Numeros Complejos
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INTRODUCCIN ...................................................................................................................2 REPRESENTACIN GRAFICA DE LOS NMEROS COMPLEJOS ..................................................3 CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO ............................................................................4 PROPIEDADES DE LOS CONJUGADOS.....................................................................................5 COMPLEJO OPUESTO...........................................................................................................6 OPERACIONES CON NMEROS COMPLEJOS...........................................................................7 SUMA PROPIEDADES DE LA SUMA DE NMEROS COMPLEJOS PRODUCTO PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE NMEROS COMPLEJOS DIVISIN NMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR O TRIGONOMTRICA...........................................10 NMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINMICA.....................................................................10 OPERACIONES CON NMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR.............................................10 MULTIPLICACIN DIVISIN POTENCIACIN FORMULA DE MOIVRE.......................................................................................................11 RADICACIN......................................................................................................................12 RAZ CUADRADA RAZ CBICA FORMA EXPONENCIAL O DE EULER ...................................................................................14
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INTRODUCCIN
Nmero complejo, expresin de la forma a + bi, en donde a y b son nmeros reales e i es
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Estos nmeros se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemticas. En fsica e ingeniera los nmeros complejos se utilizan para describir circuitos elctricos y ondas electromagnticas. El nmero i aparece explcitamente en la ecuacin de onda de Schrdinger que es fundamental en la teora cuntica del tomo. El anlisis complejo, que combina los nmeros complejos y los conceptos del clculo, se ha aplicado a campos tan diversos como la teora de nmeros o el diseo de alas de avin.
NMEROS COMPLEJOS
Los Nmeros Complejos surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las que hay que calcular races cuadradas de nmeros negativos. Algo parecido les ocurri a los pitagricos al intentar medir la diagonal de un cuadrado de lado 1, se dieron cuenta que no haba ningn nmero (slo conocan los nmeros naturales y fraccionarios) que midiese la diagonal. Esto dio origen a los nmeros reales. REPRESENTACIN GRAFICA DE UN NUMERO COMPLEJO Los nmeros naturales, enteros, fraccionarios y reales se pueden representar como puntos de una recta (la recta de los nmeros reales). Los Nmeros Complejos podemos imaginarlos como puntos de un plano (el plano de los nmeros complejos). En ese plano podemos trazar unos ejes perpendiculares que nos sirvan de referencia para localizar los puntos del plano. Lo habitual es utilizar las coordenadas del punto (x,y). Cuando representamos un nmero complejo de esta forma decimos que est en forma cartesiana. Esta interpretacin de los nmeros complejos (considerarlos puntos en un plano) se debe a Gauss y a Hamilton. Tambin se suele utilizar un vector para localizar el punto.
En un vector con principio en el origen de coordenadas y fin en el punto, identifica el punto de una manera inequvoca. Al extremo del vector se le llama Afijo del complejo. Ese vector lo podemos descomponer en dos vectores: un vector con principio en el origen de coordenadas y fin el valor de la abscisa del punto (x,y), y otro vector con principio el origen de coordenadas y fin la ordenada del punto (x,y). Entonces el punto se representara como una suma de vectores a + b. Si definimos unos vectores unitarios sobre el Eje X o Real, ya que en el representamos la Parte Real del nmero complejo y sobre el eje Y o Eje Imaginario, representamos la parte Imaginaria. Entonces podemos representar el nmero de esta forma xr + yi. Los vectores r e i tienen mdulo 1, adems el vector i se define cumpliendo esta condicin: i2 = -1. Cmo r tiene mdulo 1 y sus potencias tambin son 1, no se escribe, quedando por lo tanto el nmero en la forma x + yi. Esta forma de representar un nmero complejo se llama Forma Binaria. CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO Se llama conjugado de un nmero complejo al nmero complejo que se obtiene por simetra del dado respecto del eje de abscisas. Representando el nmero complejo a + bi y haciendo la correspondiente simetra, se tiene que su conjugado es a - bi . Dado un nmero complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una lnea horizontal. Dado un nmero complejo (x,y) el complejo conjugado sera (x,-y).
Si al nmero complejo lo representamos por n; n = (x ,y) el complejo conjugado se representa por n; n = (x ,-y) con una raya encima del nmero. PROPIEDADES DE LOS CONJUGADOS Primera propiedad El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z. Demostracin: si z = a + bi se tiene que = a - bi , de donde, = a + bi = z Segunda propiedad Dados dos nmeros complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados. Demostracin: Tomando : Se obtiene: a + bi y ' = c - di Con lo que: (a + bi ) + (c - di ) = (a + c) + (-b - d)i Tercera propiedad El conjugado del producto de dos nmeros complejos es igual al producto de los conjugados de dichos nmeros: Demostracin: Si Se tiene que z = a + bi y z = c + di z z = (ac - bd ) + (ad + bc)i z = a + bi y z' = c + di
Cuyo conjugado es
Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que (a - bi )( c - di ) = Cuarta propiedad Los complejos que coinciden con sus conjugados son los nmeros reales. Demostracin: Sea un complejo a + bi que coincida con su conjugado. Esto equivale a que: a + bi = a - bi Pero esto slo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un nmero real. Quinta propiedad La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, nmeros reales. Demostracin: (a + bi ) + (a - bi ) = 2a (a + bi ) (a - bi ) = a2 - (bi )2 = a2 + b2 COMPLEJO OPUESTO Dado un nmero complejo (x,y) el complejo opuesto sera (-x,-y) Si al nmero complejo lo representamos por n, el complejo opuesto se representa por n'. ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i .
Si z = a +bi El opuesto de z seria -z = -a b z = a + bi OPERACIONES CON NMEROS COMPLEJOS SUMA DE NMEROS COMPLEJOS Dados dos nmeros complejos a + bi y c + di se definen su suma como: (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i PROPIEDADES DE LA SUMA DE NMEROS COMPLEJOS La suma de nmeros complejos tiene las siguientes propiedades: Conmutativa Dados dos nmeros complejos a + bi y c + di se tiene la igualdad: (a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi ) Ejemplo: (2 - 3i ) + (-3 + i ) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2i (-3 + i ) + (2 - 3i ) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2i Asociativa Dados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple: [(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )] Ejemplo: [(5 + 2i ) + (3 - 4i )] + (-9 + 8i ) = (8 - 2i ) + (-9 + 8i ) = -1 + 6i (5 + 2i ) + [(3 - 4i ) + (-9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (-6 + 4i ) = -1 + 6i Elemento neutro El elemento neutro es 0 + 0i , puesto que (a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + bi El nmero 0 + 0i se escribe simplificadamente 0 y se le llama cero. El Conjugado de z seria
Elemento simtrico El elemento simtrico de un nmero complejo cualquiera a + bi es (- a - bi ): (a + bi ) + (-a - bi) = 0 + 0i = 0 Ejemplo: El simtrico de 2 - 3i es -2 + 3i pues (2 - 3i ) + (-2 + 3i ) = 0
PRODUCTO DE NMEROS COMPLEJOS La multiplicacin se efecta igual que si fuesen nmeros reales, pero teniendo en cuenta que la multiplicacin de complejos no es equivalente al producto escalar de vectores. Dados dos nmeros complejos a + bi y c + di se definen su producto como: (a + bi ) (c + di ) = (ac - bd) + (ad + bc)i El producto puede hacerse operando con i como si fuese un nmero real y teniendo en cuenta que i 2 = -1. (a + bi )(c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + i(ad + bc) + bd(-1) = ac - bd + i (ad + bc) Pero para comprobar resultados, podemos representar los complejos que se multiplican por sus vectores, y el resultado del producto por el vector correspondiente al complejo producto. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE COMPLEJOS Conmutativa Dados dos complejos a + bi y c + di , se cumple que: (a + bi ) (c + di ) = (c + di ) (a + bi ) Asociativa Dados los complejos a + bi, c + di y e + fi se cumple que:
Elemento neutro El elemento neutro del producto es 1 + 0 i = 1, puesto que para cualquier complejo a + bi , (a + bi ) (1 + 0 i ) = (a + bi ) 1 = a + bi . El elemento neutro es el uno. Distributiva del producto con respecto a la suma Dados tres nmeros complejos a + bi , c + di y e + fi , se cumple: (a + bi ) [(c + di ) + (e + fi )] = (a + bi ) (c + di ) + (a + bi ) (e + fi ) Ejemplo: (1 - 2i ) [3i + (2 - 7i )] = (1 - 2i ) (2 - 4i ) = 2 - 4i - 4i + 8i 2 = -6 - 8i (1 - 2i ) 3i + (1 - 2i ) (2 - 7i ) = (3i - 6i 2) + (2 - 7i - 4i + 14i 2) = (3i + 6) + (-12 - 11i ) = - 6 - 8i El conjunto de los nmeros complejos, por contar con todas las propiedades anteriores para la suma y para el producto, se dice que es un anillo conmutativo. El conjunto de los nmeros complejos se simboliza por C, o tambin (C, +, ). Elemento simtrico respecto del producto Dado un complejo cualquiera a + bi , distinto de 0 + 0i , existe otro complejo que, multiplicado por l, da el elemento neutro del producto, es decir, 1 + 0i . Demostracin: Se intentar calcular el inverso de a + bi , x + yi . Ha de verificarse que Por tanto ha de ser: ax - by = 1, multiplicando por a se tiene: a2x - aby = a (a + bi ) (x + yi ) = 1 + 0i (a + bi ) (x + yi ) = (ax - by) + (ay + bx)I
bx + ay = 0, multiplicando por b se tiene: b2x + aby = 0 El conjunto de los nmeros complejos es un cuerpo conmutativo con la suma y el producto definidos. DIVISIN DE NMEROS COMPLEJOS Para dividir dos complejos, se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado de ste, as el divisor pasar a ser un nmero real. Como en la multiplicacin, podemos representar los complejos por vectores, para poder comprobar los resultados NMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR O TRIGONOMETRICA Se puede representar un nmero complejo cualquiera z = a +bi en forma polar, dando su mdulo y su argumento. Esta forma tambien se llama forma trigonomtrica. MDULO de un nmero complejo z es la longitud del vector que lo representa. |z| = r ARGUMENTO de un complejo es el ngulo que forma el vector con el eje real. arg(z) = a Por lo cual z = r (cos + isen ) NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA FORMA BINMICA Forma binmica z = a + bi OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR MULTIPLICACIN Se multiplican los mdulos
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POTENCIA La potencia es un producto de factores iguales, por tanto la regla es la misma que la de multiplicar.
z n = ( rcis )
n
El mdulo se eleva a n El argumento se multiplica por n FRMULA DE MOIVRE Aplicando la propiedad de la potencia de un nmero complejo, se obtiene la siguiente frmula llamada Frmula de Moivre: (cos a + i sen a)n = cos na + i sen na que es til en trigonometra, pues permite hallar cos na y sen na en funcin de sen a y cos a. Esta igualdad recibe el nombre de frmula de Moivre, en honor del matemtico francs Abraham de Moivre (1667-1754).
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RADICACIN DE NMEROS COMPLEJOS La operacin de radicacin es inversa a la de potenciacin Para un nico nmero complejo zn , existen varios complejos z, que al elevarlos a la potencia n, nos da el mismo complejo zn. Para hallar las races de un nmero complejo se aplica la frmula de Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo mdulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un mltiplo entero de 360. Sea Ra un nmero complejo y considrese otro complejo R'a', tal que: Ra = (R' a' )n = ((R' )n )n a' Aunque esto parece aportar una infinidad de soluciones, ntese que si a k se le suma un mltiplo de n, al dividir el nuevo argumento, ste aparece incrementado en un nmero entero de circunferencias. Por tanto, basta con dar a k los valores 1, 2, 3, ..., n-1, lo que da un total de n - 1 races, que junto a k = 0 da un total de n races. RAZ CUADRADA Vamos a hallar : Primero pasamos z=4+3i a forma polar: z = 4+3i = 536.9 La raz cuadrada de z, tendr de mdulo la raz cuadrada del mdulo de z y de argumento, el de z dividido por 2. Las dos soluciones de esta raz cuadrada son: Si k=0 --> z1=18.4 Si k=1 --> z2=198.4
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Si le seguimos dando valores a k = 2, 3, 4, ... veremos que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, despus de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia. Todas estas operaciones que hemos hecho las puedes ver en la escena, y ver como quedan los vectores, tanto de z como de z1 y z2 RAZ CBICA Primero pasamos z = 2+4i a forma polar: z = 2+4i = 4.563.4 La raz cbica de z, tendr de mdulo la raz cbica del mdulo de z y de argumento, el de z dividido por 3. Las tres soluciones de esta raz cbica son: Si k=0 --> z1=1.621.1 Si k=1 --> z2=1.6141.1 Si k=2 --> z3=1.6261.1 Si le seguimos dando valores a k = 3, 4, 5,... veremos que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, despus de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia.
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FORMA EXPONENCIAL O DE EULER. Hay una ltima forma de expresar un nmero complejo, es la Forma Exponencial. Un nmero complejo en forma polar se expresa como z = r(cosa + i sena). Si sustituimos el contenido del parntesis por la igualdad de Euler: eia = cosa + isena Nos queda z = reia.
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Matemtico suizo, cuyos trabajos ms importantes se centraron en el campo de las matemticas puras, campo de estudio que ayud a fundar. Euler naci en Basilea y estudi en la Universidad de Basilea con el matemtico suizo Johann Bernoulli, licencindose a los 16 aos. En 1727, por invitacin de la emperatriz de Rusia Catalina I, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrtico de fsica en 1730 y de matemticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemticas en la Academia de Ciencias de Berln a peticin del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regres a San Petersburgo en 1766, donde permaneci hasta su muerte. Aunque obstaculizado por una prdida parcial de visin antes de cumplir 30 aos y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obras matemticas importantes, as como reseas matemticas y cientficas. En su Introduccin al anlisis de los infinitos (1748), Euler realiz el primer tratamiento analtico completo del lgebra, la teora de ecuaciones, la trigonometra y la geometra analtica. En esta obra trat el desarrollo de series de funciones y formul la regla por la que slo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente. Tambin abord las superficies tridimensionales y demostr que las secciones cnicas se representan mediante la ecuacin general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban del clculo (incluido el clculo de variaciones), la teora de nmeros, nmeros imaginarios y lgebra determinada e indeterminada. Euler, aunque principalmente era matemtico, realiz tambin aportaciones a la astronoma, la mecnica, la ptica y la acstica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del clculo diferencial (1755), Instituciones del clculo integral (1768-1770) e Introduccin al lgebra (1770).
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primos. Gauss fue el primero en desarrollar una geometra no eucldea, pero no public estos importantes descubrimientos ya que deseaba evitar todo tipo de publicidad. En la teora de la probabilidad, desarroll el importante mtodo de los mnimos cuadrados y las leyes fundamentales de la distribucin de la probabilidad. El diagrama normal de la probabilidad se sigue llamando curva de Gauss. Realiz estudios geodsicos y aplic las matemticas a la geodesia. Junto con el fsico alemn Wilhelm Eduard Weber, Gauss realiz una intensa investigacin sobre el magnetismo. Entre sus ms importantes trabajos estn los de la aplicacin de las matemticas al magnetismo y a la electricidad; una unidad de induccin magntica recibe su nombre. Tambin llev a cabo investigaciones en el campo de la ptica, especialmente en los sistemas de lentes.
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__ cos 1/ 2
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BIBLIOGRAFA
Enciclopedia Encarta 2000
http://www.pntic.mec.es/Descartes/Unidades_Didacticas/Bach_CNST_1/complejos_indi ce.htm
http://lafacu.com/apuntes/matematica/vect_comp/num_comp.htm
http://teleline.terra.es/personal/jftjft/Biografias/Hamilton.htm
http://teleline.terra.es/personal/jftjft/Aritmetica/Numeros/Numcomp.htm
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