GUÍA DE TRABAJO

Tema: Álgebra
Subtemas:
Expresiones algebraicas
Operaciones entre expresiones algebraicas
Problemas de aplicación

Competencia específica.
Utiliza propiedades y técnicas algebraicas en la solución de problemas en
diversos contextos que requieren el lenguaje del álgebra.

Resultados de aprendizaje
1. Simplifica operaciones entre expresiones algebraicas.
2. Representa a partir del lenguaje algebraico situaciones en contextos cotidianos

El marco conceptual y práctico de las sesiones pasadas, correspondiente a los sistemas

numéricos, operaciones y propiedades se generaliza con álgebra. El consolidar los
conocimientos y técnicas aritméticas, permite explorar y estudiar con más eficiencia las
siguientes sesiones, que serán relevantes a lo largo del curso. Así, la aritmética es
prerrequisito y puerta de entrada al álgebra y ambos, serán fundamento para el estudio de
las funciones. En esta guía, estudias las expresiones algebraicas y las operaciones que se
pueden formular entre ellas.

MOMENTO 1: SABERES PREVIOS

Espacio que incluye ejercicios y problemas que se sugieren resolver antes de llegar a la clase

1. Realiza el siguiente ejercicio paso a paso, con base en el primer ítem.

a) Define o nombra dos variables.

b) Simboliza la suma de ellas.
c) Simboliza el duplo de la expresión anterior.
d) Resta el producto de ambas variables al resultado anterior.
e) Determina la segunda potencia del resultado anterior.
f) Sustituye la primera variable por −1 y la segunda variable por 2 y halla el resultado.

2. Relaciona cada expresión en lenguaje natural, con una expresión simbólica:

• Ana gana el triple que Mateo • 𝑝=𝑞−3

𝑎
• María mide 3𝑐𝑚 más que Juan • =𝑏
3

• El valor del celular es la tercera • 𝑥 = 3𝑦

parte de lo que vale mi PC

• En 2020 se invirtió 𝐶𝑂𝑃3 • 𝑥 =3+𝑦

millones menos que el 2019.

3. ¿El resultado de la expresión 𝑥 + 𝑥 es igual al resultado de 𝑥 ⋅ 𝑥? Justifica

4. Determine el valor de la expresión 2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 3𝑥 − 2 cuando 𝑥 = −2.

29
 MOMENTO 2: TRABAJO DE CLASE GUÍADO POR EL DOCENTE
Espacio de ejercicios y problemas, cuya solución es guiada por el docente e involucra ejes temáticos de la clase.

Objetivo de ejercicio: Conocer elementos de álgebra

1. Responde: ¿Qué es una expresión algebraica y qué representa?

2. Determina el número de términos de las siguientes expresiones algebraicas:

a) 𝑥 d) 2𝑥 − 3𝑦 + 2𝑎𝑏 − (4𝑥𝑎 + 2)(3𝑦𝑏 − 2)
2 e) (𝑥 − 1)(𝑦 + 1)
b) 𝑥 − 𝑦
𝑥−𝑦
c) 2𝑥𝑦 − 3𝑥𝑦𝑧 + 5𝑧 2 + 1 f)
𝑥+𝑦

3. Escribe en el corchete, el número de factores de cada término.

a) 2 ⋅ 5 [ ] 1 e) 𝑦 [ ]
c) − 2 𝑥𝑦𝑧 [ ]
3
b) 3𝑥𝑦 [ ] f) − 5 [ ]
d) 3𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 (𝑥 − 1)[ ]

4. ¿Son iguales las expresiones 𝟓𝒙𝒚 con 𝟓 ⋅ 𝒙 ⋅ 𝒚?

Objetivo de ejercicio. Representar situaciones simples empleando lenguaje algebraico

5. Suponga que tienes dos rectángulos, uno de base 𝑏 y altura ℎ. El segundo tiene por
base y altura, el doble del anterior. Expresa la suma de las áreas de los rectángulos en
términos de 𝑏 y ℎ. [Realiza un dibujo de ser posible]

6. Representa algebraicamente las siguientes situaciones.

a) El duplo de un número.
b) El cuadrado de un número.
c) Un número aumentado en 2.
d) La mitad de un número.
e) La cantidad de estudiantes de la universidad.
f) Número de estudiantes de tu aula de clase, distinguiendo sexo de los estudiantes.
g) La utilidad en la producción de 𝑥 cantidad de artículos de tecnología.

7. Resuelve el siguiente problema de acuerdo a las indicaciones.

a) Fija una variable, la que quieras y escríbela. _______

b) Escribe monomios de grado cero, uno, dos, tres y cuatro con esa variable.
______ ______ ______ ______ ______

c) Combina estos monomios anteriores con signos de suma o resta.

___________________________________________________

d) Esta expresión algebraica obtenida, la llamarás, expresión algebraica en la variable

____ de grado 4 o polinomio en la variable ____ de grado 4.
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8. Elige: La diferencia entre la suma de los cubos de dos números y el producto de los
cuadrados de estos mismos, es diez veces el cuadrado de la suma de los dos números.
a) 𝑥 3 − 𝑦 3 + (𝑥𝑦)2 = 10𝑥 2 + 10𝑦 2 c) 𝑥 3 + 𝑦 3 − 𝑥 2 𝑦 2 = 10(𝑥 + 𝑦)2
3 2 2 2
b) (𝑥 + 𝑦) − (𝑥𝑦) = 10(𝑥 + 𝑦 ) d) 𝑥 3 − 𝑦 3 + (𝑥𝑦)2 = 10 + 𝑥 2 + 𝑦 2

9. Represente algebraicamente las siguientes situaciones. Se sugiere una gráfica.

a) En la reestructuración de una casa, se emplean 𝑥 galones de pintura y se han empleado

𝑦 galones de éstos. Escriba la cantidad de galones que se emplearán de forma equitativa
durante los próximos 𝑛 días.

b) El perímetro de una huerta en términos de uno de sus lados, sabiendo que está ubicada
junto a un río y tiene forma rectangular. Se sabe que el ancho es el doble del largo. ⇒

c) El área superficial y volumen de un cilindro circular recto que se va a fabricar con una
lámina rectangular.

d) Una caja de base cuadrada se fabricará con una lámina cuadrada de longitud 𝑙, donde
se cortará de sus esquinas cuadrados de longitud 𝑥. Escribe el volumen y área superficial
de la caja en términos de 𝑙 y 𝑥.

e) La utilidad de producir y vender un tipo particular de objeto de marroquinería, donde su

costo de producción es de 25, se vende a un precio de 37 y el fabricante tiene costos
fijos de 250.

Objetivo de ejercicio. Determinar el valor que toma una expresión algebraica bajo sustitución de variables.
𝑥 2−2𝑥𝑦+1
10. Determine el valor que toma la expresión algebraica para los valores dados.
−𝑥 2+1−𝑦
a) 𝑥 = −1, 𝑦 = 0

b) 𝑥 = 𝑦 = −1

Objetivo de ejercicio. Resolver operaciones entre expresiones algebraicas

11. Realiza las operaciones, reuniendo términos semejantes o eliminando paréntesis.

a) 𝑥 + 𝑥 = d) 3𝑥(𝑥 + 𝑦) =

b) 𝑥 ⋅ 𝑥 = e) 2(3𝑥) =

c) 3𝑎 + 4𝑎 = f) (2𝑥 + 𝑦)(3𝑥 − 2𝑦) =

31
12. Realiza las siguientes operaciones.

2 3
a) (5 𝑥 2 𝑦𝑧) (7 𝑥 −4 𝑦 3 𝑧 −5 ) =

b) 5𝑎𝑏2 (−2𝑎 − 5𝑎𝑏3 ) =

c) −3(2𝑎𝑏2 − 𝑐 )(−3𝑎 + 𝑏) =

2 1 2
d) (3 𝑥 2 𝑦 3 − 5) =

1 3
e) (3𝑥 − 2 𝑦) =

f) (2𝑎 − 5)(2𝑎 + 5) =

g) (√2 − 𝑥)(√2 + 𝑥)

13. Racionaliza el denominador en la expresión siguiente:

2
a. 5−√𝑥 =

√𝑎+𝑏
b. =
√𝑎−√𝑏

14. Racionaliza el numerador:

√5 + √3
=
√12

MOMENTO 3: CONSTRUCCIÓN DE MARCO CONCEPTUAL

Espacio de estudio independiente, donde predomina la lectura y compresión. Consolidar a través de los conceptos es su propósito.

Las variables en matemática son empleadas para representar valores desconocidos dentro
de un conjunto particular. Una variable es usualmente representada por una letra.

Ejemplo 1. Representar a través de una variable el tiempo completo de recorrido de vehículo

de transporte público durante un mes.

Solución. El tiempo, cada día del mes, se puede representar por la variable 𝑡. Debe ser claro
que la letra que representa la variable puede ser cualquiera dentro del conjunto de letras del
lenguaje natural. Es así, que
𝑡: 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜

Las variables se pueden combinar para dar representación simbólica y simplificada, a una
situación que está expresada en lenguaje natural. Además, esta representación simbólica
permite dar solución efectiva a un problema a través de técnicas algebraicas.

32
Una expresión algebraica es la combinación de números y letras con las operaciones
definidas en el conjunto de los números reales ℝ.

Ejemplo 2. La siguiente es una expresión algebraica en las variables 𝑥, 𝑦, 𝑧.

(−3𝑥𝑦 2 𝑧 − 5𝑥 + 𝑦)2 − 5𝑥 + 3𝑦

En la expresión anterior, las variables 𝑥, 𝑦, 𝑧 se han combinados empleando las operaciones

de suma, diferencia, producto y potencia.

Ejercicio 1. Escribe una expresión algebraica en las variables 𝑦, 𝑧, 𝑤.

Las expresiones como representaciones de números reales, se pueden combinar con

operaciones y es de vital importancia identificar y entender algunas de las partes que
componen una expresión algebraica.

Términos. Se distinguen por estar separados por signos de suma y resta. La expresión
algebraica 2𝑥 2 𝑦 2 𝑧 + 5𝑥𝑦𝑧 + 3𝑥 − 5 tiene cuatro términos [cuatro monomios]. Observa:

2𝑥 2 𝑦 2 𝑧 + 5𝑥𝑦𝑧
⏟ ⏟ + 3𝑥
⏟−⏟5
#1 #2 #3 #4
Factores. Cada monomio está conformado por factores, que pueden ser números o
variables que se multiplican entre sí. Los números son llamados coeficientes; y los factores
variables, parte variable o parte literal. El coeficiente que acompaña la variable de mayor
grado es el coeficiente principal y la que no tiene variable, se llama término independiente.

3𝑥 2 𝑦𝑧𝑤 = ⏟
3 ⏟2 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑧 ⋅ 𝑤
⋅𝑥
⏟
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒
5 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠

Observa que, en el monomio izquierdo, se propone el monomio sin signo de multiplicación,

pero finalmente, como lo expresa el término derecho de la expresión anterior, aunque no se
indica el producto, se hace implícito que cada uno de esos elementos se está multiplicando.

Grado de monomio. Es la suma de los exponentes de la parte variable de un monomio.

2+1+1+1=5
3 ⏞
𝑥 2 𝑦𝑧𝑤 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 5

Grado de una expresión algebraica. Es el mayor de los grados de sus monomios.

𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 5 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 3 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 1 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 0
⏞
2𝑥 2 𝑦 2 𝑧 + ⏞
5𝑥𝑦𝑧 + ⏞
3𝑥 − ⏞
5 𝐸𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑠 5

El grado de una expresión algebraica, será relevante en adelante, pues este, en el contexto
de las ecuaciones, indicará el número posible de soluciones de una ecuación polinómica.

Ejercicio 2.
1. Formula una expresión algebraica en las variables 𝑥, 𝑦, 𝑧 con 4 términos y de grado 6.

33
El dominio de una expresión algebraica es el conjunto de números reales que pueden ser
sustituidos en las variables de la expresión.

Ejercicio 3. Analiza las expresiones algebraicas siguientes y de acuerdo a lo anterior,

escribe el dominio de las siguientes expresiones:
a) 𝑥 2 + 5𝑥𝑦𝑧 − 2𝑥 𝑥 2+5𝑥
d) 𝑥 2−4
2+𝑥
b) 𝑥 e) 2𝑥 2 + √𝑥
5 3
c) f) 2 + 𝑎
𝑥+𝑦

Valor de una expresión algebraica. Una expresión algebraica depende de variables,

combinadas a través de las operaciones. Las variables en una expresión algebraica, pueden
ser sustituidas por números reales siempre que hagan parte de su dominio. Una expresión
algebraica adopta un valor particular por cada sustitución que se haga a las variables.

Ejemplo 3. Considera la expresión algebraica −2𝑥 3 𝑦 − 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 1. Sustituye la expresión

para los siguientes:
Caso 1: 𝑥 = 1, 𝑦 = 2 Caso 2: 𝑥 = −2, 𝑦 = 3 Caso 3: 𝑥 = 3, 𝑦 = −1

Solución. Tenga presente que la sustitución realizada de números negativos, usar un

paréntesis para aclarar la operación a resolver.

𝐶𝑎𝑠𝑜 1: −2 ⋅ 13 ⋅ 2 − 12 + (1)(2) + 1 = −4 − 1 + 2 + 1 = −2

𝐶𝑎𝑠𝑜 2: −2(−2)3 (3) − (−2)2 + (−2)(3) + 1 = −2 ⋅ (−8) ⋅ 3 − 4 + (−6) + 1 = 48 − 10 + 1

= 39

𝐶𝑎𝑠𝑜 3: − 2 ⋅ 33 (−1) − 32 + (3)(−1) + 1 = −2 ⋅ 27(−1) − 9 − 3 + 1 = 54 − 12 + 1 = 43

Ejercicio 4. Halle el valor de la expresión −2𝑥 2 + 5𝑥 − 1 en los valores indicados:

a) 𝑥 = −2
3
b) 𝑥 = − 4

Términos semejantes. Son aquellos que tienen la misma parte variable.

Ejemplo 4. A continuación, ejemplos de términos semejantes y no semejantes.

3
5𝑥 2 𝑦 − 𝑥 2𝑦
⏟ 2
𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒

3𝑥 2 𝑦𝑧
⏟ 8𝑥𝑦𝑧
𝑁𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
“Los términos semejantes tienen la particularidad de poder ser combinados”

8𝑥𝑦𝑧 + 10𝑥𝑦𝑧
⏟ = 18𝑥𝑦𝑧 [𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠]
𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

34
Ejercicio 5. Identifica entre el siguiente grupo de términos, aquellos que son semejantes.

a) 3𝑥 c) 2𝑥 2 𝑦 e) −3𝑥𝑦𝑥 g) 0.5𝑥 i) −2𝑦𝑦

b) 52𝑥𝑦 2 d) 5𝑦 f) 8𝑦𝑥 2 h) 13𝑦 2 ̅̅̅̅𝑦𝑥𝑦
j) 1. 25

Operaciones entre expresiones algebraicas.

Suma. Para sumar expresiones algebraicas, se reúnen los monomios semejantes o

términos semejantes. Así, lo que se hace es sumar los coeficientes y dejar la misma parte
variable.

Ejemplo 5. Observa la siguiente suma:

(5𝑥 2 + 3𝑥 + 1) + (−8𝑥 3 − 5𝑥 2 − 7𝑥 − 7) = 5𝑥 2 + 3𝑥 + 1 − 8𝑥 3 − 5𝑥 2 − 7𝑥 − 7
= −8𝑥 3 + 0𝑥 2 − 4𝑥 − 6
= −8𝑥 3 − 4𝑥 − 6

Diferencia. Se reúnen términos semejantes, teniendo en cuenta que el sustraendo debe

cambiar los signos de sus términos, pues el signo menos que lo antecede afecta los signos.

Ejemplo 6. Observa la siguiente suma:

(−9𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 2𝑥 + 1) − (𝑥 2 + 5𝑥𝑦 − 10𝑥 + 5) = −9𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 2𝑥 + 1 − 𝑥 2 − 5𝑥𝑦 + 10𝑥 − 5

= −10𝑥 2 + 12𝑥 − 4 − 2𝑥𝑦

Ejercicio 6. Al resolver (𝑥 2 + 2𝑥 + 1) − (3𝑥 4 − 4𝑥 2 + 2𝑥) queda:

a) −3𝑥 4 + 5𝑥 2 + 1 c) 12𝑥10 + 1
4 2
b) −3𝑥 − 5𝑥 + 4𝑥 + 1 d) −3𝑥 8 + 5𝑥 4 + 1

Producto. El producto entre expresiones algebraicas se fundamenta en dos cosas:

La multiplicación de monomios. Se multiplican coeficientes entre sí y la parte variable entre

sí, empleando las propiedades de exponentes estudiadas anteriormente.
(2𝒙𝟐 𝑦𝒛)(−3𝒙𝒛) = −6𝑥 3 𝑦𝑧 2

Ejercicio 7. Realiza los siguientes productos:

a) (−2𝑥 2 𝑦 3 𝑧 −2 )(6𝑥𝑦𝑧𝑤) =

2
b) (3 (𝑎𝑏𝑐 2 )2 ) (5𝑎2 𝑏𝑐 3 ) =

La propiedad distributiva. Esta consiste en:

Multiplicar cada término de un factor por el respectivo término del siguiente factor

(2𝑥 + 𝑦)(−5𝑥𝑦 + 3𝑦) = (2𝑥)(−5𝑥𝑦) + (2𝑥)(3𝑦) + (𝑦)(−5𝑥𝑦) + (𝑦)(3𝑦)

= −10𝑥 2 𝑦 + 6𝑥𝑦 − 5𝑥𝑦 2 + 3𝑦 2

35
Productos notables
Algunos productos que usualmente aparecen en el contexto algebraico son los siguientes.
Puedes memorizar tales reglas, o puedes tomar el camino de uso de la propiedad
distributiva.

Producto 1. (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Ejemplo 7. (3𝑎 + 5𝑏)2 = (3𝑎)2 + 2(3𝑎)(5𝑏) + (5𝑏)2 = 9𝑎2 + 30𝑎𝑏 + 25𝑏2

Producto 2. (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Ejemplo 8. (5𝑥𝑦 − 3𝑦)2 = (5𝑥𝑦)2 − 2(5𝑥𝑦)(3𝑦) + (3𝑦)2 = 25𝑥 2 𝑦 2 − 30𝑥𝑦 2 + 9𝑦 2

Producto 3. (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2

2
Ejemplo 9. (3𝑥 + √5)(3𝑥 − √5) = (3𝑥)2 − (√5) = 9𝑥 2 − 5

Producto 4. (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

Ejemplo 10. (3𝑥 + 2)3 = (3𝑥 )3 + 𝟑(𝟑𝒙)𝟐 (𝟐) + 3(3𝑥)(2)2 + (𝟐)𝟑 = 27𝑥 3 + 54𝑥 2 + 36𝑥 + 8

Producto 5. (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3

Ejemplo 11.
(𝑎 − 3𝑏)3 = (𝒂)𝟑 − 3(𝑎)2 (3𝑏) + 𝟑(𝒂)(𝟑𝒃)𝟐 − (3𝑏)3 = 𝑎3 − 9𝑎2 𝑏 + 27𝑎𝑏2 − 27𝑏3

Representación algebraica. Las letras son empleadas usualmente en el contexto de las

matemáticas para representar números reales. Es decir, que dentro de un conjunto que
puede representar una magnitud determinada y no se tiene certeza de qué valor toma,
entonces se emplea una letra para representar ese valor desconocido. A esta letra la
llamarás variable. Fortalecerás la representación simbólica de situaciones en diversos
contextos.

Ejemplo 12. Las siguientes son expresiones representadas por una variable.

1. El número de caracteres en un mensaje de Instagram.

Esta cantidad se puede representar por la variable 𝑥.

2. El número de bacterias presentes en un recinto cerrado.

Esta cantidad se puede representar por la variable 𝑧.

Uno de los propósitos del álgebra consiste en dar representación a través de un lenguaje
artificial de situaciones o eventos cotidianos. Este lenguaje que se emplea consiste en el
lenguaje matemático, que simplifica situaciones, expresiones o problemas y los reduce a
una o varias expresiones algebraicas. Las variables que forman parte de las expresiones
algebraicas, dan vida a las magnitudes del problema.

36
Ejemplo 13. Representa las situaciones a continuación a partir de expresiones algebraicas.

El perímetro de un rectángulo.
Un rectángulo es un polígono de cuatro lados, en donde cada par de lados opuestos son
paralelos. El perímetro de un polígono es la suma de las medidas de sus lados. Si la base
la nombras por 𝑏, la altura por 𝑎 y el perímetro por 𝑃 entonces, observa la gráfica siguiente.

𝑃 = 𝑏 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 = 2𝑎 + 2𝑏 ⇒ 𝑷 = 𝟐𝒂 + 𝟐𝒃

La utilidad de producción y venta de artículos.

La utilidad 𝑈 o ganancia de una empresa por la producción y venta de 𝑥 cantidad de artículos
dependen, de los costos de producción y de los ingresos. Los costos totales corresponden
al valor que asume la empresa por la fabricación de los artículos, pero los costos pueden
ser variables 𝑐𝑣 , el cual depende de los niveles de producción; y costos fijos 𝑐𝑓 , que si o sí
se debe asumir así haya o no haya producción [servicios, servicios de telefonía, etc]. Los
costos totales son 𝑐𝑡 = 𝑐𝑣 + 𝑐𝑓 . La utilidad es la diferencia entre los ingresos y los costos
totales. Es decir,
𝑈 = 𝑖 − 𝑐𝑡 = 𝑖 − (𝑐𝑣 + 𝑐𝑓 ) = 𝑖 − 𝑐𝑣 − 𝑐𝑓 ⟹ 𝑈 = 𝑖 − 𝑐𝑣 − 𝑐𝑓

Ejercicio 8. Marca la representación correcta al enunciado: “La quinta parte de la suma del
cuadrado de la suma de dos números y la raíz cuadrada del producto de los mismos”
2 5
(𝑥 2+𝑦 2 ) +√𝑥𝑦
a) c) ((𝑥 2 + 𝑦 2 ) + √𝑥𝑦)
5
2(𝑥 2 +𝑦 2 )+√𝑥𝑦 1
b) d) ((𝑥 + 𝑦)2 + √𝑥𝑦)
5 5

MOMENTO 4: EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

Problemas sugeridos al estudiante para fortalecer sus competencias matemáticas y dar alcance a los resultados de aprendizaje.

Ejercicios para iniciar

1. Indica el número de factores que tienen los siguientes monomios:

a) 2𝑥 2 𝑦 [_ _ _ _ _ ] b) 𝑥 4 [_ _ _ _ _ ] c) −𝑥𝑦𝑧 [_ _ _ _ _ ]

2. De la expresión, −3𝑥 3 𝑦 + 5𝑥 2 − 𝜋 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 + 4𝑥 − 5𝑦 + 7, determina:

a) El grado d) Número de factores en cada término

b) Coeficiente principal e) Término independiente

c) Número de términos f) El valor cuando 𝑥 = 0, 𝑦 = −1, 𝑧 = 0

3. Resuelve 𝑥(2𝑥 2 + 3𝑥𝑦) − 𝑦(5𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ).

37
4. Resuelve 2[𝑎2 − 2𝑎[3𝑎 − 5(𝑎2 − 2)]] + 7𝑎2 − 3𝑎 + 6

5. El resultado de simplificar la expresión 𝑥(2𝑥 + 5) − 3𝑥(𝑥 − 1)2 − (8𝑥 2 + 2𝑥) es:

a) −3𝑥 3 − 3𝑥 2 − 2𝑥 c) −3𝑥 3 + 16𝑥 2 + 2𝑥
b) −3𝑥 3 d) −3𝑥 5 − 6𝑥 2 + 6

6. Representa las siguientes situaciones:

a) La corriente de un circuito ⇒

b) Un número aumentado en su duplo ⇒

c) Un número aumentado en su cuadrado ⇒

d) El duplo de un número aumentado en el cuadrado de su duplo ⇒

e) La semisuma de un número y su cubo ⇒

f) Cinco veces un número natural arbitrario disminuido en la raíz cuadrada de tres,

multiplicado por la semisuma del mismo número natural más cuatro ⇒

g) El área superficial y volumen de una caja en forma cúbica tiene arista de longitud 𝑥,
en términos de la longitud 𝑥.
1
7. ¿Puedo asegurar que 𝑥 −1 + 𝑦 −1 = 𝑥+𝑦 ?

8. Racionaliza numerador o denominador respectivamente en:

3−√2
a)
√𝑥−5

9
b) 2√𝑥−3√𝑦

9. Hay tres productos en una bodega. 𝑋, 𝑌, 𝑍. La cantidad de artículos 𝑋 es el doble de la

cantidad de unidades de 𝑍, la cantidad de unidades de 𝑌 es tres veces la cantidad de
unidades de 𝑥 y la cantidad de unidades de 𝑍 suma tanto como las unidades de 𝑋 y de
𝑌. Escriba la cantidad total de unidades que hay en la bodega.

Ejercicios complementarios

10. Escribe expresiones algebraicas con las siguientes condiciones.

a) Monomio de 5 factores.
b) Binomio en las variables 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑.
c) Trinomio en la variable 𝑧.
d) Polinomio de 4 términos en las variables 𝑥, 𝑦.

38
11. Representa simbólicamente los siguientes enunciados:
a) El área de un rectángulo que tiene por ancho 12 𝑐𝑚.

b) La suma de los cuadrados de dos números menos la semisuma de los mismos

disminuida en 5.

c) La suma de tres enteros consecutivos.

d) Cada par de zapatos se vende a 𝐶𝑂𝑃75000 pesos. Escribe la expresión para el

ingreso obtenido por venta de 𝑥 cantidad de pares de zapatos.

e) El producto de dos números pares consecutivos equivale al doble del par sucesor del
segundo de los números pares.

f) El área de un cuadrado cuya diagonal mide 𝑑 centímetros. [Teorema de Pitágoras]

g) La suma de dos números es 55 y su producto es 684.

h) Una caja de base cuadrada se fabricará con una lámina cuadrada de longitud 𝑙,
donde se cortará de sus esquinas cuadrados de longitud 𝑥. Escribe el volumen y área
superficial de la caja en términos de 𝑙 y 𝑥.

i) Con una lámina rectangular se va a fabricar una caja sin tapa. Escriba una expresión
para el área y volumen de la caja. [Área: Suma de las áreas de las caras. Volumen.
𝑉 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 × 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎].

j) La diagonal de un polígono es un segmento que está definido por dos vértices no

consecutivos. Dibuja un rectángulo de base 𝑏 y altura 𝑎. Expresa la longitud de la
diagonal del rectángulo en término de uno de sus lados. Usa el Teorema de
Pitágoras.

12. El resultado de simplificar 2𝑥 + 3𝑥(𝑥 − 1) + (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) es:

a) 4𝑥 2 − 5𝑥 − 2 c) 4𝑥 2 − 2𝑥 − 2
b) 6𝑥 2 − 5𝑥 − 2 d) 6𝑥 2 − 6𝑥 − 2

13. Simplifica 3𝑥 2 + 2𝑥 − 3𝑥(𝑥 3 + 𝑥 − 2) + (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) + 1.

3 1 2 3 4 −1
14. Simplifica al máximo la expresión (2 𝑥 + 2) − (4 𝑥 2 + (7) ).

15. Resuelva (2𝑥 − 3𝑥 3 )2 − 3𝑥 2 + 11𝑥 4 − 8𝑥 6.

16. Elige la representación del enunciado: “El cuadrado de la suma de dos números,
disminuido en la semisuma de los dos números”.
(𝑥+𝑦)2 −(𝑥+𝑦) 𝑥−𝑦 (𝑥+𝑦)2 𝑥+𝑦
a) b) (𝑥 + 𝑦)2 − 2 c) (𝑥 + 𝑦)2 − d) (𝑥 + 𝑦)2 − 2
2 2

17. Al efectuar 2[𝑎2 − 2𝑎[3𝑎 − 5(𝑎2 − 2)]] + 7𝑎2 − 3𝑎 + 6 queda:

a) 20𝑎3 − 3𝑎2 − 43𝑎 + 6 c) 8𝑎3 + 9𝑎2 − 43𝑎 + 6
3 2
b) −10𝑎 + 13𝑎 + 17𝑎 + 6 d) 20𝑎3 + 3𝑎2 + 4a + 6
39
18. El resultado de simplificar 𝑥(2 − 𝑥) + (𝑥 + 4)(2 − 𝑥) + 3𝑥 es:
a) 2𝑥 2 + 5𝑥 − 8 c) −𝑥 2 + 6𝑥 − 8
b) −2𝑥 2 + 3𝑥 + 8 d) 2𝑥 2 + 3𝑥 − 8

19. Al efectuar 2𝑥(5𝑥 + 2) − (2𝑥 + 1)(𝑥 − 1) + (𝑥 + 3)2 queda:

a) 9𝑥 2 + 13𝑥 + 10 c) 8𝑥 2 + 11𝑥 + 10
2
b) 9𝑥 + 11𝑥 + 10 d) 13𝑥 2 + 12𝑥 + 8

20. Al simplificar (3𝑦 4 − 2𝑦 2 + 8𝑦 − 15) − (7𝑦 5 − 4𝑦 4 + 9𝑦 − 1) queda:

a) −7𝑦 5 + 7𝑦 4 − 2𝑦 2 − 𝑦 − 14 c) −7𝑦 5 + 7𝑦 4 − 2𝑦 2 − 17𝑦 − 14
b) 7𝑦 5 − 7𝑦 4 − 2𝑦 2 − 𝑦 − 16 d) 7𝑦 5 − 𝑦 4 − 2𝑦 2 − 𝑦 − 16

2 2
21. Al efectuar (5 𝑥 + 1) (5 𝑥 − 1) queda:
4 4 4 2
a) 𝑥2 − 1 b) 𝑥2 − 1 c) 𝑥2 + 1 d) 𝑥2 + 1
5 25 25 25

22. Efectuar las siguientes operaciones:

a) (3𝑥 5 − 2𝑥 4 + 3𝑥 2 − 1) − (6𝑥 5 − 2𝑥 3 + 𝑥 2 − 1)
3
b) −2(3𝑥 3 − 𝑥 + 1) − 2 (2𝑥 3 + 5𝑥 2 + 7𝑥 + 1)
c) −3(𝑎2 𝑏 − 2𝑏 + 3𝑎) − 3(𝑎2 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑏) + 4𝑎𝑏
d) (8𝑎4 + 7𝑎2 𝑏2 + 6𝑏4 ) + (7𝑎4 − 𝑎3 𝑏 + 𝑎2 𝑏2 − 8𝑎𝑏3 + 5𝑏4 )
1 3
e) (4𝑦 2 + 2 𝑦 + 1) − 5(5 𝑦 2 + 2𝑎 − 1)
f) −2𝑥{2𝑥 − 3𝑥(𝑥 2 − 2𝑥 + 1) + 3(𝑥 2 + 5𝑥 + 3)(𝑥 + 1))}

23. Resuelve (𝑥 2𝑛 − 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑦 𝑛+1 )(𝑥 2𝑛 + 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑦 𝑛+1 ).

24. Resuelve (𝑥 2 + 𝑥 + 1)(𝑥 2 − 2𝑥 − 1) y usa la igualdad 𝑥 2 − 𝑥 + 1 = 0 para verificar que

este producto es −6𝑥 + 2.

25. Resuelve los siguientes productos notables. Puedes también hacer uso de la propiedad
2
a) (√2𝑥 + 5𝑦) =

2
b) (√2𝑥 2 − 𝜋𝑥𝑦 3 ) =

c) (𝑥 + 4)(𝑥 − 4) =

1 1
d) (3𝑎 − 2 𝑏) (3𝑎 + 2 𝑏) =

e) (√𝑥 + 3)(√𝑥 − 3) =

26. Racionaliza las siguientes expresiones:

3𝑥
a)
√𝑥+4

40
 1−𝑥
b)
√𝑥−1

𝑥−1
c)
√𝑥−1

2
d)
√𝑥+ℎ+2

1
27. Demuestre que 𝑎𝑏 = 2 [(𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎2 + 𝑏2 )].

28. Escriba el área total del cuadrado como suma de las áreas de sus
regiones componentes.

29. El volumen de un cilindro de radio 𝑟 se puede hallar a través de la expresión

𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ, donde ℎ es la altura del cilindro. La figura siguiente se puede
llamar casquete cilíndrico. Si el cilindro interior tiene radio menor 𝑟 y el
exterior tiene radio mayor 𝑅, escriba el volumen del casquete cilíndrico.

30. Para cada situación siguiente, realiza un gráfico y escribe la expresión algebraica para:
a) El área y perímetro de un rectángulo de base 𝑥 y altura 𝑦.
b) El volumen de un paralelepípedo.
c) El volumen de una arandela.
d) El área superficial y volumen de una caja con tapa.
e) El área superficial y volumen de una caja sin tapa que se forma a partir de una lámina
cuadrada y en donde se cortan en sus esquinas cuadrados de lado 𝑥.
f) El área total entre un cuadrado y un triángulo que se forman con un alambre de
longitud 𝐿 y en el cual se corta en algún punto para formar dichas figuras.

(𝑎+𝑏)−1
31. ¿Puedo afirmar que 𝑎−1+𝑏−1 = 1?

32. Un cubo tiene arista 𝑎. Emplea el Teorema de Pitágoras para expresar la longitud de la
diagonal 𝑥 en términos de su lado 𝑎.

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