TEORÍA

IEN
2023

Ángulos Poliedros
10
 ÁNGULO POLIEDRO
DEFINICIÓN
Sea el polígono A1A2A3...An y el punto O no coplanar con el polígono. Se
denomina ángulo poliedro O-A1A2A3...An a la unión de los rayos OA1, OA2,
OA3, … y OAn y los interiores de los ángulos A1OA2, A2OA3, A3OA4, ... y
AnOA1. O
Elementos:
1) Vértice: O
An A6 2) Arista: cada rayo OA1, OA2, … y OAn
A5 3) Cara: la unión de dos aristas
A1
consecutivas y el interior del ángulo
determinado por estas; caras A1OA2,
A3 A4
A2OA3, A3OA4, ... y AnOA1
A2
4) Diedro: cada diedro determinado por
dos caras adyacentes
Notación: Ángulo poliedro O-A1A2A3…An
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS POLIEDROS
Los ángulos poliedros se clasifican según el número de caras:

Ángulo poliedro Número de

caras
Ángulo triedro 3
Ángulo tetraedro 4
Ángulo pentaedro 5
Ángulo hexaedro 6
Ángulo heptaedro 7
Ángulo octaedro 8
Ángulo nonaedro 9
Ángulo decaedro 10
Ángulo endecaedro 11
Ángulo dodecaedro 12
Ángulo pentadecaedro 15
Ángulo icosaedro 20
 ÁNGULO POLIEDRO CONVEXO

DEFINICIÓN
El ángulo poliedro O-A1A2A3…..An es convexo si el polígono A1A2A3…..An
es convexo
O

An A5
A4
A1

A2 A3
 ÁNGULO POLIEDRO NO CONVEXO

DEFINICIÓN
El ángulo poliedro O-A1A2A3...An es no convexo si el polígono A1A2A3...An
es no convexo
O

An A6
A5
A1

A3 A4

A2
TEOREMA
En un ángulo poliedro convexo, la suma de las medidas de todas
las caras es mayor que 0 y menor que 360.
Ejemplo:
O
Si las medidas de las caras A1OA2,
𝐜 A2OA3, A3OA4 y A4OA1 son a, b, c y d,
𝐝
𝐛 respectivamente, entonces
𝐚
A4
A3

A1 0 < a + b + c + d < 360

A2
 TEOREMA: La suma de medidas
de las caras de un ángulo O Demostración:
poliedro convexo, es menor que Trazamos OR ⊥ plano A1A2A3
360. a2
Sea el ángulo poliedro convexo
a1
Por teorema: a1 < a1
O-A1A2A3... An, cuyas caras
miden a1, a2, a3 ... an. a2 < a2
a3 < a3 (+)
a1 + a2 + a3 ... + an < 360 An
...
an < an
A1
an A4
a1
R a3
a2

A2
A3 a1 + a2 + a3 ... + an < 360
lqqd
a1 + a2 + a3 + ... an < a1 + a2 + a3 + ... an
 TEOREMA: En un ángulo poliedro convexo, la Demostración:
medida de una cara es menor que la suma de
medidas de las otras caras. O Trazamos OR ⊥ plano A1A2A3
Por teorema: a1 < a1 … (1)
Sea el ángulo poliedro convexo
O-A1A2A3... An, cuyas caras a2
a1 a1 < a2 + a3 + ... an ... (2)
miden a1, a2, a3 ... an.
a2 < a2
a3 < a3
Se cumple:
An ...
a1 < a2 + a3 ... + an an < an
A1
an A4
a1
R a3 a1 < a2 + a3 ... + an
a2
lqqd
A2
A3
EJERCICIO 07
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes
proposiciones:
I. En todo ángulo poliedro, la suma de las medidas de los
ángulos diedros es mayor que 0 y menor que 360.
II. En todo ángulo poliedro, la suma de las medidas de todos los
ángulos de sus caras están entre 180 y 540.
III. Dos ángulos poliedros son congruentes, si tienen sus ángulos
diedros respectivamente congruentes.

A) FFV B) FVF C) VVF

D) FVV E) FFF
 Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes
proposiciones:
RESOLUCIÓN 07 I. En todo ángulo poliedro, la suma de las medidas de los ángulos
diedros es mayor que 0 y menor que 360.
II. En todo ángulo poliedro, la suma de las medidas de todos los
ángulos de sus caras están entre 180 y 540.
III. Dos ángulos poliedros son congruentes, si tienen sus ángulos
diedros respectivamente congruentes.

I. FALSO Esta teoría no esta establecida

II. FALSO En todo ángulo poliedro la suma de todas sus caras

es mayor que 0 y menor que 360

III. FALSO Dos ángulos poliedros son congruentes si sus caras y

ángulos diedros son respectivamente congruentes.
Clave: E
EJERCICIO 08
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes
proposiciones:
I. En todo ángulo poliedro, a caras congruentes se oponen
diedros congruentes.
II. El interior de un ángulo poliedro, es un conjunto convexo.
III. En todo ángulo poliedro equilátero, todas sus caras miden
60.

A) VFV B) FVF C) FFF

D) FFV E) VFV
 Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes
proposiciones:
RESOLUCIÓN 08 I. En todo ángulo poliedro, a caras congruentes se oponen diedros
congruentes.
II. El interior de un ángulo poliedro, es un conjunto convexo.
III. En todo ángulo poliedro equilátero, todas sus caras miden 60.

I. FALSO Solo para ángulos triedros

II. FALSO Por definición de ángulos polígonos convexos

III. FALSO Un ángulo poliedro es equilátero, si tienen caras

congruentes y diedros congruentes

Clave: C
EJERCICO 09
En un ángulo tetraedro, tres de sus caras miden 130, 60, 125.
Calcule el máximo valor entero que pueda tener la medida de
su cuarta cara

A) 42 B) 43 C) 44
D) 45 E) 46
 En un ángulo tetraedro, tres de sus caras miden 130, 60, 125.
Calcule el máximo valor entero que pueda tener la medida de su
RESOLUCIÓN 09 cuarta cara

Por teoría: 0 < a1 + a2 + a3 + a4 < 360

0 < 130 + 60 + 125 + a4 < 360

a4 < 360 - 315

a4 < 45

a4 = 44

Clave: C
EJERCICIO 10
Las medidas de las caras de un ángulo pentaedro convexo, son
números enteros y están en la relación de 1, 3, 4, 5, 7
respectivamente. Si la medida de la menor de las caras es mayor
que 16, entonces la medida entera de la cara mayor es

A) 117 B) 118 C) 119

D) 120 E) 121
 Las medidas de las caras de un ángulo pentaedro convexo, son números
enteros y están en la relación de 1, 3, 4, 5, 7 respectivamente. Si la medida
RESOLUCIÓN 10 de la menor de las caras es mayor que 16, entonces la medida de la cara
mayor es
O
7a = ?
a 3a 4a Por teorema de ángulos poliedros:
7a 5a a + 3a + 4a + 5a + 7a < 360
 a < 18
Pero por dato: a > 16
 a = 17
B C
Luego la mayor cara mide: 7a = 7(17)

A D 7a = 119

E Clave: C
 EJERCICIO 11
¿Cuál es el ángulo poliedro convexo en el que las aristas
determinan el mismo número de ángulos triedros y ángulos
tetraedros?

A) Ángulo pentaedro B) Ángulo hexaedro

C) Ángulo heptaedro D) Ángulo octaedro
E) Ángulo nonaedro
 ¿Cuál es el ángulo poliedro convexo en el que las aristas
determinan el mismo número de ángulos triedros y ángulos
RESOLUCIÓN 11 tetraedros?

Sea n el número de aristas del ángulo poliedro.

Los números de ángulos triedros y ángulos tetraedros que se
determinan son las combinaciones de n tomadas de 3 en 3 y de 4 en 4
.
Entonces según lo que se indica:

n! n!
Cn
3 = Cn
4 = (n − 3)! 3! = (n − 4)! 4!
(n − 3)! 3! (n − 4)! 4!

(n − 3)[(n − 4)!]6 = [(n − 4)!]24 n−3=4 n = 7 (Ángulo heptaedro)

Clave: C
 TEORÍA
IEN
2023

Ángulo Triedro
10
ÁNGULO TRIEDRO
Definición.- Es un ángulo poliedro que tiene tres caras

O Elementos del ángulo triedro

1) Vértice: O
2) Caras: AOB, BOC y AOC
3) Diedros: son los ángulos
C diedros formados por dos
A caras adyacentes
Notación
B - ángulo triedro O-ABC
- triedro O-ABC
 TEOREMA TEOREMA

Para todo ángulo triedro se cumple Para todo ángulo triedro se cumple
que la suma de las medidas de las que la medida de una cara es menor
tres caras es mayor que 0 y menor que la suma de las medidas de las
que 360. O otras dos.
O

b b
a a
c c C
C
A A

B B
a<b+c

0 < a + b + c < 360 b<a+c c<a+b

EJERCICIO 02
Dos caras de un ángulo triedro miden 80 y 98. Halle las medidas
enteras mínima y máxima de la tercera cara.

A) 8 y 151 B) 9 y 162 C) 9 y 167

D) 10 y 161 E) 9 y 166
 Dos caras de un ángulo triedro miden 80 y 88. Halle las medidas
enteras mínima y máxima de la tercera cara.
RESOLUCIÓN 02

O Teorema:
x < 88 + 80
88
88 < 80 + x
80
x
C  8 < x < 168
A

 xmin = 9 y xmax = 167

B

Clave: C
 TEOREMA
Para todo ángulo triedro, dos caras son congruentes, sí y solo sí, los
diedros opuestos a estas caras son congruentes.
C
a y b son las medidas de las caras
BOC y AOC; α y β son las medidas
de los ángulos diedros opuestos a
estas caras.
A
M a=b ⇔ α=β
b α
O a
**En todo ángulo triedro, a caras diferentes
β se oponen diedros diferentes y a mayor cara
le corresponde mayor diedro.
N
B
 TEOREMA

Para todo ángulo triedro se cumple que la suma de las medidas de

los tres ángulos diedros es mayor que 180 y menor que 540.

C
Si α, β y θ son las medidas de los
ángulos diedros del ángulo triedro
θ
b α A O−ABC, entonces
O a
c 180 < α + β + θ < 540
β

B
 TEOREMA
Para todo ángulo triedro, la suma de las medidas de dos ángulos
diedros es menor que 180 aumentado en la medida del tercer
ángulo diedro.

C Si α, β y θ son las medidas de los

ángulos diedros del ángulo triedro
O−ABC, entonces
θ A
α a +  < 180 + 
O
a +  < 180 + 
β
 +  < 180 + a
B
EJERCICIO 03
En un ángulo triedro, dos ángulos diedros miden 140 y 160.
¿Cuál es la menor medida entera del tercer ángulo diedro?

A) 119 B) 120 C) 121

D) 123 E) 127
 En un ángulo triedro, dos ángulos diedros miden 140 y 160. ¿Cuál es la
RESOLUCIÓN 03 menor medida entera del tercer ángulo diedro

C Teorema:
160 + 140 < x + 180
 120 < x …(1)
x A
160 160 + x < 140 + 180
O  x < 160 …(2)

140 de (1) y (2):

120 < x < 160
B
 Xmenor entero = 121

Clave: C
 CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS TRIEDROS
Según las caras
1. Ángulo triedro escaleno: 2. Ángulo triedro isósceles:
Cuando sus caras no son Cuando tiene solo dos caras
congruentes. congruentes.
C C

A A
b a
O a
c O a

B B
3. Ángulo triedro equilátero: Ángulos triedros con ángulos
Cuando sus tres caras son diedros rectos
congruentes.
1. Ángulo triedro rectángulo:
C Cuando solo un ángulo
diedro es recto.
A
a
O a
a

B
2.Ángulo triedro birrectángulo: 3. Ángulo triedro trirrectángulo:
Cuando solo dos ángulos Cuando los tres ángulos
diedros son rectos. diedros son rectos.
EJERCICIO 04
En un ángulo triedro isósceles rectángulo O–ABC. Si b = c = 45 y
la medida del ángulo diedro OA es 90, entonces la medida de la
tercera cara es

A) 30 B) 45 C) 60
D) 75 E) 90
 En un ángulo triedro isósceles rectángulo O–ABC. Si b = c = 45 y la
medida del ángulo diedro OA es 90, entonces la medida de la tercera
RESOLUCIÓN 04 cara es

A m∠BOC = x = ?
∆OQR: notable de 45 y 45
Q
OQ = QR = n y OR = n 2
n
n C ∆OQP: notable de 45 y 45
R
45 n 2 OQ = QP = n y OP = n 2
O 45 x n
n 2 ∆PQR: PR = n 2
n 2 ∆POR: Equilátero
P
∴ x = 60
B

Clave: C
 TEORÍA
IEN
2023

Poliedros
10
POLIEDRO
Definición:
Un poliedro es la unión de cuatro o más regiones poligonales no
coplanares y tales que cada una de sus aristas pertenece
precisamente a dos regiones adyacentes o contiguas. Las regiones
poligonales que determinan el poliedro se denominan caras, los lados
de los polígonos son las aristas y los vértices de los mismos son los
vértices del poliedro.
ELEMENTOS DEL POLIEDRO
• Caras: Son las regiones poligonales que forman el poliedro (ABC, ADC,
ABD, BED, EDC y BEC)
• Aristas: Son los lados de las caras ( AB, AD, AC, EB, . . . , BC)
• Vértices: Son los vértices de las caras ( A, B, C, D y E)
• Diagonales: Son los segmentos cuyos extremos son dos vértices que no
pertenecen a la misma cara (AE)
• Ángulos diedros: Son los determinados por dos
caras adyacentes (A-BD-E, A-CD-E, etc.)
• Ángulos poliedros: Son aquellos cuyo vértice
coincide con uno de los vértices del poliedro y sus
caras contienen a las caras del poliedro (A-BCD, D-
ABCE, etc.)
CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS
Según el número de caras

Poliedro Número de caras

Tetraedro 4
Pentaedro 5
Hexaedro 6
Heptaedro 7
Octaedro 8
Nonaedro 9
Decaedro 10
Endecaedro 11
Dodecaedro 12
Pentadecaedro 15
Icosaedro 20
 POLIEDRO CONVEXO POLIEDRO NO CONVEXO
Definición: Definición:
Un poliedro es convexo, si el Un poliedro es no convexo, si
interior es un conjunto convexo. el interior es un conjunto no
convexo.

Poliedro convexo de 14 caras Hexaedro no convexo

EJERCICIO 05
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Existe algún poliedro con una diagonal.
II. Existen poliedros con dos diagonales.
III. En un hexaedro, sus caras son regiones cuadradas.

A) VVV B) VVF C) FVF

D) FFV E) FFF
 Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Existe algún poliedro con una diagonal.
RESOLUCIÓN 05 II. Existen poliedros con dos diagonales.
III. En un hexaedro, sus caras son regiones cuadradas.

I. (V)

II. Existen poliedros con dos diagonales (V)

III. No necesariamente. (F)

Clave: B
TEOREMAS DE LOS POLIEDROS CONVEXOS
TEOREMA 1
Todas las caras de un poliedro convexo son regiones poligonales convexas.

En el poliedro convexo se observa que

todas las caras son regiones poligonales
convexas.
TEOREMA 2
En todo poliedro convexo, la suma de los números de vértices y caras
es igual al número de aristas más dos.

Si V = número de vértices, C = número de caras y A = número de aristas,

entonces C + V = A + 2 (Teorema de Euler)

V=4 V=6 V=5 V=5

C=4 C=5 C=6 C=5
A=6 A=9 A=9 A=8
TEOREMA 3
En un poliedro convexo, la suma de los números de aristas de todas las
caras es igual al doble del numero de aristas del poliedro
Sea el poliedro que tiene C caras y A aristas. Si n1 , n2 , n3 , ⋯ , nc son los
números de aristas de cada una de las caras, entonces n1 + n2 + n3 + ⋯
+ nc = 2A
Ejemplo:

• Número de aristas de las caras triangulares

8x3 = 24 aristas
• Número de aristas de las caras cuadrangulares
4x2 = 8 aristas
Luego
2A = 24 + 8 → A = 16
TEOREMA 4
En un poliedro convexo, la suma de las medidas de los ángulos internos
de todas las caras es: S = 360(V – 2) = 360(A – C)
Demostración:
Si n1 , n2 , n3 , ⋯ , nc son los números de aristas de cada una de las caras
de un poliedro convexo, entonces la suma de las medidas de los ángulos
internos de todas las caras es
S = 180 n1 − 2 + 180 n2 − 2 + 180 n3 − 2 + ⋯ + 180 nc − 2
S = 180 n1 + n2 + n3 + ⋯ + nc − 2 − 2− ⋯ − 2
S = 180 2A − 2C = 360 A − C
S = 360(A – C) = 360(V – 2)
EJERCICIO 06
Un poliedro convexo tiene 10 caras triangulares y 8 caras
cuadrangulares. Calcule el número de vértices del poliedro.

A) 10 B) 12 C) 14
D) 13 E) 15
 Un poliedro convexo tiene 10 caras triangulares y 8 caras
cuadrangulares. Calcule el número de vértices del poliedro.
RESOLUCIÓN 06

V: número de vértices
S∠caras : suma de medidas de los ángulos internos de todas las caras.

S∠𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 = 360(V - 2)

8
El poliedro tiene: 10

S∠𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 = 10(180) + 8(360) = 360(V - 2)

V = 15 Clave: E
EJERCICIO 07
En un poliedro convexo, el número de caras es igual al número de
vértices, y la suma de los números de caras, vértices y aristas es
34. Indique el nombre del poliedro.

A) Octaedro B) Nonaedro C) Decaedro

D) Dodecaedro E) Icosaedro
 En un poliedro convexo, el número de caras es igual al número de
vértices, y la suma de los números de caras, vértices y aristas es
RESOLUCIÓN 07 34. Indique el nombre del poliedro.

C: número de caras del poliedro

𝐶 = 𝑉 … … … … … … … (𝐼)
𝐶 + 𝑉 + 𝐴 = 34 … … … … . . (𝐼𝐼)
Teorema de Euler C + V = A + 2………(III)
(III) y (I) en (II)
𝐶 + 𝐶 + 2𝐶 − 2 = 34
C=9
Entonces el poliedro es un nonaedro
Clave: B
TEOREMA 5

En un poliedro convexo, se cumple que el número total de diagonales es

V
D= − A − número de diagonales de todas las caras
2

Siendo V y A los números de vértices y aristas del poliedro.

EJERCICIO 08
Un poliedro convexo tiene 10 caras triangulares y 8 caras
cuadrangulares. Calcule el número de diagonales del
poliedro.

A) 50 B) 52 C) 56
D) 58 E) 60
 Un poliedro convexo tiene 10 caras triangulares y 8 caras
cuadrangulares. Calcule el número de diagonales del poliedro.
RESOLUCIÓN 08
• V: número de vértices
S𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 ∠𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 = 360(V - 2)

El poliedro tiene: 8 C = 18
10

S∠𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 = 10(180) + 8(360) = 360(V - 2) V = 15 A = 31

• Nro. de diagonales poliedro = C2v – A – Nro. de diagonales c/cara

Nro. de diagonales poliedro = C215 – 31 – [(8)(2) + (10)(0)]
Nro. de diagonales poliedro = 105 – 31 – 16 = 58
Clave: D