03 Tema2-LaEconomíadeRobinsonCrusoe

TEMA 2. LA ECONOMA DE ROBINSON CRUSOE.
Las posibilidades de produccin de Robinson Crusoe

El primer modelo que presentaremos, supone la existencia de un solo agente econmico que ha de planificar todo lo referente a la satisfaccin de sus necesidades. Este modelo bsico de decisin de consumo, produccin, trabajo y contratacin de ff.pp., con un solo agente econmico, se concibe como la combinacin de una economa domstica y una empresa.

Supondremos que sus prosibilidades de produccin dependen de una funcin de produccin con dos argumentos.
y = A f (k , l ),
+ +
f (0, l ) = 0, f (k ,0) = 0

Esta funcin puede adoptar la forma de una funcin de Cobb-Douglas.
y = A k
l ,0 1
Esta funcin tiene rendimientos constantes de escala [(1-)+=1], es decir, es homognea de grado 1.

Por el momento, y para simplificar, tambin supondremos que la cantidad de capital es fija e igual a 1.
f (l ) = A l ,0 1
dy 1 f ' (l ) = Pmg l = = A l dl 2 d y 2 f ' ' (l ) = 2 = A ( 1) l < 0 dl

f(l) Funcin de produccin Funcin de producto marginal f(l)
Preferencias entre consumo y ocio.

Como no hay ms personas no hay tampoco intercambio, luego todo lo que produce lo consume:
c t = y t = f (l t )
Como vamos a suponer un solo perodo podemos prescindir del subndice t. C = se mide en unidades fsicas de producto. El ocio sera, entonces, 1-l.

La utilidad sera igual a:
u = u (c, l ), o alternativamente,
+
v = v(c,1 l )
+ +
Para hallar las curvas de indiferencia basta con dar un valor concreto a u y despejar o c o l.

Supongamos ahora que tenemos una funcin de utilidad concreta como la siguiente y queremos despejar el consumo:
v ( c ,1 l ) = ln( c ) + ln( 1 l ) u = ln [c (1 l ) ] , e
u
como e
= x ln x = y , entonces
u
e = c (1 l ) c = (1 l )

La Relacin Marginal de Sustitucin nos indicar cunto habremos de variar c ante una variacin de l, para mantener la utilidad constante:
d u = 0 = u 1 ( c ,1 l ) dc + ( 1 ) u 2 ( c ,1 l ) dl u 1 ( c ,1 l ) dc = u 2 ( c ,1 l ) dl
Incremento de utilidad Prdida de utilidad
La RMS ser:
dc u2 (c,1 l ) RMS = = >0 dl u1 (c,1 l )
Las decisiones de Crusoe.

Como cualquier agente econmico Crusoe debe decidir qu cantidad de consumo desea y, por tanto, cuanto trabajo y ocio quiere. Luego el problema de maximizacin que debe resolver Robinson Crusoe para saber cul sera su utilidad mxima, sera el siguiente:
Las decisiones de Crusoe.
2 . 1 max u ( c , l ) , tal que :

c ,l
2.2 c y 2.3 y = f(l)

Como se ve, bajo el max ponemos las variables que Crusoe debe elegir. La primera restriccin, 2.2, dice que Crusoe consume menos de lo que produce o lo mismo que produce. La 2.3 nos dice qu tecnologa productiva usa Crusoe.
Solucin del problema de Crusoe

Existen dos formas de resolver nuestro problema de maximizacin: por un lado, sustituir la restriccin en la funcin objetivo; la segunda, a travs de multiplicadores lagrangianos.

A) Sustitucin de restricciones en la funcin objetivo: Si suponemos que c=y, entonces c=f(l), luego:
max u[ f (l ), l ]
l

De lo que se trata ahora, que no hay restricciones, es de obtener el mximo por medio de las condiciones de ptimo. En nuestro caso:
d * * u f ( l ), l = dl * * * * * u1 f ( l ), l f ( l ) + u 2 f ( l ), l = 0
{[ [
]}

l* se usa porque es la cantidad de trabajo ptima en la eleccin de Crusoe. El nivel ptimo de consumo se obtiene al sustituir ese l* en la funcin de consumo. Si volvemos a nuestra funcin de utilidad tipo, entonces la condicin de primer orden sera la siguiente:
1 2 .4 A ( l *)
1 1 A ( l *) + =0 1 l *

Reordenando:
l* = 1+
1 = ; l * 1 l *
Al sustituir en la funcin de consumo se obtiene : c* = A 1+

B) Usando lagrangianos: Aunque el procedimiento anterior es el ms sencillo y rpido en muchas ocasiones, a veces las restricciones son lo suficientemente complicadas como para que no sea tan sencillo. Entonces, se procede con los multiplicadores.

Volvamos al problema inicial:
max u (c, l ), tal que :

c ,l
c = f(l)
Para formar el lagrangiano se ha de poner la restriccin en forma implcita. La regla heurstica general es elegir la forma implcita que tenga el signo menos delante de la variable que hace que el maximando sea mayor.

En este caso, ms consumo aumenta la utilidad, luego queremos un c.
L(c, l, ) = u(c, l ) + ( f (l ) c)

Se hallan las condiciones de primer orden de ptimo (First Order Conditions):
FOC c
d L(c, l , ) = u1 (c*, l*) + (1) = 0 dc
FOC l
d L(c, l, ) = u2 (c*,l*)+ ( f (l*))= 0 dl

d L ( c , l , ) = ( f ( l *) c ) = 0 d
FOC

Operando un poco se obtiene:
u1 (c*, l*) = u 2 (c*, l*) = f (l*) u 2 (c*, l*) 2.5 f (l*) = u1 (c*, l*)
Para nuestra funcin de utilidad tendramos lo siguiente:
1 u1 = ; porque u (c, l ) = ln(c) + ln(1 l ); f (l ) = Al c* 1 u2 = , 1 l * 1 1 l * = Al 1 c* = A (1 l*)l 1 , si c = Al 1 c* Al = A (1 l*)l 1 ;
l* = c* = 1+
A 1+

C) Anlisis grfico: A partir de las curvas de indiferencia que vimos antes, podemos tambin establecer el equilibrio del consumidor. En este caso, la pendiente de la curva de indiferencia en el punto de equilibrio nos da la cantidad de consumo adicional que exige una persona para trabajar una unidad adicional de tiempo. Al tiempo, la productividad marginal nos indica la cantidad adicional de producto que genera una unidad adicional de trabajo.

Cuando la pendiente es mayor que la productividad, el agente exige una cantidad mayor por trabajar que lo que se produce trabajando, luego reducir su consumo, y si la pendiente es menor que la productividad, aumentar su consumo trabajando ms. Grficamente:
Efectos riqueza y substitucin

El anlisis de cmo afectan los cambios econmicos a la economa de Robinson Crusoe dividiremos sus respuestas entre efectos riqueza y sustitucin. Un cambio aumenta la riqueza si permite a los individuos obtener un nivel ms alto de utilidad. Un cambio de este tipo se produce cuando, por ejemplo, mejora la tecnologa lo que, en nuestro modelo, ocurre cuando A aumenta. En ese caso, la funcin de produccin pivota hacia arriba desde el origen de coordenadas.

y
A aumenta

El efecto sustitucin se refiere a la facilidad o costes relativos con que los agentes pueden obtener los diversos bienes que les reportan utilidad. Por ejemplo, podran cambiar las posibilidades de transformar una mayor cantidad de trabajo (lo que implicara menor ocio) en una mayor cantidad de consumo.
a) Efecto riqueza
El efecto riqueza puro sera aquel en el que el desplazamiento de la funcin de produccin slo genera un aumento del consumo. En este caso, el desplazamiento de la funcin no alterara su pendiente para un valor dado de trabajo utilizado (l*).
a) Efecto riqueza
y y* F(l) F(l)
l*
a) Efecto riqueza
Cmo responden los agentes econmicos ante un aumento de la riqueza? Esto depender de su funcin de utilidad y, por tanto, de las curvas de indiferencia. Al poder alcanzar una curva de indiferencia ms alta por el desplazamiento de la funcin de produccin, Crusoe podr aumentar los bienes que son normales en su eleccin: el consumo y el ocio. Por tanto, reducir el trabajo que realizar.

Volvamos ahora a la funcin tipo que estamos utilizando. En este caso, y partiendo del nivel de consumo ptimo, una variacin de A, conllevara:
2.7
dc * = dA 1 +

En el caso, de la cantidad ptima de trabajo es ms sencillo:
l* =
1+
Que es igual a lo que ocurra cuando no haba cambiado A.
d l* = 0 dA

Esto quiere decir que la decisin de Crusoe sobre el trabajo no depende de la evolucin de la tecnologa. Intuitivamente podemos decir que, cuando aumenta la tecnologa, por un lado, la productividad marginal del trabajo aumenta, porque lo hace la pendiente de la funcin de produccin; por el otro lado, el aumento de A significa que para cualquier nivel de trabajo, Crusoe obtiene ms producto, es, por tanto, ms rico. Si el ocio es un bien normal, Crusoe trabajara menos pero no es as. Por tanto, en este caso los dos efectos se anulan. Aunque esto no es lo que suele pasar.

Curvas de indiferencia c, y
F(l) (c*)
c*
F(l)
l*

En el caso anterior, la funcin de produccin no se desplaza paralelamente hacia arriba, luego aqu no hay un efecto riqueza puro. La funcin gira en sentido contrario a las agujas del reloj, pivotando alrededor del origen de coordenadas. El desplazamiento hacia arriba nos dara el efecto riqueza, pero el giro, nos dara el efecto sustitucn.

Si aislamos el giro, y superponemos ambas funciones a la altura de l*, tendramos: La nueva funcin tiene ms pendiente que la anterior. En ella, la Pmg es mayor.

Si incluimos ahora las curvas de indiferencia, tendramos:
Ahora Crusoe puede aumentar su consumo (y utilidad) aumentando su trabajo hasta (l*) el efecto sustitucin impllica ms consumo y menos ocio.

Tambin se puede analizar el desarrollo econmico de un pas. Supongamos que este desarrollo viene representado por una serie de desplazamientos proporcionales hacia arriba de las funciones de produccin.
Extensin del modelo a ms agentes

Supongamos que tenemos muchos agentes idnticos que han de decidir su consumo y esfuerzo laboral. Los agentes disponen de bienes de capital. Nuestro objetivo es conocer el precio del esfuerzo laboral y del capital, por lo que nos centraremos en los mercados de trabajo y capital. Debemos determinar el salario w y el inters i. Supondremos que cada agente econmico es propietario de una unidad productiva (empresa) y que cada una de ellas tiene una misma funcin de produccin.
f (l , k ) = A l k (1 ) ,0 1
Cada agente puede contratar al resto en su empresa pero no trabajar en ella (no recibe salario por su empresa), aunque puede contratarse en alguna empresa de otro agente.
Extensin del modelo a ms agentes

Esta funcin es homognea de grado cero, es decir, tiene rendimientos constantes de escala, ya que si aumentamos en una misma proporcin el uso de los factores productivos, la produccin aumentar en la misma proporcin:
f (l , k ) = A (l ) (k ) (1 ) = A (1 )l k (1 ) = = ( Al k (1 ) ) = f (l , k )
Problema de optimizacin de la empresa

En su faceta de empresario, cada agente debe determinar el uso de factores que maximice su beneficio ():
Max .( = Al k (1 ) wl rk )
l ,k
Las condiciones de ptimo para l y k, son:
Al
( 1) (1 )
=w =r
PmK PmgL
A(1 )l k
( )
Dos posible simplificaciones

Como hemos supuesto que la cantidad de capital poseda por cada agente es igual a 1. Esto abre dos posibilidades:
Suponer que no hay mercado de capital y buscar el valor de w. Suponer que hay mercado de capital y buscar el valor de w y r.
Posibilidad 1
La funcin de produccin sera:
f (l ) = A l ,0 1
El problema del empresario:
Max .( = Al wl )
Y la PMgL:
l ,k
Al
( 1)
= w = PMgL
Posibilidad 1
El problema del consumidor, si suponemos que cada agente posee una unidad productiva:
Max . u (c,1 l ) = ln c + ln(1 l )

c,l
s.a. c = wl +
Posibilidad 2
La funcin de produccin sera:
f (l , k ) = A l k
Max .( = Al k
l ,k
(1 )
,0 1
El problema del empresario:
(1 )
wl rk )
Y la PMgL:
Al
( 1) (1 )
=w =r
A(1 )l k
( )
Posibilidad 2
El problema del consumidor, si suponemos que cada agente posee una unidad productiva:
Max . u (c,1 l ) = ln c + ln(1 l )

c,l
s.a. c = wl + r

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Las posibilidades de produccin de Robinson Crusoe

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Las posibilidades de produccin de Robinson Crusoe

Las posibilidades de produccin de Robinson Crusoe

Las posibilidades de produccin de Robinson Crusoe

Preferencias entre consumo y ocio.

Preferencias entre consumo y ocio.

Preferencias entre consumo y ocio.

Preferencias entre consumo y ocio.

dc u2 (c,1 l ) RMS = = >0 dl u1 (c,1 l )

Las decisiones de Crusoe.

Las decisiones de Crusoe.

2 . 1 max u ( c , l ) , tal que :

2.2 c y 2.3 y = f(l)

Solucin del problema de Crusoe

Solucin del problema de Crusoe

Solucin del problema de Crusoe

Solucin del problema de Crusoe

Solucin del problema de Crusoe

Al sustituir en la funcin de consumo se obtiene : c* = A 1+

Solucin del problema de Crusoe

Solucin del problema de Crusoe

max u (c, l ), tal que :

Solucin del problema de Crusoe

Solucin del problema de Crusoe

d L(c, l , ) = u1 (c*, l*) + (1) = 0 dc

d L(c, l, ) = u2 (c*,l*)+ ( f (l*))= 0 dl

Solucin del problema de Crusoe

Para nuestra funcin de utilidad tendramos lo siguiente:

1 u1 = ; porque u (c, l ) = ln(c) + ln(1 l ); f (l ) = Al c* 1 u2 = , 1 l * 1 1 l * = Al 1 c* = A (1 l*)l 1 , si c = Al 1 c* Al = A (1 l*)l 1 ;

Solucin del problema de Crusoe

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Efectos riqueza y substitucin

Efectos riqueza y substitucin

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Efectos riqueza y substitucin

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Que es igual a lo que ocurra cuando no haba cambiado A.

Efectos riqueza y substitucin

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Problema de optimizacin de la empresa

Las condiciones de ptimo para l y k, son:

Dos posible simplificaciones

Max . u (c,1 l ) = ln c + ln(1 l )

El problema del empresario:

Max . u (c,1 l ) = ln c + ln(1 l )

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d L(c, l, ) = u2 (c,l)+ ( f (l*))= 0 dl

1 u1 = ; porque u (c, l ) = ln(c) + ln(1 l ); f (l ) = Al c* 1 u2 = , 1 l * 1 1 l * = Al 1 c* = A (1 l)l 1 , si c = Al 1 c Al = A (1 l*)l 1 ;