1.

Dada la siguiente ecuación diferencial: (4 puntos)

a) ¿Dicha ecuación diferencial es exacta? Demuestre

b) Si en caso no es exacta, mediante un factor integrante, resuelva la ED.

SOLUCION

a) Determinamos si es exacta. Derivamos parcialmente a M:

∂ M ∂ ( cos 2 y−sen x )
= =−2 sen 2 y
∂y ∂y

Ahora, derivamos parcialmente a N

∂ N ∂ (−2 tanxsen 2 y )
= =−2 sen 2 y . sec 2 x
∂x ∂x

Entonces como:

∂M ∂N
≠
∂ y ∂x

La ecuación diferencial no es exacta

b) Transformando a exacta mediante un factor integrante:

∂ M ∂N
−
∂ y ∂x
( )
R x=
N (x , y )

2
−2 sen 2 y +2 sen 2 y . sec x
R ( x )=
−2 tanx . sen 2 y

Sacando factor común:

2
2 sen 2 y (−1+ sec x)
R ( x )=
−2 tanx . sen 2 y
Simplificando:
 2
(−1+ sec x )
R ( x )=
−tanx

2
tan x
R ( x )=
−tanx

R ( x )=−tanx

Luego el F.I.

e∫ =e ∫
−tanx . dx − tanx . dx ln ⁡(cosx )
=e =cosx
Ahora multiplicamos la ED no exacta por el factor integrante:

cosx [ ( cos 2 y−sen x ) dx + (−2 tanxsen2 y ) dy ] =0

( cos x cos 2 y−cos x sen x ) dx + (−2 cos x tanxsen2 y ) dy=0

( cos x . cos 2 y−cos x . sen x ) dx+ (−2 sen x . sen 2 y ) dy=0 … … .(1)
Comprobamos:

Derivamos parcialmente a M:

∂ M ∂ ( cos x . cos 2 y−cos x . sen x )

= =−2 cos x sen 2 y
∂y ∂y

Ahora, derivamos parcialmente a N

∂ N ∂ (−2 sen x . sen 2 y )

= =−2 cos x sen 2 y
∂x ∂x

Entonces como:

∂M ∂N
=
∂ y ∂x

La ecuación diferencial ( 1 ) es exacta

Resolvemos dicha ecuación por función potencial:

∫ M ( x , y ) dx=∫ ( cos x . cos 2 y−cos x . sen x ) dx=∫ ( cos x . cos 2 y ) dx−¿∫ ( cos x . sen x ) dx ¿
2
cos x
¿ senx. cos 2 y + +C
2
 ∫ N ( x , y ) dy =∫ (−2 sen x . sen 2 y ) dy=−2 sen x ∫ sen 2 y dy=−senx∫ sen 2 y ( 2 ) .dy
¿ senx. cos 2 y +C

Finalmente obtenemos la solución general:

2. Un tanque de 10 lt de capacidad que está inicialmente lleno de agua pura, recibe una disolución salada
con una concentración de sal de 0,3 kg/lt a una velocidad de 2 lt/min. La solución dentro del tanque se
mantiene agitada y fluye hacia el exterior a una velocidad de 2 lt/min. (4 puntos)

¿Cuál es la máxima cantidad de sal que se puede acumular en el tanque?

SOLUCION

v e= ( 0.3 kg /¿ )( 2<¿ min )=0.6 kg/min

 v s= ( x10(t ) kg /¿) ( 2<¿ min )= 2 x10(t) kg/min ¿ 0.2 x kg/min

dx
=0.6−0.2 x
dt

dx
=dt
0.6−0.2 x

dx
∫ 0.6−0.2 x =¿ ∫ dt ¿

−1 (−0.2 ) dx
∫
0.2 0.6−0.2 x
=¿ t+C ¿

−1
ln ( 0.6−0.2 x )=t+ C
0.2

ln ( 0.6−0.2 x )=−0.2 t+C

Despejando:

( 0.6−0.2 x )=C . e−0.2 t

−0.2 t
0.2 x=C . e + 0.6
Luego:

−0.2 t
x=C .e +3

Por condición inicial: x=0 → t=0

−0.2 (0 )
0=C . e +3

C=−3

Por tanto, el modelo final para calcular la cantidad de sal en cualquier instante es:

−0.2 t
x=3−3 e
3. Un termómetro que indica 70 °F se coloca en un horno precalentado a temperatura constante. A través
de una ventana de vidrio del horno, un observador registra que la temperatura es de 110 °F después de
medio minuto y de 145 °F después de un minuto. ¿A qué temperatura está el horno? (4 puntos)

SOLUCION
4. Dada la siguiente ecuación diferencial no homogénea, resuelva con uno de los métodos estudiados que
crea conveniente. (4 puntos)
 SOLUCION

5. Usando el método de variación de parámetros, resolver la siguiente ecuación:

(4 puntos)

2 ''' '' ' ln x

x y −x y + y =
x

SOLUCION

Determinemos primero la solución general de la ecuación homogénea asociada:

 x 3 ( m3 −3 m2 +2 m ) x m−3−x 2 ( m2−m) x m−2 + xm x m−1=0
3 2 2
m −3 m +2 m−m +m+m=0
3 2
m −4 m + 4 m=0

Por tanto, las raíces de la ecuación son:

m1=0 ; m2=m3=2

en consecuencia, la solución de la ecuación homogénea es:

2 2
y c =C 1+ C2 x +C 3 x lnx

La ecuación Cauchy Euler, dividimos entre x 3 luego tenemos:

' '' 1 ' ' 1 ' ln x

y − y + 2 y= 3
x x x
 2
lnx 1 lnx ln x
u1=∫ dx= ∫ dx=
4x 4 x 8

lnx(2 lnx+1)
−
x2 −1 lnx ( 2 lnx+1 ) ln 2 x 6 ln x 3
u2=∫ dx= ∫ 3
= 2+ 2
+ 2
4x 4 x 4 x 16 x 16 x

2lnx
2
x 1 lnx −lnx 1
u3=∫ dx= ∫ 3 dx= 2
− 2
4x 2 x 4x 8x

Calculamos y p :

y c =u1 y 1 +u2 y 2+u 3 y 3

( ) ( )
2 2
ln x ln x 6 ln x 3 2 −lnx 1 2
yc= + 2
+ 2
+ 2
x+ 2
− 2 x lnx
8 4 x 16 x 16 x 4x 8x

2 2 2
ln x ln x 6 3 ln x 1
yc= + + ln x +¿ − − lnx ¿
8 4 16 16 4 8
2
ln x ln x 3
yc= + +
8 4 16

Por lo tanto, la solución general de la ecuación es:

y ( x )= y c + y p

2
2 2 ln x ln x 3
y ( x )=C1 +C 2 x +C 3 x lnx+ + +
8 4 16

2
2 2 ln x ln x
y ( x )=C1 +C 2 x +C 3 x lnx+ +
8 4