Antiderivadas

En las unidades anteriores nos avocamos a calcular, a partir de una función dada f (x), las tasas de
crecimiento, razones de cambio instantáneas, velocidades instantáneas, velocidades de reacción,
pendientes de rectas tangentes, etc. Estas podı́an ser representadas por una nueva función lla-
mada la derivada f ′ (x).

Ahora supongamos que la función conocida es justamente la tasa de crecimiento, la razón de

cambio instantánea, etc.
La suposición anterior podrı́a ejemplificarse suponiendo que se va en un automóvil en una car-
retera en lı́nea recta y el copiloto registra las velocidades que muestra el velocı́metro para cada
tiempo t, de esta forma se tendrı́a una función v(t) sin necesidad de conocer la función posición
s(t). Aún ası́, sabemos que s(t) y v(t) están relacionadas por la derivada s′ (t) = v(t).Ası́ que
es posible preguntarnos cuál es la función posición para la cual su derivada nos dé la función
conocida v(t).

Otros ejemplos que podrı́amos enlistar son los siguientes:

Función conocida Función por conocer

Velocidad instantánea v(t) s(t)
′
Tasa de crecimiento N (t) N (t)
Aceleración a(t) v(t)
′
Velocidad de reacción C (t) C(t)

Definición: Una función F es llamada una antiderivada de f en un intervalo I si F ′ (x) = f (x)

para todo x en I.

Ejemplo: Sea f (x) = 2x la derivada de una función. Una antideriavda es la función F (x) = x2
ya que

dF (x)
F ′ (x) =
dx
d 2
= x
dx
= 2x = f (x)

dSin embargo, existen otras funciones que, al derivarlas, dan la misma f (x) = 2x, veamos:

Las funciones

F1 (x) = x2 + 5
F2 (x) = x2 + 100

1
 F3 (x) = x2 − 20

son todas antiderivadas de f (x) = 2x, lo que se puede comprobar fácilmente. En general

F1 (x) = x2 + C

donde C es una constate es la antiderivada más general de f (x) = 2x.

Fin del ejemplo.

Teorema. Si F es una antiderivada de f en el intervalo I entonces la antiderivada más

general de f en I es F (x) + C, C ∈ R.

La constante C genera una familia de curvas que tienen la misma forma pero se encuentran
desplazadas verticalmente:

Estas funciones, difieren entre sı́ por una constante, pero tienen la misma derivada. Geométricamente,
esto quiere decir que al situarnos en una x en particular, si trazáramos una recta vertical que
pase por esa x y que corte a las curvas, en los puntos de intersección las pendientes a las rectas
tangentes de cada curva tendrán el mismo valor.

De nuestro conocimiento de secciones pasadas podemos escribir una lista con funciones cuyas
antiderivadas se escriben debido al conocimiento que tenemos de secciones anteriores.

2
 Función Antiderivada más general
xn
xn , n ̸= −1 +C
n+1
1
ln |x| + C
x
x
e ex + C
0 C
1 x+C
1 cx
ecx c
e +C
cos x sen x + C
sen x − cos x + C
2
sec x tan x + C
csc2 x − cot x + C
sec x tan x sec x + C
csc x cot x − csc x + C

Es fácil comprobar que al derivar las funciones de la derecha, se obtienen las de la izquierda
.
Además, si F (x) y G(x) son antiderivadas de f (x) y g(x) respectivamente, donde estas
últimas son funciones generales, se cumple que

Función Antiderivada más general

cf (x) cF (x) + C
f (x) + g(x) F (x) + G(x)
f (x) − g(x) F (x) − G(x)

√
Ejemplo: Hallar la antiderivada más general de f (x) = 2 x + 6 cos x y comprobar la re-
spuesta por derivación.

Resolución: Reescribimos la función f para que quede en la forma de alguna de las men-
cionadas anteriormente:

√
f (x) = 2 x + 6 cos x
= 2x1/2 + 6 cos x

De esta forma, podemos identificar que f (x) está formada por dos términos. Donde cada
uno tiene una antiderivada que se puede obtener de la lista presentada. Ası́, la antiderivada queda

3
 1
x 2 +1
F (x) = 2 1 + 6 sen x + C
2
+1
3
x2
=2 3 + 6 sen x + C
2
3
4x 2
= + 6 sen x + C
3

Para comprobar el resultado anterior, derivamos F (x):

" 3 #
d 4x 2
F ′ (x) = + 6 sen x + C
dx 3
3
d 4x 2 d d
= + 6 sen x + C
dx 3 dx dx
4 d 3 d
= x 2 + 6 sen x + 0
    dx
3 dx
4 3 3
= x 2 −1 + 6 cos x
3 2
1
= 2x 2 + 6 cos x
√
= 2 x + 6 cos x = f (x)
3
4x 2 √
Por lo tanto, F (x) = 3
+6 sen x+C es la antiderivada más general de f (x) = 2 x+6 cos x.

Fin del ejemplo.

Antiderivadas y condiciones iniciales

Si se conoce la antiderivada más general de una función f y, además una condición inicial, se
puede hallar una antiderivada única que satisfaga la condición inicial.

Ejemplo: Una partı́cula se mueve en lı́nea recta con una velocidad dada por la función
v(t) = sen t − cos t. Se sabe que su posición s al tiempo t = 0 era de 0, es decir s(0) = 0. Hallar
la posición s(t) como función del tiempo t.

Resolución:

4
 Sabemos que, en general, v(t) = s′ (t) y, por información del problema, s(0) = 0.

Primero hallaremos la antiderivada más general de v(t):

Si v(t) = sen t + cos t, entonces s(t) = − cos t − sen t + C es la antiderivada más general.

Aplicando la condición inicial a s(t), se obtendrá el valor particular de C para el problema

presentado. Recordemos que sabemos que s(0)= 0:

s(0) = − cos(0) − sen(0) + C= 0

Entonces se obtiene una ecuación lineal en una incógnita C que se puede resolver fácilmente:

−1 − 0 + C = 0
C= 1

Este valor lo sustituimos en la función s(t) y esto nos da la función posición para todo t para
este problema particular:

s(t) = − cos t − sen t + 1

Fin del ejemplo.

Ejemplo: La razón I a la cual las personas se infectaron de VIH en Nueva York en la década
de los 80 se aproxima a una lı́nea recta dada por I(t) = 16 + 242t donde t se mide en años desde
1982. Supóngase que en t = 0 habı́a 80 infectados. ¿Cuál es el número de infectados para 1990?

Resolución:

I representa la tasa de infectados de la población, cuya cantidad de individuos infectados al

tiempo t llamaremos P (t). De esta forma I y P se relacionan de la forma P ′ (t) = I(t), donde
P (t) es una antiderivada de I(t) que debemos hallar para responder el problema.

Información del problema:

5
 I(t) = 16 + 242t = P ′ (t)
P (0) = 80

Resolviendo para P (t):

P ′ (t) = 16t + 121t2 + C

Aplicando condiciones iniciales:

P (0) = 16(0) + 121(0)2 + C = 80

0 + 0 + C = 80
C = 80

Entonces:

P (t) = 16t + 121t2 + 80

es la función P (t) de número de contagios como función del tiempo para este problema en par-
ticular.

Para responder cuántos infectados hubo en el año 1990, simplemente se debe de evaluar P (t)
en t = 8 que es el timepo correspondiente a año 1990.

P (8) = 16(8) + 121(8)2 + 80

= 7952 habitantes

Fin del ejemplo.

Integrales
Como hemos visto, la motivación para introducir el Cálculo Diferencial estuvo en hallar tasas de
crecimiento, velocidades de reacción, velocidad de un objeto, etc. Y para ello usamos el concepto
de lı́mite aplicado a la razón de cambio promedio.

6
 Existe otro grupo de problemas, igualmente importante para los cientı́ficos que nos llevaa a
lo que llamamos Cálculo Integral.

La motivación inicial que desarrolló esta idea matemática fue la de hallar el área de una su-
perficie irregular. Esto nos llevará a formular la idea de Integral Definida. Luego veremos cómo
usar esas integrales para resolver problemas como el desarrollo de una enfermedad, dinámica
poblacional, control biolólgico, etc.

También veremos que hay una conexión entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral a
través del Teorema Fundamental del Cálculo.

Estudiaremos primero el problema del cálculo del área de una superficie irregular y veremos
que, nuevamente, el concepto de lı́mite entrará en juego. El interés para la biologı́a de calcular
áreas irregulares podrı́a dirigirse a, por ejemplo, el cálculo de el área de una hoja para determinar
la radiación solar incidente por unidad de área, o el cálculo del área de un lago o de algún terreno
para hallar la densidad de áreas verdes en él.

Para aproximarnos al problema, podemos imaginar que queremos calcular el área de la figura
A para la cual no conocemos una fórmula (como la usada para calcular el área de un cuadrado
o un triángulo). Una forma para calcular el área, serı́a dividir la superficie en figuras geométricas
cuya área sepamos calcular, como por ejemplo, en triángulos como se muestra en la figura B.

Una vez dividido de esta forma, el área de la superficie total serı́a la suma de las áreas de los
triángulos. Para ello, se deberı́an de conocer las alturas y las bases de estos.

Ahora supondremos que tenemos una superficie delimitada por una función continua en el
intervalo [a, b] y las rectas x = a y x = b. El objetivo será hallar el área de esa superficie.

7
 Cuando la superficie no tiene solamente lados rectos, como es el caso de la figura anterior,
podemos dividir la superficie en rectángulos que la cubran aproximadamente. A continuación, a
través de un ejemplo, se verá cómo hallar las longitudes de las bases de los rectángulos y cómo,
a partir de la regla de correspondencia de una función espeçı́fica, podremos hallar las alturas de
estos rectángulos para luego aplicar la fórmula de área de rectángulos y después realizar la suma
de estas para encontrar una aproximación al área de la superficie buscada.

Ejemplo: Buscamos hallar el área A debajo de la parábola y = x2 limitada por las rectas
x = 0 y x = 1.

Resolución: Se aproximará el área de la superficie por medio de la suma de áreas de rectángulos

que se construyen de la forma que se muestra en la siguiente imagen:

8
 El intervalo [0,1] en el eje de las x se dividió en 4 segmentos de igual longitud, cada uno de
los cuales será la base de los rectángulos dados. Las longitudes de estas bases ∆x se determinan
dividiendo la longitud del intervalo [0,1] entre 4:

1−0 1
∆x = =
4 4
Las alturas de cada rectángulo estarán determinadas por las intersecciones de las alturas con
la curva y = x2 . Observando la figura tenemos que:

1 1
f ( ) = ( )2 altura del primer rectángulo
4 4

1 1 1
f ( ) = ( )2
4 4 4

3 3
f ( ) = ( )2 altura del tercer rectángulo
4 4

4 4
f ( ) = ( )2 altura del cuarto rectángulo
4 4

Con esta información se calcula la suma de la áreas de los cuatro rectángulos a la que deno-
taremos R4 :

1 1 1 2 1 3 1 4
R4 = ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2
4 4 4 4 4 4 4 4

1 1 + 2 2 + 32 + 4 2
 
=
4 42

 
1 1 + 4 + 9 + 16
=
4 16

 
1 30
=
4 16

15
= = 0.46875
32

9
 Es claro que R4 es mayor que el áera A que queremos conocer, es decir, R4 > A.

Por otro lado, si en lugar de haber construido rectángulos por arriba de la curva y = x2
hubiéramos construido rectángulos por debajo de ella como en la siguiente figura

La suma de las áreas de esos rectángulos L4 habrı́a estado dada por

1 0 1 1 1 2 1 3
L4 = ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2
4 4 4 4 4 4 4 4

1 0 + 1 2 + 2 2 + 32
 
=
4 42

 
1 0+1+4+9
=
4 16

 
1 14
=
4 16

7
= = 0.21875
32
Es claro que L4 es menor que el áera A que queremos conocer, es decir, L4 < A.

10
 De esta forma, podemos asegurar que

L4 < A < R 4
0.21875 < A < 0.46875

Lo que sigue ahora será realizar una mejor aproximación del área y para ello usaremos el
concepto de lı́mite.

Es claro que, mientras más fina sea la partición del intervalo [0,1], es decir, mientras más
rectángulos de bases cada vez más angostas se construyan, la suma de sus áreas se aproximará
más al área A buscada. En la siguiente figura se muestra una partición de 50 rectángulos supe-
riores e inferiores, donde la longitud de cada base es ∆x = 1−050
, y hay 50 alturas determinadas
por el valor de la función en los exrremos adecudos.

Se aprecia que la diferencia entre R50 y L50 es mucho menor que cuando la partición era de
4 rectángulos, pero se sigue manteniendo que L4 < A < R4

Como el número de particiones puede se tan grande como se quiera (mientras más grande,
mejor). Se dividirá el segmento [0,1] en n segmentos iguales de longitud ∆x = 1−0
n
. Ası́, para
las sumas superiores:

11
 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 n
Rn = ( ) + ( ) + ( ) + · · · + ( )2
n n n n n n n n

1 1 
1 + 22 + 32 + · · · + n2

= 2
nn

1 n(n + 1)(2n + 1)
=
n3 6

(n + 1)(2n + 1)
=
6n2

Observemos que mientras más grande sea el valor de n mejor aproximación tendremos del
área bajo la curva. Esto se logra tomando lim Rn . Primero calculamos una expresión para Rn
n→∞
en términos de n:

1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 n
Rn = ( ) + ( ) + ( ) + · · · + ( )2
n n n n n n n n

1 1  2 2 2

= 1 + 2 + 3 + · · · + n
n n2

1 n(n + 1)(2n + 1)
=
n3 6

(n + 1)(2n + 1)
=
6n2

Ahora solo calculamos lim Rn :

n→∞

12
 (n + 1)(2n + 1)
lim Rn = lim
n→∞ n→∞ 6n2

2n2 + n + 2n + 1
= lim
n→∞ 6n2

2n2 + 3n + 1
= lim
n→∞ 6n2

3 1
2+ n
+ n2
= lim
n→∞ 6

1
=
3
1
De igual forma se puede probar que lim Ln =
n→∞ 3
Como siempre se mantiene que Ln < A < Rn entonces lim A = 1/3
n→∞

Fin del ejemplo.

Definición: El área A de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de una función

continua f es el lı́mite de la suma de las áreas de rectángulos Rn .

A = lim Rn = lim [f (x1 )∆x + f (x2 )∆x + · · · + f (xn )∆x]

n→∞ n→∞
n
X
= lim f (xi )∆x
n→∞
i=1

b−a
Con xi un punto dentro del i-ésimo intervalo [xi−1 , xi ] y ∆x = .
n
Definición. Integral Definida: La integral definida de f de a a b es

Z b n
X
f (x)dx = lim f (xi )∆x
a n→∞
i=1

siempre y cuando ese lı́mite exista.

13
 A los números a y b se les conoce como los lı́mites inferior y superior de la integral definida y
a f (x) como el integrando. Al proceso de calcular el lı́mite de esa suma se le llama ingegración.

Propiedades de la integral definida.

Las siguientes propiedades se muestran sin demostración formal, pero se invita a reflexionar
en la validez de ellas recordando su definición.

Sean f y g funciones continuas en el intervalo [a, b]

Z b Z a
1. f (x)dx = − f (x)dx
a b
Z a
2. f (x)dx = 0
a

Z b
3. c dx = c(b − a) c cualquier constante
a

Z b Z b Z b
4. [f (x) + g(x)] dx = f (x) dx+ g(x) dx
a a a

Z b Z b Z b
5. [f (x) − g(x)] dx = f (x) dx− g(x) dx
a a a

Z b Z b
6. cf (x) dx = c f (x) dx
a a

Z c Z b Z b
7. f (x) dx + f (x) dx = f (x)dx c ∈ [a, b]
a c a

Z 1
Ejemplo: Usando las propiedades de las integrales, evaluar 4 + 3x2 dx
0

14
 Z 1 Z 1 Z 1
2
4 + 3x dx = 4 dx + 3x2 dx usando la propiedad 4
0 0 0

Z 1
= 4(1 − 0) + 3 x2 dx usando las propiedades 3 y 6
0

  Z 1
1 1
=4+3 sabiendo que x2 dx =
3 0 3

=4+1=5
Fin del ejemplo.

Calcular integrales usando lı́mites de sumas puede ser muy engorroso. Sin embargo, existe un
resultado del Calculo Integral que facilitará los cálculos el cual se presenta a continuación.

Teorema de Evaluación

Si f es continua en el intervalo [a, b] entonces

Z b
f (x)dx = F (a) − F (b)
a

donde F es una antiderivada de f , esto es F ′ = f

Este resultado es muy importante porque nos evita realizar sumas de Riemman; en su lugar,
solo es cuestión de hallar una antiderivada y evaluarla en los lı́mites de integración.

A continuación se mostrarán ejemplos de aplicación de este teorema.

x3
Ejemplo: Si f (x) = x2 una antiderivada de f es F (x) = 3

Ası́
Z 1
x2 dx = F (1) − F (0) usando el Teorema de Evaluación
0
(1)3 (0)3
− =
3 3
1
=
3
Como se habı́a calculado usando sumas de Riemman.

15
 Fin del ejemplo.

Z 3
Ejemplo: Calcular ex dx
1

Resolución: Sabemos que si f (x) = ex , una antiderivada es F (x) = e2 , ası́ que podemos
aplicar el Teorema de Evaluación y el resultado es el siguiente:

Z 3
ex dx = F (1) − F (0)
1
= e3 − e1
≈ 17.36

Fin del ejemplo.

π
Ejemplo: Hallar el área bajo la curva de f (x) = cos x de 0 a 2

Resolución: El área bajo la curva de cos x entre 0 y π2 es la integral definida de cos x entre
esos lı́mites. Se usará el Teorema de Evaluación donde sen x es una antiderivada del cos x.

Z π
2 π
cos x dx = sen( ) − sen(0)
0 2
=1−0
=1

Fin del ejemplo.

Notación

La siguientes notaciones son equivalentes:

Z b
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
= F (x)|ba

= [F (x)]ba

16
 Ejemplo: Usando esta notación en el último ejemplo, podemos escribir

Z π
2 π
cos x dx = sen x|02
0
π
= sen( ) − sen(0)
2

=1−0
=1

Fin del ejemplo.

Promedio de una función continua

Imaginemos que en un laboratorio se necesita tener una temperatura constante para un ex-
perimento, ası́ que se toman los valores de esta durante todo el dı́a con un sensor digital. Al ver
las mediciones obtendremos una función continua del tiempo que, posiblemente, tenga algunas
fluctuaciones y podrı́amos preguntarnos por la temperatura promedio de estas mediciones.

El concepto de promedio se comprende bien cuando los datos son un conjunto de valores
discretos y finitos a1 , a2 , a3 , . . . , an con n ∈ N. Si al promedio lo denotamos por a, es claro que

a1 + a2 + a3 + · · · + an
a=
n
donde {a1 , a2 , a3 , . . . , an } puede representar un conjunto de calificaciones, ingresos mensu-
ales, etc.

En el caso planteado de las temperaturas, por ser esta una función continua del tiempo se
tienen una infinidad de valores registrados en un intervalo cerrado.

17
 Para calcular el promedio de una función continua, primero haremos una aproximación de
este usando la siguiente construcción: dividimos el intervalo [a, b] en n segmentos de igual lon-
gitud ∆x = b−an
y escogemos n puntos x1 , x2 , x3 , . . . , xn que se encuentren en esos segmentos .
Tomaremos el promedio de los valores de la función evaluada en esos puntos, de tal forma que
tendremos

f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 ) + · · · + f (xn )

n
Usamos el hecho de que ∆x = n para despejar n = b−a
b−a
∆x
y sustituirla en la expresión anterior:

f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 ) + · · · + f (xn ) [f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 ) + · · · + f (xn )]∆x

b−a
=
∆x
b−a
n
1 X
= f (x)∆x
b − a i=1

Usando nuevamente el concepto de lı́mite podemos aplicar limn→∞ y observar que la suma
se transforma en la integral definida de a a b:

n Z b
1 X 1
lim f (x)∆ = f (x) dx
n→∞ b − a b−a a
i=1

1
donde se usó que b−a
es una constante que no depende de n.

Definición: Se define el promedio de una función f continua, f , en el intervalo [a, b] como

Z b
1
f= f (x) dx
b−a a

Ejemplo: La población de Indonesia de 1950 a 2000 ha sido modelada por la función P (t) =
0.18t
83e donde P está medida en millones de habitantes y t en años con t = 0 en el año 1950.
¿Cuál es el promedio de la población de 1950 a 2000?

18
 Z 50
1
P = 83e0.18t dx
50 − 0 0

Z 50
83
= 83e0.18t dx
50 0

 50
83 1 0.18t
= e
50 0.18 0

 
83 1
e0.18(50) − e0.18(0)
 
=
50 0.18

≈ 9.22 e9 − e0
 

≈ 9.22 [8, 103.08 − 1]

≈ 74, 719 millones de habitantes

Fin del ejemplo.

Integrales indefinidas

Dada la relación entre la integral definida y las antiderivadas, se usa una notación para estas
últimas llamada integral indefinida1 . De tal forma que escribimos
Z
f (x)dx = F (x)

que indica que F (x) es la antiderivada de f (x). El sı́mbolo de integración no tiene lı́mites de
integración y se puede tomar como un operador de integración actuando sobre f (x) que indica
que se buscará su antiderivada F (x)

Con esta nueva notación podemos reescribir la tabla de derivadas que se realizó al inicio de
esta unidad quedando de la siguiente forma:

Z Z Z
ˆ [f (x) + g(x)] dx = f (x) dx + g(x) dx
Z Z Z
ˆ [f (x) − g(x)] dx = f (x) dx − g(x) dx

1
Las particularidades matemáticas que sustentan esta notación no se verán en este curso

19
 Z Z
ˆ cf (x) dx = c f (x) dx

xn
Z
ˆ xn = +C n ̸= −1
n+1
Z
1
ˆ dx = ln |x| + C
x
Z
ˆ ex dx = ex + C
Z
ˆ 0 dx = C
Z
ˆ dx = x + C
Z
1 cx
ˆ ecx dx = e +C
c
Z
ˆ cos x dx = sen x + C
Z
ˆ sen x dx = − cos x + C
Z
ˆ sec2 x dx = tan x + C
Z
ˆ csc2 x dx = − cot x + C
Z
ˆ sec x tan x dx = sec x + C
Z
ˆ csc x cot x dx = − csc x + C

Ejemplo: Hallar la integral indefinida de f (x) = 10x4 − 2 sec2 x

Resolución:

20
 Z Z
f (x) = (10x4 − 2 sec2 x) dx
Z Z
= 10x dx − 2 sec2 x dx
4

Z Z
= 10 x dx − 2 sec2 x dx
4

x5
= 10 − 2 tan x + C
5
= 2x5 − 2 tan x + C

Fin del ejemplo.

√
2t2 − t2 t − 1
Z
Ejemplo: Hallar dt
t2
Resolución:

√
Z
2t2 − t2 t − 1
Z √ 1
2
dx = (2 + t − 2 ) dt
t t
Z Z √ Z
1
= 2 dt + t dt − dt
t2
Z Z Z
= 2 dt + t dt − t−2 dt
1/2

2t3/2 t−1
= 2t + − +C
3 −1
2 1
= 2t + t3/2 + +C
3 t

Fin del ejemplo.

Métodos o técnicas de integración

Ya hemos visto que tenemos un número limtado de ”fórmulas” de integración, pero no ten-
emos una regla explı́cita que nos indique cómo se integran productos o divisiones de funciones;
tampoco están enlistadas las integrales de tan x, cot x, sec x, csc x, etc.

RIncluso
2
hay veces que la integral definida existe, pero el integrando no tiene antiderivada como
en e−t dt.

21
 En esta sección se presentarán tres métodos o técnicas que se usan para hallar la antiderivada
de una función.

Integración por sustitución.

Esta método es la contraparte de la Regla de la Cadena para derivar composición de funciones.

Lo que se busca es identificar en el integrando una composición de funciones multiplicada (salvo
constantes multiplicativas) por la derivada de la función interior de la composición y realizar un
cambio de variable de manera que, en términos de la nueva variable, el integrando esté en la
forma de alguna de las fórmulas de integración.

Ejemplos:
Z √
ˆ Calcular 2x 1 + x2 dx.

Resolución: Observemos que el integrando no corresponde a ninguna fórmula de inte-

gración, sin embargo, se puede observar una composición de funciones donde la función
interior tiene la forma 1 + x2 y la exterior es la raı́z cuadrada, además la composición se
encuentra multiplicada por la expresión 2x que, como veremos, corresponde a la derivada
de la interior.

Z √ Z
√
Z
u3/2 2
2x 1 + x2 dx = udu = u1/2 du = + C = (1 + x2 )3/2 + C
3/2 3

donde se usó el cambio de variable:

u = 1 + x2
du
= 2x
dx
du = 2xdx

Nota: a la notación du se le conoce como la diferencial de u

Z
ˆ Calcular t(5 + 3t2 )8 dt

Resolución. Se verá en este ejercicio cómo la derivada de la función interior difiere por
una constante multiplicativa que puede agregarse de tal forma que no se altere la expresión
inicial.

22
 Z Z Z
2 8 6
t(5 + 3t ) dt = t(5 + 3t ) (1) dt = t(5 + 3t2 )8 ( ) dt
2 8
6
Z Z
1 1
= t(5 + 3t2 )8 6 dt = (u)8 du
6 6
1 u9 (5 + 3t2 )8
= +C = +C
6 9 54
donde se usó el cambio de variable:

u = 5 + 3t2
du
= 6t
dt
du = 6tdt
Z
dx
ˆ Calcular
x+1
Z Z Z Z
dx 1 1 1
= dx = dx = du = ln |u| + C = ln |x + 1| + C
x+1 x+1 x+1 u

donde se usó el cambio de variable:

u=x+1
du
=1
dx
du = 1dx

Fin de los ejemplos.

Teorema de sustitución para integrales definidas

Si g ′ es contina en [a, b] y f es continua en el rango de u = g(x), entonces

Z b Z g(b)
′
f (g(x))g (x) dx = f (u) du
a g(a)

Z π
2
Ejemplo: Evaluar sen3 θ dθ.
0

Resollución: Se realizará un cambio de variable para aplicar integración por sustitución y los
lı́mites de integración se modificarán en el tercer paso:

23
 π π 1
1
u4
Z Z Z
2
3
2
3 3 1 0 1
sen θ dθ = (sen θ) dθ = u du = = − =
0 0 0 4 0 4 4 4

cambio de variable:

u = sen θ = g(θ)
du
= cos θ
dθ
du = cos θdθ

g(0) = 0
π
g( ) = 1
2

Fin del ejemplo.

Integración por partes.

La contraparte en integración de la regla para derivar productos de funciones es el método

de integración por partes y se desarrolla tomando en cuenta la derivada de la multipilcación de
funciones.

Recordando:
d
[f (x)g(x)] = f (x)g ′ (x) + f ′ (x)g(x)
dx
Integrando de ambos lados:
Z Z Z
d
[f (x)g(x)] dx = f (x)g (x) dx + f ′ (x)g(x) dx
′
dx
Z Z
f (x)g(x) = f (x)g (x) dx + g(x)f ′ (x) dx
′

Despejando alguno de los términos del miembro derecho de la igualdad:

Z Z
f (x)g (x) dx = f (x)g(x) − g(x)f ′ (x) dx
′

A la ecuación anterior se le conoce como la fórmula de itnegración por partes. La forma

más sencilla para recordarla es asignando una variable a cada función y aplicar la notación de
diferenciales:

24
 u = f (x) entonces du = f ′ (x)dx
v = g(x) entonces dv = g ′ (x)dx

Ası́, la fórmula de integración por partes queda

Z Z
u dv = uv − v du

Para aplicar la fórmula, primero se debe indentificar en el integrando una función f (x) a la
que se le asignará la variable u y otra g ′ (x) dx que sea la diferencial dv. Luego se debe hallar,
mediante derivación, la correspondiente du y mediante integración, la correspondiente v, para
sustituirlas en el miembro derecho de la fórmula de integración por partes.

Ejemplos:
Z
ˆ Calcular x cos x dx.

Resolución: Se observa que esta función no puede ser integrada de forma directa ni por
sustitución, ası́ que se prueba integrarla por partes.

Sean u=x dv = cos x dx

du
R R
Entonces dx
=1 dv = cos x dx
du = dx v = sen x

Aplicando la fórmula de integración por partes

Z Z
x cos x dx = xsen x − sen x dx

= x sen x − (− cos x) + C
= x sen x + cos x + C

Z
2
ˆ Calcular x3 ex dx.

Primero reacomodamos los factores del integrando

Z Z
3 x2 2
x e dx = x2 ex x dx

25
 2
Sean u = x2 dv = ex x dx

du
R R 2
Entonces dx
= 2x dv = ex x dx
R 1
R 2
du = 2xdx dv = 2
ex 2x dx
2
v = 12 ex

Aplicando la fórmula de integración por partes

Z Z
3 x2 2
x e dx = x2 ex x dx
Z
2 1 x2 1 x2
=x e − e 2x dx
2 2
Z
1 2 1 2
= x2 ex − ex 2x dx
2 2
1 2 1 2
= x2 ex − ex + C
2 2
1 x2 2
= e (x − 1) + C
2

Z
ˆ Calcular sen2 x dx.

Primero reacomodamos los factores del integrando

Z Z
2
sen x dx = sen x sen x dx

Sean u = sen x dv = sen x dx

du
R R
Entonces dx
= cos x dv = sen x dx

du = cos x dx v = − cos x

Aplicando la fórmula de integración por partes

26
 Z Z
2
sen x dx = sen x sen x dx
Z
= sen x(− cos x) − (− cos x) cos x dx
Z
= − sen x cos x + cos2 dx
Z
= − sen x cos x + (1 − sen2 x) dx ya que cos2 x + sen2 x = 1
Z Z
= − sen x cos x + 1dx − sen2 x dx
Z
= − sen x cos x + x − sen2 x dx

Tomando la priemra y útima igualdad, se observa la siguiente ecuación:

Z Z
2
sen x dx = − sen x cos x + x − sen2 x dx
Z
Sumando de ambos lados sen2 x dx se tiene
Z
2 sen2 x dx = − sen x cos x + x

Por lo tanto

Z
1
sen2 x dx = (− sen x cos x + x)
2
1
= (x − sen x cos x) + C
2

Con lo que queda resuelta la integral.

Fin del ejemplo.

Integración por fracciones parciales.

Este tipo de técnica de integración se usa cuando tenemos en el integrando una función
racional p(x)
q(x)
donde p(x) y q(x) son polinomios. Se trata de expresar la función racional como
la suma de fracciones más simples llamadas fracciones parciales las cuales sepamos integrar por

27
alguno de las fórmulas de integración o por una de las dos ténicas vistas anteriormente.

Para ejemplificar lo que dice el párrafo anterior se presenta un ejemplo:

Ejemplo de dos fracciones simples que, al restarlas, generan una función racional:

4 1 4(x + 2) − (x − 3) 4+8−x+3 3x + 11
− = = 2
=
x
| − 3 {z x + 2
} (x − 3)(x + 2) x
| + 2x −
{z 3x − 6
} x2
| −{zx − 6}
| {z }
fracciones parciales común denominador desarrollo de paréntesis función racional

Ahora supongamos que queremos integrar la función racional de la última igualdad

Z
3x + 11
dx
x2−x−6

Un breve análisis nos llevará a la conclusión de que esta integral no se puede realizar por ninguno
de las fórmulas directas ni por los métodos presentados anteriormente. Sin embargo, la función
racional, puede ser expresada como suma de fracciones parciales que, como se verá, son fácilmente
integrables por sustitución. Usando el desarrollo inicial de este ejemplo se tiene

Z Z  
3x + 11 4 1
2
dx = − dx
x −x−6 x−3 x+2

Z Z
4 1
= dx − dx
x−3 x+2

Z Z
1 1
=4 dx − dx
x−3 x+2

= 4 ln |x − 3| − ln |x + 2| + C donde se integró por sustitución en ambas integrales

Fin del ejemplo.

El método que se presentará consiste en una serie de pasos que se deben seguir para expresar
una función racional como suma de fracciones parciales:

1. Si el grado de p(x) es mayor que el grado de q(x) primero se divide p(x) entre q(x) hasta
que el residuo r(x) tenga grado menor que q(x).

28
 p(x)
Ası́, si f (x) =
q(x)
r(x)
f (x) = s(x) + con grado r(x) menor que grado q(x)
q(x)

x3 + x
Z
Ejemplo: Hallar dx.
x−1

Como p(x) es de grado 3 y q(x) es de grado 1, se procede a realizar la división de polinomios:

x2 + x + 2


x−1 x3 +x
3 2
−x +x
x2 + x
− x2 + x
2x
− 2x + 2
2

de esta forma

x3 + x 2
= x2 + x + 2 +
x−1 x−1
Integrando tenemos

x3 + x
Z Z
2
dx = (x2 + x + 2 + ) dx
x−1 x−1

Z Z Z Z
2 2
= x dx + x dx + 2 dx + dx
x−1

x3 x2
= + + 2x + 2 ln |x| + C
3 2

Fin del ejemplo.

29
2. El siguiente paso es factorizar el denominador q(x) tanto como se pueda. Para esto, se usará
el hecho de que cualquier polinomio q puede ser factorizado como un producto de factores
lineales (de la forma ax + b) y factores cuadráticos irreducibles (de la forma ax2 + bx + c
con b2 − 4ac < 0.

Por ejemplo:

x4 − 16 = (x2 − 4)(x2 + 4)
= (x2 )(x + 2)(x2 + 4)
= (x − 2)(x + 2) (x2 + 4)
| {z } | {z }
dos factores lineales un factor cuadrático irreducible

r(x)
3. El siguiente paso es expresar la función racional q(x)
como la suma de fracciones parciales
de la forma

A Ax + B
o
(ax + b)i (ax2 + bx + c)i

De los varios casos que se pueden presentar, solo se presentará uno por ser el de mayor
interés en este curso.
Caso 1. El denominador q(x) es un producto de factores lineales distintos

q(x) = (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) . . . (an x + bn )

| {z }
factores todos distintos

r(x)
Entonces, por un resultado de álgebra, la función racional q(x)
se puede expresar de la
siguiente manera:

r(x) A1 A2 An
= + + ··· +
q(x) a1 x + b 1 a2 x + b 2 an x + b n
donde A1 , A2 , . . . An son constantes que se deben determinar, mientras que a1 , b1 , a2 , b2 . . . an , bn
son constantes conocidas obtenidas de la factorización de q(x).

x2 + 2x − 1
Z
Ejemplo: Realizar la integral dx.
2x3 + 3x2 − 2x

Resolución:

Como el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del de-
nominador, no se debe realizar la división entre ellos como en el paso 1, sino comenzar en

30
el paso 2, factorizando el denominador lo más que se pueda:

2x3 + 3x − 2x = x(2x2 + 3x − 2)
= x(2x − 1)(x + 2)

Luego se relizará el paso 2 en el caso 1, ya que todos los factores son lineales y diferentes
entre sı́. Ası́ que se establece construye la igualdad siguiente:

x2 + 2x − 1 A B C
3 2
= + +
2x + 3x − 2x x 2x − 1 x + 2
o

x2 + 2x − 1 A B C
= + +
x(2x − 1)(x + 2) x 2x − 1 x + 2

Para hallar los valores de A, B y C se desarrolla el miembro derecho de la ecuación pasada:

A B C A(2x − 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x − 1)

+ + =
x 2x − 1 x + 2 x(2x − 1)(x + 2)

A(2x2 + 3x − 2) + B(x2 + 2x) + C(2x2 − x)

=
x(2x − 1)(x + 2)

x2 (2A + B + 2C) + x(3A + 2B − C) − 2A

=
x(2x − 1)(x + 2)

Es fácil ver, siguiendo la secuencia de las igualdades, que podemos igualar las expresiones
en color azul.

x2 + 2x − 1 x2 (2A + B + 2C) + x(3A + 2B − C) − 2A

=
x(2x − 1)(x + 2) x(2x − 1)(x + 2)

Se puede observar que en ambos miembros de la igualdad el denominador es exactamente el

mismo, ası́ que esto nos deja la siguiente ecuación reacomodando los factores en el segundo
miembro:

1x2 + 2x − 1 = (2A + B + 2C)x2 + (3A + 2B − C)x − 2A

31
 Para que esta igualdad se cumpla, los coeficientes de los monomios del mismo grado deben
ser iguales, lo que genera un sistema de tres ecuaciones lineales en tres incógnitas2 el cual
escribiremos a continuación:

1 2A + B + 2C = 1

2 3A + 2B + −C = 2

3 −2A = -1

De 3 despejamos A:

1
A=
2

Sumando 1 y 2× 2

1 2A + B + 2C = 1

2× 2 6A + 4B + −2C = 4

4 8A + 5B + 0 = 5

Despejando B de la ecuación 5 y sustituyendo el valor de A = 12 :

8A + 5B = 5
1
8 + 5B = 5
2
4 + 5B = 5
5−4
B=
5
1
B=
5

1
Tomando la ecuación 2 , despejando C y sustituyendo los valores de A = 2
y B = 51 :
2
En este caso particular se tienen 3 incógnitas, pero pueden ser menos o más dependiendo del problema
en particular

32
 −C = 2 − 3A − 2B
C = −2 + 3A + 2B
1 1
= −2 + 3( ) + 2( )
2 5
−20 + 15 + 4
=−
10
1
B=−
10

De esta forma, tenemos que A = 12 , B = 15 y C = − 10

1
. Estos valores se sustituirán en las
fracciones parciales del inicio del problema.

x2 + 2x − 1 A B C
3 2
= + +
2x + 3x − 2x x 2x − 1 x + 2

1/2 1/5 −1/10

= + +
x 2x − 1 x+2

Regresando esta información a la integral

x2 + 2x − 1
Z  
−1/10
Z
1/2 1/5
dx = + + dx
2x3 + 3x2 − 2x x 2x − 1 x+2

Z Z Z
1 1 1 1 1 1
= dx + dx − dx
2 x 5 2x − 1 10 x+2

Z
1 11 2 1
= ln |x| + dx − ln |x + 2|
2 52 2x − 1 10

1 1 1
= ln |x| 2 + ln |2x − 1| 10 − ln |x + 2| 10 + C

1 1
|x| 2 |2x − 1| 10
= ln 1 +C
|x + 2| 10

1
√
2x − 1 10
= ln x +C
x+2

33
Y con esto se concluye la integración de la función racional.

Fin del ejemplo.

34