Ingeniería Química - Ingeniería Mecánica - Ingeniería en Alimentos

Profesorado Universitario en Química

Facultad de Ciencias
Universidad Aplicadas a la
Nacional de Cuyo Matemática I Industria
Trabajo Práctico 1: Lógica Proposicional

En cualquier rama de la Matemática se hacen afirmaciones, se enuncian propiedades, se definen cosas, se hacen demostraciones, se dan
ejemplos y “contra-ejemplos”. Para que este desarrollo sea exitoso, es necesario que todas las formulaciones se hagan con la máxima precisión.
Esto se logra a través de un lenguaje preciso: el lenguaje lógico proposicional, que –mediante la introducción de símbolos y conectivos– nos
permite el desarrollo de cualquier razonamiento matemático (propiedades, definiciones, demostraciones, etc.) aportando claridad y economía
de pensamiento, a la vez que se descartan las ambigüedades y/o contingencias.

Resultado de aprendizaje de la Unidad: Utiliza adecuadamente el lenguaje de la Lógica Proposicional y sus formas de
argumentación para expresar de manera precisa los conceptos del Álgebra Lineal, la Geometría Analítica y la Matemática en
general.

1) Analiza cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones. En caso afirmativo, determina su valor de
verdad:
Si/No V/F
a ½ es un número racional.
b Ningún número entero es natural.
c ¿Es cierto que no aprobaste Física?
d −2x + 5 ≥ 3
e Algún número real es tal que −2x + 5 ≥ 3
f Si se calienta un cuerpo, entonces se dilata.
g Resuelve esta tarde el trabajo práctico.
h Todos los números primos son impares.
i Es suficiente aprobar Matemática para ingresar a la FCAI.

2) Indica cuál o cuáles de las proposiciones que se muestran son negaciones de la proposición dada, en cada uno
de los siguientes casos:
a) 4 es impar
3 es un número No es cierto que 4 es
4 no es impar 4 es par
impar impar

b) −2 ∙ 5 + 8 ≤ 3
−2 ∙ 5 + 8 < 3 −2 ∙ 5 + 8 = 3 −2 ∙ 5 + 8 > 3 −2 ∙ 5 + 8 ≥ 3

3) Sean las proposiciones simples p : “64 es múltiplo de 2”, q : “64 es múltiplo de 3” y s : “64 es múltiplo de 6”.
Une con flechas para indicar cuál es la forma coloquial de cada una de las siguientes proposiciones
compuestas:
a) s ⟹ (p ∧ q) • Si 64 no es múltiplo de 6, no lo es de 2 o no lo es de 3.
• Si 64 no es múltiplo de 6, entonces no es cierto que es múltiplo de 2 o 3.
b) p ∧ ∼ q ⟹ ∼s • Si 64 es múltiplo de 6, es múltiplo de 2 y de 3.
• Si 64 no es múltiplo de 2 y tampoco de 3, no es múltiplo de 6.
c) ~s ⟹ ∼p ∨ ∼ q • Si 64 es múltiplo de 2 pero no de 3, entonces no lo es de 6.

4) Sean las proposiciones p : “Ana aprueba Matemática”, q : “Ana aprueba Química” y r : “Ana obtiene la
beca”. Expresa en lenguaje simbólico cada una de las siguientes proposiciones compuestas:

a) Ana no aprueba Matemática ni Química.

Matemática I 1 Ciclo Lectivo 2024

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Lógica Proposicional

b) Es necesario que Ana apruebe Matemática y Química para que

obtenga la beca.
c) Es suficiente que Ana apruebe Matemática y Química para que
obtenga la beca.

d) Ana obtiene la beca si aprueba Matemática o Química.

e) No es cierto que, Ana no aprueba Química, pero obtiene la beca.

f) Ana obtendrá la beca cuando apruebe Matemática y Química.

5) (*) Expresa en lenguaje simbólico cada una de las siguientes proposiciones compuestas, indicando cuáles son
las proposiciones simples que las componen:
a) 9 y 12 son divisibles por 3 pero 8 no lo es.
b) Es necesario que este número sea positivo para que su cubo sea mayor que cero.
c) Este número es racional si es entero.
d) Es suficiente que este elemento químico sea un metal para que sea sólido a temperatura ambiente.
e) Es necesario y suficiente que este número sea par para que sea múltiplo de dos.
f) Es suficiente que un triángulo sea equilátero para que sus tres ángulos sean iguales.

6) Determina si las siguientes proposiciones compuestas son tautologías, contradicciones o contingencias,

construyendo sus tablas de verdad.
a) (p ⟹ ~q ) ⟺ (q ⟹ ∼p)
b) (p ∧ q) ⟺ (~p ∨ ~q)
c) ∼(p ∨ q) ∨ (∼p ∧ ∼q)
d) (*) (∼p ⟹ ~q ) ⟺ (∼q ⟹ ∼p)
e) (*) ∼ (p ⟹ q) ⟺ (p ∨ ~q )
f) (*) (p ∨ ∼ p) ⟺ p
g) (*) (p ∧ ∼ p) ⟺ F

7) Responde justificando:
a) Si sabemos que (p ⟹ q) es falsa, ¿podemos conocer el valor de verdad de (p ∧ q)?
b) Si p es falsa, ¿cuál es el valor de verdad de [(∼p ∨ q) ⟹ (∼r ∧ r)], cualquiera sea r?
c) Si sabemos que [∼(q ⟹ r) ⟹ (∼p ⟹ ∼q)] es falsa, ¿podemos conocer valores de verdad de p, q y r?
d) (*) Si las proposiciones [∼s ∧ (q ⟹ s)] y (∼r ⟹ q) son verdaderas, ¿cuál es el valor de verdad de r?

8) En cada uno de los siguientes casos:

8.1) Expresa, en forma coloquial, la proposición dada como una implicación, considerada directa.
8.2) Escribe en forma coloquial sus implicaciones asociadas.
a) “Es necesario aprobar dos parciales para regularizar Matemática I”.

Directa
Si ………………………………………………, entonces ………………………………………………. .
Recíproca

Matemática I 2 Ciclo Lectivo 2024

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Lógica Proposicional

Contraria

Contrarrecíproca

b) (*) “Todos los números naturales son enteros”.

Directa
Si ………………………………………………, entonces ………………………………………………. .
Recíproca

Contraria

Contrarrecíproca

9) Completa con alguna de las expresiones “es necesario y suficiente”, “es necesario, pero no suficiente”, “es
suficiente pero no necesario”, “no es suficiente ni necesario” de modo de obtener una proposición
verdadera:
a) Que haya fuego ………………………………………..………………………………………… para asegurar la presencia de

oxígeno.

b) Que un triángulo sea rectángulo ……………………………………………………………………………… para que tenga

dos ángulos de 45°.

c) Que un número sea impar ……………………………………………………………………………… para que sea primo.

10) Transforma las siguientes funciones o esquemas proposicionales en proposiciones verdaderas utilizando
cuantificadores y referenciales adecuados. Luego determina sus negaciones.
a) |x| ≥ 3

b) x 2 + 4x + 4 = (x + 2)2

c) x 2 + 9 = 0

d) x < 0 ⟹ x2 > 0

11) Para cada uno de los siguientes enunciados, exprésalos como un condicional cuantificado universalmente.
Determina su valor de verdad. En caso de ser falso, proporciona un contraejemplo, expresando su
refutación.
a) Todos los mendocinos son argentinos.
b) Cualquier número impar es un número primo.
c) Todos los múltiplos de 4 menores que 60, son divisores de 64.
d) Cualquier divisor de 24 es divisor de 12.
e) No todo triángulo rectángulo es isósceles.
f) Cada múltiplo de 3 es múltiplo de 9.

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12) (*) Completa sobre la línea de puntos, de modo que obtengas proposiciones verdaderas:

a) La implicación recíproca de p ⟹ ~q es …………………….... .

b) Sabiendo que [∼p ∧ (q ⟺ p)] es una proposición verdadera y que [∼r ⟺ q] es una proposición falsa,

podemos asegurar que el valor de verdad de la proposición r es ⏟

… … … … … … … … … … … ….
𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜−𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜

c) Si la proposición compuesta [p ⟹ (q ∧ r)] es falsa y [(p ∨ q) ⟺ (r ∧ p)] es verdadera, entonces p es

… … … … … … … … … … … … …, q es ⏟
⏟ … … … … … … … … … … … … … y r es ⏟
…………………………………
𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎−𝑓𝑎𝑙𝑠𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎−𝑓𝑎𝑙𝑠𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎−𝑓𝑎𝑙𝑠𝑎

d) La contrarrecíproca de la implicación “Es necesario regularizar Matemática I para cursar Matemática II”

es ………………………………………………………………………………………………………..………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….…. .

e) Sea la proposición [(∀x ∈ ℤ): x es múltiplo de 6 ⟹ x es múltiplo de 3]. Una forma de negarla es:

∼ [(∀x ∈ ℤ): x es múltiplo de 6 ⟹ x es múltiplo de 3]. Otra forma de expresar su negación es

……………………………………………………………………………………………………………………..……………………… .

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