Repaso 1º Parcial-2023-Gm

Mg. Ing.
Gustavo MENOCAL
REPASO de PRIMER PARCIAL
PROBLEMA: Determinar el valor que debe tomar q para que la siguiente función corte dos
veces al eje OX en el intervalo [-1, 1] 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 𝑞 + 2𝑥 − 3
Solución:
Debemos valuar la función en los 𝑓 1 =1 𝑞+2 −3=0 𝑞 = 1 (1)
extremos del intervalo de estudio. 𝑓 −1 = 1 𝑞 − 2 − 3 = 0 𝑞 = 5 (2)
Hay dos valores posibles de q, habrá que probar cual es el verdadero; o si son ambos.
1) 𝑞 = 1; 𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 + 𝑥 2 − 3 Se debe verificar que tenga dos raíces en el intervalo [-1, 1].
2 1 0 −3
1 2 3 3 La función tiene una raíz en x=1, que
2 3 3 0 pertenece al intervalo [-1, 1].
2𝑥 2 + 3𝑥 + 3 = 0 Busquemos si tiene otra raíz en [-1, 1].
−3 ± 9 − 24
𝑥1,2 = ∋ 𝑅 Si q=1, f NO tiene dos raíces en [-1, 1].
4
2) 𝑞 = 5; 𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 + 5𝑥 2 − 3 Se debe verificar que tenga dos
2 5 0 −3 raíces en el intervalo [-1, 1].
−1 −2 −3 3 La función tiene una raíz en x=-1, que
2 3 −3 0 pertenece al intervalo [-1, 1].
2𝑥 2 + 3𝑥 − 3 = 0 Busquemos si tiene otra raíz en [-1, 1].
−3 ± 9 + 24 𝑥1 = 0,69 Pertenece a [-1, 1].
𝑥1,2 = ቊ
4 𝑥2 = −2,2
La función es: 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 − 𝟑
Mg. Ing. Gustavo MENOCAL
PROBLEMA: Determinar el valor que debe tomar a para que la siguiente función corte al menos
dos veces al eje OX en el intervalo [-1, 3] 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 𝑎𝑥 2 − 𝑥 + 3
Solución:
Debemos valuar la función en los extremos del intervalo de estudio.
𝑓 −1 = −1 − 𝑎 + 1 + 3 = 0 𝑎=3
𝑓 3 = 27 − 9𝑎 − 3 + 3 = 0 𝑎=3
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑
Se debe verificar que la función tenga dos raíces
en el intervalo de estudio.
1 −3 −1 3
−1 −1 4 − 3 La función tiene una raíz en x=-1, que
1 −4 3 0 pertenece al intervalo de estudio.
Tenemos que determinar si tiene al menos otra raíz en
el intervalo [-1, 3].
𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = 0
4 ± 16 − 12 4 ± 2 𝑥1 = 3 Las dos raíces pertenecen

𝑥1,2 = = ቊ
2 2 𝑥2 = 1 al intervalo [-1, 3].
Si a=3; f tiene tres raíces en el intervalo [-1, 3].
En x=-1, en x=1, y en x=3.
Ejercicio Nº 3: Resuelva los siguientes límites:
2 x−1 + x ∞
𝑎) lim =
x→∞ 3x+ 2 x+1 ∞
1 1
x 2 𝑥− 2 + 1
2 x−1 + x 𝑥
lim = lim =
x→∞ 3x+ 2 x+1 x→∞ 1 1
x 3+ 2 𝑥+ 2
𝑥
1 1 1 1
2 𝑥− 2 + 1 2 ∞− 2 + 1 1
𝑥 ∞
= lim = =
x→∞ 1 1 1 1 3
3+ 2 𝑥+ 2 3+ 2 ∞+ 2
𝑥 ∞
2 x−1 + x 1
lim =
x→∞ 3x+ 2 x+1 3
x
1+4
2
𝑏) lim 1+ = 1∞ El límite exponencial fundamental que aplica acá es:
x→∞ 5x 𝑥
1
lim 1 + =𝑒
𝑥→∞ 𝑥
x x
1+4
2 2 2 4
lim 1+ = lim 1+ ⋅ lim 1+ =
𝑥→∞ 5x x→∞ 5x x→∞ 5x
=1
x x 5 2
2 4 2 4 ∙5∙2
= 1 ⋅ lim 1+ = lim 1+ =
x→∞ 5x x→∞ 5x
2
5x 20
2 2
= lim 1+ =
x→∞ 5x
=𝑒
x
1+
2 4
lim 1+ = 𝑒 1/10
𝑥→∞ 5x
Dada la siguiente función se pide: a)dominio de f, b) diga si es biunívoca,

c)si no lo es restrinja el dominio, d) defina f-1(x) , e) grafique f y f-1 en un
mismo sistema de ejes coordenados.
x 2 −1 f no es Biunívoca
f : f(x) = 2 dom* f = 1;  )
dom f =   


x 2 −1 dom f = 1;  )
x 2 −1 f(x) = 2 

 c/OX : 2 = 0 rgo f = 1;  )
−1
 c/OY : x = 0  f(0) = 2 = 2  P(0, 2 )
 
 x 2 −1
 x 2 − 1 = log 2 y  x = log 2 ( y ) + 1

y=2  
𝑓
x  1  x = log 2 ( y ) + 1
domf = 1;∞
f −1 (x) = log 2 𝑥 + 1 ቊ
r𝑔𝑜f = 1;∞ 𝑓 −1
El producto de un número entero por su anterior es menor a 110 y su producto por el siguiente
es inferior a 182. Calcular todos los números enteros que cumplen las condiciones dadas.
Solución:
1  1 + 440 1  21  x1 = −10
1) x  ( x − 1)  110  x − x − 110  0
2 x1, 2 = = =

2 2  x2 = 11

2) x  ( x + 1)  182  x 2 + x − 182  0 −1 ± 1 + 736 −1 ± 27,14 𝑥 = −14,1
=ቊ 1
 𝑥1,2 =
2
=
2 𝑥2 = 13,1
 x + 10  0
 S1= (-10, 11)
 x − 11  0

1) ( x + 10 )  ( x − 11)  0  Cs1= {-9, 10} Recordemos que los números son Enteros:
 x + 10  0
 S1= Vacío
 x − 11  0
𝐶𝑠 = −9, 10 ∩ {−14, 13}
𝑥 < −14,1
ቊ
𝑥 > 13,1 S1= Vacío Cs={-9, -8,…, 9, 10}
2) 𝑥 + 14,1 ⋅ 𝑥 − 13,1 < 0 ∨ Cs2= {-14, 13}
𝑥 > −14,1
ቊ
𝑥 < 13,1 S2=(-14,1, 13,1)
Dada la siguiente función f , determinar: a) dominio, b) intersección con ejes, c) simetría, d) asíntotas
Verticales y Horizontal, rango y e) graficar en el sistema cartesiano.
3𝑥
𝑦 = 𝑓 𝑥 = log
𝑥+5
Solución:
a) dominio: d) asíntotas Verticales y Horizontal:
𝑥>0
3𝑥 ൜ ∩ (0, ∞) 3𝑥
𝑥 > −5 lim log = ∞ 𝑥 = −5 𝑒𝑠 𝐴. 𝑉. 𝑑𝑒 𝑓
>0 𝐴. 𝑉. : 𝑥→−5− 𝑥+5
𝑥+5 𝑥<0
൜ ∩ (−∞, −5) 3𝑥
𝑥 < −5 lim+ log = −∞ 𝑥 = 0 𝑒𝑠 𝐴. 𝑉. 𝑑𝑒 𝑓
𝑑𝑜𝑚 𝑓 = (−∞, −5) ∪ (0, ∞) 𝑥→0 𝑥+5
b) intersección con ejes: 3𝑥 3
lim log
𝐴. 𝐻. : 𝑥→±∞ = lim log = log 3
𝑥+5 𝑥→±∞ 5
3𝑥 1+𝑥
∩ 𝑐𝑜𝑛 𝑂𝑋: log =0
𝑥+5 𝑦 = log 3 𝑒𝑠 𝐴. 𝐻. 𝑑𝑒 𝑓
3𝑥 y
=1 3𝑥 = 𝑥 + 5
𝑥+5
5 5
𝑥= 𝑃 ,0
2 2
∩ 𝑐𝑜𝑛 𝑂𝑌: ∄; 0 ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑓
c) simetría: log 3 ≅ 0,477
f No tiene Simetría
−3𝑥 x
f −x = log
−𝑥 + 5
f −x ≠ f(x) f No es par
𝑟𝑔𝑜 𝑓 = ℛ − {log 3}
−3𝑥
−f −x = −log
−𝑥 + 5
−f −x ≠ f(x) f No es impar
Dadas las funciones g y f, determine si existen las funciones que se indican en cada caso;
determine sus dominios y calcule, si es posible: (f+g)(0); (f - g)(3)]; (f . g)(-1)]; (f/g)(0)] y (g/f)(1)]
𝑓= −1,2 ; 0,0 ; 1,3 ; 2, −1 𝑔= −1,0 ; 0, −2 ; 2,2 ; 3, −1 ; −2,5
Solución:
𝑑𝑜𝑚 𝑓 = −1, 0, 1, 2 𝑑𝑜𝑚 𝑔 = −2, −1, 0, 2, 3 𝑑𝑜𝑚 (𝑓 ∕ 𝑔) = −1, 0, 2 ∕𝑔 ≠ 0
𝑑𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚 𝑔 = −1, 0, 2 ∃ 𝑓 + 𝑔; 𝑓 − 𝑔 𝑦 𝑓 ∙ 𝑔 𝑑𝑜𝑚 (𝑓 ∕ 𝑔) = 0, 2
𝑑𝑜𝑚 (𝑓 + 𝑔) = −1, 0, 2 0
𝑓∕𝑔 0 = 𝑓∕𝑔 0 =0
−2
𝑓+ 𝑔 0 =𝑓 0 +𝑔 0 =
=0−2 𝑓 + 𝑔 0 = −2
𝑑𝑜𝑚 (𝑔 ∕ 𝑓) = −1, 0, 2 ∕𝑓 ≠ 0
𝑑𝑜𝑚 (𝑓 − 𝑔) = −1, 0, 2
𝑓 − 𝑔 3 ∄; 3 ∋ 𝑑𝑜𝑚 (𝑓 − 𝑔) 𝑑𝑜𝑚 (𝑔 ∕ 𝑓) = −1, 2
𝑓∕𝑔 1 =∄
𝑑𝑜𝑚 (𝑓 ∙ 𝑔) = −1, 0, 2
𝑓 ∙ 𝑔 −1 = 𝑓 −1 ∙ 𝑔 −1 =
= 2∙0 𝑓 ∙ 𝑔 −1 = 0
Ejercicio Nº 2: Sean las funciones f y g dadas gráficamente, fundamente y determine:
𝑎) 𝑓 + 𝑔 2 , b) (𝑓 ∙ 𝑔)(−1)
c) 𝑓/𝑔 0 , 𝑑) (𝑔/𝑓)(1)
𝑒) 𝑔 − 𝑓 3 , 𝑓) (𝑔 ∘ 𝑓)(1)
𝑔) 𝑓 ∘ 𝑔 3 , ℎ) 𝑔 ∘ 𝑔 −1
𝑖) (𝑓 ∘ 𝑓)(2)
Solución:
𝑑𝑜𝑚 𝑓 = −1, 3 𝑑𝑜𝑚 𝑔 = −2, 2
rgo f= [0, 4] 𝑟𝑔𝑜 𝑔 = −2, 6
𝑎) 𝑓 + 𝑔 2 = 𝑓 2 + 𝑔 2 =
=1+6 𝑓+𝑔 2 =7
𝑏) 𝑓 ∙ 𝑔 −1 = 𝑓 −1 ∙ 𝑔 −1 =
=4∙3 𝑓 ∙ 𝑔 −1 = 12
𝑓(0) 1
𝑐) 𝑓/𝑔 0 = 𝑓/𝑔 0 = 𝑓) 𝑔 ∘ 𝑓 1 = 𝑔[𝑓 1
𝑔(0) 2
𝑔 ∘𝑓 1 =𝑔 0 = 2
𝑔(1)
𝑑) 𝑔/𝑓 1 = = 𝑔) 𝑓 ∘ 𝑔 3 = 𝑓 𝑔 3
𝑓(1)
∄, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 3 ∋ 𝑑𝑜𝑚 𝑔
1
= = ∞; 𝑔/𝑓 1 ∄ ℎ) 𝑔 ∘ 𝑔 −1 = 𝑔 𝑔 −1 =
0 𝑔 ∘ 𝑔 −1 ∄
=𝑔 3
𝑒) 𝑓 − 𝑔 3 ∄, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 3 ∋ 𝑑𝑜𝑚 𝑔
𝑖) 𝑓 ∘ 𝑓 2 = 𝑓 𝑓 2 =
=𝑓 1 𝑓 ∘𝑓 2 =0
Sean las funciones f y g dadas gráficamente, fundamente y determine:

𝑎) 𝑓 + 𝑔 2 , 𝑓) (𝑔 ∘ 𝑓)(1) 𝑦
b) (𝑓 ∙ 𝑔)(0) 𝑔) 𝑓 ∘ 𝑔 3
c) 𝑓/𝑔 1 , ℎ) 𝑔 ∘ 𝑔 1
𝑔
d) 𝑑) 𝑓
3 𝑖) (𝑓 ∘ 𝑓)(2)
𝑒) 𝑔 − 𝑓 2 ,
Solución: 𝒇
𝑎) 𝑓 + 𝑔 2 = 𝑓 2 + 𝑔 2 = 1 + 1 = 2
𝑓+𝑔 2 =2
𝑏) 𝑓 ∙ 𝑔 0 = 𝑓 0 ∙ 𝑔 0 = 1 ∙ 1 = 1 𝒈
𝑓∙𝑔 0 =1 𝑥
𝑓(1) 2
𝑐) 𝑓/𝑔 1 = = ∄;
𝑔(1) 0
𝑓/𝑔 1 ∄ 𝑓) 𝑔 ∘ 𝑓 1 = 𝑔 𝑓 1 =𝑔 2
𝑔 ∘𝑓 1 =1
𝑔(3) 4
𝑑) 𝑔/𝑓 3 = = = 1; 𝑔) 𝑓 ∘ 𝑔 3 = 𝑓 𝑔 3 = 𝑓(4)
𝑓(3) 4 𝑓 ∘ 𝑔 3 ∄, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 4 ∋ 𝑑𝑜𝑚 𝑓
𝑔/𝑓 1 = 1
ℎ) 𝑔 ∘ 𝑔 1 = 𝑔 𝑔 1 = 𝑔 0
𝑒) 𝑓 − 𝑔 2 = 𝑓 2 − 𝑔 2 = 1 − 1 = 0,
𝑔 ∘𝑔 1 =1
𝑓 − 𝑔 2 =0
𝑖) 𝑓 ∘ 𝑓 2 = 𝑓 𝑓 2 = 𝑓 1
𝑓 ∘𝑓 2 =2
Dadas las funciones g y f, calcule, si es posible, las funciones compuestas: f[g(1)]; f[g(2)];
g[f(1)]; g[f(-1)]; f[f(0)]; y g[g(2)]
𝑓 𝑥 = −1, 3 , 0, 4 , 1, 3 , 2, 0 , 3 − 5 𝑔 𝑥 = −1, 3 , 0, 0 , 2, 0 , 3, 3
Solución:
𝑓 𝑔 1 =𝑓 𝑔 1 𝑔 𝑓 −1 = 𝑔 𝑓 −1
f 𝑔 1 ∄ 𝑔 𝑓 −1 = 3
𝑓 𝑔 2 =𝑓 𝑔 2 𝑓 𝑓 0 =𝑓 𝑓 0
𝑓 0 =4
= 𝑓(4)
f 𝑔 2 =4 𝑓 𝑓 0 ∄
𝑔 𝑓 1 =𝑔 𝑓 1
𝑔 𝑔 2 =𝑔 𝑔 2 = 𝑔(0)
𝑔 𝑓 1 =3
𝑓 𝑔 0 =0
Solución:
𝑎) 𝑟 2 = 20 + 4 ∙ 22 𝑏) 𝐴 𝑟 = 𝜋 ∙ 𝑟 2
𝑟 2 = 36 𝜋 ∙ 20 + 4 ∙ 𝑡 2 2 ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2
𝐴 𝑡 =൝
lim−20 + 4 ∙ 𝑡 2 = 36 𝜋 ∙ (16𝑡 + 4)2 ; 𝑡 > 2
lim 𝑟(𝑡) ቐ𝑥→2
𝑥→2 lim 16𝑡 + 4 = 36 𝐴 2 = 𝜋 ∙ 362
𝑥→2+
𝑟 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑡 = 2 lim−𝜋∙(20+4∙𝑡 2 )2 = 𝜋∙362

lim 𝐴(𝑡) ቐ𝑥→2
𝑥→2 lim+𝜋 ∙ (16𝑡 + 4)2 = 𝜋∙362
𝑥→2
𝐴 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑡 = 2
Solución: 4
El volumen de la esfera es: Ve =   r 3
3
La velocidad con que se bombea el aire es constante: 4,5cm3/min.
La velocidad con la que aumenta el volumen 𝑑𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑟 𝑐𝑚3
responde a una función compuesta: = ∙ = 4,5
𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝑑𝑡 min
𝑑𝑉
Despejando la velocidad con que crece el radio; o sea, 𝑑𝑟 𝑑𝑡
=
la razón de cambio del radio: 𝑑𝑡 𝑑𝑉
𝑑𝑟
𝑑𝑉 4
Derivando V respecto de r: = 𝜋 ∙ 3 ∙ 𝑟2
𝑑𝑟 3
𝑐𝑚3
Entonces la razón de cambio del radio 𝑑𝑟 4,5 min
cuando este es de 2 cm será: =
𝑑𝑡 4𝜋 ⋅ 22 𝑐𝑚2
𝑑𝑟 𝑐𝑚
= 0,089
𝑑𝑡 min
Determinar los valores de las constantes a y b para 4𝑥 𝑠𝑖𝑥 ≤ −1

que f sea continua. 𝑓 𝑥 = ቐ𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 2
−5𝑥 𝑠𝑖𝑥 ≥ 2
Solución:
Para que f sea Continua en x=-1 debe Para que f sea Continua en x=2
cumplirse: debe cumplirse:
f (− 1) = 4  (− 1) = −4 f (2 ) = −5  2 = −10
lim f ( x ) = lim+ f ( x ) lim f ( x ) = lim+ f ( x )
x → −1− x → −1 x→2− x→2
lim 4 x = −4 lim ax + b 

 
  −a + b = −4 (1)   2a + b = −10 (2 )
x → −1− x→2−
lim+ ax + b  lim+ − 5 x = −10

x → −1  x→2 
Entre (1) y (2) se forma un sistema de ecuaciones, cuya solución será:
(1) − a + b = −4  b = a − 4
(2) 2a + b = −10  2a + a − 4 = −10
3a = −6  a = −3
b = −7
Para que f sea Continua en todos los a = −3
números reales debe cumplirse: 
b = −7
Aplicando conocimientos de derivada determina si la siguiente función es

derivable en el punto indicado. Graficar.
Solución:
 x 3 − 2 x; x  0
a) f (x ) =  ; en x = 0
 − sen ( 2 x ); x  0
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑥 = 0:
𝑓 0 =0
lim 𝑥 3 − 2𝑥 = 0 ⇒ 𝑓 𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 0
𝑥→0−
lim 𝑓 𝑥 = ቐ
𝑥→0 lim −𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 0
𝑥→0+
𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑥 = 0
∀𝑥 ≤ 0; 𝑓´ 𝑥 = 3𝑥 2 − 2 ∴ 𝑓− ´ 0 = −2
y = x3 − 2 x y = − sen(2 x )
∀𝑥 > 0; 𝑓´ 𝑥 = −2 cos 2𝑥 ∴ 𝑓+ ´ 0 = −2
∴ 𝑓 𝑒𝑠𝐷𝐸𝑅𝐼𝑉𝐴𝐵𝐿𝐸 𝑒𝑛 𝑥 = 0
−𝑥 2 + 2; 𝑥≤0
Aplicando conocimientos de derivada determina si la 𝑓 𝑥 =ቐ 𝜋 ; 𝑒𝑛𝑥 = 0
siguiente función es derivable en el punto indicado. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + + 1; 𝑥 > 0
2
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑:
𝑓 0 = −02 + 2 = 2
lim −𝑥 2 + 2 = 2 ⇒ 𝑓 𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 0
𝑥→0−
lim 𝑓 𝑥 = ൞ 𝜋
𝑥→0 lim+ 𝑠 𝑒𝑛 𝑥 + +1=2
𝑥→0 2
𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑓− ´ 0 = −2𝑥 = 0  
𝑓´ 0 = ቐ 𝜋 ቑ ∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝐷𝐸𝑅𝐼𝑉𝐴𝐵𝐿𝐸 𝑒𝑛 𝑥 = 0 y = sen x +  + 1
𝑓+ ´ 0 = cos 𝑥 + =0  2
2
y = −x2 + 2
( )
Halla la derivada de la siguiente función: c) y = x
x x
Solución:
y = ux
ln y = x  ln (u )
= 1  ln (u ) + x 
y´ u´
y u
u = x x  ln u = x  ln x
u´ 1
= 1  ln x + x 
u x
= ln (x x ) + x  (1 + ln x )
y´
y
y´= x( )  x + x  ln x + ln(x )
x x x
Halla la derivada de la siguiente función: a) 2 x 2 y + 2 x y 2 = 3x − 2 y
Solución:
Método 1: 4 x y + 2 x 2 y´+2 y 2 + 4 x y y´= 3 − 2 y´
2 x 2 y´+4 x y y´+2 y´= 3 − 4 x y − 2 y 2
3 − 4x y − 2 y2
y´= 2
2x + 4x y + 2
Método 2: F ( x, y ) = 2 x 2 y + 2 x y 2 − 3 x + 2 y = 0
𝜗𝐹
= 4𝑥𝑦 + 2𝑦 2 − 3 + 0
𝜗𝑥
𝜗𝐹
= 2𝑥 2 + 4𝑥𝑦 − 0 + 2
𝜗𝑦
4 xy + 2 y 2 − 3
y´= − 2
2 x + 4 xy + 2
Solución:
𝑥≠0 𝑑𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅 − {0}
𝑑𝑜𝑚 𝑓 ቊ 2
𝑥 + 5 ≥ 0; 𝑥 ∈ 𝑅
2𝑥 + 𝑥 𝑥 2 + 5 0
Veamos si tiene una A.V. en x=0: lim =
𝑥→0 3𝑥 0
2𝑥 + 𝑥 𝑥 2 + 5 𝑥 2 + 𝑥2 + 5
lim = lim
𝑥→0 3𝑥 𝑥→0 3𝑥
2𝑥 + 𝑥 𝑥 2 + 5 2 + 5 f No tiene A.V. en x=0:

lim =
𝑥→0 3𝑥 3
2𝑥 + 𝑥 𝑥 2 + 5 ∞
Ahora estudiemos si tiene A.H. : lim =
𝑥→±∞ 3𝑥 ∞
2𝑥 + 𝑥 𝑥 2 + 5 𝑥 2 + 𝑥2 + 5
lim = lim
𝑥→±∞ 3𝑥 𝑥→±∞ 3𝑥
2𝑥 + 𝑥 𝑥 2 + 5
lim =∞ f No tiene A.H.
𝑥→±∞ 3𝑥
Dadas las funciones 𝑓: 𝑓 𝑥 = 𝑥 y 𝑔: 𝑔 𝑥 = 1 − 𝑥 2

Determine analíticamente el dominio de g(f); defina, si existe, g(f) y calcule, si existe:
[𝑔 𝑓 ](1) y [𝑔 𝑓 ](−1)
Solución:
𝑑𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅 𝑑𝑜𝑚 𝑔: 1 − 𝑥 2 ≥ 0
𝑓: 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑔: 𝑔 𝑥 = 1 − 𝑥2
𝑟𝑔𝑜 𝑓 = [0, ∞) 𝑥2 ≤ 1
𝑑𝑜𝑚 𝑔 = [−1, 1]
𝑔 𝑓 ∃ 𝑠𝑖 𝑑𝑜𝑚 𝑔 ∩ 𝑟𝑔𝑜 𝑓 ≠ ∅
[−1, 1] ∩ [0, ∞) ≠ ∅
𝑔 𝑓 ∃
𝑑𝑜𝑚 𝑔 𝑓 = 𝑅 / 𝑥 ∈ [−1, 1]
𝑥 ∈ [0, 1]
𝑑𝑜𝑚 𝑔 𝑓 = [0, 1]
[𝑔 𝑓 ](𝑥) = 1− 𝑥 2
[𝑔 𝑓 ](𝑥) = 1 − 𝑥2
[𝑔 𝑓 ](1) = 1 − 12 = 0
[𝑔 𝑓 ](−1) ∄; −1 ∋ 𝑑𝑜𝑚 𝑔(𝑓)
Ejercicio N° 3:.- Determine, si existen los siguientes límites

2 x −1+ x 2 x −1 + x 
a) lim lim =
x → 3 x + 2 x + 7 
x →  3x + 2 x + 7
 1 1  
1 1  1 1  1 1 
2 x 2  − +x 2 x2  +  +x 2 x  + +x x  2  +  +1 

 x    
 x x2   x2   x x2    x x2   = 1 existe
lim = lim = lim = lim
x → x → x → x → 
1 7  1 7  1 7   1 7   3
3x + 2 x 2  + 
 3 x + 2 x 2  + 
 3x + 2 x  + 
 x  3 + 2  + 

 x x2   x x2   x x2   2
  x x 
1− senx 1 − sen x  π
b) lim =
0   x →
lim x− ; x=z+ 
π 2
π 2 2
x→  π  π 0 2 2
2  x -  x→ x −  z → 0
 2 2  2
 π
1 − sen  z + 
 2 1 − cos z 0
lim = lim =
z→0 z2 z→0 z2 0
(1 − cos z) (1 + cos z) (1 − cos 2 z) 1 sen 2 z 1
lim . = lim . = lim . =
z→0 z 2
(1 + cos z) z→0 z 2
(1 + cos z) z→0 z 2
(1 + cos z)
2
 sen z  1 1
 lim  . lim = existe
z → 0 z  z → 0 (1 + cos z) 2
Aplicando conocimientos de derivada de una función −𝑥 3 + 𝑎; 𝑠𝑖𝑥 < 0

en un punto, determina los valores que deben tomar 𝜋
las constantes a y b, para que las siguientes 𝑓 𝑥 = −2 ⋅ cos 𝑥 ; 𝑠𝑖0 ≤ 𝑥 <
2 ; ∀𝑥
𝜋
funciones sean derivables en los puntos indicados. −𝑎 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑏 ; 𝑠𝑖𝑥 ≥
2
Solución:
 lim− − x 3 + a = a 
 
Continuidad : f (0 ) = −2  cos 0 = −2; lim f ( x ) x → 0  a = −2
x →0
 x → 0 +
lim − 2  cos x = −2 
( )
 f ´ 0− = −3 x 2 = 0 
Derivabilidad : f ´(0 )  f ´(0 ) = 0
( )
 f ´ 0+ = 2  sen x = 0
 lim− − 2  cos x = 0 
 x → 2 
     
Continuidad : f   = −2  sen − b ; lim f ( x )
 
2 2  x →1  lim+ − a  sen( x − b ) = 2  sen − b 
x→  2 
 2 
     
 2  sen − b  = 0  sen − b  = 0  − b = 0  b =
2  2  2 2
  −    

  
f ´  = 2  sen   = 2 
     2  2   
Derivabilidad : f ´    a = −2; b =
 2    +    2
f ´  = 2  cos −  = 2
 2  2 2 
   
Ejercicio Nº 5: Analice la continuidad de g en x0= 0. Si presenta discontinuidades,

clasifíquelas y redefina si es necesario:
 x3 + x2 g(0); f es Discontinua
 2 ; x0
x − x.  x3 + x2 0

g(x) =   lim
x →0 x 2 − x
= (1)
 0
1 − cos x lim g(x) = 
 ; x0 x →0
 1 − cos x 0
 x
= (2)
lim
 x →0 x 0
x3 + x2 x2 x + 1 0
1 lim 2 = lim = =0
x→0 x − x x→0 𝑥 ⋅ 𝑥 − 1 −1
1 − cos x 1 − cos x 1 + cos x 1 − cos 2 x

(2) lim = lim  = lim =
x →0 x x →0 x (
1 + cos x x →0 x  1 + cos x )
sen 2 x sen x sen x 0
= lim = lim  lim = 1 = 0
x →0 (
x  1 + cos x) x →0 (
x x →0 1 + cos x )2
l1 = l2 = 0  Discontinuidad Evitable  x3 + x2
 2 ; x0
 x − x.
𝑅𝑒𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛: g(x) =  0; x=0
1 − cos x
 ; x0
 x
DERIVADA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
Existen dos métodos para obtener la derivada de una función implícita
Método 1
1) Se deriva la función dada con respecto a x, teniendo en cuenta que y es
dx dy
función de x, y que = x = 1; = y
dx dx
2) Se despeja y´
Método 2:
Se utiliza derivadas parciales, que se verá con más detenimiento en Análisis
Matemático II. Hay que llevar la función a ser homogénea:
F 
 Derivada parcial de F respecto a x ( y = ctte )
F(x, y)=0
dy x 
=−
dx F 
 Derivada parcial de F respecto a y ( x = ctte )
y 
Halla la derivada de la siguiente función:

e) x y − y x = e xy  f1 − f 2 = f 3
Solución:
f ´1 1  1
f1 = x y  ln f1 = y ln x  = y´ ln x + y  f ´1 = x y   y´ ln x + y 
f1 x  x
f´ y´  y´ 
f 2 = y x  ln f 2 = x ln y  2 = ln y + x  f ´´2 = y x   ln y + x 
f2 x  x
= y + x y´ f ´´3 = e xy  ( y + x y´)

f ´3
f 3 = e xy  ln f 3 = x y  1 
f3
 1  y´ 
x y   y´ ln x + y  − y x   ln y + x  = e xy  ( y + x y´)
 x  x
y´ xy 1
x y  y´ ln x − y x  x − e  x y´= − x y  y + y x  ln y + e xy  y
x x
1
− xy  y + y x  ln y + e xy  y
y´= x
x x
x  ln x − y  − e xy  x
y
x
 c / OX :
 c / OY
Asíntotas :
AV :
AH :
Ejercicio Nº 3: Sean las funciones, determine si existe f (g )( x ) ; en tal caso

determine el dominio de f (g )( x ) y calcule, si existe, f (g )(3 )
x
f : f(x) = ; g : g(x) = 2x - 4
x +1
dom f =  - - 1 dom g = 2;  )
rgo g = 0;  )
ℜ − −1 ∩ 0; ∞ ≠ ∅ ⇒ f g x ∃
 − − 1 2;  )    (x ) 
dom f (g ) = 2;  ) / 2 x − 4  −1= 2;  )
dom f (g ) = 2;  )
2𝑥 − 4
𝑓𝑔 𝑥 =
2𝑥 − 4 + 1
23 − 4
f (g )(3 ) =
2
=
2 3 − 4 +1 2 +1
Si x es entero y múltiplo de 4, conviene escribirlo como:

x = 4n
Componiendo la inecuación: 4n + 2  3  4n + 1
Resolvamos la inecuación. Para ello, “pasamos” al primer miembro el término
con n y al segundo, el término 2.
4n − 12n  1 − 2
Ordenando: − 8n  −1
Si a ambos miembros de esta desigualdad los dividimos en -8 (que es negativo)…
−8 −1
n
−8 −8
1
Queda: n
8
1 1 1
Recordemos que: x = 4n n  x  4 x 
8 8 2
Pero x debe ser entero y múltiplo de 4
El menor número entero y múltiplo de 4, es el 4
La solución es: x=4
 c / OX
 c / OY
Asíntotas :
AV
Llamemos x a la edad de Lorena, entonces Andrea tendrá A=x+20; expresado

de esta manera, el planteo del problema será:
x + ( x + 20 )  86
Lo destacado entre paréntesis, es sólo a modo ilustrativo.
Ordenando: 2 x  86 − 20
66
x
2
Queda: x  33
La máxima edad que podría tener Lorena es:
x = 32 años
La utilidad en economía se le suele llamar Beneficio (B), que tiene la siguiente

fórmula:
B = I −C
Expresando el beneficio en función del Ingreso y del Costo:
B( x ) = 450 x − (380 x + 3.500 )

Para tener utilidad, el Beneficio debe ser positivo
450 x − 380 x − 3.500  0
Resolviendo esta inecuación: 70 x − 3.500  0
70 x  3.500
3.500
x
70
Como mínimo se necesitan 51 niños para obtener alguna utilidad.
Ejercicio Nº 2: Dada la siguiente función; determine: a) dominio, b) grafique la

función dada y diga si es biunívoca, c) en caso negativo, restrinja el dominio
para que admita inversa, d) defina , e) grafique en el mismo sistema de ejes
coordenados que graficó f restringida, dé dominio y rango de f y .
f(x) = x 2 − 4 + 1 f no es biunívoca
domf = R Domf* = (2,∞)

𝑥2 − 3 si x2 − 4 ≥ 0 ; −2 ≥ x ≥ 2
𝑓(𝑥) = ቐ
5 − 𝑥2 si x2 − 4 < 0 ; −2 < x < 2
y = x2 − 3  x2 = y + 3
f −1 ( y ) = y+3

 dom f −1
= 1;  )
f −1 ( x) = x − 3 
rgo f −1 = 2;  )
𝑥 ∞
lim =
𝑥∞ 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑥2 + 1 ∞
𝑥 𝑥 𝑥
lim = lim = lim =
𝑥∞ 𝑥+𝑥∙ 𝑥2 +1 𝑥∞ 1 𝑥∞ 1
𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑥2 ∙ 1 + 2 𝑥 + 𝑥2 ∙ 1 + 2
𝑥 𝑥
𝑥 1
= lim = lim =
𝑥∞ 2 1 1 𝑥∞ 1 1
𝑥 ∙ 𝑥+ 1+ 2 𝑥∙ 𝑥+ 1+ 2
𝑥 𝑥
1
= =0
∞
EJERCICIO 5: Dada la siguiente función, analice la  8
continuidad en x=2. Si presenta discontinuidades, 2 x − 3 ; x2
clasifíquelas y redefina si es necesario. f (x ) = 
 2x +1 − 3 ; x  2
2
 x−2
1) f (2 )  f es Discontinua en x = 2
 8 4
lim
 x→2− 2 x − =
3 3

 2x2 +1 − 3 0
 xlim = F .I .
 →2+ x − 2 0
2) lim f ( x ) = 
 lim 2 x + 1 − 3 = lim 2 x + 1 − 3  2 x + 1 + 3 = lim 2 x − 8 
x→2 2 2 2 2
1
=
 x→2+ x−2 x→2+ x−2 2 x 2 + 1 + 3 x→2 x − 2
+
2x2 +1 + 3

 lim 2( x − 2 )  ( x + 2 )  1
= lim+
2  (x + 2) 8 4
= =
 x→2 +
x−2 2 x 2 + 1 + 3 x→2 2 x 2 + 1 + 3 6 3

lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) =  f tiene Discontinuidad Evitable en x = 2
4
x→2 x→2 3
Re definimos :
 8
2 x − ; x2
 3

f (x ) = 
4
; x=2
 3
 2x2 +1 − 3
 ; x2
 x−2
EJERCICIO 5: Dada la siguiente función, analice la continuidad en x=0  2. x + 4 − 4

 ; −4 x 0
Si presenta discontinuidades, clasifíquelas y redefina si es g(x) =  x
2
necesario.  x ; 0xπ
 1 − cos2x
a) f(0) = no existe → f es discontinua en x = 0

x2 0
b) lim =
x → 0 + 1 - cos 2x 0
x2 (1+ cos 2x) x 2 (1+ cos 2x) x 2 (1+ cos 2x
lim . = lim = lim
x → 0 + (1 - cos 2x ) (1+ cos 2x) x → 0 + (1− cos 2 2x) x → 0 + sen2 2x
lim (1+ cos 2x)

(1+ cos 2x) 1 x → 0+ 1 2 1
= lim = = = existe
sen2x sen2x 4 sen2x sen2x 41.1 2
x→0+ . lim . lim
2x 2x 2x 2x
x → 0+ x → 0+
2 x+ 4 -4 0
lim =
x→0− x 0
( )(
2 x+4 -4 2 x+4 + 4

)
 2 x+4
2 
- 42 ( )
(4x + 16 -16)
lim . = lim   = lim
x→0− x ( )
2 x + 4 + 4 x→0− x 2 x + 4 + 4 (
x→0− x 2 x + 4 + 4 ) ( )
4x 4 4 1
lim = lim = = existe
(
x→0− x 2 x + 4 + 4 x→0− ) (2 x+4 +4 ) 8 2
 2. x + 4 − 4
 ; −4 x0
como lim f(x) = lim f(x) Existe lim f(x) → f es DISC. EVITABLE en x = 0 x

g(x) = 1/2 x=0
x→0− x→0+ x→0

 x2
; 0xπ
 1 − cos2x
𝑥+4
Estudiar continuidad de f. 𝑓 𝑥 =
𝑥+4
Solución:
x + 4  0  x  −4
dom f =  − − 4 f es continua en todo su dominio, debemos
estudiar continuidad en x=-4.
Continuidad en x=-4
−4+4 0
f (− 4 ) = = 
−4+4 0
 x+4
lim = −1
x + 4  x → −4 − − ( x + 4 )
lim = y
 lim x + 4 = 1
x → −4 x + 4
 x → −4 + ( x + 4 )
x+4
lim 
x → −4 x+4
f es Discontinua Inevitable en x=-4
x
𝑥−5
Estudiar continuidad de f. 𝑓 𝑥 = ቐ 𝑥 − 5 𝑠𝑖𝑥 ≠ 5
1𝑠𝑖𝑥 = 5
Solución:
dom f ( x ) = 
El domino de f es todo el conjunto de los números reales.
Sin embargo es necesario estudiar continuidad en x=5.
f ( x ) = 1,   x−5
 x →5 − − ( x − 5) = −1
lim
lim f ( x ) =   lim f ( x ) 
x →5
 lim x − 5 = 1
x →5
 x →5 + ( x − 5)
y f es Discontinua Inevitable en x=5
x
𝜋
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −
2
Determinar lso valores de las constantes 𝜋 𝜋
a y b para que f sea continua. 𝑓 𝑥 = 𝑎 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 − < 𝑥 <
2 2
𝜋
2 ⋅ cos 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥
2
Solución:
 
Para que f sea Continua en x=− Para que f sea Continua en x=
2 2
debe cumplirse: debe cumplirse:
       
f  −  = sen −  = −1 f   = a  sen  = a
 2  2 2 2
lim − f ( x ) = lim + f ( x ) lim− f ( x ) = lim+ f ( x )
   
x→− x→− x→ x→
2 2 2 2
     
lim − sen −  = −1  lim− a  sen  + b = a + b 
x→−
  2  x→
 2 
 
2 2
     
lim + a  sen −  + b  lim+ 2  cos 
  2  x→
 2 
x→−
2  2 
 −a + b = −1 (1)  a + b = 2  0 (2 )
 1
=
(1) b = a − 1  a
1 2
De (1) y (2) se deduce:  b = −b − 1  b = − 
(2 ) a = −b  2 b = − 1
 2
Solución:
 300 a) t es continua en [0, 30] y en (30, ∞) ,
 x + 30 0  x  30
t (x ) =  debemos determinar si es continua en x=30
 1.125
x  30
 ( x − 5)  ( x − 15)
Continuidad en x=30
 300
 x →30 − x + 30 = 5
lim lim t ( x ) 
t (30 ) =
300
=5 lim t ( x ) =  x → 30
30 + 30 x → 30
 lim 1.125
=3 t es Discontinua en x=30
 x →30 − ( x − 5)  ( x − 15)
b) Si el tiempo de entrenamiento es ligeramente inferior a 30días
300
lim− =5
x → 30 x + 30
El tiempo t es cercano a los 5minutos

Si el tiempo de entrenamiento es
ligeramente superior a 30días
1.125
lim− =3
x → 30 (x − 5)  (x − 15)
El tiempo t es cercano a los 3minutos;
sensiblemente inferior.
Solución:
 t2 0t 5 a) p es continua en [0, 5] y en (5, ∞) ,

p(t ) =  50t − 62,5 debemos determinar si es continua en t=5
 0,5t + 5 t 5
 50t − 62,5 
b) lim p(t ) = lim = F .I .
p(5) = 52 = 25 t → t →  0,5t + 5 
 lim− t 2 = 25 50t − 62,5 100  (0,5t + 5) − 500 − 62,5
t →5 lim = lim =
t →  0,5t + 5 0,5t + 5
lim p(t ) = 
t →
t →5 50t − 62,5
 lim+ = 25  562,5 
t → 5 0,5t + 5 = lim 100 −  = 100 
t →
 0,5t + 5 
lim p(t ) = 25  p es Continua en t=5
t →5
Solución:
Los dos primeros años los beneficios crecieron en forma lineal, conforme a la
función: f (t ) = t − 0,5
Entre los años 2 y 5, los beneficios decrecieron y crecieron en forma cuadrática,
conforme a la función: f (t ) = t 2 − 8t + 15
Y los 4 últimos años, los beneficios decrecieron en forma lineal, conforme a la
función: f (t ) = 3 (− t + 10 )
4
Aplicando la definición de derivada de una función en un punto, determina los valores que
deben tomar las constantes a y b, para que las siguientes funciones sean derivables en
los puntos indicados.
Solución:
 x 2 + 2 x; x  0
a) f (x ) =  ; en x = 0
ax + b; x  0
 lim− x 2 + 2 x = 0
 
Continuidad : f (0 ) = 0; lim f ( x ) x → 0 b=0
x →0
 lim ax + b = b 
x →0 − 
 x2 + 2x − 0 


f( )
´ 0 −
= lim = 2 

Derivabilidad : f ´(0 )
x →0 − x
a=2
+ −


( )
 f ´ 0 + = lim
x →0 +
a x
x
b 0
=a 


 a = 2; b = 0
Aplicando la definición de derivada de una función en un punto, determina los valores que
deben tomar las constantes a y b, para que la siguiente función sea derivable en el punto
indicado.
Solución:
 x − 2 ; 2  x  3
b) f ( x ) =  2 ; en x = 3
ax + b; x  3
Continuidad : f (3) = 3 − 2 = 1;
 lim x − 2 = 1 
 x →3− 
lim f ( x ) =  9a + b = 1  b = 1 − 9a
x →3
 xlim ax + b = 9a + b 
2
→3+ 

 f ´ ( )
3−
=
1
=
1

Derivabilidad : f ´(3) = 
1 1
2 3−2 2 6a =  a =
( )
 f ´ 3+ = 2 a 3 = 6 a



2 12
1 1 1
a=  b =1− 9 =
12 12 4
Aplicando propiedades de derivada y tabla, determina si las siguientes funciones son

derivables en los puntos indicados. Luego grafica.
 x 3 − 2 x; x  0
a) f (x ) =  ; en x = 0
− sen(2 x); x  0
− 2 x 2 + 4 x − 1; x  1
b) f ( x ) =  ; en x = 1
cos( x − 1); x 1
− x 2 + 2; x  0

c) f ( x ) =    ; en x = 0
 sen  x +  + 1; x  0
  2 
Aplicando propiedades de derivada y tabla, determina si las siguientes funciones son

derivables en los puntos indicados. Luego graficar con Geogebra.
Solución:
 x 3 − 2 x; x  0
a) f (x ) =  ; en x = 0
 − sen ( 2 x ); x  0
Continuidad :
f (0 ) = 0 

 lim− x 3 − 2 x = 0   f es Continua en x = 0
 
lim f ( x ) =  x → 0
x →0
 xlim − sen(2 x) = 0
→0 +

Derivabilidad
 f − ´(0 ) = 3 x 2 − 2 = −2 
f ´(0 ) =    f es DERIVABLE en x = 0 y = x3 − 2 x y = − sen(2 x )
 +
f ´(0 ) = − 2 cos (2 x ) = −2 
Solución:
La velocidad inicial del objeto es v0=0; g: aceleración de la gravedad, g=9,8 m/s2.
La velocidad instantánea que tendrá el objeto transcurridos t seg., es:
v(t ) = h´(t ) = v0 + g  t
g t2
m 2 2
 
9,8 2   t s
2  15m
h(t ) = v0  t + = 15m  15m =  
s 30
 t2 = t = = 1,75seg
2 2 9,8m 9,8
m m
v(1,75) = 0 + 9,81 2 .1,75s  = 17,15 
s  s m m
v(3) = 0 + 9,81 2 .3s  = 29,43 
s  s
g t
2
m
 
9,8 2   t 2 s 2
2  120m
h(t ) = v0  t + = 120m  120m =  
s 240
 t2 = t = = 4,95seg
2 2 9,8m 9,8
m m
v(4,95) = 0 + 9,81 2 .4,95s  = 48,52  
s  s
Solución:
108.000
La velocidad inicial del objeto es v0 = 108 km / h = = 30m / s
60  60
g: aceleración de la gravedad, g=9,8 m/s2, en este caso es negativa.
La velocidad instantánea del objeto transcurridos t seg., es: v(t ) = h´(t ) = v0 − g  t
9,81  (3,06 )
2
m m h(3,06 ) = 30  3,06 −
a ) v f = 30   − 9,81  2   t s  = 0  t =
30
= 3,06 seg = 45,81m
s s  9,81 2
m m m 10 − 30

b) v f = 10   = 30   − 9,81  2   t s  t= = 2,04 seg
s s s  − 9,81
m m 30
c) v f = 30   − 9,81  2   t s  = 0 t= = 3,06 seg
s s  9,81
d ) t = 3,06 seg tcomp = 2t = 6,12 seg

Solución:
𝑑𝑟 𝑐𝑚
La velocidad de crecimiento del radio de la esfera, es: =2
𝑑𝑡 𝑚𝑖𝑛
El área de la sección de la esfera (círculo de radio r), es: A(r ) =   r

2
𝑑𝐴 𝑑𝐴 𝑑𝑟
La velocidad con que crece esa área, es la razón de cambio: = ∙
𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝑑𝑡
𝑑𝐴 𝑑𝑟 𝑑𝐴
= 𝜋∙2 ∙ 𝑟 ∙ = 2𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 2 = 4𝜋 ∙ 𝑟
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
a) La razón de cambio del área cuando el radio de la esfera es de 6 cm, es:
𝑑𝐴 𝑑𝐴 𝑐𝑚
(6) = 4𝜋 ∙ 6 = 24𝜋 (6) ≅ 75,4
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑚𝑖𝑛
b) La razón de cambio del área cuando el radio de la esfera es de 24 cm, es:

𝑑𝐴 𝑑𝐴 𝑐𝑚
(24) = 4𝜋 ∙ 24 = 96𝜋 (24) ≅ 301,6
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑚𝑖𝑛
Solución:
La velocidad inicial del objeto es v0=0; g: aceleración de la gravedad, g=9,8 m/s2.
La velocidad instantánea que tendrá el objeto transcurridos t seg., es:
v(t ) = h´(t ) = v0 + g  t
g t 2
m
 
9,8  2   42 s 2
a ) h(t ) = v0  t + h(4 ) = 0 + s  = 78,48m
2 2
m m
b) v(4 ) = 0 + 9,81  2   4 s  v(4 ) = 39,24  
s  s
Solución: 1
El volumen del cono responde a la ecuación: Vc =   r 2  h
r 3
El radio del cono es función r 5 1 h
= = r=
de la altura: h 20 4 4
h 1 h  3
2
Entonces: Vc =      h = h
3 4 48
La velocidad con que se vierte agua en el cono (Caudal),
es constante de 1 m3/min y se expresa: m3
v(t ) =
dV
=1
dt min
𝑑𝑉 𝑑𝑉 𝑑ℎ 𝑑𝑉 3𝜋 ∙ ℎ2 𝑑ℎ
Reemplazando V : = ∙ =1 = ∙ =1
𝑑𝑡 𝑑ℎ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 48 𝑑𝑡
Cuando h=10m, la velocidad con que crece el nivel de agua en el tanque será:
dh 16  m3   m  dh  m 
= =
 
dt   102 m 2  min 
0, 05  min 
dt
= 0,05 
 min 
Solución: 4
3
La velocidad con que aumenta el radio es constante:
dr  cm 
= 3
dt  min 
𝑑𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑟
El volumen de la esfera aumentará a una velocidad: = ⋅
𝑑𝑉 4 2 2
𝑑𝑟 𝑐𝑚
= 𝜋 ⋅ 3 ⋅ 𝑟 𝑐𝑚 ⋅
𝑑𝑡 3 𝑑𝑡 min
𝑑𝑉 2
𝑐𝑚3
Reemplazando: = 4𝜋 ⋅ 10 ⋅ 3
𝑑𝑡 min
dV  cm3 
= 3.770  
dt  min 
Solución: 4
3
dV  cm3 
La velocidad con que pierde gas es constante: = 4 
dt  seg 
𝑑𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑟
Reemplazando: = ⋅
 cm3  4
dV
= 4  =   3  r 2
 
cm 2

dr  cm 
dt  seg 
dt  seg  3
Cuando el diámetro es de 4 m, su radio es de 2m, equivalente a 200cm; por lo
tanto la razón de cambio del radio cuando el radio es 200cm, será:
dr  cm3  1  1 
= 4    cm 2 
 seg  4  (200 )
2
dt
dr  cm 
= 7,9  10− 6  
dt  seg 
Solución:
( )
a ) y = tg x 3 + 2  y = tg (u )
y´= u´ sec 2 (u )
u = x 3 + 2  u´= 3x 2
(
y´= 3x 2  sec 2 x 3 + 2 )
( )
b) y = tg x 3 + 2  y = tg (u )
3 3
y´= sec 2 (u )  (u ) ´
3
  3
( )   3
u 3 = x 3 + 2  u 3 ´= 3 u 2  u´
u ´= 3(x + 2)  (3x )

3 3 2 2
(
y´= sec x + 2  3 x + 2 3 x 2
2 3
) (
3 3
) ( )
2
c) y = tg 3 ( x + 2)  y = tg (u )
3
y´= 3tg 2 (u )  sec 2 (u )  u´

u = x + 2  u´= 1
y´= 3tg 2 ( x + 2 )  sec 2 ( x + 2 )

b) y = arcsen (cos x ) y = arcsen (u )

1
y´=  u´
1− u 2
u = cos x  u´= − sen x

− sen x
y´= y´= −1
1 − cos 2 x
c) y = arccos (cos x ) y = arccos (u )

−1
y´=  u´
1− u 2
u = cos x  u´= − sen x
sen x
y´=
1 − cos 2 x
y´= 1
Halla la derivada de la siguiente función: a ) y = x ln x
Solución:
y = xu
ln y = u  ln x
y´ 1
= u´ ln x + u 
y x
1
u = ln x  u´=
x
y´ 1 1 1
=  ln x + ln x  = 2  ln x
y x x x
x ln x
y´= 2   ln x
x

b) x 3 y 2 + x 2 y 3 − 3 x sen( x + y ) = 5
Solución:
3 x 2 y 2 + 2 x 3 y y´+2 x y 3 + 3 x 2 y 2 y´−3 sen( x + y ) − 3 x cos( x + y )  y´= 0
2 x 3 y y´+3 x 2 y 2 y´−3 x cos( x + y )  y´= −3 x 2 y 2 − 2 x y 3 + 3 sen( x + y )
− 3 x 2 y 2 − 2 x y 3 + 3 sen( x + y )
y´= 3
2 x y + 3 x 2 y 2 − 3 x cos( x + y )
f ) log( x  y ) + 3 y = 3 2 x 2 y − 3 x y 2
2x
Solución:
(
2 x  log( x  y ) + 3 y = 2 x 2 y − 3 x y 2 )
1/ 3
y + x  y´ 1
2  log( x  y ) + 2 x 
x y

ln 10
1
(
+ 3 y ln 3  y´= 2 x 2 y − 3 x y 2
3
)
−2 / 3
(
 4 x y + 2 x 2 y´−3 y 2 − 6 x y y´ )
2 x 2  y´ 1 2 x 2 y´−6 x y y´ 1 4x y − 3y2 2x  y
+ 3 ln 3  y´−
y
= − 2  log( x  y ) −
x  y  ln 10 ( ) (
3 2 x 2 y − 3x y 2 2 / 3 3 2 x 2 y − 3x y 2 ) 2
3 x  y  ln 10
1 4x y − 3y2 2x  y
− 2  log ( x  y ) −
y´=
(
3 2 x 2 y − 3x y 2 2 3 ) x  y  ln 10
2x2 1 2x2 − 6x y
+ 3 ln 3 −
y
x  y  ln 10 (
3 2 x 2 y − 3x y 2 2 / 3 )
Sea f : f ( x ) = 2  sen 2 ( x ) , determine, si existe: f (3) ó f 

Solución:
f  ( x ) = 4  sen ( x )  cos ( x )
f  ( x ) = 4  cos 2 ( x ) − sen 2 ( x ) 
finalmente :
f  ( x ) = 4   2 cos x ( − sen x ) − 2 sen x  cos x 
f  ( x ) = −16  sen x  cos x

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Mg. Ing.

4 ± 16 − 12 4 ± 2 𝑥1 = 3 Las dos raíces pertenecen

Ejercicio Nº 3: Resuelva los siguientes límites:

Dada la siguiente función se pide: a)dominio de f, b) diga si es biunívoca,

Sean las funciones f y g dadas gráficamente, fundamente y determine:

𝑟 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑡 = 2 lim−𝜋∙(20+4∙𝑡 2 )2 = 𝜋∙362

Determinar los valores de las constantes a y b para 4𝑥 𝑠𝑖𝑥 ≤ −1

lim 4 x = −4 lim ax + b 

lim+ ax + b  lim+ − 5 x = −10

Aplicando conocimientos de derivada determina si la siguiente función es

Halla la derivada de la siguiente función: a) 2 x 2 y + 2 x y 2 = 3x − 2 y

2 x 2 y´+4 x y y´+2 y´= 3 − 4 x y − 2 y 2

2𝑥 + 𝑥 𝑥 2 + 5 2 + 5 f No tiene A.V. en x=0:

Dadas las funciones 𝑓: 𝑓 𝑥 = 𝑥 y 𝑔: 𝑔 𝑥 = 1 − 𝑥 2

Ejercicio N° 3:.- Determine, si existen los siguientes límites

Aplicando conocimientos de derivada de una función −𝑥 3 + 𝑎; 𝑠𝑖𝑥 < 0

Ejercicio Nº 5: Analice la continuidad de g en x0= 0. Si presenta discontinuidades,

1 − cos x 1 − cos x 1 + cos x 1 − cos 2 x

Existen dos métodos para obtener la derivada de una función implícita

Halla la derivada de la siguiente función:

= y + x y´ f ´´3 = e xy  ( y + x y´)

Ejercicio Nº 3: Sean las funciones, determine si existe f (g )( x ) ; en tal caso

Si x es entero y múltiplo de 4, conviene escribirlo como:

Llamemos x a la edad de Lorena, entonces Andrea tendrá A=x+20; expresado

La máxima edad que podría tener Lorena es:

La utilidad en economía se le suele llamar Beneficio (B), que tiene la siguiente

B( x ) = 450 x − (380 x + 3.500 )

Ejercicio Nº 2: Dada la siguiente función; determine: a) dominio, b) grafique la

domf = R Domf* = (2,∞)

EJERCICIO 5: Dada la siguiente función, analice la continuidad en x=0  2. x + 4 − 4

a) f(0) = no existe → f es discontinua en x = 0

lim (1+ cos 2x)

y f es Discontinua Inevitable en x=5

El tiempo t es cercano a los 5minutos

Aplicando propiedades de derivada y tabla, determina si las siguientes funciones son

Aplicando propiedades de derivada y tabla, determina si las siguientes funciones son

m m m 10 − 30

d ) t = 3,06 seg tcomp = 2t = 6,12 seg

El área de la sección de la esfera (círculo de radio r), es: A(r ) =   r

b) La razón de cambio del área cuando el radio de la esfera es de 24 cm, es:

Halla la derivada de la siguiente función:

y´= u´ sec 2 (u )

u ´= 3(x + 2)  (3x )

y´= 3tg 2 (u )  sec 2 (u )  u´

y´= 3tg 2 ( x + 2 )  sec 2 ( x + 2 )

Halla la derivada de la siguiente función:

b) y = arcsen (cos x ) y = arcsen (u )

u = cos x  u´= − sen x

c) y = arccos (cos x ) y = arccos (u )

u = cos x  u´= − sen x

Halla la derivada de la siguiente función: a ) y = x ln x

Halla la derivada de la siguiente función:

3 x 2 y 2 + 2 x 3 y y´+2 x y 3 + 3 x 2 y 2 y´−3 sen( x + y ) − 3 x cos( x + y )  y´= 0

2 x 3 y y´+3 x 2 y 2 y´−3 x cos( x + y )  y´= −3 x 2 y 2 − 2 x y 3 + 3 sen( x + y )

Halla la derivada de la siguiente función:

Sea f : f ( x ) = 2  sen 2 ( x ) , determine, si existe: f (3) ó f 

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