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UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍA

FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍAS FÍSICAS Y FORMALES
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

HOJA PORTADA

DATOS

ASIGNATURA: Control III

SEMESTRE: VIII
GUÍA N°: 02 FECHA: 8/09/2023
TÍTULO: Conversión de Sistemas Continuos a Discretos
DOCENTE: Ing. Delgado Barra, Lucy
INTEGRANTE(S): Vizcarra Gutierrez Stalyn Andre

OBSERVACIONES:

Control III Ing. Lucy Delgado Barra

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I. OBJETIVOS
1. Analizar el proceso de muestreo para la discretización de señales y sistemas
2. Analizar la influencia del periodo de muestreo en la transformada Z
3. Conocer los diferentes métodos de aproximación de la transformada Z

II. TEMAS A TRATAR

1. Conversión de sistemas continuos a discretos
2. Evaluación de la influencia del periodo de muestreo en la generación de la transformada Z
3. Evaluación de la influencia del retenedor de orden cero en el sistema discreto

III. MATERIALES Y/O EQUIPOS A UTILIZAR

• Computadora
• Software Matlab

IV. CUESTIONARIO PREVIO

Después de revisar el marco teórico y textos de la especialidad, sírvase desarrollar el presente
cuestionario, el mismo que será presentado OBLIGATORIAMENTE antes de la realización de la práctica
y es parte de la evaluación de la misma

1. ¿Cuál es la definición de Transformada Z?

La transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto
en una representación en el dominio de la frecuencia compleja. La transformada Z, igual que
otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral
• Transformada Z bilateral: La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto
x[n] es una función X(z) que se define

• Transformada Z unilateral: De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida
únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral se define como:

2. ¿A qué se denomina región de convergencia?

La región de convergencia, también conocida como ROC, es importante entender por que
define la región donde la transformada-z existe. La transformada–z se define por

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La ROC para una x[n] , es definida como el rango de z para la cual la transformada-z
converge. Ya que la transformada–z es una serie de potencia, converge cuando x[n]z−n es
absolutamente sumable. En otras palabras,

3. ¿Qué relación hay entre la transformada Z y el periodo de muestreo?

Una forma de tener en cuenta la transformada z de una sucesión es pensar que z-1 se utiliza
para enumerar el sitio de una muestra especial. En la sucesión 3, 2, 1, 0, 0,... la muestra de
costo 3 se muestra primero en t=0. La muestra de costo 2 se muestra luego; se retrasa un
lapso de muestreo con en relación a la primera muestra y se sugiere con z-1 para indicar este
retardo.

4. Explique el teorema de muestreo

Es un teorema importante de la teoría de la información, de particular interés en las
telecomunicaciones. El teorema muestra que la recomposición precisa de una señal periódica
continua en banda base desde sus muestras, es matemáticamente viable si la señal está
reducida en banda y la tasa de muestreo es preeminente al doble de su ancho de banda.
Dicho de otro modo, la información completa de la señal analógica original que cumple el
criterio anterior está descrita por la serie total de muestras que resultaron del proceso de
muestreo.

5. ¿Cuál es la definición de Transformada Z Inversa?

La Transformada Z inversa se define

Donde ∁ es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia (ROC).

El contorno, ∁ , debe contener todos los polos de 𝒳(𝑧)
Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando ∁ es el círculo unidad (que
también puede usarse cuando la ROC incluye el círculo unidad), obtenemos la
transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:

6. ¿Cuál es la relación entre el plano S y el plano Z?

Tanto la estabilidad absoluta como la relativa del sistema de control en lazo cerrado en tiempo
continuo lineal e invariante con el tiempo quedan determinadas por la localización de los
polos en lazo cerrado en el plano s. En vista de que las variables complejas s y z están
relacionadas mediante , la localización de los polos y de los ceros en el plano z está
relacionada con la localización de los polos y de los ceros en el plano s.

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7. Describa el plano Z en términos de estabilidad

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V. ACTIVIDADES
Para las actividades propuestas a continuación:
• Consigne la solución obtenida en Matlab
• Consigne la descripción de los comandos utilizando el help de los mismos que brinda
MatLab, colóquelo como anexo en el informe final
1. Calcule la TZ equivalente de las siguientes funciones de transferencia continuas, para
T=0.5, T=1 y T=1.25 usando c2d
a) 1

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1
b)
𝑠

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 7
5
c)
𝑠2

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1
d)
𝑠4

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10
e)
(𝑠+5)

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5
f) (𝑠+5)(𝑠+15)

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1
g)
𝑠(𝑠+5)

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1
h)
𝑠 2 (𝑠+5)

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2. Calcule la TZ equivalente de las siguientes funciones de transferencia continuas, para T=0.5, T=1
y T=1.25 usando c2dm)

1
a)
(𝑠 2 +5)

𝑠
b)
(𝑠 2 +5)

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1 1
c) =
(𝑠+5)2 +9 (𝑠 2 +2𝑠+10)

𝑠+1 𝑠+1
d) =
(𝑠+5)2 +9 (𝑠 2 +2𝑠+10)

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 15
5
e)
(𝑠+5)2 +4

3𝑠+2
f)
(𝑠+2)2 +5

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3. Repita el paso 2, considerando la existencia del retenedor Gho(s) en serie con cada función de
transferencia
1
b)
(𝑠 2 +5)

𝑠
c)
(𝑠 2 +5)

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1
d)
(𝑠+5)2 +9

𝑠+1
e)
(𝑠+5)2 +9

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5
f)
(𝑠+5)2 +4

3𝑠+2
g)
(𝑠+2)2 +5

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4. Sea el diagrama de bloques de un motor DC bajo control de velocidad

clear all; close all; clc

format compact
disp('Bloque controlador');
C=tf([0 2 1],[1 0])
disp('Bloque proceso')
G=tf([10],[0.5 1])
disp('Ft lazo cerrado')
GC=series(C,G);
W = feedback(GC,1)
disp('-------------------------')
disp('Aplicando un control discrto el sistema')
disp('Hallando Gz')
T=1;
GCz=c2d(C,T,'impulse');
GGz=c2d(C,T,'zoh');
Gz=series(GCz,GGz)
disp('-------------------------')
disp('Hallando Gz, Metodo Tustin')
GCz2=c2d(C,T,'tustin');
GGz2=c2d(C,T,'tustin');
Gz2=series(GCz2,GGz2)
disp('-------------------------')
disp('Hallando FTP')
W1=feedback(Gz,1)
W2=feedback(Gz2,1)

a. Encontrar W(s)

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b. Al aplicar un control discreto el sistema se convierte en

➢ Hallar G(z)

➢ Hallar Gc(z) usando el método de Tustin

➢ Hallar la FTP

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5. Calcule la transformada Z de los sistemas representados por las siguientes ecuaciones en

diferencias
a) x[n] =  [n] + 4 [ n − 4]

 n 
b) x[n] = cos  
 4 

Nota: la función 𝛿 (𝑛) se denota como kroneckerDelta(n) en MatLab

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6. Calcule la transformada Z inversa de los sistemas representados por las siguientes FT

discretas
𝑧−2
a) 𝐹(𝑧) = 𝑧 2 +1.5𝑧+0.5

𝑧 2 −3𝑧+1
b) 𝐹(𝑧) = 𝑧 3 +𝑧 2 −0.5𝑧+0.5

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VI. CONCLUSIONES

• Emita al menos cuatro conclusiones alrededor de la conversión de sistemas continuos a discretos

con y sin retenedor
✓ Las funciones de transferencia que resultan de usar la transformada z son mucho más simples, lo
que con lleva a una mayor facilidad de traducción sobre programas de simulación y otros
parecidos, por ejemplo, Matlab.
✓ En la cuantificación de la señal se genera pérdida de la información que no podría ser recuperada
en el proceso inverso, o sea, en la conversión de señal digital a analógica y en otros términos ya
que se truncan los valores entre 2 niveles de cuantificación, a medida que más grande proporción
de bits más grande resolución y por consiguiente menor información perdida.
✓ El retenedor de orden cero es el más sencillo de los reconstructores. Su manejo se fundamenta
en conservar constante la señal entre muestra y muestra. Es el más utilizado por su sencillez, y
ya que además suele pasar integrado en los convertidores analógico-digital. Además, este
reconstructor tiene la virtud extra de que se puede usar en sistemas con muestreo no periódico.
Además, al ser tan sencillo, tarda menos en edificar la señal continua y es el más veloz.
✓ Hay más tipos de retenedores y más exactos. Una ejemplificación podría ser el retenedor
poligonal. Dicho retenedor entre muestra y muestra crea una línea entre cada muestra. Es
muchísimo más preciso, sin embargo, por contra es más retardado
• Emita al menos tres conclusiones alrededor de la elección del periodo de muestreo
✓ Si Ts tiende a infinito esto representaría que tomaríamos la primera muestra (n = 0) en el instante
t = 0 y luego ya no tomaríamos más muestras dado que para la siguiente (n = 1) valor, nTs se
encuentra en el infinito. Está claro que con esto no conseguiríamos tener una versión digital
correcta de la señal original. Por otra parte, si el instante Ts tiende a cero estaríamos tomando
todas las muestras de forma continua. Esto implica que necesitaríamos infinitas muestras para
cubrir toda la señal original. Por lo tanto, tendríamos una copia exacta de ésta, consistiendo en
infinitos valores continuos, es decir, la misma señal original.
✓ La frecuencia con la que debemos tomar las muestras va a depender de cómo varía la señal a
muestrear: una señal con variaciones lentas precisará de una frecuencia de muestreo menor que
una señal de variaciones rápidas. En términos del tiempo entre muestras, una señal con
variaciones lentas tendrá un tiempo mayor entre muestras que una señal de variaciones rápidas.
✓ La onda muestreada está constituida por trenes de impulsos de duración no nula. Cada muestra
se da a partir de un periodo de muestreo que define en que intervalos de tiempo se “captura”
información representativa de una señal. Un mayor periodo de muestreo que tiende a cero
equivale a una mayor cantidad de memoria y a un mayor tiempo de procesamiento de
información.
• Emita al menos tres conclusiones alrededor de las ecuaciones en diferencias
✓ Una ecuación en diferencias representa una expresión que relaciona diversas sucesiones, siendo
una de ellas una sucesión desconocida. Son semejantes a las ecuaciones diferenciales,
sustituyendo las funcionalidades por sucesiones. Para su resolución suele utilizarse el
procedimiento de la transformada Z.
✓ El orden de una ecuación diferencia define o establece la diferencia de más grande nivel en que
esté la ecuación.
✓ Hay 2 clases de resoluciones para una ecuación de diferencia finita: la solución especial (no
muestra constantes arbitrarias) y la solución general (tiene una o algunas constantes arbitrarias).

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VII. CUESTIONARIO/EJERCICIOS

1) Explique porque la diferencia en los resultados obtenidos en las actividades 2 y 3

➢ Al ingresar un retenedor en el sistema del ejercicio 3 la función de transferencia cambiara y
los parámetros son también afectados por este retenedor.
2) Compare los resultados del paso 3 con las tablas de transformadas que usted usa para T=1
➢ En su mayoría se tiene un exponente en el numerador de 1 grado mayor al denominador se
puede decir que se parece a 𝑡𝑒 −𝑎𝑡
3) ¿Qué otros métodos de conversión del plano S al Z considera MatLab? Explique
Transformación bilineal.
➢ Es una técnica alternativa para aproximar un sistema analógico caracterizado por la función
de transferencia en términos de la transformada de Laplace en su homólogo digital
caracterizado por la transformada z.
➢ Su deducción se puede enfocar como la aproximación de una ecuación diferencial de primer
orden mediante una ecuación en diferencias finitas.
4) Explique cuáles son los métodos usados para el cálculo de la transformada Z inversa
La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega el mismo papel que la
transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo. Para que la transformada Z
sea útil, se debe estar familiarizado con los métodos para hallar la transformada Z inversa.
Existen cuatro métodos para obtener la transformada Z inversa:
• Método de la División Directa.
• Método Computacional.
• Método de expansión en fracciones parciales.
• Método de la Integral de inversión.
El método de la división directa proviene del hecho de que si X[Z] está expandida en una serie
de potencias de Z-1, esto es sí

BIBLIOGRAFÍA
[1]https://julioecheverri.wordpress.com/2014/10/08/ecuaciones-de-estado-de-un-sistema-
discreto-con-scilab/
[2] https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2117/6123/TEMA6.pdf
[3]http://www.frlr.utn.edu.ar/archivos/alumnos/electronica/catedras/38-sistemas-de-control-
aplicado/Notas_de_C%C3%A1tedra/anterior/04_SCA_Cap_3_V4.pdf

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