Parcial Analisis 2
Parcial Analisis 2
Parcial Analisis 2
Esta guía de ejercicios contiene ejercicios de parcial mezclados con ejercicios de diversas guías y libros.
Cada guía contiene temas de las anteriores por lo que es muy importante hacerlas en orden.
B. Cónicas
1
C. Superficies en el espacio
b) z 4 x 2 , y 4 x 2 , x = 0, y = 0, z = 0.
c) x 2 y 2 1 , x + z = 2, z = 0.
d) z 4 x y , y = 2z, z = 0.
2 2
1) Hallar una ecuación de la recta tangente a la curva en el valor dado del parámetro.
a) x = 2t, y = y² – 1, t = 2.
1
b) x = t – 1, y = 1, t = 1
t
c) x = t² – t + 2, y = t³ – 3t, t = –1
3
d) x = 4 cos , y = 3sen ,
4
2) Hallar todos los puntos de tangencia horizontal y vertical (si los hay) a la curva.
a) x = 1 – t, y = t²
2
b) x = t + 1, y = t² + 3t
c) x = 1–t, y = t³ – 3t
d) x = 3cos(t), y = 3sen(t)
e) x = 4 + 2cos(t), y = –1 + sen(t)
f) x = 4cos²(t), y = 2sen(t)
g) x = sec(t), y = tg(t)
f) x = cos²(t), y = cos(t).
3) Las ecuaciones paramétricas de un cicloide son x a( sen ) y a(1 cos ) , a>0.
dy
a) Hallar .
dx
b) Hallar las ecuaciones de la recta tangente en el punto en el que .
6
c) Localizar todos los puntos (si los hay) de tangencia horizontal.
4) Hallar una parametrización de la curva definida por el par de ecuaciones, y calcular su recta
tangente en el punto indicado.
a) x² + y² + z² = 2, z = x ² y ² , (0,1,1)
b) z = x² + y², x = y², (4,2,8)
c) x² + y² + z² = 6, z = x² + y², (1,1,2)
5)
6)
7)
1)
3
2)
4
3)
4)
5
5)
6) (de parcial)
8) (de parcial)
9)
10)
6
x² y ² 4
11) Sea f ( x, y )
x² y²
12)
b) z = x. y o) z = 2y² x
e) z = ln(x²+y²)
r) z = ln( xy )
xy
x y s) z
f) z ln x y x² y ²
t) z = ln(x² + y²)
x² 4 y²
g) z = u) g(x,y) = ln x² y ²
2y x
v) f(x,y) = 2x y³
h) h(x,y) = e ( x ² y ²)
w) z = sen(3x)cos(3y)
i) f(x,y) = x² y ²
x) z = cos(x² + y²)
j) z = tg(2x – y)
k) z = e y sen(xy)
y
l) f(x,y) = (t ² 1)dt
x
y
d ²z d ²z
5) Mostrar que la ecuación de Laplace 0 se cumple para
dx ² dy ²
a) z = 5xy
b) z = e x sen( y )
1 y
c) z = (e e y ) sen( x )
2
d) z = sen(wct) + sen(wx)
d ²z d ²z
6) Mostrar que la ecuación de ondas c ² se cumple para
dt ² dx ²
a) z = sen(x – ct)
b) z = ln(x + ct)
c) z = cos(4x + 4ct)
d) z = sen(wtc) + sen(wx)
dz d ²z
7) Mostrar que se cumple la ecuación de calor c ² para la función z e t cos( x )
dt dx ² c
dT dP dV
8) Sea la ley de los gases ideales P.V = nRT, demostrar que . . 1
dP dV dT
9) La temperatura en cualquier punto (x,y) de una placa de acero es T = 500 – 0,6x² – 1,5y²,
donde x e y son medidos en metros. En el punto (2,3), hallar el ritmo de cambio de
temperatura respecto a la distancia recorrida en la placa en las direcciones del eje x e y.
2
10) Considerar la función f(x,y) = ( x ² y ²) 3 , demostrar que
8
4x
1
si (x, y) (0,0)
3(x² y²) 3
fX
0 si (x, y) (0,0)
xy ( x ² y ²)
si ( x, y ) (0,0)
x² y ²
12) Considerar f ( x, y ) . Hallar f X ( x, y ) y f y ( x, y ) para
0 si ( x, y ) (0,0)
( x, y ) (0,0) y usando la definición para (x,y) = (0,0)
dz dw
1) Utilice la regla de la cadena para hallar o
dt dt
a) z = x².y + x.y², x 2 t 4 , y = 1 – t³
b) z = x ² y ² , x e 2t , y e 2t
c) z = sen(x).cos(y), x .t , y t
d) z = ln(x+2y), s = sen(t), y = cos(t)
Y
e) w = xe Z , x = t², y = 1 – t, z = 1 + 2t
f) w = x.y + y.z², x e t , y e t sen(t ) , z e t cos(t )
dz dz
2) Utilice la regla de la cadena para hallar y
ds dt
a) z = x ² + x.y + y ², x = s + t, y = s.t
x
b) z , x = s.e t , y = 1 + s.e t
y
c) z = arctg (2x + y), x = s².t, y = s.ln(t)
s
d) z = e xy .tg(y), x = s + 2t, y
t
e) z e r cos( ) , r = s.t, s² t ²
3) Si z = f(x,y), donde x = g(t), y = h(t), g(3) = 2, g’(3) = 5, h(3) = 7, h’(3) = –4, f x (2,7) 6 ,
dz
f y ( 2,7) 8 , encuentre si t = 3.
dt
9
4) Sean W(s,t) = F(u(s,t);v(s,t)), donde u(1,0) = 2, u ' S (1,0) 2 , u t (1,0) 6 , v(1,0) = 3,
v ' S (1,0) 5 , v 't (1,0) 4 , F 'U ( 2,3) 1 y F ' v ( 2,3) 10 , encuentre wS (1,0) y wt (1,0) .
5) Hallar ( f c)' si
a) f(x,y) = x.y, c(t) = (e t , cos(t ))
b) f(x,y) = e xy , c(t) = (3t ²,t ³)
c) f(x,y) = (x² + y²).log( x ² y ² ), c(t) = ( e t , e t ).
dz dz dz
6) Sean z = y² tg(x), x = t² uv, y = u + tv²; hallar , , cuando t = 2, u = 1, v = 0
dt du dv
7)
8)
9)
10)
10
11) Hallar la derivada de la función compuesta (En los casos que exista) utilizando la regla de
la cadena.
1) Sea y(x) la función definida implícitamente por F(x,y) = 0, donde F es una función dada de
dy
dos variables, hallar
dx
a) x² – xy + y³ = 8
b) y 5 3x 2 y 2 5 x 4 12
c) cos(x–y) = x. e y
d) xcos(y) + ycos(x) = 1
dz dz
2) Hallar y dy
dx
a) xy² + yz² +zx² = 3
b) x e y + yz + ze x = 0
c) xyz = cos(x + y + z)
d) ln(x + y + z) = 1+x.y².z³
dw dw
3) Demostrar que 0 para w = f(x,y), x = u – v e y = v – u
du dv
11
5)
6)
7)
8)
9)
10)
12
a) g(x,y) = x² – y² en (5,4,9)
2
b) f(x,y) = x x y en (3,–1,1)
3
c) z e x ( sen( y ) 1) en 0, ,2
2
d) z = x² –2xy + y² en (1,2,1)
e) h(x,y) = ln x ² y ² en (3,4,ln5)
2
f) h(x,y) = cos(y) en 5, ,
4 2
g) x² + 4y² + z² = 36 en (2,–2,4)
h) x² + 2z² = y² en (1,3,–2)
i) xy² + 3x – z² = 4 en (2,1,–2)
j) x = y.(2z – 3) en (4,4,2)
2) Hallar el plano tangente y recta normal en los puntos indicados para las superficies dadas
a) x² + y² + z = 9 en (1,2,4)
b) x² + y² + z² = 9 en (1,2,2)
c) xy – z = 0 en (–2,–3,6)
d) x² – y² + z² = 0 en (5,13,–12)
y
e) z = arctg en 1,1,
x 4
f) xyz = 10 en (1,2,5)
4) Hallar en la superficie x² + y² –z² –2x = 0 los puntos en que los planos tangentes a ella sean
paralelos a los planos coordenados.
5) ¿En qué puntos del elipsoide x² + y² + z² = 1 la normal forma ángulos iguales con los ejes
coordenados?
6)
13
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14
14)
15)
16)
17)
18)
19)
15
20)
21)
22)
23)
23)
24)
25)
16
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
17
35)
36)
18
3) Hallar f ' ((3,2), u ) donde u (cos , sen ) para y de la función
4 6
x y
f ( x, y )3 .
3 2
v x y
4) Hallar f ' ((3,2), u ) donde u y f ( x, y )3 sabiendo que
v 3 2
a) v es el vector que va de (1,2) a (–2,6)
b) v es el vector que va de (3,2) a (4,5)
7) Si f(x,y) = 9 – x² – y²
a) Dibujar la gráfica de f en el primer octante y localizar el punto (12,4) sobre la superficie.
b) Hallar f ' ((1,2), u ) donde u cos i sen j para
3
c) Hallar f (1,2) y f (1,2)
d) Hallar un vector unitario u ortogonal a f (1,2) y calcular Du f (1,2) . Analizar el
significado geométrico del resultado.
8) Hallar un vector unitario normal a la gráfica de la ecuación en el punto dado. Dibujar los
resultados.
a) 4x² – y = 6 en (2,10)
b) 9x² +4y² = 40 en (2,–1)
c) 3x² –2y² = 1 en (1,1)
d) xe y y 5 en (5,0)
1
9) La temperatura en el punto (x,y) de una placa metálica es T . Hallar la dirección
x² y ²
de mayor incremento de calor en (3,4).
12) Sea f una función de dos variables que tiene derivadas parciales continuas y considere los
puntos A = (1,3) , B = (3,3), C = (1,7) y D = (6,15). La derivada direccional de F en A en
dirección AB es 3 y la derivada direccional en A en la dirección AC es 26. Encuentre la
derivada direccional en A en dirección del vector AD .
13) Encuentre las direcciones en las que la derivada direccional de f(x,y) = x² + sen(xy) en el
punto (1,0) es 1.
19
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20
20)
21)
22)
23)
2) Examinar la función para localizar los extremos relativos y los puntos silla
a) g(x,y) = x² – y² – 2x – 4y –4
b) g(x,y) = 120x + 120y – xy – x² – y²
c) h(x,y) = x² – 3xy – y²
d) g(x,y) = xy
3) Determinar en cada caso si hay un máximo relativo, mínimo relativo, punto silla o si la
información es insuficiente para determinar la naturaleza de la función f(x,y) en el punto
crítico ( x0 , y 0 )
a) f xx ( x0 , y 0 ) 9 , f y y ( x 0 , y 0 ) 4 , f x y ( x0 , y 0 ) 6
b) f xx ( x0 , y 0 ) 3 , f y y ( x 0 , y 0 ) 8 , f x y ( x0 , y 0 ) 2
c) f xx ( x0 , y 0 ) 9 , f y y ( x0 , y 0 ) 6 , f x y ( x 0 , y 0 ) 10
d) f xx ( x0 , y 0 ) 25 , f y y ( x 0 , y 0 ) 8 , f x y ( x0 , y 0 ) 10
6) Dada f(x,y) definida implícitamente por x ² z y ² e z z ² z 0 determine los puntos en los que la gráfica
de f tiene plano tangente horizontal, halle por lo menos uno de ellos en los que el valor de f sea extremo local y
clasifíquelo.
7) Encuentre el volumen mayor de la caja rectangular con bordes paralelos a los ejes
coordenados, que pueda estar inscripta en el elipsoide 9x² + 36y² +4z² = 36.
8)
9)
22
10)
11)
12)
23
19) Sea z f ( x, y ) definida implícitamente por x ² xy 2 xz y ² z ² 21 0 , analice la existencia de
extremos relativos (o locales) de los valores de f y calcule sus valores correspondientes.
x 1
si ( x, y ) (1,1)
21) Dada f ( x, y ) ( x 1)² ( y 1)² analice si f(1,1) es un extremo relativo.
0 si ( x, y ) (1,1)
4) Hallar el valor mínimo de f(x,y) = 4xy donde x > 0, y > 0, sujeto a la restricción o ligadura
x² y ² 3
1 . Respuesta: Máximo 24 en ,2 2
9 16 2
5) Utilizar los multiplicadores de Lagrange para hallar los extremos de f indicados sujetos a 2
restricciones o ligaduras
a) Maximizar f(x,y,z) = xyz. Restricciones: x + y + z = 32, x – y + z = 0.
b) Minimizar f(x,y,z) = x² + y² + z². Restricciones: x + 2z = 6, x + y = 12.
c) Maximizar f(x,y,z) = xy + yz. Restricciones: x + 2y = 6, x – 3z = 0.
d) Maximizar f(x,y,z ) = xyz. Restricciones: x² + z² = 5, x – 2y = 0.
7) Utilizar multiplicadores de Lagrange para hallar el extremo indicado, suponer que x e y son
positivos (una restricción)
a) Minimizar f(x,y) = x² – y², restricción: x – 2y + 6 = 0.
b) Maximizar f(x,y) = x² – y², restricción: 2y – x² = 0.
c) Maximizar f(x,y) = 2x + 2xy + y, restricción: 2x + y = 100.
d) Minimizar f(x,y) = 3x + y + 10, restricción: x²y = 6.
e) Maximizar f(x,y) = 6 x ² y ² , restricción: x + y – 2 = 0.
f) Minimizar f(x,y) = x ² y ² , restricción: 2x + 4y – 15 = 0.
g) Maximizar f(x,y) = e xy , restricción: x² + y² = 8
h) Minimizar f(x,y) = 2x + y, restricción: xy = 32.
24
8) Utilizar los multiplicadores de Lagrange para hallar todos los extremos de la función
sujetos a la restricción x² + y² 1 para:
a) f(x,y) = x + 3xy + y²
xy
b) f(x,y) = e 4
Problemas
11) Un contenedor en forma de sólido rectangular debe tener un volumen de 480m³. Construir
la base costará $5 por m² y construir los lados y la parte superior costará $3 por m².
Determinar las dimensiones del contenedor que minimicen el costo.
Rta:
3
360 3 360 4 3
360
3
2) Aplicar la fórmula de Mac Laurin en las funciones dadas en los puntos que se indican hasta
el tercer orden.
a) f(x,y) = sen(x).sen(y)
b) f(x,y) = y.cos(x)
c) f(x,y) = e x y
x y
4) Si f ( x, y ) estimar el error que se comete al aproximar f(0,9;0,4) por f(1,1).
y x
y
5) Obtener los 3 primeros términos del desarrollo de Mac Laurin para f ( x, y ) arctg .
x² 1
25
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
26
14)
15)
16)
18) Sea y=f(x) definida implícitamente por xy 1 ln( y ) 0 , halle un polinomio de 2do grado que permita
aproximar los valores de f en un entorno de x0 1 .
27
2) Dada f ( x, y, z ) 4 x ³ 5 y ² z calcule la derivada direccional de f en (1,2,2) en la dirección
de la normal exterior a x ² y ² 2 z ² 6 .
4) Siendo f ( x, y, z ) 4 x ² y ² z , calcule f ' ( A , r ) cuando A (2,1,1) y r el versor normal
exterior en dicho punto a la superficie definida implícitamente por x ² 2 y ² z ² 7 0
5) a) Indique las hipótesis suficientes para asegurar que f(x,y)=0 es la ecuación en forma
implícita de una curva C que pasa por A ( x0 , y 0 ) y que es regular en dicho punto.
Parametrizando la curva, demuestre luego la regularidad mencionada y que su gradiente en A
es ortogonal a la curva en A.
b) Sea f ( x, y ) 2e xy y x , halle la ecuación cartesiana de la recta tangente a la curva de
nivel 3 en el punto ( x0 , y 0 ) (0,1) de la misma.
7) Una curva C es normal a una superficie S en un punto A común a ambas cuando la recta
tangente a la curva es paralela a la normal a la superficie en A. Halle A y demuestre que C es
x² y z 2
normal a S en A, si la superficie S es de puntos X ( 2u , y v, u v) con C x z 3 con
x0
yx
8) La curva C x ² z 3 interseca al paraboloide de ecuación z x² y² en el punto A
perteneciente al primer octante. Analice si C es ortogonal al paraboloide en dicho punto.
Parciales
Parcial N° 1 – 24/11/07
28
yx ² yz 2 0
2) Sea x ³ y ² z ² 1 en un entorno de P = (1,–1,1) define explícitamente a x e y como
funciones de z, hallar la ecuación de la recta tangente a h(z) = yz³+xz² en (1,h(1)).
1 3
5) Sea C : (u ) (u ,2u ²) , u , f : 2 2 f(u,v) = (u + v, uv). Mostrar que la imagen
2 2
por f de la curva C en (3,2) es perpendicular a la recta 6y = –5x + 27.
Parcial N° 2 – 3/11/07
5) Hallar todos los valores de las constantes a, b y c tales que la derivada direccional de
f ( x, y, z ) ayx² bxz cz ² y ³ en el punto (2,1,-1) verifique a la vez que
- Alcance el valor máxima en una dirección paralela al eje x.
- Que dicho valor máximo sea de 64.
Parcial N° 3 – 19/10//06
df
2) La máxima derivada direccional de una función f , C 1 , en (2,1) vale 5, y (2,1) 2 .
dy
df
Hallar ( f )(2,1) sabiendo además que ( 2,1) es positiva.
dx
3) Sea C la curva parametrizada por t (cos ²t 2, sent , cos t ) , t (0,2 ) . Hallar todos los
puntos C en los que su plano normal es paralelo al plano xy.
29
4) Resolver y fundamentar brevemente su respuesta. ¿En qué puntos de la superficie de
ecuación z 16 x 4 y 4 8 x 2 y 2 su plano tangente es horizontal?
1
5) Sea S la superficie parametrizada por (u , v) (u 2v, u v, u ²) , u 2, 1 v 1 . Hallar
2
un vector tangente en (1,1,1) a la intersección de S con el plano de ecuación x – y = 0.
Parcial N° 4 – 27/5//06
uv vx uy 0
3) Sean u(x,y), v(x,y) definidas por el siguiente sistema de ecuaciones uv ux y ² 1 en el
entorno de ( x0 , y 0 , u 0 , v0 ) (1,0,1,2) . Si g ( xy ) u ² v , calcular aproximadamente
g ( 0,99,0,01) .
5) Hallar todos los a,b, a 0 , tales que f ( x, y ) 2a( x 1)² b( y 2)² y ³ tenga extremo en
(1,1).
30