Flotaci N J. Yianatos
Flotaci N J. Yianatos
Flotaci N J. Yianatos
“FLOTACIÓN DE MINERALES”
Juan Yianatos B.
2005
Índice General
1 Principios Básicos 5
1.1 Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Densidad Aparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Densidad de Pulpas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Empuje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Balance de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.1 Balance de masa global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.2 Balance de masa por componente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.3 Recuperación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Flujo by-pass y Reciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Tecnologı́a de la Separación 13
2.1 Objetivos: Separabilidad y Recuperación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Materia Prima: Tamaño de Partı́cula y Liberación . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Etapas del Proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Captura selectiva de partı́culas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Separación de burbujas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1
Flotación de Minerales
4 Proceso de Flotación 30
4.1 Caracterı́sticas del Proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.1 Quı́mica del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.2 Cinética del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Objetivos del Equipo de Flotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.1 Formación del agregado partı́cula-burbuja (colección) . . . . . . . . . . 31
4.2.2 Transporte de burbujas (separación) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Requerimientos para la Colección y Separación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3.1 Disipación de energı́a en celdas mecánicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3.2 Adhesión partı́cula-burbuja (colección) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.3 Formación interfase pulpa-espuma (separación) . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4 Preguntas Frecuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Equipos de Flotación 37
5.1 Celdas Mecánicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1.1 Geometrı́a de la celda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1.2 Volumen de la celda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1.3 Flujo especı́fico de aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.4 Impulsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.5 Estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.6 Variables de diseño de celdas mecánicas industriales . . . . . . . . . . . 42
5.2 Celdas Neumáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2.1 Columnas contra corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2.2 Columnas co-corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Comparación Entre Celdas Mecánicas y Neumáticas . . . . . . . . . . . . . . . 50
7 Modelación Cinética 62
7.1 Modelos Probabilı́sticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.1.1 Schuhmann (1942) [38] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.1.2 Tomlinson y Flemming (1965) [39] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.1.3 Kelsall (1961) [40] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.2 Modelos Cinéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.3 Efecto de la Espuma en el Proceso de Flotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Referencias 126
Principios Básicos
Previo al análisis del proceso de flotación, es necesario repasar algunas definiciones básicas
de Fı́sica que están involucradas en los fundamentos del proceso de flotación.
El proceso de flotación se basa en la interacción entre las burbujas de aire y las partı́culas
de sólido presentes en la pulpa. La eficiencia que tienen las burbujas para atrapar en forma
selectiva las partı́culas de mineral y luego ascender cargadas hasta el rebalse, depende de
múltiples fenómenos que ocurren en la pulpa. Principalmente, diferencias en las propiedades
fı́sico-quı́micas superficiales de las partı́culas. Mediante el uso de reactivos estas diferencias
se acentúan y permiten la captura preferencial de algunas partı́culas, que son colectadas y
transportadas por las burbujas de aire.
En este curso se analizarán los conceptos básicos, caracterı́sticas de diseño, variables de
operación y sistemas de control de equipos de flotación industrial.
Los tópicos aquı́ presentados se encuentran resumidos y simplificados con el objeto de
entregar un conocimiento básico sobre la flotación. Información más especı́fica y detallada
puede obtenerse a través de las referencias y anexos.
1.1 Densidad
Se define la densidad de un cuerpo como el cuociente entre la masa del cuerpo y su
volumen.
m
ρ= (1.1)
V
Los diferentes estados de la materia, sólidos, lı́quidos y gases, presentan densidades muy
diferentes. Valores tı́picos son :
5
Flotación de Minerales
Y conociendo:
msolido
ρsolido = ⇒ msolido = ρsolido · Vsolido (1.7)
Vsolido
maire
ρaire = ⇒ maire = ρaire · Vaire (1.8)
Vaire
Vsolido Vaire
ρaparente = ρsolido · + ρaire · (1.10)
VT otal VT otal
Vsolido Vaire
= 0.55 y = 0.45 (1.11)
VT otal VT otal
Ejemplo 1: Si se conoce Vsolido /VT otal , Vaire /VT otal (de los datos entregados por la
ecuación 1.11) y las densidades del sólido y el aire (ρsolido = 2600[kg/m3 ] y ρaire = 1.2[kg/m3 ]),
Calcular la densidad aparente.
Ejemplo 2: Una pulpa con 32% en peso de mineral, cuya densidad es de 2.5 [g/cm3 ].
Calcular la densidad de la pulpa.
100 32
ρT otal = 2.5 + 100−32
1
ρT otal = 1.24[g/cm3 ]
1.4 Empuje
El concepto de empuje, E, proviene de la hidrostática y corresponde a la fuerza que
un lı́quido ejerce sobre un objeto sumergido. Esta fuerza es igual al volumen del lı́quido
desplazado multiplicado por su peso especı́fico, ver ecuación 1.15.
E = V · ρliquido · g (1.15)
El balance de fuerzas en torno a una burbuja, ver Figura 1.1, se expresa con la ecuación
1.16.
F = E − FP − FR (1.16)
empuje, E
burbuja
roce, F R
peso, F P
La fuerza de empuje es mucho mayor que el peso, por lo que la burbuja tenderá a subir ha-
cia la superficie del lı́quido. Esta tendencia disminuirá en la medida que se adhieren partı́culas
de sólido en la superficie de la burbuja. La razón que explica lo anterior radica en el hecho de
que el empuje prácticamente no variara durante la colección de burbujas al contrario de los
que sucede con el peso que aumenta significativamente al aumentar el número de partı́culas
adheridas.
¿Según esta historia habrá alguna diferencia en la aireación de una celda rougher y una
de un cleaner?
a) F es la alimentación al sistema.
b) C es el producto valioso obtenido del sistema, es decir, el concentrado.
c) T corresponde al producto descartable del sistema, es decir, el relave.
d) XFi corresponde a la ley del mineral valioso en la alimentación.
e) XCi corresponde a la ley del mineral valioso en el concentrado.
f) XTi corresponde a la ley del mineral valioso en el relave.
C, x Ci
F, x Fi
T, x Ti
F =C +T (1.17)
1.5.3 Recuperación
La recuperación es una medida de la eficiencia del proceso de flotación. En el proceso
se busca tener una alta recuperación del mineral valioso, pero se debe tener en cuenta que a
medida que aumentamos la recuperación baja la ley. La razón que explica lo anterior es que
al aumentar la recuperación se va ensuciando el concentrado con ganga.
La recuperación se puede expresar como:
La ecuación 1.19, se puede escribir considerando los parámetros de la Figura 1.2 como:
C · XCi
R= (1.20)
F · XFi
Finalmente, la ecuación 1.20 puede ser expresada considerando el balance de masa global
y por componentes desarrolladas en las secciones 1.5.1 y 1.5.2 respectivamente.
F, x Fi T, x Ti
B, x Fi
F, x Fi T, x Ti
R, x Ti
conc Scv
conc Clr
Ejemplo 3: Sea un circuito RCS. Calcular la recuperación global del circuito, si la recu-
peración en cada etapa es de un 80%.
masa conc Ro
RRo = ⇒ masa conc Ro = RRo · 1
1
Luego, por balance de masa, la masa de relave rougher está dada por: mrelave = 1−RRo .
(1 − RRo ) · (1 − RScv )
RRo · RRo
RG =
1 − RScv · (1 − RRo ) − RRo · (1 − RClr )
0.82
RG = = 94.1%
1 − 2 · 0.8 · (1 − 0.8)
Tecnologı́a de la Separación
Energía Reactivos
EQUIPO
Productos
CIRCUITO
Alimentación
Aire AGUA
13
Flotación de Minerales
100-20 (um )
mineral valioso A
(2.1)
mineral total
La Figura 2.4 muestra la separación óptima del mineral, ejemplo propuesto, y corresponde
a un diagrama Ley vs Recuperación.
100
Ley , %
A
0 100
Rec A, %
La Figura 2.5 corresponde a otro tipo de representación gráfica conocido como Curva
de Separabilidad del mineral y posee propiedades vectoriales que facilitan el análisis y la
interpretación de la eficiencia técnica de separación. El rendimiento corresponde a la fracción
de masa inicial obtenida en el concentrado, y es igual a C F según la Figura 1.2.
100
Rec , %
A
0 100
Rendimiento A , %
Transporte en
la espuma
Retorno
Transporte en
la pulpa
Colección del
mineral
Adhesión del
colector
Fundamentos Fı́sico-Quı́micos de la
Flotación
En un proceso de flotación las partı́culas minerales colisionan con burbujas. Las partı́culas
se clasifican como flotables, si se adhieren a las burbujas y son transportadas hasta una capa
de espuma.
LÍQUIDO LÍQUIDO
S S
G G
Estado 1 Estado 2
Donde:
17
Flotación de Minerales
LÍQUIDO
S
δ
G
γ LG
γ SG
θ
γ SL
Para conocer el ángulo de contacto que se debe alcanzar para producir la adhesión de la
partı́cula de sólido a la burbuja, se realiza un balance de fuerzas entre las tensiones superficiales
de la Figura 3.3, es decir:
d) Los minerales que poseen un ángulo de contacto pequeño son conocidos como minerales
hidrófilos, es decir, tienen una alta afinidad con el agua.
e) Los minerales que poseen un ángulo de contacto grande son conocidos como minerales
hidrófobos.
O O fractura O-
Si Si Si + H + = Si (OH)
O O O O-
Si
Si +
O
O + (OH) - = Si (OH)
Si +
+ - +
-
+ - +
+ - -
mineral + - - líquido
+ -
+
+ -
-
+ - capa difusa
+ -
capa estancada
potencial superficial, ξ
potencial zeta, ζ
Potencial
0 distancia
plano de deslizamiento
plano Stern
Potencial Z
60
40
PZC
IEP
20
2 4 6 8 10 12 14 pH
-20
-40
-60
Se prefiere trabajar en medio alcalino, pues la mayorı́a de los colectores son estables y los
equipos sufren menos corrosión.
Para controlar el pH se pueden utilizar los siguientes productos:
3.2.1 Colectores
Los colectores son substancias orgánicas cuyo anión o catión tiene una estructura integrada
por una parte polar y otra apolar, ver Figura 3.8.
CH 3 S
CH - O - C
CH 3 S- Na +
cadena Se adhiere al
hidrocarburos mineral
La parte polar del ión se adsorbe en la superficie del mineral. Por otra parte, la parte
apolar, constituida por una cadena de hidrocarburos, queda orientada hacia la fase acuosa,
dando el carácter hidrófobo al mineral, ver Figura 3.9.
ión polar
Mineral
a) Mientras más larga sea la cadena de hidrocarburos mayor será el ángulo de contacto y,
por lo tanto, mayor será la hidrofobicidad adquirida por el mineral.
Las partı́culas de mineral convertidas en hidrófobas por la acción del colector se adhieren
a las burbujas de aire que van ascendiendo por la pulpa. Por lo tanto, la recuperación de
mineral aumentará en la medida que aumente el ángulo de contacto.
Por lo general, sólo se requiere una capa monomolecular de colector en la superficie del
mineral. Incluso bastará con tener zonas de adsorsión locales en la superficie para que la
partı́cula se adhiera a la burbuja de aire y pueda ser flotada. Lo anterior se puede explicar
por la rugosidad, forma irregular y la variedad mineralógica de la superficie del mineral.
Se pueden distinguir dos tipos de colectores, dependiendo de la carga de éste: catiónicos
y aniónicos.
El tipo de colector a utilizar en flotación depende del pH de trabajo en los equipos y, por
lo tanto, del potencial zeta. La Figura 3.10 se puede explicar considerando el comportamiento
del potencial zeta con la variación de pH, ver Figura 3.7.
colector colector
Rec, % aniónico catiónico
100
80
60
40
20
2 4 6 8 10 12 14 pH
Colectores Aniónicos
Se caracterizan porque su parte polar posee una carga negativa la cual se adsorbe a una
superficie con carga positiva. Entre los colectores más conocidos se encuentran los Xantatos.
CH 3 S
CH - O - C
CH 3 S- Na +
cadena Se adhiere al
hidrocarburos mineral
En la Tabla 1 se listan los ángulos de contacto para algunos colectores de tipo Xantatos.
Colectores Catiónicos
Se caracterizan porque su parte polar posee una carga positiva la cual se adsorbe a una
superficie con carga negativa. Entre los colectores más conocidos se tiene las aminas y sales
cuaternarias de amonio. Las aminas son derivados del amonio, cuyos hidrógenos están reem-
plazados por radicales.
n o+
R − N H3 CH3 COOH − (3.7)
Estos colectores son menos selectivos que los aniónicos y rara vez quedan adsorbidos de
manera absolutamente especı́fica a un mineral determinado. Por ello, es necesario potenciar
su selectividad mediante reactivos reguladores (activadores, depresantes), variando el pH o
dosificando correctamente.
Otras aminas especiales, por ejemplo, éter-aminas, se recomiendan especialmente para la
flotación inversa de fierro, en la que el cuarzo se separa de los minerales de fierro por flotación
y el hierro es deprimido con almidón.
3.2.2 Activadores
Tienen como función preparar o acondicionar la superficie del mineral para la adsorción
del colector. Por ejemplo, Cu+2 (en la forma de CuSO4 ) es adecuado para flotar el mineral
de esfalerita, ZnS.
3.2.3 Espumantes
En la flotación es necesario incorporar burbujas de aire las cuales al colisionar con las
partı́culas de mineral manifiesten su avidez por el aire adhiriéndose a las burbujas. La es-
tabilidad de la adherencia a la burbuja dependerá de la eficiencia del espumante. Además,
dentro de los equipos se produce en forma espontánea coalescencia de las burbujas y éstas
crecen. El espumante modifica las propiedades superficiales de la burbuja para reducir la
coalescencia.
Los lı́quidos puros (agua, parafina, alcohol etı́lico) no producen una espuma estable cuando
se agitan con aire y las burbujas que se producen coalescen o colapsan muy rápido. Sin
embargo, la adición de pequeñas cantidades de substancias activas como alcoholes superiores,
forman una espuma estable con la adición de aire disperso. La resistencia de la espuma
dependerá de la intensidad en la interacción del espumante con el agua en la zona interfacial
lı́quido-gas.
Los espumantes más comunes son los que contienen grupos hidroxı́licos, OH − , como por
ejemplo:
OH CH 2
CH 3 CH CH 2 CH CH 3
Al igual que los colectores, estos están constituidos por una “cabeza” polar1 que se orienta
hacia la fase lı́quida y una “cola” de hidrocarburos que se orienta a la fase gas, ver Figura
3.13.
ión polar
Burbuja
d) Una vez que la espuma que retiene al mineral es retirada de la celda de flotación, debe
romperse fácilmente.
6 Qg
AT,burb = (3.10)
dB
El área total de burbuja se designa con la letra S.
1
En este caso lo iones de la cabeza polar son grupos OH − , lo cuales son iones débiles
Ejemplo: Si Qg = 2·104 [cm3 /s], calcular el número de burbujas y el área total de burbuja.
Se sabe que:
Sin espumante se observó que dB = 1 [cm].
Con espumante se observó que dB = 0.2 [cm].
La Tabla resume los resultados.
3.2.4 Depresante
Tienen como función inhibir o evitar la adsorción del colector en la superficie de aquellos
minerales que no son valiosos para el proceso. Por ejemplo: el cianuro, N aCN , se utiliza
para depresar los compuestos de F e y se utiliza principalmente en la flotación selectiva de
molibdeno y cobre.
d) Indique cuáles son los reactivos utilizados en flotación. Explique que función que
cumplen dentro del proceso y las caracterı́sticas de cada uno de ellos.
e) Indique que tipos de colector existen. Además, explique cuál es el efecto del pH sobre
el Potencial Z y como influye en la elección del colector.
h) ¿Cuál de los siguientes reactivos usarı́a como colector en un mineral cuyo potencial zeta
está dado por la Figura 3.6, si desea operar a pH básico.?. Justifique su respuesta.
||
S
Proceso de Flotación
30
Flotación de Minerales
a) Las partı́culas sólidas también entran en la espuma por arrastre mecánico o hidráulico.
b) Parte del lı́quido entre las burbujas en la espuma retorna a la pulpa acarreando parte
del sólido originalmente arrastrado.
En general, las celdas comerciales no son ideales ni muy eficientes en cuanto a la formación
y remoción de la espuma. La Figura 4.1 muestra una representación simplificada de los
principales flujos en un equipo de flotación.
concentrado
aire
ESPUMA
mineral
aire arrastrado
PULPA BURBUJAS
rompimiento agregado
mineral ganga
ganga mineral aire
aire
arrastrado alim
colas
Los pasos que controlan el proceso varı́an con el diseño de la celda y las condiciones de
operación. Lo más crı́tico de evaluar es el transporte de masa a través de la interfase pulpa-
espuma, tal como el transporte de agregados partı́cula-burbuja, arrastre de partı́culas finas y
drenaje.
c) Promover una zona de calma tal que se forme una interfase pulpa-espuma nı́tida y
estable.
velocidad superficial de gas, para crear la interfase pulpa-espuma y para cumplir el transporte
de masa a través de la interfase. Estas condiciones de contorno son válidas para cualquier
operación de flotación industrial tanto en celdas mecánicas, celdas neumáticas o columnas,
independiente del mecanismo de dispersión de las burbujas.
La Figura 4.2 muestra los contornos teóricos para la flotación de minerales sulfurados, que
corresponden adecuadamente con las mediciones de velocidad superficial de gas y tamaño de
burbuja realizadas en la industria. El rango tı́pico de tamaño medio de burbuja en celdas
mecánicas y columnas es de 1-1.5 [mm], mientras la velocidad superficial del gas es Jg =
1 − 1.6 [cm/s] en celdas mecánicas y 1.5 − 2.2 [cm/s] en columnas [9], [10], [11], [12], [13],
[14]].
Figura 4.2: Zona de interfase distintiva, sin lı́mites de transporte y con espuma estable.
De esta forma, para tamaños de burbuja menores que 1.5 [mm], el contorno superior
en la Figura 4.2 corresponde al máximo flujo de gas teórico que se puede entregar con el
fin de construir una interfase pulpa-espuma distintiva. Para velocidades superficiales de gas
menores que 2.5 [cm/s] el contorno inferior corresponde a la mı́nima velocidad superficial de
área de burbuja, Sb = 35−45 [s−1 ], reportado en celdas mecánicas [15], [14], [13], relacionadas
principalmente con limitaciones en la capacidad de transporte y remoción de espuma a bajos
flujos de gas. Esta condición también es consistente con el mı́nimo Sb = 43 [s−1 ] observado
c) Según la Figura 4.2, explique los lı́mites operacionales y los factores que comienzan a
ser crı́ticos en cada uno de estos lı́mites.
d) Señale dos razones de por qué las burbujas muy pequeñas pueden reducir la eficiencia
de flotación.
Equipos de Flotación
Hasta mediados de los años 70’s las celdas de flotación con agitación mecánica y auto-
aspirantes dominaron el mercado. A partir de los años 1980’s, se han incorporado masivamente
en la industria las celdas mecánicas de gran tamaño, tanto auto-aspirantes como de aire forza-
do, y también las celdas neumáticas [19], [20]. En alrededor de cienaños se han desarrollado
una gran cantidad de celdas de diversos diseños, sin embargo, las celdas de flotación mecánica
de amplio uso en aplicaciones industriales no han cambiado mucho en términos de su diseño.
La falta de criterios fundamentales y confiables para el diseño y escalamiento, y el requerim-
iento de novedad en la especificación de patentes explica en parte la gran variedad de tipos
de celdas.
El objetivo de la celda de flotación es realizar una serie de funciones simultáneas como la
suspensión de partı́culas sólidas, aspiración de aire, dispersión del aire en forma de pequeñas
burbujas, y finalmente el contacto y mezclado de las partı́culas con el aire. La celda de
flotación debe proporcionar al fluido un ambiente en el cual existan zonas con alta intensidad
de mezclado y otras donde exista una relativa tranquilidad. El agregado burbuja-partı́cula
pasa a una región de calma para la separación, entrando finalmente a la fase espuma.
Un adecuado diseño de la celda requiere:
37
Flotación de Minerales
estables en toda la celda, además se reduce la existencia de puntos muertos. Las partı́culas
más gruesas tienden a desagregarse cuando la longitud del transporte horizontal en la espuma
aumenta. Por lo tanto, las celdas de gran tamaño se fabrican de forma circular, ver Figura
5.1.
Para asegurar la distancia de transporte más corta posible hasta la canaleta recolectora
de concentrado se incorporan rebalses internos.
También,
£ ton ¤ para el diseño de circuitos estándar se recomienda una capacidad de rebalse de
1.5 h·m [21], lo cual es similar a la capacidad de rebalseobservada en celdas neumáticas
(columnas).
Otra modificación para mejorar la remoción de la espuma ha sido la incorporación de
aceleradores de espuma ajustables (tipo cónico), denominados frothcrowders . Para este
objetivo se usa un cono invertido, reduciendo el área de descarga del concentrado.
Se ha observado que la recuperación de partı́culas gruesas depende de la altura de la capa
de espuma, de la distancia de transporte horizontal en la espuma, del tiempo de residencia
en la espuma (velocidad superficial del aire). De esta forma, una menor altura de espuma
aumenta la recuperación, lo mismo ocurre con la disminución del área de transporte de la
espuma.
5.1.4 Impulsor
El impulsor se considera el corazón de una celda de flotación mecánica. El impulsor en
una celda “autoaspirante” cumple tres funciones :
a) Suspensión de partı́culas.
c) Circulación de pulpa.
El diseño del impulsor es simple con variaciones entre fabricantes, estas consisten de una
turbina con paletas usualmente ubicadas en forma perpendicular a la dirección de rotación
de la pulpa. Al respecto, existen diferentes puntos de vista de la manera cómo la pulpa y el
aire deberı́an interactuar con el impulsor. Unos favorecen el mezclado total de pulpa y aire a
través de todo el volumen de la celda, mientras otros señalan la necesidad de circular la pulpa
a través del impulsor. Un ejemplo de este último caso es el impulsor Wemco 1+1, que posee
una considerable altura con relación a su diámetro. La parte superior del impulsor produce
la aspiración del aire mientras que la sección más baja favorece la circulación de la pulpa.
En todos los casos anteriores el contacto aire-pulpa ocurre en la parte periférica del im-
pulsor y más lejos aún. La pulpa es arrojada a la región de alta presión en el borde delantero
de las paletas, mientras que las burbujas son creadas en la región de baja presión detrás del
borde de la paleta, ver Figura 5.3.
5.1.5 Estator
El estator no participa en la formación de las burbujas, la función principal es la creación
de regiones tranquilas (menos turbulentas) en el estanque, reduciendo los remolinos horizon-
tales de la pulpa. El estator generalmente ubicado al lado del impulsor dirige las burbujas
horizontalmente hacia el piso del estanque, mejorando la distribución del aire y también in-
crementando la capacidad de aireación.
Por ejemplo, en el centro de la celda Wemco 1+1 existe un sistema rotor dispersor, Figura
5.4, el aire ambiental ingresa a la celda y se distribuye a través de la pulpa mezclándose por
A pesar del gran número de diseños de celdas y las diferencias en estilos, la mayorı́a de las
celdas mecánicas hasta 40 − 50 [m3 ], muestran un comportamiento similar a un ”reactor per-
fectamente agitado”[Yianatos et al., 2001]. Por esta razón las celdas se arreglan tı́picamente
en bancos para reducir el corto-circuito de la pulpa.
• Agua de lavado.
Las celdas neumáticas se clasifican según la forma de contactar la pulpa y el aire en:
columnas contra-corriente y columnas co-corriente.
Las columnas industriales tienen distintas formas geométricas, las más comunes son:
Las columnas con un diámetro equivalente superior a 1.5 [m] normalmente se dividen
mediante tabiques divisores (baffles) con el objeto de minimizar los efectos de circulación y
turbulencia interna. La altura total de las columnas puede variar en función de las carac-
terı́sticas operacionales requeridas. Sin embargo, a pesar de la gran diversidad de condiciones
la mayorı́a de las columnas industriales tiene alturas de 10 a 14 [m].
A escala piloto, las columnas de flotación se comportan como un “reactor flujo pistón
contra-corriente” con baja dispersión [Finch and Dobby, 1990]. En la práctica industrial, sin
embargo, la mayorı́a de las columnas opera en un régimen de flujo cercano a un “reactor
perfectamente mezclado” [22]; estacondición es ineficiente para alcanzar un nivel alto de re-
cuperación en una sola etapa. Por esta razón, las columnas se usan comúnmente en circuitos
de limpieza junto con bancos de barrido de limpieza formados por celdas mecánicas.
Algunas caracterı́sticas importantes de estos tipos de columnas de flotación se detallan a
continuación.
Figura 5.13: Efecto del agua en inyector externo tipo lanza con orificios.
c) Divisores internos.
En las columnas de gran tamaño se usan divisores internos (baffles) para mejorar la
distribución de flujos, reducir la circulación interna del fluido, y mejorar el contacto de
las fases pulpa y aire. El área equivalente tı́pica de las secciones es de aproximadamente
1 [m2 ].
d) Rebalses internos.
Al aumentar el tamaño de las columnas es necesario aumentar el largo de rebalse del
concentrado, debido a que el perı́metro de rebalse no aumenta proporcionalmente con
Por otra parte, la menor disipación de energı́a, lo que significa una menor intensidad de
mezclado, en la zona de colección reduce la ruptura de agregados burbuja-partı́cula.
Otro factor importante en la recuperación de partı́culas gruesas y finas es el mayor
tiempo de residencia efectivo de las burbujas en la columna. Puesto que las burbujas
generadas en la base de la columna recorren toda la zona de colección, su tiempo de
residencia es mayor que el de una celda mecánica de capacidad comparable. El efecto
de todos estos factores combinados tiene como resultado un aumento en la recuperación
del mineral de interés.
b) Ley.
La columna de flotación puede generar concentrados con leyes más altas que las celdas
de flotación. Este aumento en la ley se debe a los siguientes factores,
Esta acción de limpieza es una de las principales razones para el uso de columnas principal-
mente en las etapas de limpieza (cleaner) en diversos circuitos de concentración de minerales.
R c ·R f
Zona de
Limpieza
R c ·(1-R f )
Rc
F 1 Zona de
1-R c
Colección
Por lo tanto, la recuperación global para cada especie esta dada por la ecuación 6.1.
Rc · Rf
Rglobal = (6.1)
1 − Rc · (1 − Rf )
52
Flotación de Minerales
Ac · Hc · (1 − εg )
τ= (6.2)
Qt
Donde:
El tiempo de residencia de las partı́culas sólidas en una celda de flotación bien agitada es
similar al del lı́quido, baja segregación. Sin embargo, en una columna es función de la velocidad
de sedimentación y, por lo tanto, aumenta al disminuir la granulometrı́a aproximándose al
tiempo de residencia del lı́quido para partı́culas muy finas. Las partı́culas mayores que 100
[µm] tienen un tiempo de residencia igual o menor que el 50% del tiempo de residencia del
lı́quido [27].
6.1.2 Reactivos
Los reactivos comúnmente usados en la flotación son el Colector, para la captura selectiva
de los minerales a flotar, el Espumante para reducir el tamaño de burbujas y generar una
espuma estable, y el Regulador de pH, generalmente cal. La adición de reactivos se regula
en forma manual o automática, en diferentes puntos del circuito, desde la molienda húmeda
a la flotación, de acuerdo a los tonelajes y flujos de alimentación. Aunque existen recursos
disponibles, como medición de leyes en lı́nea y plataformas para adquisición de datos y control,
en la gran minerı́a no se observan muchas aplicaciones de control automático de reactivos en
función del resultado metalúrgico del proceso.
Partı́culas Finas
Las partı́culas finas o ultrafinas, menores a 20 [µm], crean la mayor parte de los problemas
en la flotación de minerales. Por ejemplo, baja recuperación por factores hidrodinámicos.
Las partı́culas pequeñas tienen baja inercia y tienden a moverse con el fluido cuando se
aproximan a una burbuja. Los efectos eléctricos son más importantes, repulsión de la doble
capa. La velocidad de flotación puede mejorarse usando burbujas más finas, por ejemplo
diámetros de 200-400 [µm] en la flotación por aire disperso. Sin embargo, la disminución del
tamaño de burbujas tiene limitaciones, por ejemplo el arrastre de burbujas finas a las colas y
la pérdida de la interfase . Otra forma de mejorar la colección de partı́culas finas es promover
la coagulación o floculación selectiva del mineral [29].
Partı́culas gruesas
Las partı́culas gruesas tienen menor grado de liberación, menor tiempo de residencia y
menor eficiencia de colección. El principal problema es la ruptura del agregado burbuja-
partı́cula debido a la turbulencia en la celda.
Las partı́culas en la superficie de las burbujas están sometidas a la acción de la fuerza
centrı́fuga y se soltarán si la fuerza centrı́fuga es superior a la fuerza de tensión superficial que
mantiene la partı́cula sobre la burbuja. Finalmente, las partı́culas gruesas, con menor fuerza
de adhesión, tendrán la primera opción a desprenderse desde la espuma, por coalescencia o
colapso de las burbujas, retornando a la pulpa.
Para mejorar la recuperación de partı́culas gruesas se necesita un sistema que permita
mantener las partı́culas en suspensión y dispersar el aire en burbujas creando el mı́nimo de
turbulencia. La solución óptima requiere el uso de accesorios independientes para la dispersión
de la pulpa y la generación de burbujas.
Qg
Jg = (6.3)
Ac
La velocidad superficial máxima de aire en una columna está limitada por:
∆P
εg = 1 − (6.4)
ρpulpa · g · L
Donde:
6.4 muestra una distribución de tamaño de burbujas observada en una columna de flotación
del concentrador de Andina [28].
• Bias.
• Agua de lavado.
• Altura de espuma.
6.2.1 Bias
El bias representa la fracción neta de agua que fluye a través de la espuma y es el principal
responsable de la acción de limpieza (rechazo de partı́culas finas arrastradas hidráulicamente)
en la espuma de columnas de flotación. Se considera un bias positivo cuando el agua de lavado
es superior al agua recuperada en el concentrado, y entonces parte del agua fresca se recupera
en el relave de la columna.
El bias se estima comúnmente como la diferencia entre los flujos volumétricos del relave
(Qt ) y la alimentación (Qf ), mediante la ecuación 6.5.
B = Qt − Qf (6.5)
Qt
RB = (6.6)
Qf
Tı́picamente se recomiendan valores de RB de 0.05 a 0.15. Sin embargo, pueden calcularse
valores más precisos de bias a partir de la diferencia entre el flujo de agua de lavado y del
agua del concentrado.
La estimación del bias como diferencia de los flujos volumétricos de alimentación y relave
tiene dos importantes desventajas,
b) La diferencia de dos mediciones de flujos grandes (con error pequeño) puede significar
errores superiores al 100% en la estimación del bias (flujo pequeño).
Además, desde un punto de vista de control del proceso la estimación del bias es afectada
por las variaciones del nivel de la interfase, introduciendo una importante fuente de error
(ruido) en su estimación [Yianatos et al., 1995] dada por la ecuación 6.7.
dHc ¡ ¢
B = Qt − Qf ± · 1 − εg · Ac (6.7)
dt
Con la adición de agua de lavado se aumenta la selectividad del proceso sin pérdida de
recuperación [Yianatos et al., 1988]. La efectividad del agua de lavado depende, idealmente,
del flujo y de la distribución homogénea del agua, abarcando toda el área de la espuma, sin
perjudicar el transporte del material flotado.
La velocidad superficial mı́nima del agua de lavado, Jw , será la necesaria para formar un
lecho de espuma estable, y alcanzar el flujo de bias adecuado para una efectiva acción de
limpieza.
El efecto del agua de lavado en las columnas se ilustra en la Figura 6.5, donde se comparan
los flujos de agua de una columna y de una celda mecánica. En la columna se aprecia que
el agua de lavado “reemplaza” el agua de alimentación en el material flotado (concentrado)
y se distribuye entre esta fracción y la fracción que retorna a la zona de colección. De esta
forma se genera un flujo neto descendente de agua (bias) que minimiza los efectos de arrastre
hidráulico de las partı́culas que pasan al producto flotado.
b) El uso de Jw elevado aumenta el consumo de agua y produce una dilución del concen-
trado, dificultando y elevando los costos de las etapas posteriores de espesamiento y
filtración.
Para seleccionar el valor adecuado de Jw se debe considerar que la acción del agua de
lavado es más eficiente para velocidades superficiales de aire Jg < 2 [cm/s]. Para valores de
Jg > 2 [cm/s], se debe aumentar Jw para reducir el arrastre de agua de alimentación hacia la
espuma.
Modelación Cinética
En la práctica, el estudio del sólido finamente dividido se realiza separando las partı́culas
en un número finito de clases de tamaño . Las propiedades como flotabilidad no son mode-
lables por valores únicos ni bien definidos, ni siquiera para especies puras, y no pueden ser
consideradas como intrı́nsecas de las especies minerales, pues varı́an, no sólo con el acondi-
cionamiento de los reactivos sino con las condiciones de operación del proceso de separación.
Aún más difı́cil es predecir la distribución de estas propiedades en el caso de partı́culas mixtas.
En forma general, en el proceso de flotación se identifican dos zonas, la zona de colección
y la zona de espuma, que contribuyen de modo complementario al resultado final del proceso
de separación. Sin embargo, la dificultad de expresar los fenómenos fı́sicos y quı́micos que
ocurren en ambas zonas, ası́ como la imposibilidad de medir directamente el transporte de
mineral entre ambas zonas, limita el uso y confiabilidad de modelos matemáticos teóricos. En
algunos casos, por ejemplo en flotación columnar, se ha intentado modelar la zona espuma de
columnas industriales con el objeto de evaluar su impacto en la operación [35].
Existen distintos tipos de modelos para describir el proceso de flotación:
a) Modelos Empı́ricos.
b) Modelos Probabilı́sticos.
c) Modelos Cinéticos.
Los modelos empı́ricos se basan en la realización de una serie de experimentos, de los
cuales se recopila una gran cantidad de datos que deben ser analizados para entregar una
información coherente. Tienen la desventaja que no permite realizar extrapolaciones con los
datos obtenidos. Estos modelos pueden ser adaptivos1 o no.
Los modelos fenomenológicos son difı́ciles de describir ya que son sistemas complejos, que
poseen una gran cantidad de variables.
62
Flotación de Minerales
F = Pe · Pf (7.2)
Este modelo describe F en función de,
W = W0 · (1 − p) (7.3)
Donde:
W 0·p W n-1 ·p
...
W0 W=W 0·(1-p) W n =W 0 ·(1-p) n
t=0 t = t1 t = tn
Wn = W0 · (1 − p)n (7.4)
A+B C
+
burbuja mineral
Sin embargo, la flotación no sólo consiste en la formación del agregado sino que además,
se necesita la separación del mineral sólido, es decir, el transporte a la espuma y, finalmente
al concentrado.
En la práctica, a pesar de las complejidades del proceso de flotación, la variación de la
concentración normalmente se puede representar por un sistema simple de primer orden, el
cual se adecúa bien a la respuesta del proceso.
El sistema real analizado en la subsección 4.2.1, especı́ficamente la Figura 4.1, se simplifica
a una corriente de entrada y dos de salida, es decir, a una caja negra. En el caso batch la
operación se representa según la Figura 7.3.
mC
m, C, V
Para esta operación en particular, se tiene que la variación másica de mineral es propor-
cional a la masa del mineral en la zona de colección, dada por la ecuación
dm
= −k · m (7.5)
dt
Donde:
£ masa ¤
C : concentración al interior de la celda
£ 1 volumen
¤ .
k : constante cinética de flotación tiempo .
El parámetro k representa la constante cinética de una determinada especie. En realidad k
no es constante sino que depende de varios factores: naturaleza del mineral (composición, aso-
ciación, etc.), acondicionamiento del mineral, reactivos de flotación, condiciones de operación
(flujo de aire, flujo alimentación, etc.), geometrı́a o diseño de la celda.
Dividendo la ecuación 7.5 por el volumen de pulpa en la zona de colección, V , y resolviendo
considerando la condición de borde C = C0 en t = t0 , se obtiene:
C = C0 · e−k·t (7.6)
La Figura 7.4 muestra la respuesta de tiempo del proceso.
0.9
0.8
0.7
0.6
C/Co
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tiempo
C0 − C(t)
R= (7.7)
C0
Reemplazando la ecuación 7.7 en la ecuación 7.6 se obtiene el modelo de la recuperación
ideal para operación batch:
R = 1 − e−k·t (7.8)
100
90
80
70
Recuperación, %
60
50
40
30
20
10
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tiempo
C = C0 · (1 − k)t (7.10)
La ecuación 7.10 es similar al modelo de Kelsall, ver ecuación 7.4, y las analogı́as entre
sus parámetros son las siguientes:
dC
= −k · (C − C∞ ) (7.11)
dt
R = R∞ · (1 − e−k·t ) (7.12)
Donde:
100
90
80
70
Recuperación, %
60
50
40
30
20
10
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tiempo
• QC << QF .
conc
Q C, C C
alim
Q F (m 3/min)
C F (ton/m 3 )
C T, V
cola
Q T ,C T
QC · CC = k · V · CT (7.13)
En la ecuación 7.13 no se considera el efecto de la espuma. Luego, la recuperación en la
celda está dada por,
QC · CC
R= (7.14)
QC · CC + QT · CT
Sustituyendo la ecuación 7.13 en la ecuación 7.14, se obtiene:
k · V · CT
R= (7.15)
k · V · CT + QT · CT
Dividiendo la ecuación 7.15 por Qt · CT se obtiene una expresión para la recuperación de
mineral en la flotación continua,
k·τ
R= (7.16)
(k · τ + 1)
Donde τ = QVF corresponde al tiempo medio de residencia nominal.
Para el caso real de un proceso de flotación donde R∞ 6= 100%, la recuperación está dada
por,
k·τ
R = R∞ · (7.17)
(k · τ + 1)
Concentrado
espuma
m2
k2
m1
k1
pulpa (colección)
a) Existe una cinética de primer orden en la pulpa. El flujo másico transferido en la,
interfase es proporcional a la masa en la zona de pulpa.
dm1
= −k1 · m1 (7.18)
dt
dm2
= k1 · m1 − k2 · m2 (7.19)
dt
Para resolver el sistema de ecuaciones anterior es necesario considerar las condiciones de
borde,
½
m1 = 1
En t = 0 (7.20)
m2 = 0
½
m1 = 0
En t = ∞ (7.21)
m2 = 0
Aplicando las condiciones de borde para resolver las ecuaciones 7.96 y 7.97, se obtiene la
masa en la pulpa y en la espuma a través del tiempo, ver ecuaciones 7.22 y 7.23.
k1
m2 (t) = · (e−k1 ·t − e−k2 ·t ) (7.23)
k2 − k1
Además:
k2 · e−k1 ·t − k1 · e−k2 ·t
m1 (t) + m2 (t) = (7.24)
k2 − k1
De la ecuación 7.24:
Concentrado
espuma
m2
k2
k 3(retorno)
m1
k1
pulpa (colección)
dm1
= −k1 · m1 + k3 · m2 (7.27)
dt
dm2
= k1 · m1 − k2 · m2 − k3 · m2 (7.28)
dt
Para resolver el sistema de ecuaciones anterior es necesario considerar las condiciones de
borde,
m1 = 1
En t = 0 m2 = 0 (7.29)
m3 = 0
m1 = 0
En t = ∞ m2 = 0 (7.30)
m3 = 0
Aplicando las condiciones de borde a las ecuaciones 7.103 y 7.104 y utilizando Transfor-
mada de Laplace para encontrar la solución del problema, se obtiene:
1
m1 (t) + m2 (t) = · (A · eB·t − B · eA·t ) (7.31)
A+B
De la ecuación 7.31: A y B son las raı́ces reales de la ecuación auxiliar 7.32 y |A| > |B|.
s2 + a · s + b = 0 (7.32)
donde:
a = k1 + k2 + k3
b = k1 · k2
Además, considerando A y B negativos, el segundo término de la ecuación 7.31 desaparece
rápidamente, por lo que el comportamiento global resulta equivalente a un sistema de primer
orden
100
90
80
70
60
E(t)
50
40
30
20
10
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tiempo
dCT
V · = QF · CF − QT · CT − QC · CC (7.34)
dt
El termino V · dC
dt corresponde al material que sale del equipo. Además, el termino QC ·CC
T
dCT
V · = QT · CF − QT · CT (7.35)
dt
V dCT
· = CF − CT (7.36)
QT dt
V
Sea τ = QT el tiempo de residencia nominal, la ecuación 7.36 queda:
dCT
τ· + CT = CF (7.37)
dt
Utilizando transformada de Laplace para encontrar la solución de la ecuación 7.37, se
obtiene el modelo de la distribución del tiempo de residencia en un mezclador perfecto, dada
por la ecuación
¡ ¢
1 t
CT (t) = · e − τ (7.38)
τ
En la Figura 7.11 se muestra la distribución exponencial del proceso continuo perfecta-
mente mezclado.
1/τ
0.04
0.035
0.03
0.025
E(t)
0.02
0.015
0.01
0.005
Mezclador Perfecto
Flujo Pistón
τ/2 τ
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
tiempo
• El 39.2% del material de la celda permanece un tiempo medio t < τ2 . Este material
tiene una baja probabilidad de ser flotado, ya que está un corto tiempo en la celda, por
lo tanto, existe una baja recuperación de mineral. Esta zona se denomina cortocircuito,
ya que esta fracción del material permanece un tiempo muy breve en la celda.
• El material que posee un tiempo de residencia muy grande, tiene una alta probabilidad
de colección, es decir, existe una alta recuperación de mineral. Sin embargo, este mayor
tiempo de residencia del material aumenta el arrastre de ganga del concentrado, por lo
tanto, baja la ley final.
Flujo Pistón
0.08
0.07
n=1
1/τ n=2
0.06
n=5
n = 10
E(t)
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
τ/2 τ
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
tiempo
Figura 7.12: Efecto del aumento en el número de celdas sobre E(t) en operación continua.
100
90
80
70
Recuperación, %
60
50
40 Flotación Batch
Flotación Banco n Celdas
30
Flotación Continua
(mezclador perfecto)
20
10
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tiempo
Figura 7.13: Efecto del aumento en el número de celdas sobre E(t) en operación continua.
Donde E(k) es una función de distribución de la constante cinética, para especies min-
erales con diferente velocidad de flotación, y E(t) es la función de distribución de tiempo de
residencia, para procesos con diferente nivel de mezclado.
E(k) y E(t) pueden ser distintas funciones matemáticas y que varı́an de acuerdo a las
operación que se llevará a cabo.
Z ∞Z ∞µ ¶
−k·t
R = R∞ · 1−e · δ(k) · δ(t)dtdk (7.46)
0 0
¡ ¢
R = R∞ · 1 − e−k·t (7.47)
Donde R∞ representa la recuperación máxima alcanzable para un tiempo infinito de op-
eración.
Z ∞Z ∞µ ¶
−k·t 1 −t/τ
R = R∞ · 1−e · δ(k) · ·e dtdk (7.50)
0 0 τ
µ ¶
k·τ
R = R∞ · (7.51)
1+k·τ
¡ ¢
Z ∞Z ∞µ ¶ t
t(n−1) · e τ
R = R∞ · 1 − e−k·t · δ(k) · n dtdk (7.54)
0 0 τ · (n − 1)!
µ ¶
1
R = R∞ · 1 − (7.55)
(1 + k · τ )n
Ejemplo: Se tienen dos especies mineralógicas, una de las cuales posee una cinética rápida
y la otra una lenta.
Sea:
kr : cinética rápida.
kl : cinética lenta.
φ : fracción de las especie de cinética rápida.
Para el caso de flotación batch, se tiene:
2
X
R = Ri · φi (7.58)
i=1
¡ ¢ ¡ ¢
R = φ · 1 − e−kr ·τ + (1 − φ) · 1 − e−kl ·τ (7.59)
¡ ¢
R = R∞ · 1 − φ · e−kr ·τ − (1 − φ) · e−kl ·τ (7.60)
Las constantes cinéticas pueden ser determinadas empı́ricamente a través de una gráfico
como se muestra en la Figura 7.14.
100
90
φ 80
70
ln(1−R/Rinf)
60
50
kr
1−φ40
30
kl
20
10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tiempo
En el caso más general, es decir, cuando existen infinitas especies, la recuperación del
banco de flotación puede ser expresada por una distribución continua, E(k), según,
Z ∞
R = R(k) · E(k)dk (7.61)
0
Z ∞µ ¶
1
R = 1− · E(k)dk (7.62)
0 (1 + k · τ )n
En el caso más simple, modelo de Garcı́a-Zúñiga, el proceso se describe con una sola
constante cinética, entonces la función E(k) está dad por,
E(k) = δk (7.63)
En un caso más general, se considera una función de distribución de constantes cinéticas
del tipo rectangular [42].
½ 1
E(k) = kmax if 0 < k < kmax (7.64)
0 if k < kmax
La función 7.64 se caracteriza por un solo parámetro que representa la constante cinética
máxima de la distribución rectangular. Esta distribución tiene la ventaja de mantener el
mismo número de parámetros, pero aumenta la flexibilidad pues considera la existencia de
especies con diferentes velocidades de flotación. Esta situación es más real, por ejemplo para
describir el efecto del tamaño de partı́cula en una misma especie mineral o de diferentes
asociaciones minerales.
0.2
0.19
0.18
0.17
0.16
0.15
0.14
0.13
0.12
E(k)
0.11
1/k 0.1
max
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
kmax
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
constante cinética, k
En forma más general, se plantean distribuciones continuas más complejas, por ejemplo
del tipo gama. Sin embargo, el uso de ese tipo de distribuciones implica un mayor número de
parámetros, con menor significado fı́sico, y su rango de validez resulta más limitado.
½ 1
kmax if 0 < k < kmax
E(k) = (7.66)
0 if k < kmax
Z ∞Z ∞µ ¶
−k·t 1
R = R∞ · 1−e · · δ(t)dtdk (7.67)
0 0 kmax
µ ¶
1
R = R∞ · 1 − · (1 − e−kmax ·t ) (7.68)
kmax
Z ∞Z ∞µ ¶
−k·t 1 1
R = R∞ · 1−e · · · e−t/τ dt dk (7.71)
0 0 kmax τ
µ ¶
ln(1 + kmax · τ )
R = R∞ · 1 − (7.72)
kmax · τ
¡ ¢
Z ∞Z ∞µ ¶ t
−k·t ·e τ 1 t(n−1)
R = R∞ · 1−e · · n dt dk (7.75)
kmax τ · (n − 1)!
Ã0 0
µ ¶ !
1 − (1 + kmax · τ )1−n
R = R∞ · 1 − (7.76)
kmax · τ · (n − 1)
0.025
0.02
E(k)
0.015
0.01
0.005
0 10 20 30
k1
40
k 50 60 70 80 90
kmax
100
b(a+1)
E(k) = · k a · e−b·k (7.78)
Γ(a + 1)
donde:
n
X ¡ ¢2
ψ|min = C(t)calculada − C(t)experimental (7.81)
i
dm = q · E(t) dt (7.82)
0.03
0.025
0.02
C(t)
0.015
0.01
0.005
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
dt tiempo
dM = QT dt (7.83)
0.04
0.03
E(t)
0.02
0.01
dt
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tiempo
dm q · E(t) dt
C(t) = = (7.84)
dM QT dt
q · E(t)
C(t) = (7.85)
QT
Z ∞
q · E(t) k·t
C(t) = · e · E(k) dk (7.86)
0 QT
q · E(t) ba+1
C(t) = · (7.87)
QT (b + t)a+1
Ek = Ec · Ea (7.88)
donde:
Ek : Eficiencia de colección.
Ec : Eficiencia de colisión
Ea : Eficiencia de adhesión.
π · rc2
Ec = (7.89)
π · ra2
µ ¶2
rc
Ec = (7.90)
ra
A c =π·r c2
r c : radio crítico
a
A b =π·r a2
colisión
ts
θ
Área = A
Aire
El número de partı́culas que son capturadas por una burbuja de diámetro 2 · dB , está dado
por,
Nr = Ek · C · π · d2B · h (7.91)
donde:
Qg
Nb = 4 (7.92)
3· π · d3B
Qg
Nb = π·d3B
(7.93)
6
dNr Qg
= Ek · C · π · d2B · h · 4 (7.94)
dt 3 · π · d3B
dNr 3 Qg
= · h · Ek · C · (7.95)
dt 2 dB
La velocidad de cambio del número de partı́culas en la celda está dada por,
dNt dNr
= − (7.96)
dt dt
dNt 3 Qg
= − · h · Ek · C · (7.97)
dt 2 dB
Pero,
Qg = Jg · A (7.98)
Nt = C · (h · A) (7.99)
dC 3 Ek
(h · A) · = − ·h·A· · Jg (7.100)
dt 2 dB
dC 3 Ek · Jg
= − · ·C (7.101)
dt 2 dB
En la ecuación 7.92 los términos constantes se agrupan para dar lugar a la constante
cinética de flotación, es decir:
3 Ek · Jg
k= · (7.102)
2 dB
La ecuación 7.102 demuestra que la constante cinética es proporcional a la eficiencia de
colección Ek y a la velocidad superficial de gas Jg , e inversamente proporcional al radio de
burbujas, a.
La ecuación 7.102, también puede ser expresada en función del flujo superficial de superficie
de burbuja, S[m2 /min/m2 ], según la ecuación.
1
k= · Ek · SB (7.103)
4
donde:
6 · Qg
S = (7.104)
dB
S
SB = (7.105)
A
alimentación cola Ro
conc Ro
cola Clr
conc Clr
91
Flotación de Minerales
conc Scv
conc Ro
cola Clr conc Clr
En la Figura 8.2 la etapa Scavenger tiene por objetivo aumentar la recuperación de mineral
y la etapa Cleaner tiene por objetivo aumentar la ley del mineral.
Para observar las ventajas del circuito frente a la utilización de las etapas en forma indi-
vidual, se considera el análisis de nodos.
Alim
RR 1-R R
C S
R R ·(1-R C )
R R ·R C (1-R S)·(1-R R )
R S ·(1-R R )
En la Figura 8.3, se muestra el circuito RCS en donde cada etapa del circuito corresponde
a un nodo. El análisis consiste en encontrar la recuperación global del circuito, determinando
la recuperación de cada etapa del circuito.
Si la alimentación al nodo R es 11 , la recuperación global está dada por la ecuación 8.1.
RR · RC
RG = (8.1)
1 − RR · (1 − RC ) − RS · (1 − RR )
donde:
1
Las unidades corresponden a masa.
R2
RG = (8.2)
1 − 2 · R · (1 − R)
Ejemplo: La separación en una etapa de flotación de una pulpa que contiene Cr2 O3 y
SiO2 produce un concentrado con una ley de Cr2 O3 de 93%, considerando RCr2 O3 igual a
90% y RSiO2 igual a 15%. La ley de la alimentación es de 68.9% de Cr2 O3 y 31.1% de SiO2 .
Alternativamente, si se trabaja con el circuito RCS se tiene que la recuperación global de
Cr2 O3 es de 98.8% y la ley del concentrado es de 98.7% de Cr2 O3 .
Ley
mineral puro
Trabajo en planta
Circuito RCS
1 etapa
alim
Rec
100
100
90
80
70
60
R, %
50 50
40
30
20
10
0
ρ50
0
densidadsol
ek·z
R= (8.4)
e−k·z + ek·z
Comparando la separación ideal con la separación real, se obtienen parámetros que indican
la calidad de la separación.
a) Análisis de una etapa.
Si se deriva la ecuación 8.4 y se evalúa en z = 0, se obtiene:
R2
RG = (8.7)
1 − 2 · R · (1 − R)
dRG dRG dR
= · (8.8)
dz dR dz
¡ ¢ µ ¶
dRG 2R 1 − 2R(1 − R) − R2 (4R − 2) dR
= ¡ ¢2 · (8.9)
dz 1 − 2R(1 − R) dz z=0
µ ¶
dRG k
=2· (8.10)
dz z=0 2
µ ¶
dRG
=k (8.11)
dz z=0
En la Figura 8.6 se observa que con el circuito RCS se mejora la calidad de la separación
y se tiende a la operación ideal (separación perfecta).
100
curva ideal
90
80
60
R, %
50
40
30
20
10 RCS, k
0
−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100
z
Este modelo permite estudiar otros tipos de arreglos de circuito y determinar la flexibilidad
de éste. Se debe considerar que sistemas complejos no necesariamente mejoran la separación.
Para el caso en que se tengan n etapas en serie de recuperación y limpieza.
en·k·z
Rn = (8.12)
e−n·k·z + en·k·z
µ ¶ µ ¶
dRn dR
=n· (8.13)
dz z=0 dz z=0
En la ecuación 8.13 si n → ∞, la pendiente es igual a infinito y, por lo tanto, existe una
separación perfecta desde el punto de vista del equipo.
ganga libre
ganga libre t=t n
.
ganga + mineral
t=t 2
atrapada
mineral valioso
mineral valioso libre t=t 1
libre
Sin embargo, en la separación real el mineral valioso se obtiene siempre con ganga asocia-
da2 .
En la medida que transcurre el tiempo de separación va disminuyendo su ley. Lo anterior
se muestra en la Figura 8.8.
ganga libre
ganga libre
ganga + mineral
atrapado ganga + mineral ganga libre
atrapado
mineral + ganga
atrapada
mineral + ganga
atrapada
libre
mineral valioso
libre
t=t 1 t=t 2 . . . t=t n
2
Esto se debe a mecanismos de arrastre o falta de liberación.
20
18
16
14
12
Ley 10
0 5 10 15 20 25 30 35
Rec
100
90
80
70
60
Rec
50
40
ley
30
20
10
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tiempo
C ·c
R= (8.14)
F ·f
Y se define el rendimiento como la fracción del flujo másico de la alimentación que va al
concentrado.
C
Y = (8.15)
F
100
90
80
70
60
R, %
50 m=c/f
40
30
20
10
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
100
B
90
A
80
70
60
R, %
50 m=c
40
30
20
10
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y/f
Y
Figura 8.12: Curva de separabilidad R vs f .
cantidad separada
ET = (8.16)
cantidad separable
M S
100
90
ganga pura
80
70 mineral puro
R
K
60 K
R, %
L
50
c=f
40
30
20
10
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y/f
del proceso.
−→ −−→
OL OB R−Y
ET = −−→ = −−→ = f
(8.19)
OM OC 1− m
donde:
f : es la ley de la alimentación.
m : es la ley del elemento (ej: cobre) en el mineral.
100
M S
90
c=f
C
80
70
RK
60 Q K
R, %
L
50
c=f
B c=f
40
30
20
10
YK/f
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y/f
Figura 8.14: Eficiencia técnica de separación en función de los parámetros del proceso.
máxima separación real. La ecuación 8.21 corresponde a la Eficiencia Técnica Real relativa a
la máxima separación, la cual sólo incluye el efecto de la operación (equipos).
−→
OL
ET,max = −−→ (8.21)
OQ
La eficiencia de separación de un mineral real permite visualizar si una operación está
funcionando en forma adecuada. Es posible determinarla de tres maneras:
b) Cuando la ley incremental del concentrado es igual al la ley de alimentación, ver Figura
8.15.
100
90
80
70
60 Ley acumulativa
R, %
50
40
30 Ley incremental
20
10
Ley alimentación
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tiempo
ET = Ru − Rg (8.22)
100
Ru
90
80
70
60 (Ru−Rg)max
R, %
50
40 Rg
30
20
10
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
tiempo
Para comparar la operación de la planta real, se utiliza como referencia la curva de sepa-
rabilidad ideal de la materia prima real5 , ver Figura 8.17.
Q
100
90
80 L
M
70
B
60
R, %
A
50
40
c=f
30
Separación ideal de la materia prima real
20 Separación real de la materia prima real
10
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y/f
Según la Figura 8.17, la eficiencia técnica relativa a la separación ideal de la materia prima
real está dada por:
−→
OA
ET,rel = −−→ (8.23)
OB
Hasta aquı́, se han estudiado las curvas de separabilidad para la flotación en una sola
etapa. A continuación en la Figura 8.18 se presenta su aplicación para el circuito RCS (ver
Figura 8.2).
5
Libre de los efectos del proceso de separación
100
S
C
90
RRo 80
A
70
60
R
50
B
40
c=f
30
20
10
O
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y/f
S
Cn = · 100 (8.25)
P
En la Figura 8.19 se ha trazado la ley neutra, con una pendiente menor que la ley de la
alimentación (también puede ser mayor). Como se puede ver en este caso la recuperación de
mineral es mayor que la recuperación obtenida desde el punto de vista técnico.
Sea:
x : El segmento AREE .
REE − x : El segmento OA.
El máximo beneficio económico se obtiene maximizando la diferencia REE − x. Esta
diferencia se puede describir en función de los parámetros de operación conocidos.
Sea :
x Y
Cn = ⇒ x = Cn · (8.26)
Y /f f
Y
R= ·c (8.27)
f
Y Y
R−x = · c − Cn · (8.28)
f f
µ ¶
Cn
R−x = R· 1− (8.29)
c
60
55
50
45
40
35
Ley, %
30
25
20
15
10
0
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
R, %
R·F ·f
B =R·F ·f ·P −k·F −S· (8.31)
c
Donde:
h i
ton
F : flujo másico de alimentación a flotación h .
h i
k : Costo unitario de flotación ton$alim .
h i
S : Costo unitario de fundición ton$conc .
El primer término del lado derecho de la igualdad corresponde al valor del concentrado,
el segundo corresponde al costo de flotación y el último corresponde al costo de fundir el
concentrado.
Se define el Beneficio Especı́fico según,
µ ¶
B Cn k
BE = =R· 1− − (8.32)
F ·f ·P c P ·f
Las ventajas de este criterio son:
• Es adimensional.
• Es proporcional al criterio económico de la ley neutra.
• Depende de parámetros que se pueden estimar fácilmente.
dPf inal
=0 (8.34)
dR
90
separación ideal
fracción de material pesado,%
80
70
60
50
40
30
20
10
gravedad específica
a) Efectos de mezclado.
100
90 mineral puro
80
70
60
R, %
50
c=f
40
Flujo pistón (batch)
30 Mezclador perfecto
20
10
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
Y/f
100
90 mineral puro
80
70
60
R, %
50
c=f
40
Flujo pistón (batch)
30 Mezclador perfecto
20
10
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y/f
• Dispersión de gas.
• Colisión de las partı́culas con las burbujas. La presencia de Eddies alteran las lı́neas de
flujo, de tal manera que las partı́culas que no están dentro del radio critico de la burbuja
o que no tienen suficiente inercia para colisionar y adherirse, también se pueden adherir.
a) Pruebas de laboratorio.
B, b
A, a
C, c
Figura 9.1: Análisis de flujos en un circuito para el ajuste de balances de materiales.
B c−a
= (9.1)
A c−b
En consecuencia, la razón A/B se puede determinar indirectamente de la cualidad o car-
acterı́sticas medidas1 .
La pregunta natural en este punto es: ¿se obtendrá la misma razón B/A si se resuelve
utilizando el análisis fraccional y la fracción más fina que 200 mallas?. La respuesta en no.
La razón es que a menos que los valores a, b y c sean perfectos, en el sentido que el
muestreo, análisis y estado estacionario sean perfectos, se debe esperar diferencias en la razón
B/A si se utilizan distintas cualidades.
1
Análisis quı́mico o granulométrico.
115
Flotación de Minerales
Por lo tanto, se requiere determinar la mejor estimación de B/A, además, se desea que los
valores a, b y c se ajusten para corresponder a la mejor estimación anterior.
Esto no es un ejercicio académico, sino que tiene significado práctico.
Concentrado
Alimentación w 2 , c 2i
w 1 , c 1i
Colas
w 3 , c 3i
w1 − w2 − w3 = 0 (9.2)
El balance por componentes está dado por,
Considerando los errores intrı́nsecos a los métodos de muestreo y análisis, asociados a los
valores de las concentraciones de los diferentes elementos de interés en cada corriente, estos
pueden expresarse según,
X
J = δiT · [Mi ]−1 · δi (9.8)
i
k
XXn µ ¶2
δij
J = (9.9)
σij
j i
donde,
2
σij : es la varianza de cij .
k : es el número de corrientes.
n : es el número de elementos de interés.
En el caso del separador de la Figura 9.2, se tiene que:
2
£ ¤ σ1i 0 0
Mi = 0 2
σ2i 0 (9.10)
0 0 σ3i2
Se definen además,
£ ¤
B= w1 −w2 −w3 (9.11)
c,1i
C,i = c,2i (9.12)
c,3i
δ1i
δi = δ2i (9.13)
δ3i
donde,
λ1
λ2
λ= .. (9.15)
.
λn
El desarrollo final de Lagrange arroja como resultado la matriz de ajuste δi para cada
corriente:
µ ¶−1
T T
δi = −[Mi ] · B · B · [M i] · B · B · Ci (9.16)
Ahora se pueden obtener los errores para cada elemento i en cada corriente j. Para esto,
es necesario fijar las variables independientes, dado por la ecuación 9.17, (grados de libertad)
en el sistema para la optimización de la función objetivo J.
El problema tiene 1 grado de libertad, por lo tanto, se fija como valor conocido el flujo de
la alimentación w1 = 1, por lo tanto:
w3 = 1 − w2 (9.18)
La Tabla 9.2 resume los resultados realizados para el separador.
corriente 3 corriente 4
corriente 1 w 3 , c 3i w 4 , c 4i
w 1 , c 1i
corriente 2
w 2 , c 2i
corriente 5
w 5 , c 5i
w1 + w5 = w3 + w2 (9.19)
w3 = w4 + w5 (9.20)
El desarrollo del método de optimización indica que la matriz de ajustes que minimiza la
función J, al igual que en el sistema de 1 nodo, se describe según,
µ ¶−1
T T
δi = −[Mi ] · B · B · [M i] · B · B · Ci (9.21)
w1 = 1 (9.25)
w4 = 1 − w2 (9.26)
w3 = w4 + w5 (9.27)
Instrumentación y Control
122
Flotación de Minerales
Por otro lado, el máximo tamaño de burbujas de alrededor de 3 [mm], resulta limitante
por la pérdida de estabilidad de la espuma, y la necesidad de una zona de calma cerca de la
interfase limita la velocidad superficial del gas Jg alrededor de 3 [cm/s].
• Flujo de aire.
• Nivel de pulpa.
• Dosificación de reactivos.
• pH.
Otras variables internas tales como la concentración (holdup) de gas, tamaño de burbujas
o el flujo real de ”bias”de agua en columnas, no son aún de uso común.
Por otra parte, las variables manipuladas más comunes en la operación de planta son el
nivel de pulpa, flujo de aire, dosificación de reactivos y el flujo de agua de lavado.
Las celdas mecánicas se arreglan en filas para disminuir el cortocircuito y también por
razones de control. Cada fila consiste en un número de bancos de celdas de flotación en serie.
Tı́picamente, para celdas de gran tamaño de 40 − 130 [m3 ], el número de celdas por banco
es de 2 ó 3, y el número total de celdas por fila es de 8-10. Ahora, debido al aumento en
el tamaño de las celdas el número total de celdas por fila tiende a disminuir. Al respecto,
se ha sugerido el uso de un mı́nimo de 5 celdas de gran tamaño por fila para compensar los
problemas de cortocircuito y control [21].
Hace algunos años atrás era común ver muchos circuitos de flotación con numerosas
cámaras de TV, que permitı́an al operador seleccionar cada celda y observar el rebalse de
la espuma mientras tomaba decisiones en una sala de control centralizada. En los últimos
años el desarrollo de los sistemas de visión de espuma por computador junto con el análisis au-
tomático de imágenes [?] han permitido la caracterización en lı́nea de lasuperficie de espumas
industriales, incluyendo la distribución de tamaños de burbuja, estabilidad y la estimación
de la velocidad de remoción de la espuma. Estos sistemas ahora están disponibles comercial-
mente y ha sido usado en algunas plantas para propósitos de control mediante manipulación
del flujo de aire y nivel de pulpa. Sin embargo, todavı́a no se dispone de correlaciones prácticas
para estimar la ley del mineral y la recuperación de espuma a partir de los parámetros de la
superficie de espuma.
En consecuencia, a pesar que la información de la velocidad de descarga de espuma es una
herramienta valiosa para mantener una operación más estable bajo control automático, la
medición de leyes en lı́nea resulta imperativa para optimizar la operación. También, se ha ob-
servado que aún están presentes algunos antiguos problemas relacionados con la confiabilidad
(calibración), robustez y mantenimiento de la instrumentación.
Por otra parte, se ha logrado un control efectivo de columnas de flotación industrial usando
un sistema de control supervisor que coordina la manipulación del nivel de pulpa, el flujo de
aire, y el flujo de agua de lavado (dosificación de reactivos) con el fin de mantener la ley de
concentrado en un rango determinado [49].
En resumen, los avances en el control de flotación están relacionados principalmente con
el desarrollo de nueva instrumentación, por ejemplo sistemas de visión de espuma y autom-
atización del proceso. El uso de la información disponible en lı́nea bajo control supervisor
experto, incluyendo mediciones de objetivos metalúrgicos tales como leyes, permiten un mejor
diseño de las estrategias de control.
Eventualmente, la referencia del agua de lavado puede estar asociada al bias, si se dispone
de medidores de flujo de alimentación y colas.
Los flujos de agua de lavado y de aire, y la presión del sistema de aireación deben contro-
larse automáticamente para mantener la estabilidad operacional de la columna de flotación
FIC
agua de lavado
XA Concentrado
pH XA
LIC
Alimentación FIC
FIC
aire
Cola
10.5.1 Sensores
Para el control del nivel de la interfase pulpa-espuma se usan diferentes tipos de sensores.
Los más comunes son:
el agua de lavado, generalmente más frı́a, y la pulpa que viene de molienda o remolienda.
De esta forma, la posición de la interfase se puede estimar observando la variación en
la temperatura a través de la interfase, mediante sensores instalados longitudinalmente
[51].
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