Experiencia Laboral
Experiencia Laboral
Experiencia Laboral
1. Definición:
Para iniciar el estudio de una nueva disciplina debemos saber sobre
que trata y cuál es su aplicación mediante una definición, pero dar
una definición de I.O. es bastante compleja, debido al lugar y al
tiempo ha cambiando; para la ORSA
( The Operations Research Society of America ) "La I.O. concierne con
la decisión científica de como diseñar y operar el mejor sistema
hombre-máquina, usualmente bajo condiciones de asignar
óptimamente los recursos".
a) Observar la realidad
b) Definir el problema (alcances, límites, restricciones, objetivos).
c) Construcción o formulación del modelo (la realidad se expresa
en forma matemática)
d) Recojo de datos.
e) Solución del modelo (se utilizan diferentes algoritmos).
f) Validación del modelo (valores posibles para dar un resultado
esperado)
g) Interpretar resultados..
PROBLEMA
OBSERVAR
MODELO
RECOJO
DE
INTERPRETAR DATOS
RESULTADOS
SOLUCION
VALIDACION
Debemos ser claros que los avance de los modelos matemáticos de la Investigación de
operaciones se han basado en estudios hechos de Cálculo Diferencial e Integral (Newton,
Lagrange, Laplace, Lebesgue, Leibnitz, Reimman, Stieltjes, por mencionar algunos), la
Probabilidad y la Estadística
( Bernulli, Poisson, Gauss, Bayes, Gosset, Snedecor, etc.).
* Año en que se dio inicio a la programación y con el uso de las computadoras se empezó
a extender la Investigación de Operaciones.
El tiempo va avanzando y para 1963, se habían clasificado las aplicaciones en I.O., en
problemas estructurales, de 8 formas básicas:
1. Asignación.
2. Inventario.
3. Reemplazo.
4. Líneas de espera.
5. Secuenciación y coordinación.
6. Trayectorias.
7. Competencia.
8. Búsqueda.
9
SESION I
Finalmente las restricciones deben tener las mismas unidades en tanto en su lado
izquierdo como derecho.
La no negatividad de algunas variables son muy importante para definir la solución de
algunos modelos, por lo tanto se dice que todas las variables son >=0.
9
Programación Lineal
Formulación
9
En esta parte debemos considerar algo muy importante, hay una variedad de
aplicaciones de modelos lineales, en las siguientes paginas vamos a tratar de considerar
la mayor variedad de modelos lineales y sobre todo de mas aplicación al inicio del
aprendizaje de formulación de modelos lineales.
Solución:
En primer lugar ordenamos la información en la siguiente tabla
7 2 300
Departamento A (Días-
operario)
3 3 270
Departamento B (Días-
operario)
6000 2000
Beneficios ($)
Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos,
tenemos que x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 .
Solución:
Como el producto se elabora a base de magno y durazno, esto permite hacer
uso de la variable con un solo sub-indice.
1. Definición de las variables de decisión:
x i : Cantidad de botellas de i =1,2 (yogurt y jugo respectivamente) a producir.
tenemos que x1 , x2 ≥ 0 .
Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos,
Solución:
1. Definición de las variables de decisión:
x i : Número de libras de i =1, 2 , 3 , 4 (maíz, soya, avena y alfalfa respectivamente)
a comprar.
20 x1 + 50 x2 + 8 x3 + 25 x4 ≤ 120 .
Restricción de calorías.
850 x1 +1500 x2 +1200 x3 + 4000 x4 ≥ 5000 .
9
Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos,
tenemos que x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 .
Problema 5.-(Producción)
Ginno Pizza fabrica pizzas congeladas. La compañía obtiene una utilidad de $2.00 por
cada pizza normal que fabrica y $3.00 por cada pizza de lujo. Cada artículo incluye una
combinación de mezcla de masa y de mezcla de aderezo. En estos momentos, la
empresa tiene 320 libras de masa y 200 libras de aderezo. Cada pizza normal utiliza una
libra de masa y 6 libras de aderezo. Cada pizza de lujo utiliza una libra de masa y 8 libras
de aderezo.
Ginno sabe por datos pasados que por cada dos pizzas normal debe fabricar una pizza de
lujo además debe tener por política de la empresa por lo menos 20 pizzas normales. Una
pizza normal demora 20 minutos y una pizza de lujo demora 30 minutos, actualmente se
tiene 8 trabajadores a tiempo normal, Ginno Pizza desea saber ¿cuál es la combinación
de pizzas que debe fabricar para
obtener un mayor beneficio ? * Tiempo normal= (8h/día)/trabajador
Solución:
Pizza Pizza de Disponible
Normal lujo
Masa 1 lb/pizza 1 lb/pizza 320 lb
Aderezo 6 lb/pizza 8 lb/pizza 200 lb
Proporció 2 1
n de
producció
n
Política 20
de la
empresa
Tiempo 20 30 (8trabajadores)
minutos/pi minutos/pi *(8h/trabajadore
zza zza s)(60
minutos/hora)
Precio $2/pizza $3/pizza
de venta
Función Objetivo :
Max ($2.00/pizza normal)(X1 pizza normal) + ($3.00/pizza de lujo)(X2 pizza de lujo)
sujeto a:
Restricción de Tiempo:
9
(20 minutos/pizza normal) +(30 minutos/pizza de lujo) <=8trabajadores(8h/trabajador)
(60 minutos/h)
Problema 6.-(PERSONAL)
Un cierto restaurante opera 7 días a la semana. A las camareras se les contrata
para trabajar 6 horas diarias. El contrato del sindicato especifica que cada
camarera tiene que trabajar 5 días consecutivos y después tener 2 días
consecutivos de descanso . Cada camarera recibe el mismo sueldo semanal. En
la tabla se presentan las necesidades de contratación. Supóngase que este ciclo
de necesidades se repite en forma indefinida y no toma en cuenta el hecho de
que el número de camareras contratadas tiene que ser un número entero. El
gerente desea encontrar un programa de empleo que satisfaga estas
necesidades a un costo mínimo. Formule este problema como un programa
lineal.
Necesidades de contratación de camareras
Lunes 150
Martes 200
Miércole 400
s
Jueves 300
Viernes 700
Sábado 800
Domingo 300
Solución:
Variable de decisión:
Xi= Camareras que ingresan el día i ( i = lunes, martes, miércoles, jueves, sábado,
domingo = l, m, mi, j, v, s, d).
Función Objetivo:
Minimizar = XL+XM+XMI+XJ+XV+XS+XD
Restricciones:
Lunes :
Martes :
Miércoles:
9
Jueves:
Viernes:
Sábado :
Domingo:
No negatividad:
Xi>=0
Min=4x11+5x12+7x13+5x21+3x22+6x23+6x31+7x32+5x33
Sujeto a:
Obrero 1: x11+x12+x13=1
Obrero 2:x21+x22+x23=1
Obrero 3: x31+x32+x33=1
Maquina 1: x11+x21+x31=1
Maquina 2: x21+x22+x32=1
Maquina 3: x31+x32+x33=1
No negatividad:
Xij>=0
Mercado: Disponible
Local Regional Extranjero Disponible
Danper $22/ud $24/ud $22/ud 6896 kg / día
Talsa $ 19/ud $22/ud $20/ud 6495 kg / día
Green $20/ud $21/ud $22/ud 6173 kg / día
Peru
Demanda 4911 kg/dia 6763 kg/dia 6789 kg/dia
9
Variable de decisión:
Xij= Cantidad de docenas a enviar desde i(i= Danper, Talsa, Green Perú =1,2,3) al cliente
j(j=local,regional,extranjero=1,2,3)
Función Objetivo:
Max=22x11+24x12+22x13+19x21+22x22+20x23+20x31+21x32+22x33
Limitantes
Danper
X11+x12+x13<=6896
Talsa
X21+x22+x23<=6495
Green Perú
X31+x32+x33<=6173
Local
X11+x21+x31=4911
Regional
X12+x22+x32=6763
Extranjero
X13+x23+x33=6789
No negatividad
Xij>=0
Problema 9.-(Producción)
Una empresa ha decidido lanzar tres nuevos productos. Se muestran las capacidades de
las plantas y los costos de producción. Identifique las variables de decisión y elabore un
modelo PL que asigne la producción de los tres productos a las dos plantas en forma tal
que cubran la demanda y minimicen los costos .
Costos unitarios de producción
PRODUCTO
PLANTA A B C CAPACIDAD
1 $9/UNID $18 $12 500
2 13 18 7 650
DEMANDA 400 250 350
Solución:
Variable de decisión:
xij= numero de productos tipo i (i= a,b,c) elaborado en la planta j(j=1,2)
Funcion Objetivo:
Minimizar ($9/unid)(xa1 unid) + ($18/unid)(xb1 unid) + ($12/unid)(xc1 unid)
+ ($13/unid)(xa2 unid) + ($18/unid)(xb2 unid) + ($7/unid)(xc2 unid)
Restricciones:
Capacidad:
Planta 1
(xa1 + xb1 + xc1) unid <= 500 unid
Planta 2
(xa2 + xb2 + xc2) unid <= 650 unid
Demanda:
Producto A:
(xa1 + xa2) unid = 400 unid
Producto B:
(xb1 + xb2) unid = 250 unid
Producto C:
9
(xc1 + xc2) unid = 350 unid
No negatividad
Xij>=0
LABORATORIO 1.
Producto
(h/unidad
)
1 2
Dpto. 1 1 2
Dpto. 2 1 3
Dpto. 3 2 3
Problema 2.-
9
En la empresa agroindustrial San Jacinto, se produce: azúcar rubia, azúcar blanca y
alcohol. Para producir dichos elementos, se requieren los siguientes recursos: caña de
azúcar, agua, químicos, horno y mano de obra.
Recursos Az. Blanca Az. Rubia Alcohol Disponible Costo
Caña Az. 12 tn/ unid 10 tn/ unid 5 tn/ unid 800 tn/ día 1.0 $/ tn
Agua 30 lt/ unid 25 lt/ unid 15 lt/ unid 1000 lt/ día 0.2 $/ lt
Químicos 5 kg/ unid 2 kg/ unid 7 kg/ unid 500 kg/ día 0.5 $/ kg
Horno 6 hr/ unid 5 hr/ unid 8 hr/ unid 140 hr/ día 0.6 $/ hr
Mano Obra 6 hr/ unid 4 hr/ unid 3 hr/ unid 400 hr/ día 0.4 $/ hr
Precio 60 $/ unid 50 $/ unid 55 $/ unid
venta
(trabajar como el problema 2)
Problema 3.-
Considere le problema 3 con las condiciones adicionales (* ) :
Easy Out Candy Slugger Candy Disponibl
e
Azúcar * Como máximo * Como minimo 100 onzas
15% 5%
Nueces Por lo menos 20% Por lo menos 10% 20 onzas
Chocolate * Por lo menos 5% Por lo menos 10% 30 onzas
Precio de $0,25 $0.20
Venta
Mercado: Disponible
Local Regional Extranjero Disponible
Danper $22/ud $24/ud $22/ud 3000 kg / día
Talsa $ 19/ud $22/ud $20/ud 3200 kg / día
Green $20/ud $21/ud $22/ud 3300 kg / día
Peru
Demanda 5000 kg/dia 4000 kg/dia 5000 kg/dia
Problema 9.-
Una empresa ha decidido lanzar tres nuevos productos. Se muestran las capacidades de
las plantas y las ganancias de producción. Identifique las variables de decisión y elabore
un modelo PL que asigne la producción de los tres productos a las dos plantas en forma
tal que cubran la demanda .
ganancia unitaria de producción
PRODUCTO
PLANTA A B C CAPACIDAD
1 $9/UNID $18 $12 400
2 13 18 7 350
DEMANDA 200 450 300
9
NIVEL B
PROBLEMA 1 INVERSIÓN
Una persona tiene S/500.000 para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene
bastante riesgo con un interés anual del 10% y el tipo B es bastante seguro con un
interés anual del 7%. Decide invertir como máximo S/300000 en A y como mínimo
S/100000 en B, e invertir en A por lo menos tanto como en B. ¿Cómo deberá invertir sus
S/500.000 para maximizar sus intereses anuales?
Solución:
($)
9
tenemos que x A ≥ 0 , x B ≥ 0 .
PROBLEMA 2 ENCUESTA
Para realizar una encuesta por teléfono, un grupo de investigación de mercado necesita
comunicar por lo menos a 150 esposas, 120 maridos, 100 varones adultos solteros y 110
mujeres adultas solteras. Cuesta $2 realizar una llamada telefónica durante el día, y $5
realizar una llamada telefónica durante la noche (debido a mayores costos laborales).
Estos resultados se muestran en la tabla. Se pueden realizar a lo más la mitad de estas
llamadas en la noche, por disponer de un número limitado de empleados. Formule un PL
que minimice los costos para completar la encuesta.
Solución:
1. Definición de las variables de decisión:
x i : Número de llamadas realizadas en horario i =1, 2 (diurno y noche
respectivamente).
x +x
x2 ≤ 1 2 .
2
Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos,
tenemos que x1 , x2 ≥ 0 .
PROBLEMA 3 COMPRA
Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostino, 5 cajas de nécoras y 20
de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus
necesidades, pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A
envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de percebes. Por su
parte, B envía en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que
9
suministra A cuesta S/210, mientras que los del mayorista B cuestan S/300 cada uno.
¿Cuántos contenedores deben pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer
sus necesidades mínimas con el menor coste posible?
Solución:
En primer lugar ordenamos la información en la siguiente tabla
Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos,
tenemos que x1 , x2 ≥ 0 .
9
Problema 4 Inventarios
Semana 1 3 5 7 9
Semana 2 4 5 6 7
Semana 3 5 6 7 8
Semana 4 10 12 14 16
Según los datos obtenidos, un modelo de programación entera mixta aplicado a
inventarios nos ayuda a determinar como va a estar desempeñándose óptimamente el
sistema en las próximas cuatro semanas.El objetivo es maximizar la utilidad.
Modelo PL
Variables:
Vi= Numero de unidades vendidas durante la semana i (i=1,2,3,4)
Ei= Numero de unidades en escasez durante la semana i (i=1,2,3,4)
IFi= Numero de unidades en inventario durante la semana i(i=1,2,3,4)
Ci= Numero de unidades compradas durante la semana i(i=1,2,3,4)
Yij= 1 Unidades en inventario final en la semana i(i=1,2,3,4) en la opción
j(j=1,2,3,4)
0 Unidades en inventario final en la semana i(i=1,2,3,4) en la opción
j(j=1,2,3,4)
Zi = 1 Se usa inventario en la semana i(i=1,2,3,4)
0 no se usa inventario
Formulas a usar:
Inventario Final: If = Io + C - V
Demanda : D=V+E
Función Objetivo:
9
Max = 20v1+20v2+20v3+20v4-6E1-6E2-6E3-6E4-0.5IF1-0.50IF2-0.50IF3-0.50IF4
-14C1-14C2-14C3-14C4-1z1-1z2-1z3-1z4
Limitantes:
Inventario semana 1
IF1=10+C1-V1
Demanda pronosticada semana 1
V1+E1=40
Inventario semana 2
IF2=If1+C2-V2
Demanda pronosticada semana 2
V2+E2=40
Inventario semana 3
IF3= If2+C3-V3
Demanda pronosticada semana 3
V3+E3=40
Inventario semana 4
IF4= If3+C4-V4
Demanda pronosticada semana 4
V4+E4=40
Inventario Final al final de la semana 1
IF1>=3y11+5y12+7y13+9y14
Y11+y12+y13+y14=1z1
Inventario Final al final de la semana 2
IF2>=4y21+5y22+6y23+7y24
Y21+y22+y23+y24=1z2
Inventario Final al final de la semana 3
IF3>=5y31+6y32+7y33+8y34
Y31+y32+y33+y34=1z3
Inventario Final al final de la semana 4
IF4>=10y41+12y42+14y43+16y44
Y41+y42+y43+y44=1z4
Unidades a Comprar en la semana 1
c1<=30
Unidades a Comprar en la semana 2
c2<=60
Unidades a Comprar en la semana 3
c3<=40
Unidades a Comprar en la semana 4
c4<=50
Unidades en inventario final en la semana 1
if1>=5
Unidades en inventario final en la semana 2
if2>=5
Unidades en inventario final en la semana 3
if3>=5
Unidades en inventario final en la semana 4
if4>=5
9
Max 20v1+20v2+20v3+20v4-6E1-6E2-6E3-6E4-0.5IF1-0.50IF2-0.50IF3-0.50IF4
-14C1-14C2-14C3-14C4-1z1-1z2-1z3-1z4
ST
IF1+V1-C1=10
V1+E1=40
IF2+V2-C2-IF1=0
V2+E2=40
IF3+V3-C3-IF2=0
V3+E3=40
IF4+V4-C4-IF3=0
V4+E4=40
10y11+15y12+17y13+19y14-if1=0
Y11+y12+y13+y14-1z1=0
14y21+15y22+16y23+17y24-if2=0
Y21+y22+y23+y24-1z2=0
15y31+16y32+17y33+18y34-if3=0
Y31+y32+y33+y34-1z3=0
10y41+12y42+14y43+16y44-if4=0
Y41+y42+y43+y44-1z4=0
c1<=30
c2<=60
c3<=40
c4<=50
if1>=5
if2>=5
if3>=5
if4>=5
end
int y11
int y12
int y13
int y14
int z1
int y21
int y22
int y23
int y24
int z2
int y31
int y32
int y33
int y34
int z3
int y41
int y42
int y43
int y44
int z4
9
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
Variable de decisión:
Xij= Numero de horas a laborar para la producción del componente i(i=1,2,3)en el
departamento j(j=1,2,3).
Función Objetivo:
Maximizar producción
Maximizar =P
Restricciones:
TRANSPORTE
9
Se tiene que distribuir un producto a 6 clientes utilizando cualesquiera de 5 camiones.
Los datos de costos de traslado de cada camión a cada cliente son:
Cliente Cliente Cliente Cliente Cliente E Cliente F Capacidad
A B C D (TN)
Camión 1 $15 $12 $17 $21 $16 $18 1.5
Camion 2 $17 $15 $16 $19 $18 $15 2
Camion 3 $21 $20 $14 $13 $17 $19 1
Camión 4 $18 $15 $17 $19 $15 $17 2
Camión 5 $20 $18 $16 $17 $14 $19 1.5
Demanda 0.2 0.5 0.8 1.5 0.9 1.2
(TN)
Existe un costo fijo de $50 para los camiones 1,2 y 4 y de $30 para camiones 3 y 5 por
cada viaje realizado. En cada viaje un camión puede llevar pedidos para varios clientes,
pero no puede llevar pedidos parciales. Formule un modelo de PLE si cada camión puede
visitar hasta tres clientes.
Variables:
Yij 1 Camión i(i=1,2,3,4,5) atiende al cliente j (j=a,b,c,d,e,f)
0 Camión i(i=1,2,3,4,5) no atiende al cliente j (j=a,b,c,d,e,f)
Min 15y1a+12y1b+17y1c+21y1d+16y1e+18y1f
+17y2a+15y2b+16y2c+19y2d+18y2e+15y2f
+21y3a+20y3b+14y3c+13y3d+17y3e+19y3f
+18y4a+15y4b+17y4c+19y4d+15y4e+17y4f
+20y5a+18y5b+16y5c+17y5d+14y5e+19y5f
+50y1+50y2+30y3+50y4+30y5
y1a+y2a+y3a+y4a+y5a=1
y1b+y2b+y3b+y4b+y5b=1
y1c+y2c+y3c+y4c+y5c=1
y1d+y2d+y3d+y4d+y5d=1
y1e+y2e+y3e+y4e+y5e=1
9
y1f+y2f+y3f+y4f+y5f=1
0.2y1a+0.5y1b+0.8y1c+1.5y1d+0.9y1e+1.2y1f<=1.5y1
0.2y2a+0.5y2b+0.8y2c+1.5y2d+0.9y2e+1.2y2f<=2y2
0.2y3a+0.5y3b+0.8y3c+1.5y3d+0.9y3e+1.2y3f<=1y3
0.2y4a+0.5y4b+0.8y4c+1.5y4d+0.9y4e+1.2y4f<=2y4
0.2y5a+0.5y5b+0.8y5c+1.5y5d+0.9y5e+1.2y5f<=1.5y5
LINDO
Min 15y1a+12y1b+17y1c+21y1d+16y1e+18y1f
+17y2a+15y2b+16y2c+19y2d+18y2e+15y2f
+21y3a+20y3b+14y3c+13y3d+17y3e+19y3f
+18y4a+15y4b+17y4c+19y4d+15y4e+17y4f
+20y5a+18y5b+16y5c+17y5d+14y5e+19y5f
+50y1+50y2+30y3+50y4+30y5
st
y1a+y2a+y3a+y4a+y5a=1
y1b+y2b+y3b+y4b+y5b=1
y1c+y2c+y3c+y4c+y5c=1
y1d+y2d+y3d+y4d+y5d=1
y1e+y2e+y3e+y4e+y5e=1
y1f+y2f+y3f+y4f+y5f=1
0.2y1a+0.5y1b+0.8y1c+1.5y1d+0.9y1e+1.2y1f-1.5y1<=0
0.2y2a+0.5y2b+0.8y2c+1.5y2d+0.9y2e+1.2y2f-2y2<=0
0.2y3a+0.5y3b+0.8y3c+1.5y3d+0.9y3e+1.2y3f-1y3<=0
0.2y4a+0.5y4b+0.8y4c+1.5y4d+0.9y4e+1.2y4f-2y4<=0
0.2y5a+0.5y5b+0.8y5c+1.5y5d+0.9y5e+1.2y5f-1.5y5<=0
end
int y1a
int y1b
int y1c
int y1d
int y1e
int y1f
int y2a
int y2b
int y2c
int y2d
int y2e
int y2f
int y3a
int y3b
int y3c
int y3d
int y3e
int y3f
int y4a
int y4b
int y4c
int y4d
int y4e
int y4f
int y5a
int y5b
int y5c
9
int y5d
int y5e
int y5f
int y1
int y2
int y3
int y4
int y5
SOLUCION
1) 226.0000
NO. ITERATIONS= 31
BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0
Respuesta
Costo minima 226.
Y2C = 1,camión 2 abastece al cliente C
Y2F =1, camión 2 abastece al cliente F.
Y4A =1,camión 4 abastece al cliente A.
Y4B = 1,camión 4 abastece al cliente B.
Y4E =1,camión 4 abastece al cliente E
Y5D = 1,camión 5 abastece al cliente D.
Y2 = 1,se usa camión 2.
Y4 =1,se usa camión 4.
Y5 =1,se usa camión 5.
b) Limitantes ( 1 puntos)
·M Co 2 3 4 2000000*0.5 2000
5
Paso 1
Paso 2
Y1+y2=1
X11+x12+x13<=2000000*0.55*y1
X21+x22+x23<=3000000*0.55*y2
X11+x21+x31=80000
X12+x22+x32=1000000
X13+x23+x33=1200000
Paso 3
9
Max 1.06(2x11+3x12+4x13+1.5x21+2.8x22+4.2x23)-2000y1-2300y2
-100x31-100x32-100x33
La empresa en estudio cuenta con una planta de producción que opera las 48 horas a la
semana. Esta planta tiene una capacidad de producción de 160,000 caja/mes.
El proceso de fabricación de estos productos se lleva a cabo en dos etapas (Áreas de
trabajo)
1. En el Dpto. de Elaboración se realiza la preparación de jarabes el mismo que cuenta
con 4 trabajadores permanentes.
2. En el Dpto. de Envasado se realiza trabajos inherentes al proceso de envasado y
presentación final del producto. Este Dpto. cuenta con 15 trabajadores. Las horas
requeridas en ambos departamentos para producir 1000 cajas de cada uno de los
productos mencionados en la tabla 1,se muestran en la tabla 2.
6.- Hipótesis
Un modelo de Programación lineal aplicado al plan de producción va a permitir a Coca
Cola obtener una máxima ganancia.
7.-Objetivo:
Elaborar un Plan de Producción basado en Modelos Lineales.
8.-Descripción del Trabajo:
Se va a elaborar un modelo lineal para hallar el mejor plan de producción:
9
Para lo cual se va a considerar como variable de decisión la cantidad de cajas de cada
tipo a producir.
La función objetivo a considerar ser al de maximización por tener utilidades.
Las restricciones a tomar en cuenta son:
Demanda máxima
Tiempo de producción semanal en el departamento de elaboración
Tiempo de producción semanal en el departamento de envasado
Capacidad de producción
9.-Planteamiento:
Modelo Lineal
Variable de Decisión:
xij= Cantidad de cajas a producir de gaseosa tipo j(j=COCA COLA de 2.65 lt,COCA COLA
de 1.75 lt,COCA COLA de 0.60 lt, COCA COLA de 0.296 lt=1,2,3,4) en la semana
j(j=1,2,3,4)
Función Objetivo:
max=(S/1.38/caja)(x11+x12+x13+x14)cajas
+(S/1.22/caja)(x21+x22+x23+x24)cajas+(S/1.02/caja)(x31+x32+x33+x34)cajas
+(S/1.05/caja)(x41+x42+x43+x44)cajas;
Restricciones:
Demanda Máxima de:
gaseosas COCA COLA de 2.65 Lt.
(x11+x12+x13+x14)cajas<=10552 cajas;
gaseosas COCA COLA de 1.75 Lt
(x21+x22+x23+x24)cajas<=40556cajas;
gaseosas COCA COLA de 0.60 Lt
(x31+x32+x33+x34)cajas<=56712cajas
gaseosas COCA COLA de 0.296 Lt
(x41+x42+x43+x44)cajas<=56880cajas
Tiempo de producción en el departamento de elaboración en la semana 1:
(2.65h/caja)(x11 caja)+(1.75 h/caja)(x21 caja)+(1.17 h/caja)(x31 caja)
+(1.07 h/caja)(x41 caja)<=48000 horas
Tiempo de producción en el departamento de elaboración en la semana 2:
(2.65 h/caja)(x12 caja)+(1.75 h/caja)(x22 caja)+(1.17 h/caja)(x32 caja)+(1.07 h/caja)(x42
caja)<=48000 horas
Tiempo de producción en el departamento de elaboración en la semana 3:
(2.65 h/caja)(x13 caja)+(1.75 h/caja)(x23 caja)+(1.17 h/caja)(x33 caja)
+(1.07 h/caja)(x43 caja)<=48000horas
9
Tiempo de producción en el departamento de elaboración en la semana 4:
(2.65 h/caja)(x14caja)+(1.75 h/caja)(x24 caja)+(1.17 h/caja)(x34 caja)
+(1.07 h/caja)(x44 caja)<=48000horas;
Tiempo de producción en el departamento de envasado en la semana 1:
(4.41 h/caja)(x11 caja)+(2.91 h/caja)(x21 caja)+(1.29 h/caja)(x31 caja)
+(1.78 h/caja)(x41 caja)<=48000horas;
Tiempo de producción en el departamento de envasado en la semana 2:
(4.41 h/caja)(x12 caja)+(2.91 h/caja)(x22 caja)+(1.29 h/caja)(x32 caja)
+(1.78 h/caja)(x42 caja)<=48000horas;
Tiempo de producción en el departamento de envasado en la semana 3:
(4.41 h/caja)(x 13 caja)+(2.91 h/caja)(x23 caja)+(1.29 h/caja)(x33 caja)
+(1.78 h/caja)(x43 caja)<=48000horas;
Tiempo de producción en el departamento de envasado en la semana 4:
(4.41 h/caja)(x14 caja)+(2.91 h/caja)(x24 caja)+(1.29 h/caja)(x34 caja)
+(1.78 h/caja)(x44 caja)<=48000horas;
Capacidad de producción:
(x11+x12+x13+x14+x21+x22+x23+x24+x31+x32+x33+x34
+ x41+x42+x43+x44) cajas<=160000 cajas;
No negatividad:
Xij>=0
Modelo :
max=1.38x11+1.38x12+1.38x13+1.38x14+1.22x21+1.22x22+1.22x23+
1.22x24+1.02x31+1.02x32+1.02x33+1.02x34+1.05x41+1.05x42+1.05x43
+1.05x44
x11+x12+x13+x14<=10552
x21+x22+x23+x24<=40556
x31+x32+x33+x34<=56712
x41+x42+x43+x44<=56880
2.65x11+1.75x21+1.17x31+1.07x41<=48000
2.65x12+1.75x22+1.17x32+1.07x42<=48000
2.65x13+1.75x23+1.17x33+1.07x43<=48000
2.65x14+1.75x24+1.17x34+1.07x44<=48000
4.41x11+2.91x21+1.29x31+1.78x41<=48000
4.41x12+2.91x22+1.29x32+1.78x42<=48000
4.41x13+2.91x23+1.29x33+1.78x43<=48000
4.41x14+2.91x24+1.29x34+1.78x44<=48000
9
x11+x12+x13+x14+x21+x22+x23+x24+x31+x32+x33+x34+
x41+x42+x43+x44<=160000
10.-Resultados:
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 124946.9
NO. ITERATIONS= 7
Plan de producción:
Ganancia: S/ 124 946.9/mes
Semana 1
X21 6046.433105 cajas de gaseosa COCA COLA de 1.75 lt, en la semana 1
X31 23569.673828 cajas de gaseosa COCA COLA de 0.60 lt en la semana 1
Semana 2
X42 26966.292969 cajas de gaseosa COCA COLA de 0.296 lt en la semana 2
Semana 3
X33 33142.324219 cajas de gaseosa COCA COLA de 0.60 lt en la semana 3
11.-Conclusiones y Recomendaciones
1.- Tener un modelo lineal aplicado a un sistema de producción va a permitir llevar un
mejor control semanal y por lo tanto adecuar nuestro ritmo de trabajo para lograr el
objetivo de maximizar la ganancia.
2.- Se debe adecuar la maquinaria actual para evitar contratiempos y lograr los
volúmenes de producción semanales y con ello la producción mensual.
3.-Al tener un plan de producción estructurado se puede luego calcular la cantidad de
ingredientes que se necesita para cumplir la producción.
9
Para asegurar que la cartera del banco no sea demasiado arriesgada, el gerente de
inversiones del banco ha puesto las siguientes tres restricciones de cartera:
• La cantidad invertida en préstamos personales, debe ser mayor que la
invertida en bonos. X4 >= x1
• La cantidad invertida en préstamos hipotecarios, no puede ser mayor que la
invertida en préstamos para automóviles. X2<= x3
• No puede invertirse más del 25 % de la cantidad total invertida, en préstamos
personales, ni menos del 15 %. X4<= 0.25( x1+x2+x3+x4)
• X4 >=0.15(x1+x2+x+3x4)
• El objetivo del banco es maximizar el rendimiento anual de su cartera de
inversiones.
• Max 0.08x1+0.16x2+0.13x3+0.20x4
• X1+x2+x3+x4<=500000
El gerente financiero del banco opina que, el objetivo a priorizar debería ser el
rendimiento,
Modelo 1:
Gerente Financiero
Max 0.08x1+0.16x2+0.13x3+0.20x4
st
x1+x2+x3+x4<=500000
x4-x1>=0
x2-x3<=0
x4-0.25*x1-0.25x2-0.25x3-0.25x4<=0
x4-0.15x1-0.15x2-0.15x3-0.15x4>=0
1) 79375.00
NO. ITERATIONS= 3
Modelo 2
Gerente de operaciones
Min 100D1+D3
X4+D1-D2=125000
0.08x1+0.16x2+0.13x3+0.20x4+D3-D4=79375
x1+x2+x3+x4<=500000
X4-X1>=0
X2-X3<=0
x4-0.25x1-0.25x2-0.25x3-0.25x4<=0
x4-0.15x1-0.15x2-0.15x3-0.15x4>=0
1) 0.0000000E+00
NO. ITERATIONS= 3
Función Objetivo:0
Bonos: s/0
Prestamos hipotecarios:s/ 187500
Prestamos para compra de automóvil: s/ 187500
Prestamos personales:s/ 125000
Interes=
0.08x1+0.16x2+0.13x3+0.20x4+D3-D4=79375
Como D3 y D4 son cero, los intereses ganados son de s/ 79 375
Modelo 3
Gerente General
Min D2+D4
X2+D1-D2=185800
X4+D3-D4=125000
X1+X2+X3+X4<=500000
X2-X3<=0
x4-0.25*x1-0.25x2-0.25x3-0.25x4<=0
x4-0.15x1-0.15x2-0.15x3-0.15x4>=0
X4-X1>=0
0.08x1+0.16x2+0.13x3+0.20x4>=79375
1) 1700.000
NO. ITERATIONS= 6
Multa=
Analisis
Se descarta el modelo 3 por generar un perjuicio.
9
Al analizar el modelo 1 y 2, ambos generan la misma ganancia por interés gana dos
por los prestamos, pero
El gerente financiero del banco opina que, el objetivo a priorizar debería ser el
rendimiento,
Respuesta; implantar modelo 1. por que a pesar que se puede invertir todo
el dinero a la tasa de mayor interés, esto no es permitido por la limitante
que solo deja que los prestamos personales estén entre el 15% y el 25% de
total a invertir.
SESION II
9
Bueno por lo menos ya tenemos una idea de como enfrentar un modelo y graficarlo,
pero algunas veces no basta con esto si no que también tenemos que decir que tipo
de gráfica es, por lo que al tener que solucionar modelos, podemos diferenciar una
variedad de tipos de gráficas , cada una con características especiales y propias, es
por eso que a continuación vamos a explicar cada una de estas.
5.1.-. FACTIBLE
9
Es toda gráfica que tiene solución, es decir basta con que todas las restricciones del
modelo lineal tengan un área de contacto para que se denomine factible .
Ejemplos:
x2 x2
x1 x1
x2 x2
X1 x1
x2
x2
x1 x1
Ejemplos:
x2 x2
9
x1 x1
x2 x2
x1 x1
x2 x2
x1 x1
La característica de este modelo es que se tiene una Región Factible pero que se
desplaza en forma infinita. En este modelo su solución debemos separar de acuerdo a la
función objetivo, podemos entonces diferenciar: si la función objetivo es Minimizar si
podemos decir que se tiene una solución real del modelo por que se elige el punto mas
bajo de la región factible, pero si se tiene una función objetivo de Maximizar el
punto que se tome como solución será en algunos casos solo un punto de referencia
puesto que como la Región Factible se desplaza en forma infinita no se puede definir un
punto máximo.
Este modelo si la función objetivo es minimizar la solución es factible .*****
Ejemplos:
x2
9
x1 x1
x2 x2
x1 x1
x2 x2
x1 x1
5.4.- DEGENERADA
Es una gráfica que tiene Región Factible , cuya solución tiene una variable inicial ( x1 ó
x2 ) con valor de cero (0).
Esta gráfica puede ser acotada o ilimitada.
Ejemplos:
x2 x2
* PUNTO OPTIMO
PUNTO OPTIMO *
x1 x1
9
x2 x2
PUNTO *
PUNTO * OPTIMO
OPTIMO
x1 x1
x2 x2
*RESTRICCIONES REDUNDANTES*
En algunos modelos algunas restricciones no tienen un papel importante dentro de la
formación de la Región Factible, es decir no forman parte de algún lado de la región
donde se cruzan las restricciones por lo que si se dejaran de lado ( es decir se
excluyeran) no se tendría ningún problema al hallar el punto óptimo ya que su presencia
no es de importancia, a estas restricciones le llamamos Restricciones Redundantes .
Ejemplo:
x2 (II) x2
(I)
(I)
(II)
(III)
(III)
x1 x1
9
La restricción (III) es redundante. La restricción (I) es
redundante.
x2
x2
(I)
(I) (II)
(II)
(III) (III)
(IV)
x1 x1
x2 (II) x2
(I)
(I)
(
II)
(III)
(III)
x1
x1
(IV)
6.- NO FACTIBLE
Debemos aclarar que un modelo es factible si todas sus restricciones se cruzan en
una área y que no basta que algunas nada mas se crucen, por lo tanto modelos no
factibles son aquellos en las que todas sus restricciones no se cruzan en ninguna área
por lo que no se puede hallar solución alguna, por lo tanto se le considera Modelos no
Factibles.
Ejemplos:
x2 x2
9
x1
x1
x2 x2
x1
x1
x2 x2
x1
x1
Debemos dejar claro que los modelos lineales : no acotados, degenerada, no factible, se
les considera
problemas no económicos.
Se va a tener que llevar un orden para poder resolver un modelo, supongamos que
tenemos el siguiente problema planteado:
9
Ejemplo 1.-
Maximizar = 4 x1 + 9 x2
sujeto a:
5x1 + 8x2 <= 50
6x1 + 5x2 <= 60
8x1 - 5x2 <= 40
x1>=0, X2>=0
5x1 + 8x2= 50
6x1 + 5x2 = 60
8x1 + 5x2 = 90
En nuestro ejemplo:
Para la primera restricción:
5x1 + 8x2 = 50
Si x1= 0 , la restricción queda:
5(0) + 8x2 = 50
despejando x2= 50/8
Entonces agrupando en par ordenado: (x1,x2) = ( 0,50/8) ,
Luego si x2=0, la restricción queda:
5x1 + 8(0) = 50
despejando x1 = 50/5Entonces agrupando en pares ordenados: (x1,x2) = ( 50/5,0)
Para la segunda restricción:
6x1 + 5x2 = 60
si X1=0. La restricción queda:
6(0) + 5x2 = 60
despejando x2= 60/5
entonces agrupando en pares ordenados: (x1,x2) = (0,60/5)
Luego ,si x2=0, la restricción queda
6x1 + 5(0) = 60
despejando : x1= 60/6
entonces agrupando en pares ordenados: ( x1,x2)=(60/6,0)
Para la tercera restricción:
8x1 +5x2 = 40
si x1=0 , la restricción queda:
8(0) + 5x2 = 40
despejando:
x2 = 40/5
entonces agrupando en pares ordenados: (x1,x2) =(0, 40/5)
Luego, si x2=0, la restricción queda:
8x1+5(0)=40
despejando: x1= 40/8
entonces agrupando en pares ordenados: (x1,x2) =(40/8,0)
4.- ORIENTACIÓN
La parte mas importante en la gráfica es la orientación, para este caso vamos a tomar en
cuenta las siguientes condiciones generales de acuerdo a los tipos de restricciones que
se tiene.
LIMITANTE ORIENTACION
<= Se acerca al origen
= No tiene orientación
>= Se aleja del origen
Debemos aclarar que estas orientaciones sirven para restricciones que contengan las
dos variables, lado derecho positivo y con valores numéricos diferentes de cero ( casos
diferentes lo trataremos posteriormente) .Entonces nuestra gráfica queda:
9
Una vez dada la orientación a cada restricción es importante hallar una región donde
todas las restricciones se cumplan, esta región se llama REGION FACTIBLE que no viene
a ser sino el lugar donde se va a encontrar la solución a nuestro problema lineal
planteado, es por eso que debemos tener mucha visión para ubicar esta región , es
necesario aclarar que hay veces en que no se puede hallar una región factible .
Para nuestro ejemplo , la región factible esta dada por la región con bordes mas oscuros
y limitado con las letras A, B , C y D.
Como vez, la región factible es aquella que en sus esquinas A,B,C,D tienen las
posibilidades de ser el punto que solucione el modelo, a ese punto le llamaremos PUNTO
OPTIMO.
Una vez que se han identificado los puntos extremos, vamos a reemplazar las
coordenadas de los puntos extremos en la Función Objetivo:
*El punto C se halla por ecuaciones simultáneas de las rectas que dan origen a este
punto, es decir las rectas I y II, calculando:
-64x2+25x2= -400+200
-39x2 = -200
x2 = 5.1282
Reemplazando en ( I ) :
9
5x1 + 8(5.1282)=50
Como la Función Objetivo es de maximización , entonces se comparan los resultados de
reemplazar las coordenadas de los puntos extremos en la función objetivo y se elige el
mayor, para este ejemplo: 54 es el mayor valor y entonces el punto B es el punto optimo.
Como las variables son >= que cero, entonces la gráfica queda en el primer cuadrante,
pero nada impide que en algún momento se tenga regiones factibles en otros cuadrantes
cuando se tengan variables irrestrictas( son aquellas que pueden tener valores positivos
o negativos) eso va a suceder cuando experimentemos con otros ejemplos por el
momento nos limitaremos al primer cuadrante.
Ahora vamos a graficar otro modelo:
9
EJEMPLO 2:
SUJETO A:
5X1 + 6X2 >= 30
3X1 + 6X2 >= 18
2X1 + 4X2 >= 8
X1>=0, X2>=0
SOLUCION:
(I ) 5x1 + 6x2 = 30
Si: X1 = 0 entonces X2 = 5, la coordenada es : ( 0,5)
Si : X2=0 entonces X1 = 6 , la coordenada es : ( 6,0)
( II ) 3x1 + 6x2 = 18
Si : X1=0 entonces X2- 3 , la coordenada es : ( 0,3)
Si: X2=0 entoncesX1=6, la coordenada es: ( 6,0)
( III ) 2x1 + 4x2 = 8
Si X1=0 entonces: X2=2, la coordenada es: ( 0,2)
Si X2= 0 entonces: X1=4, la coordenada es: (4,0)
Como todas las restricciones son >= , entonces todas se alejan del origen,
A ( 0, 5) 8(0) + 5(5) = 25
B ( 6,0 ) 8(6) + 5(0) =48
Como se puede observar la F.O. ha tenido que bajar en busca del punto óptimo.
Rpta.
A ( 0, 4 ) 3(0) + 2(4) = 8
B *( 4, 2 ) 3(4) + 2(2) = 16
C ( 3, 0 ) 3(3) + 2(0) = 9
D ( 0, 0 ) 3(0) + 2(0) = 0
9
-15x2= - 30
x2= 2
Reemplazando en (I): 2x1 + 4(2) = 16
2x1=8
x1=4
la coordenada es: ( 4 , 2 )
Al comparar los resultados de los puntos en la F.O. el mayor valor: 16 , por lo tanto el
punto óptimo es B.
Posición Inicial:
Posición Final:
3x1+2x2= 16
Si x1=0, entonces x2=8, por lo tanto la coordenada es: ( 0,8)
Si x2=0, entonces x1=16/3=5.333 , por lo tanto la coordenada es: (5.333,0)
Como te has dado cuenta ya hemos usado otro cuadrante para la gráfica, esto
sucede por que tenemos coeficientes negativos en las variables de las
restricciones pero a pesar de eso la región factible se encuentra en el primer
cuadrante por que las variables son mayores que cero:
( x1>=0, x2>=0).
EJEMPLO 4: MINIMIZAR 5X1 - 6X2
SUJETO A:
3X1 - 5X2 <= 15
4X1 + 3X2 = 12
2X1 + 6X2>= 12
x1>=0, x2>=0
Solución:
(I) 3x1 - 5x2= 15
Si x1=0, entonces x2=-3, las coordenadas son: ( 0,-3)
Si x2=0, entonces x1= 5, las coordenadas son: ( 5,0)
(II) 4x1 + 3x2 = 12
Si x1=0, entonces X2= 4 , las coordenadas son: ( 0,4)
Si x2=0 , entonces x1=3 , las coordenadas son: ( 3,0)
(III) 2x1 + 6x2= 12
Si x1=0, entonces x2=2, las coordenadas son: (0,2)
si x2=0 , entonces x1=6, las coordenadas son: ( 6,0)
Orientación:
(I): se acerca al origen
(II): se queda solo la línea graficada.
(III): se aleja del origen
9
Ahora te das cuenta que la Región Factible es un segmento que va desde el punto A
hacia el punto B, esto sucede por que se tiene una restricción con orientación de
igualdad (=), entonces recuerda:
Una restricción con orientación =, da una región factible que es un segmento o
en extremo un punto.
* Punto B:
Como es la intersección de II y III:
Las coordenadas se hallan por ecuaciones simultaneas:
-9x2=-12
x2= 1.333
Reemplazando en (II) :
4x1 + 3(1.333) = 12
x1 = 2
Al comparar los resultados de las coordenadas remplazadas en la F.O. se tiene que en
punto mínimo es A con valor -24.
Ahora falta graficar las F.O.
Posición Inicial:
5x1 - 6x2 = (5)(-6)
Si x1=0 entonces x2=5, las coordenadas son: ( 0, 5 )
Si x2=0 entonces x1= -6, las coordenadas son: (-6,0)
Posición Final:
5x1-6x2= -24
Si x1=0 entonces x2=4, las coordenadas son: (0,4)
Si x2=0 entonces x1=-24/5=-4.8 , las coordenadas son: ( -4.8,0)
9
La gráfica queda: Ahora la F.O. se encuentra en el segundo cuadrante por que uno de sus
coeficientes es negativo , pero eso no afecta en nada el procedimiento.
EJEMPLO 5:
Orientación:
(I) se acerca al origen
(II) se acerca al origen
(III) se aleja del origen
Graficando:
9
EJERCICIOS:
GRAFICAR :
-2 x2 x1 Coordenadas
(x1,x2)
Si -2(0) 0 ( 0, 0)
Si -2(1) -2 (-2,1)
Si -2(2) -4 (-4,2)
x2
La gráfica queda: 2
1
9
-4 -3 -2 -1 0 x1
Orientación:
4x1 + 8x2 >=0
Se toma un punto exterior a la línea trazada ( es decir que no pertenece a ella) por
ejemplo: (0,2) , reemplazando en la restricción: 4(0) + 8(2)>=0
entonces: 16 >=0 si, la recta es orientada al punto (0,2)
La gráfica final queda:
REGION
FACTIBLE x2
: 2
-4 -3 -2 -1 0 x1
Tabulando:
3x2 x1 Coordenadas
(x1,x2)
Si 3(0) 0 (0,0)
Si 3(1) 3 (3,1)
Si 3(2) 6 (6,2)
x2
La gráfica queda:
2
1
0 1 2 3 4 5 6 x1
Gráfica final:
x2
REGION FACTIBLE
2
1
0 1 2 3 4 5 6
7 x1
Para restricciones de la forma 6x1 - 4x2 <= 0
9
Igualando: 6x1 - 4x2 = 0
despejando: x2
6x1 =4x2 Gráfica Inicial:
x1= (4/6)x2 12
11
Tabulando: 10
9
(4/6) x2 x1 Coordenadas 8
(x1,x2) 7
6
Si (4/6)0 0 ( 0, 0) 5
Si (4/6)6 4 (4, 6) 4
Si (4/6)12 8 (8,12) 3
2
1
0 1 2 3 4 5
6 7 8 9 x1
12
11
: 10 REGION
9 FACTIBLE
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1
Entonces ahora que ya tenemos la noción de como graficar las restricciones cuyos lados
derechos tienen valor de cero, vamos a resolver los siguientes ejemplos:
Ejemplo 11
Max 8x1 + 4x2
sujeto a:
x1 <= 4
-x1 + x2 >=0
9
2x1 + 5x2 <= 10
x1 >=0 , x2>=0
Solución:
(I) x1= 4
(II) -x1 + x2 =0
Despejando: x2=x1
Tabulando:
x1 x2 Coordenadas
(x1,x2)
0 0 ( 0,0)
1 1 (1,1)
2 2 (2,2)
Gráfica Inicial:
x2
8
7
6
5
4
3 (II) (I)
2
B
1 C
A
0 1 2 3 4 5 x1
(III)
POSICION
INICIAL DE LA F.O
7x2= 10
despejando: x2= 10/7 , reemplazando este valor en (II)
-x1+ 10/7 =0
9
despejando: x1=10/7
Entonces:
Punto óptimo: es el punto C , trasladando la función objetivo para que pase por ese
punto:
8x1 + 4x2 = 17.1428
Si x1=0 despejando x2=4.2857, entonces la coordenada es (0,4.2857)
Si x2=0 despejando x1= 2.14285, entonces la coordenada es ( 2.14285 , 0)
Gráfica Final:
x2
8
7
6
5
4
3 (II) (I)
2
B
1 C
A
0 1 2 3 4 5 x1
(III)
POSICION
INICIAL DE LA F.O
POSICION
FINAL DE LA F.O.
Respuesta: x1= 10/7 , x2= 10/7 , el valor de la F.O. es : 17.1428
EJEMPLO 12:
Minimizar 6x1 - 5x2
sujeto a:
- 4x1 - 5x2 <= - 20
2x1 -3 x2 >=0
x1 <= 6
x1>=0 , x2>=0
Solución:
(I) -4x1 - 5x2 <= -20 , multiplicando por -1 se tiene 4x1+5x2>=20, entonces:
4x1 + 5x2 = 20
Si x1=0 despejando x2=4 , entonces la coordenada es: (0,4)
Si x2=0 despejando x1=5, entonces la coordenada es: (5,0)
(II) 2x1 - 3x2 =0
despejando : 2x1=3x2
entonces: x1= 1.5x2
9
Tabulando:
1.5 x2 x1 Coordenada
Si 1.5( 0) 0 (0,0)
Si 1.5( 1) 1.5 (1.5,1)
Si 1.5(2) 3 (3,2)
(III) x1= 6
Orientación:
Utilizando el punto (0,5) como punto de orientación se tiene:
2x1 - 3x2 >=0
2(0) - 3(5) >=0
-15 >=0 no , entonces la restricción de orientarse al lado opuesto de (0,5)
Orientación:
(I) se aleja del origen.
(II) Se aleja del punto (0,5)
(III) Se acerca al origen.
Gráfica Inicial: x2
6
5
(I) (III)
4
B
POSICION INICIAL 3 (II)
DE LA F.O.
2 REGION
A FACTIBLE
1
D C
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x1
Hallando punto A:
Intersección de I y II: 4x1 + 5x2=20
2x1 - 3x2=0 (-2)
11x2= 20
x2= 1.8181, reemplazando en (I) 4x1 + 5(1.8181)=20
se tiene x1=2.7272 , entonces la coordenada es: (2.7272 , 1.8181)
Hallando punto B:
Intersección de II y III: 2x1 - 3x2=0
x1=6
2(6) - 3x2 =0
despejando: x2=4 , entonces la coordenada es: (6, 4)
Punto C: (6,0)
Punto D: (5,0)
9
Punto optimo: A
Posición Final de la F.O.
6x1 - 5x2 = 7.2727
Si x1=0 despejando x2= -1.45454 , entonces la coordenada es: (0, -1.45454)
Si x2=0 despejando x1=1.2121 , entonces ;a coordenada es: ( 1.2121, 0)
Gráfica Final:
x2
6
5 POSICION
FINAL
(I) (III) DE LA F.O.
4
B
POSICION INICIAL 3 (II)
DE LA F.O.
2 REGION
A FACTIBLE
1
D C
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x1
-1
Ejemplo 13:
Maximizar 7x1 - 8x2
sujeto a:
x1 - 2x2 >=0
x1 - 3x2 <=0
2x1 + 4x2 <= 10
X1>=0 , X2>=0
Solución:
(I) x1 - 2x2=0
despejando: x1= 2x2
Tabulando:
9
2 x2 x1 Coordenadas
Si 2(0) 0 (0,0)
Si 2(1) 2 (2,1)
Si 2(2) 4 (4,2)
(II) x1 - 3x2 =0
despejando: x1= 3x2
Tabulando:
3x2 x1 Coordenadas
Si 3(0) 0 (0,0)
Si 3(1) 3 (3,1)
Si 3(2) 6 (6,2)
(III)
2x1 + 4x2 = 10
Si x1=0 despejando x2=2.5 ,entonces la coordenada es: (0,2.5)
Si x2=0 despejando x1=5 ,entonces la coordenada es: (5,0)
Orientación:
(I) Se aleja del punto (0,5)
(II) Se acerca al punto ( 0,2)
(III) Se acerca al origen.
Gráfica Inicial:
X2
7
POSICION 6
INICIAL DE LA
F.O. 5
4 (I)
(III)
3
2 (II)
B
1 C
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 X1
9
A
Puntos Extremos:
A: (0,0)
8x2=10
despejando: x2=1.25
10x2= 10
entonces: x2=1, reemplazando en II :
x1 - 3(1)=0
entonces: x1=3, por lo tanto la coordenada es (3,1)
El punto óptimo es C, por lo que trasladando la F.O. hacia ese punto se tiene:
7x1 - 8x2=13
X2
7
POSICION 6
INICIAL DE LA
F.O. 5 POSICION FINAL DE LA F.O.
4 (I)
(III)
3
2 (II)
B
9
1 C
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 X1
A
-1
Solución:
(I) -2x1 + x2 = 0
Despejando: x2=2x1
Tabulando:
2x1 x2 Coordenadas
Si 2(0) 0 (0,0)
Si 2(1) 2 (1,2)
Si 2(2) 4 (2,4)
(II) -3x1 + 6x2 >=-10 , multiplicando por -1 se tiene: 3x1 - 6x2<= 10 , entonces:
3x1 - 6x2=10
Si x1=0 despejando x2= -1.667 , entonces las coordenadas son: (0, -1.667)
Si x2=0 despejando x1= 3.333 , entonces las coordenadas son: ( 3.333 , 0)
(III) x1 >=-5 , multiplicando por -1 se tiene -x1 <= 5, entonces:
5,4,3,2,1,0….están comprendidos en esta restricción.
(IV) -4x1+7x2=28 ,
Si x1=0 despejando x2=4, entonces las coordenadas son: (0,4)
Si x2=0 despejando x1= -7 , entonces las coordenadas son: ( -7,0)
Orientación:
(I) se orienta hacia (0,5)
(II) Se acerca al origen.
(III) Se acerca a los puntos 5,4,3,2,1,0…
(IV) Se acerca al origen.
1 (II)
C
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
X1
-1
-2
Puntos Extremos:
10x1 = 28
despejando: x1=2.8, reemplazando en (I):
-2(2.8) + x2=0
entonces: x2= 5.6 , la coordenada es: ( 2.8 , 5.6)
B : (0,4)
C : (0,0)
9
X2
10
7 (III)
6 A
POSICION INICIAL
DE LA F.O. 5
(IV)
4 (I)
B REGION
3 FACTIBLE
2
P
OSICION FINAL
DE LA F.O.
1 (II)
C
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
6 7 X1
-1
-2
Ejemplo 15.-
Minimizar 6x1 - 5x2
sujeto a:
x1 <= 4
5x1 - 4x2=0
x2<=5
2x1 + 3x2 >=6
x1>=0 , x2>=0
9
Solución:
(I) x1=4 , valores como 4,3,2,1,0 cumplen la restricción.
(II) 5x1 - 4x2 = 0
despejando: 5x1=4x2
entonces: x1= 4x2/5 , luego : x1= 0.8x2
0.8x2 x1 Coordenadas
Si 0.8(0) 0 (0,0)
Si 0.8(1) 0.8 (0.8,1)
Si 0.8(5) 4 (4,5)
Orientación:
(I) Valores como 4,3,2,1,0 cumplen la restricción.
(II) La línea trazada.
(III) Valores como 5,4,3,2,1,0 cumplen la restricción.
(IV) Se aleja del origen.
Gráfica Inicial:
6
POSICION INICIAL DE LA B
F.O. 5
(III)
4
(II)
3
(IV) (I)
2
A
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Por tener la (II) como dirección una igualdad (=) , entonces la región factible es un
segmento.
23 x1 = 24
9
x1 =1.043
Reemplazando en (II):
5(1.043) - 4x2=0
5.215 - 4x2=0
5.215= 4x2
entonces: x2=1.30375
las coordenadas son: (1.043 , 1.30375)
Punto B: (4,5)
Entonces el punto optimo es: B con valor -1, trasladando la función Objetivo para que
pase por el punto optimo se tiene:
6x1 - 5x2 = -1
si x1=0 despejando x2=-0.20 , entonces las coordenadas son: ( 0,-0.20)
Si x2=0 despejando x1=-0.1666 , entonces las coordenadas son : (-0.1666,0)
Gráfica Final:
POSICION FINAL
6 DE LA F.O.
POSICION INICIAL DE LA B
F.O. 5
(III)
4
(II)
3
(IV) (I)
2
A
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
EJERCICIOS:
9
1.- MAXIMIZAR X1 + 6X2 2.- MINIMIZAR 4X1
+ 5X2
SUJETO A: SUJETO A:
3X1 - 4X2<=0 2X1 + 6X2 >=3
3X1 + X2 >=1 3X1 - 4X2<=0
-X2 >= -12 4X1 + 6X2 >=0
X1>=1 X2<=15
X1<=20 X1>=0 ,X2>=0
X1>=0 , X2>=0Rpta. X1=16 , X2=12 , F.O. Z=88 Rpta. X1=0 ,
X2=0.50 , F.O. Z=2.50
3.- MAXIMIZAR 3X1 + 6X2 4.- MAXIMIZAR
6X1 + 8X2
SUJETO A: SUJETO A:
X2 <= 12 5X1 - 6X2
<=0 X1<=5
-X1 - 6X2 <= -2 X1 - 4X2 =0
X2 <= 15
X1 <= 20 X1>=0 ,X2>=0
X1>=0 , X2>=0 Rpta. X1=5 , X2=1.25 , F.O. Z=22.5
Rpta. X1=18 , X2=15 , F.O. Z=228
5.- MINIMIZAR 6X1 + 9X2 6.- MINIMIZAR 5X1 +
6X2 SUJETO A: SUJETO A:
5X1 + 6X2 <= 120 3X1 + 6X2 >= 12
4X1 - 6X2 >=0 4X1 - 6X2 <=0
-X1 >= -10 X2>= 12
X2 >= 1 X1 + 4X2 >= 1X1>=0
,X2>=0 X1>=0 , X2>=0Rpta.
X1=1.50 , X2=1 . F.O. Z=18 Rpta. X1=0 , X2=12,
F.O. Z=72
7.- MAXIMIZAR 10X1 + 12X2 8.- MINIMIZAR 7X1 -
7X2 SUJETO A: SUJETO A:
6X1 + 7X2 >= 10 4X1 - 5X2 >=0
5X1 - 5X2 <=0 X1 -3X2 <=0
X1>=1 X1>=2
X2 <= 12 X2 <=10
2X1 + 4X2 >=0 X1>=0 ,X2>=0
X1>=0 , X2>=0Rpta. X1=12 ,X2=12 ,F.O. Z=264 Rpta. X1=2, X2=1.6 . F.O.
Z=2.8
SESION III
ANALISIS DE
SENSIBILIDAD
9
NO. ITERATIONS= 1
(Número de Iteraciones)
1 ) Una compañía fabrica dos modelos de sombrero: Bae , Viz y Ala. La fabricación de los
sombreros se realiza en las secciones de moldeado, pintura y montaje. La fabricación de
cada modelo Bae requiere 2 horas de moldeado, 3 de pintura y una de montaje. La
fabricación del modelo Viz requiere tres horas de moldeado, 2 de pintura y una de
montaje.La fabricacion frl modelo Ala requiere 2horas de moldeado, 2 horas de pintura y
1 hora de montaje Las secciones de moldeado y pintura disponen, cada una, de un
máximo de 1.500 horas cada mes, y la de montaje de 600.
Si el modelo Bae se vende a S/100 , el modelo Viz a S/120 y el de ala a S/ 110,
¿Qué cantidad de sombreros de cada tipo ha de fabricar para maximizar el beneficio
mensual?
Solución:
Variable de Decisión:
Xi=Número de sombreros tipo i(i=Bae, Viz, Ala=1,2,3) a producir.
Función Objetivo:
Max=100x1+120x2+110x3
Moldeado
2x1+3x2+2x3<=1500
Pintura
3x1+2x2+2x3<=1500
Montaje
1x1+1x2+1x3<=600
Modelo PL
Max 100x1+120x2+110x3
st
2x1+3x2+2x3<=1500
3x1+2x2+2x3<=1500
1x1+1x2+1x3<=600
end
1) 69000.00
NO. ITERATIONS= 2
Interpretación:
Ingreso por Precio de Venta:
69000
X1 0 sombreros tipo Bae, para que se elabore se debe tener un precio de venta mayor
de:100 + 10=110
X2 300 sombrero tipo Viz,
X3 300 sombreros tipo Ala
Moldeado:
Se usan todas la horas de moldeado, por cada hora adicional se gana 10
Pintura:
300 horas sobra del departamento de pintura.
Montaje:
Se usan todas las horas de montaje, por cada hora adicional se gana 90
Optimalidad:
Rangos de Ci:
Sombrero Bae
X1 100.000000 10.000000 INFINITY
(100-infinito)<=c1<=(100+10)
-infinito<=c1<=110
El precio máximo del sombrero tipo Bae es: 110
El precio mínimo del sombrero tipo Bae es: 0
Sombrero Viz
X2 120.000000 45.000000 10.000000
(120-10)<=c2<=(120+45)
110<=c2<=165
El precio máximo del sombrero tipo Viz es: 165
El precio mínimo del sombrero tipo Viz es: 110
Sombrero Ala
9
X3 110.000000 10.000000 10.000000
(110-10)<=c3<=(110+10)
100<=c3<=120
El precio máximo del sombrero tipo Ala es: 120
El precio mínimo del sombrero tipo Ala es: 100
Variable de Decisión:
Xi= Numero de contenedores de tipo i(i=A,B=1,2) a pedir.
Función Objetivo:
Max=210x1+300x2
Sujeto a:
Cajas de Langostinos:
8x1+2x2<=16
Cajas de Nécoras:
1x1+1x2<=5
Cajas de Percebes:
2x1+7x2<=20
LINDO:
Max 210x1+300x2
St
8x1+2x2<=16
1x1+1x2<=5
2x1+7x2<=20
end
1) 1029.231
NO. ITERATIONS= 2
Interpretación:
Ganancia a obtener:
1029.231
Contenedores tipo A :
X1 1.384615
Contenedores tipo B:
X2 2.461539
Cajas de Langostinos:
0.000000 ,se usa todo lo disponible y si se pide una caja mas se gana:
16.730770
Cajas de Nécoras:
1.153846 , son cajas que no se han usado por lo tanto su precio dual es :
0.000000
Cajas de Percebes:
0.000000,se usa todo lo disponible y si se pide una caja mas se gana:
38.076923
Optimalidad:
Rangos en Ci
La ganancia por cada tipo de contenedor tiene el siguiente rango:
9
Tipo A:
X1 210.000000 990.000000 124.285713
(210-124.285713) <= c1<= (210+990)
Rangos en Bi
Cajas de Langostinos:
16.000000 12.000000 10.285714
(16-10,285714)<=b1<=(16+12)
La máxima cantidad de cajas que puede comprar el supermercado es: 16+12=28
La mínima cantidad de cajas que puede comprar el supermercado es: 16-
10,285714=5,714
Cajas de Nécoras:
5.000000 INFINITY 1.153846
(5-1,153846)<=b2<=(5+infinito)
La máxima cantidad de cajas que puede comprar el supermercado es: 5+infinito= Infinito
La mínima cantidad de cajas que puede comprar el supermercado es: 5-1,153846=3,846
Cajas de Percebes:
20.000000 10.000000 16.000000
(20-16)<=b3<=(20+10)
La máxima cantidad de cajas que puede comprar el supermercado es: 20+10=30
La mínima cantidad de cajas que puede comprar el supermercado es: 20-16=4
Si se mantienen dentro de estos rangos el modelo es optimo.
Solución:
Variable de Decisión:
Xi= Dimensión del lado i(i=Mayor, Menor=1,2) de las mesas a construir.
Función Objetivo:
MAX=2X1+2X2
Sujeto a:
Dimensión del lado mayor:
X1<=2
9
Dimensión del lado menor:
X2<=2
Requerimiento:
X1+2X2<=4
LINDO
MAX 2X1+2X2
st
X1<=2
X2<=2
X1+2X2<=4
end
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 6.000000
NO. ITERATIONS= 2
Interpretación:
La máxima dimensión de la mesa es:
6.
La dimensión del lado mayor es de:
X1=2.
La dimensión del lado menor es de:
X2 =1.
Optimalidad:
Rango en Ci
Lado Mayor
X1 2.000000 INFINITY 1.000000
(2-1)>=c1<=(2+infinito)
La dimensión máxima del lado mayor es : 2+infinito = Infinito
La dimensión mínima del lado mayor es: 2-1=1
Lado Menor
X2 2.000000 2.000000 2.000000
(2-2)<=c2<=(2+2)
La dimensión máxima del lado menor es : 2+2 = 4
La dimensión mínima del lado mayor es: 2-2=0. Cosa que seria imposible.
Factibilidad:
Rangos en Bi
Requerimiento:
4 4.000000 2.000000 2.000000
(4-2)<=b3<0(4+2)
Solución:
A B C DISPONIBLE
LANA 1 2 2 180
FIBRA SINTETICA 2 1 3 240
9
Beneficios S/ 1500 S/ 1000 S/ 800
Variable de Decisión:
Xi= Número de unidades de prendas de calidad i(i=A,B,C=1,2,3) a elaborar.
Función Objetivo:
Max=1500x1+1000x2+800x3
Restricciones:
Lana:
1x1+2x2+2x3<=180
Fibra Sintética:
2x1+1x2+3x3<=240
Producción:
x1+x2+x3<=1000
LINDO
Max 1500x1+1000x2+800x3
st
1x1+2x2+2x3<=180
2x1+1x2+3x3<=240
x1+x2+x3<=1000
end
1) 190000.0
NO. ITERATIONS= 2
Interpretación:
Beneficio:
190000
Producción:
X1 100 prendas tipo A
X2 40 prendas tipo B
X3 0 prendas tipo C,para elaborarse debe tener un beneficio mayor de:
800 + 1533.333374 = 2333,33
Lana:
Se usa toda la lana disponible, si se usa 1 unidad mas se gana 166,666
Fibra Sintética:
Se usa toda la lana disponible si se usa 1 unidad mas se gana 666.666687
Producción:
860 unidades de capacidad de producción no se usa.
Optimalidad:
Rangos de Ci:
Prenda tipo A
Prenda tipo B
X2 1000.000000 2000.000000 250.000000
(1000-250)<=c2<=(1000+2000)
750<=c2<=3000
El beneficio máximo del producto tipo B es:3000
El beneficio mínimo del producto tipo B es:750
Prenda tipo C
X3 800.000000 1533.333374 INFINITY
(800-infinito)<=c3<=( 800 +1533,33)
-infinito<=c3<=2333,33
El beneficio máximo del producto tipo C es:2333,33
El beneficio mínimo del producto tipo C es: 0
Factibilidad:
Rangos de Bi
Lana:
180.000000 300.000000 60.000000
(180-60)<=b1<=(180+300)
120<=b1<=480
Cantidad máxima de unidades de lana: 480
Cantidad mínima de unidades de lana: 120
Fibra Sintética:
240.000000 120.000000 150.000000
(240-150)<=b2<=(240+120)
90<=b2<=360
9
Cantidad máxima de unidades de fibra sintética: 360
Cantidad mínima de unidades de fibra sintética: 90
Producción:
1000.000000 INFINITY 860.000000
(1000-860)<=b3<=(1000+infinito)
140<=b3<=infinito
Cantidad máxima de unidades de producción: Infinito
Cantidad mínima de unidades de producción: 140
Factibilidad:
Rangos en Bi
Moldeado:
1500.000000 300.000000 300.000000
(1500-300)<=b1<=(1500+300)
1200<=b1<=1800
Horas máximas para moldeado: 1800
Horas mínimas para moldeado: 1200
Pintura:
1500.000000 INFINITY 300.000000
(1500-300)<=b2<=(1500+infinito)
1200<=b2<=infinito
Horas máximas para pintura: infinito
Horas mínimas para pintura: 1200
Montaje:
600.000000 150.000000 100.000000
(600-100)<=b3<=(600+150)
500<=b3<=750
Horas máximas para montaje: 750
Horas mínimas para montaje: 500
9
Variable:
Xi= Número de afiches tipo i(i=A,B=1,2)
Función Objetivo:
Max 5x1+7x2
St
Cantidad maxima de Afiche A
X1<=120
Cantidad maxima de afiche B
X2<=100
Cantidad maxima combinada
X1+x2<=150
End
LINDO
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 950.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 50.000000 0.000000
X2 100.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 70.000000 0.000000
3) 0.000000 2.000000
4) 0.000000 5.000000
NO. ITERATIONS= 2
NO. ITERATIONS= 2
PROBLEMA 7.- SONY fabrica dos productos: (1) el Pentium III un radiocasete portátil y (2)
el Pentium IV. El proceso de producción de ambos productos se asemeja en que los dos
necesitan un número de horas de trabajo en el departamento de electrónica, y un cierto
número de horas de mano de obra en el departamento de montaje. Cada Pentium III
necesita cuatro horas de trabajo de electrónica y dos en el taller de montaje. Cada
Pentium IV necesita tres horas de electrónica y una en montaje. Durante el actual
período de producción se dispone de doscientas cuarenta horas en el departamento de
electrónica y de cien horas en el de montaje. Cada Pentium III vendido supone un
beneficio de 700 dólares, mientras que para una Pentium IV el beneficio unitario es de
500 dólares. El problema de SONY es determinar la mejor combinación posible de
Pentium III y PENTIUM IV que debe producir para alcanzar el máximo beneficio.
Variable de Decisión:
Xi= Número de unidades del producto tipo i(i= Pentium III, Pentium IV=1,2) a producir.
Función Objetivo:
Max 700x1+500x2
Restricciones:
Dpto. Electrónica
4x1+3x2<=240
Dpto. Mano de Obra
2x1+x2<=100
LINDO
Max 700x1+500x2
St
4x1+3x2<=240
2x1+x2<=100
1) 41000.0000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
9
X1 30.000000 0.000000
X2 40.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 150.0000
3) 0.000000 50.0000
NO. ITERATIONS= 2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 700.000000 300.000000 33.3333
X2 500.000000 0250.000 150.0000
Ganancia:
41000
Producción:
X1 =30 Pentium III ,
X2 =40. Pentium IV
Dpto Electronica,todo el tiempo se usa.y si se incrementa se gana 150 por cada hora
adicional.
Dpto de Mano de Obra, todo el tiempo se usa.y si se incrementa se gana 50 por cada
hora adicional.
Variación de beneficios:
Pentium III ,
Pentium IV
X2 500.000000 25.0000 150.0000
(500-150)<=c2<=(500+ 25)
350<=c2<=525
Beneficio máximo :525
Beneficio mínimo: 350
Variación de horas:
Dpto. electrónica:
2 240.000000 60.000000 40.000000
(240-40)<=b1<=(240+60)
200<=b1<=300
Horas máximas :300 horas
Horas mínimas: 200 horas
Dpto. Mano de obra
3 100.000000 20.000000 20.000000
9
(100-20)<=b2<=(100+20)
80<=b2<=120
Horas máximas :120 horas
Horas mínimas: 80 horas
Problema 8.
La empresa de zapatos Risto, elabora dos tipos de zapatos de adultos y de niños, los
datos recogidos
Se dan en la siguiente tabla:
DEMANDA 20 15
DOCENAS/SEMANA DOCENAS/SEMANA
PERFILADO 8H/DOCENA- 8H/ DOCENA- (6TRABAJ/DIA)
TRABAJADOR TRABAJADOR (6DIAS
/SEMANA)
*(10H/DIA)
ENSUELADO 8H/ DOCENA- 8H/ DOCENA- (7TRABAJ/DIA)
TRABAJADOR TRABAJADOR (6DIAS
/SEMANA)
*(10H/DIA)
ALISTADO 4H/ DOCENA- 4H/ DOCENA- (3TRABAJ/DIA)
9
TRABAJADOR TRABAJADOR (6DIAS
/SEMANA)
*(10H/DIA)
Solución:
Variable de decisión:
Xi= Docenas de zapatos de tipo I(I= de adultos,de niños=1,2) a producir semanalmente
Función Objetivo:
Maximizar utilidades:
Cuero:
35X1+24X2<=1250
Perfilado:
8X1+8X2<=360
Ensuelado:
8X1+8X2<=420
Alistado:
4X1+4X2<=180
Demanda de zapatos de adultos:
X1>=20
Demanda de zapatos de niños:
X2>=15
LINDO
MAX132X1+73X2
ST
35X1+24X2<=1250
8X1+8X2<=360
8X1+8X2<=420
4X1+4X2<=180
X1>=20
X2>=15
NO. ITERATIONS= 2
MAX132X1+73X2
ST
9
35X1+24X2<=1410
8X1+8X2<=360
8X1+8X2<=420
4X1+4X2<=180
X1>=20
X2>=15
LINDO
Problema 9
El año venidero una compañía constructora puede participar en dos futuros proyectos. El
flujo de efectivo trimestral para los dos proyectos (las flechas hacia arriba representan
gastos) se resume en la siguiente figura.
9
Todos los fondos están en millones de unidad monetaria. La compañía tiene efectivo de
$1 000 000 por trimestre y puede obtener préstamos por una unidad igual, al principio de
cada trimestre, con un interés nominal de 10% anual. Cualquier préstamo debe pagarse
al principio del siguiente trimestre. De esta manera los fondos excedentes pueden
invertirse al 8% anual.
La compañía constructora desea determinar el resultado neto (pérdida o ganancia) se si
emprenden los proyectos. Supóngase que la compañía puede participar en los proyectos
de forma parcial o total. La participación parcial escalará los fondos de flujo de efectivo
en forma proporcional.La empresa desea maximizar sus fondos al final del año.
SOLUCION
a) Variables
Pi = fracción del proyecto i por emprenderse (0 ≤ Pi ≤ 1), i = 1.2.
Bi = cantidad tomada en préstamos (millones de unidad monetaria) en el
trimestre j, j = 1, 2, 3, 4.
Si = cantidad excedente (millones de unidad monetaria) al principio del
trimestre j, j = 1, 2, 3, 4.
b) Grafica:
c) Modelos Matemático
P1 + 3 P2 + S1 = 1 +B1
3.1 P1 + 2.5 P2 – 1.02S1 + S2 + 1.025B1 = 1 + B2
1.5 P1 - 1.5 P2 – 1.02S2 + S3 + 1.025B2 = 1 + B3
-1.8 P1 – 1.8 P2 – 1.02S3 + S4 + 1.025B3 = 1 + B4
-5 P1 – 2.8 P2 – 1.02S4 + S5 + 1.025B4 = 0
0 ≤ Pi ≤ 1, i = 1, 2.
0 ≤ Bj ≤ 1, j = 1,2,3,4.
9
Global optimal solution found.
Objective value: 4.836624
Total solver iterations: 6
Análisis de Sensibilidad
Para el problema planteado, podemos observar en los cuadros que la solución
recomendada es: La empresa debe invertir en el proyecto 1 de manera parcial, con una
participación del 71.13% y abstenerse de participar en el proyecto 2. Obteniendo así una
fondo acumulado al final del año de 5.8366 millones de Um.
También se puede determinar que si se desea obtener un poco más de fondo acumulado,
es recomendable gestionar un aumento en el préstamo del 3er trimestre, aumento que
sería de 0.1245 millones de Um, obteniendo así un aumento en la función objetivo de
0.01855 millones de Um.
PROBLEMA 10
El vivero Walnut tiene dos granjas en donde se cultiva trigo y maíz. Debido a las
condiciones del suelo distintas, hay diferencias en el rendimiento y el costo al cultivar los
cereales en las dos granjas. Ambas granjas cuentan cada una con 100 acres disponibles
para el cultivo. Se deben sembrar 1100 bushel de trigo y 7000 bushel de maíz. Encuentre
un plan de siembra q minimice el costo para poder cumplir con la demanda ¿Como se
podría usar una generalización de este modelo para asignar en forma eficiente la
producción de cultivos en toda una nación?
MODELO DE PL
min 90x11+80x12+100x21+120x22
st
x11+x21<=100 Acres
x12+x22<=100 Acres
400x11+350x12>=11000 bushels de trigo
500x21+650x22>=7000 bushels de maiz
End
ANALISIS DE SENSIBILIDAD:
NO. ITERATIONS= 0
Problema 11
Steelco produce dos tipos de acero en tres acererías distintas. Cada acerería tiene
disponibles en un mes dado 200 horas de tiempo de alto horno. Debido a las diferencias
en los hornos de cada acerería, el tiempo y el costo por producir una tonelada de acero
son distintas en cada una de ellas. El tiempo y el costo en cada una de ellas se
proporciona en la tabla. Cada mes Steelco debe producir por lo menos 500 toneladas de
acero 1 y 600 toneladas de acero2. Plantee un PL para minimizar el costo de producir el
acero deseado.
tiempo tiempo
Acerería costo costo 200 h/mes
1
20’ /tn $10 /tn 22’/tn $11/tn
MODELO DE PL
min 10x11+11x12+12x21+9x22+14x31+10x32
st
20x11+22x12<=12000
24x21+18x22<=12000
28x31+30x32<=12000
x11+x21+x31>=500
x12+x22+x32>=600
end
ANALISIS DE SENSIBILIDAD:
1) 10400.00 $/mes
NO. ITERATIONS= 2
Problema 12
Candy Kane Cosmetics (CKC) fabrica el pefume Leslie, el cual requiere productos
químicos y mano de obra. Hay dos procesos de producción: En el proceso 1 se transforma
9
una unidad de mano de obra y dos unidades de productos químicos en 3oz de perfume.
En el proceso 2 se transforma dos unidades de mano de obra y tres unidades de producto
químico en 5oz de perfume. CKC gasta 3 dólares al comprar una unidad de mano de obra
y 2 dólares por una unidad de productos químicos. Se pueden comprar cada año hasta
20000 unidades de mano de obra y 35000 unidades de productos químicos. Como no hay
publicidad, CKC opina que puede vender 1000oz de perfume. Para estimular la demanda
de Leslie, CKC. Desea contratar a la bella modelo Jenny Nelson. Jenny cobra 100 dolares
la hora. Se estima que por cada hora que Jenny trabaja por la compañía la demanda del
producto se incrementa en 200oz. Cada onza del perfume Leslie se vende en 5 dólares.
Utilice la PL para determinar como CKC puede maximizar su utilidad.
Venta 1000 oz
modelo
MODELO DE PL
max 15x1+25x2-100h-3x1-6x2-4x1-6x2
st
1x1+2x2<=20000
2x1+3x2<=35000
3x1+5x2-200h=1000
end
ANALISIS DE SENSIBILIDAD:
VARIABLE VALUE
X1 10000.000000 corrida
X2 5000.000000 corrida
H 270.000000 horas
NO. ITERATIONS= 3
9
SESION IV
TRANSPORTE
9
EL MODELO DE TRANSPORTE
unidades para distribuir a los destinos, y el destino j (j = 1,2,......,n) tiene una demanda
unidad distribuida.
m n
Minimizar Z = CijXij
i j1
Sujeta a
n
Xij Si , para i = 1,2,...,m
j 1
9
m
, para j = 1,2,....,n
X
ij
d
j
j
1
Destino
1 2 ................ n Suministro
M M M M M
Demanda d1 d2 ................ dn
m n
= dj
i 1
S
i
i
1
factibilidad.
Formato del cuadro símplex de transporte
Destino
1 2 ................ n Suministro Ui
Fuente
M M M
M M
Demanda d1 d2 ................ dn
Vj
C Cij
ij
ecuación extra (o redudante) que puede eliminarse sin cambiar la región factible, es
1 2 3 4 5 Abast. Ui
16 16 13 22 17
1 50
14 14 13 19 15
2 60
Fuente
19 19 20 23 M
3 50
M 0 M 0 0
4 50
(F
)
METODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL
diferencia, que se define como la diferencia aritmética entre el costo unitario más
pequeño (Cij) y el que sigue, de los que quedan en ese renglón o columna. En el
la mayor diferencia se elige la variable que tiene el menor costo unitario que queda.
mayor costo unitario (Cij) de los que quedan en ese renglón. Para cada columna de
destino
que todavía está bajo consideración, determínese su vj , el mayor costo unitario de los
que
hay en esa columna. Para cada variable Xij que no haya sido seleccionada en
estos
renglones o columnas, ij = Cij -
vj . Selecciónese la variable
calcúlese
- ui con el mayor
Dif
1 2 3 4
5 Abast. rengl
ón
1 16 16 13 22 17
50 3
2 14 14 13 19 15
60 1
3 19 19 20 23 M
50 0
4(F) M 0 M 50
0 0
0
Demanda 30 20 70
30 60
Dif 0
. 2 14 19 15
Colu
mna
M
a
y
o
r
1 16 16 13 17 50
3
2 14 14 13 15 60
1
3 19 19 20 M 50
0
4(F) M 0 0
20
M 0
Demanda 30 20 70 60
M
a
y
o
r
60 – 20 =40
Dif
1 2 3
5 Abast. renglón
1 16 16 50 Mayor
13 17
3
2 14 14 13 15 60
1
3 19 19 20 M 50
0
Demanda 30 20 70 60
Dif
. 2 2 0
Colu
mna
70 – Selecciónese X13 = 50
50 = Elimínese el renglón 1
20
Dif
1 2 3
5 Abast. renglón
2 14 14 60 1
13 15
M 20
3 19 19
50 0
Demanda 30 20 20 40
Dif M-
. 5 5 15 Mayor
7
Colu
mna
Selecciónese X25 = 40 Elimínese columna 5 60-40=20
Dif
1 2 3
Abast. renglón
2 14 14 20 1
13
3 19 19 20 50 0
5
Columna
M
a
y
o
r
1 2 3
Abast. Selecciónese
X31 =30
3 19 19
20 50 X32= 20
X33= 0
Demanda 30 20
0
Variable básica degenerada
Solución básica factible inicial a partir del método de aproximación de Russell
ij = Cij - ui - vj .
ij
may Asignación
or
Iteración
u1 u3 v1 v3 v5
nega
u2 u4 v2 tivo
v4
Destino
1 2 3 4 5
Abast. Ui
16 16 13 22 17
1
50
40 10
14 14 3 19 15
2
60
30 30
19 19 20 23 M
3
50
0 20 30
M 0 M 0 0
4 50
(F
50
)
Demanda 30 20 70 30 60
Vj
METODO SIMPLEX DE TRANSPORTE
Paso Iterativo
Como con el método simples, el paso iterativo debe determinar una variable
básica que entra (Parte 1), una variable básica que sale (Parte 2) y, a continuación,
Parte 1: Como (Cij - ui - vj ) representa la tasa a la cual cambiaría la función objetivo a
medida que se incrementa la variable no básica Xij, la variable básica que entra
debe tener una (Cij - ui - vj ) negativa para hacer decrecer el costo total Z.
Parte 2: Al incrementar la variable básica que entra a partir de cero se inicia una
reacción
REGLA DE DETENCIÓN
Criterio de Optimidad
Una solución básica factible es óptima si, - vj ) 0
sólo si (Cij - ui para toda
de las ui y vj
para la solución básica factible en curso y entonces calcular estas
(Cij - ui-vj ).
básica.
1 2 3 4 5
Abast. Ui
16 16 13 22
17 -
+ 50
1 -5
+2 40 +4 10
+2
14 14 - 19 15
13 60
+
2 -5
30 30 +1 -2
19 19 20
23 M 50
3
0
0 20 30 M-22
+2
) M
4
(F 0
0
M 50 -
22
0 M+3 +3 M+4 -
1 50
Demanda 30 20 70 30 60
Vj 19 19 18 23 22
C= IM ij
i
-
j
1 2 3 4 5 Abast. Ui
16 16 13
22 17
50
1
-5
+2 50 +4
+2
+2
14 14 13 19
15 60
+
- -5
2
30 20 +1 10
19 19 20 23
- M 50
+
3 0
0 20 30 M-20
+2
M 0 M + 0
4 0 - 50 -
(F 20
)
M+1 +1 M+2 -3
50
Demanda 30 20 70 30 60
Vj 19 19 18 23 20
1 2 3 4 5
Abast. Ui
16 16 13
22 17 50
1
-8
+5 +5 +7
50
+2
14 14 60
13 19 15 -8
+
-
2
+3 20 +4 40
+3
19 19 20
23 50
-
M
3 0
+
30 -1 0 M-23
20
M 0 M 0
4 + 0 - 50 -
(F 23
)
M+4 +4 M+2
30 20
Demanda 30 20 70 30 60
Vj 19 19 21 23 23
1 2 3 4 5 Abast. Ui
16 16 13
22 17 50
1
-7
+4 50 +7 +2
+4
14 14 13
19 15 60
2
-7
+2 20 +4 40
+2
19 19 20
23 M 50
3
0
30 0 M-22
20
+1
M 0 M
4 0 0 50
(F -22
)
M+3 +3 30 20
M
+2
30 60
Demanda 30 20
70 30 22 22
60
Vj 19 19
20 22
22
1.-¿El método de transporte puede formularse como
programación lineal?
Sí, pero hay un método exclusivo que resuelve este tipo de
problemas.
ECUACION DE NO DEGENERACION
OPTIMIZACION
METODO RUSSELL
CASILLERO LLENOS:
Cij = ui + vj
CASILLEROS VACIOS:
Imij = Cij - ( ui ) - ( vj )
¿TODOS
LOS
Imij>=0? NO
SI
TABLERO OPTIMO
.
EJERCICIOS
PROBLEMA 1
Costo de transporte
Costo de C1 C2 C3 C4
Producción
4 P1 6 10 7 12
3 P2 19 16 11 9
2 P3 7 17 12 9
PROBLEMA 2
Costo de C1 C2 C3 C4
Producción
4 P1 6 10 7 12
3 P2 19 16 11 9
2 P3 7 17 12 9
PROBLEMA 3
Costo de C1 C2 C3 C4
Producción
4 P1 6 10 7 12
3 P2 19 16 11 9
2 P3 7 17 12 9
PROBLEMA 4
M1 M2 M3 M4
A1 12 15 16 14
A2 15 2 18 16
A3 10 15 8 6
PROBLEMA 5
PROBLEMA 6
C1 C2 C3 C4 C5
A 6 7 8 6 9
B 10 8 9 5 3
C 2 9 5 10 6
D E F G
A 800 900 1000 1100
B 600 1200 900 700
C 400 1300 300 1200
PROBLEMA 8
En la actualidad William Auto Carries mantiene plantas en Atlanta y
Tulsa para proveer a importantes centros de distribución en los
Ángeles y Nueva York .Debido a la creciente demanda Willians ha
decidido abrir una tercera planta y ha restringido su elección a una de
dos ciudades -New Orleans y Houston la tabla muestra la producción
pertinente y los costos de producción así como las capacidades de la
plantas y las demandas de distribución. El costo de producción es de
$10 por cada unidad
La pregunta importante a la que Williams se encara es: Cual de las
nuevas localizaciones generara un menor costo para la empresa en
combinación con las plantas existentes y los centros de distribución?
PROBLEMA 9
Una Compañía panificadora puede distribuir un pan especial en
cualquiera de sus dos plantas, la planta tiene capacidad de 2500
unidades y la B 2100 unidades, el costo de producción es de 24 y 25
centavos la unidad respectivamente.
El reparto es a cuatro cadenas de ventas que consumen, 1800, 2300,
550 y 1750 respectivamente. El precio con que se les vende a cada
una es de : 39,37,40 y 36 centavos la unidad. Además el costo de
embarque de cada planta a cada cadena es :
Planta A : 6,8,11 y 9 centavos.
Planta B: 12,6,8 y 5 centavos.
Hallar el mejor plan de distribución de pan.por cada pan no
cubierto se penaliza con 1 centavo.
PROBLEMA 10
Tres ciudades se abastecen de electricidad de tres centrales
electricas con capacidades de 25,40 y 30 megawatts (MW).Las
demandas máximas en las tres ciudades se estiman en 30,35y 25
MW.El precio por MW en las tres ciudades son:
PROBLEMA 12
Una compañía tiene seis personas, 3 ubicadas en EEUU, 2 en Rusia y
1 en Nigeria. Arabia desea tener dos personas, Venezuela 1 y 3
Indonesia ,se les pagara: $4200, $4000 y $3500 en cada país. Los
gastos de permanencia en cada pais ascienden a $1200 en Arabia,
$1000 en Venezuela y $ 900 en Indonesia. La tabla siguiente muestra
el costo del pasaje de un país a otro de ida y vuelta.
Desde Arabia Venezue Indonesi
la a
EEUU 1800 800 1500
Rusia 1500 1200 1400
Nigeria 1300 1200 1300
PROBLEMA 13
El traslado de los almacenes de Rex a sus puntos de venta en cuanto
a costo ,depende de la distancia que existe entre ellos, esto va de
acuerdo a la siguiente tabla dada en kilómetros:
A B C
1 80 50 30
2 20 50 60
3 30 60 80
PROBLEMA 14
Dos compañías farmacéuticas tienen inventarios de dosis de 1.1 a 0.9
millones de cierta vacuna contra la gripe y se considera inminente
una epidemia de gripe en tres ciudades. Ya que la gripe podría ser
fatal para los ciudadanos de edad avanzada, a ellos se les debe
vacunar primero ,a los demás se les vacunar, según se presenten
,mientras duren los suministros de la vacuna. Las cantidades de
vacuna(en millones de dosis) que cada ciudad estima poder
administrar son las siguientes:
Ciudad Ciudad Ciudad
1 2 3
A 0.325 0.26 0.195
anciano
s
A otros 0.795 0.8 0.65
Los costos de embarque(en centavos por dosis) entre las compañías
farmacéuticas y las ciudades son los siguientes
Ciudad Ciudad Ciudad
1 2 3
Compañia 3 3 6
1
Compañía 1 4 7
2
PROBLEMA 15
Un fabricante recibe de una gran ciudad un pedido de seis autobuses
de dos pisos, los cuales seran entregados por pares durante los
próximos tres meses. Las fechas de producción para el fabricante se
muestran en la tabla
Mes 1 Mes 2 Mes 3
Cap.TN 1 2 3
Cap.T.E. 2 2 2
Costo 35 43 40
/und. TN
Costo 39 47 45
/und. TE
Los autobuses puden entregarse a la ciudad al final del mes que se
ensamblan,o el fabricante puede almacenarlos con un costo mensual
de $3000 por autobús, para embarcarlos durante un mes posterior. El
fabricante no tiene almacenado ningún autobús de este tipo y no
desea ninguno después de terminar este contrato. Determínese un
programa de producción que cumpla las condiciones de la ciudad, a
un costo mínimo para el fabricante.
PROBLEMA 16
Una compañía farmacéutica estima la demanda para una de sus
vacunas (en millones de dosis),de la siguiente forma:
octubre,7.1;noviembre,13.2;diciembre,12.8;enero,7.7;y febrero,
2.1.durante los otros meses, la demanda es relativamente baja y la
política de la compañía para cubrir estas demandas es tener, para
fines de febrero ,un inventario de un millón de dosis. lleva cuatro
semanas producir la vacuna, asi que no hay dosis disponibles para
embarque durante el mes que son producidas. Una vez que la vacuna
esta lista, sin embargo, se la puede enviar de inmediato a los
consumidores o conservarla en inventario a un costo de 10 centavos
mensuales por dosis. Tradicionalmente, la compañía produce la
vacuna solo entre agosto y diciembre. El 1 de setiembre se distribuye
cualquier sobrante del inventario de vacuna del año anterior.
Mes Capacidad Costo
Agosto 12.5 63
Setiembre 11 68
Octubre 9.5 75
Noviembre 8.1 52
Diciembre 5.5 48
PROBLEMA 17
MGM tiene la posibilidad de hacer uso de sus tres fabricas para
elaborar artículos a tres lugares de expendio .La capacidad de cada
fabrica es de 350 artículos y la demanda de cada articulo es de 280
unidades. Los costos de transporte al lugar 1 para cada fabrica es de
5,3 y 3 .Los costos de transporte al lugar 2 son de: 6,2 y 6. Los costos
de transporte al lugar 3 son de: 4,6 y 9. La fabrica 2 no debe ir al
cliente 2.
¿Cuál debe ser el embarque optimo, si el negociante vende los
productos al valor de: $10, $12 y $11 en cada lugar.
PROBLEMA 18
Una empresa desea determinar su política de distribución, para lo
cual va a minimizar sus costes de transporte. Esta compañía tiene
tres plantas, y tres almacenes, y sus costes de transporte son los
siguientes:
PROBLEMA 19
Problema 13.-
Dado 4 trabajadores, para ser asignados a cuatro maquinas, los
valores que estos trabajadores brindan son:
12 12 13 9
5 11 8 20
6 7 10 12
8 4 3 7
Hallar:
a).el costo mínimo.
b) considere que los valores son ingresos.
c) Resuelva si el trabajador 1 puede ser asignado a 2 maquinas
Problema 14
Dado cuatro plataformas para tres puestos con las ganancias:
Puesto
Platafor 1 2 3 4
ma
1 27 12 48 30
2 38 34 51 28
3 27 23 - 23
4 35 28 59 24
REDES
MODELO DE REDES
Ruta Corta:
El modelo de la ruta mas corta se refiere a una red en la
cual cada arco (i;j) tiene asociado un numero Cij; el cual se
interpreta como la distancia (o tal vez el costo o el tiempo)
desde el nodo i hasta el nodo j. Una ruta o camino entre dos
nodos en cualquier secuencia de arcos que los conecte.El
objetivo consiste en encontrar las rutas mas cortas ( o de
menor costo o mas rápidas) desde un nodo especifico hasta
cada uno de los demás nodos de la red.
ARCOS DIRIGIDOS:
Problema 1.-Un transportista desea llevar su mercadería (nodo 1)
desde su punto de producción hacia su cliente (nodo 5),la siguiente
gráfica da los posibles camino que el puede seguir así como las
distancias(km) respectivas, ¿Cuál es la distancia mas corta para
trasladar ls carga?
ARCOS NO DIRIGIDOS:
La empresa Sullivan S.A. desea hallar la ruta mas conveniente que se debe usar desde
su fabrica hacia su puerto de embarque, sus técnicos han elaborado un gráfico para tener
todas sus posibilidades de recorrido (distancias en kilometros). Su fabrica se encuentra
ubicada en 0 y el puerto de embarque esta ubicado en T, como se puede apreciar hay
una variedad de rutas, el siguiente gráfico esboza los caminos entre esos dos puntos.
ALGORITMO DE ARBOL DE EXPANSION MINIMA.
Este algoritmo enlaza los nodos de una res, en forma directa o
indirecta, con la minima longitud de las ramas enlazantes. Una
aplicación caracteristica es en la construccion de carreteras
pavimentadas que unen varias poblaciones. El diseño optimo indica
que se han minimizado las distancias entre todas las poblaciones, a
traves de la minimización de las distancias de los caminos que los
unen.
Características:
4)
EJERCICIOS
PROBLEMA 1
El sistema de carreteras norte – sur que pasa por Albany, New York,
tiene las capacidades que se muestran en la siguiente grafica.
PERT-CPM
Sesión VII
TEORIA DE
COLAS
7 Líneas de espera.
7.1 introducción
7.1.1 Definiciones, características y suposiciones.
El problema es determinar que capacidad o tasa de servicio
proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que el cliente
no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que
momento llegarán los clientes, aunque se suele calcular mediante un
promedio. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo y
también se maneja con un promedio.
Definición.
Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección
de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera
particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el
comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la
línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. Esta
información, junto con los costos pertinentes, se usa, entonces, para
determinar la capacidad de servicio apropiada.
Problemas
Problema 1.-
Se tiene una centro de vente de lotería en la entrada de un centro
comercial, allí la venta lo realiza la señorita Cynthia, anfitriona ella de
la Lotería “Gana Mas”; ella atiende de 8 am hasta las 8 pm, en horario
corrido , y con su experiencia ganada saber convencer a los
potenciales clientes para la compra de la lotería. Ella a calculado que
los compradores de lotería llegan a razón de 10 por hora, ellas los
atiende en un lapso de 5 minutos, mientras le conversas sobre la
lotería, les propone números en fin, para este escenario se desea
saber:
a) ¿Cual es la probabilidad de que su enamorado llegue y lo
encuentre desocupada para charlar con ella?
b) ¿Cuánto tiempo de una hora podría conversar con su enamorado
sin afectar su trabajo?
c) ¿Cuál es la probabilidad que su enamorado tenga que esperar para
que hable con ella?
d) ¿Si su enamorado se pone a la cola, cuanto demoraría en estar
frente a ella?
e)Si Cynthia gana $0.5 por lotería que vende, ¿Cuánto seria si su
ingreso diario promedio?
Problema 2.-
En una paradero de autobuses, una persona espera la pasada del
micro que lo conduzca a casa, la cantidad de pasajeros que llegan al
terminal se puede cuantificar en una cantidad de 1.5 por minuto, el
vendedor de boletos atiende a una velocidad de 100 por hora gracias
su experiencia ganada en al venta de boletos, se desea hallar:
a) Cual es la probabilidad de encontrar cola
b) Cuantos pasajero se puede hallar en cola en cualquier
momento
c) Cuanto tiempo en promedio se demora el vendedor de boletos
en atender a los nuevos pasajeros
d) Cual es la probabilidad de encontrarlo ocioso.
e) Cuanto tiempo se demora una persona en comprar un boleto
f) Cual es la probabilidad de hallar por lo menos 3 personas en la
boletería
g) Cual es la probabilidad de hallar cuatro personas en cola
exactamente
Problema 3.-
Una señorita tipeadora, esta siempre atareada con diversos trabajos,
estos llegan a su estudio con una frecuencia de 4 por hora, para
culminarlos se demora 10 minutos en promedio, según sus deseos
quiere averiguar:
a) Cuantos trabajos recibe en promedio diariamente
b) Cuantos trabajos estarían por culminar por hora
c) Cual es la probabilidad de tener 4 trabajo por terminar
d) Cual es la probabilidad que termine todos los trabajos.
e) La probabilidad de que un trabajo quede concluido en menos
de 45 minutos después de su llegada.
f) Cual es la probabilidad que un cliente espera mas de 5
minutos en espera para que inicien su trabajo.
Problema 4.-
Los trabajos llegan aun centro de control de calidad de acuerdo a
un proceso poissoniano,con la tasa media de dos por hora, y son
inspeccionados de uno en uno siguiendo un orden tipo FIFO.el
ingeniero de control de calidad inspecciona y realiza ajustes
menores, si esto es todo lo necesario para que un trabajo termine
esta fase. el tiempo total de servicio por trabajo aparentemente se
distribuye exponencialmente, con una media de 25 minutos. Los
trabajos que llegan pero no pueden ser inspeccionados de
inmediato por el ingeniero, deben ser almacenados hasta que el
ingeniero pueda encargarse de ellos, Cada trabajo requiere de 10
pies 2 de espacio mientras esta almacenado.
a) cual es la probabilidad de hallar al ingeniero ocupado
b) Cual es la probabilidad de hallar como mínimo 3 trabajos en
cola.
c) Cuantos trabajos en promedio tiene el ingeniero en su local
d) Cuanto tiempo tiene que esperar un trabajo para ser atendido.
e) Cual es la probabilidad que un trabajo demore terminado en
menos de 30 minutos después de su llegada
f) Cual es la probabilidad que un trabajo demore 5 minutos por lo
menos para ser atendido
g) Si por cada trabajo gana $10,cuanto es su
ingreso por hora
h) cual es la probabilidad de hallar mas de dos
trabajos esperando servicio.
Problema 5.-
Los clientes llegan a un banco de una ventanilla para atención en el
auto de acuerdo con una distribución de poisson, con una media de
10 por hora El tiempo de servicio por cliente es exponencial, con una
media de 5 minutos. Hay tres espacios frente a la ventanilla,
incluyendo el del auto al que le esta dando servicio. Otros vehículos
que llegan se forman fuera de ese espacio para tres autos.
a) cual es la probabilidad de que un auto que llega pueda entrar
en uno de estos tres espacios,?
b) Cual es la probabilidad de que esten llenos estos tres espacio?
c) Cuanto tiempo espera un cliente antes de ser atendido?
d) Que porcentaje de su tiempo el servidor esta ocupado
e) Cual es la probabilidad que no exista cola
Problema 6.-
Si un ingeniero se encarga de las reparaciones de maquinas en
un centro de producción, el acomoda las maquinas a una velocidad
de 2 por hora, las maquina se malogran a un promedio de 0.5 por
hora. se pide:
a) cual es la probabilidad de hallar al ingeniero ocupado
b) Cual es la probabilidad de hallar una maquina en cola
c) Cuantos trabajos en promedio tiene el ingeniero en su local
d) Cuanto tiempo tiene que esperar un trabajo para ser atendido.
e) Cual es la probabilidad que un trabajo demore terminado en
menos de 20 minutos después de su llegada
f) Cual es la probabilidad que un trabajo demore 5 minutos por lo
menos para ser atendido
g) Si por cada trabajo gana $12,cuanto es su ingreso por hora
h) cual es la probabilidad de hallar mas de un trabajos
esperando servicio.
Problema 7-
En un banco los clientes forman su cola y según se desocupe el cajero
el cliente es atendido, se tiene dos cajeros, igualmente eficiente y
atienden a un promedio de 60operaciones/cliente por hora. Los
clientes llegan al banco siguiendo un proceso de Poisson, a una tasa
promedio de 100 por hora.
saber:
a) ¿Cual es la probabilidad de encontrar un cajero ocupado?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya una persona en cola
exactamente?
c) ¿Cuál es la probabilidad de no hacer cola?
d) ¿Cuántos clientes habrá en el banco en promedio?
e)Si una persona ingresa a cola, en cuanto tiempo estará frente al
cajero ?
Problema 8.-
Una estación de servicio tiene una bomba para despachar gasolina.
Los autos llegan a comprar gasolina con una tasa promedio de 10 por
hora. Aparentemente el tiempo necesario para dar servicio a un
automóvil con una media de 2 minutos. En la estación caben un
máximo de cuatro automóviles y las leyes locales de transito
prohíben que los autos esperen en al via publica.
hallar:
a) Cual es la probabilidad de encontrar lleno el local
Problema 9.-
Un pequeño banco tiene dos cajeros, uno para depósitos y uno
para retiro. el tiempo de servicio para cada cajero se distribuye
exponencialmente, con una media de 1 minuto. Los clientes llegan
al banco siguiendo un proceso poissoniano, con una tasa media de
40 por hora, se considera que cada uno con una tasa media de 20
por hora, y que ningún cliente realiza tanto un deposito como un
retiro. El banco esta considerando cambiar el arreglo actual para
permitir que cada cajero se encargue tanto de depósitos como de
retiros. El banco esperaría que el tiempo medio de servicio de
cada cajero aumentara a 1.2 minutos, pero desea que el nuevo
arreglo impida que se forme largas colas frente a un cajero. Hallar
un cuadro comparativo de los dos sistemas en base de:
a) Tiempo en que un cliente espera para ser atendido
b) Cola que se forma en cada sistema
c) Probabilidad de hallar desocupado el sistema
d) Tiempo que un cliente pasa en el banco
e) Probabilidad de hallar cola
f) Cajeros ociosos
SISTEMAS DE
INVENTARIOS
Inventario de Mercancías:
• ¿Cuánto pedir?
• ¿Cuándo pedir?
Demanda Flexible
Probabilistico
Suministro Incierto
Demanda Constante
Deterministico
Suministro Instantáneo
Vamos a calcular el tamaño del lote a través de la aplicación del
modelo Determinístico de Harris:
Alternativa 1
Alternativa 2
Alternativa N
EJEMPLO
Agujas S.A., una empresa que comercializa las agujas hipodérmicas
indoloras en los hospitales, desea reducir sus costos de inventario
mediante la determinación del número de agujas hipodérmicas que
debe obtener en cada orden. La demanda anual es de 1000 unidades;
el costo de preparación o de ordenar es de 10 dólares por orden; y el
costo de manejo por unidad de año es de 50 centavos de dólar.
Utilizando estos datos, calcule el número óptimo de unidades por
orden (Q*), el número de órdenes (N), el tiempo transcurrido (T), y el
coso total anual del inventario. Utilizar un año laboral de 250 días.
2DK
1. Q* =
H
2(1000)(10)
Q* =
0.50
Q* = 40000
Q* = 200 unidades
Solución:
D
2. N =
Q*
1000
N=
200
N = 5 órdenes por año
Inventario
150
Problema 4.-
La empresa TRANSPORTE S.A., está orgullosa de su programa de
capacitación de seis semanas para todos sus nuevos conductores de
camiones. Siempre que el tamaño de la clase, sea inferior ó igual 35
choferes, el programa de capacitación de seis semanas, le cuesta a
TRANSPORTE S.A. unos 22.000 dólares por lo que se refiere a
Instructores, Equipos, Etc. El programa de capacitación de
TRANSPORTE S.A. debe darle a la empresa aproximadamente cinco
nuevos conductores al mes. Después de finalizar el programa de
capacitación, se les paga a los nuevos choferes 1.600 dólares
mensuales pero no trabajan hasta que quede disponible una posición
de tiempo completo de chofer. TRANSPORTE S.A., considera los
1.600 dólares mensuales cancelados a cada conductor ocioso como
un costo de posesión necesario para mantener esa fuente de nuevos
choferes de camiones capacitados disponibles para servicio
inmediato. Considerando los nuevos choferes como unidades del tipo
de inventario, ¿de que tamaño debería ser la clase de capacitación
para minimizar los costos totales anuales de capacitación y de
tiempo ocioso de los nuevos choferes? ¿Cuantas clases de
capacitación deberá impartir la Empresa cada año? ¿Cuál es el costo
total anual asociado con su recomendación?
Problema 5.-
Suponga que usted esta revisando la decisión del tamaño del lote
asociado con una operación de producción de 8000 unidades por año,
con una demanda del producto de 2000 unidades por año, el costo de
efectuar un pedido es de 300 dólares por pedido y el costo de
almacenamiento es de 1.60 dólares la unidad por año. Considere
además que la practica actual incluye corridas de producción de 500
unidades cada tres meses ¿recomendaría usted cambiar el tamaño
del lote de producción actual? ¿porqué si y porqué no? ¿Cuánto se
podrá ahorrar al convertir la producción a su recomendación del
tamaño del lote de producción?
Problema 6.-
PUBLICACIONES C.A. produce libros para el mercado infantil cuya
demanda anual constante se estima en 7.200 ejemplares. El costo de
cada libro infantil es de 14,50 dólares. El costo de posesión se basa
en una tasa anual del 18% y los costos de puesta en marcha de la
producción es de 150 dólares por cada puesta en marcha de la
producción. La imprenta tiene una capacidad de producción de
25.000 libros infantiles por año, con una operación de 250 días al año
y plazo de entrega de una corrida de producción de 15 días.
Utilizando el modelo de tamaño de lote de producción determine
todos los parámetros.
Problema 7.-
Una empresa distribuidora de rollos de cables quiere adoptar una
política de inventarios que le permita minimizar el costo total
esperado. La política a utilizar será la de comprar lotes de artículos
utilizando una frecuencia entera óptima. La demanda de rollos
prevista para el período se calcula que será de 400 unidades. Un
proveedor ofrece un modelo de ese rollo a un precio unitario de $ 12
cuando la cantidad a comprar sea menor a 19 unidades, $ 10 cuando
compre entre 20 y 79 unidades y $ 9.50 cuando compre mas de 79
unidades. El costo administrativo por realizar cada compra se calcula
en $ 15. Para averiguar el costo de almacenaje se determino que
tener un rollo almacenado en el deposito cuesta un 55% de su precio
unitario, este porcentaje incluye seguros, custodia, valor de
recuperación (valor de desecho del producto para la empresa, como
por ejemplo una venta con descuento) y la tasa de descuento (el
costo por tener invertido dinero en artículos almacenados y no por
ejemplo en un plazo fijo). Determinar el lote óptimo de compra
Problema 8.-
Una Empresa puede producir un artículo ó comprarlo a un
comerciante. Si lo fabrica, a una tasa de 100 unidades por día, le
costará 20 dólares cada vez que se preparan las maquinas. Si se lo
compra al comerciante le costará 15 dólares cada vez que hace un
pedido. El costo de mantener un articulo en existencia ya sea
fabricado ó comprado es de 0.02 dólares la unidad por día. El uso que
la Empresa hace del artículo se estima en 260.000 unidades al año.
Suponiendo que no se permite ningún faltante, ¿Debe la compañía
comprar el artículo ó producirlo?
Problema 9.-
DIA SA esta evaluando una política de inventarios para implantar en
su nueva línea de producción de jugos, por datos de la empresa se
tiene una demanda de 1300 botellas al mes, el costo de arranque del
sistema de producción tiene un costo total de $600, además el
conservar una caja en inventario tiene un costo de $2 por caja al mes.
Las posibilidades de compra de diferente tipo de maquinaria, sus
costos y capacidad de producción se dan a continuación:
Tipo Costo Costo de Capacidad
de producció de
Maqui n producción/
na mes
A $2100 $4,5/unid 4800 cajas
ad
B $1800 $5/unida 4200 cajas
d
C $3000 $5,5/unid 3900 cajas
ad
¿Que tipo de maquina debe comprarse?
Problema 10.-
La Ajax Manufacturing Company ha compilado la siguiente
información concerniente al componente ·5643. El promedio de
consumo es de 120 unidades diarias, con una desviación estándar de
50 unidades, basada en que la fabrica trabaja 250 días al año. El
costo de adquisición por pedido es de $20. Los costos de
mantenimiento de inventario son de $1 anual, y el tiempo de
adelanto de adquisición es de 10 dias, y es constante. La compañía
ha determinado que solo puede permitirse un agotamiento anual de
las existencias. Calcule:
a) Cantidad económica de pedido.
b) Con un pedido de control de inventario de cantidad fija y ciclo
variable, calcúlese la cantidad de existencias de seguridad
requerida y el punto de renovación de pedido.
c) Con un sistema de control de inventarios de cantidad variable y
ciclo fijo, calcúlese la duración del periodo de revisión y las
existencias de seguridad requeridas.
Problema 11.-
Arco Incoporated ,tiene un consumo mensual de un producto de 125
unidades. Los costos cargados al inventario son de 25 por ciento del
inventario promedio, y los costos de pedidos son de $15.Cada pieza
cuesta$2 y su cantidad económica de pedidos es de 300 unidades. El
flete de un embarque de 300 unidades es de $95.si se embarcan 500
unidades, el flete es de $122.¿Debe comprarse la cantidad de 500
unidades a fin de aprovechar los ahorros de flete?
Walter Vargas S.A. mantiene en su inventario un cierto tipo de llanta
con las siguientes características:
Ventas anuales promedio = 500 llantas
Costo de ordenar = $10 por orden
Costo de mantener = 20% al año.
Costo por artículo = $40 por llanta.
Tiempo de entrega = 5 días.
Desviación estandar de la demanda diaria = 1 llanta
a)Calcúlese el lote económico.
b) Para un sistema Q de control de inventarios, calcúlese el inventario
de seguridad que se requerirá para niveles de servicio del 85%.
c)Hallar el punto de reorden.
d)Hallar el punto de reorden y el stock de seguridad del sistema P.
Problema 12.-
Una tienda de venta de hamburguesas compra sus componente mas
importante al precio de 0,50 /unidad. ,el costo de encargar el pedido
a calculado que es de 7,además como el tiempo que permanece
guardado es pequeño considera 0,1% /dia,
la tienda por el tipo de negocio no tiene certeza en la demanda ,se
calcula que puede vender 50 unidades al día, pero como esto no es
seguro le otorga una varianza de 4 (unidades/día)2 ,además se
demora en entregar el pedido medio día.
el nivel de servicio en las entregas por datos históricos es que de
cada 100 pedidos 5 no son entregados.
a.Hallar el lote económico
b.Hallar el inventario de seguridad.
c.Hallar le punto de reorden.
d.Hallar el costo total
Problema 13.-
Servis Lux, actualmente gasta $1200 por pedido, este gasto trata de
cubrir la demanda de 1500 unidades al mes, en gastos de compra se
tiene $1000 ,y para cubrir el costo de inventario se tiene un
porcentaje de 5%/mes.
a)¿Cuál es el lote a comprar?
b)¿Cuál es el costo unitario?
c)¿Cuál es el costo total?
d)Si se demoran en traer el pedido 2 semanas, ¿Cuál es el punto de
reorden?
Problema 14.-
Si ahora la demanda es probabilística con desviación estándar es de
100 unidades /mes, el nivel de servicio es de 90% .
a) Inventario de seguridad
b) Hallar punto de reorden
c) ¿Cuál es el costo de inventario de seguridad?
Problema 15.-
La empresa Los Próceres esta evaluando dos políticas, una de las es
la seguir comprando sus materiales al precio de $10 por unidad,
mantener un costo de inventario de $6 por unidad al año. La
demanda es de 500 unidades por trimestre, traer los pedidos
acarrean un costo de $50 por pedido.
La otra política es considerar la producción , el costo fijo de arrancar
es de $150, la producción es de 2000 unidades al mes.
¿Cuál política debe elegir?
Problema 16.-
Talsa esta evaluando una política de inventarios para implantar en su
nueva línea de producción de jugos, por datos de la empresa se tiene
una demanda de 12000 botellas al mes, el costo de arranque del
sistema de producción tiene un costo total de $400, además el
conservar una caja en inventario tiene un costo de $1,2 por caja al
mes. Las posibilidades de compra de diferente tipo de maquinaria,
sus costos y capacidad de producción se dan a continuación:
Problema 18.-
Se consume materia prima de 12000 kilos por año. El costo fijo de
cada orden es de $80 ,el costo anual de mantenimiento del inventario
se estima en un 10% de la inversión que representa el inventario
promedio, no se permite déficit, el precio de la materia prima es
variable y esta dado por:
Orden en Kilos Precio por kilo
Problema 19.-
Una compañía produce 40 carpetas personales por día. a pesar que
su capacidad de producción es de 50 unidades diarias El costo para
organizar o preparar una corrida de fabricación es $400 el costo por
almacenar una carpeta durante un mes es de $10,los clientes piden
10 carpetas al dia. El costo eu na carpeta es de $12.
(suponga un mes=30 días y que 360 días=1 año).
Problema 20.-
Se va construir una fabrica, uno de sus objetivos es tener siempre a
sus clientes satisfechos en la entrega de sus pedidos, una unidad de
materia prima ocupa 1,5 m2 y un producto terminado 3m2.Los datos
presentados por el departamento de mercadotecnia sugieren una
compra de materia prima semanal de 200 unidades, y una venta
mensual de 500 unidades de productos terminados..Se tiene tres
proveedores que nos abastecen con materia prima, actualmente se
les compra 280 unidades cada quincena, pero uno de los proveedores
nos propone una posibilidad de descuento si se le compra solo a él, el
costo normal con que se compra actualmente es de $15 por unidad
,pero este precio puede bajar a $12 si se le compra como máximo
400 unidades, si se le compra mas de 400 el precio baja a $10.
Cuesta $50 el gasto de hacer todo el tramite de realizar el pedido ( ya
sea se compre a uno o a tres),la empresa considera un 15% el costo
de conservar dinero inmovilizado en materia prima al mes. Cuando se
inicie la producción el gasto de acomodar la línea, el personal y las
herramientas ascienden a $750, además se tiene la posibilidad de
adquirir dos tipos de maquinas ,la maquina 1 tiene capacidad para
producir 2500 unidades a la semana ,y la otra una capacidad de 6700
unidades al mes. El costo unitario de producción en la maquina 1 es
de $15 y en la maquina 2 es de $20, además se carga un 3% por
mantenimiento de inventario al mes,. La empresa desea respuestas a
las siguientes preguntas:
a) Se acepta el descuento del proveedor.
b) Cual debe ser el lote de compra
c) Cual es el costo de compra
d) Que maquina debe ser usada para la producción
e) Cual es el costo mínimo de producción
f) Cual es el costo total de la empresa (compra mas producción)
g) Cual debe ser el área del almacén.
Referencia Bibliografica
1.-TAHA H. ”Investigación de Operaciones”, PRENTICE HALL, México
1998
2.-EPPEN GOULD, “ Investigación de Operaciones en la Ciencia
Administrativa” ,
PRENTICE HALL, México 2000
3.-WINSTON L-WAYNEA ,”Investigación de Operaciones”, grupo
Editorial
Iberoamerica, Mexico,1994
4.- HILLIER F. Y LIEBERMAN G. “Introducción a la Investigación de
Operaciones “,
McGraw-Hill, México.2001