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    UNIVERSIDAD DE CONCEPCION Álgebra II.

    525148
    FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS 9 de mayo de 2019
    DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Profesores: A. Barrios, A. Gajardo, F. Jara

    Listado 2d)

    Problemas de práctica

    1. Considere el siguiente producto interno en P2 (R) definido por


    Z 1
    hp; qi = p(x)q(x)dx,
    −1

    para todo p, q ∈ V (no lo demuestre).

    a) Aplique el procedimiento de Gram-Schmidt sobre la base canónica de P2 (R) para obtener una
    base ortogonal de P2 (R) respecto al p.i. recién definido.

    C = {1, x, x2 }

    b) Calcule las coordenadas del vector r(x) = x2 − x + 1 respecto a la base obtenida.


    c) Calcule la proyección ortogonal de r(x) = x2 − x + 1 sobre el subespacio W = P1 (R), respecto
    al producto interno de la pregunta anterior.

    2. (E2, T3, 2016) Considere el subespacio vectorial S ⊆ M2×2 (R), cuya base es:
         
    1 2 2 −1 0 −5
    B= , , .
    0 0 −1 0 −1 1

    Además, considere el producto interior usual en este espacio dado por hA; Bi = tr(B t A),
    ∀A, B ∈ M2×2 (R).

    a) Encuentre una base ortogonal Bo para S.


    b) Encuentre el vector de coordenadas de la matriz
     
    3 −4
    A= ∈ S,
    −2 1

    con respecto a la base ortogonal Bo encontrada en el item anterior.

    3. Determine cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales.

    a) L1 : R2 −→ R3 , L1 (x, y) = (x, y − x, 1).


    b) L2 : V −→ V , definida por L2 (v) = hw; viw Donde V es un espacio vectorial complejo y w ∈ V
    es un vector dado fijo ¿Qué sucederı́a si V fuera un espacio vectorial real?
    Ejercicios propuestos

    1. Sea V = R3 provisto del producto interno usual. Determina una base ortonormal del plano Π =
    h{ (1, −1, 1), (1, 0, −1)}i y otra de la recta L = h{ (2, 3, 4)}i.

    2. Aplique el procedimiento de Gram-Schmidt sobre las siguientes bases para obtener una base orto-
    gonal, luego ortonormalı́cela.

    a) V = R3 , B = {(1, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 2)}, con el p. i. usual.


    b) V = P3 (R), B = { (t − 1)3 , (t − 1)2 , (t − 1), 1} con el p.i. hp(x), q(x)i = 2i=−1 p(i)q(i).
    P
           
    1 1 1 0 0 0 0 1
    c) V = M2 (R), B = , , , , con el p.i. usual.
    0 0 1 0 1 1 0 0
    d ) V = C2 sobre C, B = {(1, i), (i, 2)}, con el p.i. usual de C2 .

    3. Determine si las aplicaciones dadas son aplicaciones lineales entre los espacios vectoriales especifica-
    dos (considérelos espacios vectoriales reales, a menos que se especifique lo contrario).
     
    x 2x
    a) T1 : R −→ M2 (R), T1 (x) = .
    3x 4x
    b) T2 : R2 −→ R2 , T2 (x, y) = (x + y, 0).
    c) T3 : R2 −→ R2 , T3 (x, y) = (x − 4, y).
    d ) T4 : C −→ C2 , T4 (z) = (Re(z), Im(z)). Considere a C como espacio vectorial real y como
    espacio vectorial complejo.
    e) T5 : M3 (R) −→ P2 (R). Si A = (aij )i,j=1,2,3 , T5 (A) = p con p(x) = a11 x2 + tr(A).
    f ) T6 : M3 (R) −→ R, T6 (A) = det(A).

    4. Demuestre que las siguientes son aplicaciones lineales entre los espacios vectoriales indicados.

    a) T1 : Mn (K) −→ K, T1 (A) = tr(A).


    b) Tθ : R2 −→ R2 , Tθ (x) = Rθ x, con
     
    cos(θ) sin(θ)
    Rθ = , θ ∈ R fijo.
    − sin(θ) cos(θ)

    c) T3 : P2 (R) −→ R2 ,
    T3 (p) = (p0 (0), p0 (1)).

    5. Sea V un espacio vectorial con producto interior y w ∈ V fijo. Considere la aplicación


    T1 : V −→ V , definida por
    T1 (v) =< v, w > w.
    Si V es un espacio vectorial complejo, ¿es lineal? ¿Qué sucede si V es un espacio vectorial real?

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