Ejercicios Resueltos: Complemento Matemático para Ingenieros Semana 02: Ecuaciones de La Parábola-Circunferenca-Elipse

EJERCICIOS RESUELTOS
COMPLEMENTO MATEMÁTICO PARA INGENIEROS

Semana 02: Ecuaciones de la Parábola-Circunferenca-
Elipse
Ejercicio 1
Encuentre el foco y la directriz de la parábola 𝒫: y=− 𝑥 2
y bosqueje su gráfica.
Solución:
Damos la forma a la ecuación canónica:
𝒫: 𝑥 2 = −𝑦
1
𝒫: 𝑥2 = 4(− )𝑦
4
1
Entonces: 𝑝 = − ; V(0; 0)
4
Ejercicio 2
La parábola 𝒫 es simétrica respecto al eje Y, tiene vértice en
el origen de coordenadas, y pasa por el punto Q(2; 6). Halle
la ecuación de 𝒫.
Solución:
La ecuación de la parábola es de la forma:
P: 𝑥 2 = 4py
Como Q(2 ; 6) ϵ P, entonces: 22 = 4𝑝(6)
4
= 4𝑝
6
2
4𝑝 =
3
2
Entonces, P: 𝑥 2 = 3 y
Es decir, P: 3𝑥 2 =2y
Ejercicio 3
En la figura, O es vértice y F foco de la parábola
𝒫. Si la recta L : 5x – 3y + 15 = 0 pasa por F,
halle la ecuación de la parábola.
Solución:
Eje focal es el Eje X, entonces: 𝒫: 𝑦 2 = 4px
Como F(-p; 0) ϵ L , entonces:

5 −p − 3 0 + 15 = 0
p=3
Es decir, 𝒫: 𝑦 2 = −12x
Ejercicio 4
Una parábola tiene su vértice en el punto V(4; 3) y los extremos de su lado
recto son los puntos L(–2; 6) y R(10; 6). Halle la ecuación de la parábola.
Solución:
Tenemos, LR lado recto. Entonces: LR = 12
p=3
Como V(4; 3) y p = 3, entonces:
𝒫: (𝑥 − 4)2 = 12(y − 3)
𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒐𝒓𝒅𝒊𝒏𝒂𝒓𝒊𝒂
Ejercicio 5
La figura muestra dos torres de 80 m de altura que distan
entre sí 300 m y que suspenden un puente colgante. Si el
cable (que tiene la forma de una parábola) es tangente a la
pista en el centro del puente, halle la altura del cable a 50 m
del centro del cable.
Solución:
Se introduce un sistema de coordenadas de modo que el vértice de la
parábola esté en el origen y su eje sea vertical. Entonces la ecuación de
esta parábola tiene la forma
𝒫: 𝑥 2 = 4𝑝𝑦
Como (150; 80) ϵ 𝒫 , entonces: 1502 = 4𝑝 80
75.15
4p =
4
2
75.15
P: x = y
4
75.15 80
Como (50; a) ϵ 𝒫 , entonces: (50) =
2 a a= 9
m
4
Ejercicio 6
La trayectoria de una cometa está descrita por la parábola
𝒫 : x 2 – 4x – 4y + 24 = 0, teniendo como referencia el
centro de la tierra. Halle la longitud en metros del lado
recto de la trayectoria descrita por la cometa.
Solución:
Completamos cuadrados, para obtener la forma ordinaria de la parábola:
𝒫: (x − 2)2−22 − 4𝑦 + 24 = 0
𝒫: (x − 2)2 = 4𝑦 − 20
𝒫: (x − 2)2= 4(𝑦 −5)
4p = 4 p=1
Entonces, LR = 4p = 4 m
Ejercicio 7
Se construye un faro parabólico de 35 cm de profundidad en el
centro como muestra la figura. Si AB = 66 cm, halle la longitud del
lado recto.
Solución:
Se introduce un sistema de coordenadas y se coloca una sección
transversal parabólica del faro parabólico de modo que su vértice esté en
el origen y su eje sea vertical. Entonces la ecuación de esta parábola tiene
la forma
𝒫: 𝑥 2 = 4𝑝𝑦
Como (33; 35) ϵ 𝒫 , entonces: 332 = 4𝑝(35)

332
= 4p
35
332
Entonces, LR = 4p = = 31,12 cm
35
Ejercicio 8
Hallar el punto focal de un reflector proyector. Un proyector tiene
un reflector parabólico que forma un “tazón” que mide 12 pulgadas
de ancho de borde a borde y 8 pulgadas de profundidad, como se
ilustra en la figura. Si el filamento del bombillo se localiza en el foco,
¿Qué tan lejos del vértice del reflector está?
Solución:
Se introduce un sistema de coordenadas y se coloca una sección
transversal parabólica del reflector de modo que su vértice esté en el
origen y su eje sea vertical. Entonces la ecuación de esta parábola tiene la
forma
𝒫: 𝑥 2 = 4𝑝𝑦
Como (6; 8) ϵ 𝒫 , entonces: 62 = 4𝑝(8)

36 = 32𝑝
9
𝑝=
8
9 F
Así, F(0; ). Como el filamento está colocado en el foco, la
8
9 V
distancia entre el vértice y el foco es 8 pulg.
Ejercicio 8
La recta L es tangente a la circunferencia C : x 2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
en el punto A(5; 1). Halle la ecuación de L .
Solución:
Completamos cuadrado para la forma ordinaria a C :
(𝑥 – 2)2 +(𝑦 + 3)2 = 52

C(2; -3) y R = 5
Para obtener la ecuación de L , hallaremos su pendiente m.

Como AC ⊥ L , entonces: mAC x m = -1
1−(−3) 3
( 5−2 ) x m = -1 m =−4
3 𝑦−1
Así, la ecuación de L : − = L ∶ 3x + 4y – 19 = 0
4 𝑥−5
Ejercicio 9
Una circunferencia tiene por ecuación C : x 2 + y 2 + 4x – 6y – 12 = 0.
Halle la ecuación de la circunferencia concéntrica a C que pasa por
el origen de coordenadas.
Solución:
Completamos cuadrado para la forma ordinaria a C :
(𝑥 + 2)2 +(𝑦 − 3)2 = 52

C(-2; 3) y R = 5
Entonces, C x: (𝑥 + 2)2 +(𝑦 − 3)2 = r2
Como (0; 0) ϵ C x, entonces: (0 + 2)2 +(0 − 3)2 = r2
13 = r2
Así, C x: (𝑥 + 2)2 +(𝑦 − 3)2 = 13

Ejercicio 10
La recta L : x + y + 1 = 0 interseca a la circunferencia C : x 2 + y 2 = 5
en los puntos A y B. Halle AB (en metros).
Solución:
Hallaremos los dos puntos de intersección entre L y C
Sea (a; b) ϵ L Ո C .
Entonces, (a; b) ϵ L y (a; b) ϵC
a + b + 1 =0
(Sistema de Ecuaciones)
2 2
a +b =5
a2 + (−1 − a)2 = 5 a2 + a - 2 = 0
a = -2 v a = 1
Si a = -2, entonces b = 1 A(-2; 1) Luego,

Así,
Si a = 1, entonces b = -2 B(1; -2) AB = 32 + 32 = 3 2
Ejercicio 11
En la figura, se muestra la vista de planta de un parque con
una pileta de forma circular en el centro; el centro de la
circunferencia de radio que mide 3 m coincide con la
intersección de las diagonales del rectángulo ABCD, AD = 70
m y AB = 30 m. Halle la ecuación de la circunferencia (antes
mencionada) que modela el borde de la pileta considerando
como origen de coordenadas el punto A.
Solución:
Del gráfico, podemos afirmar que
AH = 35 y OH = 15
Centro: O(35; 15) y Radio: r = 3

C : (𝑥 − 35)2 +(𝑦 − 15)2 = 9
Ejercicio 12
La ecuación de la elipse E : 16x 2 + 25y 2 – 192x – 200y + 576 = 0.
Determine la gráfica de la elipse.
Solución:
Completamos cuadrado para la forma ordinaria a E :
16(x 2 - 12x) + 25(y 2 - 8y) = - 576
(𝑥 − 6)2 (𝑦 − 4)2
+ =1
25 16
a = 5 , b = 4, C(6; 4)
c = 52 − 42 = 3
Coor: 𝑑𝑒 𝑉1 = 6 + 5; 4 = 11; 4
𝑉2 = 6 − 5; 4 = 1;4
F1 = (6 +3; 4) = (9; 4)
F2 = (6 - 3; 4) = (3; 4)
Ejercicio 13
Los vértices de una elipse están ubicados en los puntos (2;-3) y (2;7). Si la distancia
entre los focos es de 6 unidades, halle la ecuación ordinaria de esta elipse.
Solución:
Del dato notamos que el centro es (2;2), y su eje mayor es vertical.
Como V1V2 = 10, entonces: a = 5
Como F1F2 = 6, entonces: c = 3
b = 52 − 32 = 4
Luego, la ecuación de ordinaria de la elipse está dada por:
(𝒙 − 𝟐)𝟐 (𝒚 − 𝟐)𝟐
+ =𝟏
𝟏𝟔 𝟐𝟓
Ejercicio 14
Dado el gráfico de una elipse y una circunferencia, determine
a)La ecuación de la elipse, cuyo vértices son (-7;4),(3;4).
b)La ecuación de la circunferencia, cuyo centro es el punto
medio de los focos de la elipse y pasa por el punto (0; 7).
Solución:
Del dato notamos que el centro es (-2;4), y su eje mayor es horizontal.
Como V1V2 = 10, entonces: a = 5. Como 2b = 6, entonces: b = 3
c = 52 − 32 = 4
Luego, la ecuación de ordinaria de la elipse está dada por:
(𝑥 + 2)2 (𝑦 − 4)2
+ =1
25 9
Para la ecuación de la circunferencia, su centro es (-2; 4). 2b = 6

Como (0; 7) ϵC , entonces:
𝒓 = (−𝟐 − 𝟎)𝟐 +(𝟒 − 𝟕)𝟐 = 𝟏𝟑
Entonces, C ∶ (𝑥 + 2)2 +(𝑦 − 4)2= 13

Ejercicio 15
Un túnel debe ser construido de tal forma que pueda ser atravesado en un solo sentido por
distintos tipos de autos, el jefe de obras a cargo escogió que tenga forma semielíptica con las
siguientes dimensiones: 6m de ancho y 4 m de altura. Si un camión de 3 metros de alto quiere
atravesar dicho túnel, ¿Cuánto sería el ancho permitido que podría tener dicho camión para
que pueda atravesar el túnel sin problemas?
Solución:
Haciendo el gráfico del problema, notamos que se trata de una semielipse vertical:
Para halla la ecuación de esta semielipse, notemos que a=4, b=3. Luego la ecuación es:
𝒙𝟐 𝒚𝟐
+ =𝟏
𝟗 𝟏𝟔
Supongamos que el camión tiene 2r metros de ancho y 3 metros
de largo. Para hallar el máximo ancho permitido, tomemos el
punto A (r,3) que está sobre la elipse. Reemplazando esto en la
ecuación obtenemos: 𝟐 𝟐
𝒓 𝟑 𝟑 𝟕
+ =𝟏 →𝒓=
𝟗 𝟏𝟔 𝟒
Luego el máximo ancho permitido es 2r = (3√7)/2.

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Eje focal es el Eje X, entonces: 𝒫: 𝑦 2 = 4px

Como F(-p; 0) ϵ L , entonces:

𝒫: (x − 2)2= 4(𝑦 −5)

Como (33; 35) ϵ 𝒫 , entonces: 332 = 4𝑝(35)

Como (6; 8) ϵ 𝒫 , entonces: 62 = 4𝑝(8)

(𝑥 – 2)2 +(𝑦 + 3)2 = 52

Para obtener la ecuación de L , hallaremos su pendiente m.

(𝑥 + 2)2 +(𝑦 − 3)2 = 52

Entonces, C x: (𝑥 + 2)2 +(𝑦 − 3)2 = r2

Como (0; 0) ϵ C x, entonces: (0 + 2)2 +(0 − 3)2 = r2

Así, C x: (𝑥 + 2)2 +(𝑦 − 3)2 = 13

Si a = -2, entonces b = 1 A(-2; 1) Luego,

Centro: O(35; 15) y Radio: r = 3

Luego, la ecuación de ordinaria de la elipse está dada por:

Para la ecuación de la circunferencia, su centro es (-2; 4). 2b = 6

Entonces, C ∶ (𝑥 + 2)2 +(𝑦 − 4)2= 13

Luego el máximo ancho permitido es 2r = (3√7)/2.

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