: a. 73 36 , b. 28 (123 118 ) , c. 2 72 +3 15 , d. 90 : 5 , e. 130 2 20 +(180 60 ) : 3
Sol a. 73 36 = 37 , b. 28 (123 118 ) = 23 , c. d. 90 : 5 = 18 , e. 130 2 20 + (180 60 ) : 3 = 150
2 72 +3 15 = 189 ,
33.
Calcula el ngulo que describe el minutero de un reloj cuando pasa de las 3:20 a las 4:00.
Sol El minutero d una vuelta completa, es decir 360, en una hora, que equivale a 6 cada minuto, as que en 40 minutos describe un ngulo de 240.
34.
Calcula el ngulo que describe la aguja horaria de un reloj en los siguientes casos: las 2:00 y las 2:47 y entre las 2:34 y las 7:11.
Sol La aguja horaria avanza 30 por hora, que equivale a medio grado cada minuto. Con esta relacin y teniendo en cuenta el ejercicio anterior, los ngulos descritos son90, 30, 15, 23 30' y 138 30', respectivamente.
1.
Si dos rectas tienen un punto en comn cul es su posicin relativa? Y si son dos puntos comunes? Y si no tienen ninguno? Si m es la mediatriz del segmento AB y D es un punto de la recta m cul es la distancia de D a A, sabiendo que la distancia de D a B es 5,52 ? Clasifica los ngulos de 0, 45, 90, 135, 180 y 225 segn su amplitud y segn su comparacin con los ngulos agudo y llano. Dado un ngulo de amplitud 37 cul es la amplitud de su complementario? Y la de su suplementario? De qu amplitud son los cuatro ngulos que se obtienen al trazar la recta bisectriz de un ngulo de 170? Realiza la siguiente operacin con ngulos: 95 +124 24 Realiza la siguiente operacin con ngulos: 3 27 +5 19 Realiza la siguiente divisin: 52 : 4
Realiza la siguiente operacin: 128 28' 23' ' + 91 32' 49' ' Realiza la siguiente operacin: 330 32' 43' ' 83 56' 47' ' Realiza la siguiente 31 38' 9' ' 7 Realiza la siguiente 117 15' 34' ' : 8 operacin: operacin:
2.
3.
4.
Realiza con regla y comps la construccin geomtrica de una recta perpendicular a otra. Realiza con regla y comps la construccin geomtrica de una recta paralela a otra. Realiza con regla y comps construccin geomtrica de mediatriz de un segmento. Realiza con regla y comps construccin geomtrica de bisectriz de un ngulo. la la la la
14.
5.
15.
6. 7. 8.
16.
17.
Realiza con regla y comps la construccin geomtrica del punto simtrico con respecto a una recta.
128
MATEMTICAS 1 ESO
El maestro Euclides
uclides est considerado como el primer gran matemtico de la historia. El motivo? Ser el primero en organizar un discurso matemtico, partiendo de casi nada, y utilizando de forma estricta el razonamiento matemtico, mtodo cientfico que caracteriza de manera esencial a la matemtica frente a otras disciplinas cientficas.
Su gran aportacin son los "Elementos de Geometra", libro organizado en trece tomos en el que, sobre las ideas fundamentales de punto, recta, superficie y ngulo, establece sus famosos cinco postulados. Con pocas herramientas fue capaz de recoger gran parte de los conocimientos geomtricos existentes hasta nuestros das. Todo lo que sabemos acerca de ngulos y rectas, figuras planas como tringulos y circunferencias, paralelismo y perpendicularidad, reas y muchsimo ms fue completamente terminado por l.
Hasta que en el siglo XIX algunos grandes nombres de la matemtica moderna pudieron ampliar el horizonte que haba marcado Euclides. Para ello eliminaron el famoso 5 postulado de Euclides, conocido tambin como "Postulado de las paralelas", y se sumergieron en mundos geomtricos completamente nuevos, en los que las rectas paralelas se encuentran, o en los que la suma de los ngulos de un tringulo no es 180. Muchas personas sintieron vrtigo ante estos extraos mundos, hasta que pasado algn tiempo nos fuimos dando cuenta de que, en algunos casos, se parecen ms al nuestro de lo que parece. Si deseas ms informacin, puedes buscar los nombres de Riemann, Lobatchevski, Bolyai o Gauss, responsables en gran medida de la evolucin de la geometra hacia nuevas metas que guardan una relacin directa con las ms modernas teoras sobre el origen del Universo. Abrchense los cinturones!
Rectas
Los elementos fundamentales de la geometra plana son los puntos y las rectas. La linea recta es la ms corta entre dos puntos. Dos rectas son paralelas si no se cortan en ningn punto y son secantes si se cortan en un punto. Dos rectas son perpendiculares si dividen al plano en cuatro regiones de la misma amplitud.
Mediatriz de un segmento es una recta perpendicular a este segmento y que lo corta en dos partes iguales.
ngulos
ngulo es cada una de las dos regiones en que dos semirrectas con el mismo origen dividen al plano. Los ngulos pueden clasificarse con arreglo a distintos criterios:
con relacin a su amplitud: recto, llano, nulo; en comparacin con el ngulo recto: agudo, obtuso; en comparacin con el ngulo llano: cncavo, convexo.
Al dividir una circunferencia en 360 partes iguales se obtiene un grado. As, la circunferencia completa mide 360, el ngulo recto mide 90 y el llano mide 180. Se llama bisectriz de un ngulo a la semirrecta que lo divide en dos partes iguales. La suma y resta de ngulos se realiza sumando o restando las amplitudes de cada uno de ellos.
Se dice que dos puntos A y B son simtricos con respecto a una recta, si esta recta es la mediatriz del segmento AB.
130
MATEMTICAS 1 ESO
1.
2.
3. 4. 5.
Si una recta es perpendicular a otras dos rectas, cmo son estas dos rectas entre s? Cmo se llama la recta perpendicular a un segmento y que lo divide en dos partes iguales? Seala el punto simtrico de A con respecto a cada uno de los ejes r, s y t.
6. 7. 8. 9. 10.
En cuntos ngulos queda dividido el plano al trazar dos rectas secantes? Calcula la amplitud del complementario y del suplementario del ngulo de 64. Cmo son entre s las bisectrices de dos ngulos suplementarios? Calcula el resultado de sumar los ngulos de 17, 36 y 42. Calcula el resultado de la operacin con ngulos que se indica: 2 138 (53 + 16 )
Las rectas son secantes si tienen un punto en comn, coincidentes si tienen dos puntos en comn o paralelas si no tienen ninguno. La distancia del punto D a A es la misma que de D a B. En este caso esa distancia es d(D, A ) = 5,52 . La clasificacin es: 0 ...... Nulo ....... Agudo..... Convexo 45 .... Agudo .... Convexo 90 .... Recto ..... Convexo 135 .. Obtuso ... Convexo 180 .. Llano 225 .. Cncavo El complementario de 37 es 53 y el suplementario 143. Se obtienen dos ngulos de 85 y otros dos de 95. 95 +124 24 = 195
3 27 +5 19 = 176
52 : 4 = 13
El resultado es 220 1' 12' ' . El resultado es 246 35' 56' ' . El resultado es 221 27' 3' ' . El resultado resto 6' ' . es
14 39' 26' '
2.
3.
Revisa el video de la construccin de la perpendicular. Revisa el video de la construccin de la paralela. Revisa el video de la construccin de la mediatriz. Revisa el video de la construccin de la bisectriz. Revisa el video de la construccin del punto simtrico.
4. 5. 6.
Soluciones AUTOEVALUACIN
1. a. semirrecta; b. segmento; c. recta. 2. a. paralelas; b. coincidentes; c. secantes. 3. Son paralelas. 4. Mediatriz. 5. Los
puntos simtricos son los representados en los colores que se corresponden con cada recta.
No olvides enviar las actividades al tutor
6. En cuatro. 7. El
complementario es suplementario es 116. 26 y el
132
MATEMTICAS 1 ESO
9
Objetivos
En esta quincena aprenders a:
Antes de empezar 1.Lneas poligonales pg. 136 Definicin y tipos. Polgonos 2.Tringulos pg. 136 Elementos y clasificacin Construccin de tringulos Rectas y puntos notables 3.Cuadrilteros pg. 141 Elementos y clasificacin Paralelogramos 4.Polgonos regulares pg. 143 Definicin Construccin 5.Permetros y reas pg. 145 Definicin. Medir reas Unidades de superficie 5.reas de polgonos pg. 147 reas de cuadrilteros reas de tringulos reas de polgonos regulares reas de polgonos irregulares Ejercicios para practicar Para saber ms Resumen Autoevaluacin Actividades para enviar al tutor
Reconocer, representar e identificar los elementos geomtricos que caracterizan a diferentes polgonos. Construir tringulos. Reconocer las rectas y puntos notables de los tringulos. Reconocer y dibujar diferentes tipos de cuadrilteros. Reconocer otros polgonos. Calcular permetros de polgonos. Calcular reas de diferentes polgonos. Aplicar el clculo de superficies de polgonos a situaciones de la vida real.
MATEMTICAS 1 ESO
133
134
MATEMTICAS 1 ESO
Antes de empezar
Investiga
Qu otro tangram se basa en la divisin de un cuadrado? Cuntas piezas tiene?
MATEMTICAS 1 ESO
135
Cncavos: algunos de sus ngulos interiores son mayores de 180. Como podrs ver ms adelante en este tema, tambin se clasifican en: regulares e irregulares y segn su nmero de lados.
Polgono convexo Polgono cncavo
2. Tringulos
Elementos y clasificacin
Un tringulo es un polgono de tres lados. Sus elementos caractersticos son: lados, base, altura, vrtices y ngulos. Los tringulos se pueden clasificar segn sus ngulos en: Acutngulos: los tres ngulos agudos. Rectngulos: un ngulo recto y dos agudos. Obtusngulos: un ngulo obtuso y dos agudos. Segn sus lados se clasifican en: Equilteros: los tres lados iguales. Issceles: dos lados iguales y uno distinto.
Tringulo acutngulo Tringulo rectngulo Tringulo obtusngulo Tringulo lados vrtices
ngulos
base
altura
136
MATEMTICAS 1 ESO
a) Convexo: todos sus ngulos interiores son menores de 180. b) Cncavo: el ngulo F es mayor de 180. c) Cncavo: los ngulos A y D son mayores de 180. d) Convexo: todos sus ngulos interiores son menores de 180. 2. Clasifica los siguientes tringulos segn sus lados y segn sus ngulos:
Completa la siguiente tabla indicando en las casillas en blanco SI o NO, segn sea o no posible que un tringulo pueda, a la vez, de los tipos que indica la fila y la columna: Equiltero Acutngulo Rectngulo Obtusngulo Equiltero SI NO NO Issceles SI SI SI Escaleno SI SI SI Issceles Escaleno
MATEMTICAS 1 ESO
137
Se toma uno de los segmentos como base. Con centro en uno de los extremos de este segmento, se traza un arco de radio la longitud de uno de los lados restantes. Con centro en el otro extremo de la base se traza un arco de radio la longitud del tercer lado. La interseccin de los dos arcos es el tercer vrtice del tringulo.
9 Observa que para que se pueda construir el tringulo la suma de las longitudes de b y de c debe ser mayor que la longitud de a.
Se toma uno de los segmentos como base. A partir de este lado y con vrtice en uno de sus extremos, se mide un ngulo igual al conocido. Se traza una recta que sea el otro lado del ngulo medido. Sobre esta recta, a partir del vrtice del ngulo, se traza el segundo lado conocido. Finalmente se unen con un segmento los dos vrtices que faltan para determinar el tringulo. Que conozcamos dos ngulos y el lado comn a ambos.
Se toma el segmento conocido como base. Tomando este segmento como lado, a partir de uno de sus extremos se mide un ngulo igual a uno de los conocidos. Se traza una recta que forme con el segmento ese ngulo. A partir del otro extremo, se mide un ngulo igual al otro que se conoce. Se traza una recta que forme con el segmento ese ngulo. El punto de interseccin de las dos rectas trazadas es el tercer vrtice del tringulo.
138
MATEMTICAS 1 ESO
Mediatrices y circuncentro
Bisectrices e incentro
Circuncentro: punto de interseccin de las tres mediatrices. Incentro: bisectrices. punto de interseccin de las tres
Alturas y ortocentro
A + B + C = 180
MATEMTICAS 1 ESO
139
Alturas y ortocentro
Bisectrices e incentro
Medianas y baricentro
Mediatrices, circuncentro
5.
Indica las rectas notables y el punto que aparecen representados en cada grfico:
Bisectrices e incentro
Alturas y ortocentro
Mediatrices, circuncentro
Medianas y baricentro
6.
Dibuja un tringulo cuyos lados midan 6, 7 y 8 centmetros. Cmo es el tringulo segn sus lados y segn sus ngulos? Traza todas las rectas y puntos notables. Dnde estn situados los puntos notables? El tringulo es escaleno porque los tres lados son distintos y acutngulo porque todos sus ngulos son agudos. Todos los puntos notables estn en el interior.
7.
Dibuja un tringulo cuyos lados midan 6, 8 y 10 centmetros. Cmo es el tringulo segn sus lados y segn sus ngulos? Traza todas las rectas y puntos notables. Dnde estn situados los puntos notables? El tringulo es escaleno porque los tres lados son distintos y rectngulo porque tiene un ngulo recto. El circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa. El ortocentro coincide con el vrtice del ngulo recto. El baricentro y el incentro estn en el interior.
8.
Dibuja un tringulo cuyos lados midan 6, 8 y 12 centmetros. Cmo es el tringulo segn sus lados y segn sus ngulos? Traza todas las rectas y puntos notables. Dnde estn situados los puntos notables? El tringulo es escaleno porque los tres lados son distintos y obtusngulo porque tiene un ngulo obtuso. El circuncentro y el ortocentro quedan fuera del tringulo. El baricentro y el incentro estn en el interior.
9.
Dibuja un tringulo cuyos lados midan 6, 6 y 6 centmetros. Cmo es el tringulo segn sus lados y segn sus ngulos? Traza todas las rectas y puntos notables. Qu ocurre con las rectas y los puntos notables? El tringulo es equiltero y acutngulo, todos los ngulos miden 60. Las rectas y los puntos notables coinciden.
140
MATEMTICAS 1 ESO
Cuadriltero
Diagonales
segn
el
Paralelogramos: paralelos.
Trapezoide Trapecio
los
lados
opuestos
son
Paralelogramos
Paralelogramos
Un paralelogramo es un cuadriltero cuyos lados opuestos siempre son paralelos, tal como se mostraba en el apartado anterior.
Cuadrado Rectngulo
Los paralelogramos se pueden clasificar atendiendo a sus ngulos y a sus lados en: Cuadrados: sus cuatro lados son iguales y sus cuatro ngulos tambin.
Rombo
Romboide
Rectngulos: sus lados opuestos son iguales y sus cuatro ngulos son iguales. Rombos: sus cuatro lados son iguales y sus ngulos opuestos son iguales. Romboides: sus lados opuestos son iguales y sus ngulos opuestos son iguales.
180+180=360 141
MATEMTICAS 1 ESO
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
142
MATEMTICAS 1 ESO
lados
vrtices
Sus elementos caractersticos son: Lado: cada uno de los segmentos de la lnea poligonal cerrada.
centro y apotema centro y radio
Vrtice: cada uno de los puntos comunes a dos lados consecutivos. Centro: punto que equidista de todos los vrtices. Apotema: segmento que une el centro polgono con el punto medio de cada lado. del
diagonal
ngulo interior
Radio: segmento que une el centro del polgono con cada uno de los vrtices. Diagonal: segmento cuyos extremos son dos vrtices no consecutivos.
ngulo interior: cada uno de los formados por dos vrtices no consecutivos.
Pentgono Hexgono
ngulos
Cada polgono regular recibe un nombre segn su nmero de lados: De tres lados: tringulo equiltero.
Heptgono Octgono
De cuatro lados: cuadrado. De cinco lados: pentgono. De seis lados: hexgono. De siete lados: heptgono. De ocho lados: octgono. De nueve lados: enegono. De diez lados: decgono. De once lados: endecgono. De doce lados: dodecgono. De trece o ms lados: no se le da ningn nombre, se habla de polgono regular de 13, 14, , lados.
Enegono
Decgono
Endecgono
Dodecgono
MATEMTICAS 1 ESO
143
Ejes de simetra
Una lnea que cruza una figura geomtrica es un eje de simetra si la divide en dos partes de manera que si doblamos por dicho eje una de esas partes se superpone coincidiendo totalmente con la otra. Observa las similitudes y diferencias, respecto a los ejes de simetra, que muestran los polgonos segn tengan un nmero par o impar de lados. Un eje de simetra de un polgono regular con un nmero impar de lados pasa por cada uno de los vrtices y por el punto medio del vrtice opuesto. Un polgono regular con un nmero par de lados tiene dos tipos de ejes de simetra, uno une dos vrtices opuestos y otro, une los puntos medios de dos lados opuestos.
Eje de simetra de un pentgono
EJERCICIOS resueltos
11. Calcula el valor de los ngulos central, interior y exterior en un pentgono regular y en un exgono regular:
ngulo central: 360:5=72 ngulo interior: 180-72=108 ngulo exterior: 180-108=72 12.
Dibuja los ejes de simetra en un tringulo equiltero, un cuadrado, un heptgono regular y un octgono regular:
144
MATEMTICAS 1 ESO
Permetro de un polgono
Unidad de superficie
Unidades de superficie
Para medir superficies se toma como unidad la superficie que corresponde a un cuadrado de un metro de lado. A esta unidad se le denomina metro cuadrado y se simboliza m2. En el grfico se puede ver que mientras que un metro es igual a diez decmetros, un metro cuadrado equivale a cien centmetros cuadrados. Las unidades de superficie varan de 100 en 100.
Para pasar de una unidad a su inmediatamente posterior deberemos dividir por 100. Para pasar de una unidad a su inmediatamente anterior deberemos multiplicar por 100. La unidad de superficie es el metro cuadrado (m2).
En la medida de la superficie de terrenos se suele utilizar como unidad el rea, que equivale a un decmetro cuadrado o a cien metros cuadrados.
MATEMTICAS 1 ESO
145
lado: 5 cm.
lado: 8 m.
lado: 2 dm.
lado: 4 mm.
a) Permetro del pentgono: 0.025 dam = 0.25 m = 2.5 dm = 25 cm = 250 mm b) Permetro del hexgono: 4.8 dam = 48 m = 480 dm = 4800 cm = 48000 mm c) Permetro del octgono: 0.16 dam = 1.6 m = 16 dm = 160 cm = 1600 mm d) Permetro del decgono: 0.004 dam = 0.04 m = 0.4 dm = 4 cm = 40 mm 14. Cuntos cm2 son 40 m2?
Para pasar de m2 a cm2 hay que bajar dos posiciones. Hay que multiplicar dos veces por 100. Equivale a multiplicar por 10000. 40 m2 = 40 100 100 = 40 10000 = 400000 cm2. 15. Cuntos m2 son 500 mm2?
Para pasar de mm2 a m2 hay que subir tres posiciones. Hay que dividir tres veces por 100. Equivale a dividir por 1000000 500 mm2 = 500 : 100 : 100 : 100 = 500 : 1000000 = 0.0005 m2. 16. Cuntos dm2 son 7 km2?
Para pasar de km2 a dm2 hay que bajar cuatro posiciones. Hay que multiplicar cuatro veces por 100. Equivale a multiplicar por 100000000. 7 km2 = 7 100000000 = 700000000 dm2. 17. Cuntos hm2 son 24 dam2? 24 dam2 = 24 : 100 = 0.24 hm2. 18. Cuntos mm2 son 0.125 hm2?
Para pasar de dam2 a hm2 hay que subir una posicin. Hay que dividir por 100.
Para pasar de hm2 a mm2 hay que bajar cinco posiciones. Hay que multiplicar cincos veces por 100. Equivale a multiplicar por 10000000000. 0.125 hm2 = 0.125 10000000000 = 1250000000 mm2.
146
MATEMTICAS 1 ESO
El clculo del rea de un rectngulo es bsico para entender el clculo de reas de otras figuras planas.
rea de un cuadrado. A = lado x lado = lado2. rea de un romboide. Se obtiene a partir del
A = 6 x 4 = 24 cm
2
rea del rectngulo, multiplicando la base por la altura del romboide (no por el oro lado). A = base x altura.
rea de un rombo. A partir de un rombo se puede construir un rectngulo como se puede observar en el grfico de la izquierda. La base coincide con una de las diagonales y la altura con la mitad de la otra:
A= 6x4 2 = 12 cm
2
A=
trapecio invertido como se muestra en la figura de la izquierda, se obtiene un romboide. El rea de este romboide es el doble del rea del trapecio. La base del romboide es la suma de las bases de los trapecios y la altura del romboide coincide con la altura del trapecio.
A= (Base mayor + base menor) x altura 2
A=
(7 + 4) x 3 2
= 16, 5 cm
MATEMTICAS 1 ESO
147
reas de tringulos
Para entender cmo se calcula el rea de un tringulo cualquiera, se coloca el tringulo invertido como se muestra en la figura de la derecha. Se obtiene un romboide de rea doble del tringulo, la misma base y la misma altura. El rea de un tringulo es igual al producto de su base por su altura dividido entre dos.
148
MATEMTICAS 1 ESO
A =11
2 2
A =121 cm
A = 30 18 A = 540 cm
2
A=
24 16 2
2
A =192 cm
20.
A=
(12+8)12 2
2
A = 441 cm
A =120 cm
21.
A=
A=
4 9 2
2
A = 42 cm
A =18 cm
22.
A=
A=
6 10 8.66 2
2
A =110 cm
A = 259.8 cm
23.
A1 =
A = 5 3 =15 cm A=
2
(5+2)4 2 = 14 cm 2
2
A = 8+24 = 32 cm
A =15+14 = 29 cm
MATEMTICAS 1 ESO
149
dimensiones totales son 103 cm de base por 63 cm de alto. Qu longitud deber tener la moldura que debemos usar? Si la moldura cuesta a 7,2 euros el metro, calcula el precio de dicho marco.
es la de un pentgono irregular. Los lados miden respectivamente, 45, 39, 29, 17 y 39 metros. Qu longitud tiene la valla que lo rodea?
la playa. Para ello usa tela cortada en forma de polgono regular. Calcula la cantidad de tela que necesitar para fabricar 36 sombrillas de 10 lados si sabemos que el lado mide 173 cm y su apotema mide 266,21 cm. el rea de las coronas poligonales del mosaico representado (las formadas por cuadrados y tringulos que rodean a cada uno de los hexgonos). El lado del hexgono es igual al del dodecgono y mide 30 cm. La apotema del hexgono mide 25,98 cm. La apotema del dodecgono mide 55,98 cm.
9. Calcula
3. En
las fiestas de un pueblo han montado una carpa para las verbenas, cuya forma es la de un polgono regular de 11 lados. La carpa est rodeada por una guirnalda con bombillas que tiene una longitud total de 68 m. Cunto mide el lado de la carpa?
4. Se
tiene que embaldosar el patio interior de un edificio con baldosas cuadradas de 30 cm de lado. El patio es rectangular y sus medidas son 10 m por 12 m. Cuntas baldosas se necesitarn? ha estropeado y hay que sustituirla por otra. Para confeccionar la nueva vela nos cobran 21 euros por m2. Cunto costar esa nueva vela si debe tener 8 m de alto y 4 m de base? ha usado para cortar 1050 pauelos cuadrados de 20 cm de lado. Qu longitud de tela haba en el rollo si no ha faltado ni sobrado tela?
es de planta hexagonal. Se ha medido el rea de la planta inferior obtenindose un resultado de 166,27 m2. Si cada una de sus paredes mide 8 m de anchura, cunto mide la apotema de la planta de dicha torre?
2 2
b) Cuntos dm2 son 172 dam2? c) Cuntos cm2 son 0.5 km2? d) Cuntos dm2 son 2 km2? e) Cuntos mm2 son 256 m2?
12. a) Cuntos m son 250000 mm ?
2 2
7. Hemos
fabricado una cometa con forma de rombo, cuyas diagonales miden 393 cm y 205 cm respectivamente. Para ello se ha usado una lmina plstica rectangular cuya longitud y anchura son las de la cometa. Calcula el rea de la cometa y la de la lmina.
MATEMTICAS 1 ESO
b) Cuntos dam2 son 6 m2? c) Cuntos hm2 son 1423 mm2? d) Cuntos km2 son 8000 dm2? e) Cuntos m2 son 1500000 cm2?
150
En un tringulo issceles los cuatro puntos estn alineados. El incentro est en la recta de Euler.
Cubriendo el plano
En el arte, el diseo textil y las matemticas, resulta muy interesante poder saber qu polgonos recubren totalmente al plano, sin dejar espacios vacos ni superponerse entre ellos. En la siguiente escena puedes probar con algunos de ellos. Cules te permiten recubrir totalmente el plano?
Con cualquier otro polgono regular no sera posible cubrir todo el plano, aunque s sera posible, en algunos casos, utilizando polgonos distintos, por ejemplo, cuadrados y octgonos.
MATEMTICAS 1 ESO
151
La unidad de rea es el metro cuadrado (m2). Las unidades de rea varan de 100 en 100. Para medir terrenos agrarios se suelen usar las llamadas unidades agrarias: rea (a), hectrea (Ha) y centirea (ca), que equivalen, respectivamente al dam2, al Hm2 y al m2.
El clculo de reas de tringulos, cuadriltero y polgonos regulares se realiza mediante la aplicacin de diferentes frmulas. En el caso de polgonos irregulares se usan tcnicas como: la triangulacin, cuadriculacin y descomposicin.
152
MATEMTICAS 1 ESO
3. Clasifica el cuadriltero.
MATEMTICAS 1 ESO
153
1. 23,90 euros 2. 169 metros 3. 6,18 metros 4. 1333 baldosas 5. 336 euros 6. 21 metros 7. 4,03 metros, 8,06 metros 8. 23,03 metros cuadrados 9. 7738,2 centmetros cuadrados 10. 6,93 metros
12. a) 0,25 m2
b) 0,06 dam2 c) 0.0000001423 hm2 d) 0,0008 km2 e) 150 m2
Soluciones AUTOEVALUACIN
1. Issceles 2. Baricentro 3. Trapecio 4. 44,32 cm2 5. 12 cm2 6. 180 cm2 7. 232,4 cm2 8. 3 metros 9. 4,77 cm 10. 144
No olvides enviar las actividades al tutor
154
MATEMTICAS 1 ESO
10
Objetivos
En esta quincena aprenders a:
La circunferencia y el crculo
Antes de empezar 1. La circunferencia ......................... pg. 158 La circunferencia Elementos de la circunferencia 2. Posiciones relativas ...................... pg. 160 Punto y circunferencia Recta y circunferencia Dos circunferencias 3. ngulos en la circunferencia .......... pg. 163 ngulo central ngulo inscrito ngulo inscrito en la semicircunferencia 4. Crculo y figuras circulares ............ pg. 165 El crculo Figuras circulares Longitudes en la circunferencia reas en el crculo Ejercicios para practicar Para saber ms Resumen Autoevaluacin Actividades para enviar al tutor
Identificar los diferentes elementos presentes en la circunferencia y el crculo. Conocer las posiciones relativas de puntos, rectas y circunferencias. Conocer las propiedades de los ngulos construidos en la circunferencia. Medir longitudes y reas de figuras circulares.
La circunferencia y el crculo
Antes de empezar
Investiga
Construye un crculo de cartn y mide la distancia del centro al borde. Enrolla un trozo de cordel alrededor del contorno del crculo. Desenrllalo despus y mdelo tambin. Divide la segunda cantidad entre la primera y anota el resultado. Puedes repetir el experimento con crculos de distintos tamaos. Qu puedes decir de los resultados que se obtienen?
El disco de la figura tiene un cordel enrollado a lo largo de su borde exterior. Al desenrrollar el cordel (en la figura aparece en azul), podremos medir su longitud. En este caso esta longitud es de 11,56 cm. Al dividir la longitud del cordel entre el radio del crculo, que mide 1,84 cm, obtenemos como cociente 6,28. No habra nada de particular en todo lo que acabamos de ver. Lo realmente sorprendente es que si repetimos el experimento con cualquier objeto redondo, obtendremos finalmente el mismo cociente ... exactamente el mismo! Este cociente debe ser, por tanto, una cantidad con entidad propia, es decir, una cantidad que tendr una relacin ntima y fundamental con la geometra del crculo.
La circunferencia y el crculo
1. La circunferencia
La circunferencia.
Marca un punto O sobre un plano. Marca ahora otro punto A cualquiera y calcula la distancia entre O y A. Si buscas todos los puntos del plano que estn a esa misma distancia del punto O, obtendrs una figura plana, que se conoce como circunferencia. De manera ms precisa, la circunferencia es una lnea plana y cerrada formada por todos los puntos se encuentran a igual distancia de un punto O dado. El punto O se llama centro de la circunferencia y la distancia entre el centro y cualquiera de los puntos de la circunferencia se llama radio. La circunferencia es una lnea plana y cerrada en la que todos los puntos estn a igual distancia de un punto O dado.
El comps es un instrumento de necesario para el dibujo circunferencias y crculos. Para dibujar una circunferencia basta situar la aguja del comps sobre un punto y, con la abertura, deseada, girarlo. La abertura que hayamos dado al comps es el radio de la circunferencia.
Elementos de la circunferencia.
En una circunferencia siguientes elementos: podemos distinguir los
Centro: es el punto situado en su interior que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la circunferencia. Radio: es el segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro. Cuerda: es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. Dimetro: es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Arco: es el segmento de circunferencia comprendido entre dos de sus puntos. Semicircunferencia: es el arco que abarca la mitad de la circunferencia.
La circunferencia y el crculo
EJERCICIOS resueltos
1. Dibuja con regla y comps una circunferencia de 3 cm de radio con centro en el punto A y traza sobre ella los siguientes elementos: un radio, un dimetro, una cuerda y un arco.
Sol Usa los instrumentos de dibujo para obtener un resultado similar a este:
2.
Identifica en la figura el nombre de los distintos elementos que aparecen coloreados en rojo. Sol
La circunferencia y el crculo
2. Posiciones relativas
Punto y circunferencia.
Entre un punto y una circunferencia pueden producirse distintas situaciones a las que llamamos posiciones relativas. Decimos que el punto es exterior a la circunferencia si se encuentra a una distancia del centro mayor que el radio. En este caso el punto est fuera de la circunferencia. El punto es interior si se encuentra a una distancia del centro menor que el radio. El punto est entonces dentro de la circunferencia. Si el punto esta situado sobre la circunferencia decimos que pertenece a ella. En este caso la distancia al centro es igual al radio. Un punto que no pertenezca a la circunferencia puede ser interior o exterior a ella.
Recta y circunferencia.
Igual que hemos hecho con puntos, podemos estudiar la posicin relativa de una recta y una circunferencia. Se pueden dar los siguientes casos. Si la recta no tiene ningn punto en comn con la circunferencia, decimos que son exteriores. Si tienen un punto en comn, decimos que la recta y la circunferencia son tangentes. En este caso la recta es perpendicular al radio. Si tienen dos puntos comunes, entonces decimos que la recta y la circunferencia son secantes. Llamamos tangente a la recta que tiene un slo punto en comn con la circunferencia.
Recta secante a la circunferencia Recta tangente a la circunferencia
La circunferencia y el crculo
Circunferencias tangentes exteriores
Dos circunferencias.
Entre dos circunferencias se pueden producir las siguientes posiciones relativas.
Circunferencias secantes
cada
Interiores: todos los puntos de una de las circunferencias son interiores a la otra. Si adems tienen el mismo centro, decimos que son concntricas. Tangentes: tienen un punto en comn. Sern tangentes exteriores o tangentes interiores, dependiendo de la posicin de los puntos que no son comunes a ambas. Secantes: tienen dos puntos en comn y cada circunferencia divide a la otra en dos arcos.
Circunferencias exteriores
EJERCICIOS resueltos
3. Indica si los siguientes puntos son interiores, exteriores o pertenecen a la circunferencia.
Sol A y E son exteriores; O y B son interiores; C y D pertenecen a la circunferencia.
4.
Indica cules de los puntos estn a igual distancia del centro, cules se encuentran a una distancia del centro mayor que el radio, cules estn a distancia menor que el radio y cules estn a una distancia equivalente al doble del radio.
Sol Los puntos C y D estn situados a igual distancia del centro O; A y E estn situados a mayor distancia que el radio; B est situado a menor distancia que el radio; E est situado a una distancia doble del radio.
5.
Indica la posicin relativa de las rectas que aparecen en la figura, con respecto a la circunferencia.
Sol Las rectas t y s son secantes; u es exterior a la circunferencia; v es tangente.
La circunferencia y el crculo
EJERCICIOS resueltos
6. Representa sobre la figura la distancia de cada una de las rectas al centro de la circunferencia e indica en qu casos esa distancia es mayor que el radio, en qu casos es menor y en cules es igual que el radio.
Sol La distancia de la recta u al centro es mayor que el radio; la distancia de t al centro es menor que el radio; la distancia de v al centro es igual que el radio; la distancia de s al centro es nula.
7.
8.
Dibuja dos circunferencias de radios 5 cm y 3 cm respectivamente que sean tangentes interiores. A qu distancia se encuentran sus centros?
Sol La distancia entre los centros es de 2 cm.
9.
Dibuja las mismas circunferencias anteriores, pero esta vez en posicin de tangentes exteriores. A qu distancia se encuentran ahora sus centros?
Sol Sus centros estn a 8 cm de distancia.
10.
Dos circunferencias tienen radios 3 y 4 cm respectivamente, y sus centros se encuentran a una distancia de 9 cm. Cul es su posicin relativa?
Sol Son circunferencias exteriores.
La circunferencia y el crculo
3. ngulos en la circunferencia
ngulo central.
Se llama ngulo central a cualquier ngulo que tenga su vrtice en el centro de la circunferencia. Todo ngulo central corta a la circunferencia en dos puntos que determinan un arco comprendido. As, un ngulo de 360 comprende a la circunferencia completa, un ngulo de 180 divide a la circunferencia en dos arcos iguales y un ngulo recto comprende un arco que es la mitad de una semicircunferencia. De esta manera es posible identificar cada ngulo central con su arco de circunferencia correspondiente. Todo ngulo central determina un arco sobre la circunferencia.
El ngulo central de la figura se corresponde con el arco de circunferencia dibujado en rojo. Es posible establecer esta correspondencia entre cualquier ngulo central y su arco de circunferencia, o bien, en sentido contrario, entre cualquier arco y su ngulo central. Por esta razn, podemos hablar de la amplitud del arco, que en este caso es de 140.
ngulo inscrito.
Se llama ngulo inscrito al ngulo que tiene su vrtice P en la circunferencia, de forma que sus lados son secantes con la circunferencia. Si A y B son los puntos en que los lados del ngulo inscrito APB cortan a la circunferencia y consideramos el ngulo central AOB que queda determinado por los puntos A y B, resulta entonces que este ngulo central AOB tiene amplitud doble que el ngulo inscrito APB.
El ngulo inscrito con vrtice en el punto P es la mitad del ngulo central AOB. De tal manera que si movemos el punto P a lo largo de la circunferencia, el ngulo APB tendr siempre la misma amplitud, ya que seguir siendo en todos los casos la mitad del ngulo central.
Sabemos as que la amplitud de cualquier ngulo inscrito es la mitad de la amplitud del ngulo central correspondiente.
La amplitud de cualquier ngulo inscrito es la mitad de la amplitud del ngulo central correspondiente..
La circunferencia y el crculo
A un ngulo central corresponde un ngulo inscrito que es la mitad. Por este motivo, si el ngulo central es llano, el inscrito ser recto.
EJERCICIOS resueltos
11. Identifica los siguientes tipos de ngulos, por su posicin en la circunferencia.
Sol El ngulo ABD es un ngulo inscrito en la circunferencia; los ngulos COD y BOD son ngulos centrales.
12.
Representa sobre la circunferencia de la figura un ngulo central recto y un ngulo inscrito que se corresponda con l. Calcula la amplitud del ngulo inscrito, sin medirlo con el transportador.
Sol El ngulo inscrito es la mitad que su correspondiente angulo central. Como el ngulo central es recto, el inscrito ser de 45.
13.
Representa sobre la circunferencia de la figura un ngulo inscrito recto y su correspondiente ngulo central. Calcula la amplitud del ngulo central, sin medirlo con el transportador.
Sol El ngulo central tiene amplitud doble que su correspondiente angulo inscrito, por lo que su amplitud ser un ngulo llano.
14.
En la siguiente figura indica la amplitud de los ngulos sealados, sin utilizar el transportador, sabiendo que el ngulo AOC mide 54.
Sol El ngulo ABC es el inscrito correspondiente con AOC, as que su amplitud ser 27; AOB mide 136 por ser el suplementario de AOC; BAO mide 27 porque el tringulo ABO es issceles; BOC es un ngulo llano.
15.
Si partimos una empanada en 18 trozos iguales, qu ngulo corresponde a cada racin? En cuntos trozos habra que cortarla para que cada racin fuese de 30?
Sol Para partirla en 18 trozos haremos
360 = 20 cada racin; si queremos que las 18 360 raciones sean de 30, tendremos = 12 raciones. 30
La circunferencia y el crculo
4. Crculo y figuras circulares
El crculo.
Llamamos crculo a la regin plana encerrada por una circunferencia. De forma ms precisa, si O es el centro de la circunferencia, el crculo es la regin del plano formada por todos los puntos cuya distancia al centro O es menor o igual que el radio de la circunferencia. As, el crculo comprende a todos los puntos de la circunferencia y tambin a todos los puntos interiores a ella. La circunferencia es por lo tanto el contorno, la "frontera" del crculo. Se llaman centro, radio y dimetro del crculo al centro, radio y dimetro de su circunferencia. El crculo est formado por la circunferencia y todos los puntos interiores a ella.
Sector circular
Segmento circular
Figuras circulares.
Es posible determinar en un crculo varias figuras geomtricas de inters.
Zona circular
Se llama sector circular a la regin del crculo determinada por dos radios. Se llama segmento circular a la regin del crculo determinada por una cuerda. La regin delimitada por dos cuerdas paralelas se llama zona circular.
Corona circular
La regin determinada por dos circunferencias concntricas se denomina corona circular. Si cortamos una corona circular por dos radios, obtenemos una figura llamada trapecio circular. Los radios, cuerdas y circunferencias concntricas determinan diversas figuras circulares.
Trapecio circular
La circunferencia y el crculo
EJERCICIOS resueltos
16. Identifica por su nombre los elementos que aparecen representados en rojo y verde en las figuras adjuntas. Sol Fig 1 verde ...... sector circular roja ........ sector circular Fig 2 verde ...... segmento circular roja ........ segmento circular Fig 3 verde ...... segmento circular roja ........ zona circular Fig 4 verde ...... crculo roja ........ corona circular Fig 5 verde ...... sector circular roja ........ trapecio circular Los sectores circulares, coronas, semicrculos y dems elementos estn presentes en toda clase de objetos de distinta naturaleza.
Longitudes en la circunferencia.
En cualquier circunferencia, al dividir su longitud entre el dimetro, se obtiene una cantidad fija algo mayor que tres. Esa divisin da siempre 3,1415926 ... Este nmero se designa por la letra griega (pi) y tiene infinitas cifras decimales no peridicas. Si L es la longitud de la circunferencia y D el dimetro, tenemos L = D . Como el dimetro es doble del radio R, la longitud de la circunferencia ser:
EJEMPLO Para calcular la longitud Larco del arco de 223 expresamos la siguiente proporcin:
L=2R
Para hallar la longitud del arco de circunferencia, hacemos corresponder el permetro 2 R con la amplitud 360. Y por proporcionalidad directa, si n es la amplitud del arco, resulta
L arco 223 L as que arco = 223 L circunf 360 L circunf 360 y de aqu obtenemos que la longitud del arco es L arco =
L arco
n2 R = 360
Como la longitud de la circunferencia es Lcircunf=22,58, ya podemos conocer la longitud del arco que buscbamos.
La circunferencia y el crculo
EJERCICIOS resueltos
17. Calcula la longitud de una circunferencia que tiene 20 cm de radio. Sol 18. La longitud es L = 2 20 = 125,66 cm.
Calcula la longitud de dos circunferencia que tienen 30 cm de dimetro, la primera, y 15 cm de radio la segunda. Sol El radio de la primera es la mitad del dimetro, es decir, 15 cm. Por tanto ambas tienen el mismo radio y su longitud es L = 2 15 = 94,25 cm.
19.
Calcula la longitud de la circunferencia y de los arcos marcados en azul y rojo, sabiendo que su radio es 3 cm. Sol La circunferencia tienen una longitud de L = 2 3 = 18,85 cm. El ngulo de 45 es la octava parte de la circunferencia, as 18,85 = 2,36 cm. El que el arco rojo tiene longitud L arco rojo = 8 arco azul es la diferencia entre la circunferencia y el arco rojo: L arco azul = 18,85 2,36 = 16,49 cm.
20.
Calcula la longitud del arco correspondiente a un ngulo de 180 en una circunferencia de radio 1. Calcula tambin las longitudes de los arcos de 30, 90 y 270. Sol La circunferencia de radio 1 tienen longitud L = 2 1 = 2 y el arco de 180 es una semicircunferencia, as que su longitud ser la mitad: L semicirc = = 3,14 . Los arcos de 30, 90 y 270 son la duodcima, cuarta y tres cuartas partes de la circunferencia, respectivamente, as que sus longitudes son: 1 1 3 L arco 30 = 2 = 0,52 , L arco 90 = 2 = 1,57 , L arco 270 = 2 = 4,71 . 12 4 4
21.
Calcula el radio de una circunferencia sabiendo que tiene una longitud de 25,13 cm. Sol El radio ser R =
25,13 = 4 cm. 2
22.
Calcula el radio de una circunferencia sabiendo que a un ngulo de 60 le corresponde un arco de 10 cm. Y si fuese un ngulo de 203 al que corresponde un arco de 15 cm? Sol El ngulo de 60 es la sexta parte de la circunferencia, as que la longitud de 60 la circunferencia completa es 60 cm y su radio ser R = = 9,55 cm. Para el 2 n 203 arco de 203, tenemos que L arco = 2 R , de donde 15 = 2 R y de 360 360 360 15 = 4,23 cm. aqu R = 2 203
23.
Una piscina circular de 4 m de dimetro est rodeada por una acera de 1 m de anchura. Cul ser la longitud de la acera si la medimos exactamente por la mitad de su anchura? Sol Como la anchura de la acera es de 1 m, justo por la mitad tendremos una circunferencia de radio 2 + 0,5 = 2,5 m. La longitud entonces ser L = 2 2,5 = 15,71 cm.
MATEMTICAS 1 ESO 167
La circunferencia y el crculo
reas en el crculo. 9 El
rea de un crculo se puede hallar considerndolo como un polgono regular de "muchos" lados, en el cual el apotema coincide con el radio.
Permetro apotema 2
2 R R = R2 2
rea = R2 9 El rea de un sector circular de amplitud n, se calcula utilizando la proporcionalidad directa, con lo que resulta la frmula:
A sec tor =
EJEMPLO
n R2 360
Para calcular el rea Asector del sector de 126 de un crculo de radio 2,5 cm, expresamos la siguiente proporcin:
A sec tor 126 as que A sec tor = 126 A circ 360 A circ 360
y de aqu obtenemos que el rea del sector es 126 A sec tor = A circ 360 Como el rea del crculo es A circ = 2,52 , ya podemos conocer el rea del sector que buscbamos.
Areasec tor =
restan las reas de las circunferencias mayor y menor: donde R y r son los radios mayor y menor de la corona.
EJEMPLO
Para calcular el rea Acorona de la corona circular de radio mayor 3,5 y radio menor 1,75 calcularemos el rea de cada una de las dos circunferencias: Amayor = R2 = 3,52 y Amenor = r2 = 1,752 Restando ambas reas obtenemos:
A corona = 3,52 1,752 = 3,52 1,752 = 28,86
La circunferencia y el crculo
EJERCICIOS resueltos
24.
25.
Calcula el rea de dos crculos de 10 cm y de 20 cm de dimetro, respectivamente. Sol Las reas son A 1 = 52 = 78,54 y A 2 = 102 = 314,16 cm2. Es importante notar que si una circunferencia tiene radio doble que otra, su rea no es el doble sino el cudruple de la primera. de las figuras circulares
26.
Nota: El radio de las circunferencias exteriores es 2 cm en todos los casos y el de las interiores es 1,2 cm.
Sol
Fig 4
1 2 22 = 4,19 cm2, A sec tor azul = 22 = 8,38 cm2; 3 3 1 A corona = 22 1,22 = 8,04 cm2, A semicirc = 1,22 = 2,26 cm2; 2 1 3 A trap rojo = 22 1,22 = 2,01 cm2, A trap azul = 22 1,22 = 6,03 cm2; 4 4 3 1 A sec tor rojo = 1,22 = 3,39 cm2, A sec tor azul = 1,22 = 1,13 cm2; 4 4 260 100 2 2 A sec tor rojo = 1,2 = 3,27 cm , A trap azul = 22 1,22 = 2,23 cm2. 360 360 A sec tor rojo =
27.
28.
Se quiere construir una piscina redonda en una finca circular de 50 m de radio, conservando un pino que hay en el centro. Calcula el dimetro mximo de la piscina y la superficie de finca que quedar despus de la obra. Sol El dimetro mximo de la piscina ser de 50 m. Superficie de la finca = 502 = 7850 m2 Superficie mxima de la piscina = 252 = 1962,5 m2 , quedarn 5887,5 m2
29.
El segundero de un reloj mide 2 cm. Calcula la longitud del arco que describe esta aguja al cabo de 20 segundos. Sol Describe un arco de 120, de longitud L = 2 2 = 12,57 cm.
30.
Si el minutero de un reloj mide 4 cm, calcula el rea del sector circular que describe esta aguja entre las 3:20 y las 4:00. Calcula el rea del sector que describe en el mismo intervalo de tiempo la aguja horaria, que mide 3 cm. Sol El minutero avanza 240 y barre un rea de A min utero = La aguja horaria avanza 20 y el rea es A horaria =
240 42 = 33,51 cm2. 360
La circunferencia y el crculo
Para practicar
1.
En una circunferencia de radio 7,6 cul es la distancia entre el centro de la circunferencia y cualquiera de sus puntos? Cunto mide el dimetro de la circunferencia? En una circunferencia de radio 4,6 es posible trazar una cuerda de longitud 9,6? Si una circunferencia tiene longitud 45 y un arco tiene longitud 25 qu amplitud tendr el ngulo central correspondiente a ese arco? Si una recta se encuentra a distancia 2,8 del centro de una circunferencia de radio 8,8 cules son sus posiciones relativas? Si los centros de dos circunferencias estn a una distancia de 9,9 y una de ellas tiene radio 2,1 cmo deber ser el radio de la otra para que sean exteriores? Si el ngulo central de una circunferencia tiene una amplitud de 160 cul ser la amplitud del ngulo inscrito correspondiente?
7.
Cul ser la amplitud del ngulo central si sabemos que su correspondiente ngulo inscrito tiene amplitud 27? Qu figura se forma cuando el ngulo inscrito es recto? Calcula la longitud de una circunferencia de radio 3,4 y el rea del crculo correspondiente. Calcula la longitud del arco de amplitud 241 y el rea del sector correspondiente. Calcula el radio interior de una corona circular sabiendo que su radio exterior es 7 y su rea 125,6. Calcula el rea y el permetro de una ventana formada por un rectngulo de 1,6 m de anchura y doble altura, coronada por un semicrculo. Calcula el rea y el permetro de la figura naranja
2.
8.
3.
9.
4.
10.
5.
11.
6.
La circunferencia y el crculo
Para saber ms
La importancia de un nmero.
l nmero ha sido una de las primeras y ms importantes empresas cientficas de toda la historia. Desde los inicios de la geometra era conocida la relacin que existe entre la longitud de la circunferencia y su dimetro. El cociente entre ambas magnitudes es precisamente , que toma su nombre de Pitgoras.
El problema estaba en obtener el valor exacto de este misterioso nmero y desde las pocas egipcia y griega se fueron dando distintas aproximaciones. Una de estas aproximaciones es la fraccin 22/7 y tras ella fueron apareciendo otras, cada vez ms cercanas al valor exacto. En 1768 el suizo Johann Heinrich Lambert demostr algo que se vena sospechando: que no es un nmero racional, esto es, que no se puede obtener como el cociente de dos nmeros enteros.
Pero el nmero quiz ms famoso de la historia, es an ms especial: result ser que no es tampoco un nmero algebraico. Esto quiere decir que no existe ninguna ecuacin construda con las operaciones bsicas de sumar, restar, multiplicar y elevar a una potencia, que tenga como solucin el nmero , como logr demostrar el alemn Lindemann en 1882. En la actualidad, sabido ya que es un nmero compuesto por infinitas cifras decimales no peridicas, existen proyectos para determinar sus cifras, de las que ya se conocen varios millones. Si tienes tiempo ... ya sabes!
La circunferencia y el crculo
Recuerda lo ms importante
el sector circular el segmento circular la zona circular la corona circular el trapecio circular
el permetro es L = 2 R el rea es A = R 2
Existe una relacin fundamental entre un ngulo central y su correspondiente ngulo inscrito: la amplitud del primero es doble de la del segundo. Como consecuencia de lo anterior, todo ngulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Estas frmulas y la proporcionalidad directa nos permiten conocer la longitud de arcos y las reas de sectores, coronas y trapecios circulares.
La circunferencia y el crculo
Autoevaluacin Autoevaluacin
1.
2.
Indica la posicin relativa de un punto situado a distancia 9,2 del centro de una circunferencia de radio 6,8. Indica la posicin relativa de una recta situada a distancia 6,8 del centro de una circunferencia de radio 7,6. Indica la posicin relativa de dos circunferencias de radios 5,7 y 0,9 y cuyos centros estn situados a una distancia de 4,8. Cul es la amplitud del ngulo inscrito en una circunferencia sabiendo que su correspondiente ngulo central es de 224? Identifica por su nombre las figuras circulares representadas en rojo. Calcula la longitud del arco que abarca un ngulo de 145 en una circunferencia de radio 9,6. Cul ser el radio de una circunferencia sabiendo que el rea del sector circular de amplitud 154 es de 71,6? Calcula el rea de un camino de 3 metros de anchura y que rodea a un jardn de forma circular de 7,9 metros de dimetro. Calcula la distancia que recorre una velocista al dar 26 vueltas a un circuito como el de la figura.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
La circunferencia y el crculo
Soluciones de los ejercicios para practicar
1. 2.
El radio: R= 7,6. D=15,2. No es posible trazar en una circunferencia cuerdas mayores que el dimetro, que en este caso es 9,2. Como la longitud es directamente proporcional al ngulo resulta:
8.
La longitud es L = 2 3,4 = 21,36 y el rea A = 3,42 = 36,32 . El arco tiene longitud L arco =
3.
A sec tor =
25
360 45
as
que
el
ngulo
9.
central ser =
25 360 = 200 45
4.
Al ser la distancia menor que el radio la recta y la circunferencia son secantes. El radio de la otra deber ser menor 10. que la diferencia 9,9 2,1 : R < 7,8 El ngulo inscrito ser la mitad de 160, es decir 80. La amplitud del ngulo central es el doble de 27, es decir, 54. En el caso de que el ngulo inscrito sea recto, el central ser llano y se forma 11. un tringulo rectngulo.
El rea de la corona es la diferencia entre las reas de los dos crculos y como el rea del crculo exterior es 153,86, el rea de la interior debe ser 28,26 y por lo tanto el radio interior es
r=
28,26 =3.
5. 6. 7.
El rectngulo mide 1,6 de anchura y 3,2 de altura y el radio del semicrculo superior es 0,8. Con estos valores el permetro es
El rea es la mitad del rea del crculo 72=153,86 cm2, la mitad 76,93 cm2 El permetro +23,5=43,96 cm
Soluciones AUTOEVALUACIN
1. a. radio, b. centro, c. cuerda,
d. semicircunferencia, e. dimetro, f. arco.
2. El punto es exterior a la circunferencia. 3. La recta y la circunferencia son secantes. 4. La circunferencia menor 0,9 es tangente
interior a la circunferencia mayor.
5.
224 = 112 2
d. trapecio, e. semicrculo, f. sector.
6. a. segmento, b. corona, c. zona, 7. La longitud del arco es 24,29. 8. El radio es 7,30. 9. El rea es 177,19 m2.
NOTA IMPORTANTE: En la resolucin de los ejercicios de esta quincena se ha utilizado el valor de aproximado a dos cifras decimales, es decir, 3,14. Los clculos y resultados se dan tambin redondeados a dos cifras decimales.
11 11
Tablas y grficas
Antes de empezar
Objetivos
En esta quincena aprenders a:
Representar puntos en el plano Calcular las coordenadas de un punto Construir e interpretar grficas cartesianas Construir e interpretar tablas de datos Reconocer magnitudes directamente proporcionales dadas por tablas o por representacin grfica
1.Sistema de ejes coordenados pg. 178 Ejes cartesianos Coordenadas de un punto 2.Grficas cartesianas Interpretar grficas de puntos Interpretar grficas continuas 3.Tablas y grficas Tablas de valores De la grfica a la tabla De la tabla a la grfica
pg. 180
pg. 182
4.Ms ejemplos grficas pg. 186 De proporcionalidad directa Otros ejemplos Ejercicios para practicar Para saber ms Resumen Autoevaluacin Actividades para enviar al tutor
MATEMTICAS 1 ESO
175
176
MATEMTICAS 1 ESO
Tablas y grficas
Antes de empezar
Qu tienen en comn?
Observa las imgenes que aparecen en esta pgina. Intenta encontrar qu cosas pueden tener en comn. nimo!.
MATEMTICAS 1 ESO
177
Tablas y grficas
1. Sistema de ejes coordenados
Ejes cartesianos
Observa la siguiente imagen, en ella se muestran los elementos del sistema de coordenadas cartesianas que ha permitido avances en varios campos de las matemticas.
Eje de ordenadas
Segundo cuadrante
Primer cuadrante
Un sistema de ejes coordenados (o cartesianos) est formado por dos ejes numricos perpendiculares, uno horizontal, llamado de abscisas y otro vertical o de ordenadas. Ambos ejes se cortan en un punto llamado origen o centro de coordenadas.
Tercer cuadrante
Cuarto cuadrante
Coordenadas de un punto
En la imagen de este apartado aparecen varios puntos en el plano y unos ejes cartesianos donde se visualizan las coordenadas cartesianas de cada punto. Observa que las coordenadas de un punto son un par ordenado de valores.
La primera coordenada o abscisa de un punto nos indica la distancia a la que dicho punto se encuentra del eje vertical. La segunda coordenada u ordenada indica la distancia a la que se encuentra el punto del eje horizontal.
178
MATEMTICAS 1 ESO
Tablas y grficas
EJERCICIOS resueltos
1. Escribe los trminos que correspondan en los rectngulos que se muestran en la siguiente imagen:
Los trminos son (de arriba abajo y de izquierda a derecha): segundo, ordenadas, coordenadas, tercer, primer, abscisas, cuarto.
2.
Completa la tabla con las coordenadas de los puntos representados en la imagen siguiente:
Los puntos son: A(3,1) B(3,-1) C(3,5) D(-1,-5) E(3,3) F(-9,-9) G(-1,5) H(5,7)
MATEMTICAS 1 ESO
179
Tablas y grficas
2. Grficas cartesianas
Interpretar grficas de puntos
En la imagen de debajo se ve un ejemplo de grfica cartesiana. Cada punto de la grfica est relacionado con la edad y la altura de las personas que hacen cola para entrar en un cine.
Cmo se interpreta?
9 Diana es la ms alta ya que el punto que la representa est ms a la derecha. Antonio es el de mayor edad puesto que el punto que lo representa es el que se encuentra ms arriba en la grfica. As mismo puedes ver que Blanca e Ins tienen la misma estatura ya que sus puntos estn a la misma distancia del eje de ordenadas; y Blanca y Flix tienen la misma edad ya que sus puntos se encuentran a la misma distancia del eje de abscisas. El ms bajito sera Julio y Elena es la ms joven de todas las personas de la fila.
Observa: el punto que aparece ms elevado, el punto ms bajo, el punto situado ms a la derecha y el punto situado ms a la izquierda. Relacinalo con las magnitudes representadas. En la segunda grfica se muestran el precio y el tiempo que han durado las llamadas realizadas por diez personas que se encontraban en un Locutorio telefnico.
9 9
La llamada de mayor duracin ha sido la llamada 8. La llamada ms cara ha sido la 3 aunque ha sido de las de menor duracin. La llamada 2 ha sido la de menor duracin y, junto con la 8, son las ms baratas. Las llamadas 1 y 4 han costado lo mismo aunque su duracin ha sido distinta. Las llamadas 6 y 9 han durado lo mismo pero la 6 es ha costado ms. Qu llamada crees que se ha hecho a un telfono ms cercano? La n 8 ya que es la ms larga y de menor coste.
Observa: los puntos que estn situados a la misma altura, y los puntos situados sobre una misma vertical Relacinalo con las magnitudes representadas.
180
MATEMTICAS 1 ESO
Tablas y grficas
Interpretar grficas continuas
En la siguiente grfica se describe el recorrido realizado por un ciclista y, a diferencia de las dos anteriores, no se trata de puntos aislados sino que es una lnea continua:
La interpretacin de la grfica: 9 El ciclista empieza su recorrido y a las dos horas se encuentra a 40 km. Recorre 20 km ms volviendo hacia atrs. pero
9 9
Vuelve a alejarse 10 km y se para a descansar durante una hora. Finalmente se vuelve a montar en su bicicleta y regresa al punto de partida tardando en esa ltima parte del recorrido, de 30 km, dos horas.
Observa: los tramos de la grfica que indican que el ciclista se aleja, regresa o est parado.
EJERCICIOS resueltos
3. La empresa EDAD S.A. cotiza en Bolsa desde hace algunos aos. En la grfica adjunta se muestran las cotizaciones (en ) de sus acciones durante el ao 2008. Cul ha sido la mayor cotizacin alcanzada por sus acciones? En qu mes se consigui? Cul ha sido el menor valor alcanzado por las acciones? Cul fue el mes en que se alcanz esa mnima cotizacin? Qu cotizacin se alcanz en el mes de junio?:
La mayor cotizacin fue de 70 y se alcanz en diciembre. La menor cotizacin fue de 10 y se alcanz en agosto. En el mes de junio las acciones se cotizaron a 40
MATEMTICAS 1 ESO
181
Tablas y grficas
3. Tablas y grficas
Tablas de valores
En muchas ocasiones tendremos conjuntos de datos que nos vengan dados de diferentes formas: expresin verbal, una frmula o ecuacin,... En cualquier caso el disponer de dichos datos en una tabla nos facilitar su interpretacin y su representacin grfica. Veamos los pasos a seguir para construir una tabla de doble entrada cuando los datos nos vienen dados de forma verbal o mediante una ecuacin.
deporte n socios
Observa: El orden de colocacin de los valores relacionados y las posibles disposiciones de las tablas.
balonmano gimnasia
182
MATEMTICAS 1 ESO
Tablas y grficas
Segundo ejemplo (datos en forma de ecuacin):
Observa: El clculo de los importes se realiza de la siguiente forma (haremos el clculo para conocer el importe de 5 botellines de zumo): Importe=0,75 n botelllines =0,75 5 = 3,75 . El importe que debemos pagar por una determinada cantidad de botellines de zumo de naranja es: Importe = 0,75 n de botellines Vamos a construir una tabla en la que se mostrarn los importes si se compran de 1 a 10 botellines. En este caso, en lugar de una tabla en sentido vertical construiremos una tabla en sentido horizontal y que, segn los datos que tenemos deber tener dos filas y once columnas ya que necesitaremos una columna para indicar a qu se refieren las cantidades que aparezcan en las celdas de cada fila. Esta tabla puede ser como la siguiente:
N botellines Importe
En las celdas de la segunda fila escribiremos los importes correspondientes al nmero de botellines y que calcularemos a partir de la ecuacin que nos dan en el enunciado:
N botellines Importe
1 2 3 4 3 5 6 7 8 6 9 10
6,75 7,5
De la tabla a la grfica
En muchas ocasiones necesitaremos que los datos recogidos en una tabla sean representados grficamente sobre unos ejes de coordenadas. Veamos cmo representar grficamente los datos de la tabla que ves al lado. Primero deberemos dibujar una sistema de ejes coordenados sobre el que, posteriormente, representaremos los datos. Una vez que hemos dibujado los ejes y marcados los valores correspondientes tanto en el eje de abscisas como en el eje de coordenadas, es cuando comenzaremos a situar los puntos que representarn los datos dados
MATEMTICAS 1 ESO
183
Tablas y grficas
Observa: Nos situamos en el primer punto de X dado en la tabla y subimos una altura igual a su correspondiente valor de Y, as obtenemos el primer punto de la grfica.(0,6) Repetimos el proceso con cada pareja de valores de la tabla. En la imagen de al lado se ven los trazos usados para representar el punto (4,3).
Una vez acabado el proceso deberemos obtener una grfica similar a la que se muestra, en la que se han unido, mediante segmentos, cada par de puntos consecutivos, aunque no siempre se debern unir
De la tabla a la grfica
Veamos ahora el proceso inverso: nos dan una grfica cartesiana y debemos construir la tabla de datos representada en dicha grfica. Fjate en la grfica del margen. A partir de las coordenadas de los puntos representados podremos construir la correspondiente tabla de datos. El proceso es idntico al empleado en el segundo ejercicio del primer apartado de esta quincena.
Proceso: por el primer punto de la grfica (el de ms a la izquierda), trazamos una paralela al eje Y hasta llegar al eje X y una paralela al eje X hasta el eje Y. Estas paralelas, al cortar con cada uno de los ejes, nos darn los correspondientes valores X e Y (coordenadas) de ese punto. Anotamos los valores ledos en la tabla de valores y continuamos el proceso con los dems, hasta llegar al ltimo punto (el situado ms hacia la derecha).
184
MATEMTICAS 1 ESO
Tablas y grficas
EJERCICIOS resueltos
4. Sabiendo que el precio de un trayecto en taxi se calcula mediante la ecuacin precio (en ) = 0,55distancia (en km)+1,5, construye una tabla para recorridos de: 1, 2, 3, 5, 8, 12 y 15 km
Distancia (km) Precio () 1 2,05 2 2,60 3 3,15 5 4,25 8 5,90 10 7,00 12 8,10
5.
6.
X Y
1 3
2 4
3 5
4 10
5 9
6 10
7 2
8 1
9 5
10 2
11 1
12 3
MATEMTICAS 1 ESO
185
Tablas y grficas
4. Ms ejemplos de grficas
De proporcionalidad directa
Un pastelito cuesta 0,5, cunto pastelillos?, y cuatro pastelillos?. costarn 2
Es fcil ver que el importe a pagar ser y=0,5x, donde y sera el importe en euros y x correspondera al nmero de pasteles comprados. Las magnitudes importe y cantidad de panecillos son directamente proporcionales con constante de proporcionalidad 0,5.
y=0,5x
x 0 1 2 3 5 10 y 0 0,5 1 1,5 2,5 5
Observa: los puntos estn alineados sobre una recta que pasa por el origen de coordenadas. Es un ejemplo de funcin lineal.
En la grfica de debajo se muestra la representacin grfica de una funcin lineal de ecuacin y=1,5x y se observa que las coordenadas del punto A representado verifican la relacin y/x=1,5
Ampliemos un poco la informacin dada hasta ahora. Es fcil comprobar que a cada cantidad de panecillos le corresponde un nico importe, es decir entre ambas magnitudes (cantidad de panecillos e importe) se establece una correspondencia en la que a cada valor de la primera magnitud se le asocia uno y solo un valor de la segunda. Cuando tenemos un tipo as de correspondencia decimos que las dos magnitudes estn relacionadas mediante una funcin, o que tenemos definida una funcin. Una funcin puede venir descrita por: una expresin verbal, una tabla, una grfica o una ecuacin. El ejemplo de los panecillos nos determina un tipo especial de funcin llamado funcin lineal (tal como ya hemos dicho al principio de este apartado) y todas se corresponden con ecuaciones del tipo
y=1,5x
y 6 = = 1,5 x 4
y=mx
donde m corresponde proporcionalidad a la constante de
Observa: el cociente entre la coordenada Y y la coordenada X de un punto de la grfica de una funcin lineal nos determina m, que corresponde a la constante de proporcionalidad
186
MATEMTICAS 1 ESO
Tablas y grficas
Otros ejemplos
1) Una compaa de telefona fija cobra 8 cntimos de euro por establecimiento de llamada y 3 cntimos por minuto hablado. Podemos ver que la ecuacin que nos determinar el coste de una llamada ser y=3x+8 donde y ser el coste de la llamada en cntimos de euro y x ser la duracin de la llamada en minutos.
y=3x+8
x min 0 1 2 3 5 10 y cent 8 11 14 17 23 38
Observa: los puntos estn alineados sobre una recta que NO pasa por el origen de coordenadas. Es un ejemplo de funcin afn.
En ese caso se puede comprobar fcilmente que las dos magnitudes no son directamente proporcionales.
y=4x
2) El permetro de un cuadrado es funcin de su lado, a un cuadrado de lado 0,5 dm le corresponde un permetro de 40,5=2 dm, un cuadrado de 2 dm de lado tiene un permetro de 24 = 8 dm. En general podemos escribir que el permetro de un cuadrado de lado x es y=4x. Si se representa esta funcin se obtiene la grfica de la izquierda. Es una funcin lineal.
3) El permetro de un rectngulo de altura 2 dm, tambin es funcin de la base. Si se llama x a la medida de la base el permetro es y=2x+4. Representando esta funcin se obtiene la grfica de la derecha, una recta que no pasa por el origen de coordenadas, es una funcin afn.
MATEMTICAS 1 ESO
187
Tablas y grficas
EJERCICIOS resueltos
7. Sita el punto A de manera que la recta que pasa por dicho punto y el origen de coordenadas representa la funcin lineal dada por la frmula a) y=3,5x b) y= -2x c) y = -0,5x d) y=2x
a) Se puede
colocar, por ejemplo en (2,7), ya que cuando x=2 y=3,52=7
b) Se puede
colocar, por ejemplo en (-2,4), ya que cuando x=-2 y=-2(-2)=4
188
MATEMTICAS 1 ESO
Tablas y grficas
Para practicar
1. En una hoja de papel cuadriculado se
haban marcado los cuatro vrtices de un cuadrado, pero uno de ellos se ha borrado. Con la ayuda de las coordenadas indica dnde debe marcarse el vrtice que falta.
grfica, el nombre del volcn ms alto y el nombre del volcn que ha sufrido ms erupciones.
excursin. Uno de ellos ha realizado un pequeo croquis con la ayuda de un sistema de ejes coordenados. Cules son las coordenadas de la ermita?
se ve a continuacin, con los ingresos obtenidos durante los doce meses.del ltimo ao Cul es el primer mes en que ms gan? Y el ltimo mes en que gano menos? Qu ingresos obtuvo en mayo?
misma estacin de ferrocarril. Cul es la situacin geogrfica de dicha estacin respecto a ambos pueblos si un lado de cada cuadrcula representa 500 m en la realidad.
ha salido a dar un paseo. Cunto ha durado ese paseo? A qu distancia se encuentra el punto ms alejado de su casa?
MATEMTICAS 1 ESO
189
Tablas y grficas
7. Con los datos de la grfica calcula a cunto se ha vendido el kilo de fruta.
8. Un tren de largo recorrido une las ciudades de Mlaga y Barcelona y ha iniciado el viaje
a las 8 de la maana. La siguiente grfica muestra el recorrido realizado en funcin del tiempo y la distancia recorrida A qu hora llega a Barcelona?Cul fue la velocidad media del tren?
9. Un depsito se llena mediante una bomba que vierte 74 litros de agua por minuto.
Cul de las tres rectas representa el agua del depsito en funcin del tiempo?
190
MATEMTICAS 1 ESO
Tablas y grficas
Para saber ms
La pendiente de una recta
Ya has visto que la ecuacin de una funcin lineal es de la forma y=ax El valor de a , que es la constante de proporcionalidad, tambin recibe el nombre de pendiente puesto que nos indica el ngulo de la recta con respecto a la parte positiva del eje de las X . En las imgenes puedes ver rectas con el valor de a igual a 1,2; 0 y -1. Observa las distintas inclinaciones de las rectas que se ven.
y=1,2x
a=-1
a=0
MATEMTICAS 1 ESO
191
Tablas y grficas
Recuerda lo ms importante
Un sistema de representacin cartesiano est formado por dos rectas o ejes perpendiculares, el de abscisas (eje x) y el de ordenadas (eje y). El punto en el que se cortan los ejes es el origen de coordenadas. Cada punto en el plano se representa mediante un par ordenado de coordenadas cartesianas (x,y).
La representacin grfica de la relacin existente entre dos magnitudes directamente proporcionales es o bien una recta o bien un conjunto de puntos alineados. Todas las grficas anteriores siempre pasan por el origen de coordenadas, es decir por el punto (0,0). Corresponden a las llamadas funciones lineales.
Funciones lineales
192
MATEMTICAS 1 ESO
Tablas y grficas
Autoevaluacin
4) 1. Cmo se llama el eje vertical de un sistema de ejes
coordenados?
6)
que debemos usar por kilo de pintura viene determinada por la ecuacin: disolvente=0,55 kg de pintura+0,2. Kg. pintura 1 0,75 2 4 5,7
8)
7. Indica el color de la grfica que corresponde a la tabla dada. 9) 8. Uno de los puntos representados es incorrecto. Indica sus
coordenadas.
10)
MATEMTICAS 1 ESO
193
Tablas y grficas
Soluciones de los ejercicios para practicar
9. La recta naranja.
Soluciones AUTOEVALUACIN
1. Eje de ordenadas 2. A(2, -6) 3.
No
5. x=2 y=1,3; x=4 y=2,4; x=5,7 y=10 6. x=5, y=-12 7. la recta naranja 8. D(0,-5) que debera ser (0,-7) 9. m=3 10. funcin afn
194
MATEMTICAS 1 ESO
12
Objetivos
En esta quincena aprenders a:
Estadstica y Probabilidad
Antes de empezar 1.Distribuciones estadsticas. Tablas de frecuencias pg. 198 Variable, poblacin y muestra Frecuencia absoluta y relativa Porcentajes y ngulos 2.Grficos estadsticos pg. 200 Diagrama de barras Diagrama de sectores Pictogramas 3.Experimentos aleatorios pg. 203 Sucesos. Espacio muestral Diagramas de rbol Unin de sucesos Interseccin de sucesos 4.Probabilidad pg. 205 Sucesos. Espacio muestral Diagramas de rbol
Distinguir sucesos de un
Calcular probabilidades
sencillas.
Ejercicios para practicar Para saber ms Resumen Autoevaluacin Actividades para enviar al tutor
MATEMTICAS 1 ESO
195
196
MATEMTICAS 1 ESO
Estadstica y probabilidad
Probabilidad
Grficos estadsticos
Muchas veces habrs visto grficos similares a los siguientes, sacados del INE, Instituto Nacional de Estadstica. En esta quincena aprenders a interpretarlos.
MATEMTICAS 1 ESO
197
Estadstica y Probabilidad
1. Distribuciones estadsticas. Tablas de frecuencia.
Variable, poblacin y muestra
Si queremos saber cunto caminan diariamente los alumnos de un instituto, les preguntaremos a todos (muestra exhaustiva) o a algunos escogidos por cursos (muestra estratificada) o elegidos al azar (muestra aleatoria). La poblacin son todos los alumnos del instituto, la muestra est formada por los alumnos encuestados y la variable es la distancia que camina cada alumno diariamente, que como se puede cuantificar diremos que es una variable cuantitativa. Cuando se pretende saber cul es el programa de TV favorito entre los miembros de una familia, la poblacin es esa familia y la variable es cualitativa, pues no se expresa con una cantidad numrica. a)
Preguntamos a los alumnos de un instituto cunto caminan diariamente.
Muestra exahustiva
Variable Cualitativa
En la imagen de la izquierda aparecen los datos recogidos en una encuesta, el recuento se expresa en las casillas de la primera columna, la frecuencia absoluta de un valor o tramo de la variable es el nmero de veces que aparece ese valor en los datos recogidos. A continuacin se escribe cada f. absoluta entre el nmero total de datos o tamao de la muestra, N
f. relativa =
f. absoluta n de datos
Porcentajes y ngulos
Si un valor aparece 6 veces en los 20 datos, su frecuencia relativa es 6/20=0,3 que es igual a 30/100 o 30% (fracciones equivalentes por 5), 30 es el porcentaje de ese valor. De la misma manera si consideramos que el total de datos representa los 360 grados de la circunferencia, cuntos grados correspondern a ese valor? 0,3360 grados =108 grados
198
MATEMTICAS 1 ESO
Estadstica y Probabilidad
EJERCICIOS resueltos
1. Di cuales son la poblacin y las variables de cada grfico.
Soluciones La poblacin son los varones y mujeres de 25 a 64 aos. La variable es la experiencia con el ordenador. La poblacin son los libros editados desde 1996 a 2007. La variable es el ao de edicin. Se podra decir que la poblacin, todos los espaoles, se distribuy por autonomas y dentro de cada autonoma se estudi la variable Se leen libros? La poblacin son los espaoles. La variable el tiempo transcurrido desde su ltima visita a algn museo.
2.
Soluciones
3.
Soluciones
MATEMTICAS 1 ESO
199
Estadstica y Probabilidad
2. Grficos estadsticos
Diagrama de barras
Fjate atentamente en el cuadro de la derecha, al hacer el recuento de las estaturas se obtiene el diagrama de barras. La altura de cada barra es la frecuencia absoluta del dato que representa. El grfico indica fcilmente a primer golpe de vista cul es el tramo de altura que ms se da entre los 30 alumnos. La altura de cada barra tambin se podra haber definido con las frecuencias relativas o con los porcentajes, el grfico sera similar. Otro grfico que se ve a menudo es la lnea que une los centros de la parte superior de las columnas o lnea poligonal.
Diagrama de sectores
Muchas veces habrs visto un grfico como el de la derecha, grfico de sectores, el ngulo central que ocupa un sector mide en grados, 360frecuencia/n de datos Las reas de los sectores son directamente proporcionales a las frecuencias del valor de la variable que representan.
Pictogramas
La escena presenta un pictograma sobre las bebidas escogidas en una mquina. Un pictograma es un tipo de grfico, que en lugar de barras, utiliza una figura proporcional a la frecuencia. Generalmente se emplea para representar variables cualitativas.
200
MATEMTICAS 1 ESO
Estadstica y Probabilidad
EJERCICIOS resueltos
4. Halla el diagrama de barras de los datos:
Agrupa las estaturas en intervalos de longitud 10 cm, desde 150 a 200. Dibuja la Lnea poligonal.
Dibuja el diagrama de sectores de los siguientes datos obtenidos al preguntar sobre el nmero de calzado en una encuesta.
Soluciones
5.
Soluciones
6.
Solucin
MATEMTICAS 1 ESO
201
Estadstica y Probabilidad
EJERCICIOS resueltos
7. Responde a las preguntas sobre esta pirmide de poblacin:
Soluciones
8.
Soluciones
9.
Soluciones
202
MATEMTICAS 1 ESO
Estadstica y Probabilidad
3. Experimentos aleatorios
Sucesos. Espacio muestral
Al extraer una carta de una baraja, lanzar una moneda, tirar un dado, y en otros ejemplos anlogos, no podemos saber de antemano el resultado que se va a obtener. Son experimentos aleatorios, aquellos en los que no se puede predecir el resultado y de ellos se trata aqu. El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se llama espacio muestral, y cada uno de esos posibles resultados es un suceso elemental. Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, se verifica cuando ocurre cualquiera de los sucesos elementales que lo forman. Hay un suceso que se verifica siempre, el suceso seguro que es el mismo espacio muestral.
Diagramas de rbol
Si lanzamos un dado dos veces cul ser el espacio muestral? Y si se extraen bolas de una urna? En estos casos los diagramas de rbol nos ayudan a determinar los sucesos elementales. En el ejemplo calculamos los sucesos elementales que resultan al lanzar dos veces una moneda.
Observa que en este ejemplo A tiene 3 elementos; B, 2 ; A B, uno y AUB consta de 4 elementos.
MATEMTICAS 1 ESO
203
Estadstica y Probabilidad
EJERCICIOS resueltos
10. Decide con un s o un no si se verifican los sucesos indicados
Solucin: No, S, S, No, S, No. 11. Construye un rbol para deterrninar el espacio muestral de la extraccin, sin devolucin, de dos bolas de un urna que contiene cuatro.
12.
Construye los diagramas de Venn en cada caso. 1. A = mltiplos de 2 B = mltiplos de 4 2. A = mltiplos de 3 B = mltiplos de 2 3. A = mltiplos de 4 B = mltiplos de 5 Soluciones
204
MATEMTICAS 1 ESO
Estadstica y Probabilidad
4. Probabilidad
Nocin de probabilidad
Se dice que un suceso A es ms probable que otro B si al realizar el experimento muchas veces, A ocurre significativamente ms veces que B. La secuencia de imgenes nos muestra la frecuencia relativa de algunos sucesos al tirar el dado 20, 1020 o 100000 veces. Los posibles sucesos elementales al tirar el dado tienen prcticamente igual frecuencia relativa cuando realizamos ms de 100000 tiradas. Las frecuencias relativas no varan significativamente al aumentar el nmero de tiradas despus de realizar un gran nmero de ellas. Estaras de acuerdo, a la vista de los resultados, en decir que la probabilidad de sacar un 2 es 1/6? La probabilidad se mide entre 0 (probabilidad del suceso imposible) y 1 o 100% (probabilidad del suceso seguro).
20 tiradas
La regla de Laplace
Cuando en un experimento aleatorio todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad, equiprobables, para calcular la probabilidad de un suceso cualquiera A, basta contar y hacer el cociente entre el n de sucesos elementales que componen A (casos favorables) y el n de sucesos elementales del espacio muestral (casos posibles)espacio.
P(A) = casos favorables casos posibles
1020 tiradas
Este resultado se conoce como regla de Laplace. Recuerda que para poder aplicarla es necesario que todos los casos posibles sean igualmente probables.
100000 tiradas
MATEMTICAS 1 ESO
205
Estadstica y Probabilidad
EJERCICIOS resueltos
13. Solucin
14.
15.
206
MATEMTICAS 1 ESO
Estadstica y Probabilidad
Para practicar
1. Describe
la poblacin y variable o variables de cada grfico. Di de qu tipo son las variables cuantitativas o cualitativas? a) Poblacin de 20 y ms aos con Estudios
Universitarios. Ao 2007
datos del color preferido que indica la tabla. x Rojo Ve. Azul Am. Tur Total f 2 1 3 4 5 15 los datos de la siguiente tabla. x Rojo Ve. Azul Am. Tur f 3 3 5 4 5
Total 20
x f %
Rojo Ve. 3 4
Total 20
porcentaje del Rojo es el 15%. x Rojo Ve. Azul Am. Tur Total f 3 2 5 7 es el % que corresponde al valor de la variable representado por el sector rojo? son las comunidades con mayor densidad de disoluciones matrimoniales por nmero de habitantes? El nmero de habitantes de Murcia en el 2006 es de 1370306, calcula el n de disoluciones en Murcia en ese ao.
7. Cul
8. Cules
c)
207
Estadstica y Probabilidad
9. Cul es el % de hombres con 3 o 13. A={1, 5, 7, 8, 9} B={3, 4, 5, 8, 9}
ms hijos que tiene trabajo? Calcula ese % en el caso de las mujeres. Influye el n de hijos en la tasas de ocupacin de los varones? Y en las mujeres?
Calcula AUB y A I B
14. De
una urna con cuatro bolas se extraen sucesivamente y con devolucin dos bolas. Dibuja el diagrama de rbol y di cul es el nmero de sucesos elementales. Cul es el nmero de sucesos elementales si la extraccin es sin devolucin? una bola de la urna del grfico sea a) una bola b) un 2 c) roja y con 2 d) roja o con 2
10. Cul
es el total de la poblacin ocupada en el cuarto trimestre del ao 2007? Cuntas personas trabajaban en ese periodo a tiempo parcial?
premio, para ello se reparten nmeros del 0 al 11 y se extrae un nmero, la decena, de la urna izquierda y segn la decena extraida, iremos a la urna dcha. o izda. para extraer las unidades La probabilidad de ser premiados es la misma para todos?
hay en una bolsa se muestra en el grfico Cul es la probabilidad de extraer un caramelo rojo?
Ser el sorteo justo si se procede de la misma manera con 20 amigos y se reparten nmeros del 0 al 19?
17. En el lanzamiento de un penalti se
consideran los posibles sucesos: gol o no marcar La probabilidad de gol es ? comienzo del partido con una moneda se decide cul ser la portera de cada equipo La probabilidad de que al equipo A le toque la portera sur es ? tres dados la suma total sea 4. Cul es la probabilidad de suma 5?
18. Al
12. Cul
208
Estadstica y Probabilidad
Para saber ms
Estadstica Descriptiva, Estadstica Inferencial
Pierre-Simon Laplace 1749 1827 Observar esta imagen, es equivalente a tomar una muestra de una poblacin. En principio solo tienes en tu mente un conjunto de datos, que no te dicen nada. Sin embargo, si te alejas unos 3 metros y observas de nuevo la imagen, empezars a extraer algo ms de informacin, y posiblemente intuyas mejor lo que representa esta imagen. Habrs hecho una inferencia de los datos muestrales, para tener una imagen del conjunto. Este es el objeto de las tcnicas de la estadstica que la clasifican en estadstica descriptiva e inferencial: Obtener muestras e inferir datos sobre la poblacin Imagen original
Control de calidad Qu es la calidad? Evitar colas, ofrecer buenos productos... el control de calidad es una parte de la estadstica. Fue en Norteamrica, en los aos 20, donde surgieron los pioneros de la aplicacin de mtodos estadsticos a la mejora de los procesos de produccin. Qu es la calidad? Pongamos algunos ejemplos: A nadie le gusta que si compra un paquete de 1 Kg. de un producto, ste pueda pesar 950 gr. No nos dice nada que el tiempo medio en que una compaa de mensajeros entrega un paquete en una ciudad sea de 40 minutos, si el nuestro nos llega al cabo de 4 horas. En las oficinas bancarias, han suprimido las filas mltiples delante de las ventanillas, por la fila nica. Acaso se hizo por reducir el tiempo medio de espera de los clientes?. No, el tiempo medio no vara, pero de esta forma se trata de eliminar la variabilidad en los tiempos de espera. La homogeneidad de los resultados es normalmente la clave para la calidad. La estadstica mide y estudia la dispersin de los resultados para procurar esta homogeneidad.
Extracto de la pgina http://www.isftic.mepsyd.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2001/estadistica/index2.htm
MATEMTICAS 3 ESO
209
Estadstica y Probabilidad
Recuerda lo ms importante
Estadstica
Debes saber realizar el recuento en variables cualitativas y cuantitativas, calcular la tabla de frecuencias y grados y construir los diagramas de sectores, barras o la lnea poligonal.
Probabilidad
Calcular los casos posibles es hallar el espacio muestral, en algunos casos se construye con ayuda de un rbol. La probabilidad de que se de el suceso A o B es la de la unin o AUB; la de que se den A y B es la de la interseccin o A I B
Recuerda que la probabilidad de Laplace solo se puede aplicar cuando los sucesos elementales son equiprobables.
210
MATEMTICAS 1 ESO
Estadstica y Probabilidad
Autoevaluacin
1. Halla la frecuencia con que aparece el nmero 3 en los
resultados de esta encuesta sobre el nmero de hermanos: 5 2 1 1 3 2 2 3 4 4 5 3 1 1 4 3 4 1 4 1 1 4 1 1 5.
MATEMTICAS 3 ESO
211
Estadstica y Probabilidad
Soluciones de los ejercicios para practicar
1. .
Poblacin
mayores de 20 aos en el 2007
a Espaoles
Variables Sexo, cualitativa Edad, cuantitativa E. universitarios, si o no, cualitativa Enseanza que imparten, cualitativa Sexo, cualitativa Categora del puesto Sexo, cualitativas
10. 20200000; 2300000. 11. 12/22 = 6/11 12. 3/15 = 0,2 13. AUB = {1, 3, 5, 7, 8, 9}; A I B = {5, 8, 9}
2. .x 0 1 2 3 4
f 2 4 4 3 2
14.
4.
5. 7. 10.
6. Total=20; turquesa3
17. No, los sucesos no son 18. S, sucesos equiprobables. 19. Suma 43/216; Suma 5 6/216.
Soluciones AUTOEVALUACIN
1. 4 2. 50 3. 48 4. 0,2 5. 3 6. 216 7. 6 8. 1 9. 0,1 10. No, no son equiprobables.
No olvides enviar las actividades al tutor
212
MATEMTICAS 1 ESO