MAT1 CCSS EVA2 Boletín de Funciones, Límites, Continuidad Solucionario
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MAT1 CCSS EVA2 Boletín de Funciones, Límites, Continuidad Solucionario
Colegio Santa María del Mar. Jesuitas, A Coruña. Matemáticas I CCSS BACH. DPTO: MAT
x −1 2x − 3
x + 11
f ( x ) = log ( x 2 + 1) h) f (x) = x −
1− x
e) f (x) = f) f ( x ) = ln (1− x ) g)
(x − 1)(x − 3) x2
1 2
3 x +1 x+2
a) f ( x ) = 3x 2 + x – 2 b) f (x) = c) f (x) = d) f (x) =
x −1
2
x −1 x−3
2 x +1
e) f (x) = f) g(x) = g) h(x) = x 2 −1 h) f (x) = x ( x − 2 )
x −42
x
⎧ x −1
x2 − 1 ⎪ x≤0
f ( x ) = log ( x − 1)
si
i) f (x) = 3 k) f (x) = ⎨ x − 5
4
j)
x −x
⎪ 2x si x>7
x 2 −1 x2 − 3
a) lim
x→∞ x 2 +1
b) lim
x→∞
( x−2 − x ) c) lim
x −1
x→1
x 2 −1 x 2 − 25 x 3 − 2x + 1
d) lim e) lim f) lim
1
x− 3 x 3 −6x 2 + 3x +10 ⎛ x + 2 ⎞ x−1
−3x 5 + 3x 2 − 2x x+2 −2
j) lim (x 4 −5x 3 − 2)
x→∞
k) lim
x→∞ x + x2 + x4
l) lim
x→2 x −1 −1 Difícil
x ⎛ 2 x−3 ⎞
m) lim n) lim (−x 5 + 3x 2 −1) o) lim ⎜ − 2 ⎟
( )
x 2 −1
⎛ x + 2⎞ x 4 + 5x 3 + 4x 2
x 2 +1
x+1
⎛ 2x + 3 ⎞ ⎛ x2 − 1 ⎞ 2x
x+1
⎛ 4 + 2x ⎞
a) lim ⎜ ⎟ b) lim ⎜ ⎟ c) lim ⎜
x→−∞ ⎝ 1+ x ⎠ x→∞ ⎝ 3x + 1 ⎠ x→∞ ⎝ 2 + x 2 ⎟
⎠
2 x2 1 −1
1 de 3
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x2 + 1 x2 x
y= y= y=
a)
x2 − 4
b)
2x + 4
c)
x − 1 Calcula eldominio
x 1
d) f (x) = e) f (x) = 2 f) y = 25 − x 2
2
x −3 x +1
⎧ x/2 si −4 ≤ x ≤ 0
⎪
⎪ x2 si 0 < x < 2 Represéntala, calculando el dominio y el
⎪ x+6 si 2≤x≤4
⎪⎩ 2
⎧ 1
⎪ si x <1
8. Sea la función f (x) = ⎨ x − 1 si 1 < x < 3 cortes con los ejes. Halla después el recorrido.
⎪ 1 si x=3
⎪ 2
⎪⎩ x − 7 si x>3
9. Estudia el dominio, recorrido, puntos de corte con los ejes y correspondencia inversa (recíproca) de
las siguientes funciones:
x +1 2 2x + 1
a) y = 3x – 2 b) y= c) y= d) y=
2 x −1 x−5
x2 x −2
e) y= x f) y = x3 g) y = 2 h) y =
x −1 x
⎪⎧ −x + 2 si x < 0 b
a) f (x) = ⎨
⎪⎩ x + 2 si x ≥ 0
b) ¿Es simétrica?
c) ¿Cuánto vale ?
, , ,
2 de 3
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12. Estudia para las siguientes funciones el dominio, recorrido, puntos de discontinuidad, asíntotas
horizontales y verticales, y la simetría:
⎧ −x si x<0 ⎧ x − 1 si x ≤1
⎪ 2 ⎪
⎪ 1 si x >1 ⎪ 2x − 2 si x>4
⎩ ⎩
⎧ −x 2 + 2 x<0 ⎧ x + 3 si
si x < −2
⎪ ⎪⎪
⎪ x +1 si 0 < x < 3 1
⎪ 0 si 3 < x ≤ 5 ⎪ x −1
⎪⎩ x + 1 si x>5 ⎪⎩ 0 si x>3
⎪ x + 2x si −2 ≤ x ≤ 1 Representa y decide si la
13. Dada la función f (x) = ⎨
⎪⎩ x / 3 si x>3
la continuidad de la función.
⎧ x 2 + 2x si
⎪ 1
15. Dada la función f (x) = ⎨ si 0 < x < 1 recorrido de
⎪ x
Indica si es continua o no. Indica las condiciones
⎪⎩ log x si x ≥1
de continuidad que no se cumplen en cada punto.
16. Dibuja una función f (x) que cumpla estrictamente las condiciones del enunciado:
17. Representa, en cada apartado, una función que cumpla las condiciones:
x→∞
lim i(x) = −2
x→−∞
3 de 3
a
feo Estudiamos lospuntoscríticosqueanulaneldenominador
Y 2 1 0 2 1 raízdoble D R E s
t 1
4 6 0 s É
D IR f 3,2 O O
l o 3 U 2 10 sí sí No sí sí
flxl.PL 3 Laraízcúbicasepuedecalcularentodo IR D IR
2k
d f x flo si x D IR o
e fix
jx.tw
D C 11 ao 11,33 o 11
IR l 1,3
f
flxt lnl1 xl.tw si1 xs0 t1rX7Xd1 D IR 1 a l o 1
g foi
log x2111 FlN si Kiko pero x't110siempre D IR
h fui
x FlN si x2 o
1 21 0 D IR 01
Otroejemplo
foi logx2 1
1 1
Puntos críticos
f 1 0
o o
Dfw IR C 1,1
go if f lo HallaDlfo g
forro f
Éa Í
Para
queelpunto a EDHo8 I a ED g
gta
c Dl8
gea
8 2 O X 4 Noestáeneldominiode
fog
Calculamoseldominiode y i puntocríticocuando 3 O 3
jo g 3 fl
8131J noexiste porque gt3 noexiste
a 8 1 O
Ir Ia 1 10
b lim
x a TÉ hima
A
MÑN fijo F VI o
Es L indeterminación kg k 01
Podríamos
d fig o
e 5 si no
z s
lofactorizamos
x2 25 x IS
factorizamos
o
1 limXx Al xN Al d
8 4y
x x
lim
x 1 x 1 X 1
1 o 2 1
ÉL 1 xs 1
3 2 1 1 111 4 11
ei vx.rs vi Fs Y
E
8
0
T.ir s
xIyjr rsjxIsrFrs ztrs
1
wqqkrksx
X 4X
i
µ
fiqXIX 2XY.fi
x 2
factorizamos
Es 4 x x2 4 X X 2 X 12
1 6 3 10
x 6 2 3 10 4 2142 4 51
la p
1
iq resto 213 x 1
µ e
4 Fin E it é re
Ey l el e ire
1
r 4
as so as 1
y porlotanto
Sepuede razonar previamente que crecemás rápidoque tiende a a
3
3xs 34 3 2
K fjnz 3fiy.no
Xxxix Fix 4
_z
T as
Sacofactorcomún as T Tu
ao
X ysimplifico
Como el límite es en el infinito ao notienelímiteslaterales
Difícil
2 4
e
lim 2
1 av 1 VER 1
FILÉ ei
Ia vez ia F
Ex
a
t.name zm
2xT 1
xT 1
m
fija 112
a INDkg Tengoqueestudiar loslímiteslaterales
3,9 4,1
µ
Iii a
n XS 13 2 1 l co too 1 o
1
5. Calcula los siguientes límites en los puntos que se indican:
4 He
ti Es sin
fío
a
11 him
b fijo 3 1 fijo f 9o KI osio.ru
o
1 i
ix no
22
arte EH.is als
1 aI
µ Ei.f
f b 3 1 3 4 5
s 2 2
ftp.fqqyf
s
extras p
lim lima l I
3 4 x 3 2 19 20
Métododirecto
2 2
3 1 L
at e e iefo jsre
4 _y 3 4
L limas
Xd 103 4 3 2 19 20 3
e
fije 2 13 4 13 a 2 Si Kat
0
fija 2 13 4 13 0 Ellímitenoexiste
1 indeterminación
kg1k 01 en elexponente
f 4 Esa
Lim ao y
x
hin
xo 2
El límitenoexiste
6. Calcula las asíntotas de las siguientes funciones:
X211
a y i tienepuntoscríticos en 4 0 2
2 1 xa 1
Asíntotasverticales ftp.z q a
fija ao
x2 1 x2 1
II ix o
ftp.y x
Temeasíntotaen 2 Tieneasíntotaen 2
2 1
Asíntotashorizontales
fijo 1 ftp.aox2 1 1
Tieneasíntotahorizontal en y p
Asíntotaoblicua Larectanohorizontal yimx n.sn 0 esunaasíntotaoblicuadela
función
fcxlsiifjzaolfw
lmx.IN1 0
Paracalcularlosparámetros
m fi fYfn fjm lflxI mx
lim x2 1 limo xa 1 O
xo a 4 4y
luegonohayasíntotaoblicua
b y i tienepuntoscríticos en 2 4 0 x z
á zii
En
sn ur x
ftp y porqueeldiscriminante de 0
y p tieneasíntota
fin 7 f verticalen X 1
a x eso
Asíntotashorizontales Yo f a
y 1
fin ft porque KO
asíntotas horizontales
1
Y8
Asíntotaoblicua me him
4 a O asíntotasoblicuas
d y x2 z D IR B Ps3
Asíntotahorizontal O 0 Y O
4 4
Asíntotaoblicua f O Nohay
m
4 4 µ
f y µ
Sólotomamoselvalorpositivoporque en unafunción
Unafunciónesunarelaciónqueasigna a cadaelemento deunconjunto X unúnicoelemento
ydeunconjunto Y
Veamoseldominio
y si es de 0 2 s s x2
sox xs s
2soluciones
5
D C 5,51
Nohaylímitesenelinfinito luegonohayasíntotasdeningúntipo
7 y 8. Estudia el dominio, recorrido y los límites en las siguientes funciones:
f El4,5
si 25 54 f ftp 2 4 fl41
1 S
2
flo 0 814 4
Coincideconellímite Coincideconellímite
continuaen
fescontinuaen jes
mi km
a
µ
luegonohayasíntotasoblicuas
n mafflxl.mx x 16
1 2
Pasaríalomismoconeltercertramo
En elcasodeestafunción no esnecesario
porqueestá
acotadaentre C4,41 demanera
quenuncatiende alinfinito xk
Ei
si xq
f
si
fin siquieraestádefinidaen esepunto luego
1 si 3
2
7 si x 3 Ft9
1
Ft X I yx2 7
111
1 1 3
Veamosel recorrido Dom f IR f 1,1
si xp f
fig O y O no formapartede la imagen asíntotahorizontal
Jm IR lo dentrodelintervalo esdecir ftx cl ao.NU 0,1
En elrestodeintervalos setratade funcionespolinómicas
si text 3 FlN X l f111 0 f131 2 noincluidos f x E 0,2
si f131 1
3 f E 1
si xd3 FUI Í t f131 9 7 2 noincluido f El 2 a
l o 0 U 0 a IR o
48 fiero 1 2
µ
Ey
48 x s o fin 8 x t a
1 x2 7
fl 1 Noestádefinido pts1 1 No conellímite
coincide
1 3
f noescontinuaen f
Luego noescontinuaen
Discontinuidaddesaltofinito Esunadiscontinuidadevitable I
x s
l IR l 1 1,3
fijo 7 ao Nohayhorizontal
m 4 4 Nohay
9. Estudia el dominio, recorrido, puntos de corte con los ejes y correspondencia inversa (recíproca) de las
siguientes funciones:
a y 3 2 D IR Im IR
Puntosdearte si 2 Plo 2 CortaelejeOF
0 y 30 2
Si 4 0 0 3 2 P o cortaeleje07
Recíproca y 3 2 f x
f x 3y 2 3g x 12 y f x
comprobación f of x X
f f x 3.1 2 X 12 2 X qe d
c
y i Puntocrítico en 1 D IR 14
Jun IR 04
fifi as s
4 ao 1 noformapartedeldominio
asíntotavertical
Puntosdecorte si 0
y 2 Plo 2 cortaeleje
Si y o Nohaypuntode cortecon el ejeOF
Recíproca y y x y 11 2
2 2
y 1
y 1 f 4
2
comprobación fl f x 2 27 X
d Y i Puntocrítico en 5 D IR 54
Im IR 04
Puntosdearte si CortaelejeOF
0 y Plo
si y 0 o Pl E 0 cortaeleje07
x s
Recíproca
y fix
f4 1 2j yX Sx 24 1 y X 21 1 5X
y HI2 f x
Comprobación
f of x x
cinco ÍÍ s
xq.ee
e Y VI 170 70 Eldominio D 0 a
El recorrido o imagen Im Vo Fo 0 a
Sólotomamoselvalorpositivoporqueen unafunción
Unafunciónesunarelaciónqueasigna a cadaelemento deun conjunto X unúnicoelemento
ydeun conjunto Y
Puntosdecorte si 0 y O y viceversai P10,01
Recíproca y A f Ix
Ty y f x
comprobación If of 1 4 X
f f x X qe d
Discontinuidad
desaetofinito
x12
2 Fe
1270
ao 2 o XI z
d ra
Dominio D IR
l Xt 2
fijo FlN fijo 2
Discontinuidad desaltofinito
Fe 4f
fijo feo hijo
Lafunción f lol VE No es continua en 0
Luego l IR o
Además limflxl
2 fjuz.VE VI 2 daríalomismo
porladerecha
4 f x lim l Xt 2
ao
Ca 2 ao
10. Dadas las siguientes funciones averigua los límites que se indican:
b
fjmaoflxlifjgflxlifijyflxls.fjy.tw _No hayasíntota
vertical
fjma.HN o Nohay asíntota
ahffntfae Asíntotahorizontal
fjyaoflxl oy.co en
Jio y
fig 807
finitud flote
fijyf.CH 1 D l o 1 1 a
Im C 1,0 UU a
ftp.flxl
11. Sea f(x) la función cuya gráfica es la siguiente:
Asíntotavertical
en 3 NO
Asíntota
oblicua
la propia
recta
y
flote 2 him FUI 3
xa s
pl 3 3
un palo 2
1
Xd 3
D IR 31 ftp.flxl to Discontinuidad de saltofinito
D IR 0,3
l IR 10,3s D IR 2,1
IR 41,33
si co X2 1
a
rw.li Y
ftp.fcxl fjy.l xl O o
7f mo x2 a
o Iffy 141 0
ftp 80 fij.X 12 1
7 1 1 8111 Escontinua
II 80 1 1 1 14
FlN 12 1
El dominio D IR o
La continuidad IR o
si xf 1
b 8W si te y4 kt
2 2 si xd 4 1 4
ftp.fcxl fijg.X 1 1 1 0
4 1 de
Discontinuidad
ftp.ifcxl xhjg.rx M 1 saltofinito
FUI O se
fija 8 ftp.vx
4 VT 2
H o rz 6t xhIifW.DsisaaEtifijdjdde
Fiero.fi
8141 54 L
El dominio D IR
La continuidad IR 1,4
x2 12 si NO
VI si axes Ita Ft 0 x 11
r
Es
ftp.fw fijj K 12 02 2 2
8 1 de
Discontinuidad
finito y p saltofinito
flo Noestádefinida
fbl Noestádefinida
figs 80 14 0 0
figS 80 fins1 x 11 5 1 6 fiyfw
5
Discontinuidadde
saltofinito
1.7f Es ftp.flxl
Noestádefinida tenemosunadiscontinuidaddesaltofinito
q
fig 80 14 Í
fin fly Discontinuidadde
fig3 FUI lim
est O
O 3 saltofinito
GO
fig 80 14 o
Asíntotas
3 eI intervalo 0 si 3
O 0 y 0 es la propiaasíntotahorizontal noseconsideraasíntota
1
m En O Nohayoblicua