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    de 12

    ARITMÉTICA

    NÚMEROS PRIMOS Y
    Tema: COMPUESTOS II

    Docente: Flores Rivero Raúl


    OBJETIVOS
    Aprender a descomponer canónicamente
    1 un número entero positivo.

    Aprender a calcular la cantidad de


    2 divisores de un número.

    Aprender a calcular la suma de los


    3 divisores de un número.
    INTRODUCCIÓN
    Aunque el estudio de los múltiplos y
    divisores se ha limitado a la teoría de
    números y a las curiosidades
    matemáticas, es importante que los
    estudiantes puedan conocer e identificar
    las relaciones numéricas que se
    presentan entre dos o más números,
    como ser par, impar, primo, compuesto,
    factor, múltiplo de, divisor de y divisible
    por, entre otras con el objetivo de
    facilitarle el desarrollo de operaciones
    matemáticas.
    De tal manera que el conjunto de los
    múltiplos de un número es infinito y en el
    caso del conjunto de los divisores de un
    número es finito.
    TEOREMA FUNDAMENTAL • 120 2
    DE LA ARITMÉTICA 60 2 120 = 23 × 3 × 5
    30 2 (×)
    Todo número entero positivo mayor que la unidad, se 15 3 (D.C.)
    puede expresar como el producto de sus divisores 5 5
    primos diferentes, elevados cada uno de ellos, a 1
    exponentes enteros positivos.
    • 350 = 50 × 7
    Dicha representación es única = 2 × 52 × 7 . . . (D.C.)
    a excepción del orden de sus
    factores y se le denomina En general
    “Descomposición Canónica”
    (D.C.). Si: N = aα × b β × c θ . . . (D.C.)
    entonces
    Ejemplo 1:
    a ; b y c ∶ Son números primos
    2
    • 28 2 28 = 2 × 7 diferentes.
    14 2 (×) α ; β y θ ∶ Son números enteros
    Descomposición
    7 7 canónica positivos.
    1 (D.C.)
    Aplicación
    NOTA: Halle el número de valores que puede tomar "𝑁𝑁", si
    𝑁𝑁 = 𝑎𝑎4 × (𝑎𝑎 − 1)2 × 1𝑏𝑏 … (D.C.)
    Podemos encontrar los términos de
    la descomposición canónica usando Resolución
    los criterios de divisibilidad.
    Piden: El número de valores de “N”.
    Por dato:
    𝑁𝑁 = 𝑎𝑎4 × (𝑎𝑎 − 1)2 × 1𝑏𝑏 . . . (D.C.)

    Números consecutivos
    Ejemplo 2: Sea el número: y primos 𝑎𝑎 = 3

    4̇ ; porque 96 = 4̇ Entonces, el número de valores de "𝑁𝑁" dependerá de la


    396 9̇ ; porque 3 + 9 + 6 = 9̇ cantidad de valores que toma b.
    Reemplazando el valor de 𝑎𝑎:
    11̇ ; porque 3 – 9 + 6 = 11̇
    𝑁𝑁 = 34 × 22 × 1𝑏𝑏 . . . (D.C.)
    Luego:
    396 = 4 × 9 × 11 1 ; 3; 7; 9 (4 valores)
    396 = 22 × 32 × 11 . . . (D.C.) Por lo tanto, la cantidad de valores que puede tomar N es 4.
    ESTUDIO DE DIVISORES DE UN NÚMERO
    Es necesario relacionar la
    1. CANTIDAD DE DIVISORES (𝐂𝐂𝐂𝐂𝐍𝐍 ) cantidad de divisores simples,
    Ejemplo : compuestos y primos, veamos
    las siguientes expresiones...
    Halle la cantidad de divisores de 72.
    72 = 2𝟑𝟑 × 3𝟐𝟐 . . . (D.C.) Ejemplo 3:
    Divisores propios
    1 1 Divisores
    de 18 : 1 ; 𝟐𝟐 ; 𝟑𝟑 ; 6 ; 9 ; 18
    Divisores

    21 31
    2 2 CD(72) = 4 × 3 Divisores Divisores
    2 3 primos compuestos
    23 3 → (𝟐𝟐 + 1) = 12
    Divisores simples
    4 → (𝟑𝟑 + 1) Se concluye que:
    En General
    CDN = CDsimples + CDcompuestos
    Si N = 𝑎𝑎𝛼𝛼 × 𝑏𝑏 𝛽𝛽 × 𝑐𝑐 𝜃𝜃 . . . ( D.C. )
    entonces CDN = 1 + CDprimos + CDcompuestos
    CDN = (𝛼𝛼 + 1) × 𝛽𝛽 + 1 × (𝜃𝜃 + 1)
    CDpropios(N) = CDN − 1
    • Para calcular la cantidad de divisores de “N” PESI con
    Veamos algunas situaciones, 12, a la D.C. le quitamos o anulamos (borramos) las
    en las que se nos pide calcular
    potencias de 2 y 3:
    la cantidad de divisores de una
    manera particular. N = 25 × 34 × 73 y 12 son PESI
    ∘ ∘
    2 ;3
    Ejemplo 4: ∘ ∘
    N ≠ 2 ;3
    Si 5 4 3
    N = 2 × 3 × 7 . . . (D.C.)

    • Para calcular la cantidad de divisores de “N” múltiplos Por ello: N = 𝟐𝟐𝟓𝟓 × 𝟑𝟑𝟒𝟒 × 73
    de 28, a la D.C. le factorizamos 28: Divisores PESI
    con 12
    N = 22 × 23 × 34 × 71 × 72
    ↑
    N = 𝟐𝟐𝟐𝟐 × 𝟕𝟕 × (23 × 34 × 72 ) Hallamos la CD de
    este factor
    Divisores múltiplos de 28
    ↑ CDN(PESI con 12) = 3 + 1 = 4
    Hallamos la CD de
    este factor
    CDN(28)
    ̇ = 4 × 5 × 3 = 60
    2. SUMA DE DIVISORES (𝐒𝐒𝐒𝐒𝐍𝐍 ) Luego:
    Ejemplo Inductivo: SD45 = 1 + 51 + 31 + 31 × 51 + 32 + 32 × 51
    Halle la suma de divisores de 45.
    SD45 = 1 + 3 + 5 + 9 + 15 + 45
    Los divisores de 45 son:
    SD45 = 78
    1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45
    Volviendo a (I):
    SD45 = 1 + 3 + 5 + 9 + 15 + 45
    SD45 = (1 + 31 + 32 ) (1 + 51 )
    SD45 = 78
    32+1 − 1 51+1 − 1
    SD45 = = 13 × 6 = 78
    De otra manera: 3−1 5−1

    45 = 32 × 5 . . . ( D.C. )
    En General
    1 1
    31 51 Si N = 𝑎𝑎𝛼𝛼 × 𝑏𝑏 𝛽𝛽 × 𝑐𝑐 𝜃𝜃 . . . ( D.C. )
    entonces
    32
    SD45 = (1 + 31 + 32 ) (1 + 51 ) . . . . (I) 𝑎𝑎𝛼𝛼+1 − 1 𝑏𝑏𝛽𝛽+1 − 1 𝑐𝑐 𝜃𝜃+1 − 1
    SDN =
    𝑎𝑎 − 1 𝑏𝑏 − 1 𝑐𝑐 − 1
    Aplicamos la propiedad distributiva
    Ejemplo 5:
    Halle la suma de divisores de 360.
    Tenemos: 360 = 23 × 32 × 5 . . . ( D.C. )

    24 − 1 33 − 1 52 − 1
    SD360 =
    2−1 3−1 5−1
    SD360 = 15 × 13 × 6
    SD360 = 1170

    De otra manera:
    360 = 23 × 32 × 5 . . . ( D.C. )

    1 1 1
    21 31 51
    22 32
    23
    SD360 = (15) (13) (6) = 1170
    BIBLIOGRAFÍA

    Aritmética – Colección Esencial Aritmética / Álgebra – Colección Compendios


    Editorial Lumbreras Editorial Lumbreras

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