FÍSICA I – Módulo I

Docente: Luis Liempi Necul

Correo:lliempi@ubiobio.cl

September 22, 2023

1
0.1 Movimiento circular uniformemente acelerado
Aceleración angular media,
 
cambio de rapidez angular ∆ω
αmedia = ⇒ ᾱ = .
intervalo de tiempo ∆t

Aceleración angular instantanea,

dω
α = . θ
dt r y
θ̂
El vector de posición ⃗r(t)
x
r̂

⃗r(t) = r (cos θı̂ + sin θȷ̂) = rr̂,

Velocidad tangencial,

d⃗r dθ
⃗v = = r(− sin θî + cos θĵ) = rω θ̂.
dt dt

La aceleración viene de derivar nuevamente,

 
d⃗v d rω θ̂ dω ˆ
dθ dθ
⃗a = = =r θ̂ + rω = αrθ̂ + ωr (− cos θı̂ − sin θȷ̂) = αrθ̂ − ω 2 rr̂.
dt dt dt dt dt
2
Relación entre magnitud de la velocidad tangencial y la aceleracón angular media
v
v = rω ω = ,
r
∆ω ωf − ωi vf /r − vi /r
⇒ ᾱ = = =
∆t tf − ti tf − ti

Aceleración para un movimiento circular

⃗a = −rω 2 r̂ + αrθ̂.

Vemos que ⃗a tiene dos componentes

• Componente radial ⃗ar = −rω 2 r̂ → describe cambio de dirección de ⃗v .

• Componente tangencial ⃗aθ = αrθ̂ → describe cambio de magnitud de ⃗v .
q
⃗a = ⃗ar + ⃗aθ → la magnitud de ⃗a es ∥⃗a∥ = a2r + a2θ

• Si concemos la aceleración angular α, integrando encontramos la ecuación de rapidez angular,

Z
dω
α= , ⇒ ω(t) = αdt.
dt
• Si concemos la rapidez angular ω, integrando encontramos la ecuación de posición o dirección
angular
Z
dθ
ω= , ⇒ θ(t) = ωdt.
dt

3
Ejercicio 08: Dos objetos se mueven describiendo una trayectoria circular de radio 2[m]. El objeto
1 inicia su movimiento en θ1 = 2◦ y el objeto 2 en θ2 = 3◦ con rapideces iniciales ω01 = 3[rad/s] y
ω02 = 0[rad/s]. En t = 3[s] los objetos experimentan una velocidad ω31 = 0[rad/s] y ω32 = 2[rad/s].
Entonces:

a) Encuentre las condiciones iniciales para cada objeto.

b) Obtenga las ecuaciones de movimiento para ambos objetos.

c) Si los objetos se interceptan para uno o dos valores de t, obtener el o los valores de t y las posiciones
(θ) en que esto ocurre.

d) Determine los vectores velocidad tangencial y aceleración para el objeto 1 en el instante del primer
encuentro.

e) Dibuje el vectores velocidad tangencial y la aceleración.

f) Tarea: Determine y dibuje los vectores velocidad tangencial y aceleración para el objeto 2 en el
instante del segundo encuentro.

4
Solución:

a) Condiciones iniciales para cada objeto,

Objeto 1 Objeto 2

• θ1 (0) = 2◦ = 0.034[rad] • θ2 (0) = 3◦ = 0.052[rad]

• ω1 (0) = 3[rad/s] • ω2 (0) = 0[rad/s]

• α1 = −1[rad/s2 ] • α2 = 23 [rad/s2 ]

b) Ecuaciones de movimiento,

Objeto 2
Objeto 1 Z Z
Z Z ω2 (t) = = α2 dt = (2/3)dt
ω1 (t) = = α1 dt = (−1)dt
2
ω1 (t) = −t + C, evaluamos en t inicial ω2 (t) = t + E, evaluamos en t inicial
3
ω(0) = −0 + C = 3, C = 3 ω(0) = 0 + E = 0, E = 0
ω1 (t) = −t + 3 [rad/s] . 2
ω2 (t) = t [rad/s] .
3
5
 Z Z
Z Z
θ1 (t) = ω(t)dt = (−t + 3)dt 2
θ2 (t) = ω(t)dt = tdt
3
1
θ1 (t) = − t2 + 3t + D, en t inicial 1 2
2 θ2 (t) = t + F, en t inicial
1 3
θ1 (0) = − 02 + 3 · 0 + D = 0.034[rad] 1 2
2 θ2 (0) = 0 + F = 0.052[rad]
3
D = 0.034 1 2
1 θ2 (t) = t + 0.052 [rad].
θ1 (t) = − t2 + 3t + 0.034 [rad]. 3
2
c) Debemos encontrar un tiempo en el cual ambos objetos estarán en la misma posición.
θ1 (t) = θ2 (t)
1 1 2
− t2 + 3t + 0.034 = t + 0.052
2 3
Existen dos tiempos, t1 = 0.03s y t2 = 3.6s. El primer encuentro ocurre en t1 . Evaluamos en
cualquiera de las dos funciones θ(t)
1 180
Primer encuentro, θ2 (t1 ) = 0.052 + (0.03)2 = 0.052[rad] = · 0.052 = 2.99◦ = 3◦ .
3 π
1 180
Segundo encuentro, θ2 (t2 ) = 0.052 + (3.6)2 = 4.37[rad] = · 4.37 = 250◦ .
3 π
d) La velocidad tangencial para el objeto 1. Consideramos ω1 (t), la debemos evaluar en el primer
encuentro,
⃗v1 (t) = ω1 (t)rθ̂ = (−t + 3) rθ̂ ⇒ ⃗v1 (t1 ) = (−0.03 + 3)rθ̂ = 2.97 rθ̂ = 2.97 · 2θ̂ = 5.95θ̂ [m/s]

6
 La aceleración para el objeto 1 en el primer encuentro,

⃗a(t) = −ω(t)2 r r̂ + α r θ̂
⃗a(t1 ) = −ω(t1 )2 r r̂ + α r θ̂
⃗a(t1 ) = − (−t1 + 3)2 r r̂ + α r θ̂
⃗a(t1 ) = − (−0.03 + 3)2 2 r̂ + (−1) 2 θ̂
⃗a(t1 ) = −18.4 r̂ − 2 θ̂

e) Dibujos de la velocidad tangencial y aceleración,

y y

⃗v1
ar
x ⃗a aθ x

f) Segundo encuentro ocurre en θ2 (t2 ) = 0.052 + 13 (3.6)2 = 4.37[rad] = 180

π
· 4.37 = 250◦

La velocidad tangencial para el objeto 2. Consideramos ω2 (t) = 32 t [rad/s], la debemos evaluar

7
en el segundo encuentro,

 
2
⃗v2 (t) = ω2 (t)rθ̂ = t rθ̂,
3
2
⇒ ⃗v2 (t2 ) = ( 3.6)rθ̂ = 2.4 rθ̂ = 2.4 · 2θ̂ = 4.8θ̂ [m/s]
3

La aceleración para el objeto 1 en el primer encuentro,

⃗a2 (t) = −ω2 (t)2 r r̂ + α2 r θ̂

⃗a2 (t2 ) = −ω2 (t2 )2 r r̂ + α2 r θ̂
 2
2
⃗a2 (t2 ) = − t2 r r̂ + α2 r θ̂
3
 2
2 2
⃗a2 (t2 ) = − 3.6 2 r̂ + ( ) 2 θ̂
3 3
⃗a2 (t2 ) = −11.5 r̂ + 1.3 θ̂

Dibujos de la velocidad tangencial y aceleración,

8
y y

x x

9
Ejercicio 09: En Fantasilandia existe un juego mecánico llamado
KAMIKAZE, el cual consta de dos barras, las cuales en uno de
sus extremos llevan un carro con los valientes visitantes que de-
ciden subirse a la atracción. Ambos carros describen trayectorias
circulares, girando uno en dirección horaria y el otro anti-horaria,
y ambos tienen una aceleración de igual magnitud. Por una falla
en el juego, los carros parten desde posiciones diferentes, tal como
muestra la figura. El carro 1 presenta una ecuación de dirección
(posición angular) dada por:

θ1 (t) = 0.51t2 − 3.51t + 7.61 [rad].

Considerando que el carro 2 parte desde el reposo, entonces con

esta información, determine:

a) Las condiciones iniciales para el carro 2.

b) Integrando, las ecuaciones de movimiento para todo tiempo del carro 2.
c) En el instante t = 10 s determine y dibuje para el carro 2:
i) El vector velocidad (tangencial).
ii) El vector aceleración.
d) (Tarea) Obtenga el(los) valor(es) de t y la(s) dirección(es) en que los carros se intersectan.
e) (Tarea) Para el instante en que los carros se intersectan, encuentre y dibuje el vector velocidad
tangencial y la aceleración para ambos carros.

10
11
12
y y

x x

13
Ejercicio 10: Un ventilador de techo giraba a 450 [rpm] y
cuando se interrumpió la alimentación eléctrica. El motor del P
ventilador no recibe electricidad durante 30.0 [s], durante ese
lapso, la hélice pierde rapidez angular llegando a 24 [rpm].
Si en el instante t = 0[s] la posición del punto P es 90◦
respecto a la horizontal y el radio del aspa es 37.5 [cm] como
se muestra en la figura, determine para el punto P

a) Las condiciones iniciales y la aceleración angular.

b) La rapidez angular para todo tiempo. Use integrales. x

c) La dirección o posición angular para todo tiempo. Use

integrales.

d) Para el instante t = 5 [s] determine la posición ⃗r(t) y la

velocidad ⃗v (t).
Solución:

a) Las condiciones iniciales y la aceleración angular.

14
 π
θ(0) = rad = 1.57 [rad] , (0.25 pts)
2
ω(0) = 450 [rpm] = 47.1 [rad/s] , (0.25 pts)
ω(30) − ω(0)
α=
30 − 0
2.51 − 47.1
α=
30
α = −1.49 rad/s2 , (0.5 pts)
b) La rapidez angular para todo tiempo. Use integrales.
Z
ω(t) = αdt
Z
ω(t) = (−1.49) dt = −1.49 t + C, (0.5 pts)

ω(0) = −1.49 · 0 + C = 47.1,

⇒ C = 47.1 [rad/s] , (0.5 pts)
ω(t) = −1.49 t + 47.1 [rad/s] , (0.5 pts)
c) La dirección o posición angular para todo tiempo. Use integrales.

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 Z Z
θ(t) = ω(t)dt = (−1.49 t + 47.1) dt
1.49 2
θ(t) = − t + 47.1 t + B, (0.5 pts)
2
1.49
θ(0) = − · 0 + 47.1 · 0 + B = 1.57,
2
⇒ B = 1.57 [rad] , (0.5 pts)
θ(t) = −0.745 t2 + 47.1 t + 1.57 [rad] . (0.5 pts)
d) Para el instante t = 5 [s] determine la posición ⃗r(t) y la velocidad ⃗v (t).
θ(t) = −0.745 t2 + 47.1 t + 1.57 [rad] ,
180◦
 
2
θ(5) = −0.745 · 5 + 47.1 · 5 + 1.57 [rad] = 218 [rad] , ⇒ 218 [rad] = 218 = 12490◦ , (0.5 pts)
π
⃗r(5) = R cos θ(5)ı̂ + R sin θ(5)ȷ̂ = 0.375 cos(12490◦ )ı̂ + 0.375 sin(12490◦ )ȷ̂ = −0.128 ı̂ − 0.352 ȷ̂ [m] , (0.5 pts)
ω(5) = −1.49 · 5 + 47.1 [rad/s] = 39.7 [rad/s] , (0.5 pts)
⃗v (5) = ω(5)Rθ̂5 = 39.7 · 0.375 · θ̂5 [m/s] = 14.9 θ̂5 [m/s] . (0.5 pts)

16
y y

x x

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Ejercicio 11: Una ventilador que gira en torno a su eje,
en un cierto instante inicial, t0 = 0.0 s la rapidez angular es
de ω0 = −5.0 rad/s y la posición de un punto P sobre la
hélice es como se muestra en la figura. Luego, en un tiempo 6.0
posterior, tf = 5.0 s la rapidez angular ha aumentado hasta 5.0
ωf = 4.0 rad/s como se muestra en la gráfica. Considere la 4.0
dirección positiva la rotación antihoraria. 3.0
Determine: 2.0

ω (rad/s)
1.0
a) La aceleración media y las condiciones iniciales. 0
-1.0
b) Integrando, las ecuaciones de rapidez angular y posición -2.0
angular para todo tiempo. -3.0
-4.0
c) ¿Durante qué intervalo está aumentando la velocidad an- -5.0
-6.0
gular de la rueda? y ¿En que intervalo está dismin- 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
uyendo? . t (s)
d) Determine el desplazamiento angular de la rueda en
t = 16.0s.

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y
P

19
20