Números Reales

Números reales
Contenidos:
0 - Repaso: Conjuntos de Números y su Clasificación........................................................................ 1
1 – Concepto de definición axiomática ............................................................................................ 10
2 – Definición Axiomática del conjunto de los números reales ...................................................... 10
4 - Intervalos ...................................................................................................................................... 20
6 – Valor absoluto ............................................................................................................................. 21
7 - Entornos Abiertos Simétricos ...................................................................................................... 23

0 - Repaso: Conjuntos de Números y su Clasificación

Como para ir entrando en materia, repasaremos a continuación los conjuntos numéricos. Además,
esto servirá para ir introduciendo algunas notaciones, y para aplicar algunas propiedades.

Conjunto de los Números Naturales (ℕ)

ℕ = {1,2,3,4,5,6,7, … }

Operaciones aritméticas que podemos hacer con los números naturales:

• Suma: ¡Todo OK! Siempre que sumo dos números naturales me da como resultado un
número natural. Por ejemplo:
2 + 51 = 53 ∈ ℕ
• Resta: ¡Todo mal! No siempre que restamos dos números naturales me da un natural. Por
ejemplo:
2 − 3 = −1 ∉ ℕ
• Multiplicación: ¡Todo OK! Siempre que multiplico dos números naturales me da como
resultado un número natural. Por ejemplo:
13 ⋅ 100 = 1300 ∈ ℕ
Observación: Recordemos que hay más de un símbolo para denotar el operador de la
multiplicación. Por ejemplo, la multiplicación anterior (13 por 100), puede simbolizarse de las
siguientes formas:
13 ⋅ 100 = 13 × 100 = 13 100
Observar en el último miembro, que puede omitirse el operador, y se sobreentenderá que se trata
de una multiplicación.
• División: ¡Todo mal! No siempre que divido dos números naturales me da un natural. Por
ejemplo:

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1: 2 = 0,5 ∉ ℕ
Observación: Recordemos que hay más de un símbolo para denotar el operador de la división. Por
ejemplo, la división anterior (1 dividido 2), puede simbolizarse de las siguientes formas:
1
1: 2 = 1⁄2 =
2
Conjunto de los Números Enteros (ℤ)

ℤ = {… , −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5,6,7, … }

Observar que el conjunto de los números enteros es la unión del conjunto de los números
naturales, el cero y el conjunto de los números enteros negativos:
ℤ = ℤ− ∪ {0} ∪ ℕ
Operaciones aritméticas que podemos hacer con los números enteros:
• Suma: ¡Todo OK! Siempre que sumo dos números enteros me da como resultado un
número entero. Por ejemplo:
21 − 30 = −9 ∈ ℤ
• Resta: ¡Todo OK! Siempre que resto dos números enteros me da como resultado un
número entero. Por ejemplo:
2 − 3 = −1 ∈ ℤ
• Multiplicación: ¡Todo OK! Siempre que multiplico dos números enteros me da como
resultado un número entero. Por ejemplo:
−12 × 2 = −24 ∈ ℤ
• División: ¡Todo mal! No siempre que divido dos números enteros me da un entero. Por
ejemplo:
1: (−2) = −0,5 ∉ ℤ

Otra cosa: ¡La división entre cero no existe!

Conjunto de los Números Racionales (ℚ)

𝑎
ℚ = { : 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≠ 0}
𝑏

La expresión anterior puede leerse de la siguiente manera:

𝑎
El conjunto ℚ de los números racionales, está formado por los números de la forma 𝑏 (a sobre
b) talque 𝑎 es un entero (o pertenece a los enteros) y 𝑏 es un entero (o pertenece a los enteros)
y 𝑏 es distinto de cero.

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En general, los alumnos están más acostumbrados al símbolo “/” para “talque”. Si bien
formalmente es más adecuado el símbolo “ : ”, si les queda más cómodo usar el “/ ”, no hay
ningún problema. En ese caso, la expresión anterior quedaría como sigue (y puede leerse de igual
forma):
𝑎
ℚ = { ⁄𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≠ 0}
𝑏
Observación: El símbolo lógico “∧” significa (coloquialmente) “y”. El símbolo “∨” significa
(coloquialmente) “o” (la letra o).
Todos los números racionales pueden ser expresados en forma de fracción. Por otro lado, una
fracción puede ser expresada en forma decimal. Los números decimales que representan
fracciones (o sea, que representan número racionales), pueden tener dos formas:

• Números decimales con parte decimal de extensión finita.

• Números decimales con parte decimal de extensión infinita (infinitos dígitos decimales),
pero con una parte periódica. Se tienen dos casos:
• Número decimal periódico puro. Toda la parte decimal es periódica
• Número decimal periódico mixto. Una sección de la parte decimal no se repite, y la
otra sección se repite indefinidamente.

Veamos algunos ejemplos de números decimales con parte decimal de extensión finita:
1
1 = 1,0 =
1
5 1
0,5 = =
10 2
25 1
0,25 = =
100 4
78765129
7,8765129 =
10000000
Observar que, si bien podemos agregar infinitos ceros a la derecha del último dígito decimal
significativo, estos ceros no son necesarios y no se considera que extiendan la parte decimal:
0,25 = 0,250000000000000000 …
Veamos algunos ejemplos de números decimales con parte decimal de extensión infinita,
periódica pura: La escritura de la parte periódica puede simplificarse con un “arco” sobre la parte
que se repite indefinidamente:
1
0,3333333 … = 0, 3̂ =
3
2
0,6666666 … = 0, 6̂ =
3
17
1,8888888 … = 0, 8̂ =
9

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4420
̂ =
13,273273273273 … = 13, 273
333
Veamos algunos ejemplos de números decimales con parte decimal de extensión infinita,
periódica mixta:
31
0,3444444 … = 0,34̂ =
90
11014
12,2377777 … = 12,237̂ =
900
317723917
̂ =
31,775569256925692569256925692 … = 31,7755692
9999000
Operaciones aritméticas que podemos hacer con los números racionales:
• Suma: ¡Todo OK! Siempre que sumo dos números racionales me da como resultado un
número entero. Por ejemplo:
1 7 8 + 21 29
+ = =
3 8 24 24
3 7 6 + 7 13
+ = =
2 4 4 4
13 5 𝟏𝟑 × 𝟑 5 𝟑𝟗 5 44 22
+ = + = + = =
2 6 𝟐×𝟑 6 𝟔 6 6 3
• Resta: ¡Todo OK! Siempre que resto dos números racionales me da como resultado un
número racional. Por ejemplo:
11 7 88 − 21 67
− = =
3 8 24 24
−3 7 −12 − 35 47
− = =−
5 4 20 20
• Multiplicación: ¡Todo OK! Siempre que multiplico dos números enteros me da como
resultado un número racional. Por ejemplo:
11 7 −11 × (−7) 77
− × (− ) = =+
3 2 3×2 6
• División: ¡Todo OK! Siempre que divido dos números racionales me da como resultado un
número racional. Siempre y cuando el cero no sea el divisor. Por ejemplo:
9 5 −9 × 4 36 18
− :( ) = =− =− (𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜!)
2 4 2×5 10 5
9
(− 2) −9 × 4 36
= =−
5 2×5 10
(4)
18
=− (𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠!)
5

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Observación: Hay operaciones no aritméticas que no se pueden resolver con los números
racionales. Por ejemplo, la “raíz cuadrada de dos” no es un número racional. Con lo cual
necesitamos un nuevo conjunto numérico para poder resolver estas situaciones donde se tienen
números decimales de extensión infinita sin un periodo. Este conjunto es el de los números
irracionales.

Conjunto de los Números Irracionales (𝕀)

𝕀 = {𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑢𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜}

Ejemplos de números irracionales:

√2 = 1,414213562373095 …

√5 = 2,23606797749979 …
𝜋 = 3,1415926535897932384626433832795 …
𝑒 = 2,7182818284590452353602874713527 …
Observación: LOS NUMEROS RACIONALES ESTAN MUY PELEADOS CON LOS IRRACIONALES.
¡¡¡NO SE PUEDEN NI VER!!! ESTO SIGNIFICA QUE SI UN NUMERO ES RACIONAL, ENTONCES NO ES
IRRACIONAL. Y VICEVERSA. SI UN NÚMERO ES IRRACIONAL ENTONCES NO ES RACIONAL.
Así, tenemos dos bolsas de números que no se quieren, no se mezclan. Lo que vamos a hacer, es
meter las dos bolsas en una sola bolsa, que se hagan amigos, y a esta bolsa, la vamos a llamar:
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.

Conjunto de los Números Reales (ℝ)

ℝ=ℚ∪𝕀

Los números reales no son ni más ni menos que la unión (∪) entre el conjunto de los números
racionales (ℚ) y el conjunto de los números irracionales (𝕀).
En el conjunto ℝ podemos hacer todas las operaciones aritméticas y “casi” todas las operaciones
no aritméticas.
Correspondencia entre puntos de la recta y números reales
Es útil pensar el conjunto de los números reales como el conjunto de puntos de una recta,
estableciendo una correspondencia “uno a uno” entre ambos conjuntos. Establecida la relación, a
la recta se la llama “Recta Real”.
Para ubicar un número real sobre un punto de la recta, es necesario:
• Establecer un punto como origen (punto asociado al número cero).
• Establecer una escala, esto es, establecer el punto de la recta asociado al número 1.

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Con esto se tiene todo lo necesario, para ubicar el punto correspondiente a cada número real.
Por ejemplo, a continuación, se ubican algunos números enteros (es decir, algunos naturales, el
cero y algunos enteros negativos).

Una forma geométrica para ubicar los racionales, es la siguiente. Tomemos como ejemplo el
número racional 4/3.
• Primero, dividimos el segmento que va de 0 a 4 (el número del numerador), en 3 partes
iguales (el número del denominador).
• Luego, el segmento que va desde 0 al punto mas cercano en que quedo dividido el
segmento de partida, es el punto buscado.

Por último, veamos que también podemos ubicar a los irracionales en la recta. Tomemos como
𝟐
ejemplo √𝟐 , la raíz cuadrada de 2. Una forma geométrica para ubicar dicho número irracional en
la recta, es la siguiente.
• Primero, construyamos un triángulo auxiliar, como el de la figura siguiente.
2
• Por Pitágoras, la longitud de la hipotenusa será √12 + 12 = √𝟐.
𝟐

• Trazando (con compas) un círculo con centro en el origen y radio igual a la longitud de la
𝟐
hipotenusa, podemos llevar la longitud √𝟐 a un punto de la recta. Y así ubicar el punto
correspondiente a este número irracional.

En conclusión, vemos que todo número real (sea natural, el cero, entero, racional, o irracional),
puede ubicarse sobre una recta.

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Ejercicios:

Solución
1) Conjuntos numéricos y Operaciones entre conjuntos
a) Falso. La relación correcta es: ℕ ⊂ ℤ
b) Falso. La relación correcta que se puede establecer en base al enunciado: ℕ ∪ ℤ = ℤ

c) Falso. La relación correcta que se puede establecer en base al enunciado: ℤ ∩ ℚ = ℤ

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d) Verdadero
e) Verdadero
2) (Resuelto por inspección del enunciado).
3) Algunos conceptos previos para entender: Algunas propiedades algebraicas de los números
reales (en virtud de se estructura de cuerpo o campo): Elemento neutro y Elementos simétricos

Elemento Neutro: El elemento neutro de una determinada operación en un conjunto dado, es el

elemento que, operado con otro, no produce efecto.
• El neutro de la suma (o adición) es el cero. Pues sumarle cero a un número no produce
efecto.
• El neutro de la multiplicación es el uno. Pues multiplicarle uno a un número no produce
efecto.
Elementos Simétricos: En general, el simétrico de un número respecto de una determinada
operación, es el número que, operado con aquel con dicha operación, da el neutro.
• Simétrico respecto de la adición (simétrico aditivo) u Opuesto de un número: Por
ejemplo: El simétrico aditivo u opuesto de 2 es -2. Se le llama simétrico (en este caso
respecto de la adición) porque sumarle a un número su opuesto, me da el neutro de la
adición (el cero). Por ejemplo:
2 + (−2) = 0
• Simétrico respecto de la multiplicación (simétrico multiplicativo) o Inverso de un
número: Por ejemplo: El simétrico multiplicativo de 2 es 2−1 = 1/2. Se le llama simétrico
(en este caso respecto de la multiplicación) porque multiplicarle a un número su inverso,
me da el neutro de la multiplicación (el uno). Por ejemplo:
2 ⋅ 2−1 = 1

Resoluciones:
a) 0 (cero)

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Opuesto de 0 (número que sumado a cero me de cero): 0 (cero)

Inverso de 0 (número que multiplicado por cero me da uno): No existe
En efecto:
0 ⋅ 𝑥 = 1 ⟺ 0 = 1 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛!
b) c) d) e) y f) resueltos por inspección sobre el enunciado.
4) Solución
a) (𝑎 − 𝑏) − 𝑐 ≠ 𝑎 − (𝑏 − 𝑐) = 𝑎 − 𝑏 + 𝑐
b) (𝑎 + 𝑏): 𝑐 = (𝑎: 𝑐) + (𝑏: 𝑐)
En efecto, si usamos la expresión en términos de fracciones, se visualiza mejor la veracidad de la
expresión:
(𝑎 + 𝑏) 𝑎 𝑏
(𝑎 + 𝑏): 𝑐 = = + = (𝑎: 𝑐) + (𝑏: 𝑐)
𝑐 𝑐 𝑐
c) Es verdadera.
d) La distributiva del lado izquierdo de la división respecto de la suma, NO funciona (no es
verdadera):
𝑎: (𝑏 + 𝑐) ≠ (𝑎: 𝑏) + (𝑐: 𝑏)
e) Verdadero. En efecto:
𝑎𝑏(𝑎−1 + 𝑏 −1 ) = 𝑎𝑏𝑎−1 + 𝑎𝑏𝑏 −1 = 𝑏(𝑎𝑎−1 ) + 𝑎(𝑏𝑏 −1 ) = 𝑏 ⋅ 1 + 𝑎 ⋅ 1 = 𝑏 + 𝑎
f) Falso. En efecto:
(𝑎 + 𝑏)(𝑎−1 + 𝑏 −1 ) = 𝑎(𝑎−1 + 𝑏 −1 ) + 𝑏(𝑎−1 + 𝑏 −1 ) = 𝑎𝑎−1 + 𝑎𝑏 −1 + 𝑏𝑎−1 + 𝑏𝑏 −1
= 1 + 𝑎𝑏 −1 + 𝑏𝑎 −1 + 1 = 𝑎𝑏 −1 + 𝑏𝑎−1 + 2

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1 – Concepto de definición axiomática

Existen diversas maneras de definir el conjunto de los números reales, denotado ℝ. En un curso
inicial universitario es de interés la definición axiomática.

Una definición axiomática, consiste en dar una serie de axiomas que caracterizan totalmente el
concepto que se quiere definir, sin determinarlo explícitamente.

El conjunto de los números reales tiene estructura de cuerpo conmutativo ordenado completo,
esto significa que cumple los siguientes tres grupos de axiomas:
• “Axiomas algebraicos (o de cuerpo conmutativo)”.
• “Axiomas de orden”.
• “Axiomas básicos del Análisis Matemático” (siendo el más importante para la definición de
los números reales, el axioma del Supremo, llamado también de plenitud, completitud,
completez o del supremo).
En la definición axiomática del Conjunto de los Número Reales, se van dando una serie de
características (axiomas) que al final terminan de definir al Conjunto de los Número Reales, como
aquel que las cumple. Así, queda definido dicho conjunto, porque de hecho es el único conjunto
que las cumple.

Figura: La figura pretende ilustrar que al ir dando más axiomas que se tienen que cumplir, las
posibilidades de conjuntos que las cumplen se van acotando, hasta que en el llamado axioma del
supremo, solo queda un solo conjunto posible: el conjunto de los números reales.

2 – Definición Axiomática del conjunto de los números reales

Axiomas Algebraicos (o de Cuerpo conmutativo):

Sea ℝ un conjunto no vacío. Sean dos operaciones definidas en ℝ, denominadas adición y

multiplicación, denotadas “+” y “⋅” respectivamente.

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ℝ es un cuerpo
sí y solo si
se cumplen los siguientes axiomas (llamados axiomas algebraicos):
1) Axioma de clausura o cierre1:
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ: (𝑎 + 𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝑎 ⋅ 𝑏) ∈ ℝ
La adición y la multiplicación de dos elementos de ℝ es un elemento de ℝ. Es decir, la adición y
la multiplicación son leyes binarias, internas y cerradas en ℝ.
2) Axioma de Asociatividad:
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ∧ (𝑎 ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ (𝑏 ⋅ 𝑐)
3) Axioma de existencia del elemento neutro2:
∃0 ∈ ℝ⁄∀𝑎 ∈ ℝ : 𝑎 + 0 = 𝑎
∃1 ∈ ℝ⁄∀𝑎 ∈ ℝ : 𝑎 ⋅ 1 = 𝑎
El elemento 0 (cero) de ℝ se denomina elemento neutro para la adición. El elemento 1 (uno) de
ℝ se denomina elemento neutro para la multiplicación.
4) Axioma de existencia de elementos simétricos3:
∀𝑎 ∈ ℝ: ∃(−𝑎) ∈ ℝ⁄𝑎 + (−𝑎) = 0
∀𝑎 ∈ ℝ − {0}: ∃(𝑎−1 ) ∈ ℝ⁄𝑎 ⋅ (𝑎−1 ) = 1
El elemento −𝑎 se denomina “elemento simétrico de 𝑎 respecto de la adición”, u opuesto de 𝑎.
El elemento 𝑎−1 se denomina “elemento simétrico 𝑎 respecto de la multiplicación”, o inverso
de 𝑎.
5) Axioma de distributividad:

1
La expresión simbólica dada se lee: “Para todo par de elementos 𝑎, 𝑏 del conjunto ℝ se verifica que a más b
pertenece a ℝ y a por b pertenece a ℝ”. Es decir, la adición y la multiplicación de dos elementos de ℝ es un elemento
de ℝ. Se dice que la adición y la multiplicación son leyes binarias, internas y cerradas en ℝ. Lo que significa que:
• leyes binarias (operan sobre dos elementos),
• internas (esos dos elementos son de ℝ), y
• cerradas en ℝ (el resultado de la operación es un elemento de ℝ).
2
Las expresiones simbólicas se leen como sigue:
“Existe en ℝ un elemento representado con el símbolo 0 y llamado cero, talque para todo elemento 𝑎 de ℝ,
se cumple que al hacer la adición de 𝑎 con el cero, el resultado es 𝑎”. Es decir, el elemento cero no provoca efecto en
la adición y de allí lo de elemento neutro.
“Existe en ℝ un elemento representado con el símbolo 1 y llamado uno, talque para todo elemento 𝑎 de ℝ,
se cumple que al multiplicar 𝑎 con el uno, el resultado es 𝑎”. Es decir, el elemento uno no provoca efecto en la
multiplicación y de allí lo de elemento neutro.
3
Las expresiones simbólicas dadas se leen como sigue:
“Para todo elemento 𝑎 de ℝ, se tiene la existencia de un elemento denotado – 𝑎 perteneciente a ℝ, talque la
adición de 𝑎 mas – 𝑎 da como resultado cero (el elemento neutro de la adición)”.
“Para todo elemento 𝑎 de ℝ excepto el cero, se tiene la existencia de un elemento denotado 𝑎−1
perteneciente a ℝ, talque la multiplicación de 𝑎 por 𝑎−1 da como resultado uno (el elemento neutro de la
multiplicación)”.

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∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ: 𝑎 ⋅ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑎 ⋅ 𝑐
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ: (𝑎 + 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑐 + 𝑏 ⋅ 𝑐
6) Axioma de Conmutatividad:
∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

Si además se cumple el siguiente axioma (la conmutatividad de la multiplicación):

∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾: 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎
Se dice que 𝑲 es un cuerpo conmutativo.

Todo conjunto que cumple con los axiomas algebraicos, se dice que es un cuerpo conmutativo, y
a sus elementos se les llama escalares.
El conjunto ℝ de los números reales es un cuerpo. También son cuerpos el conjunto ℂ de los
números complejos, y el conjunto ℚ de los números racionales.
No son campos el conjunto ℕ de los números Naturales, ni el conjunto ℤ de los números Enteros,
ni el conjunto 𝕝 de los números Irracionales. ¿Por qué?
• En el conjunto ℕ no se tienen opuestos.
• En el conjunto ℤ no se tienen inversos.
• En el conjunto 𝕝 no se tienen elementos neutros.
Observar que los axiomas algebraicos, no determinan totalmente y unívocamente al conjunto ℝ
de los números reales, ya que ℚ y ℂ también los cumplen. Sin embargo, acercan al objetivo de
determinar unívocamente al conjunto de los números reales, ya que sacan de la carrera a los
Naturales, a los Enteros, y a los Irracionales por si solos.
Axiomas de Orden:

Sea ℝ un cuerpo.
ℝ es un Cuerpo ordenado
si y solo si
se cumplen los siguientes axiomas (llamados axiomas de orden):
Sea ℝ+ un subconjunto no vacío de ℝ cuyos elementos se denominan número reales positivos.
1) Axioma de tricotomía: Para todo 𝑎 ∈ ℝ se verifica una y solo una de las siguientes
proposiciones: 𝑎 = 0 ó 𝑎 ∈ ℝ+ ó (−𝑎) ∈ ℝ+ . Es decir4:
∀𝑎 ∈ ℝ: 𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℝ+ ∨ (−𝑎) ∈ ℝ+
2) Axioma de cierre (en ℝ+ ): La suma de dos elementos de ℝ+ es un elemento de ℝ+ , y la

4
En lógica, el símbolo ∨ significa y se lee “o” (operación lógica OR), y en la teoría de conjuntos es equivalente a la
operación unión ⋃. El resultado del símbolo, es uno, otro o ambos.
En lógica, el símbolo ∨ significa y se lee “ó” (con acento) y es un “o exclusivo” (operación lógica XOR que significa OR
eXclusivo). El resultado del símbolo, es uno, el otro, pero no ambos.

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multiplicación dos elementos de ℝ+ es un elemento de ℝ+ . Es decir:

∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+ : (𝑎 + 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ (𝑎 ⋅ 𝑏) ∈ ℝ+

Todo conjunto que cumple con los axiomas algebraicos y de orden, se dice que es un campo
ordenado.
El conjunto ℝ de los números reales es un campo ordenado. Al conjunto ℝ+ se lo llama conjunto
de los números reales positivos. El conjunto ℚ de los números racionales también es un es un
cuerpo o campo ordenado.
El conjunto ℂ de los números complejos no es un campo ordenado. ¿Por qué?
• Pensando en la representación geométrica de los números, tanto los números reales como
los racionales, se ubican sobre una línea recta, con lo cual es siempre posible decir que
número está más a la derecha que otro, y así establecer el orden (es decir, cuál es mayor).
• En cambio, los números complejos se representan geométricamente en un plano, llamado
plano complejo, dónde en la abscisa (eje horizontal) están los números reales, y en la
ordenada (eje vertical) están los imaginarios, de forma tal que un número complejo viene
representado por un punto del plano o lo que es lo mismo, una flecha. Así, se pierde la
noción de orden. Ya no se puede decir que uno está más a la derecha que otro en todos los
casos, por ejemplo. Con lo cual, se pierde la posibilidad de ordenamiento.
Observar que los axiomas de orden, nos acerca al objetivo de definir al conjunto de los números
reales. Ya que si bien ℚ también es un es un cuerpo ordenado, el conjunto ℂ no lo es.
A partir de los axiomas de orden se pueden definir las relaciones de orden.
Relaciones de orden: Los axiomas de orden permiten ordenar los elementos de un campo
ordenado ℝ mediante la definición de relaciones de orden entre pares de elementos de ℝ. Sean
𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. Luego:
• Relación Mayor (>): 𝑎 > 𝑏 ⟺ 𝑎 + (−𝑏) ∈ ℝ+
• Relación Mayor o Igual (≥): 𝑎 ≥ 𝑏 ⟺ 𝑎 > 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏
• Relación Menor (<): 𝑎<𝑏⟺𝑏>𝑎
• Relación Menor o Igual (≤): 𝑎 ≤ 𝑏 ⟺ 𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏
Propiedad de interés: Observar que, “si se multiplica ambos miembros de una desigualdad por un
número menor a cero (negativo), el sentido de la desigualdad se invierte”:
𝒂 > 𝒃 ∧ 𝒄 < 𝟎 ⟹ 𝒂𝒄 < 𝒃𝒄
Ejemplos:
3 > 1 ∧ (−1) < 0 ⟹ 3(−1) < 1(−1) ⟺ −3 < −1
Ya que −3 es menor que −1, es decir, está más a la izquierda en la recta Real.
−2 < 2 ∧ (−1) < 0 ⟹ −2(−1) > 2(−1) ⟺ 2 > −2
Ya que 2 es mayor que −2, es decir, está más a la derecha en la recta Real.

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La propiedad aplica también cuando se tiene a la variable x en la desigualdad, lo que se llama

inecuación:
𝑥 < 2 ∧ (−1) < 0 ⟹ 𝑥(−1) > 2(−1) ⟺ −𝑥 > −2

Axiomas básicos del Análisis Matemático

Hasta este momento, los conjuntos numéricos que cumplen con los axiomas algebraicos y los
axiomas de orden, son los conjuntos de los números racionales y de los reales. Es decir, aún faltan
axiomas para terminar de identificar completamente a los números reales. Se enuncian a
continuación los siguientes axiomas, conocidos como los axiomas básicos del análisis matemático:
• Axioma de Arquímedes
• Axioma del Supremo

Axioma de Arquímedes

Sea ℝ un campo ordenado. ℝ es un campo ordenado arquimediano, si y solo si:

∀𝑎 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ: 𝑎 < 𝑛

En esencia, el axioma de Arquímedes, dice que:

• Un campo ordenado arquimediano no está acotado ni superiormente ni inferiormente.
• Si 𝑛 ∈ ℕ crece indefinidamente, entonces (1 ∕ 𝑛) se cada vez más próximo a cero, y ese
número perteneces al campo ordenado arquimediano.
Observación: La definición anterior del axioma de Arquímedes, incluye el caso de la extensión
infinita del conjunto ℝ hacia el lado negativo. Para el caso de los números negativos, la expresión
anterior se transforma en la siguiente:
∀(−𝑎) ∈ ℝ+ ∃𝑛 ∈ ℕ: (−𝑎) < 𝑛
Es decir:
Para todo número negativo, existe un número natural 𝑛 talque el opuesto de dicho número
negativo, es menor a 𝑛.

Axioma del Supremo

Para expresar el axioma del supremo, es necesario introducir algunos conceptos extras. Una de las
cosas que se necesitan, es definir una métrica. Esto puede realizarse mediante el concepto de
Valor Absoluto. Este permite dar una magnitud a los elementos de un cuerpo.
Vale aclarar que se está suponiendo implícitamente que la adición y multiplicación utilizada en las
definiciones, es la adición y multiplicación aritmética tradicional (y ese será el caso en el desarrollo
de la materia), y con ello, que la magnitud de los escalares reales está predefinida. Pero en
realidad, estas operaciones en la definición de cuerpo son abstractas, en el sentido que podrían en

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principio definirse otras reglas de asignación para la adición y la multiplicación en un cuerpo, y que
a su vez cumplan los axiomas algebraicos. No vamos a entrar en tales sutilezas, pero vale la pena
aclarar la cuestión.
Valor absoluto:

Sea ℝ un campo ordenado. Sea 𝑎 ∈ ℝ. El valor absoluto de 𝑎, denotado |𝑎|, se define cómo:

|𝑎| = { 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0

Observar que el efecto práctico de aplicarle el valor absoluto a un escalar, es sacarle el signo
menos a los números negativos. Por ejemplo:
|−2| = −(−2) = 2
Observar también que la expresión dada en la definición de valor absoluto, es equivalente a la
siguiente:

|𝑎| = √𝑎2
Por ejemplo, en el caso anterior:

|−2| = √(−2)2 = √4 = 2
Observación: La raíz cuadrada de 4, por definición, es 2 (no es 2 y -2). Algunas veces se llama raíz
principal a 2, y raíz secundaria a -2. De una forma u otra, el resultado de una raíz cuadrada, es uno
y solo uno, y se refiere al resultado positivo. Otra cosa es el resultado de la siguiente ecuación de
2do grado, que, como todas las ecuaciones de 2do grado, tiene dos resultados:

𝑥 2 = 2 ⟺ √𝑥 2 = √2 ⟺ |𝑥| = √2
Luego, por definición de valor absoluto, la última igualdad se transforma en la siguiente expresión
(observar que se va a reemplazar literalmente |𝑥| por la definición de valor absoluto):

𝑥 = √2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
{ 𝑥 = √2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 ⟺ { ⟺ { 𝑥 = √2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
−𝑥 = √2 𝑠𝑖 𝑥 < 0 −𝑥(−1) = √2(−1) 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑥 = −√2 𝑠𝑖 𝑥 < 0
Luego (resumiendo, ya que la condición 𝑥 ≥ 0 es redundante si 𝑥 = √2 y de la misma manera, la
condición 𝑥 < 0 es redundante cuando 𝑥 = −√2):

𝑥 2 = 2 ⟺ 𝑥 = ±√2

Es decir, la solución de la ecuación 𝑥 2 = 2 es ±√2.

Vale aclarar que a este mismo resultado el alumno hubiera llegado si aplica la fórmula de
resolución de las ecuaciones de 2do grado (a la que suelen llamar fórmula de Baskara). En efecto:
𝑥2 = 2 ⇔ 𝑥2 − 2 = 0 ⇔

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −0 ± √02 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−2) ±√8 ±2√2

𝑥= = = = = ±√2
2𝑎 2⋅1 2 2
Esto es así, porque normalmente se aplica la fórmula de Baskara sin indagar sobre ella. Pero dicha
fórmula no es otra cosa que la resolución genérica de la ecuación de 2do grado, completando
Ing. Facundo N. Oliva Cúneo 15
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cuadrados, y en un momento del proceso, se “despeja” una potencia cuadrada, la que lleva a más
menos una raíz cuadrada en el otro miembro. Al igual que hicimos anteriormente en la resolución
de 𝑥 2 = 2.

Cotas y conjuntos acotados:

Otros de los conceptos necesarios para enunciar el axioma del supremo (conceptos que además
necesitamos saber para otras cosas), son los conceptos de cotas (superior e inferior), conjuntos
acotados, supremo y máximo.

Sea ℝ un campo ordenado. Sea 𝐴 un subconjunto no vacío de ℝ. Sean 𝑘, 𝑠 ∈ ℝ. Luego:

• Cota superior: 𝑘 es cota superior de 𝐴 ⟺ ∀𝑥 ∈ 𝐴: 𝑥 ≤ 𝑘
• Conjunto acotado superiormente: 𝐴 está acotado superiormente ⟺ 𝐴 tiene cota
superior.
• Supremo: 𝑠 es el supremo de 𝐴 ⟺ 𝑠 es la menor cota superior de 𝐴.
• Máximo: 𝑠 es el máximo de 𝐴 ⟺ 𝑠 es el supremo de 𝐴 y 𝑠 ∈ 𝐴.

Ejemplo: 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ: 1 ≤ 𝑥 < 5} = [1,5)

• Una cota superior de A es 7. Otra es 1500000. Otra es 5.
• A está acotado superiormente, ya que tiene cotas superiores.
• El supremo de A es 5. Ya que 5 es cota superior, y es la menor de las cotas superiores.
• A no tiene máximo. Porque 5, el supremo de A, no pertenece a A.
Observación: Análogamente se define cota inferior, conjunto acotado inferiormente, ínfimo y
mínimo.

Axioma del Supremo (o de Continuidad)

Este axioma caracteriza especialmente al conjunto de los números reales.

Sea ℝ un campo ordenado arquimediano.

ℝ cumple el axioma del supremo, si y solo si, todo subconjunto no vacío de ℝ acotado
superiormente es tal que el supremo pertenece a ℝ.

Todo conjunto que cumple con los axiomas algebraicos, de orden, y del supremo, se dice que es
un campo ordenado completo (o continuo).
El conjunto ℝ de los números reales es un campo ordenado completo (y arquimediano), y es el
único conjunto que lo es.
El conjunto ℚ no es continuo (no cumple con el axioma del supremo). Esto significa que existen
subconjuntos no vacíos de ℚ acotados superiormente, que no cumplen el axioma del supremo.

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Para entender porque el conjunto ℚ de los números racionales, es necesario entender el siguiente
lema.

Lema de Pitágoras5: El número √2 NO es un número racional.

Demostración (por el absurdo)6: Supóngase que √2 es un número racional (hipótesis que

demostraremos lleva a un absurdo). El conjunto de los números racionales puede definirse como:
𝑝
ℚ = { 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑝 ∈ ℤ 𝑦 𝑞 ∈ ℤ 𝑦 𝑞 ≠ 0}
𝑞
Luego (bajo la hipótesis de que √2 es un número racional) √2 podría representarse por una única
fracción irreducible, es decir, una fracción tal que el máximo común divisor (𝑀𝐶𝐷) entre
numerador y denominador es 1:
𝑝
√2 = ∧ 𝑀𝐶𝐷{𝑝; 𝑞} = 1
𝑞
Luego, operando:
𝑝2
2 = 2 ⟺ 2𝑞 2 = 𝑝2
𝑞
Luego 𝑝2 es par (es resultado de un número entero multiplicado por dos), y por lo tanto 𝑝 es par
(ya que los cuadrados de número pares son pares y los cuadrados de números impares son
impares). Luego, puede escribirse 𝑝 = 2𝑠 para algún entero 𝑠. Luego (reemplazando 𝑝 = 2𝑠 en la
expresión 2𝑞 2 = 𝑝2 ):
2𝑞 2 = 4𝑠 2 ⟺ 𝑞 2 = 2𝑠 2
Luego 𝑞 2 es par, y por lo tanto, 𝑞 es par. Luego, puede escribirse 𝑞 = 2𝑡 para algún entero 𝑡.

Luego (reemplazando 𝑝 = 2𝑠 y 𝑞 = 2𝑡 en la expresión de partida de √2):

𝑝 (2𝑠)
√2 = = ∧ 𝑀𝐶𝐷{𝑝; 𝑞} = 2
𝑞 (2𝑡)
Luego, se tiene que la suposición de que √2 es un número racional, lleva a que la siguiente
proposición es cierta7:
𝑝 𝑝
[√2 = ∧ 𝑀𝐶𝐷{𝑝; 𝑞} = 1] ∧ [√2 = ∧ 𝑀𝐶𝐷{𝑝; 𝑞} = 2]
𝑞 𝑞
Lo que lleva (por tabla de verdad de la conjunción) a que la siguiente proposición es cierta:
𝑀𝐶𝐷{𝑝; 𝑞} = 1 ∧ 𝑀𝐶𝐷{𝑝; 𝑞} = 2

55
No hace falta que el lector estudie la demostración del lema. Puede aceptar sin demostración que √2 no es un
número racional.
6
Demostrar por el absurdo, consiste en suponer la situación contraria, y ver que eso lleva a una incoherencia
matemática o absurdo, dada justamente por tal suposición, la que entonces es falsa. Como no hay posibilidad de
tercera posibilidad, entonces no queda otra que la suposición original sea verdadera.
7
La proposición es verdadera porque está formada por la conjunción (∧) de la proposición original que se supone
verdadera y la última obtenida que también es verdadera, ya que se obtiene lícitamente a partir de la original.

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¡¡¡Pero esto es una contradicción matemática o absurdo, ya que ambos lados de la conjunción no
pueden verdaderos a la vez!!!

La contradicción surge de la suposición de que √𝟐 es un número racional, y por lo tanto, tal

suposición es falsa. Luego su negación es verdadera. Luego:

El número √𝟐 no es un número racional

(fin de la demostración)
En este momento, ya podemos demostrar que el conjunto de los números racionales no cumple
con el axioma del supremo. Esto se puede lograr simplemente encontrando un subconjunto no
vacío de ℚ acotado superiormente que no admite supremo perteneciente a ℚ (los enunciados que
expresan la negación, se demuestran simplemente encontrando un ejemplo que verifica el no
cumplimiento del enunciado).

Lema: El conjunto ℚ de los números racionales NO cumple el axioma del supremo.

Demostración: Sea el subconjunto de ℚ dado por 𝐴 = {𝑥 ∈ ℚ⁄𝑥 2 < 2}. El conjunto 𝐴 no tiene
supremo (ni ínfimo) en ℚ. En efecto:

𝑥 2 < 2 ⟺ √𝑥 2 < √2 ⟺ |𝑥| < √2 ⟺ { 𝑥 < √2 ∧ 𝑥 ≥ 0 ⟺ { 𝑥 < √2 ∧ 𝑥 ≥ 0

−𝑥 < √2 ∧ 𝑥 < 0 𝑥 > −√2 ∧ 𝑥 < 0
⟺ { 0 ≤ 𝑥 < √2 ⟺ −√2 < 𝑥 < √2
−√2 < 𝑥 < 0
Luego, √2 es la menor de las cotas superiores (y −√2 es la mayor de las cotas inferiores), pero √2
no es un número racional. Por lo tanto, 𝐴 no tiene supremo (ni ínfimo) en ℚ, con lo que ℚ no
cumple el axioma del supremo.
Observación: El lector en este punto, debería estar convencido justificadamente de que el axioma
del supremo termina por caracterizar completamente el conjunto de los números reales.

Todo conjunto que cumple con los axiomas algebraicos, de orden, y del supremo, se dice que
es un campo ordenado completo (o continuo). El conjunto ℝ de los números reales es un
campo ordenado (arquimediano) completo, y es el único conjunto que lo es.

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3 – Desigualdades (o Inecuaciones)
Una desigualdad es una relación entre expresiones vinculadas mediante alguna relación de orden.
Por ejemplo, una relación de la forma:
|𝑥 − 1|
<7
𝑥+5
Es decir, un par de expresiones relacionadas por una relación de orden. Resolver una desigualdad
o inecuación, es hallar el conjunto 𝑆 de los números reales que la verifican.
Propiedades de las desigualdades:

Ejemplos:
1) La propiedad 1 dice que si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por -1, el sentido
de la desigualdad se invierte. Por ejemplo: 5 > 2 ⟹ −5 < −2
2) La propiedad 2 dice que si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un número
negativo, el sentido de la desigualdad se invierte. Por ejemplo: −3 < −1 ⟹ −3(−2) > −1(−2)
3) El inverso de un número mayor que cero (positivo) es mayor que cero (positivo). Por ejemplo:
1
8 > 0 ⟺ 8−1 = >0
8
4) Si a es mayor que b, y a y b son no nulos y tienen el mismo signo (son ambos positivos o ambos
negativos) entonces el inverso de a es menor que el inverso de b. Por ejemplo:
1 1
−2 > −5 ⟹ (−2)−1 < (−5)1 ⟺ − <−
2 5
5) Ejemplo: −7 < 2 ∧ 2 < 6 ⟹ −7 + 2 < 2 + 6
6) Si el opuesto de un número 𝑎 es mayor que cero, entonces, el número 𝑎 es menor que cero. Es
decir, el opuesto de un número negativo, es positivo, Por ejemplo: −(−3) > 0 ⟹ −3 < 0
7) Todo número distinto de cero al cuadrado es positivo.

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4 - Intervalos
Tenemos dos tipos generales de intervalos:
• Los intervalos finitos (o acotados): No tienen extensión infinita
• Los intervalos infinitos: Tienen extensión infinita
Intervalos Finitos (o sea, de extensión acotada, o sea, no infinitos)
Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ y 𝑎 < 𝑏. Luego:
Intervalo abierto de extremos a y b: (𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
Geométricamente corresponde al segmento de recta comprendido entre a y b, sin incluir a ni b.
Intervalo cerrado de extremos a y b: [𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
Geométricamente corresponde al segmento de recta comprendido entre a y b, incluyendo a y b.

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6 – Valor absoluto
Retomamos el concepto de valor absoluto, para analizar sus propiedades.

Sea ℝ un campo ordenado. Sea 𝑎 ∈ ℝ. El valor absoluto de 𝑎, denotado |𝑎|, se define cómo:

|𝑎| = { 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0

Observar que: |𝑎| = √𝑎2

El efecto que tiene la operación valor absoluto, es sacarles el signo a los números negativos,
haciéndolos positivos, y no afecta a los números positivos.
El valor absoluto, es un caso particular del concepto de módulo (o norma, o longitud). El caso
particular es cuando el vector es de dimensión 1. Geométricamente, el valor absoluto de un
número 𝑎, es la distancia de 𝑎 al cero:
|𝑎| = |𝑎 − 0| = 𝑑(𝑎, 0)
Ejemplos:
|2| = 2
|−2| = −(−2) = 2

Observar que: |−2| = √(−2)2 = 2

Propiedades del Valor Absoluto

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Ejemplos:
i) El valor absoluto del opuesto de un número a es igual al valor absoluto del número a. Por
ejemplo:
|−10| = |10| = 10
ii) Ejemplos de la propiedad −|𝑎| ≤ 𝑎 ≤ |𝑎| para el caso de un 𝑎 positivo y para el caso de un 𝑎
negativo:
−|3| ≤ 3 ≤ |3| 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑡 𝑐𝑎𝑠𝑜: − 3 < 3 = 3
−|−3| ≤ −3 ≤ |−3| 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑡 𝑐𝑎𝑠𝑜: − 3 = −3 < 3
iii) El valor absoluto de un número 𝑎 es mayor o igual a cero, y es cero solo en el caso de que el
número 𝑎 sea cero.
iv) Ejemplos de la propiedad |𝑎𝑏| = |𝑎||𝑏|
|2 ⋅ 3| = |2||3| = 6
|2(−3)| = |2||−3| = 6
|(−2)(−3)| = |−2||−3| = 6
v) La propiedad |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏| se llama “Desigualdad triangular”, dado que su interpretación
cuando se aplica a vectores del plano, evidencia que la longitud del lado de un triángulo es menor
a la suma de las longitudes de los otros dos.

Figura: Desigualdad del triángulo. Observar que geométricamente, la longitud del lado a+b, es
menor que la sula de la longitud de a más la longitud de b:
‖𝒂 + 𝒃‖ ≤ ‖𝒂‖ + ‖𝒃‖
En el caso particular de número reales (que pueden interpretarse como vectores de una
dimensión), la desigualdad del triángulo, toma la forma de la propiedad que estamos analizando:
|𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|.
La desigualdad “menor o igual” dada en la propiedad |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏| es una igualdad en los
casos en que 𝑎 y 𝑏 tienen igual signo.
Ejemplos:
|2 + 5| ≤ |2| + |5| ⟹ |2 + 5| = |2| + |5|
|(−2) + 5| ≤ |−2| + |5| ⟹ |(−2) + 5| < |−2| + |5|
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|2 + (−5)| ≤ |2| + |−5| ⟹ |2 + (−5)| < |2| + |−5|

|(−2) + (−5)| ≤ |−2| + |−5| ⟹ |(−2) + (−5)| = |−2| + |−5|
vi) Ejemplo de la propiedad |𝑎| − |𝑏| ≤ |𝑎 − 𝑏|:
|2| − |3| ≤ |1|
|−2| − |3| ≤ |−2 − 3|
|2| − |−3| ≤ |2 − (−3)|
|−2| − |−3| ≤ |1|
Tarea para el alumno: Dar ejemplos numéricos de las propiedades restantes.

Concepto de distancia entre dos números reales

Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. Se denomina distancia entre 𝑎 y 𝑏, denotada 𝑑(𝑎, 𝑏) a la expresión:

𝑑(𝑎, 𝑏) = |𝑏 − 𝑎|

Propiedades de la distancia:

7 - Entornos Abiertos Simétricos

Los entornos, no son otra cosa que conjuntos de números reales, con cierta forma que permite
expresarlos con una notación especial, donde dicha notación es notación de entornos.
Entorno Abierto (Simétrico) (No reducido): Un entorno abierto (simétrico y no reducido) es
simplemente un intervalo abierto, expresado en términos de su centro, y la distancia del centro a
los extremos. ¡Pero es simplemente un intervalo abierto!

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Sea 𝑐 ∈ ℝ, y sea 𝛿 ∈ ℝ+ .
Se denomina entorno abierto (simétrico y no reducido) de centro 𝑐 y radio 𝛿, y se denota
𝐸(𝑐, 𝛿) o 𝐸𝛿 (𝑐), al conjunto siguiente:
𝐸(𝑐, 𝛿) = 𝐸𝛿 (𝑐) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑑(𝑥, 𝑐) < 𝛿} = {𝑥 ∈ ℝ: |𝑥 − 𝑐| < 𝛿} = (𝑎, 𝑏)
Dónde:
𝑎+𝑏
𝑐=
{ 2
𝛿 = 𝑑(𝑎, 𝑐) = 𝑑(𝑐, 𝑏)
𝑎 =𝑐−𝛿
{
𝑏 =𝑐+𝛿

Entorno Abierto (Simétrico) Reducido: Un entorno reducido, es simplemente un entorno al que se

le saca el centro.

Sea 𝑐 ∈ ℝ, y sea 𝛿 ∈ ℝ+ .
Se denomina entorno abierto reducido (simétrico) de centro 𝑐 y radio 𝛿, y se denota 𝐸 ′ (𝑐, 𝛿) o
𝐸𝛿′ (𝑐) o 𝐸(𝑐, 𝛿) − {𝑐}, al conjunto siguiente:
𝐸 ′ (𝑐, 𝛿) = 𝐸𝛿′ (𝑐) = {𝑥 ∈ ℝ: 0 < 𝑑(𝑥, 𝑐) < 𝛿} = {𝑥 ∈ ℝ: 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿} = (𝑎, 𝑐) ∪ (𝑐, 𝑏)
Dónde:
𝑎+𝑏
𝑐=
{ 2
𝛿 = 𝑑(𝑎, 𝑐) = 𝑑(𝑐, 𝑏)
𝑎 =𝑐−𝛿
{
𝑏=𝑐+𝛿

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