FUERZAS MAGNÉTICAS, ELECTROMAGNÉTICAS,

y VOLTAJE GENERADO

1-EL CAMPO MAGNÉTICO

Un campo magnético es una condición que resulta de las cargas eléctricas

en movimiento, el campo magnético de un imán permanente se atribuye a la parte
rodante no compensada de los electrones alrededor de su propio eje dentro de la
estructura atómica del material y al alineamiento de estos electrones con
electrones similares no compensados en los átomos adyacentes, los grupos
adyacentes de átomos.
El campo magnético alrededor de un conductor que lleva corriente es producido por el
movimiento de las cargas eléctricas en la forma de una corriente eléctrica. Por
conveniencia, en la visualización y análisis, los campos magnéticos están
representados sobre diagramas por trayectorias o lazos cerrados, a éstos se les
denomina líneas de flujo magnético y tienen asignada una duración específica que
está relacionada con la polaridad de un imán o la dirección de la corriente en una
bobina o un conductor.
La dirección del campo magnético alrededor de una corriente se puede determinar por
la llamada regla de la mano derecha: se toma el conductor con la mano derecha, con
el dedo pulgar apuntando al sentido convencional de dirección de la corriente y los
dedos doblados en la dirección del campo magnético, como se muestra en la Figura 1

DIRECCIÓN DEL FLUJO MAGNETICO

a) ALREDEDOR DE UN CONDUCTOR QUE LLEVA CORRIENTE

b) EN UNA BOBINA

c) EN UN IMÁN

FIGURA 1

Ing. Francisco Modrego

 De manera semejante, para determinar la dirección del campo magnético
generado por una corriente que circula a través de una bobina de alambre, se toma la
bobina con la mano derecha y los dedos indicando la dirección de la corriente, el dedo
pulgar indica la dirección del campo magnético (ver Figura (b) anterior.
La dirección del campo magnético proporcionado por un imán, sale del polo norte y
entra por el polo sur, pero dentro del imán queda como Sur-Norte, según se muestra
en la figura (c) anterior.

2-EL CIRCUITO MAGNÉTICO DEFINIDO

Cada uno de los circuitos magnéticos mostrados en la siguiente figura, es un arreglo
de los materiales ferromagnéticos denominados núcleo, que forman una trayectoria o
paso para contener y guiar el flujo magnético en una dirección específica. La forma de
núcleo mostrada en la Figura 2 (a) se usa en los transformadores, en tanto que en la
Figura 2 (b) se muestra el circuito magnético de un motor elemental de dos polos, éste
incluye un estator, un núcleo del rotor y dos entrehierros (espacios) de aire.
Obsérvese que el flujo siempre toma la trayectoria más cercana en el entrehierro.

CIRCUITO MAGNÉTICO: (a) PARA UN TRANSFORMADOR

(b)PARA UN MOTOR DE DOS POLOS
FIGURA 2
3-LA FUERZA MAGNETOMOTRIZ

Los ampere-espira (A-e) de las respectivas bobinas de la figura anterior representan la

fuerza de accionamiento, denominada fuerza magnetomotriz o FMM, que hace que un
campo magnético aparezca en los circuitos magnéticos correspondientes, esta FMM
expresada en forma de ecuación es la siguiente:
FMM = N. I

Donde:
FMM = Fuerza magnetomotriz en ampere-espira.

N: Número de espiras en una bobina,

I = Corriente que circula en la bobina (A).

INTENSIDAD DE CAMPO MAGNETICO Y DENSIDAD DE FLUJO.

La intensidad del campo magnético, también se le conoce como el gradiente de la

FMM y se define como la fuerza magnetomotriz por unidad de longitud en un circuito
magnético o sección de un circuito magnético y es numéricamente igual a los ampere-
espira aplicados al circuito magnético o sección, dividida por la longitud efectiva del
circuito magnético o sección, que es:

Ing. Francisco Modrego

H = FMM/ l = N.I/ l

Donde:
H := Intensidad del campo magnético en (A-e/m).

l = Longitud media del circuito magnético o sección del circuito magnético (m).
FMM = Fuerza magnetomotriz en A-e.

Se puede observar que en u circuito magnético homogéneo de sección transversal

uniforme, la intensidad del campo es la misma en todos los puntos del circuito
magnético. En los circuitos compuestos, que consisten de secciones de diferentes
materiales y/o distinta sección transversal o área, la intensidad de campo magnético
difiere de sección a sección. La densidad de flujo magnético es una medida de la
concentración de líneas de flujo en una sección particular de] circuito magnético,
matemáticamente se expresa como:
β=φ/A.
Donde:
φ =Flujo en Weber (Wb).
A =Área o sección transversal (m 2 ¿

β=Densidad de flujo (Wb/m2) o Tesla (T).

Existe una relación bien definida entre la densidad de flujo (B) y la intensidad del
campo (H) para cualquier material, esta relación se expresa usualmente en forma
gráfica por las curvas β -H.

4-LA RELUCTANCIA Y LA ECUACIÓN DEL CIRCUITO MAGNÉTICO.

Una ecuación muy útil que expresa la relación entre el flujo magnético, la FMM y la
reluctancia de un circuito magnético es:
φ =FMM/ R =N.I/ R
Donde:
φ = Flujo magnético (Wb).
;

FMM = Fuerza magnetomotriz A-e.

I

R = Reluctancia del circuito magnético (A-e/Wb).

La reluctancia ( R ) es una medida de la oposición que el circuito ofrece al flujo y es

análoga a la resistencia en un circuito eléctrico. La reluctancia de un circuito magnético

Ing. Francisco Modrego

o sección de un circuito magnético está relacionada con su longitud, sección
transversal y permeabilidad. De la ecuación anterior:
R = N . I/ φ = N . I/ l = H = . l .
φ/ l β.A/ l
(β/H).A
Si se define la permeabilidad de un material como:
μ ¿ β/H
Entonces, la reluctancia es:
R ¿ l / μA
.

Donde:
β=Densidad de flujo (Wb/m2) o Tesla (T).
H = Intensidad del campo magnético en (A-e/m).

l = Longitud media del circuito magnético o sección del circuito

magnético (m).

A =Área o sección transversal (m 2 ¿

μ = permeabilidad del material (Wb/ A-e-m).

La ecuación anterior se aplica a un circuito magnético homogéneo, con sección

transversal uniforme
La relación μ ¿ β/H llamada permeabilidad magnética, tiene distintos valores para
diferentes grados de magnetización para el núcleo de un material magnético
especifico.

5-PERMEABILIDAD RELATIVA Y CURVAS DE MAGNETIZACIÓN

La permeabilidad relativa es la relación de la permeabilidad de un material a la

permeabilidad del espacio libre. esto es, en efecto, una figura de mérito que es muy
útil para comparar el grado de magnetización de diferentes materiales magnéticos
permeabilidad relativa es conocida. En forma de ecuación se expresa como
μr= μ/ μ₀

Donde:

μ₀=Permeabilidad del espacio libre = 4Πx 10−7 (Wb/ A-e-m).

μr = Permeabilidad relativa (una constante sin dimensiones).

μ = Permeabilidad del material (Wb/ A-e-m).

Las gráficas que representan la relación B/H se llaman comúnmente curvas β/H
curvas de magnetización o curvas de saturación, y son muy útiles en el diseño y
análisis del comportamiento de motores y transformadores eléctricos.

Ing. Francisco Modrego

CURVAS B-H PARA MATERIALES FERROMAGNÉTICOS COMÚNMENTE USADOS
FIGURA 3

CURVA DE MAGNETIZACIÓN ILUSTRANDO LAS CUATRO SECCIONES PRINCIPALES

FIGURA 4

Las cuatro secciones principales de una curva típica de magnetización se muestran en

la figura anterior. La curva es cóncava hacia arriba para valores bajos de intensidad de
campo magnético, muestra de alguna manera (pero no siempre) características
lineales para valores medios de intensidad de campo y luego es cóncava hacia abajo
para valores altos de intensidad de campo, eventualmente para muy altas intensidades
es casi plano.
La parte de la curva que es cóncava hacia abajo se conoce como "la rodilla" de la
curva y la sección casi plana es la región de saturación. La saturación magnética se
completa cuando todos los dominios magnéticos del material están orientados en la
dirección de la fuerza magnetomotriz aplicada, La saturación comienza al inicio de la
región de la rodilla y se completa cuando la curva se empieza a aplanar.
Dependiendo de la aplicación específica, el núcleo magnético de un aparato
magnético puede ser operado en la región lineal, la región de la rodilla y/o la región de
saturación. Por ejemplo, los transformadores y las máquinas de C.A. se operan en
región lineal y parte inferior de In rodilla, los generadores de corriente directa
auto excitados y los motores de corriente directa, se operan en el extremo de la

Ing. Francisco Modrego

parte superior de la rodilla.
Las curvas de magnetización proporcionadas por los fabricantes para laminaciones
eléctricas específicas o fundiciones, se dibujan por lo general en papel semilogarítmico
e incluyen frecuentemente curvas de permeabilidad relativa contra intensidad de
campo, como la que se muestra en la siguiente figura.
La relación entre la permeabilidad relativa y la reluctancia de un núcleo magnético
se obtiene a partir de la ecuación

R =. l . =. l .
μ.A μr. μ₀.A

OERSTED x 79,577 =Ampere –espira/M

FIGURA 5

EJEMPLO 1
Determinar el voltaje que se debe aplicar a la bobina de magnetización del circuito
magnético mostrado en la figura (o), para producir una densidad de flujo de 0.200 T en
el entrehierro, el flujo disperso o brincos de flujo, mostrado en la figura (b). se puede
considerar despreciable. Supóngase que la curva de magnetización del núcleo del
material es la que se tiene en la figura anterior (que corresponde a un material
homogéneo). La bobina tiene 80 espiras y una resistencia de 2.05 Ω Y la sección
transversal del núcleo es 0.0400 m²
Calcular también la permeabilidad relativa de cada una de las tres piernas del núcleo.

Ing. Francisco Modrego

 (A) DISPOSICIÓN FÍSICA Y DIMENSIONES

(c) DISTRIBUCIÓN DE FLUJO

Solución
El procedimiento para resolver el problema es el siguiente:
Paso 1: Calcular φ entrehierro y FMMbe.
Paso 2: Calcular Hbcde, β bcde y obcde.
Paso 3: Calcular φ efcb. β efab, H efab y FMM efab.
Paso 4: Calcular FMMT y conociendo el número de espiras en la
bobina, determinar la corriente requerida.
Paso 5: Usando la Ley de Ohm, calcular el voltaje requerido.
El flujo en la sección central es:
φ entrehierro = (β entrehierro) (A entrehierro)
= 0.2 x 0.04
= 0.00 8 Wb
La densidad de flujo a través de los dos núcleos de la pierna central es
0.2T, la intensidad del campo requerida para proporcionar una densidad de flujo
de 0.2T en cada uno de los dos núcleos es la pierna central. De la curva de
magnetización anterior, la intensidad de campo correspondiente obtenida de la
curva es:
HO.30 = HO.69 = 0.47 x 79.577 = 37.4 (A – e)/m

La diferencia de potencial magnética resultante a través de cada núcleo de

la pierna central se obtiene de acuerdo con:

FMMO.30 = H x l = 37.4 x 0.30 = 11.2 A-e

Ing. Francisco Modrego
FMMO.69 = H x t = 37.4 x 0.69 = 25.81 A-e
La diferencia de potencial magnética requerida a través del entrehierro para obtener
una densidad de flujo de 0.20T se calcula como:
β entrehierro = μ entrehierro. H entrehierro→ H entrehierro= β entrehierro = 0,2
μ entrehierro 4Πx 10−7
H entrehierro= 159155 A-e/m

La diferencia de potencial magnético resultante a través del entrehierro es:

l
FMM entrehierro = H entrehierro. entrehierro
= (159155)(0.005) = 795.77 A-e
Por lo tanto, la diferencia de potencial magnético total en la pierna central
es:
FMMbe = FMMO.30 + FMMO.69 + FMM entrehierro
= 11.22 + 25.81 + 795.77 = 833 A-e
Obsérvese que la caída de potencial magnético a través del entrehierro de 0.005
metros es 795.77 A-e, mientras que la caída de potencial magnético a través de los
núcleos de 0.30 m y 0.69 m en total es sólo 11.22 + 25.81 = 37.03 A-e, es decir que,
"La mayor caída de potencial magnético ocurre en el entrehierro". Por lo tanto: para
reducir la cantidad de ampere-espira (A-e) requeridos para obtener una densidad de
flujo deseada, el entrehierro en las maquinas eléctricas se debe conservar tan
pequeño como sea posible.

Dado que FMMbe es también la diferencia de potencial magnético a través de la

sección bede, la intensidad de. campo magnético es en esta región:
Hbcde = FMM = 833 = 277.6 A - e / m
l 1++1
Convirtiendo a oersteds
277. 6 / 79.577=3.49 oersteds

De la figura anterior la densidad de flujo correspondiente se obtiene de la curva de

magnetizacion:

β bcde = 1.45 T
Por lo tanto, el flujo en la sección bcde es:
φ bcde = β A=1.45 x 0.04 = 0.058 Wb
El flujo total suministrado por' la bobina es:
φ efab = φ entrehierro + φ bcde = 0.008 + 0.058 = 0.066 Wb
β efab = φ /A= 0,66/0,041,65 T
La intensidad de campo requerido para proporcionar una densidad de flujo
de 1.65T en la pierna izquierda del circuito, obtenida de la curva de
magnetización de la figura anterior es aproximadamente 37oersteds, por lo
tanto:

Hefab = 37 x 79.577 = 2944.35 A-e/m

La caída de la FMM en la sección efcb es:
FMMefab = H . l = 2944.35 (1 + 0.8 + 0.8) = 7655.31 A-e
Ing. Francisco Modrego
La FMM total que debe ser suministrada por la bobina de magnetización es:
FMMT = FMMbe + FMMefab =7655.31 + 833 = 8488.31 A-e
FMMbobina = NI = 8488.31 = 80 x I
De donde:
I = 8488.31/ 80= 106 ,1A También: V= IR = 106.1 x 2.05 = 217.5V
La permeabilidad relativa es:
μr= μ/ μ₀=. β /H .
4Πx 10−7 . H
μr = . β .
4Πx 10−7 . H

Para cada una de las piernas del núcleo magnético:

μ izquierdo=. 1,65 . =446
−7
4Πx 10 .2944

μ centro=. 0,20 . =4256

4Πx 10−7 .37 , 4

μ derecho=. 1,45 . =4156,1

−7
4Πx 10 .277 , 67

6-HISTÉRESIS MAGNÉTICA y PÉRDIDAS POR HISTÉRESIS

Si se aplica una fuerza magnetomotriz alterna a un material magnético, como se

muestra en la figura (a) siguiente y se qrafica la densidad de flujo B contra la
intensidad del campo magnético H, la curva resultante indicará una retractibilidad, este
fenómeno mostrado en la figura (b) se conoce como histéresis yola curva resultante se
le llama el lazo de histéresis comenzando con un núcleo ferromagnético no
magnetizado, el punto o sobre la curva H =0 y β=0. Si se incrementó la corriente en la
bobina en la dirección positiva, se incrementan los ampere-espiras, y de aquí la
intensidad de campo magnético.
H=N.I/ l

(a) CIRCUITO CON UNA fmm ALTERNA (b) REPRESENTACIÓN DE UN LAZO DE HISTÉRESIS
FIGURA 7

Ing. Francisco Modrego

Cuando la corriente alcanza su máximo valor, la densidad de flujo y la intensidad del
campo tienen sus respectivos máximos valores y la curva está en un punto a, este es
el trazo inicial de la curva, dibujado con línea discontinua y se le llama la sección
origen de la curva. En la medida que la corriente se reduce, la curva sigue una
trayectoria distinta, y cuando la corriente se reduce a cero, H se reduce a cero
también, pero la densidad del flujo se mantiene atrasada, manteniendo el punto b
sobre la curva la densidad de flujo en el punto b es el magnetismo residual. Este
retraso del flujo detrás de la fuerza de magnetización es el efecto de histéresis.

En la medida que la corriente alterna y la intensidad del campo magnético asociado se

incrementa en la dirección negativa, el magnetismo residual disminuye, pero
permanece positivo hasta que se alcanza el punto c, en este momento, la densidad de
flujo en el núcleo es cero. La intensidad del campo negativa requerida para forzar el
magnetismo residual a cero se le llama la fuerza coercitiva y se representa por la línea
Oc sobre el eje H; en la medida que la corriente continúa con sus alternancias la
gráfica de B contra H sigue los puntos c-d-e-c-b sobre el lazo de histéresis.

Las histéresis magnética afecta la capacidad de respuesta del flujo magnético a la

fuerza de magnetización, en los aparatos eléctricos tales como los transformadores,
en los cuales la característica deseada necesita de una respuesta rápida y
proporcional del flujo a un cambio en la FMM, con un pequeño magnetismo residual,
se usa un acero con un alto grado de silicio, es decir, que la selección de los
materiales magnéticos está dictada por la aplicación.

LAS PÉRDIDAS MAGNÉTICAS POR HISTÉRESIS

Si se conecta un voltaje alterno a la bobina de magnetización, como se muestra en la

figura anterior (a), la fuerza magnetomotriz alterna produce que el dominio magnético
sea constantemente reorientado a lo largo de los ejes de magnetización, este
movimiento molecular produce calor, y entre más duro es el acero, mayor la cantidad
de calor. La pérdida de potencia debida a la histéresis para un tipo y volumen de
material de un núcleo varía directamente con la frecuencia y la densidad de flujo
máxima a la enésima potencia (h), esto, expresado matemáticamente es:
Ph = Khf . β máx

Donde:

Ph = Pérdidas por histéresis (Watts/unidad de masa del núcleo).

F = Frecuencia de la onda de flujo (Hz).

β máx = Valor máximo de la onda de densidad de flujo (T).

Kh = Constante.

La constante Kh depende de las características del material magnético, su densidad y

de las unidades usadas.

7-LA INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

Si un alambre conductor se mueve dentro de un campo magnético, de manera que el
conductor corte las líneas de dicho campo, se origina una fuerza electromotriz.

Ing. Francisco Modrego

producida por tal conductor. Induciendo la fuerza electromotriz mediante un
movimiento relativo entre el conductor y un campo magnético, se presenta lo que se
conoce como: "La inducción electromagnética".

Si una sección de conductor se mueve a través de líneas de fuerza magnética, de

manera que el alambre cruce o corte la trayectoria del flujo, se inducirá un voltaje en
este conductor. Si se instala un medidor suficientemente sensible, se observará que
circula la corriente cada vez que el conductor se mueva a través de las líneas de
fuerza.

EL MOVIMIENTO DE UN CONDUCTOR A TRAVÉS DEL FLUJO MAGNÉTICO AL CORTAR LA TRAYECTORIA DEL FLUJO, INDUCE
UN VOLTAJE EN EL CONDUCTOR
FIGURA 8

De acuerdo con la Figura 8, al usar un instrumento de medición analógico (con aguja),

si el conductor se mueve hacia arriba a través del flujo, la aguja desplaza hacia el lazo
izquierdo. Si el conductor se mueve hacia abajo, indicación de la aguja es hacia la
derecha. Si el conductor se mueve rápidamente hacia arriba y hacia abajo, suponiendo
que el cero de la escala está en el centro de ésta, la aguja se desplazará rápidamente
a la derecha y a la izquierda generándose un voltaje. Si el movimiento se suspende,
no se genera voltaje y si el conductor se mueve de derecha a izquierda, en el sentido
paralelo al flujo: tampoco se genera voltaje.

FIGURA 9

8-LA LEY DE INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA DE FARADAY

Esta ley se enuncia en los puntos siguientes:
1. Si se tiene un flujo magnético que eslabona a una espira y, además, varía con
el tiempo, se induce un voltaje entre terminales.
2. El valor del voltaje inducido es proporcional al índice de cambio del

Ing. Francisco Modrego

Por definición y de acuerdo al Sistema Internacional de Unidades (SIU), cuando el flujo
dentro de la espira varía en 1 Weber por segundo, se induce un voltaje de 1 Volt entre
sus terminales; en consecuencia, si un flujo varía dentro de una bobina de N espiras,
el voltaje inducido se da por la expresión:

∆θ
E=
∆t

Donde:
E = Voltaje inducido en volts.
N = Número de espiras en la bobina.
∆ θ =Cambio del flujo dentro de la espira o bobina (Weber).
∆ t =Intervalo de tiempo durante el cual el flujo cambia (S).

La Ley de Faraday establece las bases para las aplicaciones prácticas en el estudio de
transformadores, generadores y motores de corriente alterna.

VOLTAJE INDUCIDO EN UN CONDUCTOR

En algunos motores y generadores, los conductores o bobinas se mueven con
respecto a un flujo constante. El movimiento rotativo produce un cambio en el
eslabonamiento de flujo de las bobinas y, en consecuencia, un voltaje inducido de
acuerdo con la Ley de Faraday. Sin embargo, en este caso especial (aunque común),
es más fácil calcular el voltaje inducido con base e los conductores, que hacer
referencia a las bobinas mismas. En efecto, siempre que un conductor corte un campo
magnético, se induce un voltaje entre sus terminales. El valor del voltaje inducido está
dado por la expresión: E = Blv.

Donde:

E = Voltaje inducido (en volts).

B = Densidad de flujo (en tesla).

I = Longitud activa de los conductores en el campo magnético (m).

v = Velocidad relativa del conductor (m/s),

EJEMPLO 2
Los conductores de un generador eléctrico grande tienen una longitud de 1.5 m, son
cortados por un campo de 0.75 Teslas y se mueven a una velocidad de 100 m/s.
Calcular el voltaje inducido en cada conductor.

Ing. Francisco Modrego

Solución.
De acuerdo con la expresión:
E = Blv
E = 0,75 x 1,5 x 100 = 112,5 volts

9- RELACIÓN ENTRE El VOLTAJE INDUCIDO, El FLUJO Y LA INTENSIDAD DE

LA CORRIENTE
La relación entre un voltaje instantáneo "v" entre las terminales de una bobina y la
corriente instantánea "i" que circula por la bobina, está dada por la ecuación:
dδ
v = Ri +
dt

Donde

Ri = Resistencia del devanado.

δ =Flujo instantáneo aprovechado.

dδ
dt

E=+
FIGURA 10

Ing. Francisco Modrego

Cuando el flujo es alterno, el sentido no indica más que el significado de los valores
positivos de "e". Obsérvese que "e" es una fuerza electromotriz o subida de potencial.
Como el devanado tiene cierta resistencia "R", hay una caída de tensión instantánea
"Ri" en el sentido de la corriente. "i" es la corriente instantánea en el sentido positivo
con respecte al flujo positivo y "v" es la caída instantánea de potencial en las
terminales en el mismo sentido, según se indica en las señales de polaridad en la
figura anterior.

dδ
v= Ri+e= Ri+
dt

10 LA AUTO-INDUCTANCIA
Cuando una corriente está cambiando en un circuito, el flujo magnético que eslabona
dicho circuito cambia y se induce una fuerza electromotriz en él. Si consideramos
constante la permeabilidad, la fuerza electromotriz inducida es proporcional al cambio
de la corriente, es decir

di
vl=L
dt

"L" es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de auto inductancia del

circuito; en el sistema M.K.S., la unidad del coeficiente de auto inductancia es el
Weber/ampere o el Henry.

En una bobina con N espiras, la fuerza electromotriz inducida está dada por:
d∅
vl=N
dt

Donde, el producto "Nd ∅ " es el eslabonamiento de flujo constante del circuito;

combinando las dos ecuaciones anteriores:
di d∅
L =N
dt dt

De donde:
d∅
L=N
di

10.1-INDUCTANCIA MUTUA

Consideremos una corriente "i" circulando en una bobina "1" como lo indica la figura
siguiente.Como sabemos, la corriente cambiante "i1" produce un flujo magnético "∅ 1"
Parte de estos eslabonamientos de flujo son únicamente de la bobina "1" y es el
llamado encadenamiento de flujo 11".
El eslabonamiento de flujo remanente 12" se muestra también en la bobina 2; el
voltaje inducido en ésta es dado por la ley de Faraday.

d ∅ ₁₂
v ₂=N ₂
dt

Ing. Francisco Modrego

 FIGURA 11

∅ ₁₂es debido a la corriente "i₁". "v₂" es proporcional al cambio de " i₁" o sea:

di₁
v ₂=M
dt

La constante de proporcionalidad M se conoce con el nombre de inductancia mutua

entre las dos bobinas; las unidades para \\M/I en el sistema M.K.S. son las mismas
que las de "L", (el Henry).
Si combinamos las ecuaciones anteriores:

d ∅ ₁₂ di ₁
v ₂=N ₂ =M
dt dt
De donde:
d ∅ ₁₂
M =N ₂
di₁

Cuando se tiene un conjunto de bobinas devanadas en un mismo núcleo de hierro, el

flujo y la corriente no están relacionados directamente y la inductancia mutua está
dada por la ecuación anterior; en cambio. si les bobinas están eslabonadas con aire
como medio aislante, el flujo y la corriente están relacionados: directamente y la
inductancia mutua es:

∅ ₁₂
M =N ₂
i₁

El acoplamiento mutuo es bilateral y resulta en forma análoga, si una corriente "i₂"

variante con el tiempo se introduce en la bobina 2 de la figura anterior, entonces, los
eslabonamientos de flujo son ∅ 2, ∅ 21 y ∅ 22, el voltaje inducido en la bobina 1 es:

di₂
v ₁=M
dt
y las ecuaciones para el flujo mutuo se transforman respectivamente en:

Ing. Francisco Modrego

 d ∅ ₂₁ d ∅ ₁₂
M =N ₁ y M =N ₂
di₂ di₁

10.2 COEFICIENT'E DE ACOPLAMIENTO "K"

En la figura anterior el eslabonamiento de] flujo depende del espaciamiento y la

orientación de los ejes de las bobinas y de la permeabilidad del medio. La fracción del
flujo total que eslabona las bobinas se conoce con el nombre de coeficiente de
acoplamiento "K", es decir:
∅ ₁₂ ∅ ₂₁
K= = Entonces : ∅ ₁₂≤ ∅ ₁ y ∅ ₂₁≤ ∅ ₂
∅₁ ∅₂

O sea que el máximo valor de "K" es la unidad.

Podemos obtener una expresión para "M" en términos de las auto inductancias
"L1" y "L2". multiplicando las dos ecuaciones para el flujo mutuo.

N ₁ ∅ ₂₁ N ₂ ∅ ₁₂ ∅ ₁₂ ∅ ₂₁
MxM= x como K= = entonces ∅ ₁₂=K∅ ₁ y ∅ ₂₁=K∅ ₂
i₂ i₁ ∅₁ ∅₂

M 2= ( N ₁i₂K ∅ ₂ ) x ( N ₂iK₁ ∅ ₁ ) = K ( N i₂₂ ∅ ₂ ) x ( N i₁₁ ∅ ₁ )

2

Además, sabemos que:

N ₁∅₁ N ₂∅₂
L ₁= y L ₂=
i₁ i₂

Substituyendo en la ecuación anterior:

2 2
M =K x L ₁ xL ₂
Finalmente:
M= K √ L ₁ xL₂

EJEMPLO 3
La bobina 1de un par de bobinas acopladas tiene una corriente permanente de 5
amperes y los flujos correspondientes ∅ ₁₁y ∅ ₁₂son de 20.000 y 40.000
Maxwells respectivamente. Si las vueltas son N1 igual a 500 y N2 igual a 1,500
espiras, calcular: L1, L2, M, K.

SOLUCIÓN
El flujo total es:
∅ ₁= ∅ ₁₁+ ∅ ₁₂ =20.000 + 40.000=60000 Maxels
Como:
1 Weber = 108 Maxwells
∅ ₁=6 X 10-4 Weber

La inductancia de la bobina 1 es:

Ing. Francisco Modrego

 −4
N ₁ ∅ ₁ 500 x 6 x 10
L ₁= = =6x10−2 Henrios
i₁ 5

La inductancia mutua es:

−4
N ₂ ∅ ₁₂ 1550 x 4 x 10 −2
M= = =12 x 10 Henrios
i₁ 5

El coeficiente de acoplamiento:

∅ ₁₂ 4 x 10− 4
K= = =¿ 0,667
∅ ₁ 6 x 10−4

La inductancia L2:
M= K √ L ₁ xL₂

−2 2
2 2 M ( 12 x 10 )
2
M =K x L ₁ xL ₂→ L₂= 2 = ¿ 0,539Henrios
K x L ₁ 0 , 6672 x 6 x 10−2

EJEMPLO 4
Dos bobinas acopladas de L1 = 0,8 Henrios y L2 = 0.2 Henrios tienen un coeficiente de
acoplamiento K = 0,9. Calcular la inductancia mutua "M" y la relación de vueltas
"N1/N2".
SOLUCiÓN
La inductancia mutua es:
M = K1 √ L1 L2 = 0.9√ 0.2 x 0.8 =0, 36 Henrios

Empleando la fórmula:

N ₂ ∅ ₁₂ ∅ ₁₂ N ₂ K ∅₁
M= como K= → M=
i₁ ∅₁ i₁

N₁
Si multiplicamos el termino por no se altera la ecuación luego despejamos la
N₁
N₁
relación nos queda
N₂

N ₁ KL₁ 0 , 9 x 0 , 8
= = =2
N₂ M 0 , 36

Ing. Francisco Modrego