Casos de Factorizacion
Casos de Factorizacion
Casos de Factorizacion
Ejemplos
3 + 3 = 3( + ) 10 15 = 5 2 3 + = + 7 3 + 8 2 4 + 11 = 7 3 8 2 + 4 11 + 1 + 1 + 5 + 1 = + 1 + 5 12 18 2 2 + 30 5 3 2 = 6 2 2 2 3 3 + 5 3 2
3 4 2
Factor Comn
- Se aplica solamente en binomios, donde el primer trmino es positivo y el segundo trmino es negativo. - Se reconoce porque los coeficientes de los trminos son nmeros cuadrados perfectos (es decir nmeros que tienen raz cuadrada exacta, como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, etc.) y los exponentes de las letras son cantidades pares (2, 4, 6, 10, 8n, 16b, etc.)
- El trinomio debe estar organizado en forma ascendente o descendente (cualquiera de las dos). - Tanto el primero como el tercer trmino deben ser positivos. Asimismo, esos dos trminos deben ser cuadrados perfectos (es decir, deben tener raz cuadrada exacta). En otras palabras, el primero y el tercer trmino deben reunir las caractersticas de los trminos que conforman una Diferencia de Cuadrados Perfectos (Caso 3).
- Se forman grupos de igual nmero de trminos, buscando que exista alguna familiaridad entre los trminos agrupados (es decir, que tengan rasgos comunes). - La agrupacin se hace colocando parntesis. - CUIDADO! Deben cambiarse los signos de los trminos encerrados en el parntesis si ste queda precedido por signo negativo. - Se extrae factor comn de cada grupo formado (es decir, aplicamos el caso 1 en cada expresin encerrada en parntesis). - Por ltimo, se extrae factor comn de toda la expresin (es decir, nuevamente se aplica el caso 1; en esta ocasin, el factor comn es una expresin encerrada en parntesis). - Se extrae la raz cuadrada de cada trmino: Al coeficiente se le extrae la raz cuadrada normalmente (por ejemplo: 81 = 9) y a las letras, su exponente se divide entre 2 (por ejemplo: 6 = 3 ; 8 = 4 ; 2 = ). Esto ltimo se fundamenta en la propiedad de la radicacin: = . - Se abren dos grupos de parntesis (conectados entre s por multiplicacin). - Las races cuadradas que se obtuvieron de cada trmino se anotan dentro de cada parntesis: en el primero van sumando y en el segundo van restando (es decir, se obtiene el producto notable llamado SUMA POR DIFERENCIA). - Primero debemos verificar que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP). Para ello extraemos la raz cuadrada tanto del primer como del tercer trmino. - Realizamos el doble producto de las races obtenidas y comparamos con el segundo trmino (sin fijarnos en el signo de ste). Si efectivamente nos da, entonces tenemos un TCP. - La factorizacin de un TCP es un binomio al cuadrado, que se construye anotando las races cuadradas del primer y tercer trmino, y entre ellas el signo del segundo trmino.
Factorizar: + + + Ntese que no existe factor comn en este polinomio de cuatro trminos. Entonces, formamos grupos de dos trminos: = + + + Extraemos factor comn de cada grupo formado: = + + + Por ltimo, extraemos factor comn de toda la expresin: = + + Factorizar: 2 5 2 + 2 + 5 5 Ntese que no existe factor comn en este polinomio de seis trminos. Antes de formar los grupos, es conveniente reubicar los trminos (observe que hay tres que tienen coeficiente 2 y otros tres que tienen coeficiente 5Eso es un rasgo comn!): = 2 2 + 2 5 + 5 5 Agrupamos: Los tres primeros trminos y los tres ltimos: = 2 2 + 2 5 5 + 5 Ntese que los signos del segundo parntesis cambiaron, ya que ste queda precedido de signo negativo. Ahora, extraemos factor comn de cada grupo formado: = 2 1 + 5 1 + Por ltimo, extraemos factor comn de toda la expresin: = 1 + 2 5
Factorizar: 2 2 Extraemos la raz cuadrada de cada trmino: 2 = ; 2 = . Entonces, la factorizacin queda as: = + Factorizar: 49 4 2 64 10 14 Extraemos la raz cuadrada de cada trmino: 49 4 2 = 7 2 ; 64 10 14 = 8 5 7 Entonces, la factorizacin queda as: = 7 2 + 8 5 7 7 2 8 5 7
Factorizar: 4 2 + 12 2 + 9 4 Como cumple con las condiciones, procedemos a extraer la raz cuadrada del primer y tercer trmino: 4 2 = 2 ; 9 4 = 3 2 Ahora realizamos el doble producto de las races obtenidas: 2 2 3 2 = 12 2 Ntese que nos dio como resultado el segundo trmino, luego tenemos un TCP. Su factorizacin queda as: = 2 + 3 2 2 Factorizar: 254 402 + 16 Como cumple con las condiciones, procedemos a extraer la raz cuadrada del primer y tercer trmino: 254 = 52 ; 16 = 4 Ahora realizamos el doble producto de las races obtenidas: 2 52 4 = 402 Ntese que nos dio como resultado el segundo trmino (sin considerar su signo). Quiere decir esto que tenemos un TCP. Su factorizacin queda as: = 52 4 2
Ejemplos
Factorizar: 2 2 15 Abrimos dos grupos de parntesis: = Extraemos la raz cuadrada del primer trmino ( 2 = ) y la anotamos al comienzo de cada parntesis: = Definimos los signos en cada parntesis: = + Se buscan dos cantidades que multiplicadas den 15 y que sumadas den 2. Se trata de 5 y 3. Entonces, anotamos esos nmeros en los espacios en blanco y queda lista la factorizacin: = 5 + 3 Factorizar: 4 + 11 2 + 28 Abrimos dos grupos de parntesis: = Extraemos la raz cuadrada del primer trmino ( 4 = 2 ) y la anotamos al comienzo de cada parntesis: = 2 2 Definimos los signos en cada parntesis: = 2 + 2 + Se buscan dos cantidades que multiplicadas den 28 y que sumadas den 11. Se trata de 7 y 4. Entonces, anotamos esos nmeros en los espacios en blanco y queda lista la factorizacin: = 2 + 7 2 + 4 Factorizar: 6 2 + 5 4 Multiplicamos y dividimos el trinomio por 6, que es el coeficiente principal: = 6 En el numerador, distribuimos el 6 cuidando de dejar el producto indicado en el segundo trmino (el 6 se adhiere a la variable y quedan dentro de un parntesis). Observe que el coeficiente original del segundo trmino (es decir 5) queda por fuera: = 6 Expresamos el primer trmino como el cuadrado de lo que qued en parntesis en el segundo trmino: = 6 Aplicamos el caso 5 (Trinomio de la forma x2n+bxn+c) en el numerador: Abrimos dos grupos de parntesis, repartimos 6 en cada uno de ellos, cuadramos los signos y buscamos dos cantidades que multiplicadas nos den 24 y que sumadas nos den 5. Se trata de 8 y 3. Entonces la factorizacin en el numerador queda as: = 6 Ahora aplicamos caso 1 (Factor comn) en los parntesis formados: = 6 Por ltimo simplificamos el 2 y el 3 del numerador con el 6 del denominador, y de esta manera llegamos a la factorizacin del trinomio propuesto: = 3 + 4 2 1
2 3+4 3 21 6+8 63 6
2 +5
- El trinomio debe estar organizado en forma descendente. - El coeficiente principal (es decir, del primer trmino) debe ser positivo y diferente de uno (a1). - El grado (exponente) del primer trmino debe ser el doble del grado (exponente) del segundo trmino.
- Debemos multiplicar y dividir el trinomio por el coeficiente principal, es decir, a. - En el numerador efectuamos la propiedad distributiva teniendo presente que en el segundo trmino el producto no se realiza sino que se deja expresado: la cantidad que entra y la variable quedan agrupadas dentro de un parntesis y el coeficiente original queda por fuera. - Se expresa el primer trmino como el cuadrado de lo que qued en parntesis en el segundo trmino. - Aplicamos caso 5 (Trinomio de la forma x2n+bxn+c) en el numerador. - Aplicamos caso 1 (Factor comn) en los parntesis formados. - Finalmente, simplificamos la fraccin (para eliminar el denominador).
6 6 2 +54
36 2 +5 6 24
6 24
- Se aplica solamente en binomios, donde el primer trmino es positivo (el segundo trmino puede ser positivo o negativo). - Se reconoce porque los coeficientes de los trminos son nmeros cubos perfectos (es decir nmeros que tienen raz cbica exacta, como 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, etc.) y los exponentes de las letras son mltiplos de tres (3, 6, 9, 12, 15p, 18c, etc.).
- Se extrae la raz cbica de cada trmino: Al coeficiente se le extrae la raz cbica normalmente (por ejemplo: 3 8 = 2) y a las letras, su exponente se divide entre 3 (por 3 3 3 ejemplo: 6 = 2 ; 9 = 3 ; 3 = ). Esto se justifica por la propiedad de la radicacin: = . - Se abren dos grupos de parntesis (conectados entre s por multiplicacin). - En el primer parntesis (llamado FACTOR CORTO) se construye un binomio con las races cbicas que ya se obtuvieron. En el segundo parntesis (llamado FACTOR LARGO) se construye un trinomio con los trminos que se anotaron en el factor corto, en el siguiente orden: el primero al cuadrado, luego el primero por el segundo y, por ltimo el segundo al cuadrado. - Por ltimo definimos los signos, de la siguiente manera: Si se trata de una suma de cubos, en el factor corto va signo positivo y en el factor largo van signos intercalados iniciando con positivo. Si tenemos una diferencia de cubos, en el factor corto va signo negativo y en el factor largo van signos positivos. - Los siguientes son los modelos que resumen lo anterior: Suma de Cubos: 3 + 3 = + 2 + 2 Diferencia de Cubos: 3 3 = 2 + + 2 IMPORTANTE: En algunas ocasiones el factor corto puede volverse a factorizar (debe revisarse). El factor largo no es necesario inspeccionarlo ya que no permite ser factorizado.
Factorizar: 27 3 + 125 9 Como puede observarse, es un binomio que rene las caractersticas de una suma de cubos perfectos. Entonces, extraemos la raz cbica de cada trmino: 3 3 27 3 = 3 ; 125 9 = 5 3 . Ahora procedemos a armar el factor corto y el factor largo, siguiendo las instrucciones que se dieron: = 3 + 5 3 3 2 3 5 3 + 5 3 2 Desarrollamos las operaciones pendientes en el factor largo: = 3 + 5 3 9 2 15 3 + 25 6 Factorizar: 6415 343 6 Como puede observarse, es un binomio que rene las caractersticas de una diferencia de cubos perfectos. Entonces, extraemos la raz cbica de cada 3 3 trmino: 6415 = 45 ; 343 6 = 7 2 . Ahora procedemos a armar el factor corto y el factor largo, siguiendo las instrucciones que se dieron: = 45 7 2 45 2 + 45 7 2 + 7 2 2 Desarrollamos las operaciones pendientes en el factor largo: = 45 7 2 1610 + 28 5 2 + 49 4