ÁLGEBRA

CICLO 2023 - I
Equipo Docente “COCIENTES NOTABLES” Semana N° 07

COCIENTES NOTABLES
xn − an
Primer Caso:
Reciben este nombre aquellos cocientes que x−a
se originan de divisiones que adquieren la Aplicamos el Teorema del Resto:
x a
n n
+
x−a =0  x = a
forma: ; n Reemplazamos en el Dividendo:
xa
El desarrollo de estos cocientes se puede R = an − an  R  0
escribir directamente sin necesidad de Por tanto, podemos afirmar que esta expresión
efectuar la división. Es importante hacer origina un cociente exacto.
notar que los términos de su desarrollo se Luego el cociente es:
caracterizan por que obedecen a una misma xn − an
ley de formación. = x n−1 + x n−2 a + x n−3a 2 + + a n−1
x−a COCIENTE NOTABLE
De la forma general:
Exponente común
xn + an
Segundo Caso:
xn  a n x−a
xa Aplicando el Teorema del Resto:
Bases x−a =0  x = a
Podemos extraer las siguientes Reemplazamos en el Dividendo:
características: R = a n + a n  R = 2a n  0
❖ El Dividendo y Divisor deben ser Por tanto, podemos afirmar que esta expresión
binomios, o cualquier otra expresión que origina un cociente completo o cociente mixto.
se reduzca a ellos. Luego el cociente es:
❖ Las bases están indicadas en el divisor,
xn + an 2a n
debiéndose repetir en el dividendo. = x n−1 + x n−2 a + x n−3a 2 + + a n−1 +
❖ Los exponentes que afectan a las bases x−a COCIENTE NOTABLE x−a
en el dividendo deben ser iguales y nos
indicará el número de términos que
xn − an
tendrá en su expansión el cociente Tercer Caso:
notable. x+a
Aplicamos el Teorema del Resto:
ESTUDIO DE LA DIVISIÓN NOTABLE x + a = 0  x = −a
Se presentan 4 formas o casos distintos de Reemplazamos en el Dividendo:
divisiones notables, que lo vamos a
R = ( − a ) − a n , ocurren dos situaciones:
n
determinar combinando adecuadamente los
signos.
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PRIMERA SITUACIÓN Si “n” es un número impar: R = 0

Si “n” es un número par: R = 0 Origina un cociente exacto:
Origina un cociente exacto: xn + an
= x n−1 − x n−2 a + x n−3a 2 − + a n−1
x −a
n n
x+a
= x n−1 − x n−2 a + x n−3a 2 − − a n−1 COCIENTE NOTABLE
x+a COCIENTE NOTABLE Si “n” es un número impar, el último término del
Si “n” es un número par, el último término cociente notable ocupa lugar impar y está
del cociente notable ocupa lugar par y esta precedido del signo (+)
precedido del signo (-).
PRINCIPIO A CUMPLIRSE EN UNA DIVISIÓN
SEGUNDA SITUACIÓN NOTABLE
Si “n” es un número impar: R = −2a n  0 xm  a p
Origina un cociente completo: xq  ar
xn − an −2a n Origina un cociente notable o inmediato si y sólo
= x n−1 − x n−2 a + x n−3a 2 − + a n−1 +
x+a x+a
COCIENTE NOTABLE
m p
Si “n” es un número impar, el último término si: = =n
q r
del cociente notable ocupa lugar impar y
esta precedido del signo (+). Dónde: n representa el Número de términos del
cociente notable.
+
m, p, q, r   n
xn + an
Cuarto Caso: De la división notable expuesta podemos
x+a concluir:
Aplicamos el Teorema del Resto: ▪ Los exponentes de “x” y “a” en el divisor nos
x + a = 0  x = −a indicará la forma como aumentan o
Reemplazamos en el Dividendo: disminuyen los exponentes de las variables
mencionadas.
R = ( − a ) + a n , ocurren dos situaciones:
n
▪ Sí r  q , los grados absolutos del desarrollo
aumentarán de acuerdo a la diferencia
PRIMERA SITUACIÓN (r − q) .
Si “n” es un número par: R = 2a  0
n
▪ Sí r  q , los grados absolutos del desarrollo
Origina un cociente completo:
disminuyen de acuerdo a la diferencia
xn + an 2a n
x+a
= x n−1 − x n−2 a + x n−3a 2 − − a n−1 +
x+a
(q − r ) .
COCIENTE NOTABLE
Ejemplo
Si “n” es un número par, el último término
x63 + y147
del cociente notable ocupa lugar par y esta = x60 − x57 y 7 + x54 y14 − + y140
precedido del signo (-) x3 + y 7
Grados absolutos:
SEGUNDA SITUACIÓN 60 < 64 < 68 < < 136 < 140

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FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL EN EL el desarrollo del cociente notable

DESARROLLO DE LOS COCIENTES NOTABLES x −y
148 a 296 b
, entonces el grado del término
x a
n n
n − k k −1
x − y 4b
 Tk = Signo x a
2a

xa que ocupa el lugar 21 es igual a:

✓ Cuando el divisor es de la forma (x – a) UNS 2016 II
entonces, el término buscado estará A) 425 B) 436 C) 442 D) 452 E) 464
precedido del signo positivo (+).
✓ Cuando el divisor es de la forma (x + a) 5. La edad en años de Don Leoncio es el doble
entonces, el término buscado estará del grado absoluto del monomio P( x; y )
precedido del signo: disminuido en 16, donde P( x; y ) es el
(–) Si el lugar que ocupa es par.
término que ocupa el lugar (m + n) del
(+) Si el lugar que ocupa es impar.
desarrollo del cociente notable
−n
− y m −2m
2 2
PRÁCTICA DE CLASE xn +
con n, m  . Si la
x −y p 432
x2 − y3
1. Si la división: genera un
x3 − y p expansión de dicho cociente notable tiene 21
cociente notable, entonces el término términos, ¿Qué edad tiene Don Leoncio?
antepenultimo, es igual a: A) 92 años B) 86 años C) 94 años
UNS 2020 I D) 88 años E) 90 años
2 9
A) x y 6 324
B) x y C) x 36 y360
6. Si el término independiente del cociente
D) 1 E) x 6 y314
( x + 2) − 256
8

notable tiene la forma n m ,

2. Qué lugar ocupa en el desarrollo del x
x 160
−y 280 determine mínimo el
valor de
+
cociente notable el término (n + m);{n; m}  .
x − y7
4

A) 18 B) 34 C) 9 D) 12 32
que tiene grado absoluto 252.
UNS 2017 I
7. En la siguiente
expresión
A) 31 B) 32 C) 33 D) 34 E) 35
+x y +x y + 200 100 180 125
se muestran
x n−1 y − x n−1 − ( y − 1)n dos términos consecutivos que son parte del
3. La división , desarrollo de un cociente notable de n
xy − x + ( y − 1)2
términos. Si el término x 240 y 50 ocupa el
n  , genera un cociente notable.
lugar m, calcule el valor de la suma del lugar
Hallar n tal que n 2 − 35n + 300 = 0 que ocupa el primer término mostrado con
(n  m ) .
UNS 2017 II −1
A) – 20 B) – 15 C) 10 D) 15 E) 20
56 708
4. Si el término x y ocupa el lugar 60 en A) 11 B) 14 C) 13 D) 10 E) 12

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8. Al desarrollar el cociente notable AMSM que ingresaron a la Universidad,

x −y ab b ( a + 9) alumnos ingresaron a Ingeniería
se tiene que el grado absoluto civil, (n + 20) alumnos ingresaron a Medicina
xa − y
y los alumnos restantes ingresaron a
del quinto término es 95 y los grados
Economía. Si n es el número de términos del
absolutos de los términos disminuyen de
6 en 6. Si el precio de un polo deportivo x5a +1 − y a +5
desarrollo del cociente notable
es ( ab − 36) dólares, pero por oferta de x a −1 − y
verano se hace un descuento del 30%, ( a  0) , halle el número de alumnos que
¿cuál es el precio de oferta del polo
ingresaron a Economía.
deportivo?
A) 10 B) 12 C) 15 D) 25 E) 22
A) $72 B) $56 C) $70 D) $63 E) $65
13.Si los grados absolutos de los términos del
(x + 1)40 − (x − 1)40 puede expresarse
x mn − y n
9. Si 2
(
8x x + 1 ) cociente notable van
como un cociente notable, calcule la xm − y
suma de coeficientes de dicho cociente disminuyendo de dos en dos y además el
notable. cuarto término tiene un grado absoluto de
A) 238 B) 169 C) 8 9 D) 816 E) 2 40 21. Hallar su número de términos.
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 10.
10.Calcule el resto de la siguiente división
14.En el cociente notable generado por
x38 + x36 + x34 + + x 4 + x 2 + 1
x 2 n − x −3n
( x6 + 1)( x18 + x16 + x14 + + x4 + x2 + 1) x 2 − x −3
calcula la suma de valores para

A) 1 − x 2 B) x 2 − x + 1 C) x 3 − 1 n  33, tal que existan 13 términos enteros

en su desarrollo.
D) − x + x − 1 E) x − 1
2 2
A) 90 B) 94 C) 96 D) 86 E) 64
11.En el Metro de Lima, el pasaje en soles
( 3x − 1)
+ ( 3x + 1)
25 25
que gasta Jaime diariamente es igual al 15.Al efectuar la división .
número de términos fraccionarios que x
hay en el desarrollo del cociente notable Hay un término en el cociente de la forma
x99 − x −45 m ( 9 x2 − 1) . Halle m + n
n

; si el servicio lo usa cinco días

x m − x −5 A) 16 B) 14 C) 18 D) 20 E) 22
a la semana, ¿cuánto gastará en pasajes
Jaime en cuatro semanas? 16.Calcular el número de términos fraccionarios
A) 30 soles B) 40 soles C) 70 soles
D) 60 soles E) 50 soles x90 − x −60
en el C.N. de:
12.De un grupo de 5( a + 8) estudiantes de x3 − x −2
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
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