INSTITUCION EDUCATIVA SEGOVIA

1. Identificación
Área: ciencias naturales
Asignatura o disciplina: física
Unidad o eje temático: movimiento de proyectiles
Tema: movimiento de proyectiles
Grado: 10° Grupo: 01 Año lectivo: 2024
Docente: Carlos Antonio Rivas Pereira

Estándar
Verifico relaciones entre distancia recorrida, velocidad y fuerza involucrada en diversos tipos
de movimiento.
Derechos básicos de aprendizaje (DBA)
comprende que el movimiento de un cuerpo, en un marco de referencia inercial dado, se puede
describir con gráficos y predecir por medio de expresiones matemáticas.
Competencias
 Describe el movimiento de un cuerpo (rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado
en dos dimensiones – circular uniforme y parabólico) en gráficos que relacionan el
desplazamiento, la velocidad y la aceleración en función del tiempo.
 Predice el movimiento de un cuerpo a partir de las expresiones matemáticas con las que
se relaciona, según el caso, la distancia recorrida, la velocidad y la aceleración en
función del tiempo.
 Identifica las modificaciones necesarias en la descripción del movimiento de un cuerpo,
representada en gráficos, cuando se cambia de marco de referencia.

Sección #1 Tiempo: 1 hora

Inicio

La clase iniciara con un saludo general, seguidamente se verifica que el salón este en orden y se
toma la asistencia. Como es el caso de la primera clase me presentare de una manera formal y
realizare los pactos de aula.
Pasado todo esto pediré la colaboración de 2 alumnos para realizar una actividad, la cual consiste
en teniendo una pelota, se ubicaran uno al lado derecho y el otro de la derecho, se le pregunta su
nombre y se les relaciona con nombres de jugadores profesionales y luego se les pedirá que cada
uno hagan unas pirinolas o chicos (dependiendo de cómo le llamen los alumnos allí) después que
cada uno lo haya hecho se le pedirá que se distancien un poco más y ahora se pasaran la pelota el
uno de tal manera que la pelota tenga elevación (que forme una parábola). De allí les realizare las
siguientes preguntas para todo el grupo ¿Qué tipo de trayectoria realiza la pelota? ¿Qué
características físicas del movimiento de la pelota pueden observar? Esto con el fin de explorar
los conocimientos previos relacionados con la temática a abordar tienen los alumnos.
Desarrollo de la clase
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En este momento comienza la puesta en común de la clase, en donde se comienza tratando que es
el movimiento de proyectiles y sus características.

Movimiento de proyectiles:
Supongamos que se lanza un objeto, con velocidad v0,
que forma con la horizontal un ángulo θ (figura 17). La
velocidad inicial tiene dos componentes: v 0 x y v 0 y, las
cuales se determinan por:
v 0 x =v 0 cos θ

v 0 y =v 0 sin θ

Al igual que en el lanzamiento horizontal, este

movimiento resulta de la composición de dos
movimientos: uno vertical, con velocidad v 0 y, que
corresponde al de un objeto lanzado hacia arriba y que
regresa a la tierra, y otro horizontal con velocidad
constante v 0 x (figura 18). La aceleración en el movimiento
vertical hacia arriba es igual aceleración cuando se dirige
hacia abajo. El cuerpo al ascender disminuye la velocidad
hasta que, por un instante, su velocidad vertical es cero,
en el punto más alto, y luego desciende empleando en
regresar al nivel desde el que fue lanzado, el mismo
tiempo que cuando subió.
El movimiento del proyectil es la composición de un
movimiento vertical bajo la acción de la aceleración de la
gravedad (MRUA) y un movimiento horizontal en el que
se realizan desplazamientos iguales en tiempos iguales
(MRU).
Nota: cuando se menciona la palabra proyectil, se hace
referencia a cualquier objeto que sea lanzado.
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Características del movimiento de proyectiles:

 El movimiento de un proyectil es una combinación de movimiento horizontal con velocidad
Ya después de(MRU)
constante haber tratado los conceptos
y, movimiento decon
vertical el movimiento
aceleración de proyectiles,
constante se les pedirá a los
(MRUA).
alumnos que se organicen
La trayectoria en grupos
del movimiento de 5 integrantes
describe para realizar la siguiente actividad
una parábola.
 Tanto el movimiento horizontal como vertical son independientes entre sí.
Finalización

Nombre: diseño de trayectorias

Objetivo: evaluar la comprensión de los conceptos de movimiento de proyectiles, incluyendo
ángulos de lanzamiento, alcance y altura máximos.
Materiales: hojas de papel y lápices de colores

Instrucciones:
 Se dividen a los alumnos en grupos pequeños.
 Cada grupo deberá sacar una hoja y lápices de distintos colores.
 Se le pide a cada grupo que diseñe tres trayectorias de proyectiles en su hoja de papel.
Deben dibujar estas trayectorias sin realizar cálculos matemáticos precisos, solo
basándose en sus conocimientos conceptuales.
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Requisitos para las trayectorias:

 Una trayectoria con un ángulo de lanzamiento bajo.
 Una trayectoria con un ángulo de lanzamiento medio.
 Una trayectoria con un ángulo de lanzamiento alto.

Análisis de trayectorias:
Una vez que los grupos hayan dibujado sus trayectorias se le pide a cada grupo que explique su
diseño y las características de cada trayectoria, también una discusión de cuál de las trayectorias
alcanzara mayor altura, cual tendría mayor alcance horizontal y ¿Por qué?
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Sección #2 Tiempo: 1 hora

Inicio

La clase iniciara con un saludo general, seguidamente se verifica que el salón este en orden y se
toma la asistencia.
Como en la sección anterior se trabajo solo la parte conceptual y se trato de entender el concepto
físico del movimiento de proyectiles con los ejemplos y las actividades que se realizaron, para
esta sección nos centraremos en ese componente matemático que también se debe desarrollar
para realizar las predicciones y analizar más a fondo los fenómenos relacionados con esta
temática.
Desarrollo de la clase

Primeramente, nos centraremos en deducir las ecuaciones de interés en este tipo de movimientos,
como lo son: componentes de la velocidad, altura máxima, tiempo de subida del proyectil, tiempo
de vuelo del proyectil y alcance horizontal del proyectil; para llevar a cabo esto se iniciará
planteando la siguiente situación.
Situación: un jugador de futbol patea la pelota con una velocidad inicial v 0, formando un ángulo
θ con la horizontal. Encontrar las expresiones para las componentes de la velocidad, la altura
máxima, tiempo de subida, tiempo de vuelo y alcance horizontal.

Fig. 1: imagen del futbolista pateando la pelota

Componentes de la velocidad
Para hallar las componentes de la velocidad descomponemos el
vector velocidad inicial v 0 el cual tiene un ángulo de inclinación θ
asi como se muestra en la imagen, se puede formar un triángulo
rectángulo con un ángulo θ , cateto adyacente al ángulo v 0 x y
cateto opuesto v 0 y utilizando identidades trigonométricas se
obtiene lo siguiente:
vx vy
cos ; sin
v0 v0

Despejando v x y v y, donde se obtienen las siguientes expresiones:

 ;

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Fig. 2: descomposición
del vector v 0

Fig. 3: Formación del

triángulo rectángulo
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Altura máxima que alcanza el proyectil

Cuando el futbolista patea la pelota esta comienza a subir hasta llegar a su altura máxima, en ese
punto la componente vertical de la velocidad es nula ( v y =0). Por lo tanto, de acuerdo con la
ecuación:
2 2
v −v i =2 ax
Remplazando v 2yen v 2, v 20 y en v 2i , −g en a y y max en x ; quedando la expresión de la siguiente
forma:
2 2
v y −v 0 y =−g y max

Despejando y max de la ecuación se obtiene

2 2
v y −v 0 y
y max =
−2 g
Como la pelota cuando alcanza su máxima altura, la componente vertical de la velocidad es nula,
es decir v y =0 entonces la expresión se reduce a la siguiente:
2
v0 y
y max =
2g
Reemplazando la expresión de v 0 y y se eleva al cuadrado, se obtiene la siguiente expresión:
2 2
v 0 sin θ
y max =
2g

Tiempo de subida del proyectil

El tiempo que tarda la pelota desde que es pateada hasta alcanzar su altura máxima se le llama
tiempo de subida, tomando la siguiente ecuación:
v y =v 0 sin θ−g t

Teniendo en cuenta que, en su altura máxima se tiene que v y =0 entonces

0=v 0 sin θ−g t
Ahora despejando t se obtiene la siguiente expresión para el tiempo de subida:
v 0 sin θ
t s=
g

Tiempo de vuelo del proyectil

El tiempo que dura el proyectil en el aire, es el doble del tiempo que dura de subida a su altura
máxima, entonces t v =2 t s
Por lo tanto, la expresión para el tiempo de vuelo es la siguiente:
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2 v 0 sinθ
t v=
g

Alcance horizontal del proyectil

Como el movimiento de la componente horizontal (eje x) es con velocidad constante, es decir,
describe un movimiento rectilíneo uniforme (MRU), el alcance máximo se puede obtener con la
siguiente expresión:
x max =v 0 cos θ t v
Remplazando el tiempo de vuelo por la expresión ya obtenida, queda:
2
2 v 0 cos θ sin θ
x max =
g
Utilizando las razones trigonométricas, se tiene que
sin 2 θ=2 sin θ cos θ
Y nos permite simplificar, para obtener el alcance máximo horizontal con la siguiente expresión:
2
v 0 sin 2 θ
x max =
g
De todo lo realizado anteriormente y observando las formulas obtenidas para el movimiento del
proyectil, se puede observar que la altura máxima, el tiempo de vuelo y el alcance horizontal del
proyectil dependen exclusivamente de la velocidad inicial y del ángulo de lanzamiento.

Finalización

para finalizar se propondrá un ejemplo para resolverlo con la participación de los alumnos, que se
escogerá de manera voluntaria y si no hay voluntarios se realizara el tingo tango para escoger a
los participantes, el ejemplo es el siguiente:
ejemplo: un cazador acostado en el suelo lanza una flecha con un ángulo de 60° sobre la
m
superficie de la tierra y con una velocidad de 20 . Calcular:
s
a) Altura máxima que alcanza la flecha.
b) Tiempo que dura la flecha en el aire.
c) Alcance horizontal de la flecha.
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Solución: Reemplazando los valores

a) Altura máxima:
Sección #3 Tiempo: 1 hora x max =2¿ ¿
Para hallar la altura máxima se utiliza la Inicio
realizando las operaciones se obtiene:
siguiente formula:
x max =35 ,34 m
2 2
v 0 sin θ
y max = Respuesta:
2g
La flecha que es lanzada con un ángulo de
Ahora reemplazando los valores
m
60° y velocidad de 20 , obtiene una
m
2 s
y max =(20 ) ¿¿ altura máxima de 15.3 m, tarda 3 , 53 s en
s
el aire y alcanza una distancia horizontal
realizando las operaciones se obtiene de 35 , 34 m.
y max =15.3 m

b) Tiempo de vuelo:
Para hallar el tiempo de vuelo se utiliza la
siguiente expresión
2 v 0 sinθ
t v=
g
Ahora reemplazando los valores
Fig. 4: imagen ilustrativa del ejemplo
m
2(20 )(sin 60 °)
s
t v=
m
9 ,8 2
s
Realizando las operaciones se obtiene:
t v =3 , 53 s

c) Alcance horizontal:
Para hallar el alcance horizontal se utiliza la
siguiente expresión:
2
2 v 0 cos θ sin θ
x max =
g
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La clase iniciara con un saludo general, seguidamente se verifica que el salón este en orden y se
verifica la asistencia.
En el afán de querer que los alumnos observen la aplicabilidad de la temática que se está
tratando, y en la observación realizada durante el proceso, los alumnos por medio de la resolución
de ejemplos le encuentran la utilidad del tema; por tal motivo esta sección se centrara en resolver
todos los ejemplos posibles.
Desarrollo de la clase

En este momento se plantearán varios ejemplos relacionados con el tema de movimiento de

proyectiles, con el fin de aprender a resolver ejercicios de este tipo, aprender a utilizar las
formulas y analizar para verificar las características del movimiento de proyectiles.
m
Ejemplo #1: un cañón dispara un proyectil con una velocidad de 360 y un ángulo de
s
inclinación 30°. Calcula:
a) La altura máxima que alcanza el proyectil.
b) El tiempo que dura el proyectil en el aire.
c) Alcance horizontal del proyectil.

Ejemplo #2: un jugador de tejo lanza el hierro con un ángulo de 18° y cae en un punto situado a
18 m del lanzador. ¿Qué velocidad inicial le proporciono al tejo?
Ejemplo #3: un bateador golpea la pelota con un ángulo de 35° y le proporciona una velocidad
m
de 18 . ¿Cuánto tarda la pelota en llegar al suelo? ¿a que distancia del bateador cae la pelota?
s
Ejemplo #4: calcular el ángulo con el cual debe ser lanzado un proyectil para que el alcance sea
máximo.
Ejemplo #5: ¿con que ángulo debe ser lanzado un objeto para que el alcance máximo sea igual a
la altura que alcanza el proyectil

Sección #4 Tiempo: 1 hora

Inicio

La clase iniciara con un saludo general, seguidamente se verifica que el salón este en orden y se
verifica la asistencia.
Con ayuda de una bolita de cristal o una similar y la meza que ocupa el docente en el aula se pone
a deslizar la bolita de cristal por la meza de tal manera que salga disparada fuera de la meza, se
intentará realizar en varias ocasiones.
Luego de haber mostrado la práctica, se le realizan las siguientes preguntas:
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¿Cómo describirían la trayectoria de la bolita de cristal?

¿la pelota se mueve solo en línea recta?
¿Qué sucede cuando la pelota está en el aire?

Desarrollo de la clase

Movimiento semiparabolico
Un cuerpo adquiere un movimiento semiparabolico, cuando se lanza horizontalmente desde cierta
altura cerca a la superficie de la tierra.
Descripción del movimiento
si una esfera rueda sobre una superficie horizontal
sin rozamiento, decimos que esta dotada de
movimiento uniforme. Pero si esa misma esfera
se deja caer desde cierta altura, vemos que
adquiere un movimiento de caída libre,
uniformemente acelerado, debido a la acción de la
aceleración de la gravedad.
Vemos como el principio de Galileo se cumple
estrictamente en este movimiento: “cuando un
cuerpo es sometido
Fig. 4: imagensimultáneamente a dosa
de la esfera que se pone
movimientos,
rodar cada uno de estos se cumple
independientemente”.
Supongamos que la esfera rueda sobre la Ecuaciones del movimiento
semiparabolico.
superficie sin rozamiento con cierta velocidad v 0,
hasta el punto P donde termina la superficie. Las ecuaciones del movimiento
¿Qué tipo de trayectoria seguirá después la semiparabolico se obtienen utilizando el
esfera? ¿continua con movimiento horizontal? principio de independencia de los
¿inicia un movimiento de caída libre? ¿describe movimientos en los ejes horizontal y vertical.
una curva? ¿Qué tipo de curva? En el dibujo de la
figura 4 se muestra en color rojo la trayectoria En el eje horizontal:
que seguirá la esfera si no estuviera sometida a la x=v 0 t
acción de la gravedad; en color azul aparece la
trayectoria que tendría la esfera si no llevara la En el eje vertical:
velocidad horizontal v 0, y tuviera un movimiento gt
2

de caída libre; en negro aparece la trayectoria de y=

2
la esfera cuando es sometida a la acción de estos
dos movimientos.
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Ejemplo: una esfera es lanzada horizontalmente desde una altura de 24 m con una velocidad
m
inicial de 100 . Calcular:
s
a) El tiempo que dura la esfera en el aire.
b) El alcance horizontal del proyectil.
c) La velocidad con que la esfera llega al suelo.
Solución:
a) El tiempo que demora la esfera en el
aire depende exclusivamente de la
altura a la cual esta.
De la ecuación
2
gt
y=
2
Se despeja t, y queda que

t=
√ 2y
g
Reemplazando los valores:

√
2 (24 m)
t=
m
9 ,8
s
Efectuando las operaciones queda que:

t =√ 4 ,89 s
2

t=2 , 21 s
b) El alcance horizontal de la esfera depende del tiempo que esta permanece en el aire y
de la velocidad horizontal con que se lanzó.
x=v 0 t
Reemplazando los valores:

(
x= 100
m
s )
( 2 , 21 s )

Efectuando las operaciones se obtiene el siguiente resultado para el alcance horizontal

x=221 m
c) La velocidad que posee la esfera cuando llega al suelo, es la suma de las velocidades
horizontal y vertical en ese instante.
En x , la velocidad es constante, por lo tanto
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m
v x =v 0=100
s
En y , la velocidad se calcula con la expresión
v y =¿

Reemplazando los valores

m
v y =( 9 ,8 2
)(2.21 s )
s
Efectuando la operación queda:
m
v y =21 ,17
s
Ahora escribiendo el vector velocidad
v⃗ =v x + v y
La magnitud del vector velocidad se puede hallar de la siguiente manera:
v=√ v x + v y

√
v= (100
m 2
s
m 2
) +(21 , 17 )
m
s
v=102 ,3
s

Finalización

Para cerrar se asignará una serie de ejercicios los cuales deberán desarrollar en sus casas para
socializar la próxima clase:
Ejercicio #1: Un proyectil es lanzado horizontalmente desde una altura de 36 metros con
m
velocidad de 45 . Calcula:
s
a) El tiempo que dura el proyectil en el aire.
b) El alcance horizontal del proyectil.
c) La velocidad que posee el proyectil al llegar al suelo.
Ejercicio #2: un avión que vuela horizontalmente a una altura de 2 km y con una velocidad de
km
700 sufre una avería al desprendérsele un motor. ¿Qué tiempo tarda el motor en llegar al
h
suelo? ¿Cuál es su alcance horizontal?
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