Tema

CINEMÁTICA DEL PUNTO

 Tema 2. Cinemática del punto.

1.0. Introducción

Cinemática. Parte de la Física encargada de estudiar el movimiento de un cuerpo

sin atender a las causas que lo originan.

Aproximación de punto material o partícula. Todo cuerpo es considerado como

un punto geométrico al que se le asocia una cierta masa.
Validez: cuando las dimensiones del cuerpo son despreciables frente a la
trayectoria que describe.

Movimiento. Un cuerpo A se mueve respecto a otro punto B cuando su posición

respecto al segundo está cambiando con el tiempo.
• Todo movimiento es relativo.
• Hay que especificar un sistema de referencia.
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1.1. Trayectoria. Vector de posición. Vector desplazamiento.

Trayectoria. Curva descrita por la partícula en su movimiento.

  
Vector de posición. r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k


Z Ecuaciones paramétricas de la trayectoria.

 x = x(t )


r
 y = y(t )
z  z = z (t )
O Y 
x
y Ecuaciones de la trayectoria.
X
Z
  f ( x, y , z ) = 0
r 
  g ( x, y , z ) = 0
r2

r1
Vector desplazamiento.

r = r (t2 ) − r (t1 ) = r2 − r1
O Y     

X
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1.2. Vector velocidad. Vector aceleración.

Velocidad media.
  
 r − r r x  y  z    
m = 2 1
= = i+ j+ k =  m, x i +  m, y j +  m, z k
t 2 − t1 t t t t

Velocidad instantánea.
 
r dr dx  dy  dz 

t →0

 = lím  m = lím
t →0 t
=

= i+ j+ k   = Lt −1
dt dt dt dt

dr
dt (t1 )
(t2 )
  (t3 )
r (t )
 r


r
r (t + t )

t
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1.2. Vector velocidad. Vector aceleración.

Aceleración media.

 2 − 1   x   y   z    

am = = = i+ j+ k = am , x i + am , y j + am , z k
t 2 − t1 t t t t

Aceleración instantánea.
  2
 d

t →0

a = lím am = lím
t →0 t
=
d
a = 2
r
a = Lt −2
dt dt

Vector tangente a la curva descrita por los extremos del vector velocidad.

 d x  d y  d z  d x  d y  d z    
2 2 2
a= i+ j+ k = 2 i + 2 j + 2 k = ax i + a y j + az k
dt dt dt dt dt dt
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1.3. Determinación de las ecuaciones del movimiento

Determinación de la velocidad.

a (t )

(t ) = 0 +  a (t ')dt'
  t 
Conocidos
(t0 ) = 0
  t0

Expresiones escalares.

 x (t ) = 0 x +  ax (t ')dt'  y (t ) = 0 y +  a y (t ')dt'  z (t ) = 0 z +  az (t ')dt'

t t t

t0 t0 t0
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1.3. Determinación de las ecuaciones del movimiento

Determinación del vector posición.

(t )
r (t ) = r0 +  (t ')dt'
  t 
Conocidos
r (t0 ) = r0
  t0

Expresiones escalares.

rx (t ) = r0 x +   x (t ')dt' ry (t ) = r0 y +   y (t ')dt' rz (t ) = r0 z +   z (t ')dt'

t t t

t0 t0 t0

Vector de posición en función de las condiciones iniciales.

(t ) = 0 +  a (t ')dt'
  t 

t0

r (t ) = r0 + 0 (t − t0 ) +   a (t ' ')dt' 'dt'
   t t' 

t0 
 t0 
r (t ) = r0 +  (t ')dt'
  t 

t0
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1.4. Descripción intrínseca del movimiento

• Descripción del movimiento sobre la trayectoria.

Espacio recorrido.
s(t ) = longitud del arco OP
O
s(t )
posición de la Nota. Cuando el sentido de movimiento
partícula a tiempo t
P sobre la trayectoria no cambia, entonces

s(t ) = espacio recorrido

Triedro intrínseco.
 
 ut : dirección tangente a la curva y sentido el de 
ub 
 un : dirección normal y sentido hacia la concavidad de la curva
ut

ub : dirección binormal

un
O Velocidad en el triedro intrínseco
(t ) =  (t )ut (t )
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1.4. Descripción intrínseca del movimiento

Componentes intrínsecas de la aceleración.

Componente sobre una dirección

tangente a la trayectoria. Mide el
 
 d d  d  cambio en magnitud de la velocidad.
= (ut ) =
dut
a= ut + 
dt dt dt dt Componente sobre una dirección
normal a la trayectoria. Mide el
cambio en dirección de la velocidad.

dirección
 
 d d    2
at tangente
• Puede demostrarse: a = = ut + un
dt dt 
 
 : radio de curvatura an a

 d  d
Aceleración tangencial: at = ut at = dirección
dt dt normal

   2
2
Aceleración normal: an = u n an = a = at2 + an2
 
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1.5. Clasificación de los movimientos

En función de la componente tangencial de la aceleración.

Si at = 0  υ = cte, movimiento uniforme (MU)

at  0, movimiento uniformeme nte acelerado (MUA)

Si at = cte  0  
at  0, movimiento uniformeme nte desacelerado (MUD)

Si at  cte  movimiento variado o no uniforme (MV ó MNU)

En función de la componente normal de la aceleración.

Si  =  (an = 0)  movimiento rectilíneo (MR)

Si  = cte  movimiento circular (MC)

Si   cte  movimiento curvilíneo

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1.6. Estudio de algunos movimientos

Movimientos rectilíneos.
  
Se caracterizan porque: an = 0  r ,  , a || trayectoria recta

Si hacemos coincidir la trayectoria con el eje X:

     dx    d 2x 
ut = i , r = xi ,  = i , a = at i = 2 i
dt dt
Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
 
at = 0  a = 0

Velocidad:  = cte  x = cte
Posición: r = r0 +  (t − t0 ) x = x0 +  x (t − t0 )
  

Movimiento rectilíneo uniformente acelerado/desacelerado (MRUA)


at = cte  a = cte
Velocidad:  =  0 + a (t − t0 )  x = 0 x + at (t − t0 )
  

Posición: r = r0 + 0 (t − t0 ) + a (t − t0 ) x = x0 + 0 x (t − t0 ) + at (t − t0 )
   1 2 1 2

2 2
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1.6. Estudio de algunos movimientos

Movimientos curvilíneos (an  0) en el plano.

Movimientos con aceleración constante.


a = cte
 = 0 + a (t − t0 )
  
Velocidad:

Posición: r = r0 + 0 (t − t0 ) + a (t − t0 )
   1 2

2
Ejemplos: tiro horizontal, tiro parabólico.
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1.6. Estudio de algunos movimientos

Movimientos curvilíneos (an  0) en el plano.

Movimiento circular.  = R = cte

Z • Magnitudes angulares

 Desplazamiento angular: =
s
 = 1

R
Velocidad angular:

d  
  = t −1
s
  = , ω = k
R dt
Aceleración angular:
  
d  d  d 2 
r 
= ,= k= 2 k   = t −2
dt dt dt
Y

X
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1.6. Estudio de algunos movimientos

Movimientos curvilíneos en el plano.

Movimiento circular.  = R = cte • Relaciones entre magnitudes lineales

y angulares.
Z  =   r

a = (  r ) + ( )
    

a = (  r ) a = (  )
     
t n
R s MCU at = 0

  
 =  r mov. periódico  T , ν = 1/T
 = 0  = 2 / T = cte

 =  0 +  (t − t0 )

r

Y MCUA at = cte
 = cte  =  0 +  (t − t0 )
X
 =  0 + 0 (t − t0 ) +  (t − t0 )2
1
2
Tema
CINEMÁTICA DEL PUNTO
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Radio de curvatura.
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
dut  
Demostración: = un
dt 
  
Y ut = cosi + senj
C d 
dut d  d 
d  = − sen i + cos j
  dt dt dt

 ut
un ds

P ds
d =


j d 1 ds 
 = =
dt  dt 
O i X
 
dut d  d     dut  
= − sen i + cos j = (− seni + cosj ) = un
dt dt dt  dt 
d  
= un
dt 