Mathematics">
Nothing Special   »   [go: up one dir, main page]
Scribd Logo
Cargar

¡Te damos la bienvenida a Scribd!

  • 41 vistas

    P7

    Cargado por

    Franco Madera
    Este documento presenta 10 ejercicios sobre proyección ortogonal y aproximación por mínimos cuadrados en espacios vectoriales. Los ejercicios 1-5 se enfocan en proyecciones ortogonales, incluyendo cómo encontrar la proyección de un vector sobre un subespacio, y las propiedades de las proyecciones ortogonales como ser transformaciones lineales. Los ejercicios 6-10 aplican el método de mínimos cuadrados para encontrar la mejor aproximación lineal, cuadrática o exponencial a datos experimentales.

    Copyright:

    © All Rights Reserved
    Descargue como PDF, TXT o lea en línea desde Scribd

    P7

    Cargado por

    Franco Madera
    41 vistas3 páginas
    Este documento presenta 10 ejercicios sobre proyección ortogonal y aproximación por mínimos cuadrados en espacios vectoriales. Los ejercicios 1-5 se enfocan en proyecciones ortogonales, incluyendo cómo encontrar la proyección de un vector sobre un subespacio, y las propiedades de las proyecciones ortogonales como ser transformaciones lineales. Los ejercicios 6-10 aplican el método de mínimos cuadrados para encontrar la mejor aproximación lineal, cuadrática o exponencial a datos experimentales.

    Descripción original:

    Derechos de autor

    © © All Rights Reserved

    Formatos disponibles

    PDF, TXT o lea en línea desde Scribd

    ¿Le pareció útil este documento?

    ¿Este contenido es inapropiado?

    Este documento presenta 10 ejercicios sobre proyección ortogonal y aproximación por mínimos cuadrados en espacios vectoriales. Los ejercicios 1-5 se enfocan en proyecciones ortogonales, incluyendo cómo encontrar la proyección de un vector sobre un subespacio, y las propiedades de las proyecciones ortogonales como ser transformaciones lineales. Los ejercicios 6-10 aplican el método de mínimos cuadrados para encontrar la mejor aproximación lineal, cuadrática o exponencial a datos experimentales.

    Copyright:

    © All Rights Reserved
    Descargue como PDF, TXT o lea en línea desde Scribd
    Descargar como pdf o txt
    41 vistas3 páginas

    P7

    Cargado por

    Franco Madera
    Este documento presenta 10 ejercicios sobre proyección ortogonal y aproximación por mínimos cuadrados en espacios vectoriales. Los ejercicios 1-5 se enfocan en proyecciones ortogonales, incluyendo cómo encontrar la proyección de un vector sobre un subespacio, y las propiedades de las proyecciones ortogonales como ser transformaciones lineales. Los ejercicios 6-10 aplican el método de mínimos cuadrados para encontrar la mejor aproximación lineal, cuadrática o exponencial a datos experimentales.

    Copyright:

    © All Rights Reserved
    Descargue como PDF, TXT o lea en línea desde Scribd
    Descargar como pdf o txt
    de 3

    Universidad de la República Geometrı́a y Álgebra Lineal 2

    Facultad de Ingenierı́a - IMERL

    PRÁCTICO 7: PROYECCIÓN ORTOGONAL - MÍNIMOS CUADRADOS.

    1. Proyección ortogonal
    Ejercicio 1. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno, S ⊂ V un
    subespacio vectorial y PS (v) la proyección ortogonal de v sobre S; es decir PS (v) es el único vector
    que verifica que PS (v) ∈ S y v − PS (v) ∈ S ⊥ .
    Probar que:
    1. PS (s) = s ∀s ∈ S.
    2. PS (v) = ~0 ∀ v ∈ S ⊥ .
    S P
    3. La función PS : V → V dada por v 7→ PS (v) es una transformación lineal.
    4. Hallar la matriz asociada de PS en una base construı́da uniendo una base de S con una de S ⊥ .
    5. Hallar el núcleo y la imagen de PS .
    6. Hallar valores propios y subespacios propios de PS , ¿Es PS diagonalizable?
    7. ||v||2 = ||PS (v)||2 + ||PS ⊥ (v)||2 ∀v ∈ V.
    8. ||PS (v)|| ≤ ||v||.
    9. hv, PS (v)i = ||PS (v)||2 ∀v ∈ V.

    Ejercicio 2. En cada caso, dado el producto interno, el subespacio S y el vector v, hallar PS (v).
    1. En R4 con el producto interno habitual; S = (1, −1, 1, 1), (2, 1, 0, 3) y v = (1, 2, 3, 4).
     

    2. En R4 con el producto interno habitual; S = (1, −1, 1, 1), (2, 1, 0, 3) y v = (x, y, z, t) cual-
     

    quiera.
    3. En R3 con el producto interno dado por


    (x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) = 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + 4x2 y2 + x3 y3 ,

    S = (x, y, z) ∈ R3 : y − z = 0 y v = (1, −1, 0).


    

    4. En C3 con el producto interno usual; S = {(x, y, z) ∈ C3 : x + (1 + i)y − z = 0} y v = (0, 1, i).

    Ejercicio 3. En los siguientes casos consideramos los productos internos usuales.


    1. Sea PS : R3 −→ R3 la proyección ortogonal sobre el plano S = (x, y, z) ∈ R3 : x−2y+z = 0 .
    

    Hallar la matriz asociada a PS en las bases canónicas de R3 .


    2. Hallar la matriz asociada en la base canónica de la proyección (en R2 ), sobre la recta y = 3x.
    R1
    Ejercicio 4. Consideramos en R3 [x] el producto interno dado por hp, qi = −1 p(t)q(t) dt.
    1. Hallar una base ortonormal del subespacio R2 [x] ⊂ R3 [x].
    2. Hallar la proyección ortogonal del polinomio p : p(t) = t3 sobre el subespacio R2 [x].
    3. Sea F : R3 → R tal que
    Z 1
    F (a, b, c) = (at2 + bt + c − t3 )2 dt
    −1

    Hallar el mı́nimo de F en R3 (Resolverlo como un problema de proyección).


    Rπ
    Ejercicio 5. En el espacio C[−π, π] con el producto interno f (t)g(t)dt:
    −π
    1. Aplicar el proceso de Gramm-Schmidt al conjunto {1, cos t, sin t}.
    1
    2

    2. Sea S el subespacio de C[−π, π] generado por B. Hallar el elemento de S más próximo a la


    función f (x) = x.

    2. Aproximación por mı́nimos cuadrados


    Ejercicio 6. Sea A ∈ Mm×n (R).
    1. Probar que Im(A)⊥ = Ker(At ); es decir, que si S es el subespacio de Rm generado por las
    →
    −
    columnas de A, entonces S ⊥ = {X ∈ Rm : At X = 0 }.
    2. Dado Y ∈ Rm y S = Im(A), probar que s = PS (Y ) si y sólo si s = AXo con Xo ∈ Rn y
    (At A)Xo = At Y .
    3. Dado Y ∈ Rm , concluir que el vector que minimiza ||Y − AX|| es la solución del sistema
    (At A)X = At Y .
       
    1 0 1
    Ejercicio 7. Sea AX = b un sistema de ecuaciones donde A =  0 1  y b =  1 .
       

    1 1 0
    1. Resolver AX = b .
    2. Encontrar la “mejor solución” X aplicando el método de mı́nimos cuadrados; es decir, hallar
    X que minimice ||AX − b||.
    3. Sea s = AX . Verificar que el vector “error” b − s es ortogonal a las columnas de A .

    Ejercicio 8. En un experimento se midió según el tiempo una cierta magnitud y, obteniéndose los
    siguientes valores

    t y
    0 0
    1 1
    3 2
    4 5
    1. Graficar y contra t .
    2. Aplicando el método de mı́nimos cuadrados hallar la “mejor ” recta que ajuste los datos
    anteriores ( y = αt + β ). Graficar la solución.
    3. Aplicando el método de mı́nimos cuadrados hallar la “mejor ” parábola que ajuste los datos
    anteriores ( y = αt2 + βt + γ ). Graficar la solución.

    Ejercicio 9. En un experimento con 2 materiales radiactivos se mide la lectura y de un contador


    Geiger en varios tiempos t . Se puede suponer basándose en la experiencia anterior que los datos
    verifican el siguiente modelo
    y = αe−λt + βe−µt
    1
    donde se conocen las vidas medias de ambos materiales: λ = 1 y µ = 2 , pero se ignoran las cantidades
    de cada uno de ellos: α y β.
    t y
    0 8
    Se efectúan una serie de resultados obteniéndose los siguientes valores: .
    1 4
    3 1
    Plantear las ecuaciones normales que optimizan α y β según el criterio de los mı́nimos cuadrados.
    3

    Ejercicio 10. La tabla 


    de valores
     que se
     muestra
     a continuación corresponde a medidas con error de
    πt πt
    una ley y = f (t) = A sin + B cos . Aplicando el método de mı́nimos cuadrados, calcular
    4 4
    t y
    0 0
    los parámetros A y B que mejor ajustan f (t) a los datos: .
    2 1
    4 2

    También podría gustarte