ALVITREZ BRAVO

FLUJO NO PERMANENTE

Oscilación de líquido en un tubo en U.

 ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

INDICE

I. Introducción 2

II. Objetivos 3

III. Fundamentos Teóricos 3

 Oscilación de líquido en un tubo en U. 3

 Oscilación de Depósitos.
6
 Métodos de Runge-Kutta. 7

IV. Metodología 12

 Planteamiento del problema.

12
 Metodología de solución. 13

V. Cálculos y Resultados 20

 Tablas 24
 Graficas 32

VI. Conclusiones y/o Recomendaciones 38

VII. Bibliografía 40

VIII. Anexo 41
 ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

I. INTRODUCCION

Hasta este punto, todos los casos analizados de movimiento de fluidos han sido
considerados a régimen permanente. Sin embargo, existen casos en los que no es posible
reducir a situaciones de régimen permanente pues la variación de los parámetros a través
del tiempo es considerable.

El análisis de flujo no permanente es mucho más complejo que en un flujo permanente,

debido a que los parámetros no solo dependen de la posición, sino también del tiempo; lo
cual se introduce como una variable más en la ecuación diferencial que gobierna el
movimiento del flujo. Debido a la complejidad, estas ecuaciones diferenciales en su
mayoría deben ser resueltas por métodos numéricos, debido a que las soluciones
analíticas son muy complejas o simplemente no es posible hallarlas.

Existen muchas aplicaciones del flujo no permanente a la ingeniería, uno de estos es la

oscilación de depósitos de sección variable. El caso que se resolverá a continuación es un
problema de oscilación de depósitos con sección transversal variable, para lo cual se
proceden a igualar los volúmenes de los depósitos a volúmenes de tuberías equivalentes,
con lo cual se obtienen las ecuaciones diferenciales que gobiernan el fenómeno, los cuales
serán resueltas por el Método de Runge-Kutta de 4° Orden.
 ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

II. OBJETIVOS

a) Analizar y visualizar la variación de la posición y la velocidad con respecto al tiempo de un

sistema compuesto de dos depósitos de sección variable que para nuestro caso consta de
de un tronco parábola-tronco de cono y semiesfera-tronco parábola
b) Solucionar la ecuación diferencial ordinaria que gobierna el fenómeno mediante métodos
numéricos y la solución analítica para una sola iteración.
c) Aplicar el método de Runge-Kutta de 4° orden para el desarrollo del problema de
depósitos
d) Analizar las graficas que nos da el programa.
e) Ver como es la oscilación en los depósitos.
f) Ver cómo se van modificando las alturas de los depósitos.

III. FUNDAMENTOS TEORICOS

Oscilación de un líquido en un tubo de u

Consideremos un líquido contenido en un tubo en forma de U de

sección uniforme S. La longitud del líquido es L, y su volumen S·L.  En
la situación de equilibrio la altura del líquido en ambas ramas es la
misma. Supongamos que por algún procedimiento, se desnivela el
líquido en las dos ramas.

Si consideramos el líquido como un fluido ideal, libre de rozamiento

con las paredes del recipiente que lo contiene, el líquido empezará a
oscilar con un periodo que depende únicamente de la longitud L de de
la columna de líquido.

Vamos a deducir la fórmula del periodo de las oscilaciones de un líquido en un tubo en

forma de U, a partir de las ecuaciones de la dinámica.
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

Cuando el líquido se desplaza x hacia la derecha, el desnivel entre

las dos ramas del tubo en forma de U es 2x, tal como se aprecia
en la figura. La fuerza F que se opone al movimiento de todo el
fluido, es el peso de la columna de fluido de sección S y altura 2x.

 La masa de todo el fluido es ρSL

 La fuerza F tiene por módulo, ρS(2x) g, y es de sentido
contrario al desplazamiento x.

La ecuación del movimiento se escribe (masa por aceleración igual a fuerza)

Se trata de la ecuación diferencial de un MAS cuya frecuencia angular es ω2=2g/L o cuyo

periodo es

La solución de la ecuación diferencial es

x=Asen(ωt+φ).

La velocidad de la columna de líquido en el instante t es

v=dx/dt= Aωcos(ωt+φ).

donde A y φ se determinan a partir de las condiciones iniciales.

Para conseguir un desnivel inicial entre las dos ramas del tubo, se pone un corcho en el
extremo de una de las ramas, se extrae algo de aire, el líquido en esta rama se eleva h0 y
desciende la misma longitud en la otra rama. Se descorcha la rama, y se empieza a contar
el tiempo, en el instante inicial t=0, tenemos x=h0 y v=0.
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

Con estas condiciones iniciales φ=π/2, x=h0cos(ωt), y v=-ωh0sen(ωt)

Utilizando la formula de Colebrook para sustituir la resistencia τ o se tiene:

2
1 ∂ p ∂z ∂v f .v
+g +v + =0
ρ ∂s ∂s ∂s 2. D
Integrando esta ecuación entre las secciones 1 y 2, el primer término se elimina ya que los
∂v
=0
límites son p = 0 en cada caso, el tercer término se elimina ya que ∂s , y los
términos cuarto y quinto son independientes de s; por lo tanto,

dv f 2.g
+ +v|v|+ z=¿ 0
dt 2. D L

El signo de valor absoluto en la velocidad se requiere para que la resistencia se oponga a

dz
v=
la velocidad, ya sea positiva o negativa. Expresando dt

2
d z f dz dz 2 g
+ | |+ z =¿ 0
dt 2 2 D dt dt L
Debido al término en v cuadrado, la ecuación diferencial no es lineal. Puede integrarse
una vez con respecto a t, pero no se conoce una solución cerrada para la segunda
integración. Si se conocen las condiciones iniciales: t=¿t o , z=¿ z o , dz/dt=¿ 0 este
problema es fácilmente resuelto por el método de Runge-Kutta de 4° orden.

A continuación se ve un breve ejemplo de la oscilación de una tubería en u

ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

Oscilación en Depósitos

La oscilación en dos depósitos conectados por una tubería puede ser representada por la
misma ecuación que rige el caso de la oscilación en un tubo en U (con excepción de los
términos constantes). Si z1 y z2 representan los desplazamientos de las superficies de los
depósitos, desde su posición de equilibrio y si z 1 representa el desplazamiento de una
partícula de agua de la tubería conectora, desde su posición de equilibrio.

∀=¿ A1 . z1 =¿ A2 . z 2 =Az

En donde A1 y A2 son las áreas de los depósitos, las cuales se supondrán constantes en
esta derivación. Tomando en consideración las pérdidas menores en el sistema a través de
una longitud equivalente Le de tuberías y accesorios, es posible escribir la ecuación de
Euler (incluyendo resistencia).
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

d2 z
++
f L
e dz
2
g
++ ( z 1 +z2)=¿ 0
2 2 DL dt L
dt

d2 z
++
f L
e dz
2
++
gA 1
( +
1
) z==0
2 2 DL dt L A1 A2
dt ……………….(α)

La ecuación (α) es valida para depósitos cilíndricos.

Método de Runge-Kutta

Runge-Kutta no es un solo método iterativo, sino una familia de métodos iterativos tanto
implícitos como explícitos para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales
ordinarias. Estas técnicas fueron desarrolladas aproximadamente en el año 1900 por los
matemáticos David T. Runge y Martín W. Kutta. El miembro más utilizado para la solución
numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias es Método de Runge-Kutta de 4° orden, la
cual proporciona un margen aceptable de error respecto a la solución analítica de la
ecuación diferencial.

El Método de Runge-Kutta de 4° orden resuelve ecuaciones diferenciales de la forma:

dy(t )
=¿ f (t , y )
dt

y(t o )=¿ y o

Para lo cual utiliza la siguiente relación:

1
y i++1 =¿ y i ++ ( ( k 1 ++2k 2 ++2 k 3 ++k 4 ) )
6

En donde los valores de las constantes son k 1 , k 2 , k 3 y k 4 y h es el tamaño de

paso:

k 1 =¿ h . f (t i , y i )

h k1
k 2 =¿ h . f (t i ++ , y i ++ )
2 2

h k
k 3 =¿ h . f (t i ++ , y i ++ 2 )
2 2
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

k 4 =¿ h . f (ti ++h , y i++k 1 )

Para el problema a resolver, la ecuación diferencial es de la forma:

dz
F1 =¿ =¿V
dt

F2 =¿−−C 1 (Z 1 (z )−−Z 2 ( z))−C2 V .|V|

h=¿ Δt

Con lo cual, la relación para el proceso iterativo será:

k z 1 + +2 k z2 + +2 k z 3 + +k z 4
z n++ 1 =¿ z n + +
6

k V 1 + +2 k V 2 + +2 k V 3 + +k V 4
V n + +1 =¿V n + +
6

Ejemplo de Runge kutta

Determine y (0.5) utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden, en el intervalo de

interés [0, 0.5], en 5 intervalos.

PVI { y’ =4e0.8x – 0.5y ; y(0) =2 ; y(0.5) =? }

h =0.5 – 0 / 5 h =0.1

por lo tanto x0 =0, x1 =0.1, x2 =0.3, x4 =0.4, x5 =0.5

ITERACIÓN I i =0 ; x0 =0 ; y0 =2

K1 =f [0, 2] =4e(0.8*0) – (0.5 * 2)

K1 =3

 K2 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3) /2] =f [0.05, 2.15] =4e (0.8*0.05) – (0.5 * 2.15)

K2 =3.088243

K3 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3.088243) /2] =f [0.05, 2.154412]

K3 =4e(0.8*0.05) – (0.5 * 2.154412)

ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

K3 =3.086037

K4 =f [0 +0.1, 2 +(0.1 *3.086037)] =f [0.1, 2.308603]

K4 =4e(0.8*0.1) – (0.5 * 2.308603)

K4 =3.178846

 y1(0.1) =2 +{0.1 /6 [3 +(2 *3.088243) +(2 *3.086037) +3.178846]}

y1(0.1) =2.308790

 ITERACIÓN II i =1 ; x1 =0.1 ; y1 =2.308790

K1 =f [0.1, 2.308790] =4e(0.8*0.1) – (0.5 * 2.308790)

K1 =3.178753

 K2 =f [0.1 +0.1/2, 2.308790 +(0.1 *3.178753) /2] =f [0.15, 2.467727]

K2 =4e(0.8*0.15) – (0.5 * 2.467727)

K2 =3.276123

 K3 =f [0.1 +0.1/2, 2.308790 +(0.1 *3.276123) /2] =f [0.15, 2.472596]

K3 =4e(0.8*0.15) – (0.5 * 2.472596)

K3 =3.273689

K4 =f [0.1 +0.1, 2.308790 +(0.1 *3.273689)] =f [0.2, 2.636158]

K4 =4e(0.8*0.2) – (0.5 * 2.636158)

K4 =3.375964

 y2(0.2) =2.308790 +{0.1 /6 [3.178753 +(2 *3.276123) +(2 *3.273689) +3.375964]}

y2(0.2) =2.636362

  ITERACIÓN III i =2 ; x2 =0.2 ; y2 =2.636362

K1 =f [0.2, 2.636362] =4e(0.8*0.2) – (0.5 * 2.636362)

ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

K1 =3.375862

K2 =f [0.2 +0.1/2, 2.6366362 +(0.1 *3.375862) /2] =f [0.25, 2.805155]

K2 =4e(0.8*0.25) – (0.5 * 2.805155)

K2 =3.483033

K3 =f [0.2 +0.1/2, 2.636362 +(0.1 *3.483033) /2] =f [0.25, 2.810513]

K3 =4e(0.8*0.25) – (0.5 * 2.810513)

K3 =3.480354

 K4 =f [0.2 +0.1, 2.636362 +(0.1 *3.480354)] =f [0.3, 2.984397]

K4 =4e(0.8*0.3) – (0.5 * 2.984397)

K4 =3.592798

 y3(0.3) =2.636362 +{0.1 /6 [3.375862 +(2 *3.483033) +(2 *3.480354) +3.592798]}

y2(0.3) =2.984619

 ITERACIÓN IVi =3 ; x3 =0.3 ; y3 =2.984619

K1 =f [0.3, 2.984619] =4e(0.8*0.3) – (0.5 * 2.984619)

K1 =3.592687

K2 =f [0.3 +0.1/2, 2.984619 +(0.1 *3.592687) /2] =f [0.35, 3.164253]

K2 =4e(0.8*0.35) – (0.5 * 3.164253)

K2 =3.710392

K3 =f [0.3 +0.1/2, 2.984619 +(0.1 *3.710392) /2] =f [0.35, 3.170138]

K3 =4e(0.8*0.35) – (0.5 * 3.170138)

K3 =3.707450

K4 =f [0.3 +0.1, 2.984619 +(0.1 *3.707450)] =f [0.4, 3.355364]

ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

K4 =4e(0.8*0.4) – (0.5 * 3.355364)

K4 =3.830829

 y4(0.4) =2.984619 +{0.1 /6 [3.592687 +(2 *3.710392) +(2 *3.707450) +3.830829]}

y2(0.4) =3.355606

 ITERACIÓN V i =4 ; x4 =0.4 ; y4 =3.355606

K1 =f [0.4, 3.355606] =4e(0.8*0.4) – (0.5 * 3.355606)

K1 =3.830708

 K2 =f [0.4 +0.1/2, 3.355606 +(0.1 *3.830708) /2] =f [0.45, 3.547141]

K2 =4e(0.8*0.45) – (0.5 * 3.547141)

K2 =3.959747

 K3 =f [0.4 +0.1/2, 3.355606 +(0.1 *3.959747) /2] =f [0.45, 3.553593]

K3 =4e(0.8*0.45) – (0.5 * 3.553593)

K3 =3.956521

 K4 =f [0.4 +0.1, 3.355606 +(0.1 *3.956521)] =f [0.5, 3.751258]

K4 =4e(0.8*0.5) – (0.5 * 3.751258)

K4 =4.091669

y5(0.5) =3.355606 +{0.1 /6 [3.830708 +(2 *3.959747) +(2 *3.956521) +4.091669]}

La solución requerida es y5(0.5) =3.751521

 ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

IV. METODOLOGIA

Planteamiento del Problema

Se dispone de un sistema de depósitos conectado por una tubería larga de longitud

L=700 m de diámetro Dt =2 m, con un factor de fricción f =0.02 y la suma total de perdidas
es Σ k=8 m. Este sistema esta formado de dos depósitos (1 y 2), en el cual el depósito 1 está
compuesto de dos secciones un tronco parabólico y tronco de cono el depósito 2 de una
sección tronco parabólico y semiesfera. Inicialmente el nivel de agua en el depósito 1,
respecto al Nivel Aguas Tranquilas (N.A.T) es Z1 =HA 1=8 m. Las dimensiones del
sistema de depósitos son mostrados en la siguiente figura.
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

Metodología de Solución

En este punto se procede a calcular las ecuaciones que gobiernan las formas de los
depósitos, tanto para el depósito 1 como para el depósito 2.

DEPOSITO 1

TRONCO PARABOLA INVERTIDA

ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

De la relación ∀T = ∀ PI
Hallando la ecuación de la parábola invertida
La ecuación es de la forma:
Z−¿
2
D AC D
Para Z=0 , x=
2
→ [ H PA + ∆ h ]=4 p AC ………… α
2 [ ]
D AP 2
Para Z=H PA , x= → ∆ h= p D AP ………………………………
2
β
De α y β
H PA
p=
D AC 2−D AP2
H PA
h PA +∆ h= 2 2
D AP2
D AC −D AP

−[ D AC 2−D AP2 ] D 2
→ x2= Z + AC
4 H PA 4

De la relación
Z1
− [ D AC 2−D AP2 ]
2
∀T = ∀ PI → π DT z=π ∫
2
0
[ 2
H PA ]
y + D AC 2 dZ

2 D AC HP A D T HP A
z 1 −2 2
z +2
2 1
z= 0
D AC −D AP D AC 2−D AP2
La solución de z 1 en función z será para Z1 ≥ 0

z 1=
D AC 2 H PA
D AC2 −D AP2
−
√[ D AC 2 H PA
D AC 2−D AP2 ] −2
D T 2 H PA
D AC 2−D AP2
z

TRONCO DE CONO
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

La ecuación es de la siguiente forma:

z−z 0=m [ x−x 0 ]
D
Para z=0 , x= AC
2
D
Para z=−H A 2 , x= T
2
De los dos puntos que pertenecen a la recta hallo la pendiente la
cual es:
2 H A2
m=
D AC −DT

D AC [ D AC −DT ]
x= + z
2 2 H A2

2
[ D AC −DT ]
1
2
[
→ x = D AC +
4 HA2
z ]

0 2
( D AC −DT )
2
[
∀T = ∀ trono decono → π DT z=π ∫ D AC +
− z1 H A2 ]
z dz

La solución de z 2 en función z será para z 1< 0

3 1

{ [[ ]}
2
2 H A 2 D AC D AC 3 D T [ D AC −D T ]
z 1=
D AC −D T 2
−
2
−
8 ] HA2
z
3

DEPOSITO 2
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

TRONCO PARABOLA HACIA ARRIBA

De la relación ∀T = ∀ P
Hallando la ecuación de la parábola no invertida
La ecuación es de la forma:
z +( H ¿¿ PB+∆ h ' )=4 p ' x 2 ¿
D
Para z=0 , x= PB → [ H PB + ∆ h ' ] = p ' D PB2 ………… θ
2
D
Para z=−H PB , x= T → ∆ h' = p ' D T 2 ……………………. φ
2
De θ y φ
H PB
p '=
D PB2−D T 2
H PB
H PB+ ∆ h '= 2 2
D PB2
D PB −DT

[
2 D PB2−DT 2 ] D PB2
→x = z+¿
4 H PB 4

De la relación
0
[ D PB2−DT2 ]
2
∀T = ∀ p → π D T z=π ∫
− z2
[ H PB ]
z + D PB2 dz

2 D PB2 H PB DT 2 H PB
z 2 −2 z 2 +2 z=0
D PB2−DT 2 D PB2−D T 2

La solución de z 2en función z será para z 2< 0 será

D PB2 H PB D PB2 H PB 2 DT 2 H PB
z 2=
DPB2−D T 2
− (
√
D PB2−DT 2
) −2
D PB2−DT 2
z

SEMIESFERA
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

La ecuación de la esfera es de la siguiente forma:

DPB
Ojo R= radio de la semiesfera
2
x 2+ z2 =R 2

→ x 2=R2−z 2

Z2

De la relación ∀t = ∀ c → π D T z=π ∫ ( R2−z 2 ) dz

2

0
2
3 2 3
Z2 −3 R Z2 + D T Z=0
4

Z2 =-real(-1/4*(-3*DT^2*Z+(-
64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-R^2/(-3*DT^2*Z+(-
64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/2*(-
3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-2*R^2/(-
3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)))

POR CONTINUIDAD SE HALLARAN LAS VELOCIDADES EN LOS DEPOSISTOS 1 Y 2

ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

Q T =Q tronco de cono
QT =QPI
V T AT =V tronco de cono Atronco de cono
V T AT =V PI A PI
DT2
DT 2 AT =
AT =π 4
4 2
[ D AC −DT ]
2
A PI =π x =
4
2

[
H PA
2
π −[ D AC −D AP ]
z1 + D AC 2 ]
2 π
At .cono=π x = D AC +
4 [ HA2
z1 ]
2 V T DT 2
V T DT V tronco de cono =
V PI = 2
[ D AC −DT ] z
[ −[ D AC
2

H PA
−D AP 2
] z +D
1 AC
2
] [ D AC +
HA2 1
]

Hallando la velocidad en la esfera

QT =QP Q T =Qe
V T AT =V P A P V T At =V e A e
DT 2 π
AT = V T D T 2=V e π x 2 sabemos q x 2 + y 2=R2 → x 2=R2 −Z 22
4 4
[ D PB2−DT 2 ] Tenemos que para Z2 su velocidad en la
A P=π x =
π
4
2
[ H PB
z 2+ D PB2 ] esfera será
DT 2 V T
V e=
V T DT 2 4 [ R 2−Z22 ]
V P=
[ D PB2−DT 2 ] z + D 2
2 PB
H PB
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

LAS ECUACIONES DE LAS POSICIONES HALLADAS EN FUNCION DE Z

z 1=
D
D AC 2 H PA
AC
2
−D AP 2
−
√[ D AC 2 H PA
2
D AC −D AP 2
] −2
D T 2 H PA
2
D AC −D AP 2
z

1
z1 ≥ 0

{ [[ ]}
2
2 H A 2 D AC D AC 3 D T [ D AC −D T ]
z 1=
D AC −D T 2
−
2
−
8 HA2
z] 3
z1 < 0

D PB2 H PB D PB2 H PB 2
DT 2 H PB
z 2=
DPB2−D T 2
− (
√ D PB2−DT 2
) −2
D PB2−DT 2
z z2 < 0

z 2 =-real(-1/4*(-3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-R^2/(-3*DT^2*Z+(-
64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/2*(-3*DT^2*Z+(-
64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-2*R^2/(-3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)))
z2 > 0

LAS ECUACIONES HALLADAS DE LAS VELOCIDADES DE LOS DEPOSITOS 1 Y 2

V T DT 2
V 1=
−[ D AC 2−D AP2 ] z1 ≥ 0
[ H PA
z 1 + D AC 2
]
V T DT 2
V 1= 2
[ D AC −DT ] z z1 < 0
[ D AC +
H A2 1
]
V T DT 2
V 2=
[ DPB2−DT 2 ] z + D 2
z2 < 0
2 PB
H PB

DT 2 V T
V 2= z2 > 0
4 [ R2−Z 22 ]
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

 Hallando las celeridades C 1 Y C2

g 9.81
c 1= = =0.0140
L 700

k DT 8 ×2
(L+ ) f (700+ )×0.02
f 0.02
c 2= = =0.0107
2 DT L 2 ×2 ×700

De la siguiente ecuación tenemos para z 1 ≥ 0 hallar el valor de z de la tubería

D AC 2 HP A DT 2 HP A
z 12−2 2
z
2 1
+2 2
z
2 = 0
D AC −D AP D AC −D AP

Por dato tenemos que H A 1=z 1 ( z )=8 m como z 1 ( z ) ≥0 está en la parte tronco parabólico
invertida del depósito 1 y de ahí hallaremos z de la siguiente ecuación

2 D AC 2 HP A D T 2 HP A
z 1 −2 z 1 +2 z= 0
D AC 2−D AP2 D AC 2−D AP2

2 62 x 10 22 x 10
8 −2 2 2 x 8+2 2 2 z= 0 → z=z 0=50.4 m
6 −3 6 −3

Como z 1> 0 → z 2 <0 tenemos la siguiente ecuación

De la siguiente ecuación para z 2< 0 tenemos el tronco de cono del depósito 2 remplazando
el valor de z hallado anteriormente
 ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

D PB2 H PB D PB2 H PB 2 DT 2 H PB
z 2=
DPB2−D T 2
−
√(
D PB2−DT 2
) −2
D PB2−DT 2
z

82 14 82 14 2 22 14
z 2=
82−22
− (
√82−22
) −2
82 −22
50.4 → z 2=¿ 3.5786m

Pero z 2 debe ser negativo entonces z 2=¿ -3.5786m

Para el depósito 1 z 1=8 m

Para el depósito 2 z 2=¿ -3.5786m

Condiciones iníciales

Se tiene la condición inicial para z=z 0. Se muestran los siguientes valores de las
condiciones iníciales a continuación:

CONDICIONES INICIALES

z 0=z=¿ 50.4 m Altura de la tubería

V 0=V =0 Velocidad inicial
n=9000 Número de iteraciones
∆ t=0.2 Diferencial del tiempo
t=30' =1800 s Tiempo final
D T =2 Diámetro de la tubería
z 1 (1)=8 m Altura del depósito 1
z 2 (1)=−3.5786 m Altura del depósito 2
V 1 (1 )=0 Velocidad en el depósito 1
V 2 (1 )=0 Velocidad en el depósito 2

V. CALCULOS Y RESULTADOS

z=z 0=50.4

v=v 0 =0

∆ t=0.2

Nuestras ecuaciones a usar

ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

dz
F 1= =v
dt

dv
F 2= = -c 1 [ z 1 [ z ]−z 2 [ z ] ]−c2 v |v|
dt

h=∆ t

k z 1=∆ t F1 [ V n ] k v 1=∆ t F 2 [ Z n , V n ]

k z 2=∆ t F1 [ V n +0.5 k v1 ] k v 2=∆ t F 2 [ Z n+ 0.5 k z 1 , V n +0.5 k v1 ]

k z 3=∆ t F1 [ V n +0.5 k v2 ] k v 3=∆ t F 2 [ Z n +0.5 k z 2 , V n +0.5 k v 2 ]

k z 4 =∆ t F 1 [V n+ k v 3 ] k v 4=∆ t F2 [ Z n + k z 3 , V n +k v3 ]

Y finalmente Para los Nuevos z y v

kz 1+ 2kz 2 +2 kz 3 +kz 4
z=z 0 +
6

kv 1 +2 k v2 +2 kv 3 +kv 4
V =V 0+
6

 Hallando los nuevos Z y V con el método Runge-Kutta

c 1=0.0140

c 2=0.0107

Para la primera iteración de las condiciones iníciales

z=z 0=50.4
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

v=v 0 =0

∆ t=0.2

kz 1=0.2× 0=0

2
62 10
z 1= 2 2 −
6 −3 √[ 6 2 10
62−32 ] 22 10
−2 2 2 50.4 → z 1=8 m
6 −3

[
82 14
8 −2
82 14 2
8 −2 √22 14
z 2=− 2 2 − ( 2 2 ) −2 2 2 50.4 → z 2=−3.5786 m
8 −2 ]
kv 1=0.2 [−c 1 [ 8−[ −3.5786 ] ]−c 2 0|0|] =−0.0325

−0.0325
kz 2=0.2 0+ [ 2 ]
=−0.0032

2
62 10
z 1= 2 2 −
6 −3 √[ 6 2 10
2
6 −3 ] 2
−2
22 10
2
6 −3 [
2
0
2 ]
50.4+ → z 1=8 m

z 2=− [ 82 14
2
8 −2 2
−
√(
82 14 2
2
8 −2 2
) −2
22 14
2
8 −2 2 [ 0
2 ]]
50.4 + → z 2=−3.5786 m

[ [
kv 2 =0.2 −c 1 [ 8−[ −3.5786 ] ]−c 2 0+
−0.0325
2
0+ ]|
−0.0325
2 |]
=−0.0325

−0.0325
kz 3 =0.2 0+ [ 2 ]
=−0.0032

2
62 10
z 1= 2 2 −
6 −3 √[ 6 2 10
2
6 −3 ] 2
−2
22 10
2
6 −3 [
2
50.4+
−0.0032
2 ]
→ z1 ≅ 8 m

z 2=− [ 82 14
2
8 −2 2
−
√(
82 14 2
2
8 −2 2
) −2
22 14
2
8 −2 2[50.4 +
−0.0032
2 ]]
→ z 2 ≅−3.5786 m

[ [
kv 3 =0.2 −c 1 [ 8−[ −3.5786 ] ] −c 2 0+
−0.0325
2
0+
]|
−0.0325
2 |]
=−0.0325
 ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

kz 4=0.2 [ 0+ [ −0.0325 ] ]=−0.0065

2
62 10
z 1= 2 2 −
6 −3 √[ 6 2 10
62−32 ]
−2
22 10
62−3 2
[ 50.4+ [ −0.0032 ] ] → z 1 ≅ 8 m

z 2=− [ 82 14
82 −22
− (
82 14 2
√
8 2−22
) −2
22 14
82−22 ]
[ 50.4+ [−0.0032 ] ] → z 2 ≅−3.5786 m

kv 4=0.2 [−c 1 [ 8−[ −3.5786 ] ]−c 2 [ 0+ [ −0.0325 ] ] |0+ [−0.0325 ]|]=−0.0324

0+ 2 [ −0.0032 ] +2 [−0.0032 ] + [−0.0065 ]

z=50.4+ ¿50.3968m
6

[ −0.0325 ] +2 [−0.0325 ] +2 [ −0.0325 ] + [ −0.0324 ]

v=0+ ¿-0.0325m/s
6

 Ahora hallamos las nuevas posiciones de los depósitos z 1 y z 2

2
62 10
z 1= 2 2 −
6 −3 √[ 6 2 10
62−32 ] 22 10
−2 2 2 50.3968→ z 1=7.9964 m
6 −3

[
82 14
8 −2
82 14 2
8 −2
22 14
√
z 2=− 2 2 − ( 2 2 ) −2 2 2 50.3968 → z 2=−3.5778 m
8 −2 ]
 Ahora hallamos las nuevas velocidades de los depósitos v1 y v 2

−0.0325 m22
V 1=
−[ 62−3 2 ] 2 = -0.0090 m/s
[ 10
7.9964+6 ]
−0.0325m 22

[
V 2=− 2 2
[ 8 −2 ] −3.5778+ 82 = 0.0027 m/s
14 ]
Los resultados de las demás iteraciones se verán en las siguientes tablas
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

TABLAS

∆ t=0.2

Tiempo Tubería Deposito1 Deposito2

v z v1 z1 v2 z2
0 0.0000 50.4000 0.0000 8.0000 0.0000 -3.5786
0.2 -0.0325 50.3968 -0.0090 7.9964 0.0027 -3.5778
0.4 -0.0649 50.3870 -0.0180 7.9919 0.0053 -3.5764
0.6 -0.0973 50.3708 -0.0270 7.9856 0.0080 -3.5746
0.8 -0.1297 50.3481 -0.0359 7.9775 0.0107 -3.5722
1 -0.1620 50.3189 -0.0448 7.9677 0.0133 -3.5693
1.2 -0.1943 50.2833 -0.0537 7.9561 0.0160 -3.5658
1.4 -0.2265 50.2412 -0.0624 7.9427 0.0186 -3.5618
1.6 -0.2587 50.1927 -0.0711 7.9276 0.0212 -3.5573
1.8 -0.2907 50.1377 -0.0797 7.9109 0.0239 -3.5523
2 -0.3227 50.0764 -0.0882 7.8924 0.0265 -3.5467
2.2 -0.3546 50.0087 -0.0965 7.8722 0.0291 -3.5406
2.4 -0.3863 49.9346 -0.1048 7.8505 0.0316 -3.5341
2.6 -0.4179 49.8541 -0.1129 7.8271 0.0342 -3.5270
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

2.8 -0.4494 49.7674 -0.1209 7.8021 0.0368 -3.5194

3 -0.4807 49.6744 -0.1287 7.7756 0.0393 -3.5112
3.2 -0.5118 49.5752 -0.1364 7.7476 0.0418 -3.5026
3.4 -0.5428 49.4697 -0.1440 7.7180 0.0443 -3.4935
3.6 -0.5736 49.3580 -0.1513 7.6870 0.0468 -3.4839
3.8 -0.6043 49.2403 -0.1585 7.6546 0.0493 -3.4738
4 -0.6347 49.1164 -0.1656 7.6208 0.0517 -3.4632
4.2 -0.6649 48.9864 -0.1724 7.5857 0.0541 -3.4522
4.4 -0.6949 48.8504 -0.1791 7.5492 0.0565 -3.4406
4.6 -0.7247 48.7084 -0.1856 7.5114 0.0589 -3.4286
4.8 -0.7543 48.5605 -0.1919 7.4724 0.0612 -3.4162
5 -0.7836 48.4068 -0.1981 7.4322 0.0635 -3.4032
5.2 -0.8127 48.2471 -0.2040 7.3908 0.0658 -3.3899
5.4 -0.8415 48.0817 -0.2098 7.3483 0.0680 -3.3760
5.6 -0.8701 47.9105 -0.2154 7.3047 0.0703 -3.3617
5.8 -0.8984 47.7337 -0.2208 7.2600 0.0725 -3.3470
6 -0.9264 47.5512 -0.2260 7.2143 0.0746 -3.3319
6.2 -0.9542 47.3632 -0.2310 7.1676 0.0768 -3.3163
6.4 -0.9816 47.1696 -0.2359 7.1200 0.0789 -3.3004
6.6 -1.0088 46.9705 -0.2405 7.0714 0.0809 -3.2840
6.8 -1.0357 46.7661 -0.2450 7.0220 0.0830 -3.2672
7 -1.0622 46.5563 -0.2493 6.9717 0.0850 -3.2500

24 -2.0810 16.4596 -0.2714 1.9210 0.1401 -1.0388

24.2 -2.0801 16.0434 -0.2700 1.8671 0.1397 -1.0109
24.4 -2.0790 15.6275 -0.2686 1.8135 0.1394 -0.9831
24.6 -2.0777 15.2119 -0.2672 1.7602 0.1390 -0.9553
24.8 -2.0762 14.7965 -0.2658 1.7072 0.1386 -0.9276
25 -2.0745 14.3814 -0.2643 1.6545 0.1382 -0.9000
25.2 -2.0725 13.9667 -0.2629 1.6021 0.1378 -0.8725
25.4 -2.0704 13.5524 -0.2615 1.5499 0.1374 -0.8451
25.6 -2.0680 13.1385 -0.2600 1.4981 0.1370 -0.8177
25.8 -2.0655 12.7252 -0.2585 1.4465 0.1366 -0.7904
26 -2.0627 12.3124 -0.2571 1.3952 0.1361 -0.7633
26.2 -2.0598 11.9001 -0.2556 1.3443 0.1357 -0.7362
26.4 -2.0566 11.4885 -0.2541 1.2936 0.1352 -0.7092
26.6 -2.0533 11.0775 -0.2527 1.2432 0.1347 -0.6823
26.8 -2.0498 10.6672 -0.2512 1.1931 0.1342 -0.6555
27 -2.0461 10.2576 -0.2497 1.1433 0.1338 -0.6288
27.2 -2.0422 9.8487 -0.2482 1.0938 0.1332 -0.6022
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

27.4 -2.0382 9.4407 -0.2467 1.0446 0.1327 -0.5757

27.6 -2.0339 9.0335 -0.2452 0.9958 0.1322 -0.5493
27.8 -2.0295 8.6271 -0.2437 0.9472 0.1317 -0.5230
28 -2.0249 8.2217 -0.2422 0.8989 0.1312 -0.4968
28.2 -2.0202 7.8172 -0.2407 0.8509 0.1306 -0.4708
28.4 -2.0153 7.4136 -0.2392 0.8032 0.1301 -0.4448
28.6 -2.0102 7.0111 -0.2377 0.7558 0.1295 -0.4190
28.8 -2.0050 6.6095 -0.2362 0.7087 0.1289 -0.3932
29 -1.9996 6.2091 -0.2346 0.6620 0.1284 -0.3676
29.2 -1.9940 5.8097 -0.2331 0.6155 0.1278 -0.3421
29.4 -1.9883 5.4115 -0.2316 0.5693 0.1272 -0.3168
29.6 -1.9824 5.0144 -0.2301 0.5234 0.1266 -0.2915
29.8 -1.9764 4.6185 -0.2286 0.4779 0.1260 -0.2664
30 -1.9702 4.2239 -0.2271 0.4326 0.1254 -0.2414
30.2 -1.9639 3.8305 -0.2255 0.3877 0.1248 -0.2165
30.4 -1.9575 3.4383 -0.2240 0.3430 0.1241 -0.1917
30.6 -1.9509 3.0475 -0.2225 0.2987 0.1235 -0.1671
30.8 -1.9442 2.6580 -0.2210 0.2546 0.1229 -0.1425
31 -1.9373 2.2698 -0.2194 0.2109 0.1222 -0.1182
31.2 -1.9303 1.8830 -0.2179 0.1675 0.1216 -0.0939
31.4 -1.9232 1.4977 -0.2164 0.1243 0.1210 -0.0698
31.6 -1.9159 1.1138 -0.2149 0.0815 0.1203 -0.0458
31.8 -1.9086 0.7313 -0.2134 0.0390 0.1197 -0.0219
32 -1.9010 0.3504 -0.2118 -0.0032 0.1190 0.0018

80 1.0430 -21.1971 0.1435 -2.1124 -0.0740 1.3647

80.2 1.0504 -20.9878 0.1443 -2.0930 -0.0743 1.3498
80.4 1.0577 -20.7769 0.1450 -2.0735 -0.0746 1.3348
80.6 1.0649 -20.5647 0.1457 -2.0538 -0.0749 1.3198
80.8 1.0720 -20.3510 0.1463 -2.0340 -0.0752 1.3048
81 1.0789 -20.1359 0.1470 -2.0140 -0.0755 1.2897
81.2 1.0857 -19.9194 0.1476 -1.9938 -0.0757 1.2745
81.4 1.0924 -19.7016 0.1482 -1.9735 -0.0760 1.2593
81.6 1.0989 -19.4825 0.1487 -1.9530 -0.0762 1.2440
81.8 1.1053 -19.2621 0.1493 -1.9323 -0.0765 1.2287
82 1.1116 -19.0404 0.1498 -1.9115 -0.0767 1.2133
82.2 1.1177 -18.8174 0.1503 -1.8906 -0.0769 1.1979
82.4 1.1238 -18.5933 0.1508 -1.8695 -0.0772 1.1824
82.6 1.1296 -18.3679 0.1512 -1.8483 -0.0774 1.1669
82.8 1.1354 -18.1414 0.1517 -1.8269 -0.0776 1.1514
83 1.1410 -17.9138 0.1521 -1.8054 -0.0778 1.1358
83.2 1.1465 -17.6850 0.1525 -1.7837 -0.0779 1.1202
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

83.4 1.1519 -17.4552 0.1528 -1.7619 -0.0781 1.1046

83.6 1.1571 -17.2243 0.1532 -1.7399 -0.0783 1.0889
83.8 1.1622 -16.9924 0.1535 -1.7178 -0.0785 1.0732
84 1.1672 -16.7594 0.1538 -1.6956 -0.0786 1.0575
84.2 1.1720 -16.5255 0.1541 -1.6732 -0.0788 1.0417
84.4 1.1767 -16.2906 0.1544 -1.6507 -0.0789 1.0259
84.6 1.1813 -16.0548 0.1546 -1.6281 -0.0790 1.0101
84.8 1.1857 -15.8181 0.1548 -1.6053 -0.0792 0.9943
85 1.1901 -15.5805 0.1550 -1.5824 -0.0793 0.9784
85.2 1.1942 -15.3421 0.1552 -1.5594 -0.0794 0.9625
85.4 1.1983 -15.1028 0.1554 -1.5363 -0.0795 0.9466
85.6 1.2022 -14.8628 0.1555 -1.5130 -0.0796 0.9307
85.8 1.2060 -14.6220 0.1556 -1.4897 -0.0797 0.9147
86 1.2097 -14.3804 0.1557 -1.4662 -0.0798 0.8988
86.2 1.2132 -14.1381 0.1558 -1.4425 -0.0799 0.8828
86.4 1.2166 -13.8951 0.1559 -1.4188 -0.0799 0.8668
86.6 1.2199 -13.6514 0.1559 -1.3950 -0.0800 0.8508
86.8 1.2231 -13.4071 0.1559 -1.3710 -0.0801 0.8348
87 1.2261 -13.1622 0.1559 -1.3469 -0.0801 0.8187
87.2 1.2290 -12.9167 0.1559 -1.3228 -0.0802 0.8027
87.4 1.2318 -12.6706 0.1559 -1.2985 -0.0802 0.7866
87.6 1.2344 -12.4240 0.1558 -1.2741 -0.0803 0.7706
87.8 1.2369 -12.1769 0.1558 -1.2496 -0.0803 0.7545
88 1.2393 -11.9292 0.1557 -1.2251 -0.0803 0.7385

200 0.3507 -14.7796 0.0453 -1.5214 -0.0232 0.9364

200.2 0.3574 -14.7088 0.0462 -1.5145 -0.0236 0.9316
200.4 0.3640 -14.6366 0.0470 -1.5073 -0.0241 0.9268
200.6 0.3705 -14.5632 0.0478 -1.5001 -0.0245 0.9218
200.8 0.3770 -14.4884 0.0486 -1.4928 -0.0249 0.9168
201 0.3835 -14.4124 0.0494 -1.4853 -0.0253 0.9117
201.2 0.3899 -14.3351 0.0502 -1.4776 -0.0257 0.9065
201.4 0.3963 -14.2564 0.0509 -1.4699 -0.0261 0.9013
201.6 0.4026 -14.1766 0.0517 -1.4620 -0.0265 0.8959
201.8 0.4089 -14.0954 0.0525 -1.4540 -0.0269 0.8905
202 0.4151 -14.0130 0.0532 -1.4459 -0.0273 0.8850
202.2 0.4213 -13.9294 0.0540 -1.4376 -0.0277 0.8795
202.4 0.4274 -13.8445 0.0547 -1.4292 -0.0281 0.8738
202.6 0.4335 -13.7584 0.0555 -1.4207 -0.0284 0.8681
202.8 0.4395 -13.6711 0.0562 -1.4121 -0.0288 0.8623
203 0.4455 -13.5826 0.0569 -1.4033 -0.0292 0.8564
203.2 0.4514 -13.4929 0.0576 -1.3945 -0.0296 0.8504
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

203.4 0.4573 -13.4021 0.0583 -1.3855 -0.0299 0.8444

203.6 0.4631 -13.3100 0.0590 -1.3764 -0.0303 0.8383
203.8 0.4688 -13.2169 0.0597 -1.3671 -0.0306 0.8322
204 0.4746 -13.1225 0.0603 -1.3578 -0.0310 0.8259
204.2 0.4802 -13.0270 0.0610 -1.3483 -0.0313 0.8196
204.4 0.4858 -12.9304 0.0616 -1.3387 -0.0317 0.8133
204.6 0.4913 -12.8327 0.0623 -1.3290 -0.0320 0.8068
204.8 0.4968 -12.7339 0.0629 -1.3192 -0.0324 0.8003
205 0.5023 -12.6340 0.0635 -1.3092 -0.0327 0.7937
205.2 0.5076 -12.5330 0.0642 -1.2992 -0.0330 0.7871
205.4 0.5129 -12.4309 0.0648 -1.2890 -0.0334 0.7804
205.6 0.5182 -12.3278 0.0654 -1.2787 -0.0337 0.7736
205.8 0.5234 -12.2237 0.0659 -1.2683 -0.0340 0.7668
206 0.5285 -12.1185 0.0665 -1.2578 -0.0343 0.7599
206.2 0.5336 -12.0123 0.0671 -1.2472 -0.0346 0.7530
206.4 0.5386 -11.9050 0.0676 -1.2365 -0.0349 0.7459
206.6 0.5436 -11.7968 0.0682 -1.2257 -0.0352 0.7389
206.8 0.5485 -11.6876 0.0687 -1.2148 -0.0355 0.7318
207 0.5533 -11.5774 0.0693 -1.2037 -0.0358 0.7246
207.2 0.5581 -11.4663 0.0698 -1.1926 -0.0361 0.7173
207.4 0.5628 -11.3542 0.0703 -1.1813 -0.0363 0.7100
207.6 0.5674 -11.2412 0.0708 -1.1700 -0.0366 0.7027
207.8 0.5720 -11.1272 0.0713 -1.1585 -0.0369 0.6953
208 0.5765 -11.0124 0.0718 -1.1470 -0.0372 0.6878

400 -0.3637 5.8633 -0.0425 0.6597 0.0233 -0.3664

400.2 -0.3663 5.7903 -0.0428 0.6511 0.0235 -0.3617
400.4 -0.3689 5.7167 -0.0431 0.6424 0.0236 -0.3569
400.6 -0.3714 5.6427 -0.0434 0.6337 0.0238 -0.3522
400.8 -0.3739 5.5682 -0.0436 0.6250 0.0239 -0.3474
401 -0.3764 5.4931 -0.0439 0.6162 0.0241 -0.3425
401.2 -0.3788 5.4176 -0.0441 0.6073 0.0242 -0.3377
401.4 -0.3811 5.3416 -0.0444 0.5985 0.0244 -0.3328
401.6 -0.3834 5.2652 -0.0446 0.5895 0.0245 -0.3279
401.8 -0.3857 5.1883 -0.0448 0.5805 0.0246 -0.3229
402 -0.3879 5.1109 -0.0451 0.5715 0.0248 -0.3180
402.2 -0.3901 5.0331 -0.0453 0.5624 0.0249 -0.3130
402.4 -0.3923 4.9549 -0.0455 0.5533 0.0250 -0.3079
402.6 -0.3944 4.8762 -0.0457 0.5441 0.0252 -0.3029
402.8 -0.3964 4.7971 -0.0459 0.5349 0.0253 -0.2978
403 -0.3985 4.7176 -0.0461 0.5257 0.0254 -0.2927
403.2 -0.4004 4.6377 -0.0463 0.5164 0.0255 -0.2876
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

403.4 -0.4024 4.5575 -0.0465 0.5071 0.0256 -0.2825

403.6 -0.4042 4.4768 -0.0467 0.4977 0.0258 -0.2773
403.8 -0.4061 4.3958 -0.0469 0.4883 0.0259 -0.2721
404 -0.4079 4.3144 -0.0470 0.4789 0.0260 -0.2669
404.2 -0.4096 4.2326 -0.0472 0.4694 0.0261 -0.2617
404.4 -0.4113 4.1505 -0.0474 0.4599 0.0262 -0.2565
404.6 -0.4130 4.0681 -0.0475 0.4504 0.0263 -0.2512
404.8 -0.4146 3.9853 -0.0477 0.4409 0.0264 -0.2459
405 -0.4162 3.9022 -0.0478 0.4313 0.0264 -0.2406
405.2 -0.4177 3.8188 -0.0480 0.4217 0.0265 -0.2353
405.4 -0.4192 3.7352 -0.0481 0.4121 0.0266 -0.2300
405.6 -0.4207 3.6512 -0.0482 0.4024 0.0267 -0.2246
405.8 -0.4221 3.5669 -0.0484 0.3927 0.0268 -0.2193
406 -0.4234 3.4823 -0.0485 0.3830 0.0269 -0.2139
406.2 -0.4247 3.3975 -0.0486 0.3733 0.0269 -0.2085
406.4 -0.4260 3.3125 -0.0487 0.3635 0.0270 -0.2031
406.6 -0.4272 3.2271 -0.0488 0.3538 0.0271 -0.1977
406.8 -0.4284 3.1416 -0.0489 0.3440 0.0271 -0.1922
407 -0.4295 3.0558 -0.0490 0.3342 0.0272 -0.1868
407.2 -0.4306 2.9698 -0.0491 0.3243 0.0273 -0.1813
407.4 -0.4316 2.8836 -0.0492 0.3145 0.0273 -0.1759
407.6 -0.4326 2.7971 -0.0492 0.3046 0.0274 -0.1704
407.8 -0.4336 2.7105 -0.0493 0.2948 0.0274 -0.1649
408 -0.4345 2.6237 -0.0494 0.2849 0.0275 -0.1594

800 -0.2426 -0.9643 -0.0272 -0.1119 0.0152 0.0633

800.2 -0.2420 -1.0128 -0.0272 -0.1172 0.0151 0.0663
800.4 -0.2414 -1.0611 -0.0271 -0.1225 0.0151 0.0693
800.6 -0.2407 -1.1093 -0.0271 -0.1278 0.0150 0.0723
800.8 -0.2400 -1.1574 -0.0270 -0.1331 0.0150 0.0753
801 -0.2393 -1.2054 -0.0269 -0.1383 0.0150 0.0783
801.2 -0.2386 -1.2532 -0.0269 -0.1435 0.0149 0.0813
801.4 -0.2379 -1.3008 -0.0268 -0.1488 0.0149 0.0843
801.6 -0.2371 -1.3483 -0.0267 -0.1539 0.0148 0.0872
801.8 -0.2363 -1.3956 -0.0266 -0.1591 0.0148 0.0902
802 -0.2355 -1.4428 -0.0266 -0.1643 0.0147 0.0931
802.2 -0.2347 -1.4899 -0.0265 -0.1694 0.0147 0.0961
802.4 -0.2338 -1.5367 -0.0264 -0.1745 0.0146 0.0990
802.6 -0.2330 -1.5834 -0.0263 -0.1796 0.0146 0.1019
802.8 -0.2321 -1.6299 -0.0262 -0.1846 0.0145 0.1048
803 -0.2312 -1.6762 -0.0261 -0.1897 0.0145 0.1077
803.2 -0.2302 -1.7224 -0.0260 -0.1947 0.0144 0.1105
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

803.4 -0.2293 -1.7683 -0.0260 -0.1997 0.0143 0.1134

803.6 -0.2283 -1.8141 -0.0259 -0.2046 0.0143 0.1163
803.8 -0.2273 -1.8596 -0.0258 -0.2096 0.0142 0.1191
804 -0.2263 -1.9050 -0.0257 -0.2145 0.0142 0.1219
804.2 -0.2252 -1.9501 -0.0255 -0.2194 0.0141 0.1247
804.4 -0.2242 -1.9951 -0.0254 -0.2242 0.0140 0.1275
804.6 -0.2231 -2.0398 -0.0253 -0.2291 0.0140 0.1303
804.8 -0.2220 -2.0843 -0.0252 -0.2339 0.0139 0.1331
805 -0.2209 -2.1286 -0.0251 -0.2387 0.0138 0.1358
805.2 -0.2197 -2.1727 -0.0250 -0.2434 0.0137 0.1386
805.4 -0.2186 -2.2165 -0.0249 -0.2482 0.0137 0.1413
805.6 -0.2174 -2.2601 -0.0247 -0.2529 0.0136 0.1440
805.8 -0.2162 -2.3034 -0.0246 -0.2576 0.0135 0.1467
806 -0.2149 -2.3465 -0.0245 -0.2622 0.0135 0.1494
806.2 -0.2137 -2.3894 -0.0243 -0.2668 0.0134 0.1521
806.4 -0.2124 -2.4320 -0.0242 -0.2714 0.0133 0.1547
806.6 -0.2112 -2.4744 -0.0241 -0.2760 0.0132 0.1574
806.8 -0.2099 -2.5165 -0.0239 -0.2805 0.0131 0.1600
807 -0.2085 -2.5583 -0.0238 -0.2850 0.0131 0.1626
807.2 -0.2072 -2.5999 -0.0237 -0.2895 0.0130 0.1652
807.4 -0.2059 -2.6412 -0.0235 -0.2939 0.0129 0.1677
807.6 -0.2045 -2.6822 -0.0234 -0.2983 0.0128 0.1703
807.8 -0.2031 -2.7230 -0.0232 -0.3027 0.0127 0.1728
808 -0.2017 -2.7635 -0.0231 -0.3070 0.0126 0.1753

1000 0.1629 2.3662 0.0185 0.2692 -0.0103 -0.1507

1000.2 0.1617 2.3987 0.0183 0.2729 -0.0102 -0.1527
1000.4 0.1605 2.4309 0.0182 0.2765 -0.0101 -0.1547
1000.6 0.1592 2.4628 0.0181 0.2801 -0.0101 -0.1567
1000.8 0.1579 2.4946 0.0179 0.2837 -0.0100 -0.1587
1001 0.1566 2.5260 0.0178 0.2872 -0.0099 -0.1607
1001.2 0.1553 2.5572 0.0176 0.2907 -0.0098 -0.1626
1001.4 0.1540 2.5881 0.0175 0.2942 -0.0097 -0.1646
1001.6 0.1527 2.6188 0.0173 0.2977 -0.0097 -0.1665
1001.8 0.1514 2.6492 0.0172 0.3011 -0.0096 -0.1684
1002 0.1500 2.6794 0.0171 0.3045 -0.0095 -0.1703
1002.2 0.1486 2.7092 0.0169 0.3079 -0.0094 -0.1722
1002.4 0.1472 2.7388 0.0167 0.3112 -0.0093 -0.1740
1002.6 0.1458 2.7681 0.0166 0.3145 -0.0092 -0.1759
1002.8 0.1444 2.7971 0.0164 0.3178 -0.0091 -0.1777
1003 0.1430 2.8259 0.0163 0.3210 -0.0090 -0.1795
1003.2 0.1416 2.8543 0.0161 0.3242 -0.0090 -0.1813
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

1003.4 0.1401 2.8825 0.0160 0.3274 -0.0089 -0.1830

1003.6 0.1386 2.9104 0.0158 0.3305 -0.0088 -0.1848
1003.8 0.1372 2.9380 0.0156 0.3336 -0.0087 -0.1865
1004 0.1357 2.9653 0.0155 0.3367 -0.0086 -0.1882
1004.2 0.1342 2.9922 0.0153 0.3398 -0.0085 -0.1899
1004.4 0.1327 3.0189 0.0151 0.3428 -0.0084 -0.1916
1004.6 0.1311 3.0453 0.0150 0.3457 -0.0083 -0.1932
1004.8 0.1296 3.0714 0.0148 0.3487 -0.0082 -0.1948
1005 0.1280 3.0971 0.0146 0.3516 -0.0081 -0.1965
1005.2 0.1265 3.1226 0.0144 0.3545 -0.0080 -0.1980
1005.4 0.1249 3.1477 0.0143 0.3573 -0.0079 -0.1996
1005.6 0.1233 3.1726 0.0141 0.3601 -0.0078 -0.2012
1005.8 0.1217 3.1971 0.0139 0.3629 -0.0077 -0.2027
1006 0.1201 3.2212 0.0137 0.3656 -0.0076 -0.2042
1006.2 0.1185 3.2451 0.0135 0.3683 -0.0075 -0.2057
1006.4 0.1168 3.2686 0.0134 0.3709 -0.0074 -0.2072
1006.6 0.1152 3.2918 0.0132 0.3735 -0.0073 -0.2086
1006.8 0.1135 3.3147 0.0130 0.3761 -0.0072 -0.2101
1007 0.1119 3.3373 0.0128 0.3787 -0.0071 -0.2115
1007.2 0.1102 3.3595 0.0126 0.3812 -0.0070 -0.2129
1007.4 0.1085 3.3813 0.0124 0.3836 -0.0069 -0.2142
1007.6 0.1068 3.4029 0.0122 0.3860 -0.0068 -0.2156
1007.8 0.1051 3.4241 0.0120 0.3884 -0.0067 -0.2169
1008 0.1034 3.4449 0.0118 0.3908 -0.0066 -0.2182

1792 -0.0495 2.1599 -0.0056 0.2411 0.0031 -0.1350

1792.2 -0.0506 2.1499 -0.0057 0.2399 0.0032 -0.1343
1792.4 -0.0516 2.1397 -0.0058 0.2387 0.0033 -0.1337
1792.6 -0.0526 2.1292 -0.0060 0.2375 0.0033 -0.1330
1792.8 -0.0537 2.1186 -0.0061 0.2363 0.0034 -0.1323
1793 -0.0547 2.1078 -0.0062 0.2350 0.0035 -0.1316
1793.2 -0.0557 2.0967 -0.0063 0.2338 0.0035 -0.1309
1793.4 -0.0568 2.0855 -0.0064 0.2325 0.0036 -0.1302
1793.6 -0.0578 2.0740 -0.0065 0.2312 0.0036 -0.1295
1793.8 -0.0588 2.0624 -0.0066 0.2298 0.0037 -0.1287
1794 -0.0598 2.0505 -0.0068 0.2285 0.0038 -0.1280
1794.2 -0.0608 2.0385 -0.0069 0.2271 0.0038 -0.1272
1794.4 -0.0618 2.0262 -0.0070 0.2257 0.0039 -0.1264
1794.6 -0.0627 2.0138 -0.0071 0.2242 0.0040 -0.1256
1794.8 -0.0637 2.0011 -0.0072 0.2228 0.0040 -0.1248
1795 -0.0647 1.9883 -0.0073 0.2213 0.0041 -0.1240
1795.2 -0.0656 1.9752 -0.0074 0.2198 0.0041 -0.1231
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

1795.4 -0.0666 1.9620 -0.0075 0.2183 0.0042 -0.1223

1795.6 -0.0675 1.9486 -0.0076 0.2168 0.0043 -0.1214
1795.8 -0.0685 1.9350 -0.0077 0.2152 0.0043 -0.1206
1796 -0.0694 1.9212 -0.0078 0.2136 0.0044 -0.1197
1796.2 -0.0703 1.9072 -0.0079 0.2120 0.0044 -0.1188
1796.4 -0.0713 1.8931 -0.0080 0.2104 0.0045 -0.1179
1796.6 -0.0722 1.8787 -0.0081 0.2088 0.0045 -0.1170
1796.8 -0.0731 1.8642 -0.0082 0.2071 0.0046 -0.1160
1797 -0.0740 1.8495 -0.0084 0.2054 0.0047 -0.1151
1797.2 -0.0749 1.8346 -0.0084 0.2037 0.0047 -0.1142
1797.4 -0.0758 1.8195 -0.0085 0.2020 0.0048 -0.1132
1797.6 -0.0766 1.8043 -0.0086 0.2003 0.0048 -0.1122
1797.8 -0.0775 1.7889 -0.0087 0.1985 0.0049 -0.1112
1798 -0.0784 1.7733 -0.0088 0.1967 0.0049 -0.1103
1798.2 -0.0792 1.7575 -0.0089 0.1949 0.0050 -0.1093
1798.4 -0.0801 1.7416 -0.0090 0.1931 0.0050 -0.1082
1798.6 -0.0809 1.7255 -0.0091 0.1913 0.0051 -0.1072
1798.8 -0.0817 1.7093 -0.0092 0.1894 0.0051 -0.1062
1799 -0.0825 1.6928 -0.0093 0.1876 0.0052 -0.1051
1799.2 -0.0833 1.6763 -0.0094 0.1857 0.0052 -0.1041
1799.4 -0.0841 1.6595 -0.0095 0.1838 0.0053 -0.1030
1799.6 -0.0849 1.6426 -0.0096 0.1819 0.0053 -0.1019
1799.8 -0.0857 1.6255 -0.0097 0.1799 0.0054 -0.1009
1800 -0.0865 1.6083 -0.0097 0.1799 0.0054 -0.1009

GRAFICAS
TUBERIA
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

TIEMPO V s POSICION D E LA TU BERIA

60

50
Alvitrez Bravo
40

30
ALTURAS DE LA TUBERIA

20

10

-10

-20

-30

-40
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
TIEMPO EN SEGUN D OS
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

TIEMPO Vs VELOCIDAD D E LA TU BERIA

1.5
Alvitrez Bravo

0.5
VELOCIDAD ES DE LA TU BERIA

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
TIEMPO EN SEGU N D OS

DEPOSITO1
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

TIEMPO Vs POSICION DEL D EPOSITO 1

8

Alvitrez Bravo
6
ALTURAS DEL DEPOSITO 1

-2

-4
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
TIEMPO EN SEGUN DOS
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

TIEMPO Vs VELOCID AD DEL DEPOSITO 1

0.3

0.2
Alvitrez Bravo
VELOCIDAD ES D EL DEPOSITO 1

0.1

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
TIEMPO EN SEGUN D OS

DEPOSITO2
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

TIEMPO V s POSICION DEL D EPOSITO 2

3

Alvitrez Bravo
2

1
ALTU RAS DEL D EPOSITO 2

-1

-2

-3

-4
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
TIEMPO EN SEGUN D OS
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

TIEMPO V s V ELOCIDAD DEL D EPOSITO 2

0.15

Alvitrez Bravo

0.1
V ELOCID ADES DEL D EPOSITO 2

0.05

-0.05

-0.1
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
TIEMPO EN SEGUN D OS

VI. CONCLUSIONES , RECOMENDACIONES

* En el análisis de los resultados, perteneciente al depósito 1, se puede observar que en un

estado permanente la altura inicial es de 8 metros y cuando se inicia la oscilación después
de un determinado tiempo, se llega a una altura de -0.3834 debajo del nivel de aguas
tranquilas para un tiempo de 163s.
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

* En el análisis de los resultados, perteneciente al depósito 2, se puede observar que en un

estado permanente la altura inicial es de -3.5786 metros y cuando se inicia la oscilación
después de un determinado tiempo, se llega a una altura de 0.2198 metros arriba del nivel
de aguas tranquilas en un tiempo de 163 s.

* Además se puede observar del análisis de los datos obtenidos, que en ambos depósitos
cuando se llega a su máxima altura o máximo descenso, el valor de la velocidad tiende a ser
muy pequeña.

* De los datos se observa que 30 minutos después de iniciado el movimiento el depósito 1

llega a una altura de 0.1799 m sobre el nivel de aguas tranquilas, lo cual representa el
2.2487% de la altura en el inicio del movimiento, con lo cual se puede decir que se
encuentra estable.

* De la misma manera, se observa que 30 minutos después de iniciado el movimiento en

el depósito 2, se llego a una altura de -0.1009m sobre el nivel de aguas tranquilas, lo cual
representa un 2.8195% de la altura inicial de este deposito

* Se debe tener mucho cuidado al momento de reemplazar las expresiones

z 1=f [ z ] y z 2=g [ z ] en la ecuación diferencial que gobierna el movimiento, ya que un
reemplazo un inadecuado puede generar fenómenos que físicamente no son viables.

* Debido a que no se ha simplificado al máximo las expresiones, esto generara un margen

de error lo cual se puede considerar despreciables.

* Se puede haber aplicado el método de euler pero se procedió aplicar este método funge
kutta dando resultados más exactos.

* vemos que según la grafica para un tiempo 575.6s la velocidad de la tubería es

0.04274m/s
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

* vemos que según la grafica para un tiempo 509.4s la velocidad del depósito 1 es
-0.00021m/s

* vemos en las graficas que según va pasando el tiempo las alturas de las oscilaciones va
reduciéndose asta que formen una línea donde se interpretara que se a llegado a la
estabilidad del movimiento del agua y quedara en estado permanente

VII. BIBLIOGRAFIA

* Víctor L. Streeter. Mecánica de Fluidos. Novena Edición

* Método de Runge-Kutta. Wikipedia, CHAPRA

* Apuntes de clase. Curso de Flujo No permanente

* Cesar Pérez López. Matlab y sus aplicaciones en las Ciencias y la Ingeniería.

* Métodos Numéricos usando Matlab. Jhon H. Mathews.

*Apuntes de clase. Curso de Métodos Numéricos II.

ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE

VIII. ANEXO
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE
ALVITREZ BRAVO
FLUJO NO PERMANENTE