Actividades Divertidas Matemáticas 2º ESO

MATEMÁTICAS
2º de ESO

VERSIÓN DE MURCIA
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3 Resolución de problemas: 2º de ESO

2º ESO CAPÍTULO 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS


Autora: Adela Salvador
Revisores: Nieves Zuasti y Sergio Hernández
Ilustraciones: Banco de imágenes del INTEF

Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 1: Resolución de problemas Autora: Adela Salvador
www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF
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Índice
1. FASES EN LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA
2. PRIMERAS ESTRATEGIAS
2.1. ESTIMA EL RESULTADO
2.2. EXPERIMENTA, JUEGA CON EL PROBLEMA
2.3. HAZLO MÁS FÁCIL PARA EMPEZAR
2.4. HAZ UN DIAGRAMA, UN ESQUEMA...
2.5. MIRA SI TU PROBLEMA SE PARECE A ALGUNO QUE YA CONOZCAS
2.6. ESCOGE UNA BUENA NOTACIÓN
3. EMOCIONES Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
3.1. ¡EUREKA!
3.2. BLOQUEOS
4. JUEGOS Y PROBLEMAS

Resumen
¿Qué es un problema? ¿Cómo enfrentarse a unos problemas nuevos que, quizás, no sean fáciles? ¿Es
posible dar normas, conocer estrategias, para resolver mejor cualquier tipo de problema?
Un problema matemático es una situación en la que hay un objetivo que conseguir superando una serie
de obstáculos, siempre que el sujeto que afronta la situación no conozca procedimientos o algoritmos
que le permitan, de inmediato, alcanzar el objetivo.
Lo que para una persona es un problema, para otra puede ser un simple ejercicio, o mucho más que un
problema, una investigación. La diferencia está en los conocimientos previos, y si para resolverlo debe
hacerse preguntas, añadir hipótesis al enunciado.
Ante un auténtico problema muchas veces no sabe uno ni siquiera por dónde empezar. Veremos
algunas estrategias de pensamiento útiles en toda clase de problemas.
Pensamos que enseñar a resolver problemas es lo mejor que se puede enseñar, pues el mundo
evoluciona rápidamente y lo que hoy nos parece imprescindible, mañana puede haber quedado
obsoleto, mientras que resolviendo problemas se prepara a las personas a enfrentarse a lo desconocido
y los procesos mentales nunca envejecen.
Hay estudios que confirman que la enseñanza expresa de las etapas, cadencias, técnicas y estrategias
consigue mejores resultados que la mera práctica espontánea.
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1. FASES EN LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA
Ejemplo 1:
1. La piscina de tu pueblo tiene forma de rectángulo. Sus lados miden 25 m
de largo y 15 m de ancho. El alcalde desea rodear la piscina con una valla.
El metro de valla vale 12 €. ¿Cuánto costará hacer la valla?
Siempre que tengas que resolver un problema es conveniente que sigas los siguientes pasos:
Fase 1: Antes de empezar a actuar, intenta entender bien el problema
Lee con cuidado el enunciado, y piensa:
 ¿Cuáles son los datos?
 ¿Qué piden?
Datos: Dimensiones de la piscina: 25 por 15 m. Precio del metro de valla: 12 euros.
Piden: El coste de la valla. Para saberlo debemos calcular su perímetro.
Fase 2: Busca una buena estrategia.
Es un problema con operaciones con números naturales, luego:
 ¿Qué operaciones aritméticas debo hacer? ¿Habrá que sumar? ¿Habrá que multiplicar?
¿Habrá que restar? ¿Habrá que dividir?
Para calcular el perímetro debemos sumar 25 + 25 + 15 + 15. Para conocer el precio debemos multipli-
car la longitud del perímetro por el precio de un metro de valla.
Fase 3: Lleva adelante tu estrategia
Ahora sí, ahora resolvemos el problema:
Si sumamos 25 + 25 + 15 + 15 = 80 m tenemos el perímetro del rectángulo. Multiplicamos 12 por 80 y
tenemos 960 euros que es lo que costará hacer la valla.
Fase 4: Comprueba el resultado. Piensa si es razonable. Comprueba la estrategia.
Comprobamos todas las operaciones. ¿Es razonable que el perímetro de la piscina sea de 80 metros? Si
fuese de 100 metros nos costaría 1200 euros la valla, luego al ser menor, el precio también parece
razonable.
Actividades propuestas
1. ¡Inventa problemas similares!
2. El cuentakilómetros del padre de Juan marca 74.791 km. Si las revisiones
son cada 5.000 km, ¿cuántos kilómetros le faltan para la próxima revisión?
La madre de María observa que el cuentakilómetros de su coche marca
24.312 km, ¿cuántos kilómetros le faltan para la próxima revisión?
3. El aula de María mide 8 metros de largo por 5 de ancho. Se desea poner un zócalo que vale a 8 € el
metro. ¿Cuántos euros costará ponerlo? Estima cuánto mide tu aula de largo y cuánto de ancho, y
calcula cuánto costaría poner ese mismo zócalo.

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2. ESTRATEGIAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
2.1. Estima el resultado
En muchas ocasiones nos basta con estimar un resultado, no con la solución exacta.
Ya has estimado las dimensiones de tu aula.
A la madre de María, por ejemplo, para estar tranquila le basta saber que le faltan más de 600 km para
la próxima revisión. Mientras que el padre de Juan quizás no necesite saber que exactamente le faltan
75.000  74.791 = 209 km para la próxima revisión, sino estimar que le faltan menos de 300 km por lo
que debe empezar a preocuparse por hacerla.
Para realizar buenas estimaciones es conveniente haber practicado mucho.
Intenta ahora tú estimar las soluciones de estos problemas:
4. Si tu paga semanal es de diez euros, y ahorras toda la paga de un mes ¿Podrías comprarte un
ordenador portátil (que estimas que vale unos 900 euros)? ¿Y con
todas las pagas de un año?
5. Piensa en una piscina a la que hayas ido alguna vez. Estima los litros
de agua que puede contener.
6. Informan que a una manifestación han ido 500.000 personas, ¿cómo
crees que las han contado?
7. Si toda la población mundial se diera la mano, ¿qué longitud se formaría? (Estima que la población
mundial, en este momento, es mayor que siete mil millones de personas)
8. ¿Cuántas lentejas hay en un paquete de un kilo?
2.2. Experimenta, juega con el problema
Al experimentar con los datos del problema es fácil que se te ocurra que debes hacer con ellos.
9. Aprende a hacer magia.
 Piensa un número.
 Súmale 10.
 Dobla el resultado.
 Réstale 6.
 Calcula la mitad.
 Quita el número del principio.
 ¡Tu resultado es 7! ¿Cómo lo he adivinado?
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2.3. Hazlo más fácil para empezar
10. ¿En cuántos ceros acaba el producto de los mil primeros números enteros?
Para enfrentarte a este problema, ten en cuenta, lo primero, las fases, intenta entender bien el
problema. ¿Para obtener un 0 has multiplicado un 2 por un 5?
Luego, hazlo más fácil para empezar. En lugar de con los mil primeros números enteros empieza sólo
con 10. A continuación con 20, luego 100... Manipula los objetos. Piensa, que hay más ¿múltiplos de dos
o múltiplos de 5?

11. Cuadrado Mágico

Con los números del 20 al 28 completa en tu cuaderno el cuadrado mágico de forma que obtengas la
misma suma en todas direcciones, en horizontal, en vertical, e incluso en las dos diagonales.
 Hazlo más fácil, comienza con un cuadrado mágico con los números del 1 al 9. ¿Cuánto
debe sumar cada fila? ¿Cuál debe ser el número de la casilla central? ¿La suma de 1 + 2 +
… + 9 = …? ¿Qué número dividido entre 3 nos da: …?
Luego hazte las mismas preguntas con los números del problema.
Un cuadrado más difícil: Distribuye los números {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} de forma que los productos
de sus filas, columnas y diagonales de siempre el mismo valor. Una ayuda: Pon en el centro el 6.

2.4. Haz un diagrama, un esquema...
En muchas ocasiones hacer un diagrama nos resuelve el problema.
12. "El depósito": De un depósito lleno de agua se saca la tercera parte del contenido, y aún quedan
1.200 litros de agua ¿Qué capacidad tiene el depósito?
Si dibujas el depósito, enseguida sabrás la solución.

13. Se calcula que Teano, la mujer de Pitágoras nació hacia el año 519 antes de Cristo, ¿cuántos años
han pasado desde su nacimiento?

14. Una persona tiene que cruzar un río en una barca con un lobo, una cabra y un repollo, en la que sólo
puede ir ella y una de las tres cosas, teniendo en cuenta que si no está delante el lobo se come a la
cabra y la cabra se come el repollo. ¿Cómo consigue transportarlos al otro lado del río?
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2.5. Mira si tu problema se parece a alguno que ya conozcas
Es posible que tu problema tenga el mismo aire que otro que ya has resuelto, lo que puede
proporcionarte pistas útiles para resolver el nuevo.

15. Con cuatro cuatros se puede conseguir 2: 4 : 4 + 4 : 4 = 1+1= 2
Consigue utilizando cuatro cuatros 1, 3, 4, 7.
16. Cada entrada costaba 4 € y yo le entregué 10 €. No me preguntó nada, me dio dos entradas y me
devolvió 2 €. ¿Cómo pudo saber el taquillero que yo quería dos entradas de cine?
17. Dos personas se encuentran en el desierto donde se han perdido desde hace días. Para mejor
sobrevivir, deciden compartir sus panes, uno tiene tres y el otro cinco. En ese momento aparece una
tercera persona que no tiene comida. Comparten así sus ocho panes entre los tres. Finalmente les
rescatan y, en agradecimiento, cuando llegan a la ciudad, la tercera persona les invita a su casa y les
recompensa dando tres monedas al primero y cinco monedas al segundo. Su hija que ha
presenciado la escena le indica al padre que el reparto no es justo. ¿Por qué? ¿Cómo se deben
repartir las 8 monedas?
2.6. Escoge una buena notación
En los problemas de matemáticas es muy importante escoger una buena notación. Decidir, por
ejemplo, que llamamos x a lo que no conocemos, en los problemas de ecuaciones.
18. Busca un número que sumado con su siguiente dé como resultado 11.
Para resolverlo, sigue los siguientes pasos:
Paso 1: Antes de empezar a actuar, intenta entender bien el problema
Lee con mucho cuidado el enunciado, y pregúntate:
¿Qué te piden? ¿Qué datos tienes?
Nos piden un número. La incógnita es ese número. Llama a ese número x. Su siguiente, será x + 1. Nos
dicen que la suma de ambos es 11.
Paso 2: Busca una buena estrategia. Escogemos una buena notación
Llamamos x a número que buscamos: x + (x + 1) = 11.
Paso 3: Lleva adelante tu estrategia
Jugamos con los números y observamos que 5 + 6 = 11.
Paso 4: Comprueba el resultado. Piensa si es razonable.
En efecto, el siguiente a 5 es 6, y 5 + 6 = 11.
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3. EMOCIONES Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
3.1. ¡Eureka!
Ya sabes que Arquímedes estaba en la bañera cuando exclamó ¡Eureka! pues había descubierto una
importante propiedad de los cuerpos sumergidos. Algo parecido ocurre en muchas ocasiones. Tu
mismo, si trabajas en un problema, luego tu inconsciente continua trabajando y, de repente, cuando
menos lo esperas ¡Eureka! Tienes la solución. Esta situación, esta emoción positiva y gratificante,
también recibe el nombre de ¡Ajá!
En la Historia de la Ciencia se conocen muchas de estas situaciones. Busca alguna y reflexiona sobre
cómo te sientes al resolver un problema, que en un primer momento, parecía imposible.
3.2. Bloqueos
Pero también pueden aparecer emociones negativas, a las que llamaremos bloqueos. Muchas veces, al
intentar resolver un problemas, éste nos parece imposible, nos desanimamos, entran ganas de dejarlo
todo. Esto es un bloqueo. Pero eso le pasa a todo el mundo. Hay que sacar fuerzas y continuar. Buscar
la causa del bloqueo.
Veamos algunos problemas sencillos que resultan complicados pues en ellos suele producirse un
bloqueo. Intenta primero resolverlos y luego, si no te salen, lee la ayuda.
19. Sin levantar el lápiz une con 4 trazos rectos estos nueve puntos.
o o o
o o o
o o o
Dibuja en tu cuaderno nueve puntos como los de la figura y intenta unirlos, con 4 trazos sin levantar el
lápiz.
Recuerda, lo primero es comprender el enunciado. Prueba a hacerlo. ¿Lo has conseguido?
Estupendo. No lo consigues, inténtalo un poco más.
Bloqueo: Si no lo consigues es porque estás presuponiendo algo que no se ha dicho y es que no puedes
salir del recinto limitado por los puntos. Haz trazos más largos y lo conseguirás enseguida.
20. Con 3 palillos, todos iguales, puedes construir un triángulo equilátero. Con 5 palillos puedes
construir 2 triángulos equiláteros, ¿cómo podemos construir cuatro triángulos equiláteros iguales
con seis palillos con la condición de que el lado de cada triángulo sea la
longitud del palillo?
Experimenta, juega con el problema. ¡Lo has conseguido! Entonces no has
tenido un bloqueo.
Bloqueo: Nadie ha dicho que no pudieras salir del plano. Ahí está el bloqueo. Lo
consigues con un tetraedro regular.
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4. JUEGOS Y PROBLEMAS
¿Te gusta jugar? Para ser un buen jugador en juegos de estrategia puedes
utilizar las técnicas que has aprendido con la resolución de problemas.
Fases:
1. Lo primero, naturalmente, comprender bien las reglas del juego, que
es similar a comprender el enunciado.
2. Lo segundo, jugar, hasta encontrar una estrategia ganadora.
3. Luego jugar y ver si tu estrategia es realmente buena.
4. Por último, generalizar, intentar mejorar la estrategia.
Utiliza todo lo que has aprendido.
21. Prepara unas cuantas monedas de un céntimo en la mano (o bolitas de papel, o fichas…). Pon la
misma cantidad en cada mano, no menos de 10. Pasa 6 monedas de la mano derecha a la izquierda.
Elimina de la mano izquierda tantas monedas como te queden en la derecha. ¿Qué observas? ¡Yo
soy mago y puedo adivinar cuántas monedas te quedan en la mano izquierda! ¿Son 12? ¿Cómo
funciona el truco? Prueba a pasar 4 o 5 objetos en lugar de 6, ¿cómo funciona ahora?
22. Otro juego: Es un juego de calculadora y puede ser un juego cooperativo; un juego
en el que se ponen en común las diferentes estrategias y se discute sobre el mejor
procedimiento, el más sencillo o el más original. Consta de cuatro fichas como las
de la figura, donde se indican las teclas que está permitido pulsar, y el resultado, en
rojo, al que hay que llegar.
3 6 5 7 10 7 2 7
+  x / +  + 
/ = + = x = x =
33 147 123 95
 El juego consiste, en primer lugar, en obtener el resultado en la calculadora.
 Debes anotar todos los métodos encontrados. Piensa y anota en tu cuaderno cuál es el
procedimiento que te ha resultado más eficaz.
 Escribe, utilizando paréntesis, las expresiones que ha utilizado la calculadora.
 Modifica el juego confeccionando nuevas fichas, modificando éstas con otras teclas y con
otros resultados.
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CURIOSIDADES. REVISTA
Un enigma
Cuatro paredes, sin puertas
Con seis filos las harás
Y ten además en cuenta
Que el más sencillo de cinco es.
Del libro de Luis Balbuena “Cuentos de Cero”
Un juego: EL NIM
Es un juego para dos jugadores
De cada fila, por turno, se pueden tomar
una, dos o toda la fila. Pierde quien debe
tomar la última ficha.
O O
O O O
O O O O
El oso
Un cazador cuenta a un grupo de amigos:
 Anduve 2 km hacia el sur, luego 2 km al
este, y por último 2 km al norte. Me encontré
en el lugar de partida. Y allí cacé un oso. ¿De
qué color era el oso?
Amigo 1:  Naturalmente, era blanco.
Amigo 2:  ¡Falso! ¡Ahí no hay osos!
Analiza dónde estaba el cazador.
Solución: El primer amigo opina que el cazador estaba en
el Polo Norte. El segundo amigo que estaba en un punto
de un meridiano del hemisferio sur, tal que al andar 2 km
llegara a otro meridiano de circunferencia 2 km. Pero hay
más. Muchas más soluciones posibles. Búscalas
El número de filas y de fichas, (monedas, bolitas
de papel, palillos…) puede modificarse. Es Solución: El tetraedro
importante buscar la estrategia ganadora.
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RESUMEN
Problema Es una situación en la que hay un objetivo que conseguir superando una serie
de obstáculos, siempre que el sujeto que afronta la situación no conozca
procedimientos o algoritmos que le permitan alcanzar el objetivo.
Fases en la resolución Fase 1: Antes de empezar a actuar, intenta entender bien el problema.

de un problema Fase 2: Busca una buena estrategia.
Fase 3: Lleva adelante tu estrategia.
Fase 4: Comprueba el resultado. Piensa si es razonable. Comprueba la
estrategia.
Algunas estrategias  Estima el resultado.
 Experimenta, juega con el problema.
 Hazlo más fácil para empezar.
 Haz un diagrama, un esquema...
 Mira si tu problema se parece a alguno que ya conozcas.
 Escoge una buena notación.
Emociones y Emoción positiva: Idea feliz. ¡Aja! ¡Eureka!
resolución de Emoción negativa: Bloqueo
problemas
Juegos de estrategia Para ser un buen jugador en juegos de estrategia puedes utilizar las técnicas
que has aprendido con la resolución de problemas.
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EJERCICIOS Y PROBLEMAS
1. “El hotel de los líos”: Un hotel tiene infinitas puertas todas cerradas, un cliente gracioso se levanta
por la noche y las abre todas. Un segundo cliente cierra las pares. Un tercer cliente modifica las que
son múltiplo de tres, si está abierta la cierra y si está cerrada la abre. El cuarto lo mismo de cuatro en
cuatro y así sucesivamente. ¿Cómo están las puertas por la mañana?
Ayuda y solución: Ve anotando las puertas que se van quedando abiertas hasta comprobar que son: 1,
4, 9, 16... ¿Cómo son esos números? ¿Cuántos divisores tienen?
2. El radio de la Tierra es de 6.240 km aproximadamente. Rodeamos la
tierra con un cable. ¿Cuánto deberíamos aumentar la longitud del
cable para que se separase por el ecuador una distancia de dos
metros? ¿Menos de 15 m? ¿Más de 15 m y menos de 15 km? ¿Más
de 15 km?
3. La invitación: Juan invita a Marta y a Elena a merendar. Prepara una limonada y se dispone a
servirla. Marta la quiere con poco limón y Elena con mucho. Juan ha puesto el zumo de limón y el
agua en jarras iguales y con la misma cantidad. Para complacer a sus invitadas toma un vaso de la
jarra con limón y lo echa en la del agua, y a continuación toma un vaso del mismo tamaño de la
mezcla y lo echa en la del limón. ¿Habrá más limón en la jarra del agua o agua en la jarra del limón?
Ayuda: Para empezar hazlo más fácil. Piensa en dos bolsas iguales una con bolas negras y la otra con
bolas rojas.
4. "Los cachorros": Un muchacho tiene un cesto de cachorros y le regala
a una amiga la mitad más medio cachorro, de lo que le queda le da a
un amigo la mitad más medio, a su prima la mitad que le queda más
medio, y a su primo la mitad que le queda más medio y le queda un
cachorro. ¿Cuántos cachorros tenía el cesto?
Ayuda: Haz un esquema
5. Queremos poner un burlete alrededor del borde de tu mesa de trabajo. El metro de burlete vale a
un euro. Estima las dimensiones de tu mesa. ¿Cuánto costaría ponerlo?
6. Un amigo dice a otro:
 El producto de las edades de mis tres hijas es 36, y la suma es el número de la casa en la
que vives. ¿Adivina qué edades tienen?
 No, me falta un dato.
 Tienes toda la razón, la mayor toca el piano.
¿Qué edad tienen las hijas?
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7. En una trama de cuatro por cuatro, ¿cuál es el mayor número de lados que puede tener un polígono
con vértices en puntos de la trama? Generaliza a otras tramas.
F. J. Martínez
8. Diseña figuras de cartulina que mediante un solo corte podamos
dividir en cuatro trozos iguales.
9. Cómo repartir equitativamente 8 litros entre dos utilizando

únicamente tres jarras de 8, 5 y 3 litros.
10. Estima cuánto mide tu habitación de largo, de alto y de ancho. Si
quieres pintarla y el bote de pintura cuesta 5,2 €, y dice en las
instrucciones que puedes pintar con él, 10 m2, ¿cuánto costará
pintarla?
11. Monedas Ordenadas
Mueve sólo tres monedas para conseguir que el triángulo quede de esta forma:
    

    
    
    
12. A la base de Pluto llegan embarques de 6 latas de 100 bolas de un gramo. Un día llega el mensaje
"Urgente. Una lata se ha llenado con bolas defectuosas, cada una con un exceso de peso de un
miligramo. Identifíquenla" ¿Cómo hacerlo con una sola pesada? Un mes más tarde llega otro
mensaje: "Alguna de las seis latas, quizás todas ellas, pueden estar llenas con bolas defectuosa, con
un sobrepeso de un miligramo. Identifiquen y destruyan todas las bolas defectuosas" ¿Puedes
hacerlo con una sola pesada?
13. Una estudiante tiene el insólito nombre palindrómico de Inés Lil Seni. Su novio, estudiante de
matemáticas, aburrido una mañana por una lección un poco rollo, se entretiene intentando
componer un criptograma numérico. Escribe el nombre en forma de multiplicación:
INES
X LIL
SENI
¿Será posible reemplazar cada letra por uno de los diez dígitos y obtener una multiplicación
correcta? El joven descubre con sorpresa que sí, y también que la solución es única. (Ninguno de
los dos números de cuatro cifras empieza por cero).
14. La piscina del polideportivo municipal se ha tenido que vaciar por un problema de contaminación.
Este proceso se ha realizado en tres fases para poder utilizar el agua en la limpieza de las
instalaciones, primero se ha sacado la tercera parte, después la mitad del resto y aún quedan 150 m3
de agua. ¿Qué capacidad tiene la piscina?

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PARA EL PROFESORADO
En la enseñanza de las matemáticas es conveniente, como afirmaba Hans Freudenthal, “hacer
matemáticas en la clase de matemáticas” y una forma de conseguirlo, es organizar clases de resolución
de problemas o proponer pequeñas investigaciones.
Al investigar a los buenos resolutores de problemas se han obtenido dos conclusiones: La primera es
que la capacidad para resolver problemas mejora con la práctica, la segunda es que el análisis de los
métodos matemáticos, así como el de las distintas estrategias que intervienen en la resolución de
problemas también mejora dicha capacidad. Hay estudios que confirman que la enseñanza expresa de
las etapas, cadencias, técnicas y estrategias consigue mejores resultados que la mera práctica
espontánea. Es preciso resolver muchos problemas. Esa ayuda sólo puede ser eficaz si se ejerce sobre
problemas concretos y no como pre‐requisito teórico.
Trabajar en la resolución de problemas es lo mejor que se puede proporcionar a una persona, ya que
ayuda a equiparla para su actividad integral, no solamente en lo que se refiere a sus capacidades
matemáticas. El mundo evoluciona rápidamente, y tenemos la obligación de preparar personas que en
el futuro van a enfrentarse a situaciones desconocidas. Los procesos mentales no se hacen obsoletos.
Un problema matemático es una situación en la que hay un objetivo que conseguir superando una
serie de obstáculos, siempre que el sujeto que afronta la situación no conozca procedimientos o
algoritmos que le permitan alcanzar el objetivo.
Un problema tiene distinta calificación en función de la persona que se lo plantee, y es evidente que lo
que son problemas para unos, no lo son para otros. Así cuando una persona sabe los rudimentos del
lenguaje algebraico, un problema que pueda resolverse planteando una ecuación de primer o segundo
grado o un sistema de ecuaciones, no es un problema, sino un ejercicio al que se le aplica una regla fija
que es la notación algebraica y los algoritmos para resolver las ecuaciones que resultan. También es
distinto un problema de una investigación, que al ser un proceso más abierto, es la persona quien se
plantea el objetivo que quiere conseguir. Así, cuando un estudiante al resolver un problema se hace
preguntas, intentando generalizar el resultado o modificar las condiciones iniciales, está realizando una
investigación. Podemos pues distinguir entre ejercicio, problema e investigación.
La heurística, término introducido por George Polya en su libro Cómo plantear y resolver problemas, es
el "arte de resolver problemas" y trata de desvelar el conjunto de actitudes, procesos generales,
estrategias y pautas que favorecen la resolución de problemas en general y en particular de los
problemas matemáticos. Decía Polya: “El profesor de matemáticas no debería contentarse con
dispensar el saber, sino que también debería intentar desarrollar en los estudiantes la capacidad de
utilizar ese saber; debería insistir en el saber – hacer, en las actitudes adecuadas, en los hábitos
intelectuales deseables”.
Polya considera la resolución de problemas como un proceso lineal en el que establece cuatro fases:
1. Comprender el problema,
2. Concebir un plan,
3. Ejecutar un plan, y
4. Examinar la solución obtenida.
En cada una de estas fases hay una serie de pautas o sugerencias heurísticas que pretenden fijar la
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atención sobre aspectos concretos del problema, para sugerir ideas que permitan avanzar en su
resolución.
En España en 1991 se publica Para pensar mejor de Miguel de Guzmán en el que se destaca la
identificación de los distintos tipos de bloqueos, la importancia de la actividad subconsciente en el
proceso de resolución de problemas, el desarrollo de la creatividad, y la importancia de realizar un
protocolo en el proceso de resolución. Aconsejaba “enseñar matemáticas basándose
fundamentalmente en la ocupación activa con problemas alrededor de los contenidos que se pretende
impartir”. En Cómo hablar, demostrar y resolver en Matemáticas (2003) reflexiona sobre la organización
de una clase de problemas y las técnicas que la facilitan, como el torbellino de ideas o el trabajo en
grupo.
Una forma aconsejable para las clases de resolución de problemas es organizar el trabajo en grupos.
Existen muchas formas de organizar el trabajo en grupo, por lo que antes de proponer cualquier
actividad grupal debemos asegurarnos que el alumnado conoce algunas técnicas básicas. Si no es así
gran parte de la rentabilidad esperada se pierde ante un mal reparto de responsabilidades, una
deficiente organización, una incorrecta administración del tiempo, etc.
Los grupos, ni demasiado grandes, ni demasiado pequeños, podrían estar formados por unas seis o
siete personas. En un grupo debe haber una persona responsable y una persona secretaria:
 La persona responsable tiene dos funciones, dinamizadora para mantener el interés del
grupo y cuidar que nadie se quede sin participar y organizadora preocupándose de
planificar los tiempos y las tareas asignadas a cada fase del trabajo.
 La persona secretaria se ocupa de anotar todas las ideas que vayan surgiendo y
sistematizar las tareas que se vayan desarrollando y es portavoz, encargándose de exponer
las conclusiones de su equipo a toda la clase.
Cada una de las funciones descritas no deben asociarse siempre a una misma persona sino que es
recomendable un sistema de alternancia.
Papel del profesorado: En una clase de resolución de problemas, nuestra labor es dinamizar a los
distintos equipos, supliendo las deficiencias y ayudando en los primeros momentos a las personas
responsable y secretaria en sus funciones.
Cuando un profesor o una profesora plantea un trabajo en grupo para resolver problemas debe:
 Elegir problemas con un enunciado atractivo y motivador.
 Graduar de manera conveniente la dificultad del problema.
 Analizar detenidamente los bloqueos que puedan surgir en la resolución del problema y
utilizar los métodos adecuados para superarlos.
 Percibir las dificultades que el trabajo en grupo plantea como tal y contar con recursos
para actuar frente a los obstáculos que perturban su buen funcionamiento.
 Procurar establecer un ambiente adecuado dentro del aula que favorezca actitudes
positivas hacia el aprendizaje.
Pero el aprendizaje de la resolución de problemas es un proceso a largo plazo. No es un objetivo
operativo evaluable mediante un examen.
Decía Giner de los Ríos: El maestro es quien exige del discípulo que piense y reflexione por sí, y en la
medida de sus fuerzas, que investigue, cuestione, intente, dude, despliegue las alas de su espíritu. O
Cossio: Dad la ocasión al estudiante de pensar por él mismo y ser el creador de su propia instrucción.
Para saber más entra en: http://innovacioneducativa.upm.es/pensamientomatematico/node/91
17 Números. 2º de ESO
2º ESO CAPÍTULO 2: NÚMEROS
Autores: Eduardo Cuchillo, Ana Lorente y Fernanda Ramos

Revisora: Nieves Zuasti
Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 2: Números Autores: Eduardo Cuchillo, Ana Lorente y Fernanda Ramos
Sistema de numeración egipcio
Índice
1. NÚMEROS
1.1. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN Ilustración: A. Ortega
1.2. NÚMEROS TRIANGULARES, CUADRADOS, PENTAGONALES…

1.3. NÚMEROS ENTEROS
1.4. FRACCIONES
1.5. EXPRESIONES DECIMALES
1.6. APROXIMACIONES, TRUNCAMIENTOS Y REDONDEOS
2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Ilustración: A. Ortega
2.1 REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA

2.2. COMPARACIÓN DE NÚMEROS
3. OPERACIONES Sistema de numeración maya
3.1. SUMA Y RESTA. PROPIEDADES

3.2. PRODUCTO Y COCIENTE. PROPIEDADES
3.3. JERARQUÍA DE OPERACIONES
Números arábigos
Resumen
Ya conoces muchos tipos de números, los números naturales, que sirven para contar, los números
decimales, que nos sirven, entre otras muchas cosas, para usar los céntimos, las fracciones… También
conoces, del curso pasado, los números enteros, los positivos, los negativos y el cero. En la historia de la
humanidad aparecen mucho antes las fracciones, en Egipto y en Babilonia, que los números negativos.
En los balances contables, por ejemplo, se ponía en rojo las deudas (pero no se usaba el signo menos).
En el Renacimiento Tartaglia y Cardano ya obtuvieron soluciones negativas de algunas ecuaciones (de
tercer grado) pero hasta el siglo XVII no se generalizó su uso. Observa que ya se usaban expresiones
decimales y fracciones positivas y sin embargo se tardó mucho en utilizar los números negativos.
En este capítulo vamos a revisar como se trabaja con números positivos y negativos, fracciones y
decimales, a sumarlos, restarlos, multiplicarlos, dividirlos, a calcular si valor absoluto, a representarlos
en una recta y a compararlos.
1. NÚMEROS
Recuerda que:
El conjunto de los números naturales se representa por la letra N y está formado por los números 1, 2,
3, 4,…
N = {1, 2, 3, ….}
Es un conjunto infinito, pues no tiene un último elemento, aunque si tiene un primer elemento, el 1. Es
un conjunto bien ordenado pues dados dos números naturales siempre sabemos si uno es menor que el
otro.
1.1. El sistema de numeración

El sistema de numeración decimal
En el sistema de numeración decimal el valor de una cifra en un número es diez veces mayor que el de
la cifra situada a su derecha y diez veces menor que el valor de la situada a su izquierda. Por eso se dice
que es un sistema posicional: el valor de una cifra en un número depende del lugar que ocupe esa cifra.
Otros sistemas de numeración decimal usados actualmente son los que se usan en países árabes como:
Europeo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Arábigo-Índico ۰ ۱ ۲ ۳ ٤ ٥ ٦ ۷ ۸ ۹
Arábigo-Índico Oriental ۰ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹
(Persa y Urdu)
Actividades resueltas
En el número 9835067 tenemos: 1 一
- La cifra de las unidades: el 7 = 7 · 100 2 二

- Luego la cifra de las decenas: el 3, cuyo valor en el número es 10 veces más 3 三
que el anterior, luego su valor será: 6 · 10 = 60
4 四
- En tercer lugar, las centenas: el 0, cuyo valor será el que resulte de multiplicar
la cifra situada en tercer lugar por 100 (o por 102): 0 · 102 = 0 5 五
- En cuarto lugar las unidades de millar: 2, cuyo valor obtenemos multiplicando 6 六
por 1000 (o por 103) la cifra situada en ese lugar: 5 · 103 = 5000
7 七
- Luego, las decenas de millar: 5 cuyo valor será: 3 · 104 = 30000
8 八
- En sexto lugar, las centenas de millar: 6, cuyo valor se obtiene multiplicando
la cifra por 105: 8 · 105 = 800000 9 九
- Y, por último, las unidades de millón: 4, cuyo valor obtenemos 10 十
multiplicándolo por 106: 9· 106 = 9000000
0 零/〇
Con esto observamos que el número 4652031 se puede escribir utilizando potencias
de 10 de la forma: Números
chinos
9835067 = 9 · 106 + 8 · 105 + 3 · 104 + 5 · 103 + 0 · 102 + 6 · 101 + 7 · 100
1. Escribe mediante potencias de 10 los siguientes números:
a) 8216 b) 591274 c) 918273 d) 90003040506
2. ¿Qué lugar ocupa la cifra 7 en los siguientes números? ¿En cuál de los números tiene mayor valor?
¿Y menor?
a) 708544 b) 67339001 c) 5092175 d) 9847
3. Razona por qué, en el número natural 77777 con cifras repetidas, éstas no tienen el mismo valor.
Números romanos
Otro sistema de numeración que todavía se usa es el de los
números romanos. ¿Te acuerdas de sus equivalencias?
I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.
Reloj con números romanos
Números romanos
Ejemplo:
El número MDL equivale en el sistema decimal al 1550. Si ahora le añadimos un V, es decir:
MDLV, el número es el 1555, pero las cifras M, D, y L siguen teniendo el mismo valor en ambos
números.
4. Escribe mediante potencias de 10 los siguientes números romanos en nuestra numeración:
a) MDCVX b) MMMCCXXXIIII c) MMCDXXVI d) MMCCCXLIII
Otros sistemas de numeración
Uno de los primeros sistemas de numeración que se utilizó fue el de base 12 hace ya más de 5000 años.
Todavía se usa cuando contamos objetos por docenas o con algunas mediciones del tiempo.
El sistema de base 2 o sistema binario también es muy
utilizado hoy en día, sobre todo en los ordenadores y
calculadoras debido a su simplicidad, ya que para escribir
números en este sistema solo se necesitan dos cifras
Cifras del sistema binario
distintas, el 0 y el 1
5. Escribe los números del 1 al 10 en el sistema binario.
1.2. Los números triangulares, cuadrados, pentagonales…

Los griegos, y en particular los pitagóricos solían representar los números mediante piedrecitas,
cálculos, sobre la arena y los ordenaban formando dibujos geométricos poligonales.
Si los ordenas formando triángulos obtienes los números triangulares:
Observa que los números triangulares son: 1, 3, 6, 10, 15….

Añade 3 números triangulares más.
Si los ordenamos formando cuadrados obtienes los cuadrados perfectos que ya conoces: 1, 4, 9, 16,
25…
Se pueden ordenar formando pentágonos:
Los números pentagonales son: 1, 5, 12, 22, 35…

Y así con otros polígonos.
Estos números se usaron en la Escuela Pitagórica asociando al número una imagen geométrica.
6. Llamamos Cn al número cuadrado y Tn al número triangular que ocupan el lugar n. Ya sabes que Cn
n(n + 1)
es igual a n2: Cn = n2 Comprueba que Tn = es una expresión para los números triangulares.
2
7. Observa los números cuadrados perfectos. Mira en la figura y comprueba que puedes formarlos
como suma de dos números triangulares: 4 = 3 + 1, 9 = 6 + 3… Exprésalo de forma general.
8. Escribe tres números triangulares, tres cuadrados y tres pentagonales más de los ya indicados.
9. Dibuja tres números hexagonales.
1.3. Números enteros

Existen ocasiones de la vida cotidiana en que es preciso usar números distintos de los naturales,
números positivos y negativos. Los números naturales no resultar ser suficientes.
Recuerda que:
Los números enteros son una ampliación de los números naturales:
Los números enteros positivos son los números naturales y se escriben precedidos del signo +:
+1, +2, +3, +4, +5…
Los enteros negativos van precedidos del signo –: –1, –2, –3….
El cero es el único número entero que no es ni negativo ni positivo y no lleva signo.
El conjunto de los números enteros se representa por Z.
Z = {0, +1, −1, +2, −2, +3, −3, +4, −4, … }

Al escribir un número entero positivo no se suele escribir su signo: + 2 = 2; +6 = 6.
Ejemplo:
Juan está trabajando y el primer mes gana 1000 euros pero gasta 500 euros, por tanto Juan
tiene en total 1000 − 500 = 500 €. Sin embargo, si el primer mes gana 1000 pero sus gastos son
mayores (alquiler del piso, impuestos…) y ascienden a 2000 euros, se dice que perdió en total
2000 − 1000 = 1000 euros. Unas veces existe una ganancia neta, y otras una pérdida,
dependiendo de si las ganancias fueron mayores que los gastos o viceversa. Estas dos
posibilidades se pueden expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el
primer caso ganó en total 1000 − 500 = +500 euros, y en el segundo ganó en total 1000 − 2000 =
− 1000. Euros. Así, se entiende que una pérdida es una ganancia negativa.
Los números negativos aparecen al considerar:
El capital de una empresa que ha quebrado.
Temperaturas por debajo de cero grados.
Fechas antes de Cristo.
Profundidad de un submarino bajo el nivel del mar.
Se dice “las seis menos cinco” o las “ocho menos veinte”.
Valor absoluto de un número
La distancia que separa un número del cero se define como valor absoluto del número.
• Es siempre un número positivo (o cero).
• Se escribe entre dos barras | |. |+6| = 6
Ejemplo:
El valor absoluto de +4, es 4, y se escribe: |+4| = 4; | 3| = 3
El valor absoluto de –9,3 es 9,3 y por tanto |–9,3| = 9,3, del mismo modo:
|+23,5| = 23,5 y |–5/6| = 5/6.
10. Escribe el número que mejor representa la situación que se plantea:
a) Un submarino navega a 345 m de profundidad
b) Hoy el termómetro marcaba 15 º C
c) El coche estaba en el sótano 5.
d) Arquímedes murió en el año 212 antes de Cristo
11. Expresa estos enunciados con un número positivo, negativo o cero:
a) Me he quedado sin dinero.
b) Miguel nació en el año dos mil.
c) El garaje está en el tercer sótano.
12. Indica el significado de los números –4, 0 y +7 en cada una de las situaciones siguientes:
a) En un garaje b) En una temperatura c) En una cuenta
13. Calcula el valor absoluto de los siguientes números:
a) |+43| b) |–7,2| c) | 0 | d) |–81,7|
1.4. Fracciones
Los objetos matemáticos llamados fracciones permiten que las personas se entiendan al hablar de
trozos, partes o porciones, tanto si se ha troceado en porciones idénticas como si son de diferentes
tamaños.
Una fracción es el cociente de dos números enteros.
Comencemos con un ejemplo.
Si dividimos un bizcocho en 5 partes iguales, cada porción es una de las cinco partes en las que
1
hemos dividido el bizcocho. Escribiremos para
5
representar cada trozo, es decir, cada una de las
cinco quintas partes del bizcocho. Si colocamos en
una bandeja tres de esas porciones, sobre la bandeja
3
habrá tres quintas partes de bizcocho:
5
5
El bizcocho completo puede representarse de la siguiente forma = 1 ya que está formado por cinco
5
quintas partes.
m
En general, una fracción es una expresión de la forma donde tanto m como n son números
n
naturales. Para referirnos a ella diremos "m partido de n"; m recibe el nombre de numerador y n es el
denominador.
Para valores bajos del denominador, disponemos de denominaciones alternativas:
1 2 3 4 3
, un medio , dos tercios , tres cuartos , cuatro quintos , tres décimos
2 3 4 5 10
7 11
A partir del valor 11 del denominador: , siete onceavos , once veintitresavos
11 23
Una pregunta natural que surge es la siguiente: ¿es posible, o tiene sentido, que sea mayor el
numerador que el denominador? La respuesta es afirmativa, sí.
Las fracciones cuyo numerador es mayor que el denominador reciben el nombre de fracciones
impropias. Las fracciones cuyo numerador es menor que el denominador reciben el nombre de
fracciones propias.
Reducción de una fracción. Fracciones irreducibles
m
son equivalentes si m ⋅ q = n ⋅ p
p
Dos fracciones y
n q
Las fracciones 1/2 y 2/4 son equivalentes pues representan la misma
proporción. Es lo mismo media tarta que dos cuartos de tarta.
A partir de una fracción m/n, si r es cualquier número natural entonces la fracción (m∙r)/(n∙r) es
m⋅r m
equivalente a m/n: =
n⋅r n
Ejemplo:
1 1⋅ 10 10
Una fracción equivalente a 1/3 es, por ejemplo, 10/30, ya que = =
3 3 ⋅ 10 30
Anteriormente dijimos que 1/2 y 2/4 son fracciones equivalentes. Por la misma
razón, otras fracciones equivalentes son 3/5, 6/10 y 24/40 puesto que
3 3⋅2 6 6 6 ⋅ 4 24 3 3 ⋅ 8 24
= = , = = , = = .
5 5 ⋅ 2 10 10 10 ⋅ 4 40 5 5 ⋅ 8 40
Una manera alternativa de destacar estas relaciones consiste en decir que las
fracciones 3/5 y 6/10 son reducciones de la fracción 24/40, mientras que 3/5 es una reducción de 6/10.
Podemos intuir que la fracción 3/5 no puede reducirse más, es una fracción irreducible.
Obtendremos la mayor reducción de una fracción p/q al dividir tanto p como q entre su máximo común
divisor.
Una fracción es irreducible cuando el máximo común divisor de su numerador y denominador es 1.
Ejemplo:
Una reducción de 24/40 es 6/10, pues la obtenemos al dividir tanto 24 como 40 entre 4. Como
el máximo común divisor de 24 y 40 es 8, la mayor reducción de la fracción 24/40 es 3/5. Al ser
el máximo común divisor de 3 y 5 igual a 1, la fracción 3/5 es irreducible, tal y como era de
esperar.
Ejemplo:
En ocasiones, una fracción se reduce a un número natural como, por ejemplo, la fracción 30/6,
ya que el máximo común divisor de 30 y 6 es igual a 6, y al dividir 30, el numerador, entre 6
obtenemos 5.
Dos fracciones son equivalentes si se reducen a una misma fracción irreducible.
14. Señala diferentes acciones que obliguen a repartir, o subdividir, cierto objeto, ente o actividad.
15. Encuentra situaciones de la vida cotidiana en las que aparezcan fracciones.
24 21
16. Reduce las siguientes fracciones a su expresión irreducible: a) b)
18 49
7
c)
7
17. Determina si las siguientes parejas de fracciones son o no equivalentes:
4 3 3 33 5 105
a) y b) y c) y
8 6 11 9 8 168
1 9
18. Obtén tres fracciones equivalentes a cada una de las que figuran a continuación: a) b)
5 4
4 12 2 10
19. Decide si las siguientes parejas de fracciones son o no equivalentes: a) y b) y
5 15 3 15
20. Obtén tres fracciones equivalentes a cada una de las que figuran a continuación:
−1 9 −3 2
a) b) c) d)
5 −4 7 − 15
1.5. Expresiones decimales

Pero hay otras formas de expresar cantidades que no se corresponden con cantidades completas, como
por ejemplo, el precio de un producto: 3,25 euros.
Una expresión decimal consta de dos partes:
• su parte entera, el número que está a la izquierda de la coma
• y su parte decimal, lo que se encuentra a la derecha de la coma
La parte decimal indica porciones que hay que añadir a la parte entera dividiendo la unidad en 10, 100,
1000 … partes.
3 3
Ejemplos: 1'3 = 1 + 1'03 = 1 +
10 100
21. Busca otras situaciones de la vida real donde aparezcan números decimales.
Conversión de una fracción a expresión decimal
Dada una fracción se obtiene su expresión decimal, dividiendo.
93 46
Ejemplos: = 11'625 = 4'1818181818181....
8 11
Recuerda que cualquier fracción tiene un desarrollo decimal exacto o periódico.
Las expresiones decimales periódicas cuyo desarrollo decimal periódico comienza inmediatamente
después de la coma se llaman periódicos puros. Si el periodo se encuentra más allá de la coma estamos
ante un número decimal periódico mixto y la parte decimal situada entre la coma y el periodo se llama
anteperiodo.
178
Ejemplo: = 2'5428571
70
Hemos llegado a la expresión decimal de la fracción 178/70. Es el número decimal de parte entera 2,
anteperiodo 5 y periodo 428571.
97 345
22. Convierte en expresión decimal las fracciones siguientes: a) b)
2 4
1 7 5 4 25
23. Transforma las siguientes fracciones en expresión decimal: a) b) c) d) e)
3 9 6 11 12
Conversión de una expresión decimal en fracción
Si la expresión decimal es exacta, basta dividir por una potencia de 10 de forma que desaparezca la
coma.
31528
Ejemplo: 31'528 =
1000
Si es periódico puro, veamos la forma de proceder:
X = 7' 31
100 ⋅ X = 100 ⋅ 7' 31 = 100 ⋅ 7'31313131..... = 731'313131..... = 731' 31

724
100 ⋅ X − X = 731 − 7 ⇒ 99 ⋅ X = 724 ⇒ X=
99
Un número decimal periódico puro se convierte en aquella fracción que tiene por numerador, la
diferencia entre el número formado por la parte entera y el periodo menos la parte entera, y por
denominador al número formado por una cantidad de nueves igual al número de cifras del periodo.
5 934 46 − 4 42 14
Ejemplos: 0, 5 = 0, 934 = 4, 6 = = =
9 999 9 9 3
Si es periódico mixto, veamos la forma de proceder con un ejemplo:
X = 7,631
10 ⋅ X = 10 ⋅ 7,631 = 76'31313131.....
1000 ⋅ X = 1000 ⋅ 7,631 = 7631,313131.....
7631 − 76 6555
(1000 − 10) ⋅ X = 7631 − 76 ⇒ X = =
990 990
Una expresión decimal periódica mixta se convierte en aquella fracción que tiene por numerador a la
diferencia entre, el número natural formado por la parte entera, el anteperiodo y el periodo, menos el
número natural formado por la parte entera y el anteperiodo, y por denominador al número formado
por una cantidad de nueves igual al número de cifras del periodo seguido de una cantidad de ceros
coincidente con el número de cifras del anteperiodo.
349 − 3 346 807458 − 807 806651
Ejemplo: 0'349 = = 8'07458 = =
990 990 99900 99900
Observa que:
Si calculamos la suma 0' 3 + 0' 6 . Parece natural que
0' 3 + 0' 6 = 0'333333..... + 0'666666..... = 0'999999..... = 0' 9
3 1 6 2 1 2 3
Por otro lado 0' 3 = = y 0' 6 = = . Así que sumando 0' 3 + 0' 6 = + = = 1 de modo que
9 3 9 3 3 3 3
1 = 0' 9 = 0'999999.....
1.6. Aproximaciones, truncamientos y redondeos
Si vamos a pagar con un billete de 50 euros una compra que asciende a 32’69 euros, esperamos
una vuelta de 17’31 euros. Si en la caja no hay monedas de un céntimo, nos propondrán que
demos por buena una vuelta de 17’30 euros. Es una aproximación a la baja.
Si realizamos una compra por un importe de 12’44 euros y la saldamos con 12’45 euros estamos
ante una aproximación al alza.
Una manera de realizar una aproximación a la baja de un número decimal es el truncamiento. Consiste
en decidir cuántas cifras decimales queremos considerar y, simplemente, eliminar las restantes a partir
de la última cifra decimal mostrada.
Otra forma de realizar una aproximación es a través de un redondeo. Éste consiste en decidir cuántas
cifras decimales va a tener la aproximación, realizar el truncamiento oportuno y, en función de cuál sea
la primera cifra decimal no considerada, mantener o incrementar en una unidad la parte decimal del
truncamiento. El criterio para efectuar, o no, dicho incremento es el siguiente:
Cuando la primera cifra decimal eliminada es 0, 1, 2, 3 o 4, el redondeo coincide con el
truncamiento.
Si la primera cifra decimal no considerada es un 5, 6, 7, 8 o 9, el redondeo se obtiene al
aumentar en una unidad la parte decimal del truncamiento.
Ejemplo:
Redondeamos y truncamos la expresión decimal 45,98351.
Redondeo Truncamiento
Décimas 46,0 45,9
Centésimas 45,98 45,98
Milésimas 45,984 45,983
Diezmilésimas 45,9835 45,9835
24. Aproxima por truncamiento los siguientes números decimales de forma que aparezca un desarrollo
decimal hasta las milésimas:
a) 11'1234 b) 6' 6 c) 9'350 d) 8' 71 e) 8'3348 f) 2'6408
25. Aproxima por redondeo hasta la milésima los siguientes números decimales:
a) 11'1234 b) 6' 6 c) 9'350 d) 8' 71 e) 8'3348 f) 2'6408 g) 3'9996
2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
2.1. Representación en la recta numérica

Recuerda que:
Para representar números enteros en la recta numérica:
1. Debemos trazar una recta horizontal y marcamos el cero, que se llama origen
2. Dividimos la recta en segmentos iguales, de longitud 1
3. Colocamos los números positivos a partir del cero a la derecha y los números negativos a partir
del cero a la izquierda.
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Ejemplo:
Representa en una recta numérica: –2, 0, 4, –1, 8, –7, –3 y 1
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Para representar un número decimal como 6’2 en primer lugar nos fijamos en su parte entera,
6, lo que nos informa de que 6’2 se encuentra entre los números naturales 6 y 7. Como su parte
decimal posee una sola cifra, son 2 décimas, deberemos dividir el segmento de extremos 6 y 7
en diez partes iguales
para, finalmente, situar
6’2 sobre la segunda de las
marcas.
26. Representa en una recta numérica en tu cuaderno los siguientes números y ordénalos de menor a
mayor: –8, 5, 1, –5, 8, –3, –7 y 0.
27. Sitúa en la siguiente recta los números 8’43, 8’48, 8’51 y 8’38
2.2. Comparación de números

Al representar los números en la recta numérica quedan ordenados.
Cuanto más a la derecha esté un número situado en la recta numérica es mayor, y cuanto más a la
izquierda esté situado es menor.
Ejemplo:
–7 está más a la izquierda que +4 por tanto –7 es menor que +4. Se escribe –7 < +4
El signo < se lee “menor que” y el signo > se lee “mayor que”.
Decidir si un número decimal es mayor o menor que otro es bastante sencillo. Si sus partes enteras son
distintas, ellas ya determinan cuál es mayor.
Ejemplo:
13’66 es mayor que 11’4, pues el primero tiene parte entera 13 y el segundo 11.
Si tienen igual parte entera pasamos a mirar su primera cifra decimal, la de las decenas. Si son
diferentes, ya podemos decidir.
Ejemplo:
7’25 es menor que 7’3, ya que tienen la misma parte entera y la primera cifra decimal de 7’3 es
mayor que la primera cifra decimal de 7’25.
En general, si coinciden las partes enteras buscamos la primera cifra decimal en la que los números
difieren. La que sea mayor pertenecerá al mayor número decimal.
Ejemplo:
Podemos ordenar números utilizando los signos anteriores:
–7,8 < –3,5 < –2,9 < –1,3 < 0 < 2,7 < 4,4 < 8,2.
O bien:
8,2 > 4,4 > 2,7 > 0 > –1,3 > –2,9 > –3,5 > –7,8.
Parece raro que el 0 sea mayor que otro número, pero piensa que se tiene más si no se tiene
nada, que si se debe dinero. Si el termómetro marca 0 º C no hace mucho calor, pero menos
calor hace si marca –10 º C. Es decir: 0 > –10
28. Representa en una recta numérica en tu cuaderno los siguientes números y ordénalos de menor a
mayor: –8, 5, 1, –5, 8, –3, –7 y 0.
29. Completa en tu cuaderno con el signo < (menor) o > (mayor) según corresponda:
a) –13,6 –67,1 b) –80,2 +94,5 c) +37 +48 d) +52 –64 e) –21 |–25|
30. Ordena de menor a mayor
a) +5,1, –4,9, –1,5, +18,2, 5,17 b) +6,9, –7,2, –8,5, –5,9, –7,21
31. Señala qué número es el mayor para cada una de las siguientes parejas:
a) –0,872 y –0,8721 b) 3,58 y |–3,57| c) 7,0001 y 7,00001 d) –4,78 y –8,92
32. Escribe dos números decimales que sean, simultáneamente, mayores que 6’147 y menores que 6’2.
3. OPERACIONES
3.1. Suma y resta. Propiedades
Suma de números enteros
Recuerda que:
Para sumar dos números enteros de igual signo se suman sus
valores absolutos y se pone el signo de los sumandos
Para sumar dos números enteros de distinto signo se restan
sus valores absolutos y se pone el signo del sumando de
mayor valor absoluto
Ejemplo:
• Tienes 75 € y te dan 50 € entonces tienes 125 €: +75 + 50 = +125.
• Debes 75 € y gastas 50 € entonces acumulas una deuda de 125 €: –75 – 50 = –125.
• Tienes 75 € pero debes 50 € entonces tienes 25 €: –50 + 75 = +25.
• Debes 75 € y tienes 50 € entonces debes 25 €: –75 + 50 = –25.
Suma de fracciones
Recuerda que:
Para realizar la suma de dos fracciones debemos conseguir que tengan el mismo denominador
m p
buscando fracciones equivalentes. Así, para sumar + deberemos buscar y encontrar dos números
n q
naturales r y s que nos transformen cada una de las anteriores fracciones en otras equivalentes,
(m∙r)/(n∙r) y (p∙s)/(q∙s), de forma que las nuevas fracciones tengan el mismo denominador, es decir, que
m p m⋅r p⋅s m⋅r p⋅s m⋅r + p⋅s
n∙r = q∙s, en cuyo caso: + = + = + =
n q n⋅r q⋅s n⋅r n⋅r n⋅r
Como hay muchas parejas de números naturales r y s que hacen posible esa igualdad, buscaremos los
más pequeños.
Puesto que n∙r es múltiplo de n y q∙s es múltiplo de q, alcanzaremos r y s a partir del mínimo común
múltiplo de n y q.
n ⋅ r = q ⋅ s = m.c.m.( n, q)
El valor de r resulta de dividir ese mínimo común múltiplo entre n y el de s se obtiene al dividir el
mínimo común múltiplo entre q.
7 5
Ejemplo: +
4 6
Los denominadores son diferentes, 4 y 6. Su mínimo común múltiplo es 12. Al dividir 12 entre 4 nos da
7 7 ⋅ 3 21 5 5 ⋅ 2 10
3 y al hacerlo entre 6 obtenemos 2. = = = =
4 4 ⋅ 3 12 6 6 ⋅ 2 12
Finalmente
7 5 21 10 31
+ = + =
4 6 12 12 12
Suma de expresiones decimales
Suma de expresiones decimales. Ahora basta con que las partes decimales tengan el mismo número de
cifras. Si no lo tienen desde un principio, añadimos los ceros que sean necesarios para ello.
Ejemplos: 67'7 + 71'15 = 67'70 + 71'15 = 138'85 44'39 + 23 = 44'39 + 23'00 = 67'39
Si una persona tiene 8 euros y 42 céntimos de euro y otra tiene 7 euros y 94 céntimos ¿cuánto
dinero tienen entre las dos?
Tenemos que sumar. En total tienen 8 + 7 = 15 euros y 42 + 94 = 136 céntimos. Pero, como 100
céntimos de euro es lo mismo que 1 euro, 136 céntimos de euro es igual a 1 euro más 36 céntimos. De
esta forma, esas dos personas tienen 15 + 1 = 16 euros y 36 céntimos.
Propiedades de la suma
Conmutativa. No importa en qué orden sumemos dos números:
a+b=b+a
Ejemplo: 714'66 + 2'47 = 717'13 2'47 + 714'66 = 717'13
Asociativa. Nos permite sumar más de dos números agrupándolos como queramos, de dos en dos.
(a + b) + c = a + (b + c)
Ejemplo: 95'7 + 30'02 + 17'4 = (95'7 + 30'02) + 17'4 = 125'72 + 17'4 = 143'12
95'7 + 30'02 + 17'4 = 95'7 + (30'02 + 17'4) = 95'7 + 47'42 = 143'12
Elemento neutro. El número 0 sumado a cualquier otro número no lo altera.
Ejemplo: 0 + 78'324 = 78'324 = 78'324 + 0
Opuesto de un número: El opuesto de un número es otro número de igual valor absoluto y distinto
signo que verifica que a + Op(+a) = 0.
Se escribe: Op(+a) = –a, Op(–a) = +a o bien: – (+a) = –a, –(–a) = +a
Ejemplo:
Op(+5) = –5 Op(–7,3) = +7,3 – (+5) = –5 –(–7,3) = +7,3.
Resta
Para restar dos números se suma al primero el opuesto del segundo.
El signo menos delante de un paréntesis cambia los signos de los números que hay dentro del
paréntesis.
33. Halla el resultado de las siguientes sumas:
a) (+12,8) + (+57) + (–4,6) b) (–83,2) – (–24,1) + (–10,5) c) (–35) + (–48) + (+92)
34. Efectúa estas operaciones
a) (+3,8) + (+4,2) – (–52) b) (–614) + (–77) + (–811) c) (–97) – (–12) + (+26) d) (–45) + (+52)
35. Un autobús comienza el viaje con 30 pasajeros. En la primera parada se bajan 16 y se suben 21. En la
segunda se bajan 17 y se suben 24, y en la tercera se bajan 9. ¿Cuántos pasajeros hay en el autobús?
36. Un avión vuela a 3672 m y un
submarino está sumergido a 213 m, ¿qué
distancia en metros les separa?
37. Arquímedes nació en el año 287 a.C. y
murió el año 212 a. C. ¿Cuántos años tenía?
38. Expresa al número 100 de cuatro
formas distintas como suma y resta de 3
números enteros.
39. Expresa al número cero como suma y
resta de cuatro números enteros.
40. Realiza las siguientes sumas de fracciones: Arquímedes
1 4 7 4 5 5 67 13
a) + b) + c) + d) +
5 3 6 9 8 2 100 24
5 7 11 13 13 13 50 7
41. Calcula: a) − b) − c) − d) −
14 6 6 5 100 240 21 3
3.2. Producto y cociente. Propiedades

Producto de números enteros
Recuerda que:
Para multiplicar dos números enteros se debe:
+·+=+
1º) Multiplicar sus valores absolutos –·–=+
2º) Aplicar la regla de los signos siguiendo lo siguiente:
Es decir, se asigna el signo + si ambos factores tienen el mismo signo, y el signo – si
+·–=–
tienen distinto signo.
–·+=–
Ejemplos:
(+7) · (+3) = +21 (–1) · (–1) = +1 (+8) · (–4) = –32 (–2) · (+9) = –18
Luis gana 1000 euros al mes, si no gasta nada, ¿cuánto ahorrará al cabo de 7 meses?
(+1000) · (+7) =+7000 € ahorrará al cabo de 7 meses.
El recibo mensual es de 65 euros al mes. ¿Cuánto gastará al cabo de 4 meses?
(–65) · (+4) = –260 € gastará al cabo de 4 meses.
Álvaro gasta 12 euros al mes en golosinas. Deja de comprarlas durante 5 meses. ¿Cuánto ha
ahorrado? (–12) · (–5) = +60 € ahorrará al cabo de 5 meses.
Producto de fracciones
Para multiplicar dos fracciones multiplicamos sus numeradores entre sí y lo mismo hacemos con los
m p m⋅ p
denominadores: ⋅ =
n q n⋅q
5 4 5 ⋅ 4 20
Ejemplo: ⋅ = =
8 7 8 ⋅ 7 56
20 4 ⋅ 5 5
Podemos simplificar, reducir, el resultado: = =
56 4 ⋅ 14 14
Producto de expresiones decimales
Para realizar el producto de dos expresiones decimales se debe:
Multiplicar, en primer lugar, los números ignorando la coma que posee cada uno de ellos.
Al resultado de ese producto le ponemos una coma para que surja una expresión decimal con
una parte decimal de longitud igual a la suma de las cantidades de cifras decimales que tienen
las expresiones decimales multiplicadas.
Ejemplos: 5'7 ⋅ 3'3 = 18'81
5,7⋅3,3 = 18,81 93,05⋅72,4 = 6736,820 = 6736,82 44,16⋅8 = 353,28
Propiedades de la multiplicación.
Conmutativa. No importa en qué orden multipliquemos dos números.
a ⋅b = b⋅a
Ejemplos: 3 ⋅ 5 = 5 ⋅ 3 = 15 3 ⋅ (−5) = (−5) ⋅ 3 = −15 1,552⋅5,9 = 5,9⋅1,552 = 9,1568
7 11 11 7 77
⋅ = ⋅ =
9 5 5 9 45
Asociativa. Nos permite multiplicar más de dos números agrupándolos como queramos de dos en dos.
a ⋅ b ⋅ c = ( a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c )
Ejemplos: (2 · 3) ⋅ 5 = 2 · (3 ⋅ 5) = 30 (2 · 3) ⋅ (−5) = 2 · (3 ⋅ (−5)) = −30
7 11 1  7 11  1 7  11 1  77
5,7⋅3,2⋅7,14 = (5,7⋅3,2)⋅7,14 = 5,7⋅(3,2⋅7,14) = 130,2336 ⋅ ⋅ =  ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅  =
9 5 2  9 5  2 9  5 2  90
Elemento neutro. El número 1 multiplicado por cualquier otro número, no lo altera.

1⋅a = a = a⋅1
7 7
Ejemplo: 2⋅1 = 2 1⋅(−5) = (−5) 7,3512⋅1 = 7,3512 1⋅ =
9 9
Observa que:
En ocasiones existe un número que multiplicado por otro nos da la unidad. Cuando ese número existe,
se llama inverso. Dentro del conjunto de los números naturales y de los números enteros, no existe el
elemento inverso. Pero con las fracciones, sí.
5 11 55 1 11 11 2 5 10
Ejemplo: ⋅ = =1 ⋅ = =1 ⋅ = =1
11 5 55 11 1 11 5 2 10
Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.
Cuando en una multiplicación uno de los factores es la suma de dos números, como, por ejemplo,
8,3 ⋅ (6,5 + 1,04)
tenemos dos opciones para conocer el resultado:
a) realizar la suma y, después, multiplicar
6,5 + 1,04 = 6,50 + 1,04 = 7,54 8,3 ⋅ 7,54 = 62,582
b) distribuir, aplicar, la multiplicación a cada uno de los sumandos y, después, sumar:
8,3 ⋅ (6,5 + 1,04) = (8,3 ⋅ 6,5) + (8,3 ⋅ 1,04) = 53,95 + 8,632 = 62,582 .
Comprobemos que obtenemos el mismo resultado:
La propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma nos dice que
a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
En general, la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma con fracciones nos dice:
a m p a m a p
⋅ +  =  ⋅  +  ⋅ 
b  n q   b n   b q 
Conviene comentar que esta propiedad distributiva leída en sentido contrario, de derecha a izquierda,
es lo que comúnmente denominamos sacar factor común:
12 22 2 ⋅ 6 2 ⋅ 11  2   2 11  2  11 
+ = + =  ⋅ 6 +  ⋅  = ⋅6 + 
5 15 5 5⋅3  5   5 3  5  3
Ejemplos:
a) 6350 · 4 – 6350 · 3 = 6350 · (4 – 3) = 6350 · 1 = 6350
b) 635 · 2 + 3 · 35 = (2 + 3) · 635 = 5 · 635 = 3175
c) 928 · 6 – 928 · 5 = 928 · (6 – 5) = 928 · 1 = 928
d) 928 · 7 + 928 · 3 = 928 · (7 + 3) = 928 · 10 = 9280
8  6 1   8 6   8 1  58
e) ⋅ +  =  ⋅  +  ⋅  =
3  5 4   3 5   3 4  15
42. Realiza los siguientes productos y divisiones de números enteros:
a) (+35) · (+2) b) (+4) · (–72) c) (–8) · (–45) d) (–5) · (+67)
e) (+28) : (+2) f) (+27) : (–3) g) (–36) : (–2) h) (–54) : (+9)
43. Calcula en tu cuaderno los siguientes productos y divisiones de números enteros:
a) (+721) · (+3) b) (+562) · (–3) c) (–915) · (–2) d) (–6) · (+72)
e) (+303) : (+3) f) (+505) : (–5) g) (–160) : (–4) h) (–704) : (+2)
44. Efectúa mentalmente y anota los resultados en tu cuaderno:
a) (+2) · (+40) b) (+30) · (–2) c) (–60) · (–3) d) (–50) · (+8)
e) (+80) : (+4) f) (+18) : (–3) g) (–15) : (–5) h) (–70) : (+7)
8 3 7 1 9 11
45. Calcula: a) ⋅ b) 6 ⋅ c) 23 ⋅ d) ⋅
22 75 11 23 10 3
46. Multiplica las siguientes fracciones y reduce, simplifica, el resultado:
4 6 9 5 14 5 6 10
a) ⋅ b) ⋅ c) ⋅ d) ⋅
9 8 15 3 25 21 15 12
47. Calcula: a) 7,3⋅2,54 b) 2,89⋅7,21 c) 3,54⋅5,2⋅6,8 d) 6,9⋅7,5⋅6,1
48. Saca factor común y calcula mentalmente:
a) 756 · 4 – 756 · 3 b) 350 · 8 + 350 · 2 c) 927 · 13 – 927 · 3 d) 700 · 33 – 700 · 3
49. Efectúa:
a) 9 ⋅ (4,01 + 3,4) b) 7,3 ⋅ (12 + 5,14) c) 2,9 ⋅ (25,8 − 21,97)
50. Realiza los productos indicados:
7 6 1 7 6 1
b)  ⋅  ⋅
7 6 1
a) ⋅ ⋅  c) ⋅ ⋅
3 5 4 3 5 4 3 5 4
51. Efectúa las siguientes operaciones:
9 5 7
b)  +  ⋅ c) ⋅  + 
9 5 7 9 5 7
a) + ⋅ 
2 3 8 2 3 8 2 3 8
División de números naturales

Ejemplo:
En el comedor del instituto las mesas son de 4 personas y en la clase de 1º de la ESO hay 35
alumnos, ¿cuántas mesas ocuparán?
Vemos que habrá 8 mesas ocupadas y sobrarán 3 alumnos que han de sentarse en otra mesa:
35 4
3 8
Cada uno de los números que intervienen en la división se llaman:
35 → Dividendo 4 → Divisor 8 → Cociente 3 → Resto
Además, como ya sabes, se verifica que: 35 = (4 · 8) + 3
Esta propiedad se verifica siempre para cualquier división. En general:
D d
r C
Se verifica que:
D = (d · c) + r
Dividendo es igual a divisor por cociente más el resto
Ejemplo:
El cociente entre 3658 y 65 es 56 y el resto 18. Escribe la relación que existe entre estos cuatro
valores.
3658 = 65 · 56 + 18
Ejemplos:
27
27/3, 27: 3 y significan lo mismo: la división o el cociente de 27 entre 3.
3
Divisiones con calculadora
Ya sabemos que dividir con calculadora es muy fácil, pero ¿qué hacemos si nos piden el
resto de la división y solo podemos usar la calculadora?
Es muy sencillo. Veámoslo con un ejemplo. Si hacemos:
325 5 65 la división es exacta.

Pero si hacemos:
325 15 21.6666666667
En el primer caso está claro que el cociente es 65 y el resto es 0, pero ¿y en el segundo caso?
Claramente el cociente es 21. Ahora para calcular el resto tenemos que multiplicar este cociente por el
divisor y restárselo al dividendo. El resto será: 325 – (15 · 21) = 10.
Cociente de números enteros
Para dividir dos números enteros se debe:
1º) Calcular el cociente de sus valores absolutos
2º) Asignar al resultado un signo mediante la siguiente regla:
Ejemplo:
(+36) : (+6) = +6 +:+=+
(–32) : (–4) = +8
(+27) : (–3) = –9 –:–=+
(–49) : (+7) = –7
+:–=–
Actividades propuestas –:+=–
52. Realiza las siguientes divisiones y comprueba con cada una de ellas la propiedad D = d· c + r
8214 : 26 b) 271093 : 452 c) 1112220000 : 385 d) 274 : 25
3.3. Jerarquía de operaciones

En la expresión: 5 · 4 + 3, ¿qué operación realizarías antes, la multiplicación o la suma?
Existe una prioridad en las operaciones donde no existen paréntesis y es que la multiplicación y la
división siempre se realizan antes que las sumas y las restas.
Por tanto, la operación anterior sería: 5 · 4 + 3 = 20 + 3 = 23
¿Y en 9 : 3 ∙ 2? Son divisiones y multiplicaciones con igual prioridad. Podemos convenir que primero se
realiza la primera operación, la que está más a la izquierda: 9 : 3 ∙ 2 = 3 ∙ 2 = 6.
Prioridad de operaciones:
En operaciones con paréntesis, primero hay que realizar las que están entre paréntesis y luego las
demás.
En operaciones sin paréntesis, primero se efectúan las multiplicaciones y divisiones y luego, las sumas y
restas.
En operaciones de igual prioridad, primero la de más a la izquierda.
Ejemplo:
Observa la diferencia entre estas dos operaciones:
(17 + 8) · 6 = 25 · 6 = 150 17 + 8 · 6 = 17 + 48 = 65
Notas
Es importante escribir los paréntesis solo cuando sea necesario. Por ejemplo, en la expresión:
(21 · 2) + 30 resulta innecesario, ya que por la prioridad en las operaciones, ya sabemos que
tenemos que efectuar el producto antes que la suma.
Si realizamos una operación en la calculadora sin paréntesis ésta ya respeta la jerarquía en las
operaciones, por lo que si la operación necesitase paréntesis, hemos de incluirlos en la
calculadora.
Ejemplo:
Jerarquía de operaciones [(+7 – 5) · (+4 – 8 – 3)] + (– 27) : (–3) + 20
1) Se resuelven los paréntesis [(+2) · (– 7)] + (– 27) : (–3) + 20
2) Se realizan multiplicaciones y divisiones [– 14] + (+9) + 20
3) Se efectúan sumas y restas Resultado = 15
53. Realiza las siguientes operaciones:
a) +4 – (+5) · (-3) b) +6 + (–9) : (+2–5) c) –3 + [–4 – (–26) : (+2)]
a) +8 + (–1) · (+6) b) –6 + (–7) : (+7) c) +28 – (–36) : (–9–9)
d) +11 + (+7) · (+6 – 8) e) –7 – [+4 – (–6) : (+6)] f) +9+ [+5 + (–8) · (–1)]
Sistemas de numeración
Como sabes, en Babilonia, hace más de cinco mil años,

se usaba un sistema de numeración en base doce y uno
en base 60. ¡Imaginas cuántos dígitos hacían falta! Hoy
todavía perviven cuando decimos que el año tiene 12
meses, o que una hora tiene 60 minutos y un minuto,
60 segundos.
Números griegos clásicos
Los ordenadores utilizan un sistema de numeración
binario, con sólo dos dígitos, el 0 1 y el .
Sistema en base 16 que se usa en los Aunque también se usa un sistema en base 16, que se
ordenadores llama sistema hexadecimal.
Números romanos
Números griegos
Números árabes
Números chinos Números mayas
Fracciones en Egipto
En el Antiguo Egipto y en Babilonia, hace más de 5000 años,
ya se usaban fracciones. En Egipto usaban fracciones
unitarias, es decir, con numerador 1: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5… El
Ojo de Horus es un jeroglífico que representa las fracciones
unitarias de denominador una potencia de 2:
= 1/2, = 1/4, = 1/8, Imagen de Wikipedia. Si quieres saber
más busca Ojo de Horus en Wikipedia.
= 1/16, = 1/32, = 1/64
Historia de los números enteros
Los chinos utilizaban los números negativos hace más de dos mil cuatrocientos años, ya que eran
capaces de representar con varillas negras los números negativos y con rojas los positivos.
Los matemáticos hindúes usaban “los bienes”, “las deudas” y “la nada”.
Sin embargo en Europa la historia de la aceptación como números de los negativos fue un proceso que
duró más de mil años, lleno de avances y retrocesos. Se tardó mucho en considerar a los negativos
como números. En el siglo XVII aparecen, en el Diccionario Matemático, como raíces falsas.
He aquí algunas frases de personas famosas:
♦ Girard (1590-1639): ¿Por qué esas soluciones imposibles?
♦ Descartes (1596-1650): No pueden existir números menores que nada.
♦ Stendhal (1783- 1842): Cual no sería mi desconcierto cuando nadie podía explicarme que menos por
menos es más.
♦ Newton (1642- 1727): Las cantidades son afirmativas, o sea, mayores que nada, o negativas, es
decir, menores que nada. Así, en las cosas humanas las posesiones pueden llamarse bienes positivos
pero las deudas bienes negativos...
♦ D’Alembert (1717- 1783) escribió en la Enciclopedia: Decir que la cantidad negativa es menos que
nada es expresar una cosa que no se concibe.
Comenta con tus compañeros y
Producto compañeras las frases de arriba.
Aunque en primaria se usaba el símbolo “x”,
para denotar el producto lo simbolizaremos Cociente
con un punto: ∙
La palabra “cociente” significa el resultado de
Leibniz escribió a Bernoulli diciendo que no le hacer una “división” Los símbolos utilizados
gustaba usar para el producto la letra x pues para representarlas son:
se confunde con la letra x y empezó a utilizar
el punto. /, : , y la fracción:
Los ingleses, que no siguen a Leibniz porque le La barra horizontal de fracción, , es de origen
hace sombra a Newton, usan el punto en
árabe, incómoda si se escribe en una única
lugar de la coma para expresar los números
línea, por lo que, de nuevo Leibniz, la empezó a
decimales: 3,5 = 3’5 = 3.5, y los ordenadores
sustituir por la línea oblicua y los dos puntos.
también
RESUMEN
Concepto Definición Ejemplos
El sistema de El valor de una cifra en un número depende del El 1 no tiene el mismo valor
numeración decimal es lugar que ocupa en el número en 1792 que en 5431.
posicional
Jerarquía de las -En las operaciones con paréntesis, primero se La operación 2 + 3 · 7 tiene
operaciones realizan los paréntesis y después lo demás. como resultado 23, no 35,
-En las operaciones sin paréntesis primero se que es lo que resultaría
realizan multiplicaciones y divisiones y luego efectuando antes la suma
sumas y restas.
que el producto.
-En operaciones de igual prioridad, primero la de
más a la izquierda.
Números enteros Z = {… –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 … }
Ordenación de números Es mayor el que esté más a la derecha en la recta 82,6 > 36,1 > 0 > –3 > –36,7
numérica. –2,59 < –1,3
Multiplicación Se multiplican los valores absolutos y se aplica la (+5) · (+6) = +30

regla de los signos: (–1) · (–87) = +87
+ · + = +; – · – = +; + · – = –; – · + = – (–5) · (+6) = –30
(+9) · (–4) = –32
Fracciones equivalentes Son fracciones que representan la misma 10 6
proporción. y
25 15
Suma y resta de Transformamos cada fracción en otra equivalente 9 7 9⋅3 7⋅2
de manera que las nuevas fracciones tengan el + = + =
fracciones con distinto 10 15 10 ⋅ 3 15 ⋅ 2
denominador mismo denominador, y las sumamos. 27 14 27 + 14 41
= + = =
30 30 30 30
Fracción irreducible Una fracción es irreducible cuando el máximo 2 4 10
común divisor de su numerador y denominador , ,
3 5 9
es 1.
Comparación de Podemos determinar cuál es la mayor de dos o 18 7 15
< <
fracciones más fracciones reduciendo a común 11 4 8
denominador.
Expresiones decimales Constan de dos partes: su parte entera y su parte 21'375 Parte entera: 21
decimal Parte decimal: 375
Expresión decimal Exacta: Su parte decimal tiene una cantidad finita 5,7767
exacta y periódica de cifras. Periódico: Su parte decimal tiene una Puro: 3, 07 = 3,0707070.....
cantidad infinita de cifras que se repiten
Mixto: 4,813 = 4,813131 .....
periódicamente. Pueden ser puros o mixtos
Repaso números naturales
a) (34 + 52) · 5 b) 89 · 2 + 12 c) 55 + 67 · 3 + 13 d) 280 – 110 · 2 + 90
2. Di cuales de las siguientes operaciones tienen el mismo resultado:
a) 8 · (22 – 20) b) 8 · 22 – 20 c) 8 · 22 – 8 · 20 d) 8 · (22 + 20) e) 8 · 22 + 20
3. Realiza las operaciones del ejercicio anterior en la calculadora y comprueba la importancia de añadir
los paréntesis.
a) 23·6 + (35–13) :11–4·7 b) 48:4·8:2– (3·12):6 c) 357–23·7 +280:14 d) 20·9–11·7+265:53
Números enteros
5. Efectúa en tu cuaderno:
a. 6 – (8 + 10 – 1 – 2) b. 7 + (2 – 8 – 1) – (8 – 1 + 6)
c. (10 – 2 – 7) – (1 – 9 – 16) d. –(9 – 6 – 8) – (– 7 – 10 + 2)
6. Quita paréntesis y efectúa en tu cuaderno:
a. 15 + [2 – 8 – (10 – 3)] b. 7 – [(5 – 8) – (6 – 12)] c. (5 – 14) – [2 – (2 – 4 – 3)]
d. (1 – 11 + 6) – [(3 – 2) – (4 – 16)] e. [8 – (4 – 16)] – [10 – (5 – 12)]
7. Efectúa en tu cuaderno aplicando la regla de los signos:
a. (+4) ∙ (+8) b. (–11) ∙ (–5) c. (+12) ∙ (–6) d. (–11) ∙ (–10) e. (+16) : (+4)
f. (–12) : (+6) g. (+24) : (–3) h. (–81) : (–9) i. (–63) : (+7) j. (–30) : (–10)
8. Halla en tu cuaderno:
a. (–2)1 b. (–2)2 c. (–2)3 d. (–2)4 e. (–2)5
f. (–2)6 g. (–2)7 h. (–2)8 i. (–2)9 j. (–2)10
9. Efectúa las operaciones y comprueba como varía el resultado según la posición de los paréntesis:
a. 18 – 7 · 3 b. (18 – 7) · 3 c. (–12) – 4 · (–8)
d. [(–12) – 4] · (–8) e. (–5) · (+7) + (–3) f. (–5) · [(+7) + (–3)]
10. Calcula mentalmente:
a. (–1)1 b. (–1)2 c. (–1)3 d. (–1)4 e. (–1)5
f. (–1)6 g. (–1)7 h. (–1)8 i. (–1)9 j. (–1)10
11. Calcula en tu cuaderno:
a) (–6)4 b. (+5)5 c. (–3)3 d. (+4)3 e. (–9)2 f. (–10)6
12. Representa gráficamente y ordena en sentido decreciente, calcula los opuestos y los valores
absolutos de los siguientes números enteros:
−5, 7, −3, 0, −6, 1, 2
13. Antonio hace las cuentas todas las noches y en su cuaderno tiene anotado: Lunes: Papá me ha
devuelto 10 euros que me debía: Martes: He vendido sellos de mi colección y me han pagado 5
euros. Miércoles: Me compro unos cromos por 3 euros. Jueves: Me he tomado un helado por 1
euro. Si Antonio tenía 15 euros el lunes por la mañana, ¿cuánto tiene cada noche? ¿Ha aumentado
su dinero o ha disminuido? ¿En cuánto?
14. ¿De qué planta ha salido un ascensor que después de subir 7 pisos llega al piso 4?
15. Jaime ha comenzado un negocio, y de momento pierde 100 euros cada día. Comparando con su
situación actual, ¿cuál era su situación hace 5 días?
16. Pedro dispone en 2013 de una máquina para viajar en el tiempo. Decide avanzar 240 años, ¿en qué
año se encontraría? Y si retrocede 390 años, ¿a qué año viaja?
17. ¿A qué edad se casó una persona que nació en el año 9 antes de Cristo y se casó en el año 19
después de Cristo?
18. ¿En qué año nació una mujer que en el año 27 después de Cristo cumplió 33 años?
19. ¿En qué año se casó un hombre que nació en el año 20 antes de Cristo y se casó a los 27 años?
20. Hace una hora el termómetro marcaba –5 ºC y ahora marca 5 ºC. La temperatura ¿ha aumentado o
ha disminuido? ¿Cuánto ha variado?
21. Por la mañana un termómetro marcaba 7 grados bajo cero. La temperatura baja 12 ºC a lo largo de
la mañana. ¿Qué temperatura marca al mediodía?
22. ¿A qué planta ha llegado un ascensor de un edifico que estaba en el sótano 2 y ha subido 7 pisos?
23. Un juego
a) Rellena con números enteros las casillas en b) Rellena con números enteros las casillas en
blanco de tal manera que la suma de todas las blanco de tal manera que el producto de todas las
filas y columnas sea siempre 3. filas y columnas sea siempre –70.
–6 +6 +7
+2 –7
0 –7 +2
24. Una persona protestaba por su mala suerte. Había perdido su trabajo y sólo le quedaban unos euros
en el bolsillo. El diablo se le acercó y le hizo una extraña proposición:
–Yo puedo hacer que tu dinero se duplique cada vez que cruces el puente que atraviesa el río. La
única condición es que yo te esperaré al otro lado y debes entregarme 24 €.
El trato parecía ventajoso. Sin embargo, cuando cruzó por tercera vez, al dar al diablo los 24 € se
quedó sin nada. Había sido engañado. ¿Cuánto dinero tenía en un principio?
Fracciones
25. Realiza los siguientes cálculos:
5 2 1 4
+ −
1 4 4 9 5 9
a) 2 3 ⋅ b) +1 c) 3 9 − 2 d)  ⋅  :  + 
5 8 3 2
−
5 9
− 3 8 6 8
5 3 3 2
26. A una cena asisten 8 personas. De postre hay un pastel que ya ha sido dividido en 8 porciones
iguales. Tras repartir el postre llegan de repente 2 personas más. Quienes estaban desde un
principio ofrecen a los recién llegados que prueben el pastel y se dan cuenta de que de las 8
porciones hay 6 que no se han tocado y 2 que han sido ingeridas. Indica qué se ha de hacer para que
las personas que no han probado la tarta reciban la misma cantidad.
27. María es 70 cm más alta que la mitad de su altura. ¿Qué estatura tiene?
28. Si una persona vive 80 años, y se pasa durmiendo un tercio de su vida, ¿cuánto ha dormido?
29. Indica cuáles de las siguientes fracciones en propias y cuáles son impropias:
8 2 5 16 21 5
a) b) c) d) e) f)
3 5 2 7 4 6
30. Transforma en número mixto las fracciones impropias de la actividad anterior.
5
31. En un espectáculo dicen que se han vendido los de las entradas de un teatro que tiene capacidad
4
para 500 espectadores. ¿Cuántas entradas se han vendido? ¿Qué opinas del resultado que se
5
obtiene al hallar los de 500?
4
32. En un iceberg se mantiene sumergida las nueve décimas partes de su volumen. Si emerge 318 km3,
¿cuál es el volumen sumergido? ¿Y el volumen total?
33. En un bosque hay pinos, robles y encinas. Los pinos ocupan los 3/7 y los robles, 1/3. ¿Qué espacio
ocupan las encinas?
34. Nieves y José tienen igual sueldo mensual, Nieves gasta los 3/5 de su sueldo y José los 5/7, ¿quién
gasta más?
35. Copia en tu cuaderno y rellena los lugares vacíos:
7 5 7
a) + = + =
6 3 6 6 6
7 5
b) − = − =
10 14 70 70 70
36. 1/3 de los ingresos de una familia se gastan en recibos (agua, teléfono, comunidad de vecinos,,,) , en
comer gastan 3/7, ¿qué parte les queda para ahorrar y otros gastos?
37. En un país se valora que se gasta 250 litros de agua por persona y día, y de esa cantidad los hogares
consumen los 3/20 del total. Si se desperdician los 1/7, ¿cuántos litros de agua se desperdicia en un
día en una casa de 5 habitantes?
38. Tu profesor/a ha dedicado 5 horas en corregir exámenes y todavía le quedan ¼ sin corregir, ¿cuánto
tiempo deberá dedicar todavía?
39. Copia en tu cuaderno y completa las siguientes fracciones de forma que todas ellas sean
equivalentes:
34
a) b) c)
5 2
40. Realiza los siguientes cálculos y, en cada caso, reduce la fracción resultante:
4 9 4 2 5 2 3 3
a) ⋅ b) ⋅ c) : d) :
3 8 5 6 6 3 16 10
41. Tres náufragos en una isla desierta recogen gran cantidad de cocos y se van a dormir. Por la noche se
levanta uno de ellos, que no se fía de los demás, reparte los cocos en tres montones iguales,
esconde su parte y vuelve a dormir. Luego, se levanta otro y hace lo mismo con los cocos restantes.
Lo mismo hace el tercero. A la mañana siguiente reparten los cocos y también el reparto es exacto.
¿Cuántos cocos había en total si se sabe que eran menos de 100? ¿Cuántos tiene cada náufrago?
42.Un rajá regala a sus hijas unas perlas y dice que las repartan de la siguiente manera: a la primera hija
le deja la sexta parte de las perlas, a la segunda, la quinta parte de las que quedan, a la tercera, la
cuarta parte, y así sucesivamente. Resulta que a todas las hijas les ha tocado el mismo número de
perlas. ¿Cuántas hijas tenía el rajá? ¿Cuántas perlas?
Expresiones decimales
43. Halla una fracción tal que al multiplicarla por el número 1,87 dé como resultado un número natural.
44. Aproxima por truncamiento a décimas y centésimas los siguientes números decimales:
a) 9,235 b) 57,0001 c) 8, 7 d) 3,5287 e) 5'9996
45. Redondea los siguientes números decimales hasta las décimas y hasta las centésimas:
a) 8,9351 b) 5,1990 c) 83, 74 d) 77,992 e) 56, 01
46. En cada uno de los redondeos que has realizado en el ejercicio anterior, distingue si se trata de una
aproximación al alza o a la baja.
47. Vicente compró en la papelería 15 bolígrafos y 8 lapiceros. Si cada bolígrafo costaba 0’72 euros y
cada lapicero 0’57 euros, ¿cuánto se gastó Vicente?
48. Pilar se ha comprado tres bolígrafos iguales que, en total, le han costado 1,53 euros. También
compró un cuaderno que costaba cuatro veces más que cada bolígrafo. Calcula el precio del
cuaderno.
AUTOEVALUACIÓN
1. ¿Cuál es el resultado de 20 · (15 + 3)?
a) 303 b) 360 c) 330 d) 90
2. El resultado de la operación: {( –5 + 8) · (–3 – 5) + (–7 + 1) : (+9 – 3)} es:
a) –25/6 b) +24 c) –25 d) –5
3. Un termómetro ha subido 4 ºC, luego ha bajado 6 ºC, después ha bajado 8 ºC y, por último, marca
menos 9 º C. La temperatura inicial era:
a) –1 ºC b) –19 ºC c) +1 ºC d) –14 ºC
4. Al viajar desde una latitud de 9º Norte hasta otra de 20º Sur, la variación de latitud es:
a) 11 Sur b) 29º Norte c) 11º Norte d) 29º Sur
5. Si estás situada en el punto –15 de la recta numérica de los números enteros, ¿qué movimientos te
llevan hasta +10?
a) +13 – 3 + 4 b) – 1 + 14 c) + 18 – 5 d) +14 +12 – 1
5
6. Señala la fracción inversa de la fracción :
9
18 15 5 9
a) b) c) d)
9 27 9 5
2 5 51
7. El resultado de la operación ( − )∙2 + es :
5 2 10
9 105 30
a) b) c) d) 3
10 10 5
5 10 1
8. Elige la fracción irreducible que sea el resultado de la operación ∙ +
2 9 3
65 28 50 25
a) b) c) d)
18 9 18 9
1
9. Indica cuál de las siguientes fracciones es menor que :
5
2 3 1 2
a) b) c) d)
16 4 3 7
10. Ordena de menor a mayor los números:
5,67; 5,68; 5,6666; 5,63; 5,5; 5,8; 5,6070.
46 Potencias
46 y raíces. 2º de ESO
2º ESO CAPÍTULO 46

3: POTENCIAS Y RAÍCES


Autora: Ana Lorente
Revisora: Irene García Saavedra
Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 3: Potencias y raíces Autora: Ana Lorente

www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Banco de imágenes del INTEF
47 Potencias
47
1. POTENCIAS
1.1. CONCEPTO DE POTENCIA: BASE Y EXPONENTE
1.2. CUADRADOS Y CUBOS
1.3. LECTURA DE POTENCIAS
1.4. POTENCIAS DE UNO Y DE CERO
1.5. POTENCIAS DE 10. NOTACIÓN CIENTÍFICA
2. OPERACIONES CON POTENCIAS Y PROPIEDADES
2.1. PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
2.2. COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
2.3. ELEVAR UNA POTENCIA A OTRA POTENCIA
2.4. POTENCIA DE UN PRODUCTO
2.5. POTENCIA DE UN COCIENTE
2.6. POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS
3. RAÍCES
3.1. CUADRADOS PERFECTOS
3.2. RAÍZ CUADRADA. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
3.3. RAÍZ n‐ÉSIMA DE UN NÚMERO
3.4. INTRODUCIR FACTORES EN EL RADICAL
3.5. EXTRAER FACTORES DEL RADICAL
3.6. SUMA Y RESTA DE RADICALES
Para trabajar con números muy grandes, para calcular la superficie de una habitación cuadrada o el
volumen de un cubo nos va a resultar útil a usar las
potencias. En este capítulo repasaremos como operar con
ellas.
Si conocemos la superficie de un cuadrado o el volumen de
un cubo y queremos saber cuál es su lado utilizaremos las
raíces. En este capítulo revisaremos lo que ya conoces para
poder usarlas con algo de soltura.
Arquímedes, en su tratado El arenario cuenta una manera
para expresar números muy grandes, como el número de
granos de arena que hay en toda la Tierra. Es,
efectivamente, un número muy grande, pero no infinito. Imagina que toda la Tierra está formada por
granos de arena. Puedes calcular su volumen conociendo su radio que es de 6500 km. Estima cuántos
granos de arena caben en 1 mm3. Estima que, por ejemplo, caben 100 granos. ¡Ya sabes calcular cuántos
hay! Pero en este capítulo aprenderás a escribir ese número tan grande.

48 Potencias
48
1. POTENCIAS
Recuerda que:
Ya conoces las potencias. En este apartado vamos a revisar la forma de
trabajar con ellas.
1.1. Concepto de potencia. Base y exponente
Ejemplo:
Juan guarda 7 canicas en una bolsa, cada 7 bolsas en una caja y cada 7 cajas en un cajón. Tiene 7
cajones con canicas, ¿cuántas canicas tiene?
Para averiguarlo debes multiplicar 7 x 7 x 7 x 7 que lo puedes escribir en forma de potencia: 74, que se
lee 7 elevado a 4.
exponente
7 x 7 x 7 x 7 = 74 = 2401 = 7  7  7  7.

Una potencia es una forma de escribir de manera abreviada una
multiplicación de factores iguales. La potencia an de base un número natural
74 = 2401
a y exponente natural n es un producto de n factores iguales a la base:
base
an = a ∙ a ∙ a....n factores......∙ a (n > 0)
potencia
El factor que se repite es la base y el número de veces que se repite es el
exponente. Al resultado se le llama potencia.

1. Calcula mentalmente las siguientes potencias y escribe el resultado en tu cuaderno:
a) 52 b) 34 c) 106 d) 43 e) 17 f) 10003
2. Calcula en tu cuaderno las siguientes potencias:
a) 37 b) 75 c) 210 d) 95 e) 253 f) 164.

100 = 22 ∙ 52
1.2. Cuadrados y cubos es un cuadrado perfecto y
Ya sabes que: su raíz cuadrada es
2 ∙ 5 = 10.
Si un cuadrado tiene 2 cuadraditos por lado ¿Cuántos 4900 = 22 ∙ 52 ∙ 72
cuadraditos contiene ese cuadrado? El es un cuadrado perfecto y
número de cuadraditos que caben es 2 ∙ 2 = su raíz es
22 = 4. El área de este cuadrado es de 4 2 ∙ 5 ∙ 7 = 70.
unidades. Y si tiene 3 cuadraditos por lado Son cuadrados perfectos.
¿Cuántos cuadraditos contiene ese cuadrado? El número de 36 = 22 ∙ 32
cuadraditos que caben es 3 ∙ 3 = 32 = 9. El área de este cuadrado es de 81 = 32 ∙ 32
9 unidades. ¿Lo son también 121,
3600 y 900?

49 Potencias
49
¿De cuántos cubitos está compuesto el cubo grande si hay 3 a lo largo, 3 a lo
ancho y 3 a lo alto? El número de cubitos es 3 ∙ 3 ∙ 3 = 33 = 27. El volumen de este
cubo es 27 unidades.
Recuerda que:
Por esta relación con el área y el volumen de las figuras geométricas, las potencias de
exponente 2 y de exponente 3 reciben nombres especiales:
Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados y las de exponente 3 se llaman cubos.
3. Escribe en tu cuaderno el cuadrado y el cubo de los diez primeros números naturales.
4. Indica cuáles de las siguientes potencias son cuadrados y cuáles son cubos:
a) 72 b) 112 c) 53 d) 54 e) 82 f) 163 g) 102
1.3. Lectura de potencias
Recuerda que:
Las potencias se pueden leer de dos maneras:
Ejemplo:
a) Así 32 se puede leer 3 elevado a 2 y también se lee 3 al cuadrado.
b) 113 se puede leer 11 elevado a 3 y también se lee 11 al cubo.
c) 64 se puede leer 6 elevado a 4 y también se lee 6 a la cuarta.
d) 275 se puede leer 27 elevado a 5 y también se lee 27 a la quinta.
1.4. Potencias de uno y de cero
Recuerda que:
Una potencia de cualquier base distinta de cero elevada a cero es igual a 1.
Ejemplo:
90 = 1 87250 = 1 10 = 1. 50 = 1

Uno, elevado a cualquier exponente, es igual a 1.
Ejemplo:
12 = 1 ∙ 1 = 1 13 = 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1 135 = 1 10 = 1. 137 = 1

Cero, elevado a cualquier exponente distinto de cero, es igual a 0.
Ejemplo:
02 = 0 ∙ 0 = 0 03 = 0 ∙ 0 ∙ 0 = 0 035 = 0. 054 = 0

Observación: 00 no se sabe cuánto vale, se dice que es una indeterminación.

50 Potencias
50
5. Lee de dos maneras distintas las siguientes potencias:
a) 83 b) 32 c) 164 d) 482 e) 45 f) 66.

a) 16562 ; b) 08526 c) 93270 d) 03782 ; e) 11000 ; f) 97610 .

7. Completa la tabla siguiente en tu cuaderno:
a a2 a3 a4 a5
2
9
64
1
0

1.5. Potencias de 10. Notación científica.
Las potencias de base 10 tienen una propiedad muy particular, son iguales a la unidad seguida de tantos
ceros como indica el exponente:
Ejemplo:
101 = 10
102 = 10 ∙ 10 = 100 108 = 100 000 000

103 = 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1.000
104 = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 10.000
¿Sabrías hallar 107 sin hacer ninguna operación?
La unidad seguida de ceros es igual a una potencia de 10.
Recuerda que:
Esto nos permite expresar cualquier número en forma polinómica usando potencias de 10.
8735 = 8 ∙ 1000 + 7 ∙ 100 + 3 ∙ 10 + 5 = 8 ∙ 103 + 7 ∙ 102 + 3 ∙ 10 + 5
Un número en notación científica se expresa como un número distinto de cero, multiplicado por una
potencia de base 10.
a ∙ 10n
Ejemplo:

51 Potencias
51
Observa cómo se utiliza la notación científica en los siguientes ejemplos:
a) En la Torre Eiffel hay 2.500.000 remaches = 25 ∙ 105 remaches
b) La masa de la Tierra es:
MT=5 980 000 000 000 000 000 000 000 000 g = 598 ∙ 1025 g
c) La superficie del globo terrestre es de 500 millones de kilómetros cuadrados,
luego es igual a: 500.000.000 km2 = 5 ∙ 108 km2.

8. Busca los exponentes de las potencias siguientes:
a) 10 = 100.000 b) 10 = 100.000.000 c) 10 =1000.
9. Expresa en forma polinómica usando potencias de 10:
a) 82.345 b) 3.591.825 c) 700.098 d) 2.090.190.
10. Calcula:
a) 3 ∙ 106 b) 5 ∙ 108 c) 2 ∙ 104 d) 34 ∙ 105.
11. Utiliza la calculadora para obtener potencias sucesivas de un
número. Si marcas un número, a continuación dos veces seguidas la
tecla de multiplicar y después la tecla igual obtienes el cuadrado del
número.
a) Compruébalo. Marca 8 * * = , ¿qué obtienes?
b) Continúa pulsando la tecla igual y obtendrás las potencias sucesi‐

vas: 8 * * = = =…

c) Utiliza tu calculadora para obtener las potencias sucesivas de 2.

d) Vuelve a utilizarla para obtener las potencias sucesivas de 31 y
anótalas en tu cuaderno.


52 Potencias
52
2. OPERACIONES CON POTENCIAS Y PROPIEDADES

2.1. Producto de potencias de igual base
Recuerda que:
Para calcular el producto de dos o más potencias de la misma base, se deja la misma base y se suman
los exponentes.
an ∙ am = an + m
Ejemplo: 73  74 = 73+4 = 77
62 ∙ 63 = (6 ∙ 6) ∙ ( 6 ∙ 6 ∙ 6) = 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 62+3 = 65
2.2. Cociente de potencias de igual base
Recuerda que:
El cociente de potencias de igual base es igual a otra potencia de la misma base y de exponente, la
diferencia de los exponentes.
an : am = = an – m
87 : 84 = 87-4 = 83
Ejemplo:
∙ ∙ ∙ ∙
35 : 33 = = 35 – 3 = 32
∙ ∙

2.3. Elevar una potencia a otra potencia
Recuerda que:
Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes.
(an )m = an ∙ m
Ejemplo: (93)4 = 93 4 = 912∙
(55)3 = (55 ) ∙ (55 ) ∙ (55 ) = (5∙5∙5∙5∙5) ∙ (5∙5∙5∙5∙5) ∙ (5∙5∙5∙5∙5) = 515

12. Aplica las propiedades de las potencias en tu cuaderno:
a) 810 ∙ 82 b) 523 ∙ 53 c) 25 ∙ 23 ∙ 26 d) 105 ∙ 107 ∙ 109
e) (63)2 f) (42)4 g) (30)6 h) (73)2
i) 910 : 92 j) 323 : 3 3 k) 118 : 113 l) 530 : 59
m) 144 : 144 n) 135 : 135 o) 73 : 70 p) 84 ∙ 80

53 Potencias
53
13. Te has preguntado por qué un número elevado a 0 es igual a 1. Analiza la siguiente operación:
2
25 25 5 22
 1 y también  2  5  5
0
25 25 5
Por ese motivo se dice que todo número distinto de cero elevado a cero es igual a uno.

2.4. Potencia de un producto
Recuerda que:
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevados al mismo
exponente.
(a ∙ b)n = an ∙ bn
Ejemplo:
(6 ∙ 7)3 = 63 ∙ 73.
2.5. Potencia de un cociente
Recuerda que:
La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los factores elevados al mismo
exponente.
(a : b)n = an : bn
Ejemplo:
(7 : 9)3 = 73 : 93
2.6. Potencias de números enteros
Recuerda que:
Para calcular la potencia de un número entero se multiplica la base por sí misma tantas veces como
indique el exponente.
Ejemplo:
(+3)4 = (+3) ∙ (+3) ∙ (+3) ∙ (+3) = +81
(–2)3 = (–2) ∙ (–2) ∙ (–2) = – 8
Conviene tener en cuenta algunas particularidades que nos ayudan a abreviar el cálculo:
Las potencias de base positiva son números positivos.
Las potencias de base negativa y exponente par son números positivos.
(+2)4 = +16 (–
Las potencias de base negativa y exponente impar son números negativos 2)4 = +16
Ejemplo:
( 2)5 = 32
(–4)2 = +16
(–4)3 = –64


54 Potencias
54
14. Calcula:
a) (5 ∙ 2)7 b) (64 : 4)3.
15. Calcula mentalmente
a) 23 ∙ 23 b) 32 ∙ 32 c) 52 ∙ 52
d) 1031 ∙ 1040 ∙ 104 ∙ 102 e) 120 ∙ 127 ∙ 118 f) 041 ∙ 086.

16. Escribe en forma de una única potencia
a) 75 ∙ 76 ∙ 74 b) 64 ∙ 66 ∙ 67 c) 520 ∙ 517 d) 86 ∙ 25 ∙ 23.

a) 23 ∙ 22 ∙ 2 b) 14 ∙ 16 ∙ 17 c) 1015 ∙ 105 d) 02 ∙ 06 ∙ 012.

a) 105 ∙ 103 ∙ 102 b) 03 ∙ 07 ∙ 08 c) 146 ∙ 1200 d) 55 ∙ 25.

19. Escribe en forma de una única potencia y calcula:
a) 25 ∙ 55 b) 103 ∙ 33 c) 26 ∙ 56 d) 105 ∙ 55.

20. Escribe en forma de una única potencia:
3 7  311  3 0 1,66 1,620 1,61 (2 / 3)5  (2 / 3)15  (2 / 3) 2

a) b) c)
35  33 1,615 1,69 (2 / 3)10  (2 / 3)6
21. Escribe en forma de una única potencia:
(3)7  (3)11  (3)0 (1,6)6  (1,6)20  (1,6)1 (2 / 3)5  (2 / 3)15  (2 / 3)2
a) b) c)
(3)5  (3)3 (1,6)15  (1,6)9 (2 / 3)10  (2 / 3)6
22. Calcula utilizando la calculadora
a) 413 ∙ 412 ∙ 41 b) 533 ∙ 532 c) 5’22 ∙ 5’2 d) 273 ∙ 27.

a) 582 ∙ 583 ∙ 58 b) 234 ∙ 232 c) 0’63 ∙ 0’65 d) 3012 ∙ 301.

a) 7,42 ∙ 7,43 ∙ 7,4 b) 0,824 ∙ 0,822 c) 7,353 ∙ 7,355 d) 0,0022 ∙ 0,002.

55 Potencias
55
3. RAÍCES
3.1. Cuadrados perfectos
Si se quiere construir un cuadrado de lado 2, ¿cuántos cuadrados
pequeños se necesitan?
Necesitamos 4. El 4 es un cuadrado perfecto. Observa que 22 = 4.
Si queremos construir ahora un cuadrado de lado 3, ¿cuántos cuadrados pequeños
necesitamos? Necesitamos 9. El 9 es también un cuadrado perfecto. Observa que 32 = 9.
Ejemplo:
¿Cuál es el área de un cuadrado de 7 metros de lado?
Su área vale 7 ∙ 7 = 72 = 49 metros cuadrados.

3.2. Raíz cuadrada. Interpretación geométrica
Recuerda que:
La raíz cuadrada exacta de un número a es otro número b cuyo cuadrado es igual al primero:
a  b  b2  a
Ejemplo:
Al poder construir un cuadrado de lado 2 con 4 cuadrados pequeños se dice que 2 es la raíz
cuadrada de 4, ya que 22 = 4, y por tanto decimos que 2 es la raíz cuadrada de 4, es decir:
4  2 .
Obtener la raíz cuadrada exacta es la operación opuesta de elevar al cuadrado.
Por tanto como 32 = 9 entonces 9  3 .
Al escribir 64  8 se dice que la raíz cuadrada de 64 es 8.
Al signo  se le denomina radical, se llama radicando al número colocado debajo, en este caso 64 y se
dice que el valor de la raíz es 8.
Ejemplo:
Sabemos que el área de un cuadrado es 81, ¿cuánto vale su lado?
Su lado valdrá la raíz cuadrada de 81. Como 92 = 81, entonces la raíz cuadrada de 81 es 9. El lado del
cuadrado es 9.
Ejemplo:

¿Se puede construir un cuadrado con 7 cuadrados pequeños?
Observa que se puede formar un cuadrado de lado 2, pero sobran 3
cuadrados pequeños, y que para hacer un cuadrado de lado 3 faltan 2
cuadrados pequeños.

El número 7 no es un cuadrado perfecto, no tiene raíz cuadrada exacta

56 Potencias
56
porque con 7 cuadrados pequeños no se puede construir un cuadrado.

Es más, aquellos números naturales que no tienen raíz cuadrada exacta, su expresión decimal es un
número irracional, con infinitas cifras decimales no periódicas.

Pero podemos afirmar que 2 < 7 < 3.

Como 4 es un cuadrado perfecto y 4 = 2, y 9 es también otro cuadrado perfecto y 9 = 3, los núme‐
ros, 5, 6, 7, y 8 no son cuadrados perfectos y su raíz cuadrada es un número irracional.

Con más dificultad se puede aproximar esos valores, así 2,6 < 7 < 2,7, o podemos obtener más cifras
decimales: 2,64 < 7 < 2,65, o bien 2,64575131 < 7 < 2,64575132. Podemos encontrar un valor
aproximado de la raíz.

Para calcular raíces cuadradas puedes utilizar la calculadora, con la tecla

Es importante conocer los cuadrados perfectos, pues mentalmente, te ayuda a saber entre qué valores
enteros está la raíz cuadrada que quieres calcular.

Observa que:
El cuadrado de un número, positivo o negativo, es siempre un número positivo. Luego no existe la raíz
cuadrada de un número negativo.

25. Escribe la lista de los 12 primeros cuadrados perfectos.
26. Calcula mentalmente en tu cuaderno las siguientes raíces:
a) 49 b) 25 c) 100 d) 64 e) 81 f) 1 g) 0 .

27. Calcula mentalmente en tu cuaderno las aproximaciones enteras de las siguientes raíces:
a) 51 b) 27 c) 102 d) 63 e) 80 f) 2 g) 123 .
28. Indica qué raíces cuadradas van a ser números naturales, cuáles, números irracionales y cuáles no
existen:
a) 36 b)  25 c)  100 d) 32 e)  7 f) 10 g) 100 .


57 Potencias
57
3.3. Raíz n‐ésima de un número
Recuerda que:
Como 23 = 8 se dice que 3 8  2 que se

lee: la raíz cúbica de 8 es 2. El radicando es
3
8 = 2 porque 23 = 8
8, el valor de la raíz es 2 y 3 es el índice.
La raíz enésima de un número a, es otro número b, cuya potencia enésima es igual al primero.
n a  b  bn  a

Ejemplo:
3
Por ser 27 = 33, se dice que 3 es la raíz cúbica de 27, es decir 27  3 .
Por ser 16 = 24, se dice que 2 es la raíz cuarta de 16, es decir 16  2 .
4

Observa que:
Si n es un número par, la potencia n‐ésima de un número, positivo o negativo, es siempre un número
positivo, luego no existe la raíz n‐ésima de un número negativo.
Pero si n es un número impar, la potencia n‐ésima de un número, si puede ser negativa.
Ejemplo:
3
 27   3 ya que (3)3 = 27.
5
 32   2 ya que (2)5 = 32.
4
 16 no existe ya que ningún número, elevado a 4, da 16.

3.4. Introducir factores en el radical
Recuerda que:
Para introducir un número dentro del radical se eleva el número al índice de la raíz y se multiplica por el
radicando.
Ejemplo:
10 3  10 2  3  300


58 Potencias
58
3.5. Extraer factores del radical
Recuerda que:
Para extraer números de un radical es preciso descomponer el radicando en factores:
Ejemplo:
80  16  5  2 4  5  2 2 5

3.6. Suma y resta de radicales
Recuerda que:
Decimos que dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando.
Para sumar y restar radicales, estos deben ser semejantes; en ese caso, se operan los coeficientes y se
deja el mismo radical.

Cuidado, un error muy común: la raíz de una suma (o una resta) NO es igual a la suma (o la resta) de las
raíces:
10  100  64  36  64  36  8  6  14

29. Calcula mentalmente en tu cuaderno las siguientes raíces:
51
a) 4 81 b) 4 16 c) 3 64 d) 3 8 e) 3 1000 f) g) 3 0 .

30. Introducir los siguientes factores en el radical:
3 5 3
a) 2  4 5 b) 10 3 3 c) 2 4 d) 5 4 e) 3 7 .

31. Extraer los factores que se pueda del radical:
9 3
a) 3 10000x y b) 5 100000 c) 4 81 a 8 b 6 c 4 d)
3
1000 a 7 b 4 .

32. Calcula:
a) 3 8  5 32  6 2 b) 4 27  3 3  2 81 .

59 Potencias
59
Historia del ajedrez
Cuenta la leyenda que un súbdito enseñó a jugar al ajedrez al príncipe persa Sisso, hijo de Dahir, y le
gustó tanto el juego que prometió regalarle lo que pidiera. El súbdito dijo, quiero un grano de trigo por
la primera casilla del tablero, dos por la segunda, el doble por la tercera, así hasta llegar a la casilla 64.
A Sisso no le pareció una demanda excesiva, y sin embargo ¡no
había trigo suficiente en el reino para pagar eso!
a) ¿Cómo se debe representar el cálculo?
b) ¿Cuántos granos de trigo le dan por la casilla primera? ¿Y por la
casilla segunda? ¿Y por la tercera? ¿Y por la suma de las tres
primeras casillas?
c) ¿Cuántos granos de trigo corresponden a la casilla 10?
d) ¿Y a la 64? Utiliza la calculadora para intentar calcular ese
número, ¿qué ocurre?
El secreto
Al hotel de una pequeña ciudad de unos 1000 habitantes llega un famoso
cantante intentando pasar desapercibido.
Cuando va a entrar en su habitación, un empleado cree reconocerle y se
apresura a comentarlo con tres compañeros.
Las tres personas al llegar a sus casas (en lo que tardan 10 minutos)
hablan con sus vecinos y vecinas, llaman por teléfono a amigos y amigas y
cada una cuenta la noticia a otras tres personas.
Éstas a su vez, en los siguientes 10 minutos, cada una de ellas cuenta la
noticia a 3 personas.
El rumor pasa de unos a otros, y de esta forma, una hora después la
noticia es sabida por ¿cuántas personas?
¿Tiene posibilidades el cantante de pasar desapercibido en alguna parte
de la ciudad?
Adivina
a) ¿Cuál es el número mayor que puede escribirse utilizando cuatro unos?
b) ¿Cuál es el número mayor que puede escribirse utilizando cuatro doses?
c) ¿Y cinco doses?
Otros números enormes
Un mosquito hembra pone al día 200 huevos de los que salen hembras,
que al cabo de 3 días ya son nuevos mosquitos hembras capaces de
poner huevos. Utiliza tu calculadora para ir obteniendo la población de
mosquitos hembras: a) Al cabo de 3 días, 200 nuevas hembras, ¿y al
cabo de 6 días? ¿Y a los 9 días? ¿Y en un mes (de 30 días)?
Observa en qué poco tiempo tu calculadora empieza a escribir cosas
raras. ¡Ya no le cabe ese número tan grande! Tiene un crecimiento
exponencial. Si los mosquitos no tuvieran enemigos y no tuvieran competencia por los alimentos,
pronto ocuparían todo el espacio.

60 Potencias
60
RESUMEN
Ejemplos
Potencia Una potencia an de base un número real a y 7 ∙ 7 ∙ 7 = 73.
exponente natural n es un producto de n 7 es la base y 3 el exponente
factores iguales a la base
Cuadrados y cubos Las potencias de exponente 2 se llaman 72 es 7 al cuadrado y 73 es 7 al

cuadrados y las de exponente 3, cubos cubo.
Potencias de 1 y de 0 Cualquier número distinto de cero elevado a 0 1450 = 1;
es igual a 1.

El número 1 elevado a cualquier número es
igual a 1. 1395 = 1;
El número 0 elevado a cualquier número
distinto de cero es igual a 0. 07334 = 0.
Potencias de base 10 Una potencia de base 10 es igual a la unidad 106 = 1.000.000
seguida de tantos ceros como unidades tiene el

exponente.
La unidad seguida de ceros es igual a una 10000000 = 107
potencia de 10.
Notación científica. Para escribir un número en notación científica 3 000 000 = 3 ∙ 10 6.
se expresa como un número distinto de cero,
multiplicado por una potencia de base 10.
Producto de potencias de Para multiplicar potencias de la misma base se 92 ∙ 93 =
igual base deja la misma base y se suman los exponentes. (9 ∙ 9) ∙ (9 ∙ 9 ∙ 9) =
92+3 = 95
Cociente de potencias de Para dividir potencias de igual base, se deja la 238 : 237 = 238 – 7 = 231
igual base misma base y se restan los exponentes.
Elevar una potencia a otra Para calcular la potencia de otra potencia, se (54)6 = 524
potencia deja la misma base y se multiplican los
exponentes.
Raíz cuadrada La raíz cuadrada de un número a es otro
9  3
número b que al elevarlo al cuadrado nos da a.
81  9
Raíz n‐ésima n a  b  bn  a 3
8  2  23  8
Introducir y extraer factores
10 3 2  10 3  2  2000 4
405  4 81 5  3 4 5
en radicales

61 Potencias
61
Potencias
1. Escribe en forma de potencias de 10:
a) Un millón b) Un billón c) Una centena de millar

2. Calcula en tu cuaderno las siguientes potencias:
a) 250 b) 106 c) 5∙104 d) 24 e) 42
f) 102 g) 105 h)1012 i) 10⁶ j)6³

3. Escribe en tu cuaderno una aproximación de las siguientes cantidades, mediante el producto de un
número por una potencia de 10.
a) 600000000 b) 250000000 c) 914000000000

4. Escribe en tu cuaderno una aproximación abreviada de las siguientes
cantidades:
a. La distancia de la Tierra al Sol → 150 000 000 km
b. El número de átomos que hay en un gramo de oxígeno.
37643750 000 000 000 000 000 átomos

a) (25 : 2 )3 ∙ 24 b) (74)2 c) 65 : 35
d) (9 : 3) 5 e) (15 : 5)3 f) (21: 7)3
g) (75 : 5 )4 h) (4 : 2)5 i) 82: 25

2
6. Calcula (43)2 y 4(3) ¿Son iguales? ¿La potenciación tiene la propiedad asociativa?

7. Escribe en tu cuaderno el resultado en forma de potencia:
a) 36 ∙ 62 b) 33 ∙ 81 c) 36 : 62

8. Factoriza y expresa como un producto de potencias de base 2, 3 y 5:
a.) 127 : 67 b) (25 ∙ 22) : 16 c) (56 ∙ 36) : 104 d) (16 ∙ 42) : 25


62 Potencias
62
9. Calcula:
a) (2 + 3)2 y 22 + 32 ¿Son iguales?
b) Calcula 62 + 82 y (6 + 8)2 ¿Son iguales?

a) 23 + 24 b) 35 – 34 c) 53 ∙ 52 d) 104 ∙ 103 e) 74 : 72 f) 105 : 103

11. La superficie de la cara de un cubo mide 36 cm cuadrados. ¿Cuál es su
volumen?

a) (23 ∙ 8 ∙ 25) : (26 ∙ 23) b) (52 ∙ 54 ∙ 5) : (5 ∙ 52 ∙ 5)

13. Calcula 53 y 35 ¿Son iguales? ¿Se pueden intercambiar la base y el exponente en una potencia?
Calcula 5 ∙ 3 y 3 ∙ 5 ¿Son iguales?

14. Descompón en factores primos, utilizando potencias: 12; 36; 48; 100; 1000; 144.

15. Efectúa las siguientes operaciones con potencias dando el resultado en forma de potencia de una
sola base, la que creas más adecuada en cada caso:
a) (53 ∙ 52)3 b) (162 : 43)3 c) (92 : 33)2
d) (25 : 22)3 e) 3,75 ∙ 3,72 f) (2,55 ∙ 2,52) : 2,5

16. Efectúa las siguientes operaciones dando el resultado como una única potencia:
a) (712 ∙ 493)6 b) 94 ∙ 272 c) (510 ∙ 52)2
d) (710 : 72)2 e) (95 ∙ 812)3 f) (67 ∙ 365)3

17. Un campo cuadrado mide 3600 metros cuadrados. ¿Cuántos metros de valla es preciso comprar
para vallarlo?
18. ¿A qué número hay que elevar 22 para obtener 44? ¿Y para obtener 88?
19. Dibuja cuadrados de lados 5, 6, 7 y 10 e indica cuántos cuadraditos de lado 1 contienen.


63 Potencias
63
Raíces
a) 121 b) 49 c) 1 d) 0

e) 169 f) 196 g) 36 h) 144

21. La superficie de un cuadrado es de 1000000 metros cuadrados, ¿Cuánto mide su lado? ¿Y su
perímetro?

22. Calcula en tu cuaderno las siguientes raíces:
a) 5 32 b) 3 1000 c) 625

3 27
d) 4 81 e) f) 1000000

23. Extrae en tu cuaderno factores de los radicales siguientes:
a) 60 b) 250 c) 3 125a 6 b 5 c 3 d) 3 8 a 4 b 7 c 1
e) 49 b 5 x 8 f) g) 3 216 b 4 x 7 h) 4 81 b 5 m 9

24. Introduce los siguientes factores en el radical:
a) 3 x x b) 5 100 c) 6 32 d) 4 20

5
e) 23 3 f) 7a3 3 g) 5 2 4 h) a3 5
25. Dibuja en tu cuaderno cuadrados de área 36, 49, 64 y 100 unidades.

26. Escribe el signo = o  en el hueco:
a) 64  36 64  36 . b) 9 16 9  16 .
a) 9 20 + 2 80 – 4 180 b) 30 27 + 9 3 – 23 12
c) 5 2 – 7 8 + 12 50 d) 6 28 – 2 63 + 4 7

a) 5 ∙ 16 – 32 : 23 + 2 144 + 49 b) 3 ∙ 102 – 5 ∙ 64 + 70

c) 5 ∙ 32 – 2 ∙ (1 + 36 ) – 2 d) 32 : 23 – 2 ∙ 25 + 22

64 Potencias
64
Problemas
29. Un chalé está edificado sobre una parcela cuadrada de 7 225 m2 de área. ¿Cuánto mide el lado de la
parcela?

30. El hotel de los líos: Un hotel tenía infinitas habitaciones todas ocupadas. Un cliente gracioso se
levanta por la noche y abre todas las puertas. Otro cliente se levanta también y cierra las puertas
pares. Un tercer cliente se levanta y modifica las puertas que son múltiplos de 3, si están abiertas,
las cierra, y si las encuentra cerradas, las abre. Un cuarto cliente lo mismo, pero con las que son
múltiplo de 4. Y así toda la noche, todos los clientes. A la mañana siguiente ¿cómo están las
puertas? ¿Qué puertas están abiertas?

31. Calcula en kilómetros y notación científica la distancia que hay desde la Tierra al Sol sabiendo que la
velocidad de la luz es aproximadamente de 300 000 km/s y que la luz del Sol tarda 8,25 minutos en
llegar a la Tierra.

32. Halla el volumen de un cubo de 1,5 m de arista.

33. Una parcela es cuadrada, y la medida de su área es 8 100 m2. Halla el área de otra parcela cuyo
lado sea el doble.

34. La superficie de la cara de un cubo mide 49 cm cuadrados. ¿Cuál es su volumen?

35. Juan hace diseños de jardines con plantas formando cuadrados. Le sobran 4 plantas al formar un
cuadrado y le faltan 9 para formar otro con una planta más por lado. ¿Cuántas plantas tiene? Te
ayudará a saberlo hacer un dibujo.

36. Manuel tiene una habitación cuadrada. Con 15 baldosas cuadradas más tendría una baldosa más
por lado. ¿Cuántas tiene? Te ayudará a saberlo hacer un dibujo.

37. Arquímedes, en su tratado El arenario contaba una manera para expresar números muy grandes,
como el número de granos de arena que hay en toda la Tierra. Es, efectivamente, un número muy
grande, pero no infinito. Imagina que toda la Tierra está formada por granos de arena. Puedes
calcular su volumen conociendo su radio que es de 6500 km. Recuerda, el volumen de una esfera es
(4/3)πr3.
a) Calcula el volumen de la Tierra en km3, y escribe ese volumen en notación exponencial.
b) Pasa el volumen a mm3, en notación exponencial.
c) Estima cuántos granos de arena caben en 1 mm3. Supón que, por ejemplo, caben 100
granos.
d) Calcula cuántos caben en toda la Tierra multiplicando el volumen en mm3 por 100.
e) ¿Has obtenido 1,15 ∙ 1032 granos de arena?

65 Potencias
65
AUTOEVALUACIÓN
1. ¿Cuál es el resultado de las tres potencias siguientes (2)4, (4)3 y (5)2
a) 16, 12, 25 b) 16, 64, 25 c) 32, 64, 10 d) 64, 32, 26

2. ¿Cuál es el resultado de la operación 4∙102 + 5∙102?
a) 900 b) 9∙104
c) 20∙102
d) 500

3. Escribe = (igual) o  (distinto) según corresponda:
a) 33…….. 27 b) 135 …….. 35 c) 7320 …….. 732 d) 105 …….. 50

4. ¿Cuál de las respuestas corresponde a la multiplicación (3)3 ∙ (3)2 ∙ (3)5?
a) (3)30 b) (9)10 c) 310 d) 19683

5. ¿Cuál de las respuestas corresponde a la división 0’76 : 0’74 ?
a) 0’72 b) 0’73 c) 0’710 d) 6/4

6. ¿Cuál de las soluciones es la correcta para la operación ((5) ∙ (2) ∙ (1))3
a) 1000 b) 30 c) 100 d) 60

7. Elige la respuesta que corresponda al resultado de ((0’2)2)4
a) (0’2)8 b) (0’2)6 c) 0’032 d) 0’0016

8. ¿La raíz cuadrada de 81 vale?
a) 18 b) 8,7 c) 9 d) 3

9. Señala el número que no es cuadrado perfecto:
a) 169 b) 441 c) 636 d) 1024 e) 700

10. El lado de una superficie cuadrada de 196 centímetros cuadrados mide:
a) 19 cm b) 14 cm c) 13 cm d) 17 cm


66
Divisibilidad. 2º de ESO

2º ESO CAPÍTULO 4: DIVISIBILIDAD


Autora: Fernanda Ramos
Revisores: Sergio Hernández, Milagros Latasa y Nieves Zuasti

Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 4: Divisibilidad Autora: Fernanda Ramos
www.apuntesmareaverde.org.es Revisores: Sergio Hernández, Milagros Latasa y Nieves Zuasti
67

Índice
1. DIVISIBILIDAD
1.1. MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO
1.2. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
1.3. OBTENCIÓN DE TODOS LOS DIVISORES DE UN NÚMERO
2. NÚMEROS PRIMOS
2.1. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
2.2. LA CRIBA DE ERATÓSTENES
2.3. DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS
2.4. MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE VARIOS NÚMEROS
2.5. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS
2.6. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

Resumen
Jaime, María y Raquel van a visitar a su abuela a menudo. Jaime va
cada 2 días, María cada 4 y Raquel solo va un día a la semana. Un
día que coincidieron los tres, comentaron que nunca habían
comido un pastel tan rico como el que hace su abuela. Ella afirmó:
“El próximo día que volváis a coincidir, lo vuelvo a hacer”. ¿Cuándo
podrán volver a disfrutar del pastel?
En este capítulo aprenderemos a resolver problemas similares a
este y profundizaremos en la tabla de multiplicar mediante Fotografía: Clarisa Rodrígues
conceptos como: divisibilidad, factorización o números primos.
Descubrirás algunos de los grandes secretos de los números y nunca te imaginarías que la tabla de
multiplicar escondiese tantos misterios ocultos…

68

1. DIVISIBILIDAD
1.1. Múltiplos y divisores de un número entero
Múltiplos de un número
¿Recuerdas muy bien las tablas de multiplicar de todos los números?
Escribe en tu cuaderno la del 3 y la del 6.
Sin darte cuenta, has escrito algunos de los múltiplos de 3 y de 6.

Se definen los múltiplos de un número entero n como los números que resultan de multiplicar ese
número n por todos los números enteros.

Ejemplo:
La tabla del 3 que has escrito antes está formada por los valores:
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54,….
Todos ellos son múltiplos de 3.

La notación matemática de este concepto es: 3

Es decir: 3 = 0, 3, 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21, 24 ,....

Ejemplo:
Cuenta los múltiplos de 3 que hubieras podido escribir antes. ¿Es posible hacerlo?
Efectivamente, los múltiplos que tiene cada número entero son una cantidad infinita.

1. Calcula los siete primeros múltiplos de 11 y de 7.

2. ¿Cuáles de los siguientes números son múltiplos de 15?
15, 16, 30, 40, 45, 100, 111, 141, 135.
3. Halla los múltiplos de 12 comprendidos entre 13 y 90.

69

Divisores enteros de un número
Un número entero a es divisor de otro número entero b cuando al dividir b entre a, el resto es 0.

Nota
Todo número tiene siempre como divisor a 1 y a sí mismo.

Ejemplo:
a) 3 es divisor de 9 porque al dividir 9 entre 3, el resto es 0.
b) 10 es divisor de 100 porque al dividir 100 entre 10, el resto es 0.
c) 7 es divisor de 49 porque al dividir 49 entre 7, el resto es 0.
d) 1 es divisor de 47 porque al dividir 47 entre 1, el resto es 0.
e) 47 es divisor de 47 porque al dividir 47 entre 47, el resto es 0

Si a es divisor de b, entonces también se dice que b es divisible por a.
Ejemplo:
a) 9 es divisible por 3 porque 3 es divisor de 9, es decir, al dividir 9 entre 3, el resto es 0.
b) 100 es divisible por 10 porque 10 es divisor de 100, es decir al dividir 100 entre 10, el resto es 0.
c) 49 es divisible por 7 porque 7 es divisor de 49, es decir, al dividir 49 entre 7, el resto es 0.
Notas
a) Como habrás deducido, las relaciones ser múltiplo y ser divisor son relaciones inversas.
b) No confundas las expresiones ser múltiplo, ser divisor y ser divisible. Veámoslo con un ejemplo:
Ejemplo:
De la igualdad: 3 ∙ 7 = 21, podemos deducir lo siguiente:
 3 y 7 son divisores de 21.
 21 es múltiplo de 3 y de 7.
 21 es divisible por 3 y por 7.
4. A partir de la igualdad: 5 ∙ 8 = 40, escribe las relaciones que existen entre estos tres números.
5. Escribe frases usando las expresiones: “ser múltiplo de”, “ser divisor de“ y “ser divisible por” y los
números 27, 3 y 9.

70

1.2. Criterios de divisibilidad
Para ver si un número entero es divisible por otro número entero, basta con dividirlos y ver si el resto es
0. Pero cuando los números son grandes, las operaciones pueden resultar complicadas.
La tarea se simplifica si tenemos en cuenta los llamados criterios de divisibilidad que nos permiten
saber si un número es divisible por otro sin necesidad de efectuar la división.
Criterio de divisibilidad por 2
Un número entero es divisible por 2 cuando su última cifra es 0 o cifra par.
Ejemplo:
Los números: 492, 70, 376, 900, 564, 298 son divisibles por 2, ya que terminan en 2, 0, 6, 0, 4, y
8.
¿Sabrías explicar por qué?
Recuerda que un número cualquiera lo podemos escribir con las potencias de 10:
4652031 = 4 ∙ 106 + 6 ∙ 105 + 5 ∙ 104 + 2 ∙ 103 + 0 ∙ 102 + 3 ∙ 101 + 1
Observa que en todos los sumandos, excepto el último, aparece el 10, y 10 = 2  5, luego todos los
sumandos son múltiplos de 2. Si el último lo es, el número es múltiplo de 2, si, como en el ejemplo,
termina en 1, aunque el resto de los sumandos sea divisible entre 2, el último no lo es, luego el número
no es divisible entre 2.
Un número entero es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Ejemplo:
El número 531 es divisible por 3 ya que 5 + 3 + 1 = 9 que es múltiplo de 3.
El número 4002 es divisible por 3 ya que 4 + 0 + 0 + 2 = 6 que es múltiplo de 3.
Si al sumar las cifras obtienes un número aún grande y no sabes si es o no múltiplo de 3, puedes volver
a aplicar el mismo sistema, solo tienes que volver a sumar todas sus cifras:
El número 99 es divisible por 3 ya que 9 + 9 = 18, y 18 es divisible por 3, pues 1 + 8 = 9 que es
múltiplo de 3. Por tanto, 9, 18 y 99 son múltiplos de 3.
El número 48593778396 es divisible por 3 ya que 4 + 8 + 5 + 9 + 3 + 7 + 7 + 8 + 3 + 9 + 6 = 69, y
69 es divisible por 3 pues 6 + 9 = 15, y 15 lo es pues 1 + 5 = 6, que es múltiplo de 3.
Un número entero es divisible por 4 si el número formado por las dos últimas cifras del número
considerado es múltiplo de 4.
Ejemplo:
El número 5728 es divisible por 4 ya que termina en 28, que es múltiplo de 4, pues 7  4 = 28.
El número 5718 no es divisible por 4 ya que termina en 18, que no es múltiplo de 4, pues 4  4 =
16 y 5  4 = 20.
71

Un número entero es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5.
Ejemplo:
Los números 3925 y 78216570 son divisibles por 5, pues terminan en 5 y en 0.
Un número entero es divisible por 6 cuando lo es a la vez por 2 y por 3.
Ejemplo:
El número 5532 es divisible por 6 ya que:
 Lo es por 2 porque termina en 2.
 Lo es por 3, ya que sus cifras suman 15 que es múltiplo de 3.
El número 2456 no es divisible por 6 ya que:
 Lo es por 2 porque termina en 6.
 No lo es por 3, ya que sus cifras suman 2 + 4 + 5 + 6 = 17, y 1 + 7 = 8 que no es múltiplo
de 3.
Un número entero es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es 9 o múltiplo de 9
Ejemplo:
El número 5022 es divisible por 9 ya que: 5 + 0 + 2 + 2 = 9.
El número 3313 no es divisible por 9 ya que: 3 + 3 + 1 + 3 = 10 que no es múltiplo de 9.
Un número entero es divisible por 10 cuando termina en 0
Ejemplo:
El número 825160 es divisible por 10 porque termina en 0.
Nota
Observa que los números que son divisibles por 10 lo son por 2 y por 5 y viceversa, si un número es
divisible por 2 y por 5, lo es por 10.
Un número entero es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar
impar y la suma de las cifras que ocupan lugar par da 0 o múltiplo de 11
Ejemplo:
El número 71335 es divisible por 11 ya que: (7 + 3 + 5)  (1 + 3) = 15 – 4 = 11.
El número 71345 no es divisible por 11 ya que: (7 + 3 + 5)  (1 + 4) = 15 – 5 = 10, que no es
múltiplo de 11.
72

6. Di cuales de los siguientes números son múltiplos de 3:
21, 24, 56, 77, 81, 90, 234, 621, 600, 4520, 3411, 46095, 16392, 385500
Los números elegidos, ¿coinciden con los divisores de 3? ¿Y con los que son divisibles por 3?
7. Escribe cuatro números que sean divisibles por 10 y por 7 a la vez.
8. Sustituye A por un valor apropiado para que:
a) 15A72 sea múltiplo de 3.
b) 2205A sea múltiplo de 6.
c) 6A438 sea múltiplo de 11.
9. ¿Todos los números divisibles por 2 los son por 4? ¿Y al revés? Razona la respuesta.
10. ¿Sabrías deducir un criterio de divisibilidad por 15? Pon un ejemplo.
11. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla escribiendo verdadero o falso:
Número ¿Es…? Verdadero/Falso
984486728 Divisible por 2
12. Intenta explicar por qué se verifica el criterio de divisibilidad por 5.
13. Para explicar el criterio de divisibilidad por 4 observa que 10 no es divisible por 4, pero 100 si lo es.
Intenta explicarlo.
14. Para explicar el criterio de divisibilidad por 3, observa que 10 = 9 + 1. Puedes sacar factor común 9
en todos los sumandos en que sea posible, y ver cuáles son los sumandos que nos quedan.
15. Para explicar el criterio de divisibilidad por 11, observa que 10 = 11 – 1. Puedes sacar factor común
11 en todos los sumandos en que sea posible, y analizar cuáles son los sumandos que nos quedan.

73

1.3. Obtención de todos los divisores de un número entero
En principio, para hallar los divisores naturales de un número entero N, lo vamos dividiendo
sucesivamente entre 1, 2, 3, 4,..., N. De esta manera, los divisores de N serán aquellos números que lo
dividan exactamente, es decir den de resto 0.

Ejemplo:
Si queremos hallar los divisores de 54 lo tendríamos que dividir entre 1, 2, 3, 4, 5,…., 54 y ver en
qué casos el resto es 0. Puedes comprobar que los divisores de 54 son: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 y 54.

Lo que ocurre es que esta forma de calcular los divisores de un número se complica mucho cuando el
número es grande. Por lo que, si utilizamos los criterios de divisibilidad que hemos aprendido, sólo
tendremos que hacer las divisiones por los números por los que N sea divisible.
Si la división es exacta, N : d = c, entonces el divisor (d) y el cociente (c) son divisores de N, lo que nos
permite acortar la búsqueda de divisores, pues de cada división exacta obtenemos dos divisores.
Terminaremos de buscar más divisores cuando lleguemos a una división en la que el cociente sea
menor o igual que el divisor.

Veamos, como ejemplo, el cálculo de los divisores del número 48.
Ya sabemos que todo número tiene como divisores a la unidad y a él mismo 1 y 48.
Es divisible por 2. (Termina en cifra par) → 48 : 2 = 24  Ya tenemos dos divisores: 2 y 24.
Es divisible por 3. (4 + 8 = 12, múltiplo de 3) → 48 : 3 = 16  Ya tenemos dos divisores: 3 y 16.
Es divisible por 4. → 48 : 4 = 12  Ya tenemos dos divisores: 4 y 12.
Es divisible por 6. (Al ser divisible por 2 y 3) → 48 : 6 = 8  Ya tenemos dos divisores: 6 y 8.
Como 48 : 8 = 6, y el cociente 6 es menor que el divisor 8, ya hemos terminado. 8 y 6 (Repetidos).
Por tanto, los divisores de 48 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48.

16. Calcula los múltiplos de 75 comprendidos entre 1 y 200.
17. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) 50 es múltiplo de 10.
b) 2 es divisor de 30.
c) 4 es múltiplo de 16.
d) 66 es divisible por 11.
e) 80 es divisor de 8.
f) 3 es divisible por 12.
18. Sustituye x e y por valores apropiados para el siguiente número sea divisible por 9 y por 10 a la vez:
372x54y.
19. ¿Qué único número con tres cifras iguales es divisible por 2 y por 9 a la vez?
20. Calcula todos los divisores de los siguientes números:
a) 75 b) 88 c) 30 d) 25 e) 160 f) 300

74

2. NÚMEROS PRIMOS
2.1. Números primos y compuestos
¿Cuáles son los divisores del 2? ¿Y del 3? ¿Y del 5? ¿Y del 7? ¿Encuentras alguna similitud entre ellos?
Pues sí, los divisores de estos números son el 1 y ellos mismos. A estos números se les llama primos.
Un número primo es aquel número natural que solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo.
Se llama número compuesto a aquel número natural que tiene más de dos divisores, es decir, al que no
es primo.
Nota
El 1 se considera que no es primo ni compuesto, ya que no verifica ninguna de las dos definiciones.
Ejemplo:
Los números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 son los diez primeros números primos.
Números como: 33, 48, 54, 70, 785 o 43215678940 son compuestos.
21. Continúa la lista de números primos del ejemplo con 10 números primos más.
22. ¿Cuánto números primos crees que hay? ¿Crees que se acaban en un momento dado o que son
infinitos?
2.2. La criba de Eratóstenes
La criba de Eratóstenes es un algoritmo (es decir, una secuencia de instrucciones) que permite hallar
todos los números primos menores que un número natural dado.
Nosotros lo haremos para los menores o iguales que 100, es decir, vamos a averiguar cuáles son los
números primos hasta el 100.
El algoritmo consta de los siguientes pasos:
a) Construimos una lista con los números del 1 al 100, en este caso, ordenados de 10 en 10.

b) Inicialmente se tacha el 1, porque sabemos que no es primo.
c) El primer número que quede sin tachar ha de ser primo. Se marca y se tachan sus múltiplos.
d) Se repite de nuevo el paso c) hasta que se terminen los números.
75

Por tanto:
Dejamos sin tachar el siguiente número, que es el 2, que por lo tanto es primo, y tachamos
todos los múltiplos de 2, quedando la lista como sigue:
Conservamos el 3 porque al ser el primero que aparece sin tachar, sabemos que es primo, pero
eliminamos todos los múltiplos de 3, es decir, tachamos uno de cada tres números. Nos queda una
lista así:
No necesitamos tachar el 4 porque ya está tachado, entonces vamos al 5 que es el siguiente número,
por tanto no lo tachamos y eliminamos todos los múltiplos de 5, algunos de los cuales ya estaban
tachados, todos los que terminan en 0.
76

Y luego seguimos de forma análoga con el 7 y tachando todos los múltiplos de 7.
Después el siguiente número no tachado es el 11 y tachamos los múltiplos de 11.
¿Hasta qué número debemos seguir tachando? ¡Piensa! ¡Piensa! Observa que 100 es igual a 10  10,
por tanto al dividir un número menor que 100 por uno mayor que 11 el cociente es menor que 11.
Hemos llegado a una lista de la forma:
Los números que no quedan tachados en ningún paso no son múltiplos de ningún número anterior
(señalados aquí en rojo).
En realidad, lo que Eratóstenes estaba haciendo era construir una especie de “filtro” (criba) por el cual,
al hacer pasar a todos los números, sólo quedaban los “primos”.
Por tanto, los números primos que hay entre los primeros cien números, son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91 y 97.
23. Completa la criba de Eratóstenes hasta el 200.
24. En este caso, ¿cuál es el último número primo del que debes tachar sus múltiplos?
Observa que 13 ∙ 13 = 169 y 17 ∙ 17 = 289.
25. Busca los distintos significados de las palabras “criba” y “algoritmo”, ¿en qué más contextos los
puedes utilizar?
2.3. Descomposición de un número natural en factores primos
Sabemos que un número primo solo tiene dos divisores: él mismo y el 1.
Así que si quisiéramos expresar un número primo como producto de otros dos, los únicos factores
serían el 1 y el propio número. Por ejemplo, si quiero expresar 11 como producto de dos números,
sería:
11 = 1 ∙ 11 o también 11 = 11 ∙ 1
Sin embargo, si el número es compuesto, podrá expresarse como producto de otros números que no
son ni el 1 ni él mismo.
Vamos a aprender a descomponer un número natural en factores primos, lo que significa expresar un
número natural como producto de otros números pero han de ser primos.
77

Descomponer un número natural en factores primos es expresar dicho número como un producto,
donde todos sus factores son números primos.
Para descomponer el número 18 podríamos hacer: 18 = 9 ∙ 2, pero la descomposición en
factores primos no sería correcta porque el 9 no es un número primo.
Su descomposición es 18 = 3 ∙ 3 ∙ 2, que se expresa como 18 = 3² ∙ 2.
Para descomponer un número compuesto (pues, como hemos visto, un número primo no se puede
descomponer, no podemos decir 11 = 11 ∙ 1, pues 1 no es primo) en sus factores primos, se debe seguir
el siguiente procedimiento:
a) Dividir el número natural dado por el menor primo posible utilizando para ello los criterios de
divisibilidad si es posible, o realizando la división si no hay otro remedio.
b) Realizar la división, y si el cociente es divisor de dicho número primo, realizar la división.
c) Si el cociente no es divisor de dicho número primo, buscar el menor número primo posible que sea
divisor, recurriendo nuevamente a los criterios de divisibilidad o continuar dividiendo.
d) Seguir con el procedimiento hasta obtener el cociente igual a uno.

Notas
1) Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores
primos y a la izquierda los cocientes.
2) Los factores primos en la expresión del número ya factorizado se suelen escribir en orden creciente.
3) Cuando ya tengamos práctica, y con números no demasiado grandes, podemos descomponer un
número en producto de dos y luego cada uno de ellos en otros productos hasta que todos los
factores obtenidos sean primos.
Por ejemplo: 80 = 40 ∙ 2. Como 40 = 4 ∙ 10 y 10 = 2 ∙ 5, tenemos que: 80 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 y por
tanto, su descomposición es: 80 = 24 ∙ 5.
1. Vamos a realizar la descomposición en factores 2. Vamos a realizar otra factorización para el
primos del número 231: número 5148:
Como 231 no es múltiplo de 2, pero sí de 3, lo 5148 2
dividimos: 231 : 3 = 77.
Como 77 es múltiplo de 7, que es el menor primo 2574 2
posible por el que se pueda dividir: 77 : 7 = 11. 1287 3
Por tanto: 231 = 3 ∙ 7 ∙ 11.
Esto se suele realizar de la siguiente forma: 429 11
231 3 13 13
77 7
1
11 11

1 Por tanto: 5148 = 22 ∙ 32 ∙ 11 ∙ 13.
78

26. Descompón en factores primos los siguientes números:
a) 50 b) 36 c) 100 d) 110
a) 150 b) 121 c) 350 d) 750
a) 1240 b) 2550 c) 4520 d) 5342
29. Si descomponemos en factores primos los números: 10, 100, 1000, 10000 y 100000, ¿qué es lo que
observas? ¿Lo podrías hacer de forma más rápida sin necesidad de usar el método general?
30. ¿Qué ocurre al descomponer en factores primos los números 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256? Continúa la
serie con 7 números más.

2.4. Máximo común divisor de varios números
Ejemplo:
Vamos a calcular los divisores de los números 60 y 84:
Divisores de 60  1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 30, 60.
Divisores de 84  1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 21, 28, 84
¿Cuáles son los divisores comunes a ambos? Los divisores comunes a ambos son varios: 1, 2, 3, 4, 6 y
12.
El mayor de los divisores comunes es 12 y se dice que 12 es el máximo común divisor de 60 y de 84.
Se llama máximo común divisor de varios números naturales al mayor de los divisores comunes a todos
ellos y se escribe M.C.D.
En el ejemplo anterior, escribimos: M.C.D (60, 84) = 12
En principio, parece que hallar el M.C.D no es muy complicado, solo tenemos que calcular los divisores
de los números, considerar los comunes y tomar el mayor de ellos. Pero este método sólo tiene sentido
con pocos números y pequeños, ya que con muchos números o con números grandes, el cálculo se
complica mucho.
Por eso, vamos a calcular el máximo común divisor utilizando una serie de pasos, mediante los cuales el
cálculo se simplifica muchísimo:

Cálculo del M.C.D.
1. Factorizamos los números.
2. Tomamos los factores comunes a todos los números elevados el menor exponente.
3. El producto de los factores considerados en el paso 2 es el M.C.D
79

Vamos a calcular el máximo común divisor de los números: 60, 72 y 84.
1. Factorizamos cada número:
60 = 22 ∙ 3 ∙ 5
72 = 23 ∙ 32
84 = 22 ∙ 3 ∙ 7
2. Tomamos los factores comunes a todos los números (2 y 3) elevados el menor exponente: 22 y 3.
3. El producto de los factores considerados en el paso 2 es el M.C.D. Es decir:
M.C.D (60, 72, 84) = 22 ∙ 3 = 12.
Nota
Dos números naturales siempre tienen al menos un divisor en común, el 1. Si ese es el M.C.D entonces
decimos que esos números son primos entre sí.
31. Calcula el M.C.D de los siguientes pares de números:
a) 70 y 45 b) 121 y 55 c) 42 y 66 d) 224 y 80
32. Calcula el M.C.D de los siguientes números:
a) 33, 11 y 22 b) 66, 42 y 120 c) 75, 25 y 200 d) 81, 44 y 16
2.5. Mínimo común múltiplo de varios números
El mínimo común múltiplo de varios números naturales es el menor de los múltiplos que tienen en
común, y se escribe m.c.m.

Igual que con el M.C.D., se puede calcular el mínimo común múltiplo aplicando la definición que
acabamos de ver. Lo que ocurre es que se trata de una forma muy “rudimentaria” y que se complica
mucho para números grandes.
Vamos a calcular m.c.m.(20, 15) aplicando esta definición:
Múltiplos de 20  20, 40, 60, 80, 100, 120, …
Múltiplos de 15  15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …
Como vemos, múltiplos comunes a ambos son: 60, 120, … pero el menor de ellos es el 60. Por tanto:
m.c.m.(20, 15) = 60.
Vamos a ver ahora los pasos a realizar para simplificar este cálculo y hacerlo más mecánico:

80

Cálculo del m.c.m.
1. Factorizamos los números
2. Tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
3. El producto de esos factores del paso anterior es el m.c.m.

Veamos cómo calcular el mínimo común múltiplo de 60, 72 y 84 siguiendo estos pasos:
1. Factorizamos los números
60 = 22 ∙ 3 ∙ 5
72 = 23 ∙ 32
84 = 22 ∙ 3 ∙ 7
2. Tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. En nuestro caso:
23, 32, 5 y 7.
3. Multiplicando estos factores tenemos que:
m.c.m.(60, 72, 84) = 23 ∙ 32 ∙ 5 ∙ 7 = 2520.

33. Calcula el m.c.m. de los siguientes pares de números:
a) 40 y 24 b) 16 y 40 c) 30 y 66 d) 24 y 80
34. Calcula el m.c.m. de los siguientes números:
a) 33, 11 y 22 b) 66, 42 y 120 c) 75, 25 y 200 d) 81, 44 y 16

Problemas
Pero, además, el cálculo del M.C.D. y del m.c.m. es muy útil para resolver problemas reales. Veamos
algunos ejemplos:
Una dependienta de una tienda de regalos tiene un rollo de cinta roja de 15 m y uno azul de 10
m. Como para envolver cada regalo utiliza siempre trozos de 1 metro, y quiere cortar la cinta en
trozos de la misma longitud para tenerlo preparado para empaquetar cajas de modo que no
sobre nada en los rollos. ¿Cuál es la longitud máxima en que puede cortar cada rollo?
Estamos buscando un número natural que sea divisor de 15 y de 10 a la vez. De los números que
cumplan esto, escogeremos el mayor.
Esto es, precisamente, el M.C.D:
M.C.D. (15, 10) = 5.
Por tanto, la longitud de cada trozo de cinta en que cortará ambos rollos será de 5 m.
81

Jaime, María y Raquel van a visitar a su abuela a menudo. Jaime va cada 2 días, María cada 4 y
Raquel solo va un día a la semana. Un día que coincidieron los
tres, comentaron que nunca habían comido un pastel tan rico
como el que hace su abuela. Ella afirmó: “El próximo día que
volváis a coincidir, lo vuelvo a hacer”. ¿Cuándo podrán volver a
disfrutar del pastel?
Estamos buscando un número de días que será múltiplo de 2, 4 y 7 a la

vez. De todos los números que lo cumplan, nos interesa el más
Fotografía: Clarisa Rodrígues
pequeño. Es decir, tenemos que calcular:
m.c.m.(2, 4, 7) = 28
Por tanto, dentro de 28 días volverán a coincidir y la abuela les hará el pastel.

35. Milagros y Nieves tienen 30 cuentas blancas, 10 cuentas azules y 90 cuentas rojas. Quieren hacer el
mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna cuenta.
a) ¿Cuantos collares iguales pueden hacer?
b) ¿Qué número de cuentas de cada color tendrá cada collar?
36. La abuela toma muchas pastillas. Nada más despertarse, a las 9 de la mañana, toma una para el
colesterol que debe tomar cada 8 horas, otra para la tensión que debe tomar cada 12 horas y una
tercera para la circulación que debe tomar cada 4 horas. ¿Dentro de cuántas horas volverá a tomar
los 3 medicamentos a la vez? ¿A qué hora?
37. Juan compra en una florería 24 rosas y 36 claveles. ¿Cuántos ramos iguales puede elaborar si coloca
la máxima cantidad de flores de cada tipo para que no le sobre ninguna? ¿Cuántas rosas y claveles
debe colocar en cada ramo?
38. Raúl tiene varios avisos en su móvil: uno que da una señal cada 30 minutos, otro que da una señal
cada 60 minutos y un tercero que da una señal cada 120 minutos. Si a las 10 de la mañana las 3
señales de aviso han coincidido.
a) ¿Cuántas horas como mínimo han de pasar para que vuelvan a coincidir los tres avisos?
b) ¿A qué hora ocurrirá?
39. ¿Cuál será la menor cantidad de pasteles que se deben comprar para que se puedan repartir en
partes iguales entre grupos de 10, 20 y 30 niños? Determina en cada caso cuántos pasteles les toca a
cada niño.

82


¿Quién era Eratóstenes el de la famosa criba que
estudiamos antes?

Eratóstenes nació en Cyrene (ahora Libia), en el norte de Africa. Vivió

entre los años 275 a C y 195 antes de Cristo.
Por varias décadas, fue el director de la famosa Biblioteca de

Alejandría. Fue amigo de Arquímedes.

Aún así, Eratóstenes se hizo famoso por tres descubrimientos:
- Por la medición increíblemente precisa que hizo del diámetro de
la Tierra

- Por haber fabricado una criba, o un filtro, para descubrir todos los

números primos.

- La invención de la esfera armilar.

¿QUÉ RELACIÓN TIENEN EL ESPIONAJE CON LA EVOLUCIÓN DE ALGUNOS
INSECTOS?
La relación entre ambos son los números primos.
La teoría de los números primos tiene aplicación en la criptografía, ciencia que estudia formas
de cifrar mensajes secretos que solo puedan ser descifrados por el receptor, pero por nadie
más. El proceso de cifraje requiere el uso de una clave secreta y para descifrar el mensaje,
normalmente, al receptor solo le hace falta aplicar la clave al revés.
Pero lo ideal sería tener una clave para un cifraje fácil y descifrado difícil. Esto se logra
utilizando números primos muy grandes, de 80 cifras o más.
Hoy en día la criptografía tiene gran importancia para las comunicaciones entre los gobiernos,
compras por Internet o llamadas por teléfono móvil.
83

RESUMEN
- Divisor - a es divisor de b cuando al dividir b entre a el  2 y 5 son divisores de 10.

- Divisible resto es 0.  10 es múltiplo de 2 y de 5.
- Múltiplo - a es múltiplo de b o a es divisible por b  10 es divisible por 2 y por
cuando al dividir a entre b el resto es 0. 5.
Criterios de divisibilidad 2: Acaba en 0 o cifra par.  7892 es divisible por 2.

3: La suma de sus cifras es múltiplo de 3.  4510 es divisible por 2 y
5: Acaba en 0 o 5. por 5.
11: La diferencia entre la suma de las cifras  2957 es divisible por 3.
que ocupan lugar impar y la suma de las cifras  2057 es múltiplo de 11.
que ocupan lugar par da 0 o múltiplo de 11.
Número primo Tiene únicamente dos divisores: el 1 y él 23 y 29 son números
mismo. primos.
Número compuesto Tiene más de dos divisores, es decir, no es 25 y 32 son números
primo. compuestos.
Criba de Eratóstenes Es un algoritmo que permite calcular todos Los primos menores que 20

los números primos menor que uno dado. son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
Descomponer un Es expresarlo como producto de números 60 = 22 ꞏ 3 ꞏ 5

número en factores primos.
primos
Mínimo común múltiplo Es el menor de los múltiplos que tienen en m.c.m.(18, 12)= 36
de varios números común.
Máximo común divisor Es el mayor de los divisores comunes a todos M.C.D.(18, 12) = 4

de varios números ellos.

84

Divisibilidad
1. Escribe cuatro números de tres cifras que sean divisibles por 11 y por 2 a la vez.
2. Escribe los diez primeros múltiplos de 4 y los diez primeros múltiplos de 6. ¿Cuáles son comunes a
ambos?
3. Sustituye A por un valor apropiado para que:
a) 24A75 sea múltiplo de 5.
b) 1107A sea múltiplo de 3.
c) 5A439 sea múltiplo de 6.
4. Indica cuales de los siguientes números son múltiplos de 3:
1, 30, 50, 60, 70, 75, 100, 125, 150
5. Busca todos los divisores de 210.
6. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla escribiendo verdadero o falso:

Número ¿Es…? Verdadero/Falso
87300 Múltiplo de 11
2985644 Múltiplo de 4
1 Divisor de 13
98 Divisor de 3

Números primos
7. Calcula el m.c.m. y M.C.D. de m y n sin averiguar el valor numérico de cada uno:
a) m = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 n = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5
b) m = 3 ∙ 5 n = 2 ∙ 7
c) m = 22 ∙ 3 ∙ 52 n = 22 ∙ 32
d) m = 3 ∙ 5 ∙ 72 n = 2 ∙ 52 ∙ 7
8. Escribe en tu cuaderno y completa las siguientes afirmaciones:
a) Como dos números primos entre sí no tienen factores primos comunes, el mínimo común múltiplo
de ambos es ………
b) Como dos números primos entre sí no tienen factores primos comunes, el máximo común divisor
de ambos es ………
85

9. Calcula mentalmente el m.c.m. y M.C.D. de los siguientes números:
a) 4 y 8 d) 7 y 10 g) 10 y 15 j) 2 y 2 m) 2, 3 y 4
b) 2 y 3 e) 6 y 12 h) 2 y 5 k) 4 y 1 n) 3,6, y 12
c) 3 y 12 f) 6 y 9 i) 4 y 6 l) 3 y 7 o) 3, 4 y 6
10. Calcula:
a) m.c.m.(8, 40) M.C.D.(8, 40)
b) m.c.m.(15, 35) M.C.D.(15, 35)
c) m.c.m.(84, 360) M.C.D.(84, 360)
11. En un tramo de acera hay tres farolas. Una se enciende cada 12 segundos. Otra cada 18 y otra cada
60. A las 18:30 de la tarde las 3 coinciden encendidas. Averigua cuántas veces van a coincidir en los
5 minutos siguientes
12. Tres autobuses salen de la misma estación en tres direcciones
distintas. El primero tarda 1 hora y 45 minutos en volver al punto de
partida, y permanece un cuarto de hora en la estación. El segundo
tarda 1 hora y 5 minutos y permanece 7 minutos en la estación. El
tercero tarda 1 hora y 18 minutos y permanece 12 minutos en la
estación. Se sabe que la primera salida ha tenido lugar a las 6 de la

mañana. Calcula:
a) A qué hora volverán a salir juntos de la estación.
b) El número de viajes efectuados por cada uno en ese momento.
13. Un artesano tiene 32 piedras de coral, 88 de turquesa, 56 perlas y 66 de azabache. Con todas ellas
desea elaborar el mayor número posible de collares iguales. ¿Cuántos puede hacer?
14. El ordenador de Lucía escanea con el antivirus cada 180 minutos y hace actualizaciones cada 240
minutos, ¿cada cuántos minutos hace las dos cosas al mismo tiempo?
15. A lo largo de una carretera hay un teléfono de emergencia cada 10 km, un pozo de agua cada 15 km
y una gasolinera cada 20 km. ¿Cada cuánto coinciden un teléfono, un pozo y
una gasolinera?
16. Para celebrar su cumpleaños, Sonia compro 12 gorritos de papel, 6 collares,
18 anillos y 36 caramelos. Si quiere armar bolsas de regalo con la misma
cantidad de obsequios de cada tipo, ¿para cuantos amigos le alcanza? ¿Qué
deberá poner en cada bolsa?
17. Una máquina llena una caja de 256 botellas en un minuto y otra máquina
llena la misma cantidad de botellas en un minuto y medio. Si ambas empezaron a embotellar
líquidos a las 9:00 am. ¿A qué hora terminan ambas de llenar una caja? ¿Cuántas botellas habrán
llenado ambas maquinas durante ese periodo?

86

AUTOEVALUACIÓN
1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a) Si dos números son primos, su máximo común divisor es 1.
b) Si dos números son primos, su mínimo común múltiplo es 1.
c) El mínimo común múltiplo de dos números siempre es mayor que el producto de ambos.
d) El máximo común divisor de dos números siempre es mayor que el producto de ambos.
2. ¿Cuál de las soluciones es la correcta para el conjunto de los divisores de 63?
a) D(63) = 1, 3, 7, 21, 63 c) D(63) = 1, 3, 7, 9, 21, 63
b) D(63) = 1, 2, 9,21,63 d) D(63) = 0, 1,3, 7, 9, 21, 63
3. La descomposición de 81000 en factores primos es:
a) 23∙34∙53 b) 23∙33∙53 c) 23∙34∙52 d) 22∙34∙53
4. De los números:183, 143 y 1973,
a) Todos son primos b) Ninguno es primo c) 143 es primo d) 1973 es primo
5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera ?
a) Si un número es múltiplo de 2, también lo es de 4.
b) 11 es múltiplo de 121.
c) 33 es divisor de 11.
d) Si un número es múltiplo de 2 y de 3, también lo es de 6.
6. La propiedad que se ilustra en la siguiente igualdad 2∙ (3+4)=2∙3+2∙4 es:
a) La propiedad conmutativa.
b) La propiedad distributiva.
c) La propiedad asociativa.
d) Esa igualdad no es cierta.
7. El M.C.D.(650, 700) es:
a) 10 b) 30 c) 20 d) 50
8. Un operario revisa la excavadora de su empresa cada 28 días y la grúa cada 35. Si revisó las dos el 1
de mayo, ¿cuándo volverán a coincidir?
a) El 17 de septiembre b) El 1 de septiembre c) El 17 de agosto d) Ese año no vuelven a coincidir
9. Queremos alicatar una pared de 615x225 centímetros, con azulejos cuadrados de lado el mayor
posible y no cortar ningún azulejo. ¿Cuántos azulejos son necesarios?
a) 615 b) 15 c) 225 d) No es posible
87

Porcentajes. 2º ESO

2º ESO
CAPÍTULO 5: PORCENTAJES


Autora: Nieves Zuasti
Revisoras: Milagros Latasa y Fernanda Ramos

Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 8: Magnitudes proporcionales. Porcentajes Autora: Nieves Zuasti Soravilla
www.apuntesmareaverde.org.es Revisoras: Milagros Latasa y Fernanda Ramos
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Índice
1. RAZÓN Y PROPORCIÓN
1.1. RAZÓN
1.2. PROPORCIÓN
2. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
2.1. REGLA DE TRES DIRECTA
2.2. PORCENTAJES
2.3. DESCUENTO PORCENTUAL
2.4. INCREMENTO PORCENTUAL
3. ESCALAS: PLANOS Y MAPAS
4. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
4.1. PROPORCIÓN INVERSA
4.2. REGLA DE TRES INVERSA
5. REGLA DE TRES COMPUESTA

Resumen
En este capítulo revisaremos los conocimientos que tienes del curso anterior sobre razones,
porcentajes, proporcionalidad directa, regla de tres simple… y aprenderemos a utilizar instrumentos que
nos permitan establecer comparaciones entre
magnitudes.
Estudiaremos las diferencias entre proporcionalidad
directa e inversa, aplicando métodos de resolución
de problemas. Utilizaremos también la regla de tres
compuesta.
Aprenderemos a aplicar e interpretar todo lo
relacionado con la proporcionalidad y su aplicación
en la vida cotidiana.
Aplicaremos los conocimientos sobre
proporcionalidad en la interpretación de escalas y
mapas, utilizando la idea de semejanza, figuras
semejantes, ampliación y reducción de figuras, razón
Interpretación de mapas de semejanza y escalas. Estudiaremos la razón entre
las superficies de figuras semejantes

89


RAZÓN Y PROPORCIÓN
1.1. Razón
Ya sabes que:
Razón, en Matemáticas, es una comparación entre los valores de dos variables.
Se expresa en forma de cociente, de forma similar a una fracción y se lee “A es a B”
Ejemplo:
Observa:
Compramos 5 kg de naranjas por 4 €. Podemos
Una fracción expresa una parte de un
establecer la relación entre el precio (4 €) y la
todo de una única magnitud, mediante
cantidad (5 kg)
sus términos, numerador (las partes que
4 : 5 = 0,8 € el kilo se toman) y denominador (el total de las
partes en las que se ha dividido ese todo)
4
es la razón entre euros y peso de naranjas. Sin embargo, los términos de una razón
5
se refieren a cantidades de dos
De esta manera si compramos otras cantidades de magnitudes, el primero se llama
naranjas podremos calcular el precio a pagar. “antecedente” y el segundo
Ejemplo: “consecuente”
La razón que relaciona el gasto de 10 personas y
los 500 litros de agua que gastan en un día, puede escribirse:
10personas 500litros
o bien
500litros 10 personas
En cualquiera de los casos estamos expresando que la razón entre litros de agua y personas es:
500 : 10 = 50 litros por persona
Si fueran 5 personas de una misma familia la cantidad de agua gastada será de 250 litros. Si son 400
personas de una urbanización la cantidad de agua será 20000 litros, es decir:
10 400 5 1 500 20000 250 50
   o bien   
500 20000 250 50 10 400 5 1

Ideas claras
Una razón es un cociente. Se expresa en forma de fracción pero sus términos no expresan una parte de
una misma magnitud sino la relación entre dos magnitudes.
Los términos de la razón pueden ser números enteros o decimales.
1. Siete personas gastan 280 litros de agua diariamente.
¿Cuál es la razón entre los litros consumidos y el número de personas? ¿Cuál es la razón entre las
personas y los litros consumidos?
2. Medio kilo de cerezas costó 1,90 €. Expresa la razón entre kilos y euros.
3. La razón entre dos magnitudes es 36. Escribe un ejemplo de los valores que pueden tener estas dos
magnitudes
90


1.2. Proporción
Ya sabes que:
Una proporción es la igualdad entre dos razones.
Los términos primero y cuarto son los extremos y el segundo y tercero son los medios.
extremo medio
=
medio extremo
Se llama “razón de proporcionalidad” al cociente entre dos variables. Y su valor constante nos permite
obtener razones semejantes.
Cuando manejamos una serie de datos de dos pares de magnitudes que presentan una misma razón, se
pueden ordenar en un cuadro de proporcionalidad.
Ejemplo:
200
En el cuadro de abajo se observa que cada árbol da = 40 kg de
5
fruta. Es la razón de proporcionalidad.
Con ese dato podemos completar el cuadro para los siguientes casos.

kg de fruta 200 400 80 40 400 120 3000 800
nº de árboles 5 10 2 1 10 3 75 20

Propiedad fundamental de las proporciones:
En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Ejemplo:
3000 800
  3000  20  75  800
75 20
Ideas claras
Observa que la razón de proporcionalidad nos sirve para establecer una relación entre las dos variables
para cualquiera de los valores que puedan adoptar
4. Completa las siguientes proporciones:
5 45 0 ,3 7 0,05 x
a)  b)  c) x  4 ,7 d) 
22 x x 14 9 ,5 1 ,9 100 400
5. Ordena estos datos para componer una proporción:
a) 12, 3, 40, 10 b) 24, 40, 50, 30 c) 0,36; 0,06; 0,3; 1,8
6. Copia en tu cuaderno y completa la tabla sabiendo que la razón de proporcionalidad es 2,5:
0,5 9 6 20 2,5
50 8 25

91


2. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Ya sabes que:
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir a la primera por un
número, la segunda queda multiplicada o dividida por el mismo número.
Ejemplo:
El número de vacas y la cantidad de pienso que se necesita. Por
ejemplo si el número de vacas fuese el triple habrá que tener triple
cantidad de pienso.

Sin embargo, hay relaciones entre magnitudes que no son de
proporcionalidad porque cuando una se multiplica o se divide por un
número, la otra no queda multiplicada o dividida de la misma forma.

Ejemplo:
El peso y el tamaño del pie de una persona no son magnitudes proporcionales: El doble de la edad no
significa el doble de número de zapato.
Ideas claras
Cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, el doble, triple… de la primera supone el
doble, triple... de la segunda
Hay magnitudes que no se relacionan proporcionalmente.

7. Señala de estos pares de magnitudes, las que son directamente proporcionales:
 La cantidad de filetes que debo comprar y el número de personas que vienen a comer.
 El peso de una persona y su altura.
 El número de pisos que sube un ascensor y las personas que caben
en él
 El precio de una tela y lo que necesito para hacer un vestido.
 Las entradas vendidas para un concierto y el dinero recaudado
 El peso de una persona y su sueldo.
8. Calcula los términos que faltan para completar las proporciones:
25 30 300 7 7 ,5 x
a)  b)  c) 
50 x 100 x 56 ,9 2
9. Ordena estos valores de manera que formen una proporción directa:
a) 3,9 0,3 1,3 0,1 b) 5, 12, 6,10 c) 0,18 4 0,4 18
¿Hay más de una solución?

92


2.1. Regla de tres directa
Ya sabes que
Para resolver problemas de proporcionalidad directa, podemos utilizar el método de reducción a la
unidad.
Ejemplo:
Cinco viajes a Méjico costaron 6500 €. ¿Cuánto pagaremos por 14
viajes de un grupo de amigos idénticos?
Primero calculamos el precio de un viaje, 6500 : 5 = 1300 €.
Después calculamos el coste de los 14 billetes: 1300 ∙ 14 = 18200 €
La regla de tres es otro procedimiento para calcular el cuarto término de
una proporción
Ejemplo:
Con tres kilos de maíz mis gallinas comen durante 7 días. ¿Cuántos kilos necesitaré para darles
de comer 30 días?
3 kg 7 días 3  30
Formamos la proporción ordenando los datos:   x   12,86 kg
x kg 30días 7

Otra forma habitual de plantear la regla de tres es situando los datos de esta forma:
3  30
3 kg 7días x  12,86 kg
7
x kg 30 días

Ideas claras
Reducir a la unidad significa calcular el valor de uno para poder calcular cualquier otra cantidad.
En la regla de tres directa ordenamos los datos de forma que el valor desconocido se obtiene
multiplicando en cruz y dividiendo por el tercer término.
10. El coche de Juan gasta 5,5 litros de gasolina cada 100 km, ¿cuántos
litros gastará en un viaje de 673 km?
11. En una rifa se han vendido 250 papeletas y se han recaudado 625
euros. ¿A cuánto se vendía cada papeleta? ¿Cuánto habrían
recaudado si hubieran vendido 900 papeletas?
12. Una fabada para 6 personas necesitas 750 g de judías, ¿cuántas
personas pueden comer fabada si utilizamos 6 kg de judías?
13. Cuatro camisetas nos costaron 25,5 €, ¿cuánto pagaremos por 14 camisetas iguales?

93


2.2. Porcentajes
Ya sabes que
El porcentaje o tanto por ciento es la proporción directa más utilizada en nuestra vida cotidiana.
En los comercios, informaciones periodísticas, o en los análisis de resultados de cualquier actividad
aparecen porcentajes.
Un porcentaje es una razón con denominador 100.
Su símbolo es %.
Su aplicación se realiza mediante un sencillo procedimiento:
“Para calcular el % de una cantidad se multiplica por el tanto y se divide entre 100”
Ejemplo:
41  900
Calcula el 41 % de 900  369
El 41 % de 900 =
100
Algunos porcentajes se pueden calcular mentalmente al tratarse de un cálculo sencillo:
El 50 % equivale a la mitad de la cantidad
El 25 % es la cuarta parte de la cantidad ¡¡GRANDES REBAJAS!!
El 75 % son las tres cuartas partes de la cantidad 40 % DE DESCUENTO
El 10 % es la décima parte de la cantidad EN TODOS LOS
El 200 % es el doble de la cantidad ARTÍCULOS
Ejemplo:
El 25 % de 800 es la cuarta parte de 800, por tanto es 800 : 4 = 200

Ideas claras
Si cualquier cantidad la divides en 100 partes, el 40 % son cuarenta partes de esas cien.
El total de una cantidad se expresa como el 100 %
a) El 50 % de 240 b) el 1 % de 570 c) el 10 % de 600 d) el 300 % de 9.
15. Completa la tabla:
Cantidad inicial % Resultado
500 25
720 108
60 140
60 294
16. En un hotel están alojadas 400 personas. De ellas, 40 son italianas, 120 francesas, 100 son
alemanas y el resto rusas. Calcula el % que representa cada grupo sobre el total.
94


2.3. Descuento porcentual
En muchos comercios aparecen los precios antes de la rebaja y los precios rebajados. Con esos dos
datos podemos calcular el % de descuento.
Ejemplo:
Una camisa costaba 34 € y en temporada de rebajas se vende a 24 €, ¿qué % de descuento se
ha aplicado sobre el precio anterior?
Calculamos el importe de la rebaja 34 – 24 = 10 €.
34 100 10  100
Establecemos la proporción:  , x   29,41 %
10 x 34
Ejemplo:
Al comprar un ordenador me ofrecen un 12 % de descuento por pagarlo al contado. He
pagado 528 €. ¿Cuánto valía el ordenador sin descuento?
El precio inicial equivale al 100 %. Al aplicar el descuento, sólo pagaremos 100
– 12 = 88 %.
528  100
Por tanto, debemos calcular el 100 %:  600 €
88

Ideas claras
El descuento es la diferencia entre la cantidad inicial y la cantidad final. Con estos datos podremos
calcular el % de descuento aplicado.
Al descontarnos un x % de una cantidad, sólo pagaremos el (100 – x) %.
17. En una tienda ofrecen un 15 % de descuento al comprar una lavadora que cuesta 420 €. ¿Cuánto
supone el descuento? ¿Cuál es el precio final de la lavadora?
18. ¿Cuál de estas dos oferta ofrece un mayor % de descuento:
Antes 44,99 € Antes 11,99
Ahora 31,99 € Ahora 9,99

19. Completa:
a) De una factura de 540 € he pagado 459 €. Me han aplicado un ……… % de descuento
b) Me han descontado el 16 % de una factura de …………….. € y he pagado 546 €.
c) Por pagar al contado un mueble me han descontado el 12 % y me he ahorrado 90 €. ¿Cuál era el
precio del mueble sin descuento?

95


2.4. Incremento porcentual
En los incrementos porcentuales, la cantidad inicial es menor que la final ya que el tanto por ciento
aplicado se añade a la cantidad inicial.
Ejemplo:
Por no pagar una multa de 150 € me han aplicado un 12 % de
recargo.
12  150
Puedo calcular el 12 % de 150 y sumarlo a 150:  18 €.
100
En total pagaré 150 + 18 = 168 €.
Ejemplo:
Otra forma de aplicar el incremento porcentual puede ser
calcular el % final a pagar:
En el caso anterior: 100 + 12 = 112 %
112  150
Calculamos el 112 % de 150 €:  168 €.
100
Ejemplo:
En un negocio he obtenido un 36 % de ganancias sobre el capital que invertí. Ahora mi capital
asciende a 21760 €. ¿Cuánto dinero tenía al principio?
El incremento porcentual del 36 % indica que los 21760 € son el 136 % del capital inicial.
21760  100
Debemos calcular el 100 %:  16000 €.
136
2.5. Impuesto sobre el valor añadido IVA
Los artículos de consumo y las actividades económicas llevan asociadas un impuesto IVA que supone un
incremento sobre su precio de coste. En España el IVA general que se aplica es el 21 %.
Es importante que, en la publicidad, observemos si el precio que se indica de un artículo o servicio es
con IVA incluido.
Ideas claras
En los incrementos porcentuales, la cantidad inicial aumenta porque se le aplica un tanto por ciento
mayor que el 100 %.
El IVA es un impuesto que supone un incremento sobre el precio inicial
20. Calcula el precio final después de aplicar el 68 % de incremento porcentual sobre 900 €.
21. Una persona invierte 3570 € en acciones, y al cabo de un año su inversión se ha convertido en
3659,25 €. Calcula el aumento porcentual aplicado a su dinero.
22. El precio de venta de los artículos de una tienda es el 135 % del precio al que los compró el
comerciante. ¿A qué precio compró el comerciante un artículo que está a la venta por 54 €?
23. En Estados Unidos existe la norma de dejar un mínimo del 10 % de propina en restaurantes o taxis
sobre el importe de la factura. Calcula en esta tabla lo que han debido pagar estos clientes que
han quedado muy satisfechos y añaden un 15 % de propina:

Importe factura 34 $ 105 $ 90,4 $ 100,20 $ 12 $

Precio final

24. El precio de un televisor es 650€ + 21% IVA. Lo pagaremos en seis mese sin recargo. Calcula la
cuota mensual.
96


La divina proporción La proporción áurea
La proporción armónica

¡Imaginas que existe una proporción con esos
nombres! Además, ¡Está en TODAS partes! Teano fue una matemática griega que vivió
en el siglo sexto antes de nuestra era. Se
casó con Pitágoras y trabajó en su escuela

¿Qué es? difundiendo los conocimientos científicos y
matemáticos por todos los pueblos del
Como su nombre indica es una proporción. Mediterráneo, entre ellos la proporción
Una longitud se divide en dos, a + b, de áurea. Se sabe que Teano escribió muchas
forma que se verifique: obras y tratados sobre todo tipo de temas.
ab a
 Se le atribuyen escritos sobre poliedros
a b regulares, sobre temas filosóficos y sobre
Ese cociente da un número, un valor, al que las propiedades del pentágono regular,

se llama número de oro y es símbolo de la Escuela Pitágórica, y su
aproximadamente igual a 1,618… relación con la divina proporción.

Si dibujamos un pentágono regular, y trazamos

sus diagonales. Se forma en su interior otro
pentágono regular más pequeño, y el proceso
puede realizarse de forma sucesiva

La razón entre la diagonal del
Segmento verde = Diagonal = 1,618….
pentágono y uno de sus lados es el
Segmento rojo Lado
número de oro:

Se llama “La Divina Muchas flores
Proporción” porque los
objetos con esta proporción son pentagonales

son armoniosos a la vista.

La relación entre la distancia entre
Si quieres saber si tú eres

armónica debes medir tu
las espiras del interior de algunos
caracoles es la proporción áurea
altura y también la distancia
desde tu ombligo al suelo. Si
esa razón es próxima al En el Hombre de
número de oro, ¡lo eres! Vitruvio, Leonardo
da Vinci estudió la
Divina Proporción.
La relación entre las falanges
de los dedos es la divina Busca en Internet
proporción para saber más
97


RESUMEN
Concepto Definición Ejemplo
Razón Comparación entre los valores de dos Precio y cantidad
variables
Proporción Igualdad entre dos razones A es a B como C es a D
Magnitudes directamente Si se multiplica o divide una de las 24 es a 10 como 240 es a
proporcionales magnitudes por un número, la otra queda 100
multiplicada o dividida por el mismo
número
Razón de Proporcionalidad Cociente entre los valores de dos 300
directa magnitudes 25
Porcentajes Razón con denominador 100 23
100
PORCENTAJE CON CALCULADORA
En la calculadora puedes encontrar una función que te permite calcular el % de manera directa.
Para ello debes seguir los siguientes pasos:
1. Escribe la cantidad
2. Multiplica por el tanto
3. Pulsa SHIFT y %. El resultado que aparece en la pantalla es la solución.
Ejemplo:
650 * 16 SHIF % = 104
Una forma fácil de añadir o restar el importe del tanto por ciento a la cantidad final puede hacerse
de la siguiente forma:
 Sigue los pasos 1, 2 y 3 anteriores
 Pulsa la tecla + si lo que quieres es un aumento porcentual
 Pulsa la tecla  para una disminución porcentual
Ejemplo:
1370 * 12 SHIFT % 164.4 + 1534.4

1370 * 12 SHIFT % 164.4  1205.6

98


1. ¿Qué es una razón entre dos números? ¿Cómo se llaman sus términos? Escribe varios
ejemplos.
2. ¿Cómo se llaman los términos de una proporción? Escribe proporciones que se pueden
formar con estos números y comprueba la propiedad fundamental:
a) 6, 24, 12, 3 b) 35 0,5 1,25 7
3. Con 8 kg de harina hemos confeccionado 15 pasteles. ¿Cuántos pasteles podemos elaborar
con 30 kg de harina?
4. Completa la tabla y calcula el coeficiente de proporcionalidad:
Litros de gasolina 8 25 4
Euros 11,36 56,8 25,56
5. En España muchos productos llevan en el precio un impuesto llamado IVA (Impuesto sobre el
Valor Añadido), del 21 %. En los tickets de los establecimientos suelen marcar el precio final,
sumando el 21 % de IVA. Calcula el precio final de una batidora que vale 110 € + IVA
6. Con 48 € puedo comprar 20 piezas de madera. Si las piezas costaran 1,50 € cada una, ¿cuántas
podría comprar con el mismo dinero?
7. ¿En cuál de estas recetas es mayor la proporción entre la harina y el azúcar?

MASA DE ROSQUILLAS MASA DE ROSQUILLAS
2kg de harina Medio kilo de harina
6 huevos 4 huevos
1kg y medio de azúcar 400 g de azúcar

8. Tenemos el pienso suficiente para dar de comer a las 45 vacas durante 30 días. Si vendemos 9
vacas, con la misma cantidad de pienso, ¿cuántos días podremos dar de comer a las restantes?
9. Calcula la razón de proporcionalidad y completa la tabla de proporcionalidad inversa:
Velocidad en km/h 90 120 75
Tiempo en horas 4,5 10 3

10. Cada gominola cuesta 5 centimos y pesa 4 g. Compramos una bolsa de 100 g de gominolas.
¿Cuántas gominolas contiene la bolsa? ¿Cuánto nos costarán?

11. Si abrimos dos grifos el depósito se llena en 4 horas y media. ¿Cuánto tiempo tardarán el llenar el
mismo depósito 5 grifos con el mismo caudal?
99


12. En esta etiqueta se ve el precio inicial y el precio rebajado. Calcula el % de rebaja que se ha aplicado

Antes Después

23,95 15,95

13. El 1 de enero de 2010 el bono de 10 viajes del metro de Madrid pasó a costar 9 €, lo que suponía un
aumento de un 21,6 % sobre su anterior precio. En 2013, el bono de 10 viajes cuesta 12,20 €. ¿Qué
% ha aumentado el precio del bono entre 2010 y 2013? ¿Cuánto costaba el bono antes de la subida
de 2010? ¿Qué % ha aumentado su coste desde antes de la subida de 2010?
14. Un empleado público que gana 1154€ netos al mes sufrirá un recorte de sueldo del 5% a partir del 1
de enero de 2014. ¿Cuánto dinero dejará de ganar al cabo de un trimestre?
15. En las ciudades se han instalado parquímetros, de manera que se cobra el aparcamiento mediante
unas tarifas. Hay dos tipos de zonas con distintas tarifas.
16. El precio de un ordenador portátil es 899 € IVA (21%) incluido. Calcula su precio sin IVA.
17. El juego cuatro de neumáticos para un coche se oferta a 324 € + IVA (21%). Calcula el precio de cada
rueda.

100


AUTOEVALUACIÓN
1. Siete cajas de galletas de un kilo y medio cada una nos han costado 12.6 €. Si quiero comprar 22
kg de galletas, me costarán:
a) 22,4 € b) 30.6 € c) 26.4 € d) 24.2 €
2. Al aplicar un 24 % de descuento sobre una factura, hemos tenido que pagar 699,20€. El importe
total de la factura sin descuento era:
a) 920€ b) 1220€ c) 880€
3. Una sala de espectáculos tiene capacidad para 280 personas. El precio de cada entrada es 14 €.
Hoy se han vendido el 85 % de la sala, y de ellas, 50 con un 15 % de descuento. La recaudación
total ha sido:
a) 3227 € b) 2998 € c) 3028 €
4. El Real Murcia tiene esta temporada 14031 abonados, lo que supone el 45% del aforo del
estadio Nueva Condomina. ¿Cuál es el aforo total del estadio?
5. Hemos comprado tres pantalones que cuestan 14 euros cada uno y dos camisas cuyo valor es de
12 euros cada una. Los pantalones están rebajados un 12% y las camisas un 7% ¿Cuánto
tendremos que pagar en total?
6. Los valores que completan las operaciones siguientes son:
El 25 % de 0,28 es ………. El …….. de 630 es 63 El 150 % de ……… es 120

a) 0,07, 10, 80 b) 0,7, 10, 90 c) 0,7, 3, 80

7. Al efectuar un incremento porcentual del 18% sobre estas tres cantidades, 350, 99 y 6
obtenemos:
a) 413; 116,82; 7,08 b) 630; 116,82; 7,08 c) 403; 112; 7,08
8. Pedro ha comprado un abrigo que costaba 60 euros. Le han hecho un 25% de descuento.
¿Cuánto ha pagado en total?
a) 15 euros. b) 25 euros. c) 45 euros.
9. Un litro de leche de una determinada marca cuesta 0’70 euros, pero si se compra una caja de 12
litros, hacen un 5% de descuento. Si compramos la caja de 12, ¿cuánto tendremos que pagar?
a) 3’5 euros b) 8’48 euros c) 7’98 euros
10. Un comerciante de moda decide subir un 10% el precio de venta de todos los pantalones que
vende, pero dos días después piensa que hay una marca cuyo precio con la subida estaban en 33
y que no quiere subir. El precio antes de la subida era
a) 29’7 euros b) 30 euros c)30’5 euros
101
Sistemas de Medida. 2º ESO

2º ESO CAPÍTULO 6: SISTEMAS DE MEDIDA


Autor: Pedro Luis Suberviola Serrano
Revisor: Sergio Hernández
Ilustraciones: Banco de imágenes del INTEF más Wikipedia y producción propia

Matemáticas 1º de ESO. Capítulo 7: Sistemas de Medida Autor: Pedro Luis Suberviola / Revisor: Sergio Hernández
www.apuntesmareaverde.org.es lustraciones: Banco de Imágenes de INTEF más
Wikipedia y producción propia
102

Índice
1. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
1.1. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
1.2. EL METRO.
1.3. EL LITRO.
1.4. UNIDADES DE MASA
2. MEDIDA DE ÁNGULOS
3. MEDIDA DEL TIEMPO
4. UNIDADES MONETARIAS

Resumen
Un accidente interespacial, la búsqueda infructuosa de un tesoro sumergido… todo debido a la
confusión entre las unidades de medida. Por eso es importante saber si estamos usando nuestro
Sistema Internacional de Unidades (SI), o si se emplean unidades anglosajonas.
En este capítulo vamos a revisar tus conocimientos del curso anterior sobre las unidades de medida del
Sistema Internacional de Unidades (SI), (antiguamente Sistema Métrico Decimal), a hacer cambios entre
unas unidades y otras. También revisaremos las llamadas unidades agrarias: área, hectárea…
Ampliaremos este conocimiento con la medida de ángulos y las unidades de tiempo, tan útiles, que
usan un sistema distinto al decimal, el sistema hexagesimal.
Añadiremos las unidades monetarias que nos van a servir entre otras cosas para el cambio de divisas

103

1. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Recuerda que:
En este apartado vamos a revisar tus conocimientos del curso anterior sobre el Sistema Internacional de
Medidas.
Magnitud
Una magnitud es una característica que se puede medir y expresar cuantitativamente, es decir,
mediante un número.
Una magnitud se mide comparándola con un patrón que tenga bien definida esa magnitud y
observando el número de veces que lo contiene. A ese patrón le llamamos unidad de medida.
Una misma magnitud se puede expresar con distintas unidades de medida.

Ejemplo:
La longitud es una magnitud y se puede expresar en kilómetros, metros,
centímetros, millas, pulgadas,... Puedo decir que alguien mide 1,52
metros, 152 centímetros, 4,98 pies, 59,76 pulgadas,... la altura es la
misma, pero está expresada en distintas unidades.
Observa que no se puede decir que alguien mide 1 longitud, 2 longitudes,...
pues la longitud es la magnitud, no la unidad, que podría ser el centímetro.
Igual no se dice que alguien pesa 1 masa, 2 masas,... ya que masa es la magnitud, que se mide en
kilogramos.
1.1. Sistema Internacional de Unidades (SI)
Para poder comparar el valor de varias magnitudes debemos utilizar una misma unidad de medida.
Ejemplo:
Si quiero comparar las medidas de una mesa que uso en clase con una mesa de mi casa, debo
utilizar la misma unidad. Si una la mido en centímetros y la otra en pulgadas, no puedo
compararlas.
Para facilitar el intercambio científico, cultural y comercial, en casi todos los países se ha adoptado el
Sistema Internacional de Unidades (SI) como sistema de medidas.
Es el heredero del antiguo Sistema Métrico Decimal y por ello también se le conoce como Sistema
Métrico o simplemente como Sistema Internacional (SI).

Algunas de las unidades que utiliza para las distintas magnitudes son:
Longitud Superficie Volumen Masa Tiempo
El metro El metro cuadrado El metro cúbico El kilogramo El segundo
104

Observa que:
El segundo, que es una medida fundamental del Sistema Recuerda: Existen unidades, como por
Internacional de Unidades, como bien sabes, no es ejemplo los pies, que usan en múltiplos
decimal, 100 segundos no son una hora ni un minuto. Sin y submúltiplos un sistema decimal,
embargo en el resto de los casos, para pasar de una unidad pero no forman parte del Sistema
a otra que sea múltiplo o submúltiplo, hay que multiplicar Internacional de Unidades. Mientras
por una potencia de diez. Por ello, en ocasiones, se habla que otras, como el segundo, que si
del Sistema Métrico Decimal. forman parte del Sistema Internacional
de Unidades no usan un sistema
En general, los múltiplos y submúltiplos de la unidad
decimal.
principal se nombran añadiendo prefijos (kilo, centi,...). Lo
estudiaremos con más detenimiento más adelante.
Las unidades fundamentales que
Nota curiosa: usaremos son tres: masa (kg),
Según la Física Clásica las unidades fundamentales de masa, tiempo (s) y longitud (m). Otras
tiempo y longitud son propiedades de los objetos, pero según la son unidades derivadas, como
Teoría de la Relatividad ya NO son propiedades "reales" de los de superficie (metro cuadrado),
objetos. Al observa un objeto desde fuera, cuanta más velocidad de volumen (metro cúbico) o por
lleve ese objeto más se achata la longitud, más se acelera el ejemplo, la velocidad que se
tiempo y más aumenta la masa del objeto. El tiempo es relativo, puede medir en kilómetros por
así como la longitud o la masa. hora (km/h).
1. Clasifica como magnitudes o unidades de medida. Indica cuáles de las unidades de medida
pertenecen al SI:
a) Centímetro cúbico b) Tiempo c) Hora d) Memoria de un ordenador
e) Gramo f) Masa g) Longitud h) Kilómetros por hora
2. Investiga a qué magnitudes corresponden las siguientes unidades poco corrientes:
a) Área b) Herzio c) Yuan d) Grado Fahrenheit e) Año luz
3. Indica al menos una unidad del Sistema Internacional de Unidades adecuada para expresar las
siguientes magnitudes:
a) La edad de la Tierra b) El tamaño de un jardín
c) La capacidad de un bidón d) La distancia entre Madrid y Valencia
f) La masa de un armario e) Lo que tardas en hacer un problema
4. Copia en tu cuaderno y relaciona cada magnitud con su posible medida:
12 º C 2 km 33 m2 5 l 0,55 g
masa longitud capacidad superficie temperatura

105

1.2. El metro
Recuerda que:
Unidades de longitud
El metro es una unidad de medida de longitud y se representa por m.
Pertenece al Sistema Internacional de Unidades (SI).
Sus múltiplos y submúltiplos principales son:
Múltiplos Unidad Submúltiplos
Kilómetro Hectómetro Decámetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro
km hm dam m dm cm mm
1.000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
Un metro está dividido en 10 decímetros

Existen otros submúltiplos:
Micrómetro (µm). 1 µm = 0,001 mm = 0,000.001 m
Nanómetro o micra (nm). 1 nm = 0,001 µm = 0,000.000.001 m
Ångström (Å). 1 Å = 0,1 nm = 0,000.000.000.1 m
Otras unidades de longitud, que no son múltiplos o submúltiplos del metro son:
Unidad astronómica (UA): Es la distancia media entre la Tierra y el Sol, y es igual a 150 millones de km.
Año luz: Es la distancia recorrida por un rayo de luz en un año y es igual a:
1 año luz = 63.240 UA = 9.460.000.000.000 km
Ejemplos:
 El átomo más pequeño, el de hidrógeno, tiene aproximadamente 1 Å de diámetro.
 Los chips electrónicos están compuestos de transistores de 22 nm de tamaño.
 La Vía Láctea tiene de radio 50.000 años luz.
 El diámetro de un cabello es de aproximadamente 0,1 mm
 Un espermatozoide mide 53 μm, un hematíe 7 μm.
106

Cambio de unidades
Para realizar cambios de unidades de longitud debemos multiplicar o dividir por diez tantas veces como
sea necesario.
ꞏ10 ꞏ1 ꞏ1 ꞏ1 ꞏ1 ꞏ1
:10 :10 :10 :10 :10 :10

Esto lo hacemos desplazando la coma hacia la derecha (para multiplicar) o a la izquierda (para dividir)
tantas veces como queramos multiplicar o dividir por diez.

 Expresa en metros:
a) 8,25 km = 82,5 hm = 825 dam = 8250 m 8,25 km = [3 posiciones] = 8.250 m
b) 712 mm = 71,2 cm = 7,12 dm = 0,712 m 712 mm = [3 posiciones] = 0,712 m
c) 6,32 hm = 632 m
d) 34 cm = 0,34 m
e) 0,063 km = 63 m
f) 25 km 3 hm 7 m = 25307 m
g) 9 dam 6 m 8 dm 5 mm = 96,805 m

5. Si Ramón mide 1,65 metros y Jesús mide 164 centímetros: ¿Quién es más alto?
6. Contesta con una regla graduada:
a) Mide la longitud de tu cuaderno. ¿Cuánto mide?
b) Mide un lápiz. ¿Cuánto mide?
7. Averigua cuánto mide de largo tu habitación.
8. Expresa las siguientes longitudes en centímetros:
a) 54 dm b) 21,08 m c) 8,7 hm d) 327 mm
9. Expresa las siguientes longitudes en las unidades que se indican en cada caso:
a) 8 m 1 mm en centímetros b) 3,5 km 27 dam en centímetros c) 13 km 21 mm en milímetros
d) 7 hm 15 cm en centímetros e) 2 dam 5 dm en metros f) 0,6 m 340 mm en decímetros

107

Unidades de superficie
Recuerda que:
El metro cuadrado es la unidad de medida de superficie y se representa por m2.
Es una unidad derivada del metro. No es una unidad fundamental.

cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1.000.000 m2 10.000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,000.01 m2 0,000.000.1m2
Comprobemos que en 1 m2 hay 100 dm2:
Un metro cuadrado es la superficie que tiene un cuadrado de 1 m de
lado.
Dividimos cada uno de sus lados en 10 segmentos iguales, que medirán
por lo tanto 1 dm cada uno.
Unimos los extremos de los segmentos formando cuadrados.
Obtenemos 100 cuadrados de 1 dm de lado. Es decir, en el metro
cuadrado hay 100 de estos cuadrados, es decir, 100 dm2.
Ejemplos:
1 dm 1m
 Un piso suele medir entre 60 m2 y 110 m2.
 Un campo de fútbol para partidos internacionales mide entre 64 dam2 y 82,5 dam2.
 La ciudad de Valladolid tiene una superficie de 197,91 km2, la de Madrid 605,8 km2.
 La provincia del estado español con mayor superficie es Badajoz, con 21.766 km2, la
menor Guipúzcoa con 1.980 km2.
 La provincia de Madrid tiene 8.027 km2 de superficie. Imagina un rectángulo de 100 km
de ancho y 80 km de largo.
 El estado de la Unión Europea con mayor superficie es Francia, con 547.030 km2.
Cambio de unidades
Para realizar cambios de unidades de superficie debemos multiplicar o dividir por cien tantas veces
como sea necesario.
ꞏ100 ꞏ100 ꞏ100 ꞏ100 ꞏ100 ꞏ100
:100 :100 :100 :100 :100 :100

de dos en dos cifras.
108

 Expresa en metros cuadrados:
a) 0,743 km2 = 743.000 m2 0,743 km2= [6 posiciones a la derecha] = 743.000 m2
b) 95.400 mm2 = 0,0954 m2 95.400 mm2 = [6 posiciones a la izquierda]= 0,0954 m2
c) 5,32 hm2 = 53.200 m2
d) 37 cm2 = 0,0037 m2
e) 82 km2 = 82.000.000 m2
f) 4 km2 53 hm2 2 m2 = 4.530.002 m2
g) 3 dam2 15 m2 23 dm2 = 315,23 m2

10. Observa la tabla anterior y calcula:
a) 35 dam2= ____ m2 b) 67 m2 = ____mm2 c) 5 km2 = ____ m2 d) 7 m2 = ____ hm2
11. Pasa 98 hm2 37 dam2 a centímetros cuadrados.

Unidades agrarias
Son unidades que no pertenecen al Sistema Internacional pero se utilizan para medir superficies rurales,
bosques, plantaciones,...
El área 1 a = 100 m2 = 1 dam2
La hectárea 1 ha = 100 a = 100 dam2 = 1 hm2
La centiárea 1 ca = 0,01 a = 1 m2
Es decir, para hacer la conversión entre unidades agrarias y su conversión con el Sistema Internacional
podemos utilizar la siguiente regla:
hm2 ꞏ100 dam2 ꞏ100 m2

ha :100 a :100 ca
Ejemplos:
 Una hectárea es un cuadrado de 100 m de lado. Un campo de fútbol mide 62 áreas,
aproximadamente media hectárea. Para hacernos una imagen mental, podemos pensar
que dos campos de fútbol son más o menos una hectárea.
 La superficie incendiada en España cada año es, en promedio, unas 125.000 ha. La
provincia más pequeña es Guipúzcoa, con 1.980 km2, es decir, 198.000 ha. Es decir, el
área incendiada cada año es aproximadamente el de esa provincia.

109

 Expresa en hectáreas:
a) 5,7 km2 = 570 hm2 = 570 ha b) 340.000 ca = 34 ha
c) 200.000 dm2 = 0,2 hm2 = 0,2 ha d) 930 dam2 = 9,3 hm2 = 9,3 ha
12. Expresa las siguientes superficies en áreas:
a) 1.678 ha b) 5 ha c) 8 ha 20 a d) 28.100 ca
13. La superficie de un campo de fútbol es de 7.140 metros cuadrados. Expresa esta medida en cada
una de estas unidades:
a) Centímetros cuadrados b) Decámetros cuadrados c) Hectáreas d) Áreas.
Unidades de volumen
El metro cúbico es la unidad de medida de volumen y se representa por m3.
Es una unidad derivada del metro.

cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico
1.000.000.000 m3 1000.000 m3 1000 m3 1 m3 0,001 m3 0,000.000.1 m3 0,000.000.000.1 m3
Comprobemos que en 1 m3 hay 1000 dm3:
Un metro cúbico es el volumen que tiene un cubo de 1 m de arista.
Dividimos cada uno de sus aristas en 10 segmentos iguales, que medirán por
lo tanto 1 dm cada uno.
Cortamos el cubo paralelamente a las caras. Obtenemos 1.000 cubos de 1
dm de arista. Es decir, en el metro cúbico hay 1.000 de estos cúbicos, es
decir, 1.000 dm3.
Ejemplo:
 El consumo de agua y de gas en las facturas se mide en m3. Una persona consume de media
4,5 m3 de agua al mes.
 El tamaño de un embalse pueden ser 50 hm3 de capacidad.
 Uno de los embalses de mayor capacidad en España es el de la Almendra, con 2,6 km3 de
capacidad.
 La capacidad total de los embalses de España es de 55 km3.
110

Cambio de unidades
Para realizar cambios de unidades de volumen debemos multiplicar o dividir por mil tantas veces como
sea necesario.
ꞏ1000 ꞏ1000 ꞏ1000 ꞏ1000 ꞏ1000 ꞏ1000
:1000 :1000 :1000 :1000 :1000 :1000

de tres en tres cifras.

 Expresa en metros cúbicos:
a) 0,743 km3 = 743.000 m3 0,743 km3= [6 posiciones a la derecha] = 743.000 m3
b) 95.400 mm3 = 0,0954 m3 95.400 mm3 = [6 posiciones a la izquierda] = 0,0954 m3
c) 5,32 hm3 = 53.200 m3
d) 457 cm3 = 0,0457 m3
e) 61 km3 = 61.000.000 m3
f) 3 km3 52 hm3 8 m3 = 3.520.008 m3
g) 9 dam3 6 m3 34 dm3 = 906,34 m3

14. Expresa en metros cúbicos 3,2 dam3 5600 dm3.
15. Expresa estos volúmenes en decámetros cúbicos:
a) 0,38 m3 b) 81 dm3 c) 1,23 hm3 d) 52 m3

1.3. El litro
Recuerda que:
La "capacidad" es la misma magnitud que el “volumen”, por tanto se mide la capacidad de un
recipiente, (cuánto volumen le cabe) con el metro cúbico y sus derivados. El litro se utiliza por razones
históricas, y no pertenece al Sistema Internacional de Unidades. Aunque nos conviene conocerlo si lo
consideramos como una unidad de volumen "coloquial" utilizada normalmente para medir la capacidad
de los recipientes. Un litro corresponde con un dm3, y se utilizan múltiplos de litro como si fuera una
unidad más del SI, con múltiplos y divisores decimales.

La capacidad es el volumen (generalmente de materia líquida o gaseosa) que es capaz de albergar un
recipiente.
Su unidad de medida es el litro y se representa por L.

111


Kilolitro Hectólitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro
kL hL daL L dL cL mL
1000 L 100 L 10 L 1 L 0,1 L 0,01 L 0,001 L
Ejemplos:
Una botella de agua grande tiene una capacidad de 1,5 L.
Un depósito de gasóleo para una casa puede tener una capacidad de 4 hL.
Una lata de refresco tiene una capacidad de 33 cL.
Una dosis típica de jarabe suele ser de 5 mL.
En una ducha de cinco minutos se utilizan unos 90 L de agua.
Como hemos visto, cuando medimos capacidades de agua grandes se utilizan unidades
de volumen (m3, hm3, ...).
Cambio de unidades
Para realizar cambios de unidades de capacidad debemos multiplicar o dividir por diez tantas veces
como sea necesario. Igual que con metros, pues la unidad no está elevada ni al cuadrado ni al cubo.
ꞏ1 ꞏ1 ꞏ1 ꞏ1 ꞏ1 ꞏ1
kL hL daL L dL cL mL
:10 :10 :10 :10 :10 :10

Ejemplo:
 Expresa en litros:
a) 5,7 hL = 570 L b) 200 mL = 0,2 mL c) 9,5 kL = 9500 L
d) 0,0345 kL = 34,5 L e) 710 cL = 7,1 L f) 9,2 mL = 0,0092 L
16. ¿Cuántos decilitros tiene un litro?
17. Expresa en hectolitros:
a) 34 L b) 1.232 cL c) 57 daL d) 107 hL

Relación entre litros y m3
Los litros se relacionan con las unidades de volumen porque 1 L equivale a 1 dm3. Por lo tanto:
1 L = 1 dm3
1 mL = 1 cm3
1 kL = 1 m3
112

Si lo añadimos al esquema de cambios de unidades de capacidad:

ꞏ1 ꞏ1 ꞏ1 ꞏ1 ꞏ1 ꞏ1
kL :10
hL :10
daL :10
L :10
dL :10
cL :10
mL

ꞏ1.000 ꞏ1.000
m3 dm3 cm3
:1.000 :1.000

Ejemplos:
Un depósito de agua de 1 m3 tiene 1 kL de capacidad, es decir, 1.000 L, mil litros.
En los botellines de agua, dependiendo de la marca, se expresan la cantidad de agua en mL o
en cm3 es decir, como capacidad o como volumen. Pueden poner 250 mL o 250 cm3.
Un litro de leche ocupa un volumen de 1 dm3.

Expresa en litros:
a) 7,2 dm3 = 7,2 L b) 52 m3 = 52 kL = 52.000 L c) 33 cm3 = 33 cL = 0,033 L
Expresa en decímetros cúbicos:
a) 0,635 hL = 63,5 dm3 = 63,5 dm3 b) 23 cL = 0,23 L = 0,23 dm3
c) 73,5 kL = 73.500 L = 73.500 dm3 d) 0,5 dL = 0,05 L = 0,05 dm3

18. Ordena de menor a mayor estas medidas:
a) 7,0001 hm3
b) 23.000 L c) 8 mL d) 4 mm3
19. Calcula el volumen (en litros y en cm3) de una caja que mide 20 cm de ancho, 20 cm de largo y 5 cm
de alto.

1.4. Unidades de masa
Recuerda que:
El kilogramo es la unidad de medida de masa y se representa por kg.

Pertenece al Sistema Internacional de Unidades (SI).

113

Unidad Submúltiplos
Kilogramo Hectogramo Decagramo Gramo Decigramo Centigramo Miligramo
kg hg dag g dg cg mg
1000 g 100 g 10 g 1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g
La tonelada y el quintal no son múltiplos del

Múltiplos Unidad gramo ni pertenecen al SI. En origen una
Tonelada Quintal tonelada eran 960 kg y corresponde a 20
Miriagramo Kilogramo quintales de 46 kg o 100 libras, pero cuando se
métrica métrico
impuso el SI continuaron usándose, aunque
tm qm mag kg "redondeados" a 1000 kg y 100 kg. Estas nuevas
unidades son la tonelada métrica (tm) y el
1000 kg 100 kg 10 kg 1 kg
quintal métrico (qm), que si pertenecen al
Sistema Universal de Unidades.
Nota:
¡La masa no es lo mismo que el peso!
Una bola de acero peso mucho en la Tierra, pero no pesa nada Cuando pedimos en la tienda
en el espacio, y aún así, si te la tiran con fuerza te sigue dando un un kilo de patatas,
buen golpe. La fuerza de ese golpe te dice que tiene mucha masa estrictamente, desde el punto de
(gramos). La masa se conserva en el espacio porque es una vista matemático, estamos
verdadera magnitud, pero el peso es una fuerza debida a la diciendo mil patatas, puesto que
gravedad de la Tierra. Solo en la Tierra la masa y el peso de una el prefijo kilo significa mil.
persona coinciden como cantidad, por eso es normal decir que No significa que esté mal decirlo,
alguien "pesa tantos kg" aunque no sea del todo correcto, se debemos distinguir distintos
debería decir que "tiene una masa de 70 kg y, en la Tierra, pesa contextos y situaciones.
70 kgf (kilo gramos fuerza)".
En la tienda podemos comprar
En los ejemplos siguientes usaremos kg como peso por seguir un kilo de patatas, mientras que
con la forma coloquial de hablar, pero deberíamos usar kgf o en clase de matemáticas diremos
decir que "tiene una masa de 70 kg". un kilogramo de patatas.
Ejemplos:
Una persona adulta puede pesar 70 kg (bueno, deberíamos decir "tiene una masa de 70 kg"
como ya comentamos antes).
En un bocadillo se suelen poner unos 40 g de embutido.
Para plantar trigo, se utilizan entre 60 kg y 250 kg de semilla por hectárea y se cosechan
varias toneladas por hectárea.
El peso de un coche vacío es de unos 1.200 kg.
El peso máximo autorizado de un vehículo con dos ejes es de 18 t.
Un elefante africano puede pesar hasta 7,5 t. Una ballena azul, 120 t.
Actividad resuelta
¿Pesa más un kilogramo de hierro que uno de paja?
114

La masa es igual, pero ambas están en la Tierra rodeadas de aire, e igual que ocurre si están rodeadas
de agua, el hierro irá hacia abajo con más fuerza que la paja que "flota más" tanto en el agua como en
el aire. Piénsalo así: ¿Que pesa más, un trozo de hierro de 100 kg o un globo aerostático de 100 kg que
está flotando? Si el globo vuela, ¿es que no pesa?
Volvemos a la misma idea de antes. No debemos confundir el peso (que es una fuerza) con la masa.
Cambio de unidades
Para realizar cambios de unidades de masa debemos multiplicar o dividir por diez tantas veces como
sea necesario.
ꞏ1 ꞏ1 ꞏ1 ꞏ1 ꞏ1 ꞏ1
kg :10
hg :10
dag :10
g :10
dg :10
cg :10
mg

Un litro de agua tiene de masa, casi de forma exacta 1 kg. Esta aproximación se puede realizar, de forma
menos precisa, para otros líquidos.
Expresa en gramos:
a) 0,45 kg = 45 g b) 712 mg = 0,712 g c) 9,32 hg = 932 g
d) 8,57 cg = 0,0857 g e) 0,031 kg = 31 g f) 56 kg 3 hg 7 g = 56307 g
g) 7 dag 2 g 3 dg 5 mg = 72,305 g
Expresa en kilogramos:
h) 8,2 t = 8200 kg i) 340 g = 0,34 kg j) 2,4 q = 240 kg
k) 92 mag = 920 kg l) 678 hg = 67,8 kg m) 8900 dag = 89 kg
Supongamos que hemos comprado 1 kg de alubias, 2,5 kg de fruta, 2 L de leche y dos botellas de
1,5 L de agua. Si queremos calcular el peso de la compra de forma aproximada, podemos
cambiar los litros por kilogramos.
1 kg + 2,5 kg + 2 kg + 2 · 1,5 kg = 8,5 kg
Nuestra compra pesa aproximadamente 8,5 kg.
20. Expresa las siguientes cantidades en hectogramos:
a) 17 g b) 59 dag c) 73,5 kg d) 350 g
21. Expresa en gramos las siguientes masas:
a) 3,6 dag b) 59 kg c) 740,5 kg 8,5 dag d) 3 dag 15,10 dg
22. Expresa en kilogramos:
a) 5 t 5 q 2,5 mag b) 9,35 t 750 dag c) 712 q 459 hg d) 22 t 3 mag 8 kg
23. Estima la masa de:
a) tu cuaderno b) tu bolígrafo c) tu cartera d) tu mesa

115

2. MEDIDA DE ÁNGULOS

Para medir ángulos utilizamos el llamado sistema sexagesimal. La unidad de medida es el grado
sexagesimal. Se representa con el símbolo ° y se define como 1/360 de un ángulo completo.
1 ° = 1 / 360 parte de un ángulo completo
El grado sexagesimal tiene dos divisores:
Minuto 1 minuto = 1 ´ = 1/ 60 parte de un grado
Segundo 1 segundo = 1 ´´ = 1 / 60 parte de un minuto
Las unidades de este sistema aumentan y disminuyen de 60 en 60, por eso el sistema se llama
sexagesimal.
Si un ángulo viene expresado en dos o tres de estas Recuerda estas relaciones:
unidades, se dice que está expresado en forma compleja. En 1 ángulo completo = 360 °
la forma incompleja de la medida de un ángulo aparece una 1 ángulo llano = 180°
sola unidad.
1 ángulo recto = 90°
El paso de una a otra forma se realiza mediante
1 ° = 60 minutos = 3600 segundos
multiplicaciones o divisiones por 60, según haya que
transformar una unidad de medida de ángulos en la unidad 1 minuto = 60 segundos
inmediata inferior o superior.
Ejemplo:
Forma compleja: A = 12o 40 ´ 32´´ B = 13´ 54´´ C = 120 o 23´´
Forma incompleja: D = 35000´´ E = 23 o F = 34´
Ejemplo:
A = 12 o 23´ 10´´ = 12 3600´´ + 2360´´ + 10´´ = 44590´´
Ejemplo:
Pasaremos el ángulo D del ejemplo anterior a forma compleja:
35000´´ 60 583´ 60 D = 35000´´ = 583´ 20´´= 9 o 43´ 20´´
500 583´ 43´ 9 o
200
20´´

24. Pasa a forma compleja los siguientes ángulos
a) 12500´´ b) 83´ c) 230´´ d) 17600 ´´
25. Pasa de forma incompleja a forma compleja
a) 12 o 34´ 40´´ b) 13 o 23´ 7 ´´ c) 49 o 56´ 32 ´´ d) 1 o 25´ 27 ´´
116

Expresión en segundos Expresión en minutos y segundos Expresión en grados, minutos y segundos
8465”
245 ´ 32 ´´
31 o 3´ 55 ´´
Suma y resta de ángulos en el sistema sexagesimal.
Para sumar ángulos expresados en el sistema sexagesimal, se colocan los sumandos haciendo coincidir
grados, minutos y segundos, después se suman las cantidades correspondientes a cada unidad. Si los
segundos sobrepasan 60, se transforman en minutos y se suman a los minutos resultantes de la primera
fase de la suma. Si los minutos sobrepasan 60, los transformamos en grados y se suman a los grados
anteriormente obtenidos.
Ejemplo:
24o 43´ 29´´ 77´´ 60 73´ 60
+45o 29´ 48´´ 17´´ 1´ 13´ 1ó
69o 72´ 77´´ Nº minutos = 72´+ 1´= 73´ Nº de grados= 69o + 1o = 70o
24o 43´ 29´´ + 45o 29´ 48´´ = 69o 72´ 77´´ = 69o 73´ 17´´ = 70o 13´ 17´´
Para restar datos de medida de ángulos, ángulos expresados en el sistema sexagesimal, se colocan el
minuendo y el sustraendo haciendo coincidir grados, minutos y segundos, después restamos. Si en
alguna columna el minuendo es menor que el sustraendo, se pasa una unidad inmediatamente superior
a la que presente el problema para que la resta sea posible.
Ejemplo:
65o 48´ 50´´
45o 29´ 48´´
65o 48´ 50´´  45o 29´ 48´´ = 20o 19´ 2´´

20o 19´ 2´´
Ejemplo: 38o 12´ 14´´  15o 15´ 15´´

38o 12´ 14´´ 37o 72´ 14´´ 37o 71´ 74´´
15o 15´ 15´´ 15o 15´ 15´´ 15o 15´ 15´´
22o 56´ 59´´
38o 12´ 14´´  15o 15´ 15´´ = 37o 72´ 14´´  15o 15´ 15´´ = 37o 71´ 74´´  15o 15´ 15´´= 22o 56´ 59´´
27. Calcula:
34o 45´ 30´´ + 12 o 27´ 15´´ b) 16 o 30´ 1´´+ 12 o 13´ 12´´ + 2 o 1´
o o o
16 45' + 23 13'' + 30 20´ 30´´ d) 65 o 48´ 56´´ ‐ 12 o 33´ 25´´
35 o 54´ 23´´ ‐ 15 o 1´ 35'' e) 43 o 32´ 1 ´´ ‐ 15 o 50´ 50''

117

3. MEDIDA DEL TIEMPO
¿Qué es un día? Es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta alrededor de su eje.
¿Y un año? Es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol.
Para conocer su duración hay que estudiar el movimiento del Sol. El primer pueblo que se ocupó de
estudios astronómicos, y fueros muy buenos astrónomos, es el de los babilonios y asirios.
Ellos usaban un sistema de numeración que no era decimal, sino sexagesimal. De ellos aún nos quedan
las siguientes medidas del tiempo:
Un día tiene 24 horas.
Una hora tiene 60 minutos.
Un minuto tiene 60 segundos.
La unidad utilizada para medir la magnitud “tiempo” es el segundo, que se representa por la letra s, en
minúscula y sin punto… Es una unidad del Sistema Internacional de Unidades (SI) pero no es decimal, es
sexagesimal.
Pasar segundos a horas y minutos, o viceversa se hace de forma muy similar a como se pasan en las
medidas de ángulos de segundos a grados y minutos que, para no repetir aprenderás en el capítulo 8 de
“Figuras Planas” en el apartado 1.4.
Otras medidas del tiempo que conoces son:
La semana que tiene 7 días.
El mes, que tiene 30 días, o 31 días o 28 días el mes de febrero, salvo los años bisiestos que tiene 29.
Un año que tiene 12 meses.
Un año tiene 365 días excepto los años bisiestos que tienen 366 días.
La cronología permite datar los acontecimientos representándolos en una línea de tiempo.
Para medir el tiempo, en un principio, se empezó midiendo los movimientos de los astros, el
movimiento aparente del Sol y de la Luna. Luego se utilizaron relojes como el reloj de sol, de arena o la
clepsidra o reloj de agua. Ahora existen relojes y cronómetros muy perfeccionados.
Nuestro año comienza el 1 de enero, pero otros países utilizan otros calendarios, como el chino, el
judío, o el musulmán. Al escribir esto estábamos en el año 2013, pero otros pueblos están en otros años
muy diferentes. Infórmate sobre ese particular.
28. ¿Cuántos segundos tiene una hora?
29. ¿Cuántas horas tiene una semana? ¿Cuántos minutos?
30. ¿Cuántas semanas tiene un año no bisiesto?

118

4. UNIDADES MONETARIAS
Las unidades monetarias diferentes a la que nosotros utilizamos se denominan divisas. Entre distintas
monedas se establecen tipos de cambio que varían constantemente.
En la Unión Europea la unidad monetaria es el euro, se representa por €.
Para realizar los cambios, utilizaremos factores de conversión, redondeando el resultado si hiciera falta.
Con la siguiente equivalencia de divisas:
Dirhams
Euros (€) Libras (£) Dólares ($) Soles (S/) Bolivianos (Bs) Yenes (¥) Yuanes (¥)
(‫()ﺩﺭﻫﻡ‬MAD)
1 0,86 1,3 3,6 9 131 8 11,1
Cambia 600 € a Libras y a Soles
0,86 £
1 € es equivalente a 0,86 £. Multiplicando por 1€ se eliminan los € y queda arriba £
0,86 £ 600 ·0,86 € ·£
600 € · = · =516 £
1€ 1 €
3,6 S/ 600 ·3,6 € ·S/
600 € · = · =2.160 S/
Equivalentemente para soles: 1€ 1 €
b) Cambia 715 $ y 16.000 ¥ (yuanes) a euros.
En este caso debo dividir entre $ y ¥ respectivamente y el € debe quedar en el numerador
1 € 715 ·1 $ · € 1 € 16.000 ·1 ¥ ·€
715 $ · = · ≈ 53,85 € 16.000 ¥ · = · =2.000 €
1,3 $ 1,3 $ 8¥ 8 ¥
31. Con las equivalencias del cuadro anterior, cambia 1.200 € a libras, bolivianos, yenes y Dirhams:
32. Con las equivalencias del cuadro anterior, cambia a euros las siguientes cantidades:
a) 390 $ b) 4051,5‫ﺩﺭﻫﻡ‬ c) 104.800 ¥ (yenes) d) 5.103 Bs
33. Jessica se quiere comprar una tablet. En España cuesta 350 €, en Estados Unidos 400 $ y 60 $ de
transporte, en China 2.700 ¥ y 200 ¥ de transporte. ¿Dónde es más barato comprar la tablet?
34. Ramiro se comunica regularmente con amigos por internet: John, de Escocia; Irina, de Bolivia y Taiko
de Japón. Quiere comprar una bici que cuesta 200 €. Les quiere decir a cada uno de sus amigos el
precio en su moneda nacional. Realiza los cálculos.

119


La primera definición de kilogramo se decidió
Curiosidad respecto del metro: durante la Revolución Francesa y
especificaba que era la masa de un dm3 (un
¿Sabes que existe una longitud mínima en la litro) de agua destilada al nivel del mar y 3,98
naturaleza y que nada puede medir menos que grados centígrados.
ella?
Hoy se define como la masa que tiene el
Se llama la longitud de Planck y es muy prototipo internacional, compuesto de una
pequeña, del orden de 1,6 ∙ 10^‐35 m, es decir, aleación de platino e iridio que se guarda en
¡0 coma y luego 35 ceros y después un 16 la Oficina Internacional de Pesas y Medidas.
metros!
Otra cosa respecto del tiempo y los segundos:
Por razones históricas, para tiempos de 1 s o más, se usan
minutos y horas, pero para menos de 1 s, como
históricamente nunca se han podido medir, no existían
unidades y se usó el sistema decimal, por eso se habla de
decimas o milésimas de segundo, pero nunca de un
“kilosegundo”.
Tirando millas
La milla náutica (1.852 metros) es distinta de la
milla terrestre (1 609 metros), porque la velocidad
en los barcos se mide en "nudos". Para medir la
velocidad se tiraba una cuerda especial con muchos
nudos por detrás del barco, y se miraba cuantos se
quedaban flotando: el número de nudos que flotan
indica la velocidad. Una milla náutica se definió
como la distancia que navega un barco a una
velocidad de un nudo durante una hora, por eso no

coincide con la milla terrestre.
120

RESUMEN
Magnitud Una magnitud se puede medir en distintas unidades de medida.
La distancia (magnitud) se puede medir en metros, centímetros, kilómetros,... (distintas unidades de medida)
Longitud: ꞏ10 ꞏ10 ꞏ10 ꞏ10 ꞏ10 ꞏ10

metro :10 :10 :10 :10 :10 :10

0,32 km = 32 m = 3.200 cm 3.400 mm = 34 dm = 0,34 dam
Superficie:
ꞏ100 ꞏ100 ꞏ100 ꞏ100 ꞏ100 ꞏ100
metro km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
:100 :100 :100 :100 :100 :100
cuadrado
0,0014 km2 = 0,14 hm2 = 14 dam2 23.000 mm2 = 230 cm2 = 2,3 dm2 = 230 dm2

U. agrarias 1 ha = 1 hm2 1 a = 1 dam2 1 ca = 1 m2
5 km2 = 500 hm2 = 500 ha 13.000 m2 = 13.000 ca= 1,3 ha
Volumen:
ꞏ1000 ꞏ1000 ꞏ1000 ꞏ100 ꞏ1000
metro km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
:1000 :1000 :1000 :1000 :1000
cúbico
3,2 hm3 = 320 dam3 = 32.00 m3 2.800 mm3 = 28 cm3 = 0,28 dm3
ꞏ10 ꞏ10 ꞏ10 ꞏ10 ꞏ10 ꞏ10
El litro kL hL daL L dL cL mL
:10 :10 :10 :10 :10 :10

3,7 kL = 37 hL = 370 daL = 3.700 L 85 mL = 8,5 cL = 0,85 dL = 0,085 L
Litros y m3. 1 kL = 1 m3 1 L = 1 dm3 1 mL = 1 cm3
4,5 cL = 45 mL = 45 cm3 3 hL = 0,3 kL = 0,3 m3 3 hL = 300 L = 300 dm3
Masa: ꞏ10 ꞏ10 ꞏ10 ꞏ10 ꞏ10 ꞏ10
kilogramo :10 :10 :10 :10 :10 :10

2300 kg = 2,3 t 0,23 dag = 2,3 g = 2.300 mg 5,3 hg = 53.000 cg
Medida de Un grado = 1° = 1 / 360 parte de un ángulo completo. Minuto: 1 minuto = 1´ = 1/60 parte de
ángulos un grado. Segundo: 1 segundo = 1´´ = 1/60 parte de un minuto
Unidades Un día es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta alrededor de su eje.
Un año es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol.
de tiempo
Un día tiene 24 horas. Una hora tiene 60 minutos. Un minuto tiene 60 segundos
Unidades
1 € = 0,86 £ = 9 Bs = … (varía constantemente)
monetarias
0,86 £ 200 ·0,86 € ·£ 1 Bs 1.800 ·1 Bs ·€
200 €=200 € · = · =172 £ 1.800 Bs=1.800 Bs · = · =1.800 €
1€ 1 € 9 Bs 9 Bs

121

Unidades de longitud
1. Descompón en sus distintas unidades:
a) 3945,67 cm b) 415,95 mm c) 5148 m d) 67,914 km e) 0,82 dam
2. Completa con el número o unidad correspondiente:
a) 50 m = _______ hm = 5000 _______ b) 300 hm = 30 _____ = ___________ m
c) _____ dm = _______ m = 2300 mm d) 40 km = 4000 ____ = ___________ dm
3. Ordena de menor a mayor: 2,7 m; 30 cm; 0,005 km; 2600 mm; 0,024 hm; 26 dm.
4. Calcula la longitud que falta o sobra para tener a 1 m:
a) 27 cm b) 300 mm + 25 cm c) 0,00034 km + 0,22 dam d) 0, 3 m + 27 cm + 120 mm
5. Unos amigos están planeando hacer el Camino de Santiago andando desde Frómista (Palencia). La
distancia a recorrer es de unos 400 km. Ellos calculan que a un paso cómodo pueden andar 5 km en
cada hora. Si piensan andar 6 horas al día, ¿cuántos días tardarán en hacer el camino?
6. Rebeca y su compañera de clase han comprobado que el grosor de un paquete de 500 folios mide 6
cm. ¿Cuál es el grosor de un folio? ¿Cuántos folios hay en una caja de 21 cm de alto?
7. Un parque rectangular mide 100 m de largo y 75 m de ancho. Juan quiere correr 5 km. ¿Cuántas
vueltas al parque debe de dar?
8. Expresa en U.A.
a) 38.000 km b) 8.000 m c) un millón de micras d) dos millones de metros
Unidades de superficie
9. Completa las siguientes igualdades
a) 3,5 dam2 = ______ m2 = ______ dm2 b) 0,08 km2 = _______ m2 = _____ cm2
c) 32 cm2 = _____ dm2 = ______ dam2
d) 6075 m2 = _____ dm2 = ______ hm2
10. Expresa las siguientes superficies en las unidades que se indican en cada caso:
a) 3 m2 2 cm2 5 mm2 en decímetros cuadrados b) 6 dam2 2 dm en metros cuadrados
c) 9,3 hm2 5 m2 6 cm2 en decámetros cuadrados d) 7 dm2 5 dam2 en milímetros cuadrados
11. Dibuja en tu cuaderno el contorno de tu mano.
a) Recorta después un cuadrado de 1 cm de lado y estima, en centímetros cuadrados, la superficie
de tu mano.
b) Si utilizas un papel normal de 60 g/m2, y dibujas tu mano como en el ejercicio anterior y lo
recortas, al pesar el papel con un peso muy preciso, obtienes de nuevo la superficie de la mano.
(¡Antes de los ordenadores se calculaban así, con papel y tijeras, algunas superficies!). ¿Cuánto
mide en cm2?
12. La superficie de China es de 9560000 km2. ¿Cuántas ha tiene?
122

13. Expresa en hectáreas:
a) 3,2 km2 b) 1.000 ca c) 600.000 dam2 d) 824 m2 e) 67 a f) 200 mm2.
14. Expresa las siguientes superficies en áreas:
a) 800 ha b) 261 ca c) 3 ha 3 a 3ca d) 37 m2.
15. El padre de Juan quiere comprar un terreno de 7,3 ha a 3,2 € cada m2. ¿Cuánto le va a costar?
Unidades de volumen y de capacidad
16. Piensa en un cubo de lado una unidad. Piensa ahora en un cubo del doble de lado. ¿Cuántos cubitos
de los primeros son necesarios para obtener ese cubo?
17. Expresa en metros cúbicos: 28,7 hm3 5 m3 2.800 dam3 45 dm3.
18. Expresa en litros:
a) 8,1 hL b) 451 mL c) 2,3 kL d) 0,528 kL e) 6,25 cL f) 7,2 mL
19. Completa las siguientes igualdades:
a) 2 m3 = ______ L b) 33 cL = ______ dm3 c) 500 mm3 = _______ mL
d) 230 mL = _____ dm3 e) 0,02 hm3 = _____ L f) 0,016 hL = _______ m3
g) 0,35 dm3 = ____ mL h) 230 cL = ______ cm3 i) 0,25 hm3 = ______ kL
20. En una urbanización se recoge cada semana 27 m3 de residuos sólidos. Si viven 42 familias, ¿cuántos
litros estimas que produce cada familia al día?
Unidades de masa
21. ¿Qué tiene más masa, un kg de papel o un kg de plomo?
22. Expresa en gramos las siguientes masas:
a) 2,7 dag b) 51,3 kg c) 35,7 kg 8,6 dag d) 3 dag 5 g 26,29 dg
23. Copia en tu cuaderno y completa:
a) 1 g = ... dg = ... cg = ... mg = … dag b) 1 kg = ... hg = ... dag = ... g = … cg = … mg
c) 1 tm = ... kg = ... g = … hg = … dag d) 1 qm = ... kg = ... g = … tm = … hg = … cg
24. Copia en tu cuaderno la tabla siguiente y complétala:
0,943 hg
75282,9 dg
64,92 kg
4375 dag
369266 cg
25. La densidad se define como el cociente entre la masa y el volumen. El oro tiene una densidad de
19,3 y la plata de 10,5. Dos pulseras de igual masa, una de palta y otra de oro, ¿Cuál tendrá mayor
volumen?
123

Medida de ángulos
26. Un ángulo mide la quinta parte de un recto. Expresa esta medida en grados, minutos y segundos.
27. Calcula :
a) 36o 57´ 37´´ + 45 o 18´ 54´´ b) 46 o 37´ 35´´+ 82 o 32´ 41´´ + 43 o 5´´
c) 26o 34' + 84o 21'' + 81 o 39´ 49´´ d) 56 o 54´ 56´´  23 o 59´ 96´´
e) 78 o 5´ 34´´  26o 5´ 47'' f) 44 o 43´ 2 ´´  26 o 47´ 31''
28. La suma de dos ángulos es 236o 57' 46''. Si uno de ellos mide 68o 57' 58'', ¿cuánto mide el otro?
Unidades de tiempo
29. Joaquín va cada día a la escuela y tarda 15 minutos en el trayecto. Si el curso tiene 50 semanas y va
de lunes a viernes, ¿cuánto tiempo gasta en un año en ese trayecto? Estima el tiempo que tu utilizas.
30. Si duermes 8 horas al día, ¿cuántas horas has dormido en una semana? ¿Y en un año? Esas horas,
¿cuántos días son?
31. Enrique va cada día a la escuela y tarda 20 minutos en el trayecto. Si el curso tiene 30 semanas y va
de lunes a viernes, ¿cuántos segundos gasta en un año en ese trayecto? Estima el tiempo que tu
utilizas en horas.
32. Si duermes 8 horas al día, ¿cuántos minutos has dormido en una semana?, ¿y cuántos segundos?
¿Cuántos minutos en un año? ¿Y segundos?
33. Siete guardas de seguridad deben repartirse por igual un servicio de vigilancia de 24 horas. Expresa
en horas y minutos el tiempo que debe permanecer vigilando cada uno de ellos
Unidades monetarias
34. Con la siguiente tabla de equivalencias, cambia dos mil euros a dólares, libras, yuanes y soles.
Euros (€) Libras (£) Dólares ($) Soles (S/) Bolivianos (Bs) Yenes (¥) Yuanes (¥) Dírhams (MAD)
1 0,86 1,3 3,6 9 131 8 11,1

35. Sara tiene amigos por todas partes. Ha comprado un ordenador que cuesta 400 €. Les quiere decir a
sus amigos el precio en su moneda nacional. A) ¿Qué diría al de Japón? B) ¿Y al de Marruecos? C) ¿Y
al del Reino Unido? Realiza los cálculos.
36. Con las equivalencias del cuadro adjunto, cambia a euros las siguientes cantidades:
Euros (€) Libras (£) Dólares ($) Soles (S/) Bolivianos (Bs) Yenes (¥) Yuanes (¥) Dírhams (‫)ﺩﺭﻫﻢ‬
1 0,86 1,3 3,6 9 131 8 11,1

a) 4025 Dólares b) 5162 Libras c) 215,925 ¥ (yenes) d) 6.214 Bs
37. Pedro se quiere comprar un móvil que en España cuesta 500 €, en Estados Unidos 500 $ y 50 $ por
el transporte, en China 3900 ¥ y 150 ¥ de transporte. ¿Dónde es más barato comprar ese móvil?

124

AUTOEVALUACIÓN
1. Un cubo de 3 cm de lado, ¿qué volumen tiene?
a) 9 cm3 b) 0,27 dm3 c) 0,003 m3 d) 27 cm3.
2. De las siguientes medidas, ¿cuál es la mayor?
a) 5,78 daL b) 578 L c) 5,78 kL d) 0,578 hL.
3. El resultado de sumar 0,07 kg + 0,62 dag + 9,3 hg es:
a) 1000 g b) 1 kg 62 g c) 10 hg 62 g d) 1006,2 g.
4. La medida más adecuada para expresar el volumen del contenido de una taza es:
a) 2 L b) 2 cL c) 200 cm3 d) 2000 mL
5. Gladys ha vuelto de un viaje de Estados Unidos con 650 $ en metálico. Los cambia a euros y éstos los
cambiará a soles en un nuevo viaje a Perú. ¿Cuántos soles tendrá?
a) 3042 S/ b) 1800 S/ c) 235 S/ d) 140 S/
6. Una jarra de 2 litros de agua pesa vacía 200 g. Si se llena las 3/4 partes de la jarra, ¿cuánto pesa?
a) 1500 g b) 1,7 kg c) 16 hg d) 10,7 kg
7. El número de segundos de una semana es:
a) 25200 s b) 604800 s c) 602520 s d) 10080 s
8. El número de segundos de un día es:
a) 1440 s b) 85931 s c) 86400 s d) 10080 s
9. Transforma a segundos: 2 grados, 45 minutos y 3 segundos.
a) 9903 s b) 2070 s c) 99030 s d) 10303 s
10. Juan ha cambiado mil euros a dólares, estando el cambio a 1,31 dólar el euro, ¿cuántos dólares le
han dado?
a) 131 $ b) 1310 $ c) 763 $ d) 1257 $
1º ESO CAPÍTULO 7: FIGURAS PLANAS


Autora: Milagros Latasa Asso
Revisoras: Fernanda Ramos y Nieves Zuasti
Ilustraciones: Adela Salvador y Milagros Latasa

126
Figuras planas 2º de ESO
Índice
1. ELEMENTOS DEL PLANO
1.1. PUNTOS, RECTAS, SEMIRRECTAS, SEGMENTOS.
1.2. RECTAS PARALELAS Y SECANTES.
1.3. ÁNGULOS. TIPOS DE ÁNGULOS.
1.4. MEDIDA DE ÁNGULOS.
1.5. SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL.
1.6. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS.
1.7. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
1.8. RECTAS PERPENDICULARES. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO.
1.9. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO.
1.10 PRIMEROS PASOS CON GEOGEBRA
2. POLÍGONOS
2.1. LINEAS POLIGONALES Y POLÍGONOS.
2.2. ELEMENTOS DE UN POLÍGONO: LADOS, ÁNGULOS. DIAGONALES, VÉRTICES
2.3. CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS
3. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
3.1. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
3.2. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA..
3.3. SECTOR CIRCULAR, SEGMENTO CIRCULAR, CORONA CIRCULAR.
3.4. POSICIONES ENTRE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA.
3.5. PROPIEDADES IMPORTANTES
4. TRIÁNGULOS
4.1. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
4.2. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE UN TRIÁNGULO.
4.3. IGUALDAD DE TRIÁNGULOS
4.4. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO.
5. CUADRILÁTEROS
5.1. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS
5.2. PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS.
Resumen
En los mosaicos de la Alhambra como el de la fotografía puedes
observar distintas figuras geométricas como rectas paralelas y
rectas secantes, estrellas de 5 y de 10 puntas, polígonos…
En este capítulo vas a revisar tus conocimientos de geometría y a
aprender muchas cosas nuevas sobre las figuras geométricas
planas lo que te va a permitir ver con unos ojos nuevos el mundo
que te rodea observando rectas paralelas en los edificios, ángulos
interiores o exteriores, o como en el mosaico anterior, los motivos
geométricos que lo forman. Estas formas geométricas pueden
permitirte diseñar interesantes decoraciones.

Matemáticas 1º ESO. Capítulo 8: Figuras planas Autora: Milagros Latasa Asso
www.apuntesmareaverde.org.es Revisoras: Fernanda Ramos y Nieves Zuasti
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1. ELEMENTOS DEL PLANO
1.1. Puntos, rectas, semirrectas, segmentos.
El elemento más sencillo del plano es el punto. El signo de puntuación que tiene este mismo nombre
sirve para dibujarlo o también un pequeño círculo si
queremos destacarlo. Es muy útil nombrarlo y para
ello se utilizan letras mayúsculas A, B, C,…
Al igual que el punto, la recta es un objeto
elemental del plano. Constituye una sucesión infinita
de puntos alineados en una misma dirección. Las
rectas se nombran con letras minúsculas r, s, t,…
Imagina que cada uno de los límites de la hoja de Una semirrecta es cada una de las partes en las que
tu cuaderno, de la pizarra o de cada una de las queda dividida una recta por un punto que
paredes de la habitación en la que estás, se pertenece a ella. El punto se denomina origen. Las
prolonga indefinidamente sin cambiar su semirrectas se nombran con letras minúsculas o
inclinación o posición. Los objetos resultantes referenciando su origen: semirrecta de origen O,
serían ejemplos de planos.
semirrecta p, …
Para representarlos y estudiar bien sus
elementos, nos quedaremos solo con una parte de
Un segmento es la porción de recta comprendida
cada uno. Por ejemplo, en los casos anteriormente entre dos puntos de la misma. Los puntos se llaman
citados, con la misma hoja, la pizarra o la pared tal extremos. Los segmentos se nombran mediante sus
como las vemos. extremos, por ejemplo: segmento AB o segmento de
extremos A, B.
Ejemplo:
A Recta r Semirrecta de origen E
E
B Recta s
Segmento FG
F G
C
N
D
Semirrecta de origen D
Segmento CM O
M P

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Copia en tu cuaderno el siguiente dibujo y realiza las siguientes actividades.
1. Dibuja tres segmentos que tengan sus Recta r
extremos fuera de las rectas r y s. N
B
2. ¿El punto B pertenece a la recta s? ¿Y a A G
la recta r?
M
3. Dibuja un segmento que tenga como C
D
E
F
extremos A y un punto que esté en las Recta s
rectas r y s
4. Dibuja una semirrecta de origen C y que
pase por B.
5. ¿Es posible dibujar una recta que pase a la vez por M, F y G? ¿Y por N, A y E?

1.2. Rectas paralelas y secantes
Pensemos ahora en las diferentes posiciones que pueden ocupar dos rectas en un plano:
Rectas paralelas: No tienen ningún punto común

Rectas secantes: Tienen un único punto común

Rectas coincidentes: Todos sus puntos son comunes

Por un punto P exterior a una recta r solo puede trazarse una recta paralela a ella e infinitas secantes.
Ejemplo:
A nuestro alrededor encontramos objetos cotidianos en los que se aprecian paralelas y
secantes

129
6. Dibuja cuatro rectas de modo que haya dos paralelas, dos perpendiculares y dos secantes no
perpendiculares.
7. Observa el siguiente dibujo e indica qué rectas son paralelas a r y qué rectas son secantes a r.
Recta 2 Recta 3 Recta 4 Recta 5 Recta 6 Recta 7

Recta r
Recta 1 Recta 8
Recta 9
Recta 10

1.3. Ángulos. Tipos de ángulos
Se llama ángulo a la región del plano limitada por dos semirrectas con un origen común. Las
semirrectas que lo limitan se llaman lados y el origen A
vértice.
Vértice
Para nombrar un ángulo podemos utilizar una sola letra o O  Lados
bien tres, que serán nombres de tres puntos: el primero y O
el último puntos sobre los lados del ángulo y el central el
vértice. En ambos casos se coloca encima el símbolo ^. B
 
En el ángulo del dibujo: O = AOB
Asociados a semirrectas especiales definiremos tres
ángulos que nos servirán tanto como referencia para clasificar los demás, como para definir una de las
medidas angulares más utilizadas. Nos referimos a ángulos completos, llanos y rectos.
Ángulo completo: Es el definido Ángulo llano: Es la mitad de un Ángulo recto: Es la mitad de

por dos semirrectas iguales. ángulo completo. un ángulo llano.

130

Se llaman ángulos consecutivos a dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común. Un caso
particular son los ángulos adyacentes que son ángulos consecutivos cuyos lados no comunes forman
un ángulo llano.
Se llaman ángulos opuestos por el vértice a los ángulos que tienen el mismo vértice y tales que los
lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice son
iguales.

Ejemplo:

Consecutivos Adyacentes Opuestos por el vértice
131
8. Nombra cada uno de estos ángulos según su abertura:
c) e)

b) d)
a)
9. Indica todas las parejas de ángulos adyacentes, consecutivos y opuestos por el vértice que se
encuentran en el siguiente dibujo:

1.4. Medida de ángulos
Para medir ángulos utilizamos el llamado sistema sexagesimal. La unidad de medida es el grado
sexagesimal. Se representa con el símbolo ° y se define como 1/360 de un ángulo completo.
1 ° = 1 / 360 parte de un ángulo completo
El grado sexagesimal tiene dos divisores:
Minuto 1 minuto = 1 ´ = 1/ 60 parte de un grado
Segundo 1 segundo = 1 ´´ = 1 / 60 parte de un minuto
Las unidades de este sistema aumentan y disminuyen de 60 en 60, por eso el sistema se llama
sexagesimal.
Si un ángulo viene expresado en dos o tres de estas
Recuerda estas relaciones:
unidades, se dice que está expresado en forma compleja. En
la forma incompleja de la medida de un ángulo aparece una 1 ángulo completo = 360 °
sola unidad. 1 ángulo llano = 180°
El paso de una a otra forma se realiza mediante 1 ángulo recto = 90°
multiplicaciones o divisiones por 60, según haya que
1 ° = 60 minutos = 3600 segundos
transformar una unidad de medida de ángulos en la unidad
inmediata inferior o superior. 1 minuto = 60 segundos

132
Ejemplo:
Forma compleja: A= 12o 40 ´ 32´´ B= 13´ 54´´ C= 120 o 23´´
Forma incompleja: D =35000´´ E= 23 o F = 34´
Ejemplo:
Pasaremos el ángulo D del ejemplo anterior a forma compleja:
35000´´ 60 583´ 60 D = 35000´´ = 583´ 20´´= 9 o 43´ 20´´
500 583´ 43´ 9 o
200
20´´
Ejemplo:
A = 12 o 23´10´´ = 12. 3600´´+23.60´´+ 10´´ = 44590 ´´

10. Pasa a forma compleja los siguientes ángulos
a) 12500´´ b) 83´ c) 230´´ d) 17600 ´´
11. Pasa de forma compleja a forma incompleja
a) 12 o 34´ 40´´ b) 13 o 23´ 7 ´´ c) 49 o 56´ 32 ´´ d) 1 o 25´ 27 ´´
EXPRESIÓN EN SEGUNDOS EXPRESIÓN EN MINUTOS Y SEGUNDOS EXPRESIÓN EN GRADOS, MINUTOS Y SEGUNDOS
8465”
245 ´ 32 ´´
31 o 3´ 55 ´´

1.5. Suma y resta de ángulos en el sistema sexagesimal
Para sumar ángulos expresados en el sistema sexagesimal, se colocan los sumandos haciendo coincidir
grados, minutos y segundos, después se suman las cantidades correspondientes a cada unidad. Si los
segundos sobrepasan 60, se transforman en minutos y se suman a los minutos resultantes de la
primera fase de la suma. Si los minutos sobrepasan 60, los transformamos en grados y se suman a los
grados anteriormente obtenidos.
Ejemplo 7:
24o 43´ 29´´ 77´´ 60 73´ 60
45o 29´ 48´´ 17´´ 1´ 13´ 1ó
69o 72´ 77´´ Nº minutos = 72´+ 1´= 73´ Nº de grados= 69o + 1o = 70o
24o 43´ 29´´ + 45o 29´ 48´´ = 69o 72´ 77´´ = 69o 73´ 17´´ = 70o 13´ 17´´
133
Para restar datos de medida de ángulos, ángulos expresados en el sistema sexagesimal, se colocan el
minuendo y el sustraendo haciendo coincidir grados, minutos y segundos, después restamos. Si en
alguna columna el minuendo es menor que el sustraendo, se pasa una unidad inmediatamente superior
a la que presente el problema para que la resta sea posible.
Ejemplo:

65o 48´ 50´´
45o 29´ 48´´ 65o 48´ 50´´ ‐ 45o 29´ 48´´= 20o 19´ 2´´
20o 19´ 2´´
Ejemplo:
37o 60´ 71´ 60´´
38o 12´ 14´´ 37o 72´ 14´´ 37o 71´ 74´´
15o 15´ 15´´ 15o 15´ 15´´ 15o 15´ 15´´
22o 56´ 59´´
38o 12´ 14´´ ‐15o 15´ 15´´= 37o 72´ 14´´‐ 15o 15´ 15´´= 37o 71´ 74´´‐ 15o 15´ 15´´=
= 22o 56´ 59´´
13. Calcula:
a) 34o 45´ 30´´ + 12 o 27´ 15´´ b) 16 o 30´ 1´´+ 12 o 13´ 12´´ + 2 o 1´
c) 16 o 45' + 23 o 13'' + 30 o 20´ 30´´ d) 65 o 48´ 56´´ ‐ 12 o 33´ 25´´
e) 35 o 54´ 23´´ ‐ 15 o 1´ 35'' f) 43 o 32´ 1 ´´ ‐ 15 o 50´ 50''

1.6. Ángulos complementarios y suplementarios
Se llaman ángulos complementarios a dos ángulos cuya suma es un ángulo recto (90 o)
Se llaman ángulos suplementarios a dos ángulos cuya suma es un ángulo llano (180 o)
Ejemplo:
En la figura aparecen dos ejemplos gráficos:
A y B son ángulos complementarios. C y D son B
suplementarios. C
A D
Ejemplo:
El ángulo 𝐴 = 12 o es el complementario de
𝐵= 78 o y el suplementario de 𝐶 = 168 o
134

14. . Copia en tu cuaderno y dibuja el complementario del ángulo 𝐴 y el suplementario del ángulo 𝐵.
15. Calcula los ángulos complementario y suplementario de:
A
B a) 35 o 54´ 23´´ b) 65 o 48´ 56´´
c) 43 o 32´ 1 ´´ d) 30 o 20´ 30´´

16. Indica si las siguientes parejas de ángulos son complementarios,
suplementarios o ninguna de las dos cosas:
a) 15 o 34´ 20´´ y 164 o 25´ 40´´ b) 65 o 48´ 56´´ y 24 o 12´ 4´´ c) 43 o 32´ 1 ´´ y 30 o 26´ 59´´

1.7. Ángulos en la circunferencia
En una circunferencia tienen especial importancia los ángulos centrales (tienen su vértice en el centro
de la circunferencia) y los ángulos inscritos (tienen su vértice en un punto de la circunferencia).

Ángulo central Ángulo inscrito Â
B̂ 
2
Se verifica además que un ángulo inscrito mide la mitad que un ángulo central que abarca el mismo arco
de circunferencia.
Demostración:
Trazamos un ángulo inscrito en la circunferencia CAB que tenga un
lado que pase por el centro O de la circunferencia. Trazamos su
central COB. El triángulo OAC es isósceles pues dos de sus lados
son radios de la circunferencia. Trazamos por O una recta paralela
a AC. El ángulo CAO es igual al ángulo DOB pues tienen sus lados
paralelos. El ángulo ACO es igual al ángulo COD por alternos
internos entre paralelas, y es igual al ángulo CAO por ser el
triángulo isósceles. Por tanto el central mide el doble que el
ángulo inscrito.

135

17. Un ángulo inscrito en la circunferencia que abarca un diámetro es un
ángulo recto. ¿Por qué? Razona la respuesta.
18. ¿En qué posiciones tiene un futbolista el mismo ángulo de tiro que
desde el punto de penalti?

1.8. Rectas perpendiculares. Mediatriz de un segmento
Dos rectas son perpendiculares si forman un ángulo recto. . Es un caso
especial de rectas secantes.
Para construir una recta perpendicular a una recta dada r, se adapta un r
cartabón a r y sobre él se apoya uno de los lados que forma el ángulo
recto (cateto) de la escuadra. El otro cateto de la escuadra nos sirve para
realizar la construcción deseada. También pueden cambiarse las funciones
de escuadra y cartabón.
La mediatriz de un segmento AB es la recta perpendicular a AB
trazada desde el punto medio
Todos los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan, es
decir, están a la misma distancia, de los extremos.
Con un compás y una regla podemos trazar fácilmente la
mediatriz de un segmento dado. Debemos seguir los pasos
Se dibuja el segmento AB.
Con centro en A y con radio R mayor que la mitad del
segmento, se traza un arco que corte al segmento AB.
Con el mismo radio se traza un arco de centro B.
Se unen los puntos comunes de los dos arcos. Esta recta es
la mediatriz.

19. ¿Es posible dibujar tres rectas, secantes dos a dos de modo que haya exactamente: a) Una pareja
de rectas perpendiculares b) ¿Dos parejas de rectas perpendiculares c) ¿Las tres parejas de
rectas sean perpendiculares
20. Dibuja la mediatriz de un segmento de 6 cm de longitud.
21. Dibuja un segmento de longitud 8 cm, su mediatriz y una recta perpendicular al segmento de
partida que esté a una distancia de 5 cm de la mediatriz. ¿Qué posición ocupa esta recta con
respecto al segmento de partida?

136
1.9. Bisectriz de un ángulo

La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales.
Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los 2 lados del
ángulo. Puedes observar que en la figura del ejemplo
adjunto que CP = DP.
C
Para trazar la bisectriz de un ángulo de vértice O, se traza
A
un arco haciendo centro en O que determina dos puntos, A Bisectriz
y B. A continuación, con centros en A y B respectivamente y P
con radio fijo mayor que la mitad de la distancia AB, O
trazamos dos arcos. Estos se cortan en un punto, que unido
con el vértice O nos da la bisectriz. B CP = DP.
D
Dos rectas secantes determinan cuatro ángulos y sus
bisectrices se cortan conformando ángulos rectos entre
ellas.

Ejemplo:
En la figura inferior observamos que las bisectrices de los ángulos que forman r y s son
perpendiculares.

Actividades propuestas Bisectriz ángulos
obtusos

r
22. Utilizando un transportador de ángulos, una regla y
un compás, dibuja los ángulos que se indican y la
bisectriz de cada uno de ellos:
Bisectriz ángulos
a) 45o b) 130o c) 70o d) 45o agudos

s

137
1.10. Primeros pasos con Geogebra
La ventana de Geogebra
Al ejecutar el programa Geogebra la ventana que aparece tiene muchos componentes comunes con
cualquier ventana de Windows.
El elemento más característico de este programa es la barra de herramientas en la que aparecen
iconos. Cada uno de ellos se activa al hacer clic con el ratón sobre él y se desactiva cuando se selecciona
otro. Estos primeros iconos que aparecen se corresponden con la primera opción que encontramos en
el menú desplegable que se obtiene al mantener pulsado el ratón sobre cada uno de ellos.
Otra particularidad es que el área de trabajo está dividida en dos partes la ventana geométrica, donde
se realizan las construcciones geométricas, y la ventana algebraica en la que aparecen características
de los elementos que se construyen en la ventana geométrica como son las coordenadas de los puntos,
las longitudes de los segmentos, el área de los polígonos, las ecuaciones de rectas, circunferencias, ….
También se pueden realizar operaciones introduciendo los números o el nombre de los elementos en el
Campo de Entrada que se encuentra en la parte inferior de la ventana, los resultados aparecen en la
ventana algebraica. Con las opciones de Visualiza de la barra de menús se puede ocultar o mostrar, la
ventana algebraica, el campo de entrada así como los ejes y la cuadrícula de la ventana geométrica.
Los iconos Deshace y Rehace que se encuentran en la parte superior derecha de la ventana geométrica
y como opciones del menú Edita permiten eliminar o volver a mostrar una acción realizada.
El menú contextual, el que se obtiene al hacer clic con el botón derecho del ratón sobre el objeto de la
ventana geométrica o de la algebraica, tiene múltiples posibilidades, permite entre otras funciones
borrar, ocultar, cambiar el nombre y modificar la apariencia de los objetos construidos.

138
Elementos geométricos
Antes de comenzar comprueba en la opción del menú Visualiza
que está activada la ventana algebraica y desactiva ejes y
cuadrícula.
 Con la herramienta Nuevo punto dibuja un punto en la
ventana geométrica, el sistema lo denomina A y sus
coordenadas aparecen en la ventana algebraica, en la carpeta
de los objetos libres.
 Dibuja otro punto B y con la herramienta Segmento entre dos puntos traza el segmento, a, que pasa
por los puntos A y B. En la ventana algebraica aparece la longitud del segmento en la carpeta de objetos
dependientes.
 Con la herramienta Desplaza, la primera de la barra de
herramientas, agarra el punto B y cambia su posición, observa
de qué forma cambian sus coordenadas y la longitud del
segmento.
 Dibuja otro
punto C, que no
pertenezca al
segmento, y con la
herramienta Recta
que pasa por 2
puntos traza la recta, b, que pasa por A y C.
 Activa la herramienta Ángulo y señala con el ratón los
puntos B, A y C, obtienes la medida del ángulo que has
señalado. El orden para señalar los puntos B y C debe ser el
contrario al de las agujas del reloj.
Rectas paralelas y perpendiculares
Con la herramienta Recta paralela traza una recta, c, que pasa
por el punto B y es paralela a la recta b que pasa por los puntos
A y C.
 Utiliza la herramienta Recta perpendicular para trazar una
recta, d, que pasa por el punto B y es perpendicular a la recta b.
 Calcula la medida del ángulo que forman las rectas b y d.
 Con la herramienta Desplaza, mueve los puntos A, B y C y
observa que cambian de posición pero se mantienen las
propiedades geométricas de la construcción, por ejemplo, las rectas b y c permanecen paralelas entre sí
y perpendiculares a la recta d.
139
Ángulos
Abre una nueva ventana de Geogebra, en el menú Visualiza desactiva
Ejes y Cuadricula
 Determina tres puntos A, B y C, no alineados, la recta, a, que pasa
por A y B y la recta, b, que pasa por los puntos A y C.
 Traza la recta paralela, c, que pasa por B y es paralela a la recta a.
 Calcula la medida del ángulo, α, que determinan los puntos B, A y C, señalando los puntos B y C en
orden contrario al sentido de las agujas del reloj.
 Elige un punto D de la recta a y otro E de la recta b para determinar y medir un ángulo, β, opuesto
por el vértice al ángulo α.
 Determina y mide un ángulo γ tal que los ángulos α y γ
sean correspondientes entre paralelas y con la opción
propiedades del menú contextual cambia su color.
 Determina y mide un ángulo δ tal que los ángulos α y δ
sean alternos internos entre paralelas y con la opción
propiedades del menú contextual cambia su color.
 Con la herramienta Desplaza, mueve los puntos A, B y C
y observa que cambian de posición pero los ángulos α, β, γ y δ miden lo mismo.
 Indica dos ángulos de los que has dibujados que sean alternos externos entre paralelas.

23. Repite la actividad resuelta de elementos geométricos. Colócate encima del segmento a, aprieta el
botón derecho, entra en Propiedades y modifica el color, haz que sea rojo. Lo mismo con la recta b,
pero ahora coloréala en azul. Mueve el punto B para observar cómo se modifican las longitudes y
el ángulo.
24. Dibuja con Geogebra cuatro rectas de modo que haya dos paralelas, dos perpendiculares y dos
secantes no perpendiculares.
25. Dibuja con Geogebra dos rectas paralelas cortadas por una secante y mide todos los ángulos que
se formen.
26. Dibuja con Geogebra dos ángulos con lados paralelos y comprueba que miden lo mismo.
27. .Dibuja con Geogebra dos ángulos con lados perpendiculares y comprueba que miden lo mismo.
28. Dibuja con Geogebra dos ángulos que sean complementarios y dos que sean suplementarios.
29. Dibuja con Geogebra un ángulo inscrito en la circunferencia y el central que abarca el mismo arco.
Comprueba que el ángulo inscrito mide la mitad del central. Mueve uno de los puntos sobre la
circunferencia y comprueba que esa relación permanece.
140
2. POLÍGONOS
2.1. Líneas poligonales y polígonos.
Una línea poligonal es una colección de segmentos consecutivos. Esto quiere decir que el primer
segmento tiene un extremo común con el segundo. El extremo libre del segundo es común con el
tercero y así sucesivamente.
Si los extremos libres del primero y del último coinciden, se dice que la línea poligonal es cerrada. En
caso contrario, es abierta.
Un polígono es una región del plano limitada por una línea poligonal cerrada.
Ejemplo:

Líneas poligonales Polígonos
cerradas y abiertas

2.2. Elementos de un polígono: lados, ángulos, vértices, diagonales

Se llama lado de un polígono a cada uno de los
Vértice
segmentos que forman la línea poligonal que lo
limita.
Lado
Los ángulos limitados por dos lados
Lado
consecutivos son los ángulos interiores del
Vértice
polígono.
Diagonal Diagonal
Los ángulos limitados por un lado y la
prolongación del lado consecutivo son los
ángulos exteriores del polígono
Ángulo interior
Los puntos en los que se cortan los lados se Ángulo exterior
llaman vértices.
Cada uno de los segmentos que une dos
vértices no consecutivos se llama diagonal.
141
Cualquier polígono tiene el mismo número de lados, de ángulos interiores y de vértices.
Dos polígonos son iguales si tienen los lados y los ángulos iguales. En algunos casos basta con saber que
se cumplen condiciones menos exigentes (llamadas criterios de igualdad) para garantizarlo. Veremos
por ejemplo tres criterios de igualdad de triángulos.
30. Copia los dibujos siguientes y traza todas las diagonales de cada polígono:
a) b) c) d)

2.3. Clasificación de los polígonos
Según los ángulos los polígonos se clasifican en dos grandes grupos:

Convexos Cóncavos
Si todos sus ángulos son convexos. Si al menos uno de sus ángulos es cóncavo
Por el número de lados, los polígonos se clasifican en

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono

Tres lados Cuatro lados Cinco lados Seis lados Siete lados Ocho lados

Si un polígono tiene todos sus ángulos iguales se llama equiángulo y si tiene todos sus lados iguales se
llama equilátero.

142
Los polígonos que tienen todos sus ángulos interiores y sus lados iguales se denominan regulares. Los
polígonos regulares son entonces equiláteros y equiángulos. Si por lo menos una de estas condiciones
se incumple, el polígono se llama irregular.
En un polígono regular aparecen nuevos elementos:
Centro que es un punto que equidista de los vértices.
Radio que es un segmento que une el centro con un vértice del polígono.
Ángulo central que es el menor de los ángulos que determinan dos radios que unen vértices
consecutivos.
Apotema que es el segmento que une el centro con el punto Radio
Radio
medio de un lado. El apotema es perpendicular al lado.
Ángulo
Central
Centro
Apotema
31. Dibuja los polígonos siguientes y traza todas sus diagonales:
a) Hexágono b) Pentágono c) Octógono d) Trapezoide
32. Dibuja, si es posible, un ejemplo de polígono que sea:
a) triángulo cóncavo b) pentágono convexo
c) hexágono cóncavo d) cuadrilátero convexo regular.
33. Observa la figura adjunta e indica qué polígonos son equiángulos, equiláteros, regulares e
irregulares. Puedes copiar la tabla inferior en tu cuaderno y completarla
C
A E F
H
B D G

A B C D E F G H
EQUIÁNGULO
EQUILÁTERO
REGULAR
IRREGULAR
34. Dibuja en tu cuaderno el apotema de:
a) un triángulo equilátero, b) un cuadrado, c) un hexágono regular.

143
3. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
3.1. Circunferencia y círculo

Una circunferencia es una línea cerrada y plana cuyos
puntos equidistan de un punto interior a la misma
llamado centro.
La porción de plano limitado por una circunferencia se

llama círculo.
Circunferencias Círculos

3.2. Elementos de una circunferencia.

Se llaman elementos de una circunferencia a ciertos puntos y segmentos singulares de la misma. Los
describimos a continuación
Arco
El centro es el punto interior equidistante de todos los
puntos de la circunferencia. Radio
El radio de una circunferencia es el segmento que une el Diámetro Centro

centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la
misma. Se nombra con la letra r o bien con sus puntos
extremos. La medida del radio es constante.
Cuerda
El diámetro de una circunferencia es el segmento que
une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El
diámetro mide el doble del radio.
Una cuerda es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. El
diámetro es la cuerda de longitud máxima.
Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia se llama arco.
Un arco de circunferencia se denota con el símbolo  sobre las letras que designan los puntos
extremos del arco. Por ejemplo el arco de extremos A, B se escribe 𝐴𝐵 . Un caso particular es la
semicircunferencia, arco delimitado por los extremos de un diámetro

144
3.3. Sector circular y segmento circular. Corona circular.
Un sector circular es la porción de círculo comprendida entre dos radios.
Un segmento circular es la porción de círculo comprendido entre una cuerda y el arco que tiene sus
mismos extremos.
Una corona circular es la superficie comprendida entre dos círculos concéntricos.
ular
o circ
m ent
Seg Corona circular
Sector circular
R

El ángulo que forman los dos radios que determinan un sector circular, se llama ángulo central. Si el
ángulo central es llano, el sector circular es un semicírculo.

35. Dibuja una circunferencia de radio 4 cm y en ella un sector circular de 30º de amplitud.
36. En la circunferencia anterior, indica si es posible trazar una cuerda en cada uno de los casos
siguientes y hazlo en caso afirmativo: a) de 4 cm de longitud, b) de 8 cm, c) mayor de 8 cm.

3.4. Posiciones entre una recta y una circunferencia.
Una recta puede tener dos puntos comunes con una circunferencia, uno o ninguno.

TANGENTES RECTA EXTERIOR A LA
SECANTES
CIRCUNFERENCIA
Dos puntos en común Un punto en común Ningún punto común

El punto común de una circunferencia y una recta tangentes, se llama punto de tangencia
La distancia del centro de la circunferencia a una recta es menor, igual o mayor que el radio,
dependiendo de que sean secantes, tangentes o exteriores
145

3.5. Propiedades importantes de las circunferencias y sus elementos

Algunas construcciones geométricas como el trazado de la circunferencia que pasa por tres puntos
dados, la búsqueda del centro de un arco de circunferencia o el dibujo de una recta tangente a una
circunferencia cuando se conoce el punto de tangencia, se pueden resolver gracias a estas propiedades
que seleccionamos

La recta tangente a una circunferencia es
Las mediatrices de todas las cuerdas de una
perpendicular al radio que pasa por el
circunferencia pasan por el centro.
punto de tangencia.

37. Dibuja tres puntos que no estén en línea recta de modo que el primero esté a 2 cm de distancia del
segundo y el segundo a 3 cm del tercero. Finalmente traza la circunferencia que pase por los tres.

146
4. TRIÁNGULOS
Como hemos visto antes, un triángulo es un polígono de tres lados. Estudiaremos en este párrafo dos
clasificaciones de los triángulos, dos propiedades importantes comunes a todos los triángulos y
descubriremos los llamados rectas y puntos notables de un triángulo.

4.1. Clasificación de los triángulos
Según los lados los triángulos se clasifican en

Equiláteros Isósceles Escalenos

Tienen tres lados iguales Tienen exactamente dos Los tres lados son desiguales
lados iguales
Según los ángulos los triángulos se clasifican en

Acutángulos Rectángulos Obtusángulos

Tienen tres ángulos agudos Tienen un ángulo recto Tienen un ángulo obtuso
En un triángulo rectángulo los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el tercero se
denomina hipotenusa.

4.2. Propiedades fundamentales de un triángulo.
La suma de los ángulos de un triángulo es 180o.
De esta propiedad se deducen las consecuencias siguientes:
Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.
Cada ángulo de un triángulo equilátero vale 60o.

En un triángulo cualquier lado es siempre menor que la suma de los otros dos y mayor que su
diferencia.
Es preciso tener en cuenta esta propiedad para saber si tres segmentos dados pueden o no ser los
lados de un triángulo
147

38. Dibuja en un papel un triángulo, divídelo en tres partes y coloréalas
con tres colores diferentes. Después recórtalas y forma con ellas un ángulo
llano. De esta forma, habrás demostrado que la suma de sus ángulos es 180º

39. Calcula el valor del tercer ángulo de un triángulo si dos de ellos
miden respectivamente:
a) 30o y 80o b) 20 o y 50o c) 15o y 75o d) 40 o 30 ´ y 63 o 45 ´.

40. Clasifica, según sus ángulos, los triángulos del ejercicio anterior.
41. Construye un triángulo rectángulo isósceles.
42. Indica razonadamente si es posible construir un triángulo cuyos lados midan:
a) 5 cm, 4 cm y 3 cm b) 10cm, 2 cm y 5 cm c) 2dm, 2dm 4 dm d) 13 m, 12 m y 5 m

4.3. Rectas y puntos notables de un triángulo

En un triángulo se definen cuatro tipos de rectas denominadas, genéricamente, rectas notables. Esas
rectas son: mediatrices, bisectrices, medianas y alturas.
En todo triángulo existen tres rectas de cada uno de los tipos mencionados y tienen la propiedad de
pasar por un mismo punto. Los puntos de intersección de estos grupos de rectas se denominan puntos
notables
Las mediatrices de los tres lados del triángulo concurren en un punto llamado circuncentro (O en la
figura izquierda del ejemplo 14). Dicho punto equidista de los vértices y, es el centro de la circunferencia
circunscrita al triángulo.
Las bisectrices de los ángulos de un triángulo concurren en un punto llamado incentro (I en la figura de
la izquierda del ejemplo 14). Dicho punto equidista de los lados del triángulo y es el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo.

148
Ejemplo:

Se llama altura de un triángulo a la recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto.
Las tres alturas de un triángulo se cortan en el ortocentro.
Se llama mediana de un triángulo a la recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado
opuesto. El punto de corte de las medianas se llama baricentro.
Ejemplo:


43. Dibuja un triángulo equilátero de 10 cm de lado y comprueba que todos los puntos notables
coinciden.
44. Calcula el circuncentro de un triángulo rectángulo. ¿Dónde se encuentra?
45. Calcula el ortocentro de un triángulo obtusángulo.
149
4.4. Igualdad de triángulos.
Dos triángulos son iguales si los tres lados y los tres ángulos son iguales.
Para comprobar que dos triángulos son iguales es suficiente comprobar que se cumple uno de los tres
criterios siguientes:
1º Tienen los tres lados iguales.
Es posible construir un triángulo tomando como
punto de partida las longitudes de los tres lados: a, b,
c a
Para ello, se dibuja un segmento de longitud igual a b
b
uno de ellos (a por ejemplo). Sus extremos serán dos c
vértices del triángulo. c a
A continuación desde un extremo se traza un arco con
radio b y desde el otro se traza un arco con radio c. El punto común de los dos arcos es el vértice que
falta:

2º Tienen dos lados iguales e igual el ángulo comprendido entre ambos.
Pongamos que los datos son las longitudes b y c
y el ángulo 𝐴. Se dibuja en primer lugar el ángulo
𝐴 . Su vértice es un vértice del triángulo. Sobre
sus lados se llevan con un compás las medidas b y 𝐴 c
c, estos arcos son los dos vértices restantes.
b 𝐴
c b
3º Tienen un lado igual adyacente a dos ángulos también iguales.
Suponemos conocido el lado a y los ángulos 𝐵 y 𝐶 .
Podemos construir el triángulo con facilidad también
en este caso.
𝐵 𝐶 Se dibuja en primer lugar el segmento a. Sus

extremos son dos vértices de nuestro triángulo. En sus
𝐵 𝐶
a a extremos, se dibujan los ángulos 𝐵 y 𝐶 de modo que
el segmento a sea un lado de cada uno de ellos. Por último, se prolongan los lados de 𝐵 y 𝐶 hasta que
se corten.
46. Dibuja un triángulo en los siguientes casos:
a) Sus lados miden 12 cm, 10 cm y 8 cm
b) Un lado mide 10 cm y sus ángulos adyacentes 30o y 65o.
c) Dos lados miden 10 cm y 8 cm y el ángulo comprendido entre ellos 50o.

150
6 . CUADRILÁTEROS
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Como otros polígonos, se clasifican en dos grandes
grupos dependiendo del tipo de ángulos que tengan: cóncavos y convexos. Además, podemos distinguir
varios tipos de cuadriláteros convexos.
6.1. Clasificación de los cuadriláteros convexos.
Los cuadriláteros convexos se clasifican en paralelogramos y no paralelogramos.

Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados paralelos e iguales dos a dos. También sus
ángulos son iguales dos a dos. Hay cuatro tipos de paralelogramos:

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

Los cuatro lados y los cuatro Sus lados son distintos y sus Los cuatro lados son iguales y Lados y ángulos distintos
ángulos son iguales cuatro ángulos iguales los ángulos distintos
Los cuadriláteros no paralelogramos pueden ser de dos tipos:

Trapecios Trapezoides
Tienen exactamente dos lados paralelos No tienen ninguna pareja de lados
paralelos

Además, si un trapecio tiene dos lados iguales, se llama trapecio isósceles y si tiene dos ángulos rectos,
se llama trapecio rectángulo.
Ejemplo:
Los paralelogramos tienen muchas y variadas aplicaciones en diseño y construcción
151

6.2. Propiedades de los cuadriláteros
1. La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360 o.
Al trazar una de las diagonales de un cuadrilátero queda dividido en dos triángulos. La suma de los
ángulos de ambos coincide con la suma de los ángulos del cuadrilátero.

7
7 2
1 2 6 2
6
4 4 4
8 8
3
5 5
Nombramos los ángulos del Dibujamos una diagonal y 4 5 6 = 180o

cuadrilátero nombramos también los nuevos 2 7 8 = 180o
ángulos que aparecen : 4 5 6 2 7 8
5, 6, 7 y 8 = 4 3 2 1
= 180o+ 180o = 360o
6 7 = 1 5 8 = 3

Otras propiedades de los cuadriláteros son
2. La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales.
3. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en el punto medio.
4. Las diagonales tanto de un rombo como de un cuadrado, son perpendiculares.
5. Al unir los puntos medios de un cuadrilátero, se forma un paralelogramo.
47. Fíjate en el dibujo e indica qué cuadriláteros son:
a) cóncavos b) paralelogramos c) isósceles d) trapecios e) trapezoides f) regulares
A B D E H
C F G
48. Averigua qué tipo de paralelogramo aparece si se unen los puntos medios de:
a) un cuadrado b) un rombo c) un rectángulo d) un trapecio e) un trapezoide.
49. Los dos ángulos agudos de un romboide miden 32o. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos obtusos?

152
EUCLIDES, UN GRAN GEÓMETRA
ILUSIONES ÓPTICAS
En el siglo III a. C. Euclides enseñaba Matemáticas en la ¿Son rectas paralelas o curvas las líneas grises?
escuela de Alejandría. Su obra principal fueron Los

Elementos, que han sido durante siglos la base de la
geometría.
Las aportaciones más interesantes de Euclides fueron
definiciones y postulados como éstos:
“Un punto es aquello que no tiene partes”
“Una línea es una longitud sin anchura”
“Las extremidades de una línea son puntos” LA ROSA DE LOS VIENTOS

POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS
Un polígono regular estrellado puede construirse a
partir del regular convexo uniendo vértices no
consecutivos de forma continua.

Si N es el número de vértices del polígono regular La rosa de los vientos ha aparecido en gráficas y
convexo y M el salto entre vértices, la fracción N/M ha mapas desde el año 1300. La base de su dibujo
de ser irreducible, de lo contrario no se genera es un polígono estrellado. Las rectas que unen
el polígono estrellado. vértices opuestos son los rumbos de navegación
MOSAICOS
¿Sabes qué es un mosaico? .Se llama mosaico a
todo recubrimiento del plano mediante piezas que

no pueden superponerse, ni pueden dejar huecos
sin recubrir .
Los más sencillos son los mosaicos regulares
GRACE CHISHOLM YOUNG formados por polígonos regulares todos iguales.
(1868 ‐ 1944) Solo hay tres posibilidades para construir
mosaicos regulares. Búscalas.
Grace Chisholm Young
incluyó en su obra “Primer Un mosaico semiregular es el formado por
libro de Geometría” polígonos regulares de forma que en cada vértice
múltiples diagramas de tengan la misma distribución. Solo hay ocho
figuras tridimensionales
para ser recortadas y
construidas.
Su innovadora forma de
plantear la enseñanza de la
Geometría, ha trascendido

hasta el momento actual.
153
RESUMEN
Ejemplos
Recta
Semirrecta
Elementos del plano Los elementos fundamentales del plano son:
puntos, rectas, semirrectas, segmentos Puntos
Segmento
Rectas
paralelas
Posición relativa de dos Dos rectas distintas pueden ser paralelas o
rectas secantes Rectas
secantes
Vértice
Lado
Polígonos. Elementos de Un polígono es una línea poligonal cerrada. Los
elementos de un polígono son lados, vértices, Diagonal
un polígono
diagonales, ángulos interiores y exteriores Ángulo
interior Ángulo
exterior
Triángulo
Por el tipo de ángulos cóncavos y convexos.
Cóncavo
Clasificación de los Regulares o irregulares según tengan todos sus Cuadrilátero
polígonos lados y ángulos iguales o no.
Por el número de lados: triángulos, cuadriláteros, Convexo
Pentágono
pentágonos, hexágonos,…
Una circunferencia es una línea cerrada que

cumple que todos sus puntos están a la misma
Circunferencia y círculo distancia de un punto fijo llamado centro. Circunferencias
Un círculo es la parte de plano que encierra una Círculos
circunferencia.
Arco
Radio
Elementos de una
circunferencia Centro, radio, diámetro, cuerda, arco. Diámetro Centro
Cuerda
154
Un sector circular es la porción de círculo
comprendida entre dos radios. to circ
ular
men
Seg
Un segmento circular es la porción de círculo

Sector circular, segmento
comprendido entre una cuerda y el arco que
circular y corona circular tiene sus mismos extremos. Sector circular
Una corona circular es la superficie R
comprendida entre dos círculos concéntricos.
Rectángulo
Según los ángulos acutángulos, rectángulos y Isósceles
Clasificación de triángulos obtusángulos.
Según los lados: equiláteros, isósceles y
escalenos, Equilátero Obtusángulo
La suma de los ángulos de un triángulo es 180o.
Propiedades En todo triángulo, cualquier lado es menor que la
suma de los otros dos.
Rectas y puntos notables Las mediatrices concurren en el circuncentro, las
en un triángulo bisectrices en el incentro, las alturas en el
ortocentro y las medianas en el baricentro.
Paralelogramos si sus lados son paralelos e iguales
dos a dos y no paralelogramos. Rectángulo Romboide
Clasificación de los Los paralelogramos se dividen en cuadrados,
cuadriláteros rectángulos, rombos y romboides. Trapecio
Los no paralelogramos pueden ser trapecios o Trapezoide
trapezoides.
155

1. Dibuja una recta horizontal y otra que forme un ángulo de 60 o con ella.
2. Dibuja cuatro rectas de modo que tres de ellas pasen por un mismo punto y la cuarta sea
paralela a una de ellas.
3. Dibuja dos rectas secantes y un segmento que tenga un extremo en cada una de ellas.
4. Si dos rectas r y s son perpendiculares y trazas una tercera recta p paralela a una de ellas, por
ejemplo a r, ¿cómo son las rectas s y p? Haz un dibujo.
5. Un ángulo mide ¾ de recto. Expresa esta medida en grados, minutos y segundos.
6. Calcula :
a) 54o 25´ 10´´ + 32 o 17´ 14´´ b) 14 o 30´ 15´´+ 62 o 1´ 16´´ + 42 o 1´´
c) 15 o 23' + 73 o 10'' + 70 o 28´ 38´´ d) 45 o 45´ 45´´ ‐ 12 o 48´ 85 ‘’
e) 67 o 4´ 23´´ ‐ 15 o 4´ 37'' f) 33 o 32´ 1 ´´ ‐ 15 o 35´ 20''
7. La suma de dos ángulos es 125o 46' 35''. Si uno de ellos mide 57o 55' 47'', ¿cuánto mide el
otro?
8. Cinco guardas de seguridad deben repartirse por igual un servicio de vigilancia de 24 horas.
Expresa en horas y minutos el tiempo que debe permanecer vigilando cada uno de ellos
9. En un tablero de 3  3, ¿cuál es el mayor número de lados que puede tener un polígono? ¿Y en
uno de 4  4?

10. La fotografía representa un mosaico de La Alhambra de Granada. Observa que está constituido
por motivos geométricos.
a. Este mosaico tiene dos tipos de polígonos
regulares: ¿Cuáles son?
b. Describe el polígono blanco. ¿Es cóncavo
o convexo?
c. El mosaico de la fotografía no es un
mosaico regular. Si lo fuera estaría
formado únicamente por polígono
regulares todos iguales.
d. Describe un octógono regular: número
de lados, cuánto mide su ángulo central,
cuánto mide sus ángulos interiores…

156
11. Calcula el número de diagonales que tienen los siguientes polígonos:
a) Rombo b) trapecio c) trapezoide d) cuadrado e) rectángulo f) hexágono.
12. Dibuja un hexágono regular y un cuadrado. Marca el centro y sitúa en cada uno de ellos dos
apotemas y dos radios.
13. Dibuja un decágono y todas sus diagonales.
14. Completa:
a. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo …………………..
b. Un triángulo…………………………….. tiene un ángulo obtuso.
c. Un triángulo…………………………….. tiene los tres ángulos agudos.
15. Construye un triángulo sabiendo que a = 9 cm , b = 7 cm y el ángulo C = 50 ° .
16. ¿Se puede construir un triángulo de modo que sus ángulos midan 105o, 45o y 35o. Razona tu
respuesta.
17. Dibuja un triángulo obtusángulo. ¿Crees que las tres alturas son iguales?
18. Observa las figuras y calcula los ángulos que faltan
B E L
o I 42o
22 o
40
H
32o
o
66o 102o 70o
A 42 C
G J
D K
F

19. Dados tres segmentos de cualquier medida, ¿es siempre posible construir un triángulo? ¿Por
qué? Recorta tiritas de papel de longitudes de 10 cm, 8 cm y 6 cm, ¿puedes construir un
triángulo con ellas?
20. ¿Puedes asegurar que son iguales los 4,5 cm

triángulos de la figura derecha? 3,5 cm 3,8 cm
3,8 cm
21. Si uno de los ángulos de un triángulo
rectángulo es de 50o, indica el valor de los
3,5 cm 4,5 cm
demás. Dibuja un triángulo rectángulo
con estos ángulos y un cateto de 5 cm.
22. Si dos de los ángulos de un triángulo miden 30o y 70o, ¿cuánto mide el menor de los ángulos que
forman las bisectrices correspondientes?
157
23. Construye un triángulo sabiendo que a = 10 cm , los ángulos B = 45° C = 50°
24. Calcula el incentro del triángulo anterior y dibuja la circunferencia inscrita al triángulo.
25. ¿En qué punto colocarías un pozo para que tres casas de
campo no alineadas, estén a la misma distancia del
mismo? Haz un gráfico esquemático en tu cuaderno y
calcula el punto en tu dibujo.
¿ ?
26. Desde uno de los vértices de un hexágono se trazan tres
diagonales que dividen al polígono en cuatro triángulos.
a. Calcula la suma de los ángulos del hexágono.
b. Si el hexágono es regular, calcula el valor de cada uno de sus ángulos interiores.
c. En el mismo supuesto, calcula el valor del ángulo central.
27. Dibuja un polígono de 9 lados. ¿Cómo se llama?
a. ¿Cuántos triángulos puedes formar al trazar todas las diagonales que parten de un
vértice?
b. ¿Cuánto vale la suma de los ángulos del polígono inicial?
28. Señala si las siguientes afirmaciones son verdaderas:
“Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares, se trata de un rombo”
“Los trapecios rectángulos tienen todos sus ángulos iguales”
“Los rectángulos son polígonos equiángulos”.
“Las diagonales de un paralelogramo se cortan en el punto medio”
Justifica tus respuestas y haz un dibujo que acompañe a cada una.
29. Consigue un hilo grueso y un trozo de papel de color. Recorta el hilo o el trozo de papel, según
proceda y construye:
a) Una circunferencia, b) un círculo, c) un radio , d) un segmento circular, e) un sector circular .
30. Dibuja una circunferencia de 3 cm de radio y dos arcos iguales así como las cuerdas que tienen
sus mismos extremos. Comprueba que las cuerdas también son iguales.
31. En el dibujo hecho para dar respuesta al ejercicio anterior, traza dos diámetros perpendiculares a
las cuerdas. Mide después la distancia de cada cuerda al centro. ¿Qué observas?
32. Dibuja dos rectas paralelas de modo que la distancia entre ellas sea de 5 cm. Dibuja después una
circunferencia tangente a ambas.
158
AUTOEVALUACIÓN
1. Dibuja tres puntos A, B, C que no estén alineados y :
a. Las rectas r que pasa por A y B y s que pasa por B y C.
b. La recta perpendicular a r y que pasa por el punto C.
c. La recta perpendicular a s que pasa por B.
d. La recta paralela a s que pasa por A.
2. Calcula el complementario y suplementario de los ángulos siguientes:
a) 54o b) 73o 40´ 56´´
3. ¿Cuánto valen los ángulos interior y exterior de un pentágono regular?
4. Dibuja un hexágono y todas sus diagonales.

5. Clasifica los siguiente polígonos, completando la tabla:
a) b) c) d)
POR EL NÚMERO DE
POLÍGONO CÓNCAVO REGULAR EQUIÁNGULO EQUILÁTERO
LADOS ES UN
a) NO SÍ SI SI ENEÁGONO
b)
c)
d)
e) SI NO CUADRILÁTERO
6. Dibuja un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 6 cm y 5 cm y traza sus tres alturas.

7. a) Dibuja un sector circular de radio 4 cm de modo que su amplitud sea de 82o . b) Dibuja una
corona circular definida por dos círculos de radios 4 cm y 2 cm.

8. Dibuja un triángulo en el que a = 6 cm, 𝐵 30 y 𝐶 45o. Calcula después su circuncentro.

9. Dibuja un trapecio isósceles, un trapecio rectángulo, un romboide, traza sus diagonales y
estudia si se cortan en el punto medio.


10. Calcula el valor del ángulo B en las siguientes figuras:
B B C
40o
32o
a) A b)
C A D

2 º ESO CAPÍTULO 8: LONGITUDES Y ÁREAS. SEMEJANZA


Autores: Javier Rodrigo, Raquel Hernández y José Antonio Encabo
Revisores: Javier Rodrigo y Raquel Hernández
Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF

160

Longitudes y áreas. 2º de ESO
Índice
1. TEOREMA DE PITÁGORAS
2. SEMEJANZA
2.1. FIGURAS SEMEJANTES
2.2. TRIÁNGULOS SEMEJANTES. CRITERIOS DE SEMEJANZA.
2.3. TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE TALES
2.4. TEOREMA DE TALES
2.5. PROPORCIONALIDAD EN LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES
2.6. ESCALAS: PLANOS Y MAPAS
3. PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS
3.1. ÁREA DEL CUADRADO Y DEL RECTÁNGULO
3.2. ÁREA DEL PARALELOGRAMO Y DEL TRIÁNGULO
3.3. ÁREA DEL TRAPECIO, ROMBO Y ROMBOIDE
3.4. ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES
3.5. ÁREA DE POLÍGONOS IRREGULARES
4. PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS CIRCULARES
4.1. LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA
4.2. LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA
4.3. ÁREA DEL CÍRCULO
4.4. USO DE GEOGEBRA PARA COMPRENDER LA LONGITUD
DE LA CIRCUNFERENCIA Y EL ÁREA DEL CÍRCULO
4.5. ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR
4.6. ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR
4.7. OTRAS ÁREAS
Resumen
En este capítulo estudiaremos el teorema de Pitágoras para los
triángulos rectángulos, que nos ayudará en el cálculo de
perímetros y áreas de figuras planas.
Estudiaremos el teorema de Tales y la semejanza, con los criterios
para reconocer cuando dos triángulos son semejantes, y la razón
de semejanza (escala) en mapas y en áreas y volúmenes.
Repasaremos las longitudes y áreas en polígonos y en figuras
circulares, que utilizaremos en el próximo capítulo para obtener
longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos en el espacio.
Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 6: Longitudes y áreas Autores: Javier Rodrigo, Raquel Hernández y José Antonio Encabo
161

1. TEOREMA DE PITÁGORAS
En un triángulo rectángulo llamamos catetos a los lados incidentes con el ángulo recto e hipotenusa al
otro lado.
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
Es decir,
h2  c12  c22
‐ Del teorema de Pitágoras podemos obtener el valor de la hipotenusa de un
triángulo rectángulo si conocemos lo que miden los catetos: h  c12  c 22
‐ También podemos obtener el valor de un cateto a partir de los valores de la
hipotenusa y del otro cateto: c 2  h 2  c12
Ejemplo:
Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm y 4 cm, su hipotenusa vale 5 cm, ya que:
h  3 2  4 2  25  5 cm.

Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 dm y uno de sus catetos mide 12 dm, halla
la medida del otro cateto:
Solución: Por el teorema de Pitágoras:
c  13 2  12 2  13  12   13  12   25  5 dm
1. ¿Es posible encontrar un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 7 y 24 cm y su hipotenusa 26 cm?
Si tu respuesta es negativa, halla la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos
catetos miden 7 y 24 cm. Utiliza la calculadora para resolver esta actividad si te resulta necesaria.

Interpretación del teorema de Pitágoras
Si dibujamos un cuadrado de lado la hipotenusa h de un triángulo rectángulo, su área es h 2 (ver el
primer ejemplo de 1.1). Si dibujamos dos cuadrados de lados los catetos c1 y c2 de ese triángulo
2 2
rectángulo, sus áreas son c1 , c 2 . Entonces el teorema de Pitágoras dice que el área del primer
cuadrado (cuadrado gris de la figura de la izquierda) es igual a la suma de las áreas de los otros dos
(cuadrados azul claro y amarillo de la figura de la izquierda).
Existen más de 367 demostraciones diferentes del Teorema de Pitágoras.
Una comprobación gráfica consiste en dibujar dos cuadrados iguales de lado la suma de los catetos a y
162

b (figuras del centro y de la derecha). En uno se dibujan los cuadrados de lado a y b, en amarillo y azul
en el dibujo. En el otro el cuadrado de lado la hipotenusa (en gris en el dibujo). Observa que quitando 4
triángulos iguales al de partida nos queda que el cuadrado gris es igual a la suma de los cuadrados
amarillo y azul.
Por tanto:
a2 + b2 = c2
2. Calcula la longitud de la hipotenusa de los siguientes triángulos rectángulos de catetos:
a) 8 cm y 6 cm b) 12 m y 9 m
c) 6 dm y 14 dm d) 22,9 km y 36,1 km.
3. Calcula la longitud del cateto que falta en los siguientes triángulos rectángulos de hipotenusa y
cateto:
a) 27 cm y 12 cm b) 32 m y 21 m
c) 28 dm y 12 dm d) 79,2 km y 35,6 km
4. Calcula el área de un triángulo equilátero de lado 7 m. Ayuda: Utiliza el teorema de Pitágoras para
calcular la altura.
5. Calcula el área de un hexágono regular de lado 8 cm. Ayuda: Utiliza el teorema de Pitágoras para
calcular su apotema.
6. Calcula el volumen de un tetraedro regular de arista 5 dm.
7. Calcula la superficie de un icosaedro regular de arista 5 dm.
8. Calcula la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 12 m.
9. Calcula la longitud de la diagonal de un rectángulo de base 13 cm y altura 5 cm.
163

2. SEMEJANZA
2.1. Figuras semejantes
Dos figuras semejantes tienen la misma forma.
Es muy útil saber reconocer la semejanza para poder estudiar
una figura e inferir así propiedades de una figura semejante a
ella que es más grande o inaccesible.
La semejanza conserva los ángulos y mantiene la proporción entre las distancias.
Dos figuras son semejantes si sus longitudes son proporcionales y
sus ángulos son iguales.
Ejemplo:
Las figuras del margen no son semejantes

2.2. Triángulos semejantes. Criterios de semejanza
Dos triángulos son semejantes si tienen todos los ángulos iguales y los lados proporcionales.

Para saber si dos triángulos son semejantes no es necesario conocer todos los lados y ángulos, es
suficiente con que se cumpla alguno de los siguientes criterios de semejanza.

Dos triángulos son semejantes sí:
 Primero: Tienen dos ángulos iguales.
 Segundo: Tienen los tres lados proporcionales.
 Tercero: Tienen dos lados proporcionales y el ángulo que forman es igual.

La demostración se basa en los criterios de igualdad de triángulos. Ya sabes que dos triángulos son
iguales si tienen sus tres lados iguales y sus tres ángulos iguales, pero no es necesario que se verifiquen
esas seis igualdades para que lo sean. Basta, por ejemplo, que tengan un lado y dos ángulos iguales.
Si tienen dos ángulos iguales, el tercer ángulo también es igual, y necesariamente los lados son
proporcionales. Si los lados son proporcionales, entonces los tres ángulos son iguales. Con más cuidado
es preciso mirar el tercer criterio, y en otro curso se demostrará con más rigor.
164


Ejemplo

10. Indica si son semejantes los siguientes pares de triángulos:
a) Un ángulo de 80º y otro de 40º. Un ángulo de 80º y otro de 60º.
b) Triángulo isósceles con ángulo desigual de 70º. Triángulo isósceles con ángulo igual de 50º.
c) A = 30º, b = 7 cm, c = 9 cm. A’= 30º, b’ = 14 cm, c’ = 18 cm
d) a = 4 cm, b = 5 cm, c = 7 cm. a’ = 20 cm, b’ = 25 cm, c’ = 35 cm
11. Calcula el valor desconocido para que los triángulos sean semejantes:
a) a = 18 cm, b = 12 cm, c = 24 cm. a' = 6 cm, b' = 4 cm, ¿c'?
b) A = 45º, b = 16 cm, c = 8 cm. A’ = 45º, b' = 4 cm, ¿c'?
12. Un triángulo tiene las longitudes de sus lados de 12 cm, 14 cm y 14 cm. Un triángulo semejante a él
tiene un perímetro de 80 cm. ¿Cuánto miden sus lados?

2.3. Triángulos en posición de Tales
Decimos que dos triángulos están en posición de
Tales cuando dos de los lados de cada uno están
sobre las mismas rectas y los otros lados son
paralelos.
Los ángulos son iguales. Uno porque es el mismo.

Los otros, por estar formados por rectas paralelas.

Por lo tanto, por el primer criterio de semejanza de
triángulos, los lados son proporcionales y se cumple:
A'B' B'C' A'C'

= =
AB BC AC

165

2.4. Teorema de Tales
El teorema de Tales establece una relación entre los segmentos
formados cuando dos rectas cualesquiera son cortadas por varias
rectas paralelas.
Dadas dos rectas, y varias rectas paralelas entre sí, que las cortan
respectivamente en los puntos A, B, C y A’, B’, C’. Entonces el
Teorema de Tales afirma que los segmentos son proporcionales:

A'B' B'C' A'C'
= =
AB BC AC
En la segunda figura se puede apreciar cómo se forman en este
caso tres triángulos semejantes en posición Tales, y que por lo
tanto se puede deducir que sus lados son proporcionales:
A'B' B'C' A'C'

= =
AB BC AC
Observación: En este caso no relacionamos los segmentos AA',
BB' y CC' que se forman sobre los lados paralelos.
13. Calcula los valores de x e y en las siguientes figuras.
a) b)
14. Un poste se sujeta con cables de acero que van de su extremo superior al suelo. La distancia del
anclaje de uno de los cables a la base del poste es 3 metros. Ponemos una barra de 60 centímetros
de forma que está perpendicular al suelo y justo toca el suelo y el cable. Su distancia al anclaje del
cable es 45 centímetros. Calcula la longitud del poste y la longitud del cable de acero.
15. María mide 165 cm. Su sombra mide 80 cm. En ese mismo instante se mide la sombra de un edificio
y mide 7 m. ¿Cuánto mide el edificio?
16. Calcula las longitudes que se indican:

166

2.5. Proporcionalidad en longitudes, áreas y volúmenes
Ya sabes que:
Dos figuras son semejantes si las longitudes de elementos correspondientes son proporcionales. Al
coeficiente de proporcionalidad se le llama razón de semejanza. En mapas, planos… a la razón de
semejanza se le llama escala.
Áreas de figuras semejantes
Si la razón de semejanza entre las longitudes de una figura es k, entonces la razón entre sus áreas es k2.
Ejemplo:

Observa la figura del margen.
Si multiplicamos por 2 el lado del cuadrado pequeño, el área del
cuadrado grande es 22 = 4 veces la del pequeño.
Volúmenes de figuras semejantes
Si la razón de semejanza entre las longitudes de una figura es k, entonces la razón entre sus volúmenes
es k3.
Ejemplo:

Observa la figura del margen.
Al multiplicar por 2 el lado del cubo pequeño se obtiene
el cubo grande. El volumen del cubo grande es 8 (23) el
del cubo pequeño.
La torre Eiffel de París mide 300 metros de altura y pesa unos 8 millones de kilos. Está
construida de hierro. Si encargamos un modelo a escala de dicha torre, también de hierro, que
pese sólo un kilo, ¿qué altura tendrá? ¿Será mayor o menor que un lápiz?
El peso está relacionado con el volumen. La Torre Eiffel pesa 8 000 000 kilos, y queremos construir una,
exactamente del mismo material, que pese 1 kilo. Por tanto k3 = 8000000/1 = 8 000 000, y k = 200. La
razón de proporcionalidad entre las longitudes es de 200.
Si la Torre Eiffel mide 300 m, y llamamos x a lo que mide la nuestra tenemos: 300/x = 200. Despejamos
x que resulta igual a x = 1,5 m. ¡Mide metro y medio! ¡Es mucho mayor que un lápiz!
17. El diámetro de un melocotón es tres veces mayor que el de su hueso, y mide 9 cm. Calcula el
volumen del melocotón, suponiendo que es esférico, y el de su hueso, también esférico. ¿Cuál es la
razón de proporcionalidad entre el volumen del melocotón y el del hueso?
18. En la pizzería tienen pizzas de varios precios: 1 €, 3 € y 4 €. Los diámetros de estas pizzas son: 15 cm,
25 cm y 40 cm, ¿cuál resulta más económica? Calcula la relación entre las áreas y compárala con la
relación entre los precios.
19. Estamos diseñando una maqueta para depósito cilíndrico de 1000
litros de capacidad y 5 metros de altura. Queremos que la capacidad
de la maqueta sea de 1 litro. ¿Qué altura debe tener la maqueta?
20. La maqueta que ves al margen de una pirámide escalonada
babilónica mide de altura medio metro, la razón de proporcionalidad
es k = 100. ¿Cuánto mide la pirámide real?
167

2.6. Escalas: planos y mapas
Los dibujos, fotografías, mapas o maquetas representan objetos, personas, edificios, superficies,
distancias...
Para que la representación sea perfecta, deben guardar en todos sus elementos una misma razón de
proporcionalidad que denominamos “escala”
La escala es una razón de proporcionalidad entre la medida representada y la medida real, expresadas
en una misma unidad de medida
Ejemplo:
En un mapa aparece señalada la siguiente escala 1 : 5 000 000 y se
interpreta que 1 cm del mapa representa 5 000 000 cm en la realidad, es decir,
a 50000 m, es decir a 50 km.
Ejemplo:
Hemos fotografiado la catedral de
Santiago de Compostela. El tamaño de la
foto nos da una escala:
1 : 600.
Las dos torres de la fachada tienen en la foto una altura de 3,5
cm. La altura real de las torres será:
CATEDRAL DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
3,5 ∙ 600 = 2100 cm = 21 m.
Las escalas nos permiten observar que la imagen real y la del dibujo son semejantes.
Ideas claras
La escala utiliza el cm como unidad de referencia y se expresa en comparación a la unidad.
Por ejemplo: 1 : 70000
Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y sus lados son proporcionales.
21. Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta que la escala aplicada es 1 : 1000
Dibujo Medida real
26 cm
11 km
0,05 m
22. Calcula la escala correspondiente en cada ejemplo de la tabla:
Dibujo Medida real Escala
1,4 cm 700 m
7 cm 0,7 hm
4 cm 20 km
23. Escribe cuatro ejemplos en los que se utilicen escalas.
24. La distancia entre Madrid y Valencia es 350 km. En el mapa, la distancia entre ambas ciudades es 2,7
cm, ¿a qué escala está dibujado el mapa?
168

3. PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS
En este apartado vamos a repasar las áreas y perímetros de polígonos que ya conoces del curso
anterior. Si las recuerdas, puedes saltarlo.

3.1. Área del cuadrado y del rectángulo
El área de un cuadrado es el cuadrado de uno de sus lados:
Área cuadrado = lado2
El área de un rectángulo es el producto de su base por su altura:
Área rectángulo = base ∙ altura
Ejemplo:
Si tenemos un cuadrado de 15 dm de lado, el área de dicho cuadrado es
225 dm2 ya que:
Área cuadrado = lado2 = 15 2 = 225 dm2.
Calcula el área y el perímetro de la baldosa de la figura de 9 cm de
lado
Solución: La baldosa de la figura es cuadrada. Por lo tanto:
Perímetro = 4(lado) = 4(9) = 36 cm.
Área cuadrado = lado2 = 9 2 = 81 cm2. Baldosa cuadrada
Calcula el área y el perímetro de un rectángulo de 8 cm de base y 3 cm de altura
Solución: Por tratarse de un rectángulo:
Perímetro = 2(base) + 2(altura) = 2(8) + 2(3) = 22 cm.
Área rectángulo = base ∙ altura = 8 ∙ 3 = 24 cm2.

3.2. Área de paralelogramo y del triángulo
Ya sabes que:
El área de un paralelogramo es el producto de su base por su altura, igual que el área de un rectángulo:
Área Paralelogramo = base ∙ altura
Mira el paralelogramo de la figura. Puedes convertirlo en un rectángulo
cortando un triángulo y colocándolo al otro lado.
Si cortas a un paralelogramo por una de sus diagonales obtienes dos triángulos

iguales, con la misma base y la misma altura que el paralelogramo. Por tanto su
área es la mitad que la del paralelogramo.
169

El área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo:
base  altura
Áreatriángulo 
2
Ejemplo:

El área de un triángulo de base b = 7 cm y altura h = 5 cm es 17,5 cm2 ya
base  altura 7  5
que: Área triángulo   = 17,5 cm2.
2 2
La vela de un barco tiene forma triangular. La base de la vela mide 5 metros
y su altura mide 4 metros, ¿qué superficie ocupa dicha vela?
Solución: Como la vela tiene forma triangular:
base  altura 5  4
Área triángulo   = 10 m2.
2 2
Halla los siguientes perímetros y áreas:
a) Un cuadrado de 5 metros de lado:
Perímetro: La suma de sus cuatro lados: 5 + 5 + 5 + 5 = 20 m.
Área: lado ∙ lado = 5 ∙ 5 = 25 m2.
b) Un rectángulo de 7 metros de ancho y 6 m de largo
Perímetro: Suma de sus lados: 7 + 7 + 6 + 6 = 26 m.
Área: Largo por ancho = 7 ∙ 6 = 42 m2.
c) Triángulo de base 11 cm y altura 7 cm, y cuyos otros dos lados miden 11 cm
y 7,5 cm:
Área:

Perímetro:

25. La base de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Si su hipotenusa mide 10 cm, ¿cuál es el área de este
triángulo rectángulo? (Ayuda: Utiliza el teorema de Pitágoras para calcular el otro cateto. Como los
catetos son ortogonales, uno es la base y el otro, la altura)

170

3.3. Área del trapecio, rombo y romboide
Imagina un trapecio. Gíralo 180º. Une el primer trapecio con el trapecio que
acabas de girar por un lado. ¿Qué obtienes? ¿Es un paralelogramo? Tiene de
base, la suma de las bases menor y mayor del trapecio, y de altura, la misma
que el trapecio, luego su área es la suma de las bases por la altura. Por tanto
el área del trapecio, que es la mitad es la semisuma de las bases por la altura.
El área de un trapecio es igual a la mitad de la suma de sus bases multiplicada por su altura:

Ejemplo:
Tenemos el siguiente trapecio cuya base B = 10 cm, b = 4 cm, h = 4 cm, su área es:

Piensa en un rombo. Está formado por dos triángulos iguales
El área de un rombo es el producto de sus diagonales divididas entre 2:

Ejemplo:
Si tenemos un rombo cuyas diagonales son D = 30 cm y d = 16 cm respectivamente y un lado 17
cm, el área será

Y el perímetro 17 ∙ 4 cm al ser todos los lados iguales.
Otra manera de hallar el área de un rombo sería considerar que el rombo con sus dos diagonales forma
cuatro triángulos rectángulos iguales de lados: 15 cm, (la mitad de la diagonal D), 8 cm (la mitad de la
diagonal d), pues ambas diagonales se cruzan en el centro del rombo, y de hipotenusa 17 cm, el lado del
rombo.
El área es: Área de un triángulo multiplicado por 4 triángulos.
Comprobamos que el valor coincide con el anterior:
A = (8 ∙ 15 : 2) ∙ 4 = 60 ∙ 4 = 240 cm2.
Ya sabes que el romboide es un caso particular de paralelogramo.
171

El área de un romboide es el producto de su base y su altura:
Área romboide = base ∙ altura = b ∙ h
Ejemplo:
Si tenemos un romboide de 5 cm de base y 4 cm de altura su área es 5 ∙ 4 = 20 cm2.
Si el lado vale 4, el perímetro es 5 + 5 + 4 + 4 = 18 cm.
Calcula el área de las siguientes figuras planas:
a) Un trapecio de bases 12 y 8 cm y de altura 5 cm
b) Un rombo de diagonales 27 y 8 cm
Área trapecio = ( B  b )  h 
(12  8 )  5
= 50 cm2.
2 2
Área rombo = D  d 
27  8
= 108 cm2.
2 2
3.4. Área de polígonos regulares
Un polígono regular podemos dividirlo en tantos triángulos iguales como lados tiene el polígono. Cada
triángulo tiene de área: (base ∙ altura)/2. La base del triángulo es el lado del polígono, y su altura, la
apotema del polígono.
Ejemplo
El hexágono regular de lado 4 cm y apotema 3,5 cm lo
descomponemos en 6 triángulos de base 4 cm y altura 3,5 cm, por lo
que el área de cada uno es:
4  3,5
Área triángulo = = 7 cm2.
2
El área del hexágono es por tanto:
6  4  3,5 64
Área hexágono = ( )  3,5 = 42 cm2.
2 2
64
Al ser ( ) el semiperímetro del hexágono, es decir, la mitad de su perímetro, se puede decir que:
2
El área de un polígono regular es igual al semiperímetro por la apotema.
Área = semiperímetro ∙ apotema

172

3.5. Área de polígonos irregulares
Los polígonos irregulares son aquellos que no tienen una forma
conocida determinada.
Para calcular el área de un polígono irregular, dividimos la figura
en triángulos y cuadriláteros conocidos para poder aplicar las
fórmulas aprendidas anteriormente.

A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4

Ejemplo:
El área de esta figura irregular es 84 cm2. ¿Qué hemos hecho para calcularla?
Dividimos la figura en dos triángulos y un rectángulo y calculamos el área de cada una de las figuras.
Previamente utilizamos el teorema de Pitágoras para calcular la altura de los triángulos y obtenemos
que mide 6 cm.
bh 66
Áreatriángulo 1    18 cm2.
2 2
bh 86
Áreatriángulo 2    24 cm2. Área rectángulo = b ∙ h = 14 ∙ 3 = 42 cm2.
2 2
Para calcular el área total, sumamos las tres áreas obtenidas: A
2
total = 18 + 24 + 42 = 84 cm .
Para calcular el área del polígono de la derecha, lo dividimos

primero en cuadriláteros conocidos.
Tenemos un rombo cuyas diagonales miden 14 dm y 10 dm,
un trapecio de altura 7 dm y bases 16 y 11 dm y un triángulo
de altura 5 dm y base, la base menor del trapecio.
Calculamos el área del rombo, el trapecio y el triángulo:
D  d 14  10
Área rombo =  = 70 dm2.
2 2
El trapecio tiene de base mayor 16 dm, de base menor 16 
5 = 11 dm, y de altura 7 dm, luego:
Área trapecio = ( B  b)  h  (16  11)  7  189 dm2.

2 2 2
B  h 11  5 55
La base del triángulo mide 11 dm y su altura 5 dm, luego su área mide: Área triángulo =   dm2.
2 2 2
189 55
Sumando todas las áreas obtenidas: Área TOTAL = 70 +  = 192 dm2.
2 2

173

26. Las baldosas de la figura miden 24 cm de largo y 9 cm de ancho. ¿Qué
área ocupa cada una de las baldosas?
27. Mide la base y la altura de tu mesa. ¿De qué figura se trata? ¿Cuánto
mide su área?

28. Estas molduras miden 180 cm de ancho y 293 Baldosas rectangulares
cm de alto. ¿Cuál es el área encerrada?

29. Cada uno de los triángulos de la
figura tienen una base de 20 mm y una altura de 12 mm.
¿Cuánto vale el área de cada triángulo? Si en total hay 180
triángulos, ¿qué área ocupan en total?
30. La base de un triángulo rectángulo mide 6 cm. Si su hipotenusa mide 14 cm, ¿cuál es el área de este
triángulo rectángulo? (Ayuda: Utiliza el teorema de Pitágoras para calcular el otro cateto. Como los
catetos son ortogonales, uno es la base y el otro, la altura)
31. En una cometa con forma de rombo, sus diagonales miden 93 y 44 cm. ¿Cuánto mide el área de la
cometa?
32. Un trapecista está realizando acrobacias sobre un trapecio de bases 2,3 y 1,7 m y altura 1,4 m.
¿Cuánto mide el área del trapecio que usa el trapecista?
33. Calcula el área de un romboide de 24 cm de base y 21 cm de altura. Si doblamos las medidas de la
base y la altura, ¿cuál es el área del nuevo romboide?
34. Dado un hexágono regular de lado 4 cm, calcula la longitud del apotema y determina su área.
35. Dado un triángulo equilátero de lado 4 cm, calcula la longitud del apotema y determina su área.
36. Calcula el área de los siguientes polígonos irregulares:

37. Calcula el perímetro de los polígonos anteriores.

174

4. PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS CIRCULARES
En este apartado vamos a repasar las áreas y perímetros de las figuras circulares que ya conoces del
curso anterior. Si lo recuerdas bien, puedes saltarlo.
4.1. Longitud de una circunferencia
El número π (pi) se define como el cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
π = Longitud de la circunferencia / Diámetro
Es un número irracional, con infinitas cifras decimales no periódicas. Una aproximación de π es 3,14,
otra 3,1416, y otra 3,141592.
Desde la antigüedad más lejana hasta hoy en día los matemáticos siguen investigando sobre él.
Si una circunferencia tiene un radio r, entonces su diámetro mide 2r, y su longitud, por la definición de
π, mide 2∙π∙r.
Longitud de la circunferencia = 2∙π∙r.
La circunferencia de radio 7 cm tiene una longitud L = 2∙π∙r = 2∙π∙7 = 14∙π  43,98.

4.2. Longitud de un arco de circunferencia
Para calcular la longitud de un arco de circunferencia que abarca un ángulo de  grados, debemos tener
en cuenta que la circunferencia completa abarca un ángulo de 360 º. Por tanto:
L = 2∙π∙r∙/360.
Las ruedas de un carro miden 50 cm de diámetro, y tienen 16
radios. El ángulo  mide 360/16. Por tanto la longitud del arco
entre cada radio es
L = 2∙π∙r∙/360 = 50∙π(360/16)/360 = 50∙π/16  9,8 cm.

4.3. Área del círculo
El área del círculo es igual al producto del número π por el cuadrado del radio.
A = π∙r2.
Se puede imaginar el área del círculo como
a la que se acercan polígonos regulares
inscritos en una misma circunferencia de
radio r, con cada vez más lados. Entonces:
i) La apotema del polígono se aproxima al
radio.
ii) El perímetro del polígono se aproxima a
175

la longitud de la circunferencia.
Por lo tanto, el área de ese polígono, que es igual al semiperímetro por la apotema, se aproxima a:
(2∙π∙r/2)∙r = π∙r2.
El área de un círculo de radio 5 cm es A = 25 π  78,54 cm2. Y el de un
círculo de 1 m de radio es A = π  3,14 m2.
El área de un círculo de diámetro 8 m es A = 42 π = 16 π  50,3 m2. Y
el de un círculo de 2 cm de diámetro es A = 12π = π  3,14 cm2.
4.4. Uso de Geogebra para comprender la longitud de la circunferencia y el
área del círculo
Vamos a utilizar Geogebra para mejorar la comprensión sobre el número  comprobando cómo el
cociente entre la longitud de la circunferencia y su radio es constante, aunque se modifique el radio,
siendo igual a 2. Del mismo modo vamos a trabajar con Geogebra con el área de un círculo y
comprobar que el cociente entre el área y el cuadrado del radio permanece constante.
Si nunca has utilizado Geogebra busca en la web el archivo sobre Geogebra de Marea Verde y comienza
por los primeros pasos.
Comprueba, utilizando Geogebra, la relación entre la longitud de la circunferencia y su radio.
Abre una ventana de Geogebra, en el menú Visualiza desactiva Ejes y Cuadrícula.
 Define un Nuevo punto A y otro que, con el menú contextual, llamarás O y dibuja la circunferencia,
c, con centro en O que pasa por A y el segmento OA.
 Utiliza la herramienta Distancia para medir la longitud de la
circunferencia, PeriCónica; y el segmento OA, que es su radio y se
denomina a.
 Calcula en la línea de Entrada el cociente PeriCónica[c]/a, que
aparece en la ventana algebraica como b = 6,28.
 Elige en el menú Opciones, 5 Posiciones decimales. El cociente b
aparece como b = 6,28319, una aproximación del número 2π.
 Desplaza el punto A y observa que aunque cambian las medidas de
la longitud de la circunferencia y del radio el cociente b permanece
constante.
Comprueba, utilizando Geogebra, la relación entre el área del círculo y su radio.
 Activa la herramienta Área para calcular la medida de la superficie del círculo.
 Calcula en la línea de Entrada el cociente Area[c]/a^2, que aparece en la ventana algebraica como d
= 3,14159, una aproximación del número π.
 Desplaza el punto A y observa que aunque cambian las medidas del área del círculo y del radio el
cociente d permanece constante.
176

4.5. Área de la corona circular
El área de una corona circular es igual al área del círculo mayor menos el
área del círculo menor.
A = π ∙ R2 π ∙ r2 = π∙(R2  r2)

El área de la corona circular formada por las circunferencias
concéntricas de radios 9 cm y 5 cm es igual a:
A = π∙(R2  r2) = π∙(92  52) = π∙(81  25) = π∙56  175,9 cm2.

4.6. Área del sector circular
El área de un sector circular que abarca un ángulo de n grados es igual a:
A = π∙r2∙n/360.
Para hallar el área del segmento circular restamos al área del sector circular
el área del triángulo construido sobre los radios.
Para hallar el área del sector circular de radio 4 m que abarca un ángulo de 90º, calculamos el
área del círculo completo: π∙42 = 16 π, y hallamos la proporción:
AS = 16π∙90/360 = 4π  12,57 m2.
Para hallar el área del segmento circular, restamos al área anterior el área del triángulo
rectángulo de base 4 m y altura 4 m, AT = 4∙4/2 = 8 m2. Luego el área del segmento es:
A = AS – AT = 12,57 – 8 = 4,57 m2.

4.7. Otras áreas
Para hallar el área de un sector de corona circular restamos al área del sector circular de mayor radio el
área del sector circular de menor radio.

El área de un sector de corona circular formada por las circunferencias
concéntricas de radios r y R que abarca un ángulo de n grados es igual a:
A = π ∙ R2∙ (n/360)  π ∙ r2 ∙ (n/360) = π ∙ (R2  r2) ∙ n/360.

Para hallar el área del sector de corona circular de radios 7 m y 8 m que abarca un ángulo de
90º, calculamos el área de la corona circular completa: π ∙ (82  72) = 15 π, y hallamos la
proporción:
AC = 15 π ∙ 90/360 = 3,75 π  11,78 m2.
177

También se puede hallar con la fórmula anterior:
AC = π ∙ (82  72) ∙ 90/360  11,78 m2.

38. Busca 3 objetos redondos, por ejemplo un vaso, una taza, un plato, una botella… y utiliza una cinta
métrica para medir su longitud. Mide también su diámetro. Calcula su cociente. Anota las
aproximaciones de π que hayas obtenido.
39. La Tierra es aproximadamente una esfera de radio 6.379 km. ¿Cuánto mide el Ecuador?
40. Antiguamente se definía un metro como: “la diez millonésima parte del cuadrante del meridiano
terrestre que pasa por París”. Según esta definición, ¿cuánto mide (en metros) el diámetro terrestre?
41. Hemos medido la distancia entre los pilares del arco de la figura que es de
5,3 m. ¿Cuál es la longitud del arco?
42. Un faro gira describiendo un arco de 160º. A una distancia de 5 km, ¿cuál
es la longitud del arco de circunferencia en el que se ve la luz?
43. El radio de la circunferencia exterior del
rosetón de la figura es de 4 m, y la de la siguiente
figura es de 3 m.
a) Calcula la longitud del arco que hay en la
greca exterior entre dos figuras consecutivas.
b) Calcula la longitud de arco que hay en la siguiente greca entre
dos figuras consecutivas
c) Calcula el área encerrada por la circunferencia que rodea a la figura interior sabiendo que su
radio es de 2 m.
d) Dibuja un esquema en tu cuaderno de dicho rosetón y calcula áreas y longitudes.
44. Calcula el área de la corona circular de radios 15 y 7 cm.
45. Calcula el área del sector circular y del segmento circular de radio 15 cm y que forma un ángulo de
60 º. Observa que para calcular la altura del triángulo necesitas usar el Teorema de Pitágoras.
46. Calcula el área del sector de corona circular de radios 10 cm y 12 cm y que forma un ángulo de 60º.

178


Biografía de Pitágoras
Pitágoras de Samos nació aproximadamente en el año 580 a. C. y falleció
aproximadamente en el 495 a. C. Destacó por sus contribuciones en
Matemáticas, Filosofía y Música. Entre sus hallazgos matemáticos destaca el
teorema de Pitágoras. Pitágoras fundó la Escuela Pitagórica, en la que todos
los descubrimientos eran de la comunidad, y que mantenía entre otras
normas muy estrictas, la de ser vegetariano. El lema de los Pitagóricos era:
“Todo es número”. Cuando Pitágoras murió quedó su mujer, Teano,
dirigiendo la Escuela. Curiosidad: Los Pitagóricos mostraban odio a las
judías. No se conoce el origen de esa aversión. ¿Preferirían contar con
lentejas?
Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras es uno de los grandes tesoros de la Geometría.
Se habla de las 370 demostraciones del Teorema de Pitágoras: chinos,
hindúes, árabes... tienen la suya.
Teorema de Pitágoras y los egipcios
Incluso hoy algunos albañiles
verifican la perpendicularidad
de los marcos de las puertas y
Dos mil años antes de
de las ventanas mediante la
Cristo, en las orillas
regla que llaman: 6, 8 y 10.
del Nilo, los egipcios
utilizaban una cuerda
con trece nudos para
trazar ángulos rectos.
Sabían que un
triángulo cuyos lados
miden 3, 4 y 5 era un
triángulo rectángulo.

179

RESUMEN
Ejemplos
Teorema de En un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es 25 = 52 = 32 + 42 = 9 + 16
Pitágoras igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
a2 = b2 + c2
Área del cuadrado A = lado2 = l2 Si l = 4 cm  A = 16 cm2

Área del A = base por altura = a ∙ b Si a = 3 cm, b = 5 cm  A = 15

rectángulo cm2.
Área del A = base por altura = a ∙ b a = 7 m, b = 9 m A = 63 m2

paralelogramo

Área del A = (base por altura)/2 = a ∙ b/2 a = 5 m, b = 6 m  A = 15 m2
triángulo
Área del trapecio Área igual a la semisuma de las bases B = 7; b = 3; h = 5  A = 25

por la altura
Área del rombo Área igual al producto de las D = 4, D = 9  A = 36/2 = 18
diagonales partido por 2
Perímetro de un Perímetro es igual a la suma de los Lado = 6 cm, apotema = 5 cm,

polígono lados número de lados = 5 
Perímetro = 6 ∙ 5 = 30 cm;
2
Área de un Área es igual al semiperímetro por la Área = 15 ∙ 5 = 75 cm .
polígono regular apotema
Longitud de la Si el radio es r la longitud es igual a Radio = 3 cm 

circunferencia 2πr. Longitud de un arco de Longitud = 6π  18,84 cm.
circunferencia: 2 ∙ π ∙ r ∙ /360 Área = 9π  28,26 cm2.
Si  = 30º y r = 3 cm Longitud
Área del círculo Si el radio es r, el área es igual a π·r2.
del arco = 2∙π∙3∙30/360 = 0,5π 
Es la diferencia entre el área del 1,57 cm
Área de la
R = 7, r = 3  A = π(72 – 32) =
corona circular. círculo mayor menos la del círculo π(49 – 9) = 40π  125,6 u2
menor.
Área del sector Si abarca un arco  grados, el área es R = 4 cm,  = 60º  A =
circular π∙16∙60/360  8,373 cm2
igual a π ∙ r2∙ /360.
Semejanza Dos figuras son semejantes si sus Si el lado del cuadrado mide 5

ángulos son iguales y sus lados m, otro semejante de lado 15
proporcionales m, k = 3, tiene un área
multiplicada por 9, y el
Razón de Si la razón de semejanza es k, la razón
volumen del cubo multiplicado
semejanza entre las áreas es k2, y entre los
por 27.
volúmenes k3.
180

Teorema de Pitágonas
1. ¿Es posible construir un triángulo rectángulo de 10 cm y 6 cm de medida de sus catetos y 15 cm de
hipotenusa? Razona tu respuesta
2. Dibuja en papel cuadriculado en tu cuaderno un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 y 4
cuadritos. Dibuja luego otro triángulo rectángulo de catetos 6 y 8 cuadritos. Mide las dos
hipotenusas y anota los resultados. ¿Es la medida de la segunda hipotenusa doble que la de la
primera? Razona la respuesta. Calcula las áreas formadas por los cuadrados construidos sobre los
catetos y la hipotenusa.
3. Dibuja un triángulo que no sea rectángulo, que sea acutángulo y comprueba que no verifica el
teorema de Pitágoras. Dibuja ahora uno que sea obtusángulo, y de nuevo comprueba que no lo
verifica. Razona la respuesta.
4. ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo de dimensiones 8,2 cm y 6,9 cm?
5. Calcula la longitud de la hipotenusa de los siguientes triángulos rectángulos de catetos:
a) 16 cm y 12 cm b) 40 m y 30 m
c) 5 dm y 9,4 dm d) 2,9 km y 6,3 km.
6. Calcula la longitud del cateto que falta en los siguientes triángulos rectángulos de hipotenusa y
cateto:
a) 25 cm y 15 cm b) 35 m y 21 m
c) 42 dm y 25 dm d) 6,1 km y 4,2 km
7. Calcula la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 8 m.
8. Calcula la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 cm y 5 cm
9. Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 6 cm y la hipotenusa de 10 cm. ¿Cuál es su perímetro? ¿Y
su área?
Semejanza
10. Indica si son semejantes los siguientes pares de triángulos:
a) Un ángulo de 30º y otro de 20º. Un ángulo de 120º y otro de 20º.
b) Triángulo isósceles con ángulo desigual de 80º. Triángulo isósceles con un ángulo igual de 50º.
c) A = 40º, b = 8 cm, c = 12 cm. A’= 40º, b’ = 4 cm, c’ = 6 cm
d) a = 3 cm, b = 4 cm, c = 6 cm. a’ = 12 cm, b’ = 16 cm, c’ = 24 cm
11. Calcula el valor desconocido para que los triángulos sean semejantes:
a) a = 15 cm, b = 9 cm, c = 12 cm. a' = 10 cm, b' = 4 cm, ¿c'?
b) A = 50º, b = 3 cm, c = 7 cm. A’ = 50º, b' = 18 cm, ¿a'?
12. Las longitudes de los lados de un triángulo son 12 cm, 14 cm y 14 cm. Un triángulo semejante a él
tiene un perímetro de 80 cm. ¿Cuánto miden sus lados?
13. Dibuja en tu cuaderno un pentágono regular. Traza sus diagonales. El triángulo formado por un lado
181

del pentágono y las dos diagonales del vértice opuesto se denomina triángulo áureo, pues al dividir
el lado mayor entre el menor se obtiene el número de oro, ¿cuánto miden sus ángulos? Busca en la
figura que has trazado otros triángulos áureos. ¿Cuál es la relación de proporcionalidad?
14. ¿Cuánto es la suma de los ángulos interiores de un rombo?
15. La sombra de un edificio mide 15 m, y la del primer piso 2 m. Sabemos que la altura de ese primer
piso es de 3 m, ¿cuánto mide el edificio?
16. En el museo de Bagdad se conserva una tablilla en la que
aparece dibujado un triángulo rectángulo ABC, de lados a = 60, b
= 45 y c= 75, subdividido en 4 triángulos rectángulos menores
ACD, CDE, DEF y EFB, y el escriba calcula la longitud del lado AD
como 27. ¿Ha utilizado la semejanza de triángulos? ¿Cómo se
podría calcular? ¿Qué datos necesitas? Calcula el área del
triángulo ABC y del triángulo ACD. Determina la longitud de los
segmentos CD, DE y EF.
17. Un triángulo rectángulo isósceles tiene un cateto de longitud 20 cm, igual a la hipotenusa de otro
triángulo semejante al primero. ¿Cuánto valen las áreas de ambos triángulos?
18. El mapa a escala 1:5000000 de un pueblo tiene un área de 700 cm2, ¿cuánto mide la superficie
verdadera de dicho pueblo?
19. Uniendo los puntos medios de los lados de un triángulo se obtiene otro triángulo. ¿Cómo son? ¿Qué
relación hay entre sus perímetros? ¿Y entre sus áreas?
20. La altura y la base de un triángulo rectángulo miden respectivamente 6 y 15 cm; y es semejante a
otro de base 30 cm. Calcula la altura del nuevo triángulo y las áreas de ambos.
Áreas y perímetros
21. Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 6 cm y la hipotenusa de 10 cm. ¿Cuál es su perímetro? ¿Y
su área?
22. Calcular el área de un pentágono regular de 4 cm de lado y 3,4 cm de radio.
23. Calcula el área de un triángulo equilátero de lado 8 m. Ayuda: Utiliza el teorema de Pitágoras para
calcular la altura.
24. Calcula el área de un hexágono regular de lado 7 cm. Ayuda: Utiliza el teorema de Pitágoras para
calcular su apotema.
25. Calcula el volumen de un tetraedro regular de lado 3 dm.
26. Calcula la longitud de la diagonal de un rectángulo de base 6 cm y altura 4 cm.
27. Para sostener un árbol atas una cuerda a una altura de 2,5 m, y la sujetas al suelo a una distancia de
3 m. ¿Qué cantidad de cuerda necesitas?
28. Si una cometa tiene una cuerda de 15 m de larga y está sobre un farol que dista 5 m de Javier, ¿a qué
altura del suelo está la cometa?
29. Calcula el área de un rombo de 4 cm de lado y cuya diagonal mayor mide 6 cm.
30. Calcula el área de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 7 cm y su perímetro mide 20 cm.
31. ¿Cuál es el área de un rectángulo cuya diagonal mide 13 cm y su altura 5 cm?
182

32. Calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 24 y 10 cm respectivamente.
Problemas
33. Dibuja en tu cuaderno el diseño del mosaico del margen. Observa que
está formado por cuadrados (rosas), triángulos (blancos) y hexágonos
(grises), todos ellos de igual lado. Si ese lado mide 5 cm, calcula: a) El
área del cuadrado; b) El área del triángulo; c) El área del hexágono. d)
Considera la parte formada por 3 hexágonos, 13 triángulos y 13
cuadrados. Calcula el área total.

34. Dibuja en tu cuaderno el diseño del mosaico del margen. Observa
que está formado por cuadrados (rojos) y triángulos de dos colores, todos
ellos de igual lado. Si ese lado mide 7 cm, calcula: a) El área del cuadrado; b)
El área del triángulo. c) Considera cuatro franjas del mosaico y relaciona las
áreas de los cuadrados con la de los triángulos. ¿Qué proporción aparece?

Calcula el área total de esas cuatro franjas.

35. Calcula el área de un hexágono de la figura si su lado mide 9 cm. Calcula
el área de un triángulo. ¿Qué ocupa mayor área, los hexágonos o los
triángulos?

36. Una escalera debe alcanzar una altura de 7 m, y se separa de la pared una distancia de 2 m, ¿cuál es
su longitud?
37. Tenemos dos terrenos de igual perímetro, uno cuadrado y el otro rectangular. El rectangular mide
200 m de largo y 60 m de ancho. Calcula:
a) La diagonal del terreno cuadrado.
b) La diagonal del rectángulo
c) El área de cada terreno.
d) ¿Cuál tiene mayor superficie?
38. Se quiere diseñar un posavasos. Puede ser cuadrado de 12 cm de lado o circular de 7 cm de radio. a)
Calcula ambas superficies. A los posavasos se les quiere poner un reborde. b) ¿Qué longitud de
reborde se necesita en cada caso? c) ¿Cuál es menor? d) Tenemos 50 cm de reborde, y queremos
aprovecharlo todo, ¿qué cuadrado podemos diseñar y qué posavasos circular? e) Calcula el área de
cada uno.
39. Un constructor está rehabilitando un edificio. Para las ventanas rectangulares que miden 1,2 m de
ancho y 1,5 m de alto, corta travesaños para poner en su diagonal. ¿Cuánto deben medir?
40. La pirámide de Keops mide unos 230 metros de lado. Podemos, con dificultad, medir la altura de
una cara, estimamos que mide unos 180 m, pero ¿cómo conocer la altura de la pirámide? ¿Cuánto
mide?
41. Un cubo mide de arista 8 cm. Calcula utilizando el teorema de Pitágoras la longitud de la diagonal de
una cara, y la longitud de la diagonal del cubo.
183


42. Una pirámide triangular regular tiene una altura de 7 cm y el radio de la circunferencia circunscrita a
su base es de 4 cm. Calcula utilizando el teorema de Pitágoras:
a) Longitud de una arista.
b) Altura del triángulo de la base.
c) Perímetro de la base
d) Altura de una cara
e) Perímetro de una cara
43. Un cono tiene una altura de 10 cm y la generatriz de 12 cm. ¿Cuánto mide el radio de su base?
44. En un museo de Berlín se encuentra este friso babilónico.
Está hecho utilizando pequeños conos de arcilla. Tenemos
conos claros, más rojizos y más grises. El diámetro de la
base de cada cono es de un cm. Calcula la superficie del
rombo (rojizo) exterior, del siguiente rombo claro, del
rombo gris…. Haz un diseño de dicho rombo en tu cuaderno
así como del mosaico resultante. Si quieres construir un
mosaico de un metro de largo, ¿cuántos conos de cada
color necesitas?

45. ¡Mira este bonito friso del museo de Berlín! Haz a escala
un diseño en tu cuaderno y toma medidas. Si la longitud del friso
es de un metro: a) Calcula la superficie de cada pétalo de la flor. b)
Calcula la superficie de cada trozo de trenza. c) calcula la
superficie de cada abanico.

46. Dibuja en tu cuaderno un esquema del mosaico del
margen. Sabemos que mide de ancho 1,2 m. a)
Calcula el lado de la estrella de 8 puntas. b) La
superficie de dicha estrella. c) La superficie de la cruz,

184

AUTOEVALUACIÓN
1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 2 y 6 cm mide:
a) 6,32 cm b) 7 cm c) 0,05 m d) 627 mm
2. En un triángulo rectángulo de hipotenusa 10 m y un cateto 7 m, el otro cateto mide:
a) 714 cm b) 7,4 m c) 8 m d) 8925,1 mm
3. El lado de un hexágono regular mide 7 m, entonces su área mide aproximadamente:
a) 4,3 dam2 b) 21 m2 c) 40 m2 d) 1273057 cm2
4. El área de un rectángulo de 10 cm de diagonal y 8 cm de base es:
a) 53 cm2 b) 80 cm2 c) 48 cm2 d) 62 cm2
5. El rombo de diagonales 54 dm y 72 dm tiene aproximadamente como perímetro:
a) 45 dm b) 181 dm c) 126 dm d) 200 m
6. El trapecio de bases 7 cm y 5 cm y lado 8 cm, tiene como área:
a) 49 cm2 b) 48 cm2 c) 50 cm2 d) 48,37 cm2
7. La diagonal de un cuadrado de lado 1 m mide aproximadamente:
a) 3,14 m b) 1,4 m c) 1,26 m d) 1,7 m
8. La hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm mide:
a) 6,32 cm b) 5 cm c) 0,052 m d) 62 mm
9. En un triángulo rectángulo de hipotenusa 10 m y un cateto 6 m, el otro cateto mide:
a) 87 cm b) 4 m c) 8 m d) 5,1 mm
10. El perímetro de un rombo de diagonales 12 cm y 16 cm es:
a) 34 cm b) 70 cm c) 40 cm d) 62 cm

185
185 Cuerpos Geométricos. 2º de ESO
2º ESO CAPÍTULO 9: CUERPOS GEOMÉTRICO. VOLÚMENES
Autor: Fernando Blasco

Revisor: Eduardo Cuchillo y José Gallegos.
Ilustraciones: Banco de imágenes del INTEF. Wikipedia Commons
Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 7: Cuerpos geométricos. Volúmenes Autor: Fernando Blasco

186
Índice
1. EL ESPACIO
1.1. EL ENTORNO EN EL QUE NOS MOVEMOS
1.2. DIMENSIONES
1.3. POLIEDROS, CUERPOS REDONDOS Y OTRAS FIGURAS
1.4. ELEMENTOS DEL ESPACIO
1.5. REPRESENTACIÓN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
2. POLIEDROS
2.1. POLIEDROS REGULARES
2.2. PRISMAS
2.3. PIRÁMIDES
2.4. ÁREAS DE POLIEDROS
2.5. VOLÚMENES DE PRISMAS Y PIRÁMIDES
3. CUERPOS REDONDOS
3.1. CILINDRO
3.2. CONO
3.3. ESFERA
3.4. SUPERFICIES DE CUERPOS REDONDOS
3.5. VOLUMEN DEL CILINDRO Y DEL CONO
3.6. VOLUMEN DE LA ESFERA
Resumen
En nuestro día a día, en la vida real, casi nunca encontramos figuras planas, sino que utilizamos objetos
tridimensionales.
Una caja de zapatos, una goma de borrar o un paquete de tizas son ejemplos de prismas. El dado del
parchís (cubo) o el dado de un juego de rol (icosaedro) son poliedros regulares. De las pirámides no
hablamos: las que hay en Egipto son de todos conocidas. Las latas de conservas vegetales y las tizas de
colores suelen ser cilíndricas, hay muchos helados con forma de cono y tanto las pelotas como las
pompas de jabón tienen forma de esfera.
Nos interesará calcular el volumen de estos cuerpos (para saber cuánto cabe en su interior) y su área (lo
que nos permitirá, por ejemplo, estimar la cantidad de pintura necesaria para recubrirlos).

187
1. EL ESPACIO
1.1. El entorno en que nos movemos
Nuestra vida se desarrolla en un entorno tridimensional: cuando vamos a comprar un mueble medimos
tres dimensiones, para ver si nos cabe en casa: alto, ancho y largo. Incluso los objetos “planos”, como
una hoja de papel o un DVD en realidad son tridimensionales, pero su altura es muy pequeña y
tendemos a considerarlos planos.
A pesar de que en nuestro día a día nos encontramos objetos tridimensionales, es más difícil estudiarlos
porque no caben en un libro, a no ser que sea un libro especial con páginas desplegables (acabamos de
decir que las páginas son bidimensionales). Por eso se recurre a fabricar modelos (en plastilina,
cartulina, arcilla u otro material) o a utilizar representaciones planas de estos objetos.
Una técnica muy utilizada en matemáticas consiste en aprovechar lo que ya sabemos para aprender los
nuevos conceptos. Por ello en este tema nos centraremos fundamentalmente en cuerpos geométricos
que se obtienen a partir de figuras planas. Vamos a familiarizarnos con esos objetos.
Observa un dado. ¿Cuántas caras tiene? ¿Qué forma tienen sus caras? Mira ahora un paquete de
tizas blancas. ¿Cuántas caras tiene? ¿Qué forma tienen? ¿En qué se parecen el dado y la caja?
¿En qué se diferencian?
El dado tiene 6 caras. Cada cara tiene la forma de un cuadrado.
El paquete de tizas también tiene 6 caras. Pero las caras tienen forma rectangular.
El dado y la caja se parecen en la forma (si la caja fuera de goma y pudiésemos comprimirla tanto
como quisiéramos, podríamos obtener un dado a partir de ella). Se parecen en que tienen ambos 6
caras. Se diferencian en que en un caso las caras son cuadradas y en el otro rectangulares.
1. Busca una lata de tomate frito y el trozo de cartón que hay en el interior de un
0rollo de papel higiénico.
a) ¿Qué forma tienen las bases de la lata?
b) ¿Hay esquinas angulosas en alguno de los objetos?

c) Mete unas tijeras en el cartón del rollo de papel higiénico y
corta. ¿Qué figura plana obtienes?
d) Imagina que quieres poner tapa y base al rollo de cartón para
que tenga la misma forma que la lata de tomate frito. ¿Qué figura
plana debes utilizar?

188
1.2. Dimensiones
El espacio involucra tres dimensiones: ancho, alto y largo, mientras que el plano involucra solo a dos.
Ejemplo:
Una hoja de tamaño A4 mide 21 cm x 29,7 cm. Damos 2 números para hablar de su tamaño.
La caja donde vienen los paquetes de 2500 hojas A4 mide 21 cm x 29,7 cm x ??? cm. Necesitamos tres
números para referirnos a su tamaño. El número que hemos añadido es la altura de la caja.
Ejemplo:
Si has visto dibujos hechos por los egipcios te habrá llamado la atención que están dibujados con
unas poses muy extrañas. Se debe a que representar en un plano un cuerpo del espacio es muy
complejo. Las figuras pierden su volumen.
Leonardo Da Vinci, un genio en todos los

campos y que colaboró en muchas
actividades matemáticas con Luca Paccioli
(que era su profesor) fue uno de los pioneros
en conseguir representar lo tridimensional en
un cuadro. Esas representaciones utilizan
matemáticas.
2. Busca una caja de galletas. Mídela y da el valor de sus tres dimensiones.
3. Dibuja en un papel esa caja de galletas. Es difícil, porque estás representando en algo de dimensión
2 (la hoja) un objeto tridimensional (la caja).
4. Dibuja un balón de fútbol, una lata de conservas y un donut en una hoja de papel.

189
1.3. Poliedros, cuerpos redondos y otras figuras
Un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son polígonos.
Llamamos cuerpos redondos a figuras bastante regulares que tienen alguna superficie curva.
Un tipo particular de poliedros son los poliedros regulares, que estudiaremos

en otra sección de este capítulo. Los prismas y pirámides también son
poliedros.
Los principales cuerpos redondos que estudiaremos

son las esferas, conos y cilindros. Un tipo particular
de cuerpos redondos es el de los cuerpos de revolución, que se obtienen al
girar una figura plana en torno a un eje.
Si cogemos una tarjeta de visita (rectangular), la atravesamos por un hilo
siguiendo su eje de simetría y la hacemos girar, ¿qué figura obtenemos?
La figura que se obtiene es un cilindro. Puedes comprobarlo.
¿Qué forma tiene una rosquilla?

La rosquilla no es ni una esfera ni un cilindro ni un cono.
Su forma, igual que la de un neumático es otra figura matemática, muy
utilizada, denominada toro (no te asustes, es un toro inofensivo, sin
cuernos).
5. Corta un triángulo isósceles de papel. Pega un hilo a lo largo de su eje de simetría y hazlo girar. ¿Qué
figura se obtiene?
6. Para cada uno de los apartados siguientes, escribe en tu cuaderno 5 objetos cotidianos que tengan
la forma requerida:
a) esfera b) cilindro c) poliedro regular d) prisma e) pirámide f) cono
7. Aprende a hacer un cubo con papiroflexia:
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=13498&directory=67

190
1.4. Elementos del espacio
Puntos, rectas y planos
Mira a tu alrededor. Estás en una habitación. Las paredes, el suelo y el techo son planos. Estos planos a
veces se cortan en segmentos de rectas. Y la intersección de tres de esos planos o de dos de esas rectas
es en un punto.
En el cubo del margen hemos dado nombre a los
puntos con letras mayúsculas: A, B, C, D, E, F, G…; A s B
a las rectas con letras minúsculas: r, s, t, u…; y a los r
planos con letras griegas: π, α… π D
C
También se podrían denominar diciendo, recta que v
pasa por los puntos A y B, o plano que contiene a los t
puntos A, B y C.
u
α
Actividades propuestas G
8. Indica la recta que pasa por los puntos D y F.
9. Indica el plano que pasa por los puntos C, D y E.
E F
10. Indica el plano que contiene a la recta t y al punto B.
11. Indica el plano que contiene a las rectas s y t.
Posiciones relativas de dos planos

En tu habitación el plano del techo y el del suelo son planos paralelos. El plano del techo y el de una
pared son planos secantes. Además como forman un ángulo recto son planos perpendiculares.
Dos planos en el espacio son paralelos si no tienen ningún punto en común, y son secantes si tienen
una recta en común.
Observamos las seis caras del cubo y comprobamos que o son paralelas o son secantes. Las que
son secantes también son en este caso perpendiculares.
El plano π y el plano α son secantes y se cortan en la recta t.
El plano π y el del suelo son paralelos.

191
12. Indica un plano paralelo al plano de la pizarra.
13. Dibuja en tu cuaderno un croquis de tu aula y señala los planos que sean secantes al plano del
techo.
Posiciones relativas de dos rectas en el espacio

Sigue mirando tu aula. Fíjate en una recta del techo. Las otras tres rectas del techo o se cortan con ella,
o son paralelas. Sigue fijándote en la misma recta, y mira las cuatro rectas verticales que forman las
paredes. ¿Cómo son respecto a esa recta? Observa que dos de ellas la cortan pero las otras dos ni la
cortan ni son paralelas. Decimos que esas rectas se cruzan
Dos rectas en el espacio o son paralelas o se cortan o se cruzan.
Nos fijamos en el cubo anterior en la recta r. La recta s la corta (es secante) en el punto A.
La recta t la corta en el punto C. Las tres rectas r, s y t están en el plano π.
Las rectas r y v son paralelas y también están en el plano π.
Pero las rectas r y u no se cortan en ningún punto, ni son paralelas, ni hay ningún plano que
contenga a ambas. Las rectas r y u se cruzan.
14. Dibuja en tu cuaderno un cubo. Nombra a todos sus puntos con letras mayúsculas, todas sus rectas
con letras minúsculas, y todos sus planos con letras griegas. Indica:
a) Tres pares de rectas que sean paralelas. Indica en cada caso sobre qué plano se encuentran
b) Tres pares de rectas que se crucen.
c) Tres pares de rectas que sean secantes. Indica en cada caso en qué punto se cortan, y en qué
plano se encuentran.
Posiciones relativas de recta y plano

Una recta puede estar contenida en un plano o ser paralela al plano o ser secante.
Seguimos fijándonos en el cubo anterior. El plano π contiene a las rectas r, s, t y v. La recta u
corta al plano π en el punto D. La recta que pasa por los puntos E y F es paralela al plano π.
15. Indica las rectas que están contenidas en el plano α. Indica las que son paralelas a dicho plano.
Indica las que son secantes señalando el punto de intersección.

192
1.5. Representación de cuerpos geométricos
Del espacio al plano

Los arquitectos, ingenieros y en otras muchas profesiones,
necesitan dibujar en papel los edificios y las piezas que
diseñan. Una forma de hacerlo es representarlos desde tres
puntos de vista: planta, perfil y alzado.
Otros profesionales, como los médicos, utilizan otras técnicas,

como la tomografía, en la que se representan los cortes
mediante varios planos paralelos.
La siguiente tomografía corresponde a un cono con cortes paralelos a su base:
16. Dibuja en tu cuaderno la planta, el perfil y el alzado de:
a) un cubo b) un cilindro d) un cono e) una esfera f) una pirámide
17. Dibuja en tu cuaderno una tomografía de:

a) Una esfera con cortes paralelos a su ecuador
b) Un cilindro con cortes paralelos a su base
c) Un cilindro con cortes paralelos a una arista
d) Un cubo con cortes paralelos a una cara
e) Un cubo con cortes paralelos a una arista.

193
Del plano al espacio
Muchos cuerpos geométricos podemos construirlos haciendo su desarrollo
en un plano. Por ejemplo podemos construir un prisma hexagonal con el
desarrollo del margen:
Si quieres construirlo, piensa ¿Dónde pondrías las pestañas para poder
pegarlo?
18. Dibuja en tu cuaderno un desarrollo para construir un cubo. Dibuja las pestañas para pegarlo.
19. Dibuja en tu cuaderno un desarrollo para construir una caja con tapa.
20. Dibuja en tu cuaderno el desarrollo de un cilindro.
Formas de representación
Hemos visto formas de representar los cuerpos geométricos: tomografías, desarrollo, perfil, planta y
alzado… pero existen otras como describirlo con palabras, como por ejemplo: Posee 8 vértices, 12
aristas, 6 caras todas iguales a cuadrados. ¿Sabes ya qué estamos describiendo?
Antes vimos la diferencia entre la forma de dibujar en el Egipto antiguo y la de Leonardo da Vinci.
Leonardo ya conocía la perspectiva. Los artistas de Renacimiento consiguieron un gran dominio de la
perspectiva.
Una forma de perspectiva es la perspectiva caballera, que consiste en
suponer que el ojo que mira la figura está infinitamente lejos. Se tiene
entonces, entre otras, las siguientes reglas:
a) Las rectas paralelas en la realidad se mantienen paralelas en el dibujo.
Cubo en perspectiva caballera
b) Los segmentos iguales sobre rectas paralelos mantienen igual longitud.
21. Dibuja en tu cuaderno una mesa en perspectiva caballera.
22. Describe un tetraedro diciendo cuántos vértices tiene, cuántas aristas y cuántas caras.
23. Dibuja en tu cuaderno la planta, el perfil y el alzado de un cubo.
24. Dibuja en tu cuaderno una habitación en perspectiva caballera.
25. Dibuja una tomografía de una botella cortando por planos paralelos a su base.

194
2. POLIEDROS
2.1. Poliedros regulares
Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares iguales y además en cada vértice
concurre el mismo número de caras.
Solo existen 5 poliedros regulares convexos, que son los que presentamos en la siguiente tabla:
Llamamos aristas de un poliedro a los lados de las caras de éste.

Los vértices del poliedro son los vértices de sus caras.
Cuenta el número de caras, de aristas y de vértices de cada uno de los 5 poliedros regulares.
CARAS VÉRTICES ARISTAS

TETRAEDRO 4 4 6
CUBO (HEXAEDRO) 6 8 12
OCTAEDRO 8 6 12
DODECAEDRO 12 20 30
ICOSAEDRO 20 12 30
26. Haz modelos en cartulina de los cinco poliedros regulares. Puedes hacerlo en equipo con tus
compañeros.
Para cada uno de los cinco poliedros regulares calcula el valor de:
Número de caras + número de vértices – número de aristas.
¿Observas alguna pauta?

195
27. Hay poliedros con todas sus caras polígonos regulares que no son poliedros
regulares. Describe el poliedro del margen. ¿Por qué no es un poliedro regular?
28. Hay poliedros con todas sus caras iguales que no son
poliedros regulares. Como el poliedro formado por 6 rombos
que se llama romboedro. Descríbelo. Construye uno con el
desarrollo indicado:
29. En una trama de triángulos dibuja el desarrollo de un poliedro que tenga 6 caras triángulos
equiláteros y construye dicho poliedro. Tiene todas sus caras iguales y polígonos regulares. ¿Por qué
no es un polígono regular?
2.2. Prismas.
Un prisma es un poliedro limitado superior e inferiormente por dos polígonos paralelos e iguales
(bases) y tantos paralelogramos (caras laterales) como lados tienen las bases.
La altura del prisma es la distancia entre sus bases.

Cuando todas las caras laterales son rectángulos, se dice que el prisma es un prisma recto.
Si algunas caras laterales son romboides, tenemos un prisma oblicuo.

196
Ejemplo:
Casi todos los rascacielos tienen una forma que recuerda a un prisma recto.
Aunque algunos arquitectos tienen ideas más originales y se atreven con prismas oblicuos.
Llamamos prisma regular al prisma que tiene por bases dos polígonos regulares.
PRISMA TRIANGULAR PRISMA RÓMBICO PRISMA HEXAGONAL

197
Aun cuando no sea regular, al prisma se le nombra en función de los polígonos de la base. Así, si la base
es un triángulo tendremos un prisma triangular, si es un cuadrilátero el prisma se llamará
cuadrangular, si es un rombo, prisma rómbico y cuando la base sea un hexágono, el prisma será
hexagonal.
La Calzada de los Gigantes, en Irlanda del Norte, presenta

rocas de Basalto que han cristalizado en forma de prismas
hexagonales. Las figuras geométricas aparecen también en la
naturaleza.
Los prismas cuadrangulares pueden tener otros muchos

nombres como paralelepípedo, si todas sus caras son
paralelogramos, paralelas dos a dos; ortoedro si sus caras son
rectángulos, es decir, es un paralelepípedo rectangular.
Además de los que ya conoces como cubo, prisma rómbico…
30. Hay unas chocolatinas que tienen forma de prisma triangular regular recto. ¿Qué otros prismas
regulares puedes construir con unas cuantas de ellas? Construye también prismas que no sean
regulares.
31. Clasifica los prismas de la figura en función de que sean regulares o no, rectos o oblicuos y del
número de lados de sus bases.
32. A partir del desarrollo de un prisma cuadrangular regular recto, piensa cómo debe ser el desarrollo
de un prisma cuadrangular regular oblicuo. ¡Constrúyelo!
33. Recuerda: Una diagonal es un segmento que une dos vértices no consecutivos de un poliedro.
¿Cuántas diagonales tiene un prisma regular triangular? ¿Y un prisma regular cuadrangular?
34. Describe un ortoedro, diciendo el número de aristas y vértices, y el número de caras, describiendo
su forma. (A veces se le llama caja de zapatos).

198
2.3. Pirámides
Una pirámide es un poliedro limitado inferiormente por un polígono y superior y lateralmente por
triángulos con un vértice común.
Llamaremos base de la pirámide al polígono que la limita inferiormente.
Caras laterales a los triángulos que tienen un lado común con la base y un
vértice común.
A ese vértice común se le llama vértice de la pirámide.
La altura de la pirámide es la distancia del vértice a la base.
Cuando la base de la pirámide es un polígono regular y el vértice se proyecta sobre el centro de la base,
nos encontramos ante una pirámide regular.
Dependiendo del número de lados de la base de la pirámide, ésta puede ser triangular, cuadrangular,
pentagonal...
Ejemplo:
Hay unas pirámides muy famosas: las pirámides de Giza,
cerca de El Cairo, en Egipto. Son pirámides regulares con
base cuadrada.
Ejemplo:
Un tetraedro regular puede pensarse como una pirámide
triangular regular.
Ejemplo:
Un octaedro regular se puede cortar con un corte plano, formando dos pirámides
cuadrangulares regulares. Por ese motivo se le denomina “bipirámide”.
Llamamos tronco de pirámide al poliedro que se obtiene al cortar

una pirámide por un plano paralelo a su base.
Observación: Al cortar la pirámide por el plano paralelo a su base en

realidad quedan dos cuerpos: una pirámide más pequeña,
proporcional a la que teníamos originalmente y el tronco de
pirámide.
El tronco de pirámide conserva la base de la pirámide original y, en el plano del corte, aparece un nuevo
polígono, que es semejante a la base (y que actúa a modo de “tapa” del poliedro). Esta es la llamada
base superior.

199
35. Construye una pirámide pentagonal regular usando un
desarrollo como el indicado.
36. Sabiendo cómo es el desarrollo de una pirámide pentagonal
regular, y que un tronco de pirámide se obtiene cortando ésta
por un plano, piensa y dibuja cómo debe ser el desarrollo del
tronco de pirámide pentagonal regular.
37. Clasifica las pirámides de la figura en función de que sean
regulares o no, rectas u oblicuas y del número de lados de su base.
38. A partir del desarrollo de una pirámide cuadrangular regular recta, piensa y dibuja cómo debe ser el
desarrollo de una pirámide cuadrangular oblicua. ¡Constrúyela!
2.4. Superficie de poliedros

La superficie de un poliedro es la suma de las áreas de todas sus caras.
Calcular la superficie de un poliedro es simple, puesto que solo hay que reducirlo a calcular las áreas de
los polígonos que forman sus caras y sumar.
Ejemplos:
Superficie de un cubo de 3 cm de arista:
El cubo tiene 6 caras, que son cuadrados. Como el área de cada uno de esos cuadrados es 9 cm2, el del
cubo será 6 ∙ 9 = 54 cm2.
Superficie de un icosaedro regular de 3 cm de arista:

El icosaedro regular consta de 20 triángulos iguales. Como el área del triángulo
es la mitad del producto de la base (3) por la altura ( 3 3 ), el área de cada uno
2
de los triángulos es 1/2 ∙3 ∙ ( 3 3 ). Así, el área del icosaedro es 45 3 cm2.
2

200
Superficie de un prisma hexagonal regular recto de altura 10 cm y en
el que el lado del hexágono de la base es de 4 cm.
Debemos recordar que el área de un polígono regular es la mitad del
producto de su perímetro por su apotema. Así, como el lado mide 4 cm, el
perímetro mide 24 cm. Calculamos la longitud de apotema, utilizando el
teorema de Pitágoras podemos deducir que la apotema del hexágono mide
2 3.
Así el área de una base es 24 ∙ 2 3 = 24 3 cm2.

2
Las caras laterales son rectángulos. El área de cada una de las caras laterales se calcula multiplicando la
base por la altura: 4 ∙ 10 = 40 cm2.
La superficie total del prisma se obtiene sumando el área de las 6 caras laterales rectangulares más el
de las dos bases hexagonales: 6 ∙ 40 + 2 ∙ 24 3 = 240 + 48 3 cm2.
39. Halla la superficie de un octaedro regular de 5 cm de arista.
40. Halla el área de un prisma cuadrangular oblicuo cuya base es un rombo con diagonales que miden 6
cm y 8 cm y su altura mide 12 cm.
41. ¿Cuánto cartón es necesario para construir una caja de zapatos de aristas con longitudes de 12 cm,
22 cm y 10 cm?
42. Si con un litro de pintura podemos pintar 20 m2, ¿cuántos litros de pintura son necesarios para
pintar un icosaedro regular de 38 cm de arista?
2.5. Volumen de prismas y pirámides

El volumen de un cuerpo geométrico representa lo que ocupa en el espacio. Asociado a este concepto
está el de capacidad de un cuerpo, que es lo que puede contener. En matemáticas muchas veces se
confunden estos dos conceptos, dado que las “paredes” del cuerpo se suponen sin grosor.
Del mismo modo que el área de un
rectángulo es el producto de sus dos
dimensiones (base x altura), el volumen del
prisma rectangular recto (ortoedro) es el
producto de sus tres dimensiones: largo x
ancho x alto.
Si pensamos un poco en qué significa largo x

ancho, veremos que esto es precisamente el
área de la base, con lo que el volumen del ortoedro también puede calcularse multiplicando el área de
su base por su altura. Podemos extender esa idea a cualquier prisma:
El volumen de un prisma es igual al producto del área de su base por su altura.

201
Calcula el volumen de un prisma recto cuya base es un pentágono regular de 10 cm2 de área y su
altura es de 15 cm.
Como nos dan el área de la base no necesitamos calcularla.
Volumen = Área de la base x altura = 10 ∙ 15 = 150 cm3
Halla el volumen de un prisma cuadrangular oblicuo cuya base es un rombo con diagonales que
miden 6 cm y 8 cm y su altura es igual a la diagonal mayor.
El área del rombo es la mitad del producto de sus dos diagonales. Así en este caso el área de la base
del prisma es 1/2 ∙ 6 ∙ 8 = 24 cm2.
Para calcular el volumen nos da igual que el prisma sea recto o no, ya que solo nos interesa el área
de la base y la altura, que en este caso es de 8 cm, igual a la diagonal mayor.
Volumen = Área de la base x altura = 24 ∙ 8 = 192 cm3
El volumen de una pirámide es un tercio del volumen del prisma

que tiene la misma base que la pirámide y la misma altura que ella.
Probar esa propiedad relativa al volumen de una pirámide es

complicado: requiere intuición geométrica, aunque te puedes hacer
una idea de por qué ese resultado es cierto utilizando papiroflexia
para construir un prisma a partir de tres pirámides del mismo
volumen (consulta la revista al final del tema).
43. Halla el volumen de una pirámide hexagonal regular, en la que cada lado de la base mide 3 cm y la
altura es de 12 cm.
44. Halla el volumen de un octaedro de 8 cm de arista. Indicación: puedes descomponer el octaedro en
dos pirámides cuadradas regulares.

202
3. CUERPOS REDONDOS
3.1. Cilindros
Del mismo modo que un prisma recto se levanta a partir de una base poligonal, un cilindro se construye
a partir de una base circular.
Un cilindro se puede generar haciendo girar un rectángulo alrededor de uno de

sus lados. Los círculos que se obtienen al girar el otro lado son las bases del
cilindro. El lado del rectángulo que nos sirve como eje de giro coincide con la
altura del cilindro.
Ejemplo:
Antes nos hemos referido a rascacielos con forma de prisma,

pero también los hay con forma de cilindro. Incluso hay
cilindros en torres de iglesias.
Ejemplo:
Las latas de conservas son cilindros. Los rollos de papel higiénico tienen forma
cilíndrica (de hecho, el nombre cilindro proviene de una palabra griega que se refiere
a su forma enrollada). Hay envases de patatas fritas con forma cilíndrica. Las latas de
refresco también tienen forma de cilindro. Muchos objetos cotidianos tienen forma de cilindro.
El desarrollo de un cilindro nos permitiría

recortarlo en cartulina y armarlo. Consta de un
rectángulo, que lo limitará lateralmente y de dos
círculos, las bases que lo limitan inferior y
superiormente.
45. Dibuja el desarrollo correspondiente a un cilindro cuya base es un círculo de 2 cm de radio y su
altura es de 10 cm. Después, utilizando cinta adhesiva, construye ese cilindro en papel.

203
3.2. Conos
Si para hablar del cilindro poníamos como ejemplo a los prismas, para
hablar del cono ponemos como ejemplo a las pirámides.
Un cono se puede generar haciendo girar un triángulo rectángulo
alrededor de uno de sus catetos. El círculo que se obtiene al girar el
otro cateto es la base del cono. El lado del triángulo que nos sirve
como eje de giro coincide con la altura del cono. La hipotenusa del
triángulo rectángulo mide lo mismo que la generatriz del cono.
Ejemplo:
No conocemos rascacielos con forma cónica, pero las tiendas de los indios que
estamos acostumbrados a ver en las películas del oeste tienen esa forma.
El desarrollo de un cono consta de un sector

circular y un círculo. Nos permitiría recortarlo en cartulina y armarlo.
Al igual que hacíamos con las pirámides, podemos

cortar un cono por un plano paralelo a su base,
resultando un cono más pequeño (la parte superior
del corte) y otro cuerpo. Ese otro cuerpo, que
tiene dos bases circulares se denomina tronco
de cono. Su altura es la distancia entre sus dos
bases y llamaremos generatriz del tronco de
cono al segmento que ha de la generatriz del cono original que ha
quedado tras cortar la parte superior.
Un tronco de cono se puede obtener haciendo girar un trapecio
rectángulo alrededor de su altura.
Ejemplo:
En los circos, los domadores suelen subir a las fieras en “taburetes” con
forma de tronco de cono. Una flanera tiene forma de tronco de cono. Los
envases de queso fresco también tienen forma de cono. ¿Has pensado
por qué?

204
3.3. Esferas
Es más complicado definir una esfera que poner ejemplos
de objetos con forma esférica: una sandía, una pelota, una
canica… La esfera es la generalización natural del círculo
(plano) al espacio.
Una esfera se puede generar haciendo que un semicírculo gire alrededor de su

diámetro.
Madrid: Al otro
lado del muro El radio del semicírculo es el radio de la esfera.
Cuando cortamos una esfera por un plano, todos los cortes son círculos. Si el
plano por el que cortamos pasa por el centro de la esfera, obtenemos un
círculo máximo. Su radio es igual al de la esfera.
Ejemplo:
En la esfera terrestre, los meridianos se corresponden con círculos
máximos. Los paralelos son las circunferencias que limitan los círculos que
quedan al cortar la esfera terrestre con planos perpendiculares al eje que
pasa por los polos. El ecuador es el único paralelo que es un círculo
máximo.
Una esfera de 10 cm de radio se corta por un plano de modo que el círculo resultante tiene 6 cm
de radio. ¿Cuál es la distancia del centro de la esfera a ese plano?
Debemos tener en cuenta que el radio de la esfera (R) es la
hipotenusa del triángulo rectángulo que tiene por uno de sus
catetos al radio del círculo resultante del corte con el plano (r) y
por el otro cateto a un trozo del radio de la esfera perpendicular
al plano, cuya longitud es la distancia pedida (d).
Así, como conocemos dos de los datos, solo tenemos que aplicar
el teorema de Pitágoras para calcular el tercero (la distancia
pedida d).
Así r2 + d2 = R2 y, despejando obtenemos
d2 = R2 − r2 = 100 − 36 = 64. Por lo que d = 64 = 8 cm.

205
3.4. Superficie de cilindros, conos y esferas
Superficie del cilindro
El procedimiento para hallar la superficie de un cilindro o un cono nos recuerda el modo con el que
calculábamos la superficie de un prisma o de una pirámide: no tenemos más que ver qué figuras
intervienen en su desarrollo, calcular el área de cada una de ellas y sumarlas.
En algunos textos se utiliza el concepto de área lateral tanto para prismas como para cilindros. Con él
se refieren al área “de las paredes” de la figura, sin tener en cuenta el de la o las bases. Este concepto
no es necesario si en cada momento sabes qué estás haciendo. Las fórmulas se deben comprender,
pero las matemáticas no son una ristra de fórmulas que se deben aprender de memoria. Entender lo
que se debe hacer en cada momento te facilitará el aprendizaje de las matemáticas.
El desarrollo del cilindro consta de 2 círculos y un rectángulo. La altura del rectángulo (h) es la altura del
cilindro y como el rectángulo se tiene que enrollar alrededor de la base del cilindro, su base tiene que
medir lo mismo que la correspondiente circunferencia y ese valor es, siendo r el radio de la base del
cilindro. Así, el área del rectángulo es 2πrh.
Por otra parte cada una de las bases tiene área πr2. Así:
Superficie del cilindro = 2∙π∙r∙h + π∙r2
46. Halla la superficie de un cilindro cuya altura es de 12 cm y el radio de su base es de 3 cm.
47. Busca una lata de atún en conserva (cilíndrica). Mide su altura y el diámetro de sus bases. Dibuja el
desarrollo del cilindro que da lugar a esa lata. Recórtalo y forma una réplica en papel de la lata de
atún.
Superficie del cono

Siguiendo la misma idea anterior, para calcular la superficie de un cono, sumaremos las áreas de las dos
piezas que componen su desarrollo: un círculo y un sector circular. (Mira la figura del desarrollo del
cono que está en la sección 3.2).
Si la base del cono es un círculo de radio r, la longitud de la correspondiente circunferencia es 2πr y la
parte curva del sector circular en el desarrollo del cono debe enrollarse sobre esa circunferencia, luego
la medida de esa línea curva es 2πr.
Para calcular el área del sector circular haremos una regla de tres, teniendo en cuenta que el radio de
ese sector circular es la generatriz del cono: si a una longitud de 2πg (circunferencia completa) le
corresponde un área de πg2, a una longitud de 2πr le corresponderá 2πr ∙ πg2 / 2πg = π∙r∙g.
La base del cono es un círculo de radio r, cuyo área es de sobra conocido. Así tenemos que
Superficie del cono = Área del sector circular + Área del círculo = π∙r∙g + π∙r2
Para calcular la superficie del tronco de cono debemos calcular las áreas de sus bases, que son círculos
(y, por tanto, fáciles de calcular) y la de su pared lateral. El área de esta pared lateral se puede calcular

206
restando el área de la pared del cono original menos el de la pared del cono pequeño que hemos
cortado.
Superficie lateral del tronco de cono = Superficie lateral del cono original – Superficie lateral del cono
que cortamos
Para calcular la superficie total hay que sumar al área lateral el de las dos bases.
También se puede calcular esto mediante una fórmula, cuya prueba utiliza dos teoremas importantes
de la geometría plana: el teorema de Pitágoras y el teorema de Tales.
Supondremos que el radio de la base mayor del tronco de cono es r, el de la base menor r' y la
generatriz g. Entonces
Superficie del tronco de cono = π∙(r+r')∙g + π∙r2+π∙r' 2
Queremos construir un taburete para elefantes con forma de tronco de cono, con 75 cm de
altura y bases de 1,50 y 2,50 metros. Posteriormente forraremos con tela todo el taburete. Si el
metro cuadrado de la tela elegida cuesta 3 euros (y se supone no se desperdicia nada en la
elaboración) ¿cuánto cuesta forrar el taburete?
Lo primero que debemos hacer es expresar todos los datos con las
mismas unidades. Lo expresaremos en metros.
Como nos dan la altura y los radios, calcularemos la generatriz
usando el teorema de Pitágoras:
Así h2+(r−r')2 = g2 y, retomando los datos tenemos:
r' = 1,5 m; r = 2,5 m; g = 0,75 2 + 12 = 1,25 m.
Con ello calculamos el área: π∙(2,5 + 1,5)∙1,25 + π∙2,52 + π∙1,5 2 = 42,39 m2

y, por tanto, forrar el taburete nos cuesta 42,39 ∙ 3 = 127,17 euros.
Superficie de la esfera
No podemos calcular la superficie de la esfera mediante su desarrollo, ya que solo se podría obtener de
forma aproximada. Sin embargo, hay diferentes métodos (más avanzados) que permiten calcularlo.
Aunque no somos partidarios de dar fórmulas, esta vez tenemos que avanzar que
Superficie de la esfera de radio r es igual a 4πr2
Ese valor coincide con el del área lateral del cilindro de radio r y altura 2r (que es el que se ajusta por
completo a la esfera). Como sabemos deducir el área lateral del cilindro, recordar esto nos evitará tener
que recordar la fórmula anterior.

207
3.5. Volumen de cilindros, conos y esferas
Con el cálculo de volúmenes ocurre algo parecido a lo que ocurre con las áreas: el cálculo del volumen
de un cilindro es similar al del volumen de un prisma, mientras que el cálculo del volumen del cono nos
recuerda al del volumen de la pirámide. La esfera merece un capítulo aparte.
Volumen del cilindro

El volumen del cilindro se calcula como el producto del área de su
base (que es un círculo) por su altura. Si el radio de la base es r y la
altura es h nos queda
Volumen cilindro = πr2h
Ejemplo:
Una lata de tomate frito en conserva tiene un diámetro de 6 cm y una altura de 12 cm. Vamos a
calcular el volumen de la lata, que nos indicará cuánto tomate cabe en su interior.
Hay que tener cuidado con los datos porque nos dan el diámetro en lugar del radio. El radio de la base
es 3 cm, la mitad del diámetro.
Así el volumen viene dado por
Volumen = π ∙ 32 ∙ 12 ≈ 339, 12 cm3
Volumen del cono

El volumen de un cono equivale a un tercio del volumen del
cilindro que tiene la misma base y la misma altura (¿te recuerda
eso a algo?). Así, para un cono cuyo radio de la base es r y su
altura es h se tiene que
Volumen cono = 1/3 πr2h
Para calcular el volumen de un tronco de cono calcularemos el volumen del cono original y le
restaremos la parte superior que hemos cortado.

208
Ejemplo:
Vamos a calcular el volumen del taburete para elefantes que hemos forrado de tela en una
actividad anterior: tiene forma de tronco de cono, con 75 cm de altura y bases de 1,50 y 2,50
metros.
Lo primero que haremos es determinar el volumen del cono completo. Para ello necesitamos calcular
su altura.
Utilizando semejanza de triángulos y llamando a la altura del cono
total hT tenemos que
hT/h = r / (r − r')
de ahí que la altura del cono total sea hT = h ∙ r / (r−r') = 0,75 ∙ 2,5 / 1 =
1,875 m.
y por ello el volumen del cono total será de V = hT πr2 = 36,8 m3 .
Ahora debemos calcular el volumen del “cono pequeño” (el que
hemos eliminado para conseguir el tronco de cono). Su altura es la diferencia entre la altura del cono
grande y la del tronco de cono. Su radio es el de la base superior del tronco de cono.
Por ello su volumen viene dado por (hT − h) πr'2 = 7,95 m3.
Consecuentemente, el volumen del tronco de cono es
36,8 − 7,95 = 28,85 m3.
Volumen de la esfera
Al no tener un desarrollo plano, trabajar con la esfera es más
difícil y requiere técnicas matemáticas que estudiarás en otros
cursos. Simplemente por completar lo expuesto en este tema,
damos la fórmula que permite calcular el volumen de la esfera
en función de su radio r.
4 3
Volumen de la esfera = π∙r
3

209
Esferas
De todos los cuerpos geométricos que tienen la misma
superficie total, el que encierra un mayor volumen es la
esfera. Por eso las pompas de jabón son esféricas: contie-
nen la mayor cantidad de aire que se puede encerrar con
esa lámina de jabón. En dos dimensiones es el círculo el
que encierra la mayor superficie; por eso si echas aceite
encima del agua se forman círculos.
Balones de fútbol
Hay poliedros más complicados que los que hemos descrito en este capítulo. Por ejemplo, si a
un icosaedro le cortamos las esquinas obtenemos un "icosaedro truncado". Esa es la forma real
de los balones de fútbol (los clásicos que tienen pentágonos negros y hexágonos blancos). Lo
que ocurre es que al inflar la cámara que hay en su interior se comban los polígonos, dando
sensación de esfericidad. ¿Quieres comprobarlo? Simplemente recorta en cartulina este mode-
lo y pega las uniones con cinta adhesiva.
Ideas para la revista:

1) Poliedros regulares: ¿Por qué sólo hay 5?

210
Latas de conservas
Muchas latas y botes de conservas tie-
nen forma cilíndrica porque sería muy
costoso fabricarlas de forma esférica.
Aun así, debido a que sus bases son
circulares, la relación área total / vo-
lumen es bastante satisfactoria.
Puzzles de dos piezas

¿Te parece que un puzle de dos piezas es sencillo?
Te proponemos un reto: recorta en cartulina dos copias de esta figura, para armar con cada una de
ellas un poliedro (cuyas caras son dos triángulos, dos trapecios y un cuadrado).
• Ahora, juntando esos dos poliedros forma un tetraedro.

211
RESUMEN
Elementos del espacio Puntos, rectas y planos
Sistemas de Planta, perfil y alzado. Tomografía.

representación Perspectiva caballera.
Posiciones relativas Dos planos: o se cortan o son paralelos.

Dos rectas en el espacio: o se cortan o son
paralelas o se cruzan.
Una recta y un plano: o la recta está
contenida en el plano, o lo corta o es paralela.
Poliedro Cuerpo geométrico cuyas caras son polígonos
Poliedros regulares Poliedro con todas las caras polígonos Tetraedro, cubo, octaedro,
regulares iguales y además en cada vértice dodecaedro, e icosaedro.
concurre el mismo número de caras.
Prisma. Volumen
Pirámide. Volumen
Cilindro. Volumen Un cilindro de radio 3 m y

altura 5 m tiene un
volumen de 45π m3, y una
superficie lateral de 30π
m2.
Cono. Volumen Un cono de radio 3 m y

altura 5 m, tiene un
volumen de 15 m3.
Esfera. Superficie. Una esfera de radio 3 tiene

Volumen un volumen de 36π m3, y
una superficie de 36π m2.

212
El espacio
1. Dibuja en tu cuaderno la planta, perfil y alzado de una silla.
2. Dibuja en tu cuaderno una tomografía de:
a) Una pirámide recta hexagonal con cortes paralelos a su base
b) Un cono con cortes paralelos a su base
c) Un cono recto con cortes paralelos a su altura
d) Una prisma cuadrangular con cortes paralelos a una cara
3. Mira a tu alrededor y escribe en tu cuaderno el nombre de cinco objetos indicando su descripción
geométrica.
4. Dibuja una mesa en perspectiva caballera.
5. Si construyes un cubo con el desarrollo de la figura, la cara opuesta

a la letra F sería….
6. Hemos construido un cuerpo formado por cubitos

pequeños. Hemos dibujado su perfil, planta y alzado,
¿cuántos cubos hemos utilizado?
7. Dibuja en tu cuaderno un tetraedro. Nombra a todos sus
puntos con letras mayúsculas, todas sus rectas con letras
minúsculas, y todos sus planos con letras griegas. Indica:
a) Tres pares de rectas que se crucen. ¿Cuáles son? Descríbelas.
b) Tres pares de rectas que sean secantes. Indica en cada caso en qué punto se cortan, y en qué
plano se encuentran.
c) ¿Existen rectas paralelas?
8. En el dibujo del tetraedro anterior, ¿cuántos planos hay? ¿Hay planos paralelos? Indica dos planos
secantes señalando en qué recta se cortan.

213
Poliedros
9. ¿Puede existir un poliedro regular que sus caras sean hexágonos? ¿En un vértice, cuál es el número
mínimo de polígonos que debe haber? El ángulo exterior del hexágono es de 120 º, ¿cuánto vale la
suma de 3 ángulos?
10. Utiliza una trama de triángulos y dibuja en ella 6 rombos de ángulos 60º y 120 º. Haz con ellos el
desarrollo de un poliedro, y constrúyelo. Es un romboedro.
11. En una trama triangular recorta 2 triángulos. ¿Puedes construir con ellos un poliedro? ¿Y con 4?
Recorta 5 e intenta construir un poliedro. Ahora con 6. Es un trabajo difícil. El mayor que podrías
construir es con 20. Sabrías dar una explicación.
12. Piensa en un cubo. Cuenta sus caras, sus aristas y sus vértices. Anota los resultados en tu cuaderno.
Comprueba si verifica la relación de Euler: Vértices más caras igual a Aristas más 2. Haz lo mismo
pensando en un prisma hexagonal y en una pirámide triangular.
13. Un balón de futbol, ¿es un poliedro? Descríbelo.
14. Construye muchos, muchísimos poliedros. Por lo menos 5. Puedes hacerlo de distintas formas: Con
su desarrollo en cartulina; con pajas de refresco, hilo y pegamento; con limpiapipas y plastilina…
¡Seguro que se te ocurren otras formas!
15. Comprueba que al unir los centros de las caras de un cubo se obtiene un octaedro, y viceversa, si se
unen los centros de las caras de un octaedro se obtiene un cubo. Se dice que son duales.
Comprueba que al unir los centros de las caras de un icosaedro se obtiene un dodecaedro, y
viceversa. El icosaedro y el dodecaedro son duales. ¿Qué se obtiene si se unen los centros de las
caras de un tetraedro? ¿Qué poliedro es dual al tetraedro?
16. De muchas formas es posible cortar un cubo en dos cuerpos geométricos iguales, como por ejemplo
mediante un plano que pase por dos aristas y dos diagonales de las caras, o mediante un plano que
pase por el punto medio de cuatro aristas, tal y como
se observa en la ilustración. Haz el desarrollo plano de
la sección del cubo de la figura b), y construye dos de
esas secciones. Descríbelos. Piensa otros dos ejemplos
de secciones del cubo en dos cuerpos geométricos
iguales, confecciona su desarrollo plano y construye
dichas secciones.
17. ¿Cuál de los siguientes desarrollos no puede
ser el desarrollo de un cubo? Razona la respuesta.
Sólo existen 11 posibilidades de desarrollos del
cubo diferentes. Busca al menos tres más.
18. ¿Cuántas diagonales tiene un cubo? Una
diagonal es un segmento que une dos vértices que no estén en la misma cara.
19. Piensa en un cubo. Imagina que cortas una de sus esquinas creando una sección con forma de
triángulo equilátero. Imagina que sigues cortando mediante planos paralelos, ¿qué obtienes?, ¿con
qué corte consigues el mayor triángulo equilátero? Y si continúas cortando, ¿qué sucede? ¿Se puede
obtener un hexágono regular? (Ayuda: Si no eres capaz de imaginar tanto puedes cortar un cubo de
plastilina).

214
20. Dibuja en tu cuaderno tres tomografías diferentes de un cubo.
21. De qué manera puedes obtener con un único corte de un cubo, dos prismas triangulares rectos.
22. Calcula la diagonal de un ortoedro de lados 8, 3 y 5 cm.
23. Escribe 3 objetos cotidianos que sean prismas cuadrangulares. Los prismas cuadrangulares se llaman
también paralelepípedos, y si sus caras son rectángulos se llaman ortoedros. De los objetos que has
señalado, ¿cuáles son paralelepípedos y cuáles son ortoedros?
24. Dibuja en tu cuaderno un prisma triangular y uno pentagonal señalando las caras laterales, bases,,
aristas, vértices y altura.
25. Observa, en un prisma, ¿cuántas caras concurren en un vértice? ¿Es siempre el mismo número?
26. Un prisma puede tener muchas caras, pero ¿cuál es su número mínimo?
27. Dibuja el desarrollo de una pirámide recta cuadrangular, y de otra hexagonal.
28. Dibuja una pirámide recta pentagonal y señala su vértice, sus aristas, sus caras laterales, su base y su
altura.
29. Piensa en un poliedro que tenga 5 caras y 5 vértices. ¿Qué tipo de poliedro es?
30. ¿Cuántas diagonales tiene un prisma hexagonal regular? ¿Y una pirámide hexagonal regular?
31. Dibuja en perspectiva una pirámide pentagonal regular. Dibuja su perfil, su planta y su alzado. Dibuja
una tomografía cortando por un plano paralelo a la base.
32. Construye un pirámide regular cuadrangular de lado de la base 1 cm y altura 2 cm. Deja la base sin
cerrar. Construye un prisma regular cuadrangular de lado de la base 1 cm y altura 2 cm. Deja una
base sin cerrar. Llena de arena (o similar) la pirámide y viértelo dentro del prisma, y cuenta cuántas
veces necesitas hacerlo para llenar el prisma.
33. Si en una pirámide pentagonal regular su apotema mide 10 cm y el lado de su base 4 cm, ¿cuánto
mide su arista?
34. ¿Cuánto mide la arista lateral de una pirámide pentagonal regular cuya altura mide 5 m, y cuya base
está inscrita en una circunferencia de 2 m de radio?
35. Calcula el volumen de un cono de generatriz 8 cm y radio de la base 3 cm.
36. Calcula el volumen de un tronco de cono recto si los radios de las bases miden 9 y 5 cm y la
generatriz, 6 cm.
37. Calcula la superficie lateral y total de un prisma regular hexagonal de altura 12 cm y lado de la base
6 cm.
38. Calcula la superficie total de un tronco de cono de pirámide regular triangular de lados de las bases
8 y 4 cm, y arista 6 cm.
39. Un cilindro recto tiene una superficie lateral de 67π cm2. ¿Cuánto mide su superficie total si su
altura mide 10 cm?

215
Cuerpos redondos
40. Dibuja en tu cuaderno los cuerpos que se generan al girar alrededor de:
a) un lado, un rectángulo b) un cateto, un triángulo rectángulo
c) la hipotenusa, un triángulo rectángulo d) su diámetro, una círculo.
41. Escribe el nombre de 5 objetos que tengan forma de cilindro.
42. Dibuja un cilindro oblicuo y señala las bases, la cara lateral, la altura.
43. Construye un cilindro recto en cartulina que tenga de radio de la base 1 cm y altura 2 cm.
44. Dibuja en perspectiva caballera un cilindro recto. Dibuja su perfil, planta y alzado. Dibuja 2
tomografías tomando un plano paralelo a) a la base, b) a una arista.
45. Escribe el nombre de 5 objetos cotidianos que tengan forma de cono.
46. Dibuja en perspectiva caballera un cono oblicuo. Dibuja su planta, perfil y alzado. Señala su base, su
altura y su cara lateral.
47. Escribe el nombre de 5 objetos cotidianos que tengan forma de esfera.
48. Dibuja una esfera en perspectiva caballera. Dibuja su perfil, planta y alzado. Dibuja una tomografía
de la esfera.
49. Calcula el radio de la esfera inscrita y circunscrita a un cubo de lado 10 cm.
50. Calcula el radio de la esfera inscrita y circunscrita a un tetraedro de lado 10 cm.
51. Calcula el área total y el volumen de un cubo de 10 cm de lado.
52. Calcula la superficie de cada uno de los poliedros regulares sabiendo que su arista mide 8 cm.
(Ayuda: La apotema del pentágono mide 5,4 cm).
53. Si llenas de arena un cono recto de 7 cm de altura y de radio de la base de 4 cm, y lo vacías en un
cilindro recto de 4 cm de radio de la base, ¿qué altura alcanzará la arena?
54. Calcula la superficie y el volumen de una esfera cuya circunferencia máxima mide 10π m.
55. Calcula el volumen y la superficie de una esfera inscrita y circunscrita a un cubo de lado 10 m.
56. Calcula la superficie lateral de un cilindro circunscrito a una esfera de radio R. Calcula la superficie de
dicha esfera. Cuánto vale si R = 6 cm.
57. Un cono tiene de altura h = 7 cm, y radio de la base r = 2 cm. Calcula su volumen, su generatriz y su
superficie lateral.
58. Calcula la superficie lateral y total de un cilindro recto generado por un rectángulo de lados 3 y 8 cm
al girar alrededor de su lado mayor.
59. Calcula la superficie lateral y total de un cono recto generado por un triángulo rectángulo de catetos
3 y 8 cm al girar alrededor de su cateto menor.
60. Duplicamos la arista de un cubo, ¿qué ocurre con la superficie de una cara?, ¿y con su volumen?
Calcúlalo suponiendo que duplicas la arista de un cubo de lado 5 m.
61. Un depósito cilíndrico tiene una capacidad de 100 L y una altura de 100 cm, ¿cuánto mide el radio
de su base?

216
AUTOEVALUACIÓN
1. ¿Cuál de los siguientes cuerpos geométricos NO tiene un desarrollo plano?
a) el cilindro b) la esfera c) el icosaedro d) el dodecaedro
2. La definición correcta de poliedro regular es:

a) Un poliedro con todas sus caras polígonos regulares
b) Un poliedro con todas sus caras polígonos iguales
c) Un poliedro con todas sus caras polígonos regulares e iguales
d) Un poliedro con todas sus caras polígonos regulares iguales y que en cada vértice concurren el
mismo número de caras.
3. Indica cuál de las siguientes afirmaciones es correcta

a) Un prisma oblicuo puede ser regular
b) El volumen de un prisma oblicuo es área de la base por la altura
c) Las caras de un dodecaedro son hexágonos
d) El volumen de una pirámide es área de la base por la altura
4. Una expresión de la superficie lateral de un cilindro es:

a) 2πrh b) 2πrh + πr2 c) 2πr(h + r) d) 2/3πrh
5. El número de vértices de un icosaedro es:

a) 20 b) 12 c) 30 d) 10
6. El volumen y la superficie lateral de un prisma regular hexagonal de altura 8 cm y lado de la base 2

cm, miden aproximadamente:
a) 83,1 cm3; 96 cm2 b) 35,7 cm3; 48 cm2 c) 0,1 L; 0,9 ha d) 106 m3; 95 m2
7. El volumen y la superficie lateral de una pirámide regular hexagonal de altura 2 m y lado de la base 4
m, miden aproximadamente:
a) 62 cm3; 24 cm2 b) 7000 L; 0,48 ha c) 7 cm3; 8 cm2 d) 27,6 m3; 48 m2
8. El volumen de un cono de altura 9 cm y radio de la base 2 cm, miden:

a) 0,12π L b) 36π cm3 c) 12 π cm3; d) 36π cm3
9. El volumen y la superficie lateral de un cilindro de altura 4 cm y radio de la base 5 cm, miden:

a) 100π m3; 40π m2 b) 100π cm3; 40π cm2 c) 31,4 cm3; 12,56 cm2 d) 33π cm3; 7π cm2
10. El volumen y la superficie de una esfera de radio 6 cm miden:

a) 288π cm3; 144π cm2 b) 144π cm3; 288π cm2 c) 452 m3; 904 m2 d) 96π cm3; 48π cm2


2 º ESO CAPÍTULO 10: ÁLGEBRA


Autora: Raquel Caro
Revisor: Pedro Luis Suberviola y Sergio Hernández

218

Álgebra. 2º de ESO
Índice
1. LENGUAJE ALGEBRAICO
1.1. LETRAS Y NÚMEROS
1.2. COEFICIENTE Y PARTE LITERAL
1.3. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
1.4. EQUIVALENCIA Y SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.5. POLINOMIOS. SUMA Y PRODUCTO
2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
2.1. EL LENGUAJE DE LAS ECUACIONES
2.2. ECUACIONES EQUIVALENTES. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES
3.1. PROCEDIMIENTO
3.2. PROBLEMAS NUMÉRICOS
3.3. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
3.4. OTROS PROBLEMAS
4. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
4.1. CONCEPTO DE ECUACIÓN DE 2º GRADO
4.2. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2º GRADO INCOMPLETAS
4.3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2º GRADO COMPLETAS
5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
5.1. CONCEPTO DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
5.2. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
5.3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN
5.4. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN

Resumen
En la época de El Quijote, en la puerta de las barberías, se leía el
siguiente cartel: “ALGEBRISTA Y SANGRADOR” ¿Y eso, por qué?
La palabra “Álgebra” es una palabra árabe que utilizó el
matemático Al‐Khwarizmi. Si logras leer ese nombre verás que te
suena a otra palabra: “algoritmo”.
Hacia el año 825 escribió un libro titulado: Al‐jabr w’almuqabalah
La palabra árabe jabr significa restaurar. El libro trataba de álgebra,
de sumas y otras operaciones, pero como los barberos también
restauraban huesos, por eso se llamaban algebristas.
Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 9: Álgebra Autora: Raquel Caro
219

1. LENGUAJE ALGEBRAICO
1.1. Letras y números
Ya sabes que:
A nuestro alrededor nos encontramos con multitud de símbolos cuyo significado conocemos, como las
señales de tráfico o algunos logotipos.
El lenguaje algebraico consigue que podamos expresar mensajes en los que las letras representan
variables de valor desconocido. Utiliza letras, números y operaciones para representar una información.
Ejemplo:
Ya has utilizado el lenguaje algebraico para indicar el área de un rectángulo de base b y altura h:
A = bh; la longitud de una circunferencia de radio r: L = 2πr, por ejemplo.
Para cada situación podemos utilizar la letra que queramos, aunque, cuando hablamos de algo
desconocido, la letra más utilizada es la x.
El propio Al‐Khwarizmi usó originariamente
Ejemplo: la palabra “cosa”, (por ejemplo, en lugar de
La mitad de la edad de una persona x/2 2x decía "el doble de una cosa"), que en
árabe suena como “šay" y que se tradujo al
El doble de un número menos 7 2x – 7. español como "xei". De aquí procede la x
actual.
Las expresiones que nos permiten reflejar mediante letras y números una situación se llaman
expresiones algebraicas.
Expresa las siguientes frases en lenguaje algebraico:
El triple de un número 3x
La producto de dos números consecutivos x  (x +1)
La edad de Pedro hace 3 años x – 3
La diferencia de dos números a  b
1. Expresa las siguientes frases en lenguaje algebraico:
a) El triple de un número más su mitad.
b) La edad de una persona dentro de 10 años.
c) La sexta parte de un número menos su cuadrado.
d) La diferencia entre dos números consecutivos.
2. Un mago le propone un juego a Adela: Piensa un número, súmale 7, multiplica el resultado por 2,
réstale 10 y réstale el número. Dime qué te sale. Adela dijo 9. Y el mago le contestó de inmediato: El
número que pensaste es 5. Adivina cómo lo supo el mago.
3. ¿Quieres ser tú ahora el mago? Inventa un juego y escríbelo, para poder adivinar el número pensado.
220

1.2. Coeficiente y parte literal
Ya sabes que:
Una expresión algebraica puede estar formada por uno o varios sumandos que se denominan términos
o monomios. Una suma de monomios es un polinomio. En un monomio la parte literal son las letras y
se llama coeficiente al número por el que van multiplicadas.
Ejemplo:
En la expresión 7x, el coeficiente es 7 y la parte literal x. En 9xy2 el coeficiente es 9 y la parte
literal xy2.
Para poder sumar o restar dos monomios deben ser semejantes, es decir, tener igual parte literal.
Ejemplo:
Suma 9xy2 + 7xy2 = 16xy2. En cambio no se puede sumar 5x + 3y pues no son semejantes
Señala los coeficientes, las partes literales y el número de monomios de la expresión algebraica:
6a – 3b + c + 8
Esta expresión algebraica tiene 4 términos o 4 monomios: 6a, –3b, c y 8. Los coeficientes son +6, –3, + 1
y +8 respectivamente. Las partes literales son a, b y c. El último término no tiene parte literal.
Señala en el polinomio y calcula su suma 8x + 5x – 2x cuáles son los coeficientes. Los coeficientes
son 8, 5 y –2; sy suma es 11x.
1.3. Valor numérico de una expresión algebraica
Si a las letras de una expresión algebraica se les da un valor concreto, se puede calcular el valor
numérico de dicha expresión.
Calcula el valor numérico de la expresión 7x + 3 cuando x vale 2.
Hay que sustituir en la expresión, x por su valor, 2.
Por tanto: 7 ∙ 2 + 3 = 14 + 3 = 17, que es el valor numérico cuando x vale 2.
1.4. Equivalencia y simplificación de expresiones algebraicas
La expresión algebraica 5x + 4x es equivalente a la expresión 9x, que es su expresión más simplificada.
4. Señala el coeficiente, la parte literal y el número de términos o monomios de los polinomios
siguientes:
a) 3 – 14xy b) 2a + 6b – 9c c) 6xy + 8 d) 2xy + 6 – 4y
5. Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios:
a) 6x + 4y para x = 3, y = 2.
b) 2 – 3a para a = –5.
c) 5a + 9b – 7c para b = –1, a = –1 y c = +2.
221

1.5. Polinomios. Suma y producto
Monomios. Polinomios
Unas expresiones algebraicas de gran utilidad son los polinomios, cuya versión más simple y, a la vez,
generadora de ellos son los monomios.
Un monomio viene dado por el producto de números e indeterminadas. Llamaremos coeficiente de un
monomio al número que multiplica a la indeterminada, o indeterminadas; la indeterminada, o
indeterminadas, conforman la parte literal del monomio.
Ejemplos:
La expresión que nos proporciona el triple de una cantidad, 3∙x, es un
monomio con una única variable, x, y coeficiente 3.
El áreas del círculo, r2, es un monomio con indeterminada, r y
coeficiente . Su parte literal es r2.
Atendiendo al exponente de la variable, o variables, adjudicaremos un grado a cada monomio con
arreglo al siguiente criterio:
Cuando haya una única indeterminada, el grado del monomio será el exponente de su
indeterminada.
Si aparecen varias indeterminadas, el grado del monomio será la suma de los exponentes de
esas indeterminadas.
Ejemplos:
3x es un monomio de grado 1 en la variable x.
r2 es un monomio de grado 2 en la indeterminada r .
7a2b3 es un monomio de grado 5 en a y b.
Un número puede ser considerado como un monomio de grado 0.
Un polinomio es una expresión construida a partir de la suma de monomios. El grado de un polinomio
vendrá dado por el mayor grado de sus monomios.
Ejemplos:
1 2
 x  7  x 3  2 es un polinomio de grado 3 en la variable x .
5
4  x 2  y 3  7  3  y 2 es un polinomio de grado 5 en x e y .
x  2  y  6  z es un polinomio de grado 1 en x , y y z .
Tanto en esta sección nos limitaremos, básicamente, a considerar polinomios con una única variable. Es
habitual escribir los diferentes monomios de un polinomio de forma que sus grados vayan en descenso
para, con este criterio, apreciar en su primer monomio cuál es el grado del polinomio.
El aspecto genérico de un polinomio en la variable x es
an x n  an 1 x n 1  ......  a2 x 2  a1 x  a0
222

donde los coeficientes ak son números. El monomio de grado cero, a0 , recibe el nombre de término
independiente. Diremos que un polinomio es mónico cuando el coeficiente de su término de mayor
grado es igual a 1.
Ejemplos:
1
 3x 4  x 2  2 es un polinomio de grado 4 en la variable x , cuyo término independiente es 2 .
5
6. Para cada uno de los siguientes polinomios destaca su grado y los monomios que lo constituyen:
a) 3x6 + 7x2  x b) 7x3 + 8x5  6x2
c) 3xy6 + 7xy2  2xy
Como ocurre con cualquier expresión algebraica, si fijamos, o escogemos, un valor concreto para la
variable de un polinomio aparece un número: el valor numérico del polinomio para ese valor
determinado de la variable. Si hemos llamado p a un polinomio, a la evaluación de p en, por
ejemplo, el número  3 la denotaremos por p(3) , y leeremos ”p de menos tres” o ”p en menos tres”.
Con este criterio, si p es un polinomio cuya indeterminada es la variable x , podemos referirnos a él
como p o p(x) indistintamente.
De esta forma apreciamos que un polinomio puede ser entendido como una manera concreta de
asignar a cada número otro número.
Ejemplos:
1
Si evaluamos el polinomio p  3x 4  x 2  2 en x  5 nos encontramos con el número
5
1
p(5)  3  54   52  2  3  625  5  2  1875  7  1868
5
7. Consideremos el polinomio p(x) = 3x6 + 7x2  x. Halla los siguientes valores numéricos de p: p(0), p(1),
p(1), p(2).
Suma de polinomios
Como un polinomio es una suma de monomios, la suma de dos polinomios es otro polinomio. A la hora
de sumar dos polinomios procederemos a sumar los monomios de igual parte literal.
Ejemplos:
1
La suma de los polinomios  3x 4  x 2  2 y  x 4  4 x 2  5 x  6 es el polinomio
5
1 2 1
(3x 4
 x  2)  (  x 4  4 x 2  5 x  6)  ( 3 x 4  x 4 )  ( x 2  4 x 2 )  5 x  ( 2  6) 
5 5
1 21
 ( 3  1)  x  (  4)  x  5 x  (2  6)  4 x  x  5 x  4
4 2 4 2
5 5
(5x  3x  1)  ( x  4 x  7)  (5x  x )  (3x  4 x)  (1  7)  6 x 2  x  6
2 2 2 2
223

En el siguiente ejemplo sumaremos dos polinomios disponiéndolos, adecuadamente, uno sobre otro.
Ejemplo:
4 x5  2 x 4  x3  5x 2  x  4
  7 x5  4 x 3  5 x 2  3x  6
 3x 5  2 x 4  5 x 3  2x  2
Producto de polinomios
Otra operación que podemos realizar con polinomios es la multiplicación.
El resultado del producto de polinomios siempre será otro polinomio. Aunque en un polinomio tenemos
una indeterminada, o variable, como ella adopta valores numéricos, a la hora de multiplicar polinomios
utilizaremos las propiedades de la suma y el producto entre números, en particular la propiedad
distributiva del producto respecto de la suma; así, todo queda en función del producto de monomios,
cuestión que resolvemos con facilidad:
ax n  bx m  abx n  m
Ejemplos:
(5) x 2  2 x 4  (5)  2  x 24  10x6

5x3  (4)  5  (4)  x3  20x3
También podemos materializar el producto de polinomios tal y como multiplicamos números enteros:
 2 x3  x  4
 x 2  3x  1
Ejemplo:  2 x3  x 4
4 2
6x  3 x  12 x
 2 x5  x3  4 x 2
 2 x5  6 x 4  x3  x 2  11x  4
8. Realiza las siguientes sumas de polinomios:
a) ( x3  x  5)  (2 x2  5x  4)  (4 x3  2 x2  3x)
b) ( x 2  4)  (2 x  4)  (6 x3  3x 2  x  1)  x 2

9. Efectúa los siguientes productos de polinomios:
a) (2x)  (3x2  4)
b) (2x3  1)  (4x  5)
c) (4 x3  x 2  1)  (2 x  6)
d) (1)  (8x 2  7 x  9)
224

2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
2.1. El lenguaje de las ecuaciones
Ya sabes que:
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.
Ejemplo:
Si tenemos dos expresiones algebraicas: 7x + 3 y 5x + 2, y las unimos con el signo igual
obtenemos una ecuación: 7x + 3 = 5x + 2.
Las expresiones que hay a cada lado del igual se llaman miembros de la ecuación. Todas las ecuaciones
tienen dos miembros: la expresión que está a la izquierda del signo igual se llama primer miembro y la
que está a la derecha, segundo miembro.
Las letras que contienen las ecuaciones algebraicas (las "partes literales" de sus dos expresiones) se
llaman incógnitas, que significa literalmente "desconocidas". Si todas las letras son iguales, se dice que
la ecuación tiene una sola incógnita.
Ejemplo:
6x – 1 = 5x + 8 es una ecuación con una sola incógnita, mientras que
4x + 2y = 1 o 3x – 8 = 9y son ecuaciones con dos incógnitas: x e y.
El grado de una ecuación es el mayor exponente que aparece en alguna de sus incógnitas.
Ejemplo:
2x – 7 = 3x + 2 es una ecuación de primer grado, mientras que 4x + 5xy2 = 8 es una ecuación de
tercer grado ya que el monomio 5xy2 tiene grado 3 (1 + 2 = 3).
10. Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala:
Ecuación Primer miembro Segundo miembro Incógnitas
4x – 5 = 6x – 7
3x + 2 x – 9
8a + 7 = 65
4x – 3y 2 + y

11. Indica el número de incógnitas de las siguientes ecuaciones:
a) x – 2y = 3x + 4; b) 5x + 6y2 = 7 c) 8a + 9a2 = 1 d) 2x + 3x2 = 4.
12. Indica el grado de las siguientes ecuaciones:
a) 5x – 6 = 7x + 8; b) 9x + y2 = 13 c) x + 2x2 = 3 d) 4x + 5xy2 = 6
225

2.2. Ecuaciones equivalentes. Resolución de ecuaciones
Solución de una ecuación:
Una solución de una ecuación es un número que, cuando la incógnita toma ese valor, se verifica la
igualdad, es decir, los dos términos de la ecuación valen lo mismo.
Algunas ecuaciones solo tienen una solución, pero otras pueden tener varias.
Resolver una ecuación es encontrar todas sus posibles soluciones numéricas.
Si te fijas en la ecuación: 7x – 3 = 5x + 9, verás que al darle valores a x la igualdad no siempre se
cumple.
Por ejemplo, para x = 1, el primer miembro vale 7 ∙ 1 – 3 = +4, mientras que el valor del segundo
miembro es: 5 ∙ 1 + 9 = 5 + 9 = 14. Luego 1 no es solución de la ecuación.
Para x = 6, el primer miembro toma el valor: 7 ∙ 6 – 3 = 42 – 3 = 39; y el segundo miembro: 5 ∙ 6 + 9 = 30
+ 9 = 39. Por tanto 6 es una solución de la ecuación.
Si se desconoce la solución de una ecuación, resulta muy pesado resolverla probando un número tras
otro.
Por eso lo que se hace habitualmente es transformarla en otras ecuaciones equivalentes más sencillas.
Ecuaciones equivalentes son las que tienen las mismas soluciones.
Ejemplo:
¿Sabías que todas las soluciones de todas las
expresiones algebraicas posibles, de cualquier grado, 3x –7 = 11 es equivalente a 3x =
forman lo que se denomina los "números algebraicos"? 18, puesto que la solución de ambas ecuaciones
Por ejemplo, son algebraicos todos estos números: 1, 2, es x = 6.
1/3, 7/5, √2, , etc. Aunque la inmensa mayoría de Para obtener ecuaciones equivalentes se tienen
los números que utilizamos en nuestra vida cotidiana en cuenta las siguientes propiedades:
son algebraicos, debes saber que realmente hay
muchos, muchísimos más números "no algebraicos"
que ya irás conociendo, aunque alguno ya conoces
como al número π.

 Si se suma o se resta a los dos miembros de una ecuación una misma cantidad, se obtiene una
ecuación equivalente.
 Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por una misma cantidad (distinta
de cero), se obtiene una ecuación equivalente.
Resuelve la ecuación 3x + 9 = x – 5 transformándola en otra más sencilla equivalente.
Transformar una ecuación hasta que sus soluciones se hagan evidentes se llama "resolver la ecuación".
Siguiendo estos pasos intentaremos resolver la ecuación: 3x + 9 = x – 5.
1) Sumamos a los dos miembros –x y restamos a los dos miembros 9: 3x – x + 9 – 9 = x – x – 5 – 9.
226

2) Hacemos operaciones y conseguimos otra ecuación que tiene en el primer miembro los términos con
x y en el segundo, los términos sin x: 3x – x = – 5 – 9.
3) Efectuamos las sumas en el primer miembro y en el segundo: 2x = –14.
2 x  14
4) Despejamos x dividiendo los dos miembros por 2:  de donde x = –7.
2 2
5) Comprueba que todas las ecuaciones que hemos obtenido en este proceso son equivalentes y que su
solución es x = –7.
Resuelve la ecuación 6 – x = 2x – 3.
1) Sumamos x y 3 para pasar a un miembro los El procedimiento utilizado en las actividades es un
términos con x y al otro miembro los términos método universal para resolver cualquier ecuación de
sin x: grado 1, es decir, donde x aparece sin elevar a otro
exponente como en x2. Las ecuaciones de primer grado
6 – x + x + 3 = 2x + x – 3 + 3,
tienen siempre una única solución, pero en general, las
2) Hacemos operaciones: 6 + 3 = 2x + x soluciones no tienen porqué ser números enteros
como en los ejemplos.
3) Efectuamos las sumas: 9 = 3x.
4) Despejamos x dividiendo los dos miembros por 3: 3 = x.
La solución de la ecuación es x = 3.
5) Comprobamos que en efecto es la solución: 6 – x = 2x – 3  6 – 3 = 3; 23 – 3 = 3.
13. Averigua cuál de los números es la solución de la ecuación y escríbelo en tu cuaderno:
Ecuación Posibles soluciones Ecuación Posibles soluciones
3x + 5 = x – 1 2, –1, –3 a2 – 6 = –2 –2, –6, 2
x + 6 = 4x – 3 3, –2, –3 b – 4 = 8 – b 3, 4, 6
14. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 5x – 1 = 3x – 4 b) 7x + 9 = 5x – 6 c) 6x + 8 = 14 d) 3x – 9 = 2x – 11
15. Elige entre las siguientes ecuaciones todas las que sean equivalentes a la ecuación 3x – 6 = x + 10.
a) x – 10 = 5 b) 16 – x = 3x – 5x c) 4x = 32 d) 2x = 10 + 6 e) 8 = x
16. Escribe dos ecuaciones equivalentes a cada una de las ecuaciones siguientes:
a) 2x – 5 = 13 b) 3x = 15 c) 5x + 12 = 7 d) x = – 5
227

228

3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES
3.1. Procedimiento
Ya sabes que:
Muchos problemas pueden resolverse mediante una ecuación.
Busca un número que sumado con su siguiente dé como resultado 9.
Para resolverlo, sigue los siguientes pasos:
Lee con mucho cuidado el enunciado, y pregúntate:
¿Qué te piden? ¿Qué datos tienes?
Nos piden un número. La incógnita es ese número. Llama a ese número x. Su siguiente, será x + 1. Nos
dicen que la suma de ambos es 9.
Paso 2: Busca una buena estrategia.
Es un problema que queremos resolver mediante una ecuación. Escribe en lenguaje algebraico el
enunciado del problema y plantea una ecuación:
x + (x + 1) = 9.
Pregúntate si efectivamente resuelve el problema releyendo el enunciado.
Ahora sí, ahora resuelve la ecuación. Para resolver una ecuación conviene seguir un orden de actuación
que nos ayude a no cometer errores, para ello seguimos el procedimiento que acabamos de aprender.
Quita, si los hay, paréntesis y denominadores: x + x + 1 = 9.
Para poner en el primer miembro los términos con x, y en el segundo los que no lo tienen, haz lo mismo
a los dos lados, resta 1 a los dos miembros: x + x + 1 – 1= 9 – 1, luego x + x = 9 – 1. Opera: 2x = 8.
Despeja:
Para despejar la x, se hace lo mismo a los dos lados, se dividen por 2 ambos miembros: 2x/2 = 8/2, por
tanto, x = 4.
En efecto, comprueba que: 4 + 5 = 9.
17. La suma de tres números consecutivos es igual al doble del mayor más 3. Calcula dichos números.
18. La madre de Álvaro tiene el triple de la edad de su hijo, y éste tiene 32 años menos que su madre.
¿Cuántos años tienen cada uno?

229

3.2. Problemas numéricos
En un pequeño hotel hay 50 habitaciones simples y dobles. Si en total tiene 87 camas, ¿cuántas
habitaciones son simples y cuántas son dobles?
Sigue los pasos para la resolución de problemas.
Llama x al número de habitaciones simples. El número de habitaciones
dobles es 34 – x. El número de camas es 54.
Escribe en forma de ecuación la información del enunciado:
x + 2(34 – x) = 54.
Resuelve la ecuación. Quita paréntesis:
x + 68 – 2x = 54.
Para poner en el primer miembro los términos con x y en el segundo los términos sin x, resta 68 a los
dos miembros:
x + 68 – 2x – 68 = 54 – 68.
Opera:
– x = – 14
Para despejar la x divide los dos miembros por –1:
x = – 14/– 1 = 14.
Hay 14 habitaciones simples. Luego hay 34 – 14 = 20 habitaciones dobles. Por tanto el número de
camas es 54 pues:
14 + 2∙20 = 54.
En una granja hay 50 animales entre gallinas
y conejos, y entre todos los animales suman
120 patas. ¿Cuántas gallinas hay en la
granja?
Paso 1: Antes de empezar a actuar, intenta entender
bien el problema
Llama x al número de gallinas, y como hay 50
animales en total, conejos tendremos 50 – x.
Como una gallina tiene 2 patas y un conejo 4,
tendremos en total 2x + 4(50 – x) patas.
230

Como sabemos que el número total de patas es 120, podemos escribir esta ecuación:
2x + 4(50 – x) = 120
Resuelve la ecuación. Quita paréntesis:
2x + 200 – 4x = 120
Si restamos 200 en ambos lados obtenemos:
2x + 200 – 4x – 200 = 120 – 200
Operando obtenemos:
–2x = –80
Dividiendo por –2 en ambos lados resolvemos la ecuación:
–2x/–2 = –80/–2 luego x = 40.
Hay 40 gallinas y 10 conejos pues 50 – x = 50 – 40 = 10.
Las patas de 40 gallinas y 10 conejos suman 40 ∙ 2 + 10 ∙ 4 = 80 + 40 = 120

19. Un mago le dijo: Piensa un número, súmale 12, multiplica por 2 el resultado, resta 20 y divide por 2.
Dime que te sale. Dijo 35. Y el mago le contestó de inmediato: El número que pensaste es 33.
Adivina como lo supo el mago. (Sugerencia: escribe previamente la cadena de operaciones).
20. Piensa un número, multiplícale por 10, réstale el número que has pensado y divide el resultado
entre 9. ¡Has obtenido el número que pensaste! Busca el truco: escribe algebraicamente, llamando x
al número, la expresión algebraica de las operaciones
realizadas, y adivina como lo supo el mago.
21. Si la suma de tres números consecutivos es 63, ¿de qué
números se trata? (Sugerencia: ilustra la situación con
una balanza equilibrada. Mantenla equilibrada hasta
conseguir la ecuación equivalente que nos dé el
resultado).
22. Hemos comprado 8 libros iguales y hemos pagado con un
billete de 50 €. Si nos han devuelto 10 €, ¿cuánto costaba
cada libro?

231

3.3. Problemas de geometría
Muchos problemas de geometría se pueden resolver por métodos algebraicos, utilizando ecuaciones.
Se quiere dibujar un triángulo de 55 cm de perímetro, de forma que un lado sea el doble de
otro, y el tercero sea el triple del menor menos 5 cm.
Dibuja un triángulo, pensando en los datos del enunciado.
Llamamos x al lado menor, de esta forma puedes definir los otros dos lados. El lado mediano es 2x. El
lado mayor es 3x – 5
Como el perímetro es 55, se puede plantear la ecuación: x + 2x + (3x – 5) = 55
Se resuelve la ecuación: x + 2x + 3x – 5 + 5 = 55 + 5; x + 2x + 3x = 60; 6x = 60.
Luego x = 60 / 6 = 10 es la longitud del lado menor. Los otros dos lados miden 2x = 20 y 3x – 5 = 25.
Solución: Los lados del triángulo miden 10 cm, 20 cm y 25 cm.
Sumando los tres lados, 10 + 20 + 25 = 55, obtenemos el perímetro del triángulo, 55.
Tienes un rectángulo de altura x cm y de base 2x + 3. Si a la base de este rectángulo le quitan 2
cm y a la altura le añaden 5 cm, se convierte en un cuadrado. ¿Qué dimensiones tiene?
Dibuja un rectángulo con las condiciones del problema. La expresión 2x + 3 – 2 expresa los 2 cm que le
quita a la base y x + 5 expresa los 5 cm que le añaden a la altura.
Si se ha formado un cuadrado como los lados son iguales ambas expresiones deben ser equivalentes: 2x
+ 3 – 2 = x + 5
Resuelve la ecuación: 2x +3 –2 – x – 3 + 2= x– x – 3 + 2 + 5; 2x – x = 4; x = 4
Solución: x = 4 cm es la longitud de la altura del rectángulo. Por tanto, 2 ∙ 4 + 3 = 11 cm mide la base del
rectángulo.
En efecto, a la altura le sumamos 5, 4 + 5 = 9, y a la base le restamos 2, 11 – 2 = 9,
se obtiene un cuadrado.
23. Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles es igual al doble del
tercer lado menos 2 cm. Calcula su medida si el perímetro del triángulo es 84
cm.
24. Calcula el área de un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos suman 20
cm y el cateto mayor mide 4 cm más que el menor.
25. Calcula la medida de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, sabiendo que el ángulo mayor
es igual al triple del menor menos 6º.

232

3.4. Otros problemas
Si tenemos 21 billetes de 5 € y de 10 € que suman en total 170 €, ¿cuántos billetes tenemos de
cada clase?
Llama x al número de billetes de 5 € y el resto, 21 – x, será el número de billetes
de 10 €.
Plantea la ecuación que expresa la suma en euros de los dos tipos de billetes: 5 ∙
x + 10 (21 – x) = 170
Para resolver la ecuación, lo primero, quita paréntesis: 5x + 210 – 10x = 170
Deja en el primer miembro todos los términos con x, y en el segundo los que no
tienen x: 5x – 10x + 210 – 210 = – 210 + 170
Haz operaciones: – 5x = – 40
Despeja la incógnita: x = (– 40) : (– 5) = + 8
Por tanto, tenemos 8 billetes de 5 €, y 21 – 8 = 13 es el número de billetes de 10 €.
Comprobamos que 8 ∙ 5 = 40 € y 13 ∙ 10 = 130 €. Y que, en efecto, 40 + 130 = 70 €.
Solución: Tenemos 8 billetes de 5 € y 13 billetes de 10 €.
26. Dos motocicletas salen al mismo tiempo de dos puntos que distan 420
km, en la misma dirección pero en sentido contrario. La primera lleva
una velocidad de 60 km/h y la segunda, de 80 km/h. ¿Cuánto tiempo
tardarán en cruzarse?
Ayuda: Haz un diagrama para comprender el enunciado
Solución: Tardan 3 horas en cruzarse.
27. Dos coches salen de dos puntos situados a 560 km de distancia, uno al encuentro de otro. El primero
lleva una velocidad de 70 km/h y el segundo de 90 km/h. ¿Cuántas horas tardan en cruzarse?
28. Si en el monedero tenemos 16 monedas de 10 cent y de 20 céntimos de euro,
y en total reunimos 2 €, ¿cuántas monedas de cada clase tenemos?
29. Si un bolígrafo vale el triple del precio de un lápiz, he comprado un total de 7
lápices y bolígrafos, y he pagado en total 5,50 €, ¿cuántos bolígrafos y cuántos
lápices he comprado?
30. Nieves tiene una pareja de hámsteres con una camada de varias crías. Le
regala a una amiga la mitad de las crías. A un segundo amigo le regala la mitad de las crías que le
quedan más media cría. La única cría que le queda se la regala a un tercer amigo. ¿Cuántas crías
formaban la camada?
31. Dos amigas, Maite y Ana, fueron a visitar una granja en la que había gallinas y conejos. Al salir Ana le
preguntó a Maite: Sabes cuántas gallinas y cuántos conejos había. No, dijo Maite, pero había en
total 72 ojos y 122 patas. Averigua el número de gallinas y de conejos de la granja.
32. De un depósito lleno de líquido se saca la mitad del contenido, después la tercera parte del resto y
quedan aún 1600 litros. Calcula la capacidad del depósito.
233

4. ECUACIONES DE 2º GRADO
Hay ecuaciones de segundo grado que ya sabes resolver. El curso próximo estudiarás como resolverlas
todas. Pero en este curso vamos a aprender a resolver algunas. Por ejemplo, el siguiente problema ya
sabes resolverlo:
Se aumenta el lado de una baldosa cuadrada en 3 cm y su área ha quedado multiplicada por 4,
¿Qué lado tenía la baldosa?
Planteamos la ecuación:
(x + 9)2 = 16x2
¡Esta ecuación si sabes resolverla! x + 9 = 4x  9 = 3x, luego el lado es de 3 cm.
Hay otra solución, x + 9 = 4x  9 = 5x= 9  x = 9/5, que no tiene sentido como lado de un
cuadrado.
Vamos a estudiar de forma ordenada estas ecuaciones.
4.1. Concepto de ecuación de 2º grado
Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica en la que la mayor potencia de la incógnita
es 2. Las ecuaciones de segundo grado se pueden escribir de la forma:
ax2 + bx + c = 0
donde a, b y c son números reales, con a  0.
Ejemplo 1:
Son ecuaciones de 2º grado por ejemplo
5x2  8x + 3= 0; 6x2 + 2x + 9 = 0; x2  25x  1,1 = 0.
Ejemplo 2:
Los coeficientes de las ecuaciones de 2º grado son números, por lo tanto pueden ser fracciones
o raíces. Por ejemplo:
3 2 1 1 2 2 3
x  4x   0 ; x  x   0 ; 2,7x2 + 3,5x  0,2 = 0; 2x2  3x  5  0 .
5 2 3 5 4
33. Indica si son ecuaciones de segundo grado las siguientes ecuaciones:
3
a) 5 x  2 x  8  0
2
c) 3x2  5 = 0 e) 2 x 2   0
x
f) 2x  3 x  4  0
2
b) 7xy2  2 = 0 d) 6  8,3x = 0
34. En las siguientes ecuaciones de segundo grado, indica quiénes son a, b y c.
a) 7  8x2 + 2x = 0 b) 6x2 + 9x = 0
c) 4x2  5 = 0 d) x2  3x + 5= 0
234

4.2. Resolución de ecuaciones de 2º grado incompletas
Llamamos ecuación de 2º grado incompleta a aquella ecuación de segundo grado en la que el
coeficiente b vale 0 (falta b), o el coeficiente c vale 0 (falta c).
Ejemplo:
La ecuación de 2º grado 3x2  15 = 0 es incompleta porque el coeficiente b = 0, es decir, falta b.
La ecuación de 2º grado 3x2  15x = 0 es incompleta porque no tiene c, es decir, c = 0.
Las ecuaciones de 2º grado incompletas se resuelven de una manera u otra dependiendo del tipo que
sean.
Si el coeficiente b = 0: Despejamos la incógnita normalmente, como hacíamos en las ecuaciones de
primer grado:
c c c
 x   x  
2
ax2 + c = 0  ax2 = c  x 2 
a a a
Si el coeficiente c = 0: Sacamos x factor común:
ax2 + bx = 0  x(ax + b) = 0.
Para que el producto de dos factores valga cero, uno de los factores debe valer cero.
b
Por tanto x = 0, o ax + b = 0  ax = b  x 
a
Ejemplos:
En la ecuación 2x2  50 = 0 falta la b. Para resolverla despejamos la incógnita, es decir, x2:
2x2  50 = 0  2x2 = 50  x2 = 50/2 = 25
Una vez que llegamos aquí, nos falta quitar ese cuadrado que lleva nuestra incógnita. Para ello,
haremos la raíz cuadrada en los 2 miembros de la ecuación:
x   25  5
Así hemos obtenido las dos soluciones de nuestra ecuación, 5 y 5. En efecto, 2∙52  50 = 2∙25 – 50 = 0,
y 2∙(5)2  50 = 2∙25 – 50 = 0
En la ecuación 3x2  21x = 0 falta la c. Para resolverla, sacamos x factor común:
3x2  21x = 0  3x(x – 7) = 0
Una vez que llegamos aquí, tenemos dos opciones
1) 3x = 0  x = 0.
2) x – 7 = 0  x = 7.
Así hemos obtenido las dos soluciones de la ecuación x = 0 y x = 7.
Resuelve la ecuación de 2º grado 2x2  72 = 0:
Solución: Se trata de una ecuación de 2º grado incompleta donde falta la b. Por lo tanto, despejamos la
235

incógnita: 2x2  72 = 0  2x2 = 72  x2 = 72/2 = 36  x   36  6 . Las raíces son 6 y 6.
Resuelve la ecuación de 2º grado x2 + 11x = 0:
Solución: Se trata de una ecuación de 2º grado incompleta donde falta la c. Por lo tanto, sacamos factor
común: x2 + 11x = 0  x(x + 11) = 0 y obtenemos las dos soluciones: x = 0 y x + 11 = 0  x = 11.
35. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado incompletas:
a) 3x2 + 9x = 0 b) 2x2  8 = 0 c) x2  81 = 0 d) 2x2 + 5x = 0
4.3. Resolución de ecuaciones de 2º grado completas
Se llama ecuación de segundo grado completa a aquella que tiene valores distintos de cero para a, b y c.
Para resolver las ecuaciones de segundo grado completas, usaremos la fórmula:
 b  b 2  4ac
x
2a
Esta fórmula nos permite calcular las dos soluciones de nuestra ecuación.
Llamaremos discriminante a la parte de la fórmula que está en el interior de la raíz:
 = b2 – 4ac
Resuelve la ecuación de segundo grado x2  5x + 6 = 0
Solución: Primero debemos saber quiénes son a, b y c: a = 1; b = 5; c = 6
Sustituyendo estos valores en nuestra fórmula, obtenemos:
 b  b 2  4ac 5  25  4 1 6 5  25  24 5  1
x   
2a 2 1 2 2
Por lo tanto, nuestras dos soluciones son:
5 1 5 1
x1   3 ; x2   2
2 2
En efecto, 32  5∙3 + 6 = 9  15 + 6 = 0, y 22  5∙2 + 6 = 4  10 + 6 = 0, luego 3 y 2 son soluciones de la
ecuación.
36. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado completas:
a) x2  5x + 6 = 0 b) 2x2 + 5x  7 = 0 c) 3x2  8x + 2 = 0 d) x2  x  12 = 0

236

5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
5.1. Concepto de sistema de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se puede expresar de la forma:
 ax  by  c

a' x  b' y  c'
Donde a, b, a' y b' son números reales que se denominan coeficientes y c y c' también son números
reales llamados términos independientes.
Llamamos solución del sistema al par de valores (x, y) que satisfacen las dos ecuaciones del sistema.
Se dice que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, cuando tienen la misma solución.

Ejemplo:
Son sistemas de ecuaciones lineales:
3 x  4 y  1 5 x  2 y  7  x  2y  3 4 y  2  3 x
 ;  ;  ; 
 2x  5 y  7  x y 0 7 x  3 y  4 7 x  3  5 y
3xy  5 y  7
No es un sistema lineal  porque tiene términos en xy.
 4 x  8 xy  9
3 x 2  5 y  7
Tampoco lo es  porque tiene un término en x2.
 4x  8 y  9

37. Razona si son o no sistemas de ecuaciones lineales los siguientes sistemas:
 xy  7 y  9  2 y  3x  4  8x  9  5 y 2 x 2  y  2
a)  b)  c)  d) 
8x  5 y  10 5 x  6 y  7 4 x  7 y  2 / 3
2
3x  y  4

5.2. Resolución de sistemas por el método de sustitución
El método de sustitución consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones del sistema y
sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.
Así, obtenemos una ecuación de primer grado en la que podemos calcular la incógnita despejada. Con
el valor obtenido, obtenemos el valor de la otra incógnita.

237

Ejemplo:
2 x  3 y  1
Vamos a resolver el sistema  por el método de sustitución:
 x  2y  3
Despejamos x de la segunda ecuación:
 2 x  3 y  1

x  2 y  3  x  3  2 y
y lo sustituimos en la primera:
2(3 – 2y) – 3y = –1  6 – 4y – 3y = –1  –4y – 3y = –1 – 6  –7y = –7  y = (–7)/(–7) = 1
Con el valor obtenido de y, calculamos la x:
x = 3 – 2y  x = 3 – 2∙1 = 1.
Solución:
x  1

y  1
5.3. Resolución de sistemas por el método de igualación
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita de las dos ecuaciones que forman el
sistema e igualar los resultados obtenidos.
Así, obtenemos una ecuación de primer grado en la que podremos calcular la incógnita despejada. Con
el valor obtenido, calculamos el valor de la otra incógnita.
Ejemplo:
2 x  3 y  1
Vamos a resolver el sistema  por el método de igualación:
 x  2y  3
Despejamos la misma incógnita de las dos ecuaciones que forman el sistema:
 3y 1
2 x  3 y  1  x 
 2
 x  2 y  3  x  3  2 y
Igualamos ahora los resultados obtenidos y resolvemos la ecuación resultante:
3y 1 7
 3  2 y  3 y  1  2(3  2 y )  6  4 y  3 y  4 y  6  1  7 y  7  y   1
2 7
x = 3 – 2y  x = 3 – 2∙(1) = 1
Solución:
x  1

y  1
238

5.4. Resolución de sistemas por el método de reducción
El método de reducción consiste en eliminar una de las incógnitas sumando las dos ecuaciones. Para
ello se multiplican una o ambas ecuaciones por un número de modo que los coeficientes de x o y sean
iguales pero de signo contrario.
Ejemplo:
2 x  3 y  1
Vamos a resolver el sistema  por el método de reducción:
 x  2y  3
Multiplicamos la segunda ecuación por ‐2 para que los coeficientes de la x sean iguales pero de signo
contrario y sumamos las ecuaciones obtenidas:
2 x  3 y  1  2 x  3 y  1
 ( 2)  sumamos
  –7y = –7  y = (–7)/(–7) = 1
 x  2 y  3    2 x  4 y  6
2x – 3∙1 = –1  2x = – 1 + 3 = 2  x = 2/2 = 1
Solución:
x  1

y  1
38. Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución:
2 x  4 y  5  2x  4 y  0  5x  7 y  1
a)  b)  c) 
 3x  6 y  7 3x  6 y  11 8x  7 y  10
39. Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación:
 6x  7 y  8 2 x  3 y  5 7 x  4 y  3
a)  b)  c) 
 2 x  3 y  4  4 x  2 y  14 3x  2 y  5
40. Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción:
 3x  y  4 5x  3 y  2  2x  3 y  0
a)  b)  c) 
2x  5 y  14  4x  y  7 3x  2 y  13

239

16 3 2 13 A) Cuadrados mágicos
En el cuadro Melancolía del famoso pintor alemán Alberto Durero
(1471‐1528) aparece este cuadrado mágico en el que todas las filas,
5 10 11 8 columnas y diagonales suman lo mismo, y además ese mismo
resultado se obtiene sumando las cuatro casillas centrales.
Además, las dos casillas del centro de la línea inferior indican el año en
el que este cuadrado mágico fue resuelto, 1514.
9 6 7 12 40. Confecciona un cuadrado mágico de 3 x 3 casillas, colocando los
dígitos del 1 al 9 de forma que todas las filas, todas las columnas, y
todas las diagonales sumen lo mismo.
B) EMMY NOETHER (1882 – 1935)
Emmy Noether fue una famosa algebrista. Nació en Alemania, hija de padres
judíos. Su padre era catedrático de matemáticas en la Universidad y Emmy
heredó de él la pasión por las matemáticas. Sin embargo, por aquella época la
Universidad no admitía que las mujeres desarrollasen estudios científicos, así
que tuvo que conseguir un permiso especial para que la dejaran asistir a las
clases, aunque no tenía derecho a examinarse. Años más tarde, las leyes
cambiaron y pudo doctorarse. Trabajó con los matemáticos alemanes más
brillantes y desarrolló un teorema esencial para la Teoría de la Relatividad en
la que estaba trabajando Albert Einstein. Ante la situación política de Emmy Noether
Alemania, con la subida al poder de Hltler, tuvo que exiliarse a Estados Unidos.
Allí coincidió con Einstein quien le dedicó estas palabras: “A juicio de los matemáticos más competentes
que todavía viven, desde que las mujeres empezaron a recibir enseñanza superior, Emmy Noether ha
tenido el genio creativo más destacado que haya surgido hasta la fecha de hoy en el campo de la
matemática”.
C) DIOFANTO
Diofanto fue un famoso matemático griego del siglo III d. C. En el epitafio de su tumba escribió:
¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar ¡oh maravilla! La duración
de su vida, cuya sexta parte constituyó la hermosa infancia.
Había transcurrido además una duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba.
A partir de ahí, la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril.
Pasó, además un quinquenio y entonces le hizo dichoso el nacimiento de primogénito.
Este entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la tierra habiendo vivido la mitad de lo que su padre
llegó a vivir.
Por su parte, Diofanto descendió a la sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro años a
su hijo.
Dime, caminante, cuántos años vivió Diofanto.
41. a) Escribe en lenguaje algebraico el epitafio de la tumba de Diofanto
b) Resuelve la ecuación. Comprueba que Diofanto vivió 84 años.
240

RESUMEN
Ejemplos
Expresión algebraica Expresiones que reflejan una situación mediante letras y números Área de un rectángulo = base por
altura: A = b  a
Valor numérico de Número que se obtiene al sustituir las letras por números y hacer El valor numérico de x + 3x + 5 para
una expresión las operaciones. x = –2 es:–2 + 3(–2) + 5 = –2 – 6 + 5
algebraica = –3
Ecuación Igualdad entre dos expresiones algebraicas. 3x – 1 = 2x + 5
Incógnitas Letras de valor desconocido que contienen una ecuación En 3x – 1 = 2x + 5 la incógnita es x.
Grado de una El mayor exponente de la incógnita. La ecuación 3x – 1 = 2x + 5 es de
ecuación primer grado. La ecuación 3x2 = 27
es de segundo grado.
Solución de una Número por el que se puede sustituir la incógnita para que la Solución de 3x – 1 = 2x + 5 es x = 6.
ecuación igualdad sea cierta.
Resolver una Es hallar su solución. 3x – 1 = 2x + 5
ecuación 3x – 2x –1 + 1 = 2x – 2x + 5 +1; x = 6
Ecuaciones Tienen las mismas soluciones 2x – 5 = x + 2 es equivalente a:
equivalentes 2x – x = 2 + 5
Pasos para resolver Quitar paréntesis (3x – 1) = 7/2
una ecuación: Quitar denominadores 1. 6x – 2 = 7/2
Agrupar los términos con x en un miembro y los términos sin x en el 2. 12 x – 4 = 7
otro. 3. 12 x = 7 + 4
Operar 4. 12 x = 11
Despejar la x. 5. x = 11/12
Pasos para resolver Leer el enunciado. Hallar un número que sumado a 7
un problema Escribir la ecuación. da lo mismo que su doble menos 3.
mediante ecuaciones Resolver la ecuación. 1) Comprender el enunciado
Comprobar la solución. 2) x + 7 = 2x – 3
3) x – 2x = – 3 – 7; –x =–10; x = 10
4) 10 + 7 = 2∙ 10 – 3
Ecuación de segundo Es una ecuación algebraica en la que la mayor potencia de la 3x2 + 7x + 8 = 0
grado incógnita es 2. Tiene la forma: ax2 + bx + c = 0 donde a, b y c son
números reales, con a  0.
Resolución de c 2x2  18 = 0: x   9   3
ecuaciones de 2º Si b = 0, ax2 + c = 0, despejamos la incógnita: x   .
a 3x2  15x = 0  3x(x – 5) = 0  x1
grado incompletas
b = 0; x2 = 5.
Si c = 0, ax2 + bx = 0: x = 0 y x 
a
Resolución de x2  5x + 6 = 0:
 b  b 2  4 ac
ecuaciones de 2º Se usa la fórmula: x  5  25  4  1  6 5  1
2a x 
grado completas 2 1 2
x1 = 3, x2 = 2
Sistema de  ax  by  c  x  2y  3
 
ecuaciones lineales a ' x  b ' y  c ' 7 x  3 y  4
Métodos de Sustitución: despejar una incógnita y sustituir en la otra ecuación.
resolución Igualación: despejar la misma incógnita de las dos ecuaciones.
Reducción: sumar las dos ecuaciones, multiplicándolas por números adecuados.
241

EJERCICIOS Y PROBLEMAS.
Lenguaje algebraico
1. Si llamamos x a la edad de Luis, expresa algebraicamente:
a) Lola tiene la edad que Luis tenía hace 11 años.
b) Jordi tiene la edad que Luis tendrá dentro de 2 años.
c) Los años que faltan para que Luis cumpla 30 años.
d) Carmen tiene la mitad de la edad de Luis.
2. En una granja hay un número de ovejas desconocido. Indica en lenguaje algebraico el número de
patas y de orejas que hay.
3. Escribe en lenguaje algebraico
a) La edad de Cristina es doble que la que tendrá su hermano dentro de 5 años
b) La edad de Rafa es la tercera parte que la que tenía su hermana hace 3 años.
4. Escribe en tu cuaderno utilizando expresiones algebraicas:
a) Raquel tiene x cromos
b) Pepe tiene 10 cromos más que Raquel
c) Teresa tiene el triple de cromos que Pepe
d) Carmela tiene el mismo número de cromos que Raquel y Pepe juntos
e) Marta tiene la mitad de cromos que Teresa.
5. Copia en tu cuaderno y relaciona cada enunciado verbal con su expresión algebraica:
a) Sumar 9 al triple de un cierto número 1) 3x + 2(x + 1)
b) Restamos 7 a la mitad de un número 2) 3x + 9
c) El triple de un número más el doble del siguiente 3) 8x
d) Lo que nos devuelven si pagamos 20 € por una cierta compra 4) x/2 – 7
e) El perímetro de un octógono regular. 5) x – 3
f) La edad de hace 3 años 6) 20 – x
6. Calcula el valor numérico de las siguientes igualdades para el valor indicado de x:
a) y = 0,5 + 3x para x = 3 b) y = 1,6x para x = 0,75 c) y = 4 + 1,5x para x = 2,1
7. Simplifica las siguientes expresiones:
a) 3a2b – 2 a2 b + 7 a2 b b) 5xy + 7xy – 2xy c) 6x + 9x – 3x
d) 2x + 7x – 2y e) 3ab + 8ab – 6ab
8. Realiza las operaciones siguientes
a) 3x + 5x – 2y + 9y – 4x – 3y b) (2x – 5 x2) – (3 x2 + 5x)
c) 3(7x – 3) – 2(2x + 5) d) 2a – 5a + 7a – 8a + b
242

Ecuaciones de primer grado
9. Encuentra el número que falta:
a) O + 2 = 5 b) O + 3 = 1 c) O – 4 = 6 d) O – 4 = –1
10. Si Clara tiene x años y sabemos que aún no ha cumplido los 5, indica quién de las siguientes
personas puede ser la madre de Clara:
Persona Edad en años
Julia 3x – 9
María x2 – 17
Federica 3x + 5 + 7x + 6
Elisa x – 2x + 9
11. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones y escribe la solución en tu cuaderno:
a) x + 3 = 2 b) x – 2 = 3 c) x/5 = 1 d) x/3 + 2/3 = 4/3
12. Elige entre las siguientes ecuaciones todas las que sean equivalentes a la ecuación 3x – 6 = x + 9.
a) x + 10 = 17,5 c) 8 – x = 3x – 5x e) 4x = 30 g) 2x = 9 + 6 i) 10 – 2,5 = x
b) 6x + 2x = 60 d) 5x – 6 = 3x + 9 f) – 6 – 9 = x – 3x h) 3x = 15 j) x = 7,5
a) 2x – 5 = 4x – 7 d) x + 9 = 3x – 3 g) 4x + 2 = 14 i) 3x – 5 = 2x– 5
b) x – 12 = 7x + 6 e) 5x – x + 7 = 2x + 15 h) 3x – 4 = x + 18 k) 3x – 4 + x = 8
c) x – 1 = x + 5x + 9 f) 2x – 27 = x i) 4x – 6 = x + 9 l) 3 – 10 = x + 1
14. Escribe tres ecuaciones equivalentes a 2x – 3 = 5.
15. Escribe tres ecuaciones que tengan como solución x = 7.
16. Resuelve las ecuaciones siguientes: (Sugerencia: ilustra las ecuaciones mediante balanzas).
a) x – 5 = 9 b) x – 8 = 2 c) x – 3 = 4 d) x – 9 = 6
17. Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones:
a) 2x + 4x = 54 b)4x – 3x = 16 c) 5(x – 2) = 70 d) –5x – 2x = –49
a. 2x + 3 = 5 b. 4 x – 5 = x + 4 c. x/3 = –2 d. –2(3x – 4) = 2x + 5
19. Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) 4x – 4 = 2x b) 2(x + 7) = x c) x/3 + 2 = x d) 3(x + 3x) = x + 50
20. Resuelve las ecuaciones:
a) x/2 – 2(x – 3x) = 27 b) 2x – (2x – 3) + x = 4 c) 7 = 1 + x/2 d) 4 – x = 2 + x/2
21. Resuelve:
a) x / 3 = 7; b) 3x = 9; c) x + 4 = 12; d) x – 7 = 1
243

22. Practica en tu cuaderno resolviendo las siguientes series de ecuaciones:
1ª serie
1) x + 4 = 6 2) x + 6 = 3 3) 15 = 11 + x 4) 7 = x + 3 5) x + 8 = 4
6) x + 6 = 8 7) x + 7 = 3 8) 8 + x = 16 9) 3 = 7 + x 10) 2 = x + 4
2ª serie
11) x – 3 = 6 12) x – 4 = 2 13) 4 = x – 1 14) 7 – x = 2 15) 6 – x = 4
16) 3 = 9 – x 17) x – 4 = 7 18) x – 2 = 0 19) 8 – x = 3 20) 9 – x = 5
3ª serie
21) 3x = 6 22) 4x = 16 23) 6x = 18 24) 8 = 2x 25) –12 = 3x
26) 2x = –6 27) 4x = 11 28) 3x = 6 29) 9 = 3x 30) 18 = 6x
4ª serie
31) x/5 = 1 32) x/3 = 7 33) x/–2 = 3 34) x/5 = 2/3 35) x/10= 3/2
36) x/7 = 2 37) x/12 = 3/4 38) x/3 = –2/9 39) x/5 = –2 40) x/7 = 3/14
5ª serie
41) x + 3x = 16 42) 4x + 2x = 6 43) 6x = 8 + 10 44) 3x + 7 = 4
45) 2x + 7 = 11 + 4x 46) x +1 = 2x – 5 + 2x 47) 3x – 2 + 4x = 3 – 3x + 1
48) 4x – 3 + x = 3x + 7 49) x + 4 + 4x = 2 – 2x + 5 50) 6x + 4 – 2x = 3 + 2x – 7
6ª serie
51) x/3 –2 = 4 52) 3x/5 + 4 = 3 53) x/3 + 2x/3 = 7 54) x/5 + 3x/5 = 9
55) x/2 + x/2 + 3 = 5 56) 3x/7 + 2x/7 + 3 = 6 57) x + x/5 = 7 58) x/2 + 5x/2 + 3 = 5
59) 5 + x/7 = 21 60) 3 + x/3 = 9
7ª serie
61) 3 + 4(2 – x) = 9 – 2x 62) 5 – 2(x + 2) = x – 5
63) 13 + 3(2x + 5) = 2(x + 3) – 1 64) 7 – 2(3x – 5) = 13 – 2(4x – 7)
65) 5x – 3(2x – 4) = 36 – 3(4x + 6) 66) 2(3x – 5) – (2x + 1)= 17 – 3x
67) 2(x + 4) + 3x = –34 – 3(5x + 6) 68) 5 – 2(7 – 2x) = x – 6
69) 3x – 4(x – 1) = 8 – 5x 70) 5x – (2x + 3) = 2x – 5
8ª serie
71) x/3 + x/6 = 12 72) x/6 + x/3 + x/2 = 5 73) (x – 3)/5 = 1 74) x/2 – 3 = 4
75) (2x + 9)/3 = 7 76) (2x + 9)/3 = x 77) (x – 3)/5 = x 78) 5 + x/4 = 6
79) 4x/3 + 5x/6 = x/3 + 2 80) 2x/3 + 7x/2 + 5x = 8 + x/6

244

Problemas
23. Si un repartidor de pedidos ha dejado los 2/5 de los paquetes que llevaba en la primera casa, y aún
le quedan 99 kg por repartir, ¿cuántos kilos tenía en un principio?
24. Resuelve mentalmente los siguientes problemas:
a) ¿Cuántos cromos tengo si el doble de los que poseo es 20?
b) ¿Cuántas canicas tengo si al darme 7 tendré 37?
c) ¿Cuántos discos tengo si al regalar 5 me queda una docena?
d) Manuel, dentro de 6 años tendrá 18. ¿Cuántos años tiene ahora?
25. En una granja hay 70 animales entre gallinas y conejos, y entre los dos, suman 180 patas. ¿Cuántas
gallinas hay en la granja?
26. Halla el número tal que su doble más tres sea igual que su triple menos dos.
27. Repartimos 150 € entre tres personas de forma que la primera recibe el doble que la segunda y ésta
el triple que la tercera. ¿Cuánto le corresponde a cada una?
28. El ángulo mayor de un triángulo mide el doble que el menor y éste 20 grados menos que el mediano.
¿Cuánto mide cada uno de los ángulos del triángulo? (Recuerda que los tres ángulos de un triángulo
suman 180 grados)
29. Si al quíntuplo de un número le restas dos obtienes 27. ¿Cuál es el número?
30. Un número y su siguiente suman 87. ¿Cuáles son esos números?
31. Un bolígrafo cuesta el triple que un lápiz. He comprado cinco lápices y cuatro bolígrafos y me han
costado 2,55 €. ¿Cuánto cuesta un lápiz? ¿Y un bolígrafo?
32. En mi monedero llevo diez monedas, unas de 50 céntimos y otras de 20 céntimos. Si tengo 2,90 € en
total, ¿Cuántas monedas de cada tipo tengo?
33. El perímetro de un rectángulo es de 120 metros y la altura es 24 centímetros más larga que la base.
¿Cuánto miden la base y la altura del rectángulo?
34. Laura dice que si al triple de la edad que tiene le restas la mitad, el resultado es 30. ¿Qué edad tiene
Laura?
35. Un hijo tiene 12 años y su padre 35. ¿Cuántos años deben de pasar para que la edad del padre sea el
doble que la del hijo?
36. Calcula la longitud del lado de un triángulo equilátero sabiendo que su perímetro es de 18 cm.
37. Calcula la longitud de los lados de un triángulo isósceles sabiendo que el perímetro es 18 m y cada
lado igual mide 3 cm más que el lado desigual.
38. Si a la tercera parte de un número le sumas dos, obtienes el mismo resultado que si al número le
sumas uno y divides entre dos.
39. El perímetro de un triángulo isósceles mide 30 centímetros. El lado desigual mide la mitad de uno de
sus lados iguales. ¿Cuánto mide cada lado?
40. Hemos comprado 12 artículos entre mesas y sillas. ¿Cuántas hemos comprado de cada si cada mesa
cuesta 130 € y cada silla 60 € y en total nos ha costado 860 €?
245

41. Cuadrados mágicos: En el cuadro Melancolía del famoso pintor alemán
Alberto Durero (1471‐1528) aparece este cuadrado mágico en el que todas 16 3 2 13
las filas, columnas y diagonales suman lo mismo, y además ese mismo
resultado se obtiene sumando las cuatro casillas centrales. Además, las dos 5 10 11 8
casillas del centro de la línea inferior indican el año en el que este cuadrado
mágico fue resuelto, 1514. Confecciona un cuadrado mágico de 3 x 3 casillas, 9 6 7 12
colocando los dígitos del 1 al 9 de forma que todas las filas, todas las
columnas, y todas las diagonales sumen lo mismo. 4 15 14 1
42. DIOFANTO: Diofanto fue un famoso matemático griego del siglo III d. C. En el
epitafio de su tumba escribió:
 ¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar ¡oh maravilla! La
duración de su vida, cuya sexta parte constituyó la hermosa infancia.
 Había transcurrido además una duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba.
 A partir de ahí, la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril.
 Pasó, además un quinquenio y entonces le hizo dichoso el nacimiento de primogénito.
 Este entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la tierra habiendo vivido la mitad de lo que su
padre llegó a vivir.
 Por su parte, Diofanto descendió a la sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro
años a su hijo.
Dime, caminante, cuántos años vivió Diofanto.
a) Escribe en lenguaje algebraico el epitafio de la tumba de Diofanto
b) Resuelve la ecuación. Comprueba que Diofanto vivió 84 años.

Ecuaciones de segundo grado
43. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado
a) x2 + 5x  6 = 0 b) 7x2 + 12x = 0 c) 3x2 + 75 = 0
2 2
d) x  2x + 7 = 0 e) 6x  5x  7 = 0 f) x2  9 = 0

Sistemas lineales
44. Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución:
3x  2 y  4 3x  2 y  4 3x  2 y  4
a)  b)  c) 
6 x  4 y  8  9x  6 y  1  2x  3y  1

246


AUTOEVALUACIÓN
1. Los coeficientes de la expresión algebraica 8,3x – 2,5 + y, son:
a) 8,3, 2,5 y 1 b) +8,3, –2,5 y +1 c) + 8,3 y – 2,5 d) 8,3, 1, 2,5
2. El valor numérico de la expresión algebraica 4 a + 3 b, cuando a = 5 y b = – 2, es:
a) 14 b) –14 c) 26 d) – 26
3. La solución de la ecuación 3,4 + 5,2x – 8,1x = 9,4 + 7,3x es:
a) –10/17 b) +6/–10,2 c) – 10/1,7 d) 0,58
4. La ecuación x2 = 4 tiene de soluciones:
a) 2 b) –2 c) 2 y –2 d) 0 y 2
5. La suma de las edades de dos personas es de 50 años y su diferencia, 8 años. ¿Cuál de las
siguientes ecuaciones nos permite calcular sus edades?
a) x + x +8 = 50 b) x – 8 = 50 c) 50 + x = 8 – x d) x + x – 8 = 50
6. El perímetro de un rectángulo es 70 cm. Si la base es el triple de la altura menos 5 cm, las
dimensiones del rectángulo son:
a) 30 y 11 b) 20 y 9 c) 25 y 10 d) 55 y 20
7. Tres números suman 142. El mediano es el doble del menor, y el mayor es triple del menor
menos 8. ¿Cuál de estas ecuaciones nos permite hallar los números?
a) 2x + x + 3x = 142 b) x + 3x + 2x = 142 + 8 c) x + 2x + 3x = 142 – 8 d) 6x = 136
8. Tenemos 20 monedas de 2 € y 1 €. Si en total tenemos 30 €, de cada clase de monedas, tenemos:
a) 9 y 12 b) 10 y 10 c) 12 y 6 d) 8 y 12
9. Tres personas se reparten una cantidad de dinero: la primera se queda con 250 € más que la
segunda y la tercera se lleva tanto como la primera y la segunda juntas menos 100 €. Si la
cantidad a repartir es 2000 €, el resultado del reparto es, respectivamente:
a) 900 €, 400 € y 650 € b) 450 €, 650 € y 950 € c) 600 €, 400 €, 1000 € d) 650 €, 400 €, 950 €
10. ¿A qué distancia de sus respectivos puntos de salida se cruzarán dos coches que salen en sentido
contrario desde dos ciudades que distan 540 km, si el primero va a 100 km/h y el segundo a 80
km/h?
a) 340 km y 200 km b) 300 km y 240 km c) 420 km y 120 km d) 320 km y 220 km.

CAPÍTULO 11: TABLAS Y GRÁFICAS. EL PLANO
2º ESO

CARTESIANO. COORDENADAS.


Autores: Concha Fidalgo y Javier Brihuega

248
TABLAS Y GRÁFICAS. 2º ESO

Índice
1. EL PLANO CARTESIANO. COORDENADAS
1.1. SISTEMA DE REFERENCIA CARTESIANO.
1.2. COORDENADAS. REPRESENTACIÓN E IDENTIFICACIÓN DE PUNTOS.
2. TABLAS Y GRÁFICAS
2.1. RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES. TABLAS DE VALORES.
2.2. REPRESENTANDO PUNTOS. LAS GRÁFICAS.
2.3. GRÁFICAS A PARTIR DE SITUACIONES RELACIONADAS CON FENÓMENOS NATURALES Y DE LA VIDA
COTIDIANA.
2.4. INTERPRETACIÓN Y LECTURA DE GRÁFICAS
3. LAS FUNCIONES
3.1. LA FUNCIÓN COMO RELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES. VARIABLE DEPENDIENTE Y VARIABLE
INDEPENDIENTE.
3.2. LA FUNCIÓN: TABLA DE VALORES, GRÁFICA, EXPRESIÓN VERBAL Y EXPRESIÓN ALGEBRAICA
3.3. UNA FUNCIÓN IMPORTANTE. LA FUNCIÓN LINEAL O DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA
3.4. UTILIZACIÓN DE GEOGEBRA PARA LA INTERPRETACIÓN DE LA PENDIENTE DE UNA FUNCIÓN
LINEAL
Resumen
El estudio de las relaciones entre dos magnitudes y su representación mediante tablas y gráficas es de
gran utilidad para describir, interpretar, predecir y explicar fenómenos naturales y cotidianos que se
relacionan de manera funcional.
En muchas ocasiones necesitaremos que los datos recogidos en una tabla
sean representados gráficamente y utilizaremos el sistema de referencia
cartesiano.
El sistema de referencia cartesiano se llama así en honor al filósofo,
científico y matemático francés René Descartes que vivió entre los años
1596 y 1650. Descartes quiso fundamentar su pensamiento filosófico en la
necesidad de tomar un «punto de partida» sobre el que edificar todo el
conocimiento. En Geometría, Descartes también comenzó tomando un
"punto de origen" para poder representar la geometría plana. René Descartes
En este tema aprenderemos a utilizar el lenguaje gráfico para interpretar y describir situaciones del
mundo que nos rodea. También estudiaremos las funciones entre dos magnitudes variables, en las que
una tiene una relación de dependencia de la otra. Descartes, Newton y Leibniz ya establecieron la idea
de función como dependencia entre dos cantidades variables. Aunque su definición y comprensión fue
posterior, a partir de Fourier, llegando al siglo XX.
Así, los contenidos que vamos a tratar nos van a permitir trabajar con las distintas formas de
representar algunas situaciones funcionales: numérica, gráfica, verbal o a través de una expresión
algebraica (como las que acabamos de estudiar en el capítulo anterior) y las distintas formas de traducir
una expresión de uno a otro lenguaje.

Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 10: Tablas y Gráficas. Funciones Autores: Concha Fidalgo y Javier Brihuega
249

1. EL PLANO CARTESIANO. COORDENADAS
1.1. Sistema de referencia cartesiano
Ya sabes que:
Constantemente nos encontramos con situaciones en las que tenemos que indicar la localización de
objetos o lugares respecto de otros conocidos y, en ocasiones, sus posiciones en un plano o mapa. Para
entendernos es muy importante que tengamos una referencia común.
Si quieres indicar a unos amigos que no conocen tu barrio, donde se encuentra una tienda determinada
o el Instituto donde estudias, bastará con que les indiques su posición con las referencias que utilicéis
todos.
Ejemplo 1:
Luis vive en la casa marcada en rojo en el plano adjunto y estudia en un
Instituto cercano marcado en verde en el plano.
Para indicar a sus amigos franceses donde está su Instituto les da las siguientes
indicaciones:
“Al salir de mi casa vais hacia la derecha y cruzáis dos calles,
luego hacia la izquierda cruzáis una calle y ya habéis llegado”

Las referencias izquierda y derecha así como la idea de cruzar una calle son comunes a todos nosotros,
además fíjate que en el esquema la línea que indica el camino es muy clara

En Matemáticas, en la mayoría de las ocasiones, utilizamos sistemas de referencia cartesianos que
también se utilizan en Ciencias Sociales para trabajar los mapas y los planos.

Un sistema de referencia cartesiano consiste en dos
rectas numéricas perpendiculares, llamadas ejes. El
punto en el que se cortan los ejes es el origen del
sistema, también llamado origen de coordenadas.
Normalmente lo representamos con un eje vertical y
el otro horizontal. Al eje horizontal le denominamos
eje de abscisas o también eje X y al vertical eje de
ordenadas o eje Y.
Al cortarse los dos ejes, el plano queda dividido en
cuatro zonas, que se conocen como cuadrantes:
‐ Primer cuadrante: Zona superior derecha
‐ Segundo cuadrante: Zona superior izquierda
‐ Tercer cuadrante: Zona inferior izquierda
‐ Cuarto cuadrante: Zona inferior derecha Sistema de referencia cartesiano
250

Ejemplo 2:
“Si estas situado sobre la X que aparece en el mapa, sigue 3
leguas al Este y luego 2 leguas al Norte. Allí está enterrado el
tesoro”

Nota: La legua es una antigua unidad de longitud que expresa la distancia
que una persona puede andar durante una hora. La legua castellana se fijó
originalmente en 5.000 varas castellanas, es decir, 4,19 km

Las referencias Norte, Sur, Este y Oeste nos definen un sistema de
referencia cartesiano donde el Origen es el punto marcado con la X.

Marca en el plano el punto donde se encuentra el tesoro y como se llegaría a él desde el punto X

Solución:

1. Describe y marca en el plano adjunto como llegarías a:
a) Cabo Sur
b) Bahía Norte
c) Playa Fea

251

Material fotocopiable
Isla del Tesoro
Fuente: Banco de Imágenes y sonidos del INTEF.
Colecciones: Robert Louis Stevenson: La isla del tesoro. La isla del tesoro: El mapa del tesoro, Ilustrador: Loren

252

2. En el mapa indica en que

cuadrante se encuentran
los siguientes paises:
a) Australia
b) España
c) Argentina
d) China

1.2. Coordenadas. Representación e identificación de puntos
En las actividades anteriores hemos descrito como llegaríamos a algunos puntos a partir de un sistema
de referencia. Para llegar a un punto, partiendo del Origen del sistema de referencia, hemos recorrido
una determinada cantidad hacia la derecha o la izquierda y luego otra hacia arriba o hacia abajo. Así
cada punto quedará determinado por un par de números a los que llamaremos coordenadas del
punto.
Las coordenadas de un punto A son un par ordenado de
números (x, y), siendo x la primera coordenada que la
llamamos abscisa y nos indica la cantidad a la que dicho
punto se encuentra del eje vertical. La segunda coordenada
es la y, llamada ordenada y nos indica la cantidad a la que
dicho punto se encuentra del eje horizontal.
Cuando esta cantidad sea hacia la izquierda o hacia abajo la
indicaremos con un número negativo y si es hacia arriba o a
la derecha la indicaremos con uno positivo, de la misma
manera que hacíamos al representar los números en la recta.
Ejemplo 3:
En el grafico el punto A tiene coordenadas (2, 3).
Ejemplo 4:
En la Actividad resuelta 1 el TESORO se encuentra en el punto de coordenadas (3, 2).
En la Actividad propuesta 2 el Cabo Sur se encuentra en el punto de coordenadas (1, 3), la Bahía Norte
en el punto (2, 5) y Playa fea en el punto (0, 1).
Nota: El cabo Sur se encuentra en el cuarto cuadrante y su ordenada es una cantidad negativa porque desde
el origen tiene que ir hacia el Sur, esto es, tiene que bajar. Y la Playa Fea se encuentra en el eje de ordenadas
hacía el Sur, por eso su abscisa es 0 y su ordenada negativa.
253

Indica cuales son las coordenadas de los puntos
marcados en el gráfico adjunto:

Solución
A = (2, 3); B = (1, 2); C = (0, 3); D = (3, 2) y E = (1, 1)

Dibuja un sistema de referencia cartesiano y en él marca los puntos siguientes:
A = (1, 3); B = (2, 2); C = (2’5, 0), D = (1’5, 1) y E = (1, 1)
Solución

3. Indica cuales son las coordenadas de los puntos marcados en el gráfico adjunto:

4. Dibuja un sistema de referencia cartesiano y en él marca
los puntos siguientes:
A = (2, 3); B = (2, 2); C = (1’5, 0’5) y D = (0, 1)

254

2. TABLAS Y GRÁFICAS
2.1. Relación entre dos magnitudes. Tablas de valores
Ya sabes que:
En muchas ocasiones tenemos una relación entre dos magnitudes que nos viene dada por la
correspondencia entre las cantidades de cada una de ellas. Esta relación puede ser de proporcionalidad,
como estudiamos en el capítulo 8, también puede estar dada por una expresión verbal o definida por
una fórmula o ecuación de las que acabamos de estudiar en el capítulo 9.
De una relación entre dos magnitudes podemos obtener un conjunto de datos, relacionados dos a dos,
que si los ordenamos en una tabla nos facilita su interpretación.

Una tabla de valores es una tabla en la que situamos ordenadamente las cantidades correspondientes
de dos magnitudes relacionadas.

Ejemplo 5:
Los 100 metros lisos es una carrera en la que se tiene que recorrer 100
metros, libres de todo obstáculo, con la mayor rapidez posible. Se considera,
en general, como la competición de carreras de velocidad más importante.
Los mejores atletas la realizan en un tiempo de alrededor de 10 segundos de
duración corriendo cada 10 metros en un promedio de 1 segundo.

Longitud (m) 10 20 50 70 90 100

Tiempo (s) 1 2 5 7 9 10

Nota: La tabla también se puede poner en sentido vertical longitud tiempo
(m) (s)
10 1
20 2
50 5
70 7
90 9
100 10

En algunas ocasiones la relación entre dos magnitudes nos la pueden indicar directamente mediante su
tabla de valores

Ejemplo 6:
“La sopa estaba muy caliente, así que la dejé enfriar durante cinco minutos, la temperatura de la
sopa, según se enfriaba, la indica la tabla siguiente”

Tiempo (min) 0 1 2 3 4 5
Temperatura (°C) 80 60 50 44 40 39

255

Ejemplo 7:
Las notas de Matemáticas y Tecnología, en la segunda evaluación, de un grupo de 2º de E.S.O.
fueron las recogidas en la siguiente tabla:

Matemáticas 3 5 10 3 5 6 9 7 5 8 3 8 9 1 5 5 4 6 5 9 6 10 6 3 4 1 8 6 9 7
Tecnología 4 7 7 5 6 8 7 6 4 10 2 8 10 1 5 6 7 10 3 5 8 10 9 3 5 1 6 5 5 8

En otras ocasiones desconocemos cuales son las magnitudes con las que estamos trabajando, tan solo
conocemos los valores relacionados, y las solemos indicar con las letras X e Y
Ejemplo 8:
En la tabla adjunta tenemos la relación entre la magnitud X y la magnitud Y
X 2 1 0 1 2 3
Y 0 3 3 4 1 3

El precio de un kilo de queso especial de cabra, de la sierra de Madrid,
es de 18 € y se vende al peso. Construye una tabla de valores, con seis
cantidades diferentes, que relacione el peso del queso con su precio.
Solución
Como nos piden seis cantidades diferentes vamos a escoger algunas que nos parecen cotidianas
hasta un kilo, por ejemplo, 100 g, 250 g (cuarto de kilo), 500 g (medio kilo), 625 g, 750 g y 1000 g.
Como el precio y el peso son magnitudes proporcionales sabemos (capítulo 8) completar la tabla.
Peso (g) 100 250 500 625 750 1000
Precio (€) 1,80 4,50 9 11,25 13,50 18

Como sabes el área de un círculo se puede calcular mediante la fórmula
A = r2, en donde r es el radio del círculo (utilizamos  = 3,14). Construye
una tabla de valores desde un radio de 1 cm a uno de 5 cm, de centímetro
en centímetro.
Solución
Nos piden que elaboremos una tabla para los valores del radio 1, 2, 3, 4 y 5.
Para ello sustituimos r en la fórmula por cada uno de esos valores y obtenemos:
para r = 1 → A = 3,14 · 1² = 3,14; para r = 2 → A = 3,14 · 2² = 12,56; …
Radio (cm) 1 2 3 4 5
Área (cm²) 3,14 12,56 28,26 50,24 78,50

256

5. Construye una tabla de valores, con cinco cantidades diferentes, que relacione el consumo de un
coche y los kilómetros que recorre sabiendo que su consumo medio es de 7 litros cada 100
kilómetros.
6. Construye una tabla de valores, con cinco cantidades diferentes, en que se relacione el lado de un
cuadrado y su perímetro.
7. Construye una tabla de valores, con seis cantidades diferentes, que represente la siguiente situación:
“Una compañía de telefonía cobra 6 céntimos de euro por establecimiento de llamada y 3 céntimos
por minuto hablado”

2.2. Representando puntos. Las gráficas
Cada par de datos correspondientes de una relación entre dos magnitudes los podemos representar en
un sistema cartesiano

Ejemplo 9:
En la relación del ejemplo de la temperatura de la sopa
veíamos que a los 2 minutos, la sopa tenía una
temperatura de 50 °C.
Este par de números son las coordenadas de un punto (2, 50 ) en
un sistema de referencia cartesiano en el que en el eje de
abscisas representamos la magnitud Tiempo medida en minutos
y en el eje de ordenadas representamos la magnitud
Temperatura medida en grados centígrados.

Si representamos en un sistema de referencia cartesiano todos los pares de datos de una tabla de
valores obtenemos una gráfica.
Si representamos todos los pares de datos de la tabla de valores
del ejemplo anterior obtenemos la siguiente gráfica:

En ocasiones podríamos haber dado muchos más datos en la tabla de valores y al representarlos nos
quedaría casi una línea. En estos casos la gráfica, uniendo los puntos, estaría constituida por una línea
que en muchas situaciones sería continua.

257

Ejemplo 10:
Si llenamos un depósito de agua mediante un surtidor que vierte 75 litros de agua por minuto
podemos calcular una tabla de valores con la cantidad de agua que va teniendo el depósito
(llenado) en relación al tiempo que ha ido pasando.

tiempo (min) 0 5 10 15 20 25
llenado (l) 0 375 750 1125 1500 1875

Dibujamos su gráfica a partir de esta tabla de valores

En esta ocasión tendría sentido medir la cantidad de agua que va teniendo el depósito cada menos
tiempo. Si lo representamos podría quedar de la siguiente manera:

Si representáramos todos los posibles valores nos quedaría la siguiente gráfica:

Nota: La gráfica comienza, en el tiempo 0, en el instante en que empezamos a
llenar el depósito. No hay gráfica en el tercer cuadrante porque no tiene sentido
un tiempo negativo.

258

Ejemplo 11:
En la siguiente situación: “Una paella para seis personas necesita 750 g de arroz” podemos
construir una tabla de valores en la que se relacionan el número de personas y la cantidad de
arroz que se necesita:

Número de personas 1 2 3 4 5 6
Peso arroz (g) 125 250 375 500 625 750

y podemos construir una gráfica de
puntos con estos valores:

Sin embargo no podemos calcular valores intermedios (para dos personas y media por ejemplo), pues
no podemos dividir a una persona y, por lo tanto, no tiene sentido unir los puntos de la gráfica.

Ejemplo 12:
También podemos representar la relación entre las magnitudes X e Y del ejemplo 8 a partir de
su tabla de valores:
X 2 1 0 1 2 3

Y 0 3 3 4 1 3

Nota: En este caso no podemos unir los puntos, pues al no conocer cuáles son las magnitudes ni cuál es la
relación entre ellas, salvo en los puntos que vienen determinados por la tabla de valores, no podemos saber,
por ejemplo, qué valor tendría la magnitud Y si la magnitud X valiese 1,5.

259

Construye una gráfica de puntos a partir de los datos de la tabla de valores de la Actividad
resuelta del precio del queso y, si es posible, une sus puntos:
Solución

Sí, en este caso es posible porque podemos
calcular el precio para cualquier peso (es una
relación proporcional).
La gráfica quedaría:

Nota: No hay gráfica en el tercer cuadrante porque
no tiene sentido un peso negativo

Construye una gráfica a partir de los datos de la tabla de valores de la Actividad resuelta del área
del círculo y, si es posible, construye una gráfica uniendo sus puntos.
Solución:

Sí, es posible, porque podemos calcular el área para cualquier radio.
260

La grafica quedaría:

Nota: No hay gráfica en el tercer cuadrante porque no tiene
sentido un radio negativo
8. Construye una gráfica a partir de los datos de la tabla de valores de la Actividad propuesta sobre el
consumo de un coche y los kilómetros que recorre sabiendo que su consumo es de 7 litros cada 100
kilómetros. Si es posible, construye una gráfica uniendo sus puntos.
9. Construye una gráfica a partir de los datos de la tabla de valores de la Actividad propuesta sobre la
relación entre el lado de un cuadrado y su perímetro. Si es posible, construye una gráfica uniendo
sus puntos.
10. Construye una gráfica a partir de los datos de la tabla de valores de la Actividad propuesta de la
compañía de telefonía. Si es posible, construye una gráfica uniendo sus puntos.
11. En un recibo del gas de la vivienda de Juan viene la siguiente distribución de gasto:
Consumo de gas: .......... 0,058 € por kw/h La factura era de dos meses, había consumido 397 kw/h y
Impuesto especial: ........ 0,002 € por kw/h el gasto ascendía a 34,97 €. Otra factura anterior el gasto
Término fijo: ................. 4,30 € por mes era de 26,15 € con un consumo de 250 kw/h.
Alquiler de contador…. 2,55 €
Construye una gráfica que relacione el consumo de gas y
el gasto. ¿Tiene sentido unir los puntos?
2.3. Gráficas a partir de situaciones
En la mayoría de las situaciones que hemos estudiado hasta ahora, hemos podido calcular los pares de
valores relacionados, porque se trataban de relaciones de proporcionalidad o de relaciones dadas por
una fórmula que conocíamos.
Esto no siempre ocurre. A veces nos encontrarnos con que nos describen una situación en la que nos
dan una información entre dos magnitudes sin aportarnos apenas cantidades numéricas.
En muchas ocasiones una situación cotidiana o relacionada con fenómenos naturales descrita
verbalmente se puede representar mediante una gráfica de manera directa.
Ejemplo 13:
Javier tiene que ir a comprar a una tienda algo alejada de su casa, como no tiene prisa decide ir
dando un paseo. Justo cuando llega a la tienda se da cuenta de que se le ha olvidado la cartera y
no tiene dinero para comprar. Corriendo vuelve a su casa a por la cartera.
A partir de este enunciado podemos elaborar una grafica
como esta:
Nota: la distancia entre la casa de Javier y la tienda no la
conocemos, pero sabemos que en la vuelta ha tardado menos
tiempo que en la ida.

261

Ejemplo 14:
La temperatura en una montaña va descendiendo según ganamos en altitud. En la cima
llegamos a temperaturas bajo cero.
Podemos representar una situación en la que medimos la
temperatura según subimos desde un pueblo a la cima de una
montaña en una
gráfica como la
siguiente:
En el sistema de
referencia cartesiano
que hemos establecido, el origen está en el pueblo y es
por ello por lo que el rio tiene abscisa negativa, porque
está más bajo. En la cima la temperatura es negativa y
por ello su ordenada es negativa.
La temperatura desciende. Su gráfica es decreciente.
Ejemplo 15:
En un establecimiento comercial, el depósito de agua de los servicios públicos va llenándose poco
a poco hasta alcanzar los 10 L de agua y, en ese momento, se vacía regularmente. Cuando está
vacío se repite el proceso. En llenarse tarda el quíntuple de tiempo que en vaciarse.
Podemos hacer una gráfica que refleje la
variación de la cantidad de agua
(volumen) del depósito en función del
tiempo, a partir de un momento en el
que el depósito está lleno.
El origen de nuestro sistema de
referencia cartesiano esta en un
momento con el depósito lleno, el
tiempo negativo significa que es anterior
a ese momento.
Al vaciarse el depósito se tiene una gráfica decreciente. Cuando está vacío, se tiene un mínimo. Al
llenarse, la gráfica es creciente, y cuando está totalmente lleno, se tiene un máximo.
Los puntos de corte con los ejes son: Con el eje de ordenadas en el punto (0, 10), con el eje de abscisas
cuando el depósito está vacío.
Las gráficas nos dan una visión más clara de la situación que estamos estudiando, además de ellas
podemos obtener una tabla de valores y así hacer una interpretación más precisa.
Ejemplo 16:
En la situación anterior si consideramos que tarda un minuto en vaciarse el depósito, tardará
cinco minutos en llenarse y podemos obtener la siguiente tabla de valores:
Tiempo (min) 5 0 1 6 7 12
Volumen (l) 0 10 0 10 0 10
Nota: el valor negativo del tiempo quiere decir que el depósito comenzó a llenarse con anterioridad a la
situación inicial (origen) en el que el depósito está lleno.
262

Manuela va algunas tardes a casa de sus abuelos donde pasa un buen rato con ellos. Después
vuelve rápidamente a su casa para hacer los deberes antes de cenar. Construye una gráfica de
esta situación
Solución:

Observa que en la gráfica se tiene un primer tramo que es creciente, el siguiente es constante y el
último es decreciente. La gráfica de la función es continua (en ningún momento es preciso levantar el
lápiz para dibujarla).
“Este verano Juan fue en bicicleta a casa de sus abuelos que vivían en un
pueblo cercano, a 35 kilómetros del suyo. A los 20 minutos había
recorrido 10 km; en ese momento comenzó a ir más deprisa y tardó 15
minutos en recorrer los siguientes 15 km. Paró a descansar durante 10
minutos y, después, emprendió la marcha recorriendo los últimos 10 km
en 15 minutos.”
Construye una gráfica de esta situación y, a partir de ella, confecciona una tabla de valores.
Solución
La gráfica sería:

Y la tabla de valores:
Tiempo (min) 0 20 35 45 60
Distancia (km) 0 10 25 25 35
La gráfica es continua y siempre creciente.
12. La familia de Pedro fue un día de excursión al campo en coche; después de pasar el día volvieron y a
mitad de camino pararon durante un buen rato a echar gasolina y tomar unos refrescos. Al final
llegaron a casa. Construye una gráfica de esta situación.
13. “María salió a dar un paseo, primero fue a casa de su amiga Lucía, que vive a 200 metros, y tardó 5
minutos en llegar. La tuvo que esperar otros 5 minutos en su portal y, después, tardaron 10 minutos
en llegar al parque, que estaba a 500 m, donde merendaron y charlaron durante media hora. Por
último María regresó a casa rápidamente, porque le había llamado su madre. Sólo tardó 7 minutos.”
Construye una gráfica de esta situación y, a partir de ella, confecciona una tabla de valores.
263

2. 4. Interpretación y lectura de gráficas
Las gráficas resumen de manera eficaz la información sobre la relación entre dos magnitudes, por ello
se suelen emplear mucho, tanto en situaciones de carácter científico o social, como en la información
que se emplea en los medios de comunicación. Su lectura e interpretación es pues de mucha utilidad.
De las coordenadas de los puntos de una gráfica podemos extraer datos muy interesantes para la
comprensión de la situación que nos muestra la gráfica (la ordenada más alta o más baja, como se
relacionan las magnitudes,…)

Ejemplo 17:
El gráfico adjunto muestra las temperaturas a lo largo de un día de invierno en el pico de
Peñalara.
A partir de esta gráfica podemos obtener
más información sobre la situación planteada.
Así, por ejemplo podemos ver que la
temperatura mínima que se alcanzó ese día
fue de 6 °C a las 6 h de la mañana, nos lo
indica el punto de coordenadas (6, 6) que
tiene la ordenada menor de todos los puntos
de la gráfica. Es un mínimo.

Del mismo modo podemos ver que la temperatura más alta fue de 6 °C, que
se obtuvo a las 16 h. El punto de coordenadas (16, 6) así nos lo indica. Es un
máximo.
Podemos también afirmar que la temperatura fue subiendo desde las 6 h hasta las
16 h pues las ordenadas de los puntos cuya abscisa está entre esas horas van
creciendo. Es creciente.
Así mismo el punto (10, 2) nos indica que a las 10 h de la mañana hacía una temperatura de 2 °C,
temperatura que se alcanzó también a las 20 h, aunque esta vez bajando.
El hecho de que de 10 h a 14 h subiera la temperatura menos que en horas anteriores (gráfica menos
inclinada) pudo ser debido a causas climatológicas concretas, como que se pusiera la niebla, y después,
de 14 a 16 h, hay una subida rápida (pudo salir el sol). La gráfica nos indica que algo así pudo pasar.
A partir de las 16 horas la temperatura baja, la gráfica es decreciente.
La temperatura es de 0 ºC hacia las 9 horas y a las 22 horas. (0, 9) y (0, 22). Son los puntos en que la
gráfica corta al eje de abscisas. Al eje de ordenadas lo corta en (2, 0).
Ejemplo 18:
La actividad resuelta que nos describe el
recorrido de Juan de camino a casa de sus
abuelos. La gráfica que dibujamos y resume el
viaje era la que figura a la derecha.
De la gráfica, además de lo que ya conocíamos y que
nos ayudo a dibujarla, podemos extraer, “de un simple
vistazo” más información.
Por ejemplo, si miramos a la gráfica podemos observar
viaje de Juan a casa de sus abuelos
264

que en el kilómetro 20 llevaba 30 minutos pedaleando, o que a los 10 minutos había recorrido 5
kilómetros, que el tramo más rápido fue de los 20 a los 35 minutos (se ve mayor inclinación), o que en el
minuto 40 estaba parado.
Es una gráfica continua, pues podemos dibujarla sin levantar el lápiz.
Ejemplo 19:
La gráfica siguiente nos indica la relación entre la edad y la estatura de los miembros de una
familia.
Si observamos los puntos de esta grafica veremos que Jenifer y
Luis son los puntos (180, 43) y (170, 45) y representan a los
padres que tienen 43 y 45 años y miden 180 y 170 cm
respectivamente.
Los pequeños Antonio y Cintia son mellizos de 6 años y miden
115 y 125 centímetros. Mar tiene 20 años y mide 180 cm,
representada por el punto (180, 20) y, por último Leonor mide
165 y tiene 15 años.
De la gráfica también podemos deducir que Mar y su madre,
Jenifer, son los más altos de la familia, que Luis es el de más
edad y que Cintia mide 10 centímetros más que su hermano
mellizo.

Observando las gráficas de debajo, determina cuál es la que mejor se ajusta a la situación
siguiente:
“Antonio va al Instituto cada mañana desde su casa, un día se encuentra con un amigo y se queda
charlando un ratito. Como se la ha hecho tarde sale corriendo para llegar a tiempo a la primera clase”

gráfica 1 gráfica 2 g ráfica 3

Solución
La gráfica 1 es la que más se ajusta pues: el segmento horizontal indica que durante un tiempo
pequeño no avanzó en distancia, esto es que estaba parado, y la inclinación del tercer segmento es
mayor que la del primero, lo que indica que en menos tiempo recorrió más distancia, esto es, que
fue más rápido.
La gráfica 2 no puede ser, pues Juan no puede estar en dos sitios distintos, a la vez, en el mismo
momento. Esta gráfica indica, por ejemplo, que en el instante inicial (tiempo 0) Juan está en su casa
y en el instituto al mismo tiempo.
265

La gráfica 3 no puede ser, ya que la gráfica nos indica que Juan regresa a su casa después de charlar
con su amigo y no va al instituto.
La gráfica siguiente nos muestra la variación de la
estatura de Laura con relación a su edad.
Observando la gráfica contesta a las siguientes
preguntas:
a) ¿A qué edad medía 1 metro?
b) ¿Cuánto medía al nacer?
c) ¿Cuánto medía a los 10 años? ¿Y a los 20?
d) ¿En qué periodo creció menos?
Solución:
a) Mirando a la gráfica observamos que el punto (5, 100) es el que nos piden pues la ordenada
es 100 (1 metro), luego Laura tenía 5 años.
b) El punto que representa el nacimiento es el (0, 40) luego midió 40 centímetros
c) Del mismo modo observamos que a los 10 años medía 155 centímetros y a los 20 años 170.
d) En la gráfica observamos que el tramo menos inclinado es el que va de los 15 a los 20 años,
eso quiere decir que en ese tramo Laura creció menos.
14. La gráfica siguiente nos muestra la variación del peso de
Laura con relación a su estatura a lo largo de su vida.
Analiza la gráfica, comenta la situación y responde a las
siguientes preguntas:
a) ¿Cuánto pesaba cuando medía un metro? ¿Y
cuando medía 150 cm?
b) ¿Cuánto medía cuando pesaba 55 kg?
c) ¿A qué altura pesaba más? ¿Laura adelgazó en
algún momento?
15. La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un grupo de
2º de E.S.O. a Toledo, pasando por Aranjuez.
Sabiendo que Toledo está a 90 km del Instituto y Aranjuez a 45 km:
a) ¿Cuánto tiempo pararon en Aranjuez? ¿y en Toledo?
b) ¿Cuánto tiempo tardaron en llegar a Toledo? ¿y en regresar
al Instituto?
c) Si salieron a las 9 h de la mañana ¿A qué hora regresaron?
¿A las diez y media dónde se encontraban?
d) Haz una descripción verbal del viaje
266

3. LAS FUNCIONES
3.1. La función como relación entre dos variables. Variable dependiente y
variable independiente
No es raro escuchar o leer en la prensa expresiones como: “el precio está
en función de la demanda”, “el número de escaños obtenidos por un
partido político está en función del número de votos obtenidos”, “los
resultados obtenidos en los estudios están en función del tiempo dedicado
a estudiar”, o como esta: “el área de un círculo está en función del radio”.

Estas expresiones indican que el precio de un objeto, el número de escaños, los resultados académicos
o el área del círculo están relacionados, respectivamente, con la demanda, el número de votos
recibidos, el tiempo dedicado al estudio o el radio, de tal forma que la primera magnitud citada
depende únicamente de la segunda.

Una magnitud Y está en función de otra magnitud X, si el valor de la magnitud Y depende de manera
única del valor que tenga la magnitud X.

Nota: la Real Academia Española, en el Diccionario panhispánico de dudas, dice que ‘en función de’ es una
locución preposicional que significa ‘según o dependiendo de’

Ejemplo 20:
La temperatura del agua que está en un cazo al fuego dependerá de la cantidad de calor que
reciba, así decimos que: la temperatura del agua T varía en función del calor recibido Q, o
simplemente que T está en función de Q.
Cuando realizamos un viaje en coche podemos observar varias magnitudes; vamos a
estudiar la relación entre dos de ellas, por ejemplo la distancia recorrida y el tiempo
transcurrido desde la salida.
Según sea nuestro viaje y lo que hagamos durante su recorrido (ir por autopista o
por una carretera secundaria, parar un rato, volver,…) la distancia recorrida según el
tiempo transcurrido será de una manera u otra, pero es claro que la distancia está en
función del tiempo. En cada instante de tiempo habremos recorrido una distancia
determinada.

Como hemos visto en algunos ejemplos y actividades anteriores, por ejemplo en el caso de Juan que va
a ver a sus abuelos, en la actividad 20, hay un periodo de tiempo (10 minutos) en
el que se detiene a descansar y no avanza distancia, pero el tiempo no se detiene.
Así nos encontramos con que a varios valores de la magnitud tiempo les
corresponden el mismo valor de la magnitud distancia (los 25 kilómetros que
había recorrido antes de parar).

267

Sin embargo, a cada valor de la magnitud tiempo solamente le corresponde un único valor de la
magnitud distancia, esto es evidente pues Juan no puede estar en dos sitios distintos en el mismo
instante de tiempo.
Cuando esto ocurre decimos que la relación entre las dos magnitudes es una función.

Una función es una relación entre dos magnitudes numéricas X e Y, de tal forma que a cada valor de la
primera magnitud X, le hace corresponder un único valor de la segunda magnitud Y.

Además ambas magnitudes tienen valores numéricos y varía una en función de la otra (la distancia varía
según la variación del tiempo en el ejemplo de Juan). Para abreviar nos vamos a referir a ellas como
variables.

En las relaciones funcionales, a las magnitudes relacionadas las llamamos variables.

Asimismo, en nuestro viaje, la distancia depende del tiempo transcurrido, así que decimos que la
distancia es la variable dependiente y el tiempo es la variable independiente.

Nota: Cuando tenemos una relación funcional entre dos variables en la que una es el tiempo que transcurre,
esta, normalmente, es la variable independiente.

Cuando tenemos dos magnitudes, X e Y, que están relacionadas de tal forma que Y es función de X, a la
magnitud Y se la denomina variable dependiente, y a la magnitud X, de la que depende, se la denomina
variable independiente.

Nota: Cuando tenemos una función entre dos variables que desconocemos, a las magnitudes solemos
llamarlas X e Y, siendo X la independiente e Y la dependiente.

Ejemplo 21:
“El precio del kg de peras es de 1,80 €.” Esta situación nos define una
relación entre el precio y el peso, de tal manera que el precio que
pagamos depende del peso que compramos. La relación es una
función, el peso y el precio son las variables, el peso es la variable
independiente y el precio la variable dependiente.

Ejemplo 22:
La relación entre dos variables viene dada por la función y = 2x – 1.
En este caso Y está en función de X, pues para cada valor x de la variable X hay un único valor y de la
variable Y, siendo la variable X la variable independiente y la variable Y la dependiente.
Nota: Cuando tenemos una función entre dos variables que desconocemos, solemos llamarlas X e Y, y a los
valores que toman estas variables les denominamos x e y respectivamente. Así cuando la magnitud X toma el
valor x, la magnitud Y vale y.

268

En las siguientes relaciones di si son o no funciones y, en caso de serlo, indica cuales son las
variables dependientes e independientes.
a) El consumo de un coche y la velocidad a la que circula.
b) El perímetro de un polígono regular y la longitud de su lado.
c) El número de habitantes de los pueblos y la temperatura media en
verano.
d) La altura y el número de hermanos de los estudiantes de 1º de E.S.O.
Solución
a) El consumo de un coche sí está en función de la velocidad a la que circula. En este caso
el consumo es la variable dependiente y la velocidad la variable independiente.
b) También aquí se da una relación funcional, el perímetro es función del lado. El
perímetro es la variable dependiente y el lado la independiente.
c) En este caso no hay una relación funcional pues hay pueblos grandes y pequeños no
teniendo que ver con la temperatura media en varano que haga en ellos.
d) Tampoco hay relación funcional en este caso, puedes comprobarlo en tu clase.

16. En las siguientes relaciones señala si son o no funciones y, en caso de serlo, indica cuales son las
a) El consumo de un coche y la distancia recorrida.
b) La velocidad a la que circula un coche y la edad del conductor.
c) El número de habitantes de un barrio de una ciudad, o un pueblo, y el número de colegios
públicos que hay allí.
d) La temperatura de un lugar y la hora del día.
e) El número de lados de un polígono y el número de diagonales que tiene.

17. Propón tres ejemplos, diferentes a todos los que has estudiado hasta ahora, de relaciones entre dos
magnitudes en las que una sea función de la otra. Indica además en cada caso cuál es la variable
dependiente y cuál la independiente.

269

3.2. La función: tabla de valores, gráfica, expresión verbal y expresión
algebraica

La gran mayoría de las situaciones que hemos estudiado hasta este momento son relaciones
funcionales en las que hay dos variables, y una depende de la otra de manera única; esto es, son
funciones.
Además hemos visto que las funciones se pueden representar de varias maneras; como una descripción
verbal que describe una situación, como una tabla de valores que nos indica los valores
correspondientes de la relación, como una gráfica que nos visualiza la situación y como una expresión
algebraica (fórmula) que nos relaciona las dos magnitudes.

Ejemplo 23:
Si observamos el precio de la gasolina en un día concreto al llenar el depósito
de un coche podemos estudiar la relación entre el número de litros de gasolina
y lo que pagamos.
El precio que pagamos es función de la cantidad de gasolina que echamos y puede
venir dada de las siguientes maneras:
 Descripción verbal: “El litro de gasolina se situó en la primera semana de agosto en 1,46 €”.
 Expresión algebraica (fórmula): p = 1,46 ∙ l (donde p es el precio y l es la cantidad de gasolina)
 Tabla de valores:
Cantidad (l) 10 20 30 40 50
Precio (€) 14,60 29,20 43,80 58,40 73,00
 Gráfica:

270

Ejemplo 24:
Cuando tenemos una función que relaciona dos magnitudes que desconocemos, que las
llamamos X e Y, la podemos tener definida por una fórmula (expresión algebraica).
Por ejemplo y = 4 – 2∙x
De la que podemos elaborar una tabla de valores como la siguiente:

X 0 1 2 3 4

Y 4 2 0 2 4

y, a partir de ella, dibujar una gráfica:

En este caso sí podemos unir los
puntos, porque mediante su
fórmula para cualquier valor x de
la variable X podemos calcular el
valor y de la variable Y.

Podríamos dar, también, una descripción verbal que defina la relación entre estas variables, por
ejemplo: “A cada número le corresponden cuatro unidades menos el doble del número”
Nota: En muchas ocasiones no es posible, a nuestro nivel, encontrar la fórmula que define una función dada
como una tabla de valores, su descripción verbal o su gráfica.

18. Expresa de forma gráfica y verbal la función definida por la siguiente tabla de valores:
Edad (años) 0 1 5 10 15 20
Altura (m) 0 42 96 123 151 177

19. Dada la función definida en la gráfica de al lado,
exprésala como tabla de valores, mediante una
descripción verbal y de forma algebraica.

20. Expresa de forma gráfica y mediante una tabla de valores la función definida por la siguiente
fórmula: l = 2∙π∙r
271

3.3. Una función importante. La función lineal o de proporcionalidad directa
Recuerda que:
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir a la primera por un
número, la segunda queda multiplicada o dividida por el mismo número.
Al realizar el cociente de cualquiera de los valores de una variable y los correspondientes de la otra,
obtenemos la razón de proporcionalidad directa k.
Ejemplo:
Representa gráficamente la relación de proporcionalidad dada
en la siguiente tabla:
Magnitud A (x) 3 2 0 1 2

Magnitud B (y) 3’6 2’4 0 1’2 2’4
Al calcular la razón de proporcionalidad se obtiene:
 3'6  2'4 1'2 2'4
k     1'2
3 2 1 2
La relación se define así: y = 1’2x.
La representación gráfica en el plano cartesiano de dos magnitudes directamente proporcionales es
una recta que pasa por el origen de coordenadas.
Una función lineal es la que tiene la fórmula y = m∙x.
Una función lineal corresponde a una relación de proporcionalidad directa.
Por tanto, la relación de proporcionalidad directa es una función lineal de la forma y = m∙x.
21. María quiere comprar una cinta que vale a 0’7 euros el metro. Representa gráficamente lo que
deberá pagar según los metros de cinta que compre.
22. Representa gráficamente las funciones:
a) y = 5x, b) y = 1’5x, c) y = 0’5x, d) y = 2x, e) y = 3’2x, f) y = 1’2x
23. Indica en las funciones anteriores cuáles son crecientes y cuáles son decrecientes. Razona la
respuesta.
24. Juan anda muy deprisa, recorre 5 km a la hora. Representa gráficamente el paseo diario de Juan
relacionando tiempo con espacio recorrido. Escribe la fórmula de dicha función. ¿Es una recta? ¿Es
una función lineal?
25. En una urbanización se consume por término medio al día tres mil litros de agua. Representa
gráficamente el consumo de agua a lo largo de una semana. Escribe la fórmula de dicha función. ¿Es
una recta? ¿Es una función lineal?

272

3.4. Utilización de Geogebra para la interpretación de la pendiente de una
función lineal
En esta actividad se va a utilizar el programa Geogebra para representar funciones lineales cuyas
gráficas son rectas.
Se representan rectas con la misma pendiente para observar la relación que existe entre ellas y
determinar la propiedad que las caracteriza.

Utiliza Geogebra para estudiar rectas con distintas pendientes.
 Abre el programa Geogebra y en Visualiza activa Cuadrícula para que sea más fácil analizar las
funciones.
 En la ventana de debajo de la pantalla, en Entrada, escribe: y = 2x.
Inmediatamente aparece dibujada esa función en la ventana gráfica.
 Escribe de nuevo en Entrada otras rectas con distintas pendientes: y
= 3x, y = x…
 Dibuja todas las funciones lineales que quieras y responde a las
siguientes preguntas.
 Cuando la pendiente es positiva, ¿qué ocurre al crecer la
pendiente? ¿Y al disminuir?
 Cuando la pendiente es negativa, ¿qué ocurre al crecer la pendiente en valor absoluto? ¿Y al
disminuir?
 Todas las funciones de la forma y = mx son rectas. Son funciones lineales. Todas ellas pasan por el
origen (0, 0).
 Cuando la abscisa vale 1, ¿cuánto vale la ordenada?

26. Utiliza Geogebra para nuevamente representar gráficamente las funciones:
a) y = 5x, b) y = 1’5x, c) y = 0’5x, d) y = 2x, e) y = 3’2x, f) y = 1’2x
27. Indica en las funciones anteriores sus características: a) cuáles son crecientes y cuáles son
decrecientes. b) ¿Son continuas? c) Busca los puntos de corte con los ejes coordenados. d) ¿Existen
máximos o mínimos? Razona las respuestas.

273


Descartes y el sistema de referencia
cartesiano
El sistema de referencia cartesiano se llama así en honor al
filósofo, científico y matemático francés René
Descartes que vivió entre los años 1596 y

1650. Descartes quiso fundamentar su pensamiento
filosófico en la necesidad de tomar un «punto de partida»

sobre el que edificar todo el conocimiento. En Geometría,
Descartes también comenzó tomando un "punto de

origen" para poder representar la geometría plana.

Principio del palomar o Principio de Dirichlet

“Si una bandada de 21 palomas se mete Este principio tan sencillo permite

por 20 agujeros de un palomar, es seguro resolver otros problemas, como por
que al menos dos palomas se han metido ejemplo:

en el mismo agujero” ¿Estás de acuerdo?
¿Se puede asegurar que ahora mismo
hay en Madrid al menos 20 personas
con el mismo número de pelos en la
cabeza?
Para razonar la respuesta considera que nadie

tiene más de 200 mil pelos en la cabeza y que en
Madrid hay unos 4 millones de personas.

La gráfica indica la evolución
del NO2 en la estación de
calidad del aire de Cuatro
Caminos de Madrid durante un
día, el 16 de diciembre de 2014.
Observa como sube hacia las 9
de la mañana a la entrada del
trabajo y vuelve a subir a la
salida, hacia las 6 de la tarde.

En la página de la Comunidad
de Madrid puedes conocer
cómo está la calidad del aire en
cada momento, y saber cuáles
son los valores umbrales que
no se deberían rebasar.
274

RESUMEN
Ejemplos
Sistema de Dos rectas numéricas perpendiculares, llamadas Ejes, que se
referencia cortan en un punto llamado Origen. El eje horizontal se
cartesiano denomina eje de abscisas, y al eje vertical, eje de ordenadas.
Coordenadas Es un par ordenado de números (x, y), que nos indica donde
se encuentra el punto respecto al sistema de referencia
cartesiano que estamos utilizando.

Tabla de valores Tabla en la que situamos ordenadamente las cantidades Tiempo (min) 0 30 80 100
correspondientes de dos magnitudes relacionadas.
Distancia (km) 0 10 20 30
Gráfica Si representamos en un sistema de referencia cartesiano

todos los pares de datos de una tabla de valores obtenemos
una gráfica.

Gráficas a partir de Una situación cotidiana o relacionada con fenómenos
situaciones naturales descrita verbalmente se puede representar
mediante una gráfica
Función Una magnitud Y está en función de otra magnitud X, si el La temperatura del agua T varía en
valor de Y depende de manera única del valor que tenga X. función del calor recibido Q
Variables En las relaciones funcionales, a las magnitudes variables “El precio del kg de peras es 1,80 €.”
relacionadas las llamamos solamente variables el peso y el precio son las variables
Variable Cuando tenemos dos magnitudes variables que están El consumo de un coche y la
dependiente e relacionadas de tal forma que Y es función de X, a la velocidad a la que circula.
independiente magnitud Y se la denomina variable dependiente, y a la El consumo es la variable
magnitud X se la denomina variable independiente. dependiente y la velocidad la
Variables y valores Cuando tenemos una función entre dos variables X e Y, a los Cuando la magnitud X toma el valor
valores que toman estas variables les denominamos x e y x, la magnitud Y vale y.
respectivamente.
275

El plano cartesiano. Coordenadas
1. Representa los siguientes pares ordenados en un plano cartesiano:
I   3 ,  3   1 1
J   ,  K  6 , 3 ' 5 
 3 
L    ,  0'5
2   2 2  4 
2. Sin representar los siguientes puntos, di en qué cuadrante están:
 5 1 1  9  7 
M   4,   N  ,  P    6,   Q    , 5
 2 2 2  5  2 

 7
R  2, 0  S   7, 0  T   0,   U  0 , 7 O  0, 0 
 2
3. Observa la siguiente vasija:
a. Indica las coordenadas cartesianas de cada punto marcado de la
vasija.
b. Imagina que el eje Y es un espejo y el punto H’ es el reflejado del
punto H por este espejo. Dibuja cada punto reflejado de la vasija y
dibuja la vasija reflejada.
c. Nombra cada vértice de la nueva vasija. ¿Es un polígono? En caso
afirmativo, ¿Qué tipo de polígono? ¿Cómo se llamaría?
d. ¿En qué cuadrante te ha quedado la nueva vasija?
En este caso, las dos vasijas son simétricas entre sí, respecto al eje de ordenadas (eje Y).
e. Indica las coordenadas cartesianas de cada punto de la vasija reflejada.
f. Observa las coordenadas de los puntos reflejados de las dos vasijas e indica la relación que hay
entre ellos.
4. Continuamos con la vasija del ejercicio anterior.
a. Imagina que el eje X es ahora otro espejo, y el punto H’’ es el
reflejado de H por este nuevo espejo.
b. Dibuja en tu cuaderno la nueva vasija reflejada y nombra cada uno
de sus vértices.
c. ¿En qué cuadrante te ha quedado la nueva vasija?.
En este caso, las dos vasijas son simétricas entre sí, respecto al eje de
abscisas (eje X).
d. Indica las coordenadas cartesianas de cada punto de la vasija
reflejada.
e. Observa las coordenadas de los puntos reflejados de las dos vasijas e
indica qué relación hay entre ellos.

276

Material fotocopiable

Vasija

277

5. Ayudándote de regla, escuadra y cartabón dibuja en un folio en blanco un sistema de referencia
cartesiano y los ejes con divisiones de 1 centímetro.
a. Representa los puntos M = (3, 4) N = (–1, 1) y R = (2, –4)
b. Dibuja otro sistema de referencia cartesiano, con los ejes paralelos a los anteriores y que
se corten en el punto (1, –1) del sistema anterior.
c. Escribe las coordenadas de los puntos M, N y R respecto al nuevo sistema cartesiano.
d. ¿Han cambiado los puntos? Describe con palabras lo que ha pasado.

6. Dibuja un sistema de referencia cartesiano en un papel milimetrado.
a) Representa un punto cuya distancia al eje de abscisas sea de 3,3 cm, y la distancia al eje de
ordenadas sea de 1,9 cm.
b) ¿Existe más de una solución? En este caso, representa todos los puntos que cumplan esta
condición e indica sus coordenadas cartesianas.
c) ¿Cómo son éstos puntos entre sí dos a dos?

7. Representa en tu cuaderno un sistema de referencia cartesiano para que los puntos P y Q tengan las
coordenadas que se indican.
278

Tablas y Gráficas
8. Construye tablas de valores, con cinco cantidades diferentes, correspondientes a las cuatro gráficas
siguientes:

9. El Instituto Nacional de Estadística ha publicado el siguiente balance de la evolución demográfica de
la `población española, mediante la gráfica siguiente:
Variaciones interanuales medias de la

población española entre 1857 y 2006.
279

a) Entre 1970 y 1991 la población ¿crece o decrece?
b) Entre 1920 y 1940 la población ¿crece o decrece?
c) ¿Y entre 1991 y 2001?
Razona sobre el significado de esta gráfica.
a) Los porcentajes del eje de ordenadas, ¿qué significan?
b) ¿En algún momento la población ha dejado de crecer, o simplemente crece más lentamente?
c) Indica posibles motivos que expliquen esta gráfica
10. Juan sale de su casa en bicicleta y hace el recorrido que
muestra la gráfica:
a. ¿A qué distancia de su casa llega?
b. ¿Cuánto tiempo está parado?
c. ¿Cuánto tarda en volver?
d. A las dos horas ¿a qué distancia
está de su casa?
e. ¿Cuánto tiempo tardó en recorrer 50 km?
f. ¿Cuándo va más deprisa? Y ¿Cuándo más despacio?
11. La gráfica nos muestra una relación entre dos magnitudes.
A. Inventa una situación que pueda ser representada por esta
gráfica.
B. Señala cuales son las magnitudes y en qué unidades se
miden.
C. Indica, en los ejes, los números adecuados.
D. Describe, a partir de tus datos, la situación que has
inventado.
12. El fenómeno de los incendios forestales se ha convertido en
uno de los mayores problemas ecológicos que sufren nuestros montes
debido a la elevada frecuencia e intensidad que ha adquirido en las
últimas décadas. Los que han ocurrido en Madrid y el nº de hectáreas
quemadas nos lo da la tabla siguiente:

Hectáreas quemadas (Ha) 825 1.095 450 339 325 101 385

Año 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Haz una gráfica con estos resultados.
13. Construye tablas de valores, con cuatro cantidades diferentes, que nos expresen las siguientes
relaciones:
a. El peso y el precio de la miel de La Hiruela (Madrid), sabiendo que el kilo
vale 7 €
b. Un número y la mitad de dicho número.
c. El perímetro de un triángulo equilátero y la medida de su lado.
280

Las funciones
a. La temperatura del puré a largo del tiempo.
b. El precio de una camiseta y su color.
c. El área de un cuadrado y su lado.
d. El precio de las naranjas que hemos comprado y su peso.
e. El volumen de una esfera y su radio.
15. Propón dos situaciones diferentes a todas los que has estudiado hasta ahora, de relaciones entre
dos variables en las que una sea función de la otra. Indica además en cada caso cuál es la variable
16. Dada la función definida en la gráfica de al lado, exprésala como tabla de valores, mediante una
descripción verbal y de forma algebraica.

¿Cuál es la variable dependiente? ¿Y la independiente? ¿Tiene sentido
prolongar la gráfica por el tercer cuadrante?
17. Expresa de forma gráfica, mediante una tabla de valores y
mediante una descripción verbal, la función definida por la siguiente
fórmula: d = 100 ∙ t ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la variable
independiente?
18. Dada la función definida en la gráfica de al lado, exprésala como
tabla de valores, mediante una descripción verbal y de forma algebraica.
¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?

281

19. La siguiente gráfica describe la evolución de la temperatura de un enfermo durante un día.

Mirando la gráfica indica:
a) ¿Qué temperatura tenía a las cuatro de la mañana? ¿y a las doce de la noche?
b) ¿A qué horas tenía cuarenta grados de fiebre?
c) ¿A qué hora tuvo más temperatura? ¿De cuánto era?
d) ¿A qué hora tuvo menos temperatura? ¿De cuánto era?
e) Describe con palabras esta situación.
20. Una bañera de 500 litros se vacía mediante un sumidero que desagua 25 litros
cada minuto. Haz una tabla de valores con los diez primeros minutos de
vaciado. Representa gráficamente la función que relaciona la cantidad de agua
que hay en la bañera con el tiempo transcurrido desde que empieza a vaciarse.
Indica cuál es la variable dependiente y cuál la independiente.
a. La temperatura de un enfermo a largo del tiempo.
b. El precio de un coche y su color.
c. El volumen de un líquido y su peso.
d. La distancia al Instituto y el tiempo empleado.
e. La longitud de un muelle y el peso colgado en él.
22. Propón dos situaciones diferentes a todas los que has estudiado hasta ahora, de relaciones entre
dos variables en las que una sea función de la otra. Indica además en cada caso cuál es la variable
23. En una papelería 10 lápices cuestan 2,5 €, haz una tabla de valores, dibuja su gráfica
y escribe su expresión algebraica. ¿Cuál es la variable dependiente? ¿y la variable
independiente?
24. Juan, otro día, da un paseo con su amiga Luna. Salen de casa
de Luna por un camino llano durante un tiempo, descansan durante
un rato y, después regresan a casa de Luna por el mismo camino
pero más despacio. Haz una gráfica (tiempo, distancia) que describa
esta situación.

282

AUTOEVALUACIÓN
1) El punto de coordenadas A = (5, 6) está situado en el:
a) primer cuadrante b) segundo cuadrante c) tercer cuadrante d) cuarto cuadrante.
2) Indica qué afirmación es falsa:
a) El eje de abscisas es el eje OY
b) El eje de ordenadas es vertical
c) El eje de abscisas es perpendicular al eje de ordenadas
d) El eje de ordenadas es el eje OY
3) Los puntos de coordenadas A = (0, 5), B = (0, 4), C = (0, 7), D = (0, 8) están todos ellos en el:
a) eje de ordenadas b) primer cuadrante c) eje de abscisas d) segundo cuadrante
4) Los valores que completan la tabla de proporcionalidad directa son:
Personas 1 4 8
Kg de comida 7 21
a) 16, 32, 7 b) 10, 20, 3 c) 28, 56, 3 d) 9, 18, 4
5) La siguiente tabla de valores puede corresponder a:
X 4 12 20 36
Y 1 3 5 9
a) una proporcionalidad directa. b) una proporcionalidad inversa
c) la relación entre el lado de un cuadrado y su área. d) la relación entre el radio del círculo y su área
6) Indica en los casos siguientes aquel que NO es una función:
a) La temperatura de un enfermo a lo largo del tiempo. b) Y = 3X + 2.
c) La longitud de una circunferencia como función del radio. d) El área de un círculo y su color.
7) Indica qué afirmación es falsa:
a) El origen de coordenadas es la intersección entre el eje de abscisas y el de ordenadas
b) En una función a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la
variable dependiente
c) En una función a cada valor de la variable dependiente le corresponde un único valor de la
8) Escribe una tabla de valores de la función y = 2x  3.
x 1 2 3 4
y
a) 1, 1, 3, 5. b) 0, 1, 4, 5. c) 1, 7, 9, 11. d) 1, 0, 3, 6.
9) Dibuja la gráfica de la función: Área del cuadrado = Lado al cuadrado.

283

PARA EL PROFESORADO
El concepto de función es uno de los conceptos básicos en Matemáticas y, al mismo tiempo, uno de los
más difíciles de adquirir por los estudiantes de secundaria. Esto no es extraño si analizamos cómo ha
evolucionado dicho concepto a lo largo de la historia.
En la historia de las Matemáticas comienza a plantearse el concepto de función hacia el siglo XIV y ha
sido uno de los que ha presentado una mayor dificultad, siendo en el siglo XX uno de los ejes de la
investigación matemática. Incluso para los matemáticos del siglo XVIII no estaba muy claro el concepto
de función. Por ejemplo, en un artículo de Jean Bernoulli publicado en 1718 se encuentra esta primera
definición: “Una función de una variable es definida aquí como una cantidad compuesta de alguna
manera por una variable y constantes”. Los matemáticos estaban dispuestos a aceptar dos tipos de
funciones, las que venían dadas por una fórmula o las que se trazaban arbitrariamente dibujando su
gráfica. La idea abstracta de función como correspondencia tardó un tiempo en aparecer. Fue Jean
Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) en su obra “La teoría analítica del calor” el motor para la
profundización del concepto de función. Recordemos que cuando Fourier expuso su desarrollo de una
función en serie trigonométrica, empezó a discutirse sobre qué era una función, cuáles podían ajustarse
a ese desarrollo, y este hecho fue un catalizador en la historia de las Matemáticas que, entre otras
muchas cosas, llevó a formalizar este concepto. La noción moderna de función es muy reciente,
podemos fecharla en la obra de Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805‐1859) de 1837, donde aparece la
noción de función como correspondencia, independiente de una representación analítica o geométrica.
A lo largo de la historia, este concepto se ha ido desarrollando a partir del estudio de fenómenos del
mundo que nos rodea y ha sido expresado en distintos lenguajes —verbal, gráfico, algebraico y
numérico—. Por tanto, para poder conseguir una aproximación significativa al sentido de las funciones,
es preciso estudiar este concepto desde distintos aspectos, utilizando diferentes lenguajes y trabajando
en distintas situaciones.
Ya que las relaciones funcionales se encuentran con frecuencia en nuestro entorno, el estudio de
funciones, por los estudiantes de 1º de E.S.O., debe comenzar con el tratamiento de aquellas
situaciones que existen en su entorno, sin olvidar las relacionadas con otras áreas de conocimiento (las
Ciencias de la Naturaleza, las Ciencias Sociales, etc.).
Desde el primer curso de la E.S.O. los estudiantes pueden ir aproximándose al concepto de función
interpretando los significados de las distintas expresiones de las funciones. Estos procedimientos se han
de trabajar a lo largo de toda la etapa, y se van adquiriendo a medida que aumenta la madurez
cognitiva y el campo de experiencia del estudiante.
La dificultad de visualización de la representación gráfica de una función puede salvarse con la
utilización de programas informáticos específicos como el Geogebra, o por aplicaciones elaboradas ya
por algunos profesores y que están a disposición de todos, como las elaboradas dentro del Proyecto
Gauss (Instituto Nacional de Tecnologías Educativas y de Formación del Profesorado) o en páginas
personales de estos.
Bien utilizando un solo ordenador en el aula —con la PDi o mediante la proyección de la pantalla—, o
bien con el uso de los ordenadores por los estudiantes en el aula de informática, estos pueden
familiarizarse con la forma de las gráficas y la interpretación de sus puntos y es un apoyo inestimable
para acercarse a la representación de funciones y al concepto de función.
Por último hay que indicar que la tercera parte de este capítulo pretende una primera formalización al
284

concepto de función y, aunque se ha tratado de seleccionar actividades en las que las relaciones
funcionales son esencialmente proporcionales, puede ser de mayor dificultad.
De este modo, encontrar la expresión algebraica a partir de la representación gráfica de una función
sencilla es una de las ampliaciones que se pueden proponer a los estudiantes más aventajados y puede
servir para el estudio y comprensión mayor del significado de las funciones.
Por todo ello, y dependiendo del tiempo que se desee o se pueda emplear para el desarrollo de este
capítulo, esta tercera parte se puede suprimir sin que haya ninguna actividad, de las partes anteriores,
que quede sin terminar de desarrollar.

2º DE ESO
ÍNDICE

1. Resolución de problemas. 3

NÚMEROS
2. Números 17
3. Potencias y raíces 46
4. Divisibilidad 66
5. Porcentajes 87

GEOMETRÍA
6. Sistemas de medida. 101
7. Figuras planas 126
8. Longitudes y áreas. Semejanza 159
9. Cuerpos geométricos. Volúmenes 185

ÁLGEBRA. GRÁFICAS
10. Álgebra 217
11. Tablas y gráficas. El plano cartesiano. Funciones. 247

ÍNDICE
285

‐ 285 ‐
111

1

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Actividades Divertidas Matemáticas 2º ESO

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Fases en la resolución Fase 1: Antes de empezar a actuar, intenta entender bien el problema.

9. Cómo repartir equitativamente 8 litros entre dos utilizando

    

    

Autores: Eduardo Cuchillo, Ana Lorente y Fernanda Ramos

1.2. NÚMEROS TRIANGULARES, CUADRADOS, PENTAGONALES…

2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Ilustración: A. Ortega

2.1 REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA

3. OPERACIONES Sistema de numeración maya

3.1. SUMA Y RESTA. PROPIEDADES

1.1. El sistema de numeración

- La cifra de las unidades: el 7 = 7 · 100 2 二

Reloj con números romanos

1.2. Los números triangulares, cuadrados, pentagonales…

Observa que los números triangulares son: 1, 3, 6, 10, 15….

Se pueden ordenar formando pentágonos:

Los números pentagonales son: 1, 5, 12, 22, 35…

1.3. Números enteros

Z = {0, +1, −1, +2, −2, +3, −3, +4, −4, … }

1.5. Expresiones decimales

100 ⋅ X = 100 ⋅ 7' 31 = 100 ⋅ 7'31313131..... = 731'313131..... = 731' 31

1000 ⋅ X = 1000 ⋅ 7,631 = 7631,313131.....

2.1. Representación en la recta numérica

2.2. Comparación de números

3.2. Producto y cociente. Propiedades

Elemento neutro. El número 1 multiplicado por cualquier otro número, no lo altera.

División de números naturales

325 5 65 la división es exacta.

3.3. Jerarquía de operaciones

Como sabes, en Babilonia, hace más de cinco mil años,

Los ordenadores utilizan un sistema de numeración

binario, con sólo dos dígitos, el 0 1 y el .

Números chinos Números mayas

Multiplicación Se multiplican los valores absolutos y se aplica la (+5) · (+6) = +30

2º ESO CAPÍTULO 46

Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 3: Potencias y raíces Autora: Ana Lorente

Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 3: Potencias y raíces Autora: Ana Lorente

Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 3: Potencias y raíces Autora: Ana Lorente

a) 72 b) 112 c) 53 d) 54 e) 82 f) 163 g) 102

90 = 1 87250 = 1 10 = 1. 50 = 1

12 = 1 ∙ 1 = 1 13 = 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1 135 = 1 10 = 1. 137 = 1

02 = 0 ∙ 0 = 0 03 = 0 ∙ 0 ∙ 0 = 0 035 = 0. 054 = 0

Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 3: Potencias y raíces Autora: Ana Lorente

a) 83 b) 32 c) 164 d) 482 e) 45 f) 66.

a) 16562 ; b) 08526 c) 93270 d) 03782 ; e) 11000 ; f) 97610 .

102 = 10 ∙ 10 = 100 108 = 100 000 000

Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 3: Potencias y raíces Autora: Ana Lorente

a) 3 ∙ 106 b) 5 ∙ 108 c) 2 ∙ 104 d) 34 ∙ 105.

Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 3: Potencias y raíces Autora: Ana Lorente

2. OPERACIONES CON POTENCIAS Y PROPIEDADES

Ejemplo: (93)4 = 93 4 = 912∙

a) 810 ∙ 82 b) 523 ∙ 53 c) 25 ∙ 23 ∙ 26 d) 105 ∙ 107 ∙ 109

e) (63)2 f) (42)4 g) (30)6 h) (73)2

i) 910 : 92 j) 323 : 3 3 k) 118 : 113 l) 530 : 59

m) 144 : 144 n) 135 : 135 o) 73 : 70 p) 84 ∙ 80

Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 3: Potencias y raíces Autora: Ana Lorente

Matemáticas 2º de ESO. Capítulo 3: Potencias y raíces Autora: Ana Lorente

a) 23 ∙ 23 b) 32 ∙ 32 c) 52 ∙ 52