Tema 1 Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Álgebra Lineal
Tema 1 Sistemas de ecuaciones lineales.
IMIII
Facultad de cie n cia s
D e fin ició n 1 S ku A e A^„,x„(lK) llamamoa pinole de xina fila (resp. columna) de A al puirner elemenlo no nulo de dicha fila
(rcsp. columna), si es (¡ue hay al()iino.
D e fin ició n 2 Una inatriz A £ A ^,„x,i(K ) se dice (¡ue e..i escalonada por filas si el pivote de cada fila no nula esLá a la ilcreclia
ílcl. lie la fila anterior y los eleiaentos rpi f aparecen en la misma columna rpie el pivote de una fila y debajo de él, son lodos cero.
D e fin ició n 3 Una matiiz A G A^mx>i(K) se dict: (fue es escalonada rcdacidu por Jilas si d prvute de aidu fila no nula está a la
derecha del dn la fila anterior ;// los elementos que aparecen en la misma, colnmna que el pivote de. una fihi, son todos cero.
D e fin ició n 4 Una malviz A 6 se dice que ts escalonada vor columnas si el pivote de cada columna no nula está más
abajo que el de la columna anterior y los tlem enlos que uiJut'ecen en la misma fila que el pivole de una columna y a lu derecha
de él, son iodos cero.
D e fin ició n 5 Una matriz A £ A 1,„xn(K ) ue dice que es escalonada por columnas si el pivote de cada columna no nula está más
abajo que el de la columna anterior y los elementos que aparecen en la misma fila qtie el pivole de una columna, son lodos cero.
D e fin ició n 6 SeanA 6 A^m xn(K), llamamos Lransformación elemental de filas en A a cualquiera de las siguientes operaciones:
Tipo 1) Intercambiar la po.sición de dos filas.
Tipo 2) Multiplicar lodos los elementos de una fila por un elemento no nido de K.
Tipo 3) Sumar a una fila otra fila multiplicada por un elemento de K.
L em a 1 Se verifica que:
1) A '^f A VA € A^mxri(K) (resp. por columnas). /A ^ 6 <5? Q
2) A B ^ B ~ f A VA, B e A lm xn(K ) (resp. por columnas). "(• f Ôf MCC«'cA« 5
3) Si A ~ f B y B C entonces A C VA, B ,C & ^ fm x n (K ) (rtísp. por columnas). Ae f.'Uj
L em a 2 Sean A ,B & A^mxn(K) dos matrices escjilonadas reducidas vor ñlas. Si A B entonces A = B (resp. por columnas).
^ T eorem a l| ca í/ü matriz es equivalente por filas a una única matriz escalonada reducida por filas (resp. por columnas).
\P e fin ic i0 n tÍ Dada una matriz A £ M , „ x n { ^ ) llamamos form a normal de Hermite vor filas de A a la única matriz escalonada
reducida por filas que se obtiene de A mediante transformaciones elementales de filas (resp. por columnas).
D e fin ició n 8 Dada una matriz A € jM „ixn (K ) llamamos rango de A y lo denotamos por r g { A) al número de filas no nulas de
su form a normal de H ennite por filas. ^ coLviao-í. ■
P r o p o s ic ió n 1 Dada una m.atri.z A £ A 1„ixn(K ) entonces rg{A) < mín {m ,n }

Ide-fiAM Í .
D e fin ició n 9 Llamaremos matrices elementales de orden n a las matrices nsultantes de aplicar una y sólo una Imnsfonnación
elemental por filas a la matriz identidad de orden n. Resultan así tres tipos de matrices elementales.
M a tr i c e s E le m e n ta le s de T ip o I Denotaremos por Eij a la matriz que .sfi obtiene de la identidad, intercambiando las filas
i-ésim a y j-ésim a.
M a tr ic e s E le m e n ta le s de T ipo I I Denotaremos por Ei{X) a la matriz que se obtiene de la identidad multiplicando por
X los elemntos de la fila i-ésima.
M a tr ic e s E le m e n ta le s d e T ipo I I I Denotaremos por Eij(X) a la rnalriz que se obtiene de la identidad sumando a la fila
i-ésim a la fila j-ésim a multiplicada por X.
Notemos que las matrices elementales se pueden obtener también aplicando a la identidad las tramformaciones elementales
de columnas.
P r o p o s ic ió n 2 Sea A £ A 1 „ix „(K ) y sean E y F matrices elementales de órdenes m y n respectivamente. Entonces:

1) E A es la matriz que se obtiene de A aplicando a sus filas 'la misma traiuíformación elemental con la que se obtiene E a
partir de la identidad.
2) A F es la matri.z que se obtiene de A apiicírndu a .'¡us columnas la mi.sina tiuasfonnación clcinealul con la que se ubliene
F a partir de la identidad.
C o r o la r io 1 Sea A € A 1 ,„x „(K ) y sean H ¡ la forma normal de Hpnnil.p.nnr filas de A y H,. la form a de Ilennite por columnaa
de A, entonces:
a) H f = E g E„ - i ■■■E\ A paia algunas matrices elementales E\, E 2 , ■■■, £.s de orden rn.
h) fl,: = AE\E 2 ' ■■E fÁ para algunas matrices elementales E\, E 2 , . ■■, Ei de orden >1 .
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P r o p o s ic ió n 2 Sea A £ A 1 „ix „(K ) y sean E y F matrices elementales de órdenes m y n respectivamente. Entonces:

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