1.

Realiza lo que se indica, posteriormente ingresa al Foro para participar:

Seleccionar un ejercicio de dificultad media de las referencias proporcionadas que denoten la
aplicación de cada tipo de integral descrita a continuación (5 ejercicios en total):

Integral de línea
Integral de superficie
Integral de volumen
Integral doble
Integral triple

Resolver cada ejercicio y presentar la información generada de forma ordenada conforme a los
siguientes rubros:

Planteamiento del problema

Procedimiento (operaciones)
Solución (graficación y resultados)
Se pueden obtener interpretaciones, valores e incluso cálculos mediante software, sin
embargo se sugiere ampliamente que esto solo sea un auxiliar, no una respuesta a los
ejercicios.

2. Realiza la actividad en un procesador de textos e incluye las gráficas o imagenes de capturas

de pantallas en caso se utilizar algún software.

1. Integral de Línea:
 Planteamiento del problema
x3
❑ 2
Calcular la integral de trayectoria ∫ ds donde r⃗ es la trayectoria y= x entre (0,0) y (2,2)
⃗r y 2
 Procedimiento
Parametrizando:
x=t

{
⃗
y=
t
2
2
( 0 ≤ t ≤ 2 ) =¿ ⃗r ( t ( )
) = t ,
t2
2

r ' ( t )=( 1 ,t )=¿∨⃗ r ' ( t )∨¿ √ 1+t 2

Sustituyendo:
2 2 3
t3
∫ 2
√ 1+ t2 dt=∫ 2t √1+t 2 dt= 23 ( 1+t2 ) 2 20 = 23 ( √15−1 )
|
0 t 0
2
 Solución
2
La respuesta es ( √ 15−1 )
3
 2. Integral de superficie
 Planteamiento del problema
Calcule el área de la porción de superficie cónica x 2+ y 2=z 2 situada por encima del plano z = 0
y limitada por la esfera x 2+ y 2+ z 2=2 ax .

 Procedimiento
Hemos de parametrizar la superficie de la cual hay que hallar el área, esto es, la hoja superior
(pues z ≥ 0) del cono x 2+ y 2=z 2 . Como S es la gráfica de la función z=√ x 2+ y 2= f(x, y) sobre
la región D (que queda definida por la intersección del cono y la esfera)
2 2 2 2 2
x + y =z a a
2 2 2
x + y + z =2 ax 2 ( )
}→ 2 ( x 2 + y 2 )=2 ax → x− + y 2=
4
2 2
a a
{ ( )
D= ( x , y ) ∈ R2 : x − + y 2 ≤
2 4 }
Entonces S = r(D) siendo r la parametrización:
r ( x , y ) =( x , y , √ x 2 + y 2 )
El producto vectorial fundamental es

N ( x , y )= ( −∂ f∂(xx , y ) ,− ∂ f ∂( xy, y ) , 1)=( √ x−x+ y ,− √ x y+ y , 1)

2 2 2 2

|N ( x , y )|=√ 2
El área queda
a2
❑ ❑
A=∫∫ |N ( x , y )|dxdy=√ 2∫∫ dA ' =¿ √ 2 π ¿
D D 4
 Solución
a2
El área es A=√ 2 π
4

3. Integral de volumen
 Planteamiento del problema
Calcular el volúmen del cuerpo limitado por:

 Procedimiento
Su proyección sobre el plano XY es la región R del primer cuadrante limitada por los ejes
x y
coordenados y la astroide de ecuación

sencillamente
√ √
a
+
b
=1, de modo que el volumen es

2 2

❑
( √ ax −√ yb )
c 1−
a √ ax
b(1− )
2
x y abc
V =∫∫ ∫ dz=∫ dx ∫ c
R 0 0 0
( √ √)
1−
a
−
b
dy=
90
 Solución
abc
El Volumen V =
90

4. Integral doble
 Planteamiento del problema
π cosθ
Resolver ∫ ∫ rsenθdrdθ
1 0

 Procedimiento

π cosθ π
1
rsenθdrdθ= ∫ senθ ( r 2 ) cosθ dθ
∫∫
1 0
π
21 | 0
1
co s θ|π =0.1929
2 −1 3
¿ ∫ co s θsenθdθ=
2 1 6 1

 Solución
π cosθ

∫ ∫ rsenθdrdθ=0.1929
1 0

5. Integral triple
 Planteamiento del problema
π
2 y2 y
Resolver
∫∫∫ cos ( xy ) dzdx dy
0 0 0

 Procedimiento
 π π
2 y2 y 2 y2

∫∫∫ cos ( xy ) dzdxdy=∫∫ zcos ( xy ) 0y dxdy |

0 0 0 0 0
π π
2 y2 2
x x y2
¿ ∫ ∫ ycos
0 0
()y
dxdz=∫ y 2 sen
0 y 0
dy ( )|
π π
2 2

¿ ∫ y 2 sen ( y ) dy=− y 2 cos ( y ) +∫ 2 ycos ( y ) dy

0 0
π

[ 2

¿− y 2 cos ( y ) +2 ysen ( y )−∫ sen ( y ) dy

0
]
¿ [ ( 2− y 2 ) cos ( y )+ 2 ysen ( y ) ] π /2=1.1415
| 0
 Solución
π
2 y2 y

∫∫∫ cos ( xy ) dzdxdy=1.1415

0 0 0

responde las siguientes preguntas de reflexión:

¿Qué diferencias y semejanzas encuentras en cada tipo de aplicación del cálculo vectorial?

El cálculo vectorial, análisis vectorial o cálculo multivariable es un campo de las matemáticas

referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la
geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy
útiles para la ingeniería y la física.

Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y
campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la
temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de
temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto
asociamos un vector de velocidad.

Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:

- Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de

un campo escalar es un campo vectorial.
- Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un
punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial.
- Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia
ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.
- Laplaciano: relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con
otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.

¿Qué planteamientos se describen con la utilización de integrales dobles y triples?

Las funciones vectoriales y las funciones escalares de varias variables tienen una amplia
aplicación en diversos campos de las ciencias. Las integrales dobles y triples son muy útiles en
el cálculo de volúmenes, áreas de superficies, masas, centroides, centros de gravedad.
También se utilizan en el cálculo de probabilidades, valores esperados, varianzas, cuando
aparecen variables aleatorias bivariantes o trivariantes.

¿A qué se refiere la denominada suma de Riemman y qué aplicación concreta tiene para el
cálculo vectorial?
Se llama así en honor al matemático alemán del siglo XIX, Bernhard Riemann. La suma se
calcula dividiendo la región en formas (rectángulos) que juntas forman una región que es
similar a la región que se está midiendo, luego calculando el área para cada una de estas
formas y, finalmente, agregando todas estas pequeñas áreas juntas. Para una suma
unidimensional de Riemann sobre dominio [a,b], a medida que el tamaño máximo de un
elemento de partición se reduce a cero (es decir, el límite de la norma de la partición tiende a
cero), algunas funciones harán que todas las sumas de Riemann converjan al mismo valor. Este
valor límite, si existe, se define como la integral de Riemann definida de la función sobre el
dominio. Éste enfoque es el que se adopta en el cálculo vectorial.