Facultad de Ciencias Económicas y

Empresariales
Trabajo de Fin de Grado
Grado en Economía

Modelos teóricos de la
demanda de seguros
Presentado por:
Fernando Pérez Martínez

Tutelado por:
Carlos Pérez Domínguez

Valladolid, 20 de Julio de 2020

2
RESUMEN:

En la familia de los modelos microeconómicos de elección, cobran especial

importancia los modelos de elección en condiciones de riesgo e incertidumbre,
dada su mayor realismo como consecuencia de esta nueva cualidad. En el
siguiente trabajo modelizaremos la elección de los individuos teniendo en cuenta
esta premisa que es lo que sucede exactamente en la
𝑇𝑒𝑜𝑟í𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑟𝑜. Para ello, hemos configurado el estudio
comenzando por una primera parte donde explicamos la
𝑇𝑒𝑜𝑟í𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎, como base fundamental de este desarrollo,
puesto que es la teoría más importante para explicar la elección individual en
condiciones de incertidumbre. Posteriormente, saltaremos en la segunda parte
hacia el 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠, que es un primer acercamiento a los
modelos de elección con riesgo, siendo el riesgo discreto. Por último,
incorporaremos el riesgo continuo al modelo, mediante el cuál conseguiremos
unos resultamos acorde a los anteriores pero fundamentados bajo un modelo
mucho más cercano a la realidad práctica de los individuos.

Palabras clave: modelos microeconómicos, elección en condiciones de riesgo

e incertidumbre, demanda de seguro
Códigos JEL: D81, G52

3
ABSTRACT:

In the family of microeconomic models of choice, decision-making under risk and

uncertainty are especially important, given their greater realism as a
consequence of this new quality. In the next analysis we will model the choice of
individuals taking into account this premise, which is exactly what happens in the
𝑇ℎ𝑒𝑜𝑟𝑦 𝑜𝑓 𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑 𝑓𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑠𝑢𝑟𝑎𝑛𝑐𝑒. For it, we have configured the work starting
with a first part where we explain the 𝑇ℎ𝑒𝑜𝑟𝑦 𝑜𝑓 𝐸𝑥𝑝𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦, as the
fundamental basis of this development, since it is the most important theory to
explain individual choice in conditions of uncertainty. Subsequently, we will jump
in the second part to the 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡 𝑆𝑡𝑎𝑡𝑒 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙, which is a first approach to the
risk-choice models, with discrete risk. Finally, we will incorporate continuous risk
into the model, through which we will obtain some results that are in accordance
with the previous ones but based on a model that is much closer to the practical
reality of individuals.

Keywords: microeconomic models, decision-making under risk and uncertainty,

demand for insurance
JEL Codes: D81, G52

4
 ÍNDICE GENERAL

INTRODUCCIÓN................................................................................................... 8

Capítulo 1. LA TEORÍA DE LA ELECCIÓN CON INCERTIDUMBRE .............. 9

1.1.- La teoría de la utilidad esperada............................................................. 10

1.1.1.- El origen de la teoría. ....................................................................... 10

1.1.2.- La axiomatización de la teoría. ........................................................ 13

1.2.- Las actitudes frente al riesgo. ................................................................. 14

1.3.- Los coeficientes de aversión al riesgo. ................................................... 18

Capítulo 2. LA DEMANDA DE SEGURO EN UN MODELO DE ESTADOS

CONTINGENTES. ............................................................................................... 19

2.1.- Descripción del modelo. .......................................................................... 20

2.2.- Planteamiento gráfico: Un modelo de estados contingentes................. 23

2.3.- Resolución matemática. .......................................................................... 28

Capítulo 3. LA DEMANDA DE SEGURO EN UN MODELO CON RIESGO

CONTINUO.......................................................................................................... 30

3.1.- Planteamiento y resolución del problema con riesgo continuo.............. 31

3.2.- Interpretación gráfica............................................................................... 34

3.3.- Estática comparativa ............................................................................... 36

3.3.1.- Efectos de un cambio en el grado de aversión al riesgo A. ............ 36

3.3.2.- Efectos de una variación del valor del activo a asegurar x0. .......... 37
3.3.3.- Efectos de un cambio en el precio del seguro λ. ............................. 42

CONCLUSIÓN .................................................................................................... 44

BIBLIOGRAFÍA................................................................................................... 48

5
 ÍNDICE DE FIGURAS:

Capítulo 1:

Figura 1.1.- Esquematización de una lotería............................................................ 10

Figura 1.2.- Función de Bernoulli de un neutral al riesgo .......................................... 16

Figura 1.3.- Función de Bernoulli de un amante al riesgo ......................................... 17

Figura 1.4.- Función de Bernoulli de un averso al riesgo .......................................... 17

Capítulo 2:

Figura 2.1.- Modelo de Estados Contingentes. Situación inicial de no seguro. .......... 24

Figura 2.2.- Modelo de Estados Contingentes. Tres tipos de líneas isovalor. ............ 25

Figura 2.3.- Tres tipos de óptimos del Modelo de Estados Contingentes. ................. 27

Figura 2.4.- Función de demanda de cobertura óptima del sujeto. ............................ 30

Capítulo 3:

Figura 3.1.- Situación del óptimo en un modelo con riesgo continuo. ........................ 34

Figura 3.2.- Efecto de un cambio en el grado de aversión al riesgo. ......................... 37

Figura 3.3.- Efecto de un cambio en el valor del activo a asegurar con prima justa. .. 40

Figura 3.4.- Efectos de un cambio en el valor del activo a asegurar con prima no justa.
............................................................................................................................. 41

Figura 3.5.- Efectos de un cambio en el precio del seguro con DARA. ...................... 43

6
7
INTRODUCCIÓN

Los “𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑜𝑠” tienen su seno en una de las características más importantes de

la vida de las sociedades humanas, la “incertidumbre”.

La incertidumbre está presente en cualquier acción tomada por cualquier

individuo. Nadie puede adivinar el futuro, de hecho, los más sabidos en esta
materia de la predicción son los que más conciencia tienen de la imposibilidad
de dicha tarea.

Esto configura un mundo donde cualquier tipo de decisión humana queda a la

merced de un sinfín de posibles destinos, lo cuál, limita mucho la teoría clásica
de modelos de elección con absoluta certeza.

Como hemos expuesto, los seguros nacen ante esta característica inherente a
la vida del hombre y datan de fechas tan antiguas como la propia Humanidad.
Siempre ha existido un cierto temor ante lo imprevisto y se ha buscado fórmulas
alternativas de previsión ante ello, es decir, formulas de seguro.

Es lógico pensar, que, como las mismas sociedades, los seguros, han ido
evolucionando y modernizándose con el tiempo. En los primeros comicios de la
vida, el objetivo principal era la supervivencia, es decir, protegerse frente a las
adversidades climatológicas, intrusiones internas o externas de otros seres
vivos…etc.

El siguiente salto sería en la Antigua Grecia donde surgieron las primeras

“asociaciones” con el principal objetivo de prestar ayuda a los socios en caso de
invalidez, enfermedad, defunción… luego, pasó a Roma, a los Estados
Mediterráneos, al Renacimiento, a Inglaterra… hasta llegar al siglo XVIII, donde
sucedió un punto de inflexión con la Revolución Industrial.

El nacimiento de grandes industrias junto al creciente miedo, sobre todo por la

explosión de las calderas de vapor, propició el nacimiento de las actividades que
en la actualidad conocemos como “seguros”. Hoy en día, son una parte muy
importante de la actividad económica de cualquier país desarrollado.

Es difícil encontrar una definición completa de lo que es un seguro, pero podría

ser la siguiente:

“…una actividad económico-financiera que presta el servicio de transformación

de los riesgos de diversa naturaleza a la que están sometidos los patrimonios,
en un gasto periódico presupuestable, que puede ser soportado fácilmente por
una unidad patrimonial.” (Guardiola, 2001).

Por lo tanto, vemos que al final no es más que un mecanismo de trasmisión de

riesgos.

8
En el siguiente trabajo, modelizaremos la 𝑇𝑒𝑜𝑟í𝑎 𝑑𝑒 𝐸𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜
incorporando la 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 e incorporaremos los seguros en el modelo,
como fórmulas de transmisión y cobertura de riesgos. Así pues, la obra se
encuentra dividida en tres partes y una conclusión.

La primera parte, no entra de lleno en los modelos de demanda de seguros, pero

es la base fundamental para entenderlos. Sirve de guía para conocer cómo
surgió la necesidad de estudiar la elección con incertidumbre en el pasado, lo
que dio pie al nacimiento de la 𝑇𝑒𝑜𝑟í𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎. También, en
base a esta teoría, clasificaremos las actitudes frente al riesgo de los individuos
y explicaremos la forma de poder medir dicha aversión para establecer
comparaciones.

Ahora sí, en la segunda parte, entraremos en un tipo de modelo teórico de

seguros: el 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠, el cuál, tras su desarrollo
matemático y gráfico, nos muestra como un agente buscará contratar un seguro
para cubrirse de una posible pérdida. Este tipo de modelos se construyen
utilizando el riesgo discreto, como veremos, lo cuál es un fuerte avance con
respecto la teoría clásica de elección, pero no llega del todo a reflejar la realidad
práctica con sus infinitas posibilidades.

La tercera parte, partirá de la misma base que la del modelo anterior, pero
introduciendo el riesgo continuo, una premisa que refleja más fielmente la
realidad. Para ello, introduciremos en el modelo 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑠 con sus
consiguientes funciones de densidad y generaremos un desarrollo, matemático
y gráfico, con el que extraeremos unas conclusiones sobre la decisión óptima del
individuo, en línea a lo anterior. Y, por último, en dicho apartado,
profundizaremos en el modelo, realizando un análisis de sensibilidad con el que
podremos ver los posibles efectos que generarían cambios en las variables que
lo conforman.

Capítulo 1. LA TEORÍA DE LA ELECCIÓN CON INCERTIDUMBRE

Comúnmente los economistas y estudiosos del comportamiento humano se han

centrado en la elaboración de modelos microeconómicos con absoluta certeza,
en los cuales, podíamos encontrar, bajo unas condiciones o axiomas de
racionalidad, además de unas restricciones, su cesta óptima. Esta era aquella
que maximizaba su utilidad, es decir, su bienestar.

9
La realidad es más complicada y la teoría de la elección, cobra muchísimo más
realismo al suponer que un acto, en vez de producir un resultado conocido y
seguro, más bien, genera un resultado aleatorio, es decir, los individuos se
mueven en condiciones de riesgo o incertidumbre.1

En este capítulo, plantaremos los fundamentos de la elección en condiciones de

incertidumbre, planteando el origen y desarrollo de la Teoría de la Utilidad
Esperada y como, en base a ella, se modeliza el concepto de riesgo.

1.1.- La teoría de la utilidad esperada

1.1.1.- El origen de la teoría.

Supongamos que los agentes pueden tomar decisiones sobre ciertos objetos
que denominaremos “loterías” (𝑦̃). Cada lotería tiene asociados un conjunto de
resultados ciertos o premios posibles (𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑠 ) que son excluyentes (o
contingentes) entre sí y que acontecerán si se dan los correspondientes estados
de la naturaleza. Vamos a ser capaces de, ya que nos movemos en condiciones
de riesgo, asignar una probabilidad a cada estado de la naturaleza:
(𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝 𝑠 ), con lo que las loterías quedan definidas de la siguiente forma:

Figura 1.1.- Esquematización de una lotería

Fuente: Pérez-Domínguez (2020).

1 En primer lugar, conviene hacer referencia, aunque solo sea en términos informativos, a la
distinción entre riesgo e incertidumbre, que marcó como referencia el importante economista
Frank Hyneman Knight en su tesis “Costo, valor y beneficio” de 1921, estableció una distinción
entre elecciones en condiciones de riesgo y aquellas que se toman en condiciones de
incertidumbre.
Una decisión en un contexto de riesgo se produce cuando el individuo implicado es sabedor de
las probabilidades exactas de que ocurran cada uno de los posibles estados de la naturaleza. El
ejemplo típico sería el de lanzar un dado no trucado, dónde los seis posibles estados resultantes:
cada cara del dado, presentan la misma probabilidad y es conocida; un sexto.
Una decisión en un contexto de incertidumbre se produce cuando el individuo no es sabedor de
las probabilidades de ocurrencia de cada estado de forma exacta. Un ejemplo ilustrativo sería el
de querer estimar las probabilidades de aprobar o suspender un examen antes de hacerlo.
Nosotros en este trabajo no efectuaremos esta distinción y trataremos de forma equivalente los
conceptos de riesgo e incertidumbre.

10
Durante el desarrollo de la moderna teoría de la probabilidad (en el S.XVII),
algunos matemáticos como Blaise Pascal o Pierre de Fermat se preocuparon por
las condiciones en que un cierto juego de azar resultaba más o menos atractivo,
a través del estudio del valor esperado del mismo. (Machina, 1989, pág. 13).

El valor esperado o actuarial de un juego de azar no es más que la esperanza

matemática del mismo, esto es, el resultado de sumar los premios que ofrece
dicho juego multiplicados por sus probabilidades respectivas. El valor esperado
nos indica, por lo tanto, la magnitud del premio que, como promedio, puede
esperarse obtener del juego y puede calcularse para una lotería como la
previamente descrita de la forma siguiente:
𝑠

𝑥̅ ≡ 𝐸(𝑦̃) ≡ ∑ 𝑥𝑖 𝑝𝑖 → 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑗𝑢𝑠𝑡𝑜

𝑖=1

Pues bien, fundamentándonos en la idea de valor esperado podemos acuñar un

criterio normativo que nos permita evaluar el atractivo de un cierto juego de azar:
se trata del criterio de “juego justo”. Un juego es justo cuando su valor esperado
es igual al precio que ha de pagarse por participar en el mismo. Si el valor
esperado fuera mayor (menor) que el precio pagado por participar, entonces se
trataría de una apuesta o juego favorable (desfavorable).

Por aquel entonces el jurista suizo “aficionado” a la matemática Nicholas

Bernoulli remitió, en una de sus cartas, cinco problemas o divertimentos
matemáticos al entonces distinguido matemático Rémond de Montmort, el cual
los publicó en un apéndice de la segunda edición de su obra: “Ensayo de Análisis
sobre los juegos de azar” salida a la luz en 1713. Entre estos problemas figuraba
uno que posteriormente pasaría a la historia con el nombre de la “Paradoja de
San Petersburgo” y que se encentra en el origen de la teoría de la utilidad
esperada.

Dicho problema puso de manifiesto la insuficiencia de la esperanza matemática

como criterio de valoración de cualquier juego o lotería, como veremos a
continuación:

Una versión simplificada del problema podría plantearse así: Se trata de un juego
que consiste en ir lanzando de forma sucesiva una moneda no trucada hasta que
salga la primera cruz, en ese momento las tiradas cesarán y se pagará el
siguiente premio. Este consiste en 2 unidades monetarias si sale cruz en la
primera tirada, 4 unidades monetarias si sale en la segunda, 8 unidades si sale
en la tercera… así sucesivamente. La idea es encontrar el precio justo que
cualquier persona pagaría por participar en este juego.

Para ello, recurrimos como sabemos a la esperanza matemática o valor

esperado, que sería el precio justo que cualquiera querría pagar para participar:

11
 ∞
1 1 1
𝑥̅ ≡ 𝐸(𝑦̃) = 2 + 2 22 + 3 23 + ⋯ = ∑ 1 → ∞
2 2 2
𝑛=1

Como podemos observar, nos da un valor infinito, porque es un juego infinito, no

hay un número de tiradas límite, ya que, si sigue saliendo cara, sigues tirando y
tu premio continúa aumentando. Aquí nos encontramos con el problema, porque
nadie, por su lógica-racional pagaría una cantidad infinita por dicho juego, ni
siquiera una cantidad moderada de dinero.

El problema planteado se discutió durante décadas entre los eruditos, pero fue
la solución de Daniel Bernoulli (primo de Nicholas) la que desencadena la idea
de Utilidad Esperada. La solución apareció en su publicación “Specimen theoriae
novae de mensura sortis” (1738), en la que, el propio Daniel, reconoce la
aportación previa (de 1728) del afamado matemático Gabriel Cramer. Así pues,
ayudado de la propuesta previa de G. Cramer, 1728, consiguió encontrar la
solución más realista y en la que nace la teoría de la utilidad esperada. Dicha
solución se puede entender del siguiente fragmento de su obra:

“(…) los matemáticos, en su teoría, valoran en dinero en proporción a la cantidad

del mismo; la gente con sentido común, en la práctica, lo valoran en proporción
a la utilidad que puede obtener de él.” 2

Así pues, la idea de estos pensadores era el tener en cuenta la utilidad que
proporciona dichos premios para el individuo y directamente la cuantía del
mismo, es decir, buscaban introducir a la hora de calcular ese precio justo, las
preferencias personales de cada individuo mediante una función de utilidad
definida sobre dichos premios. En definitiva, el problema no consistía en calcular
la esperanza probabilística sobre los premios, sino sobre la utilidad individual
que proporcionan dichos premios: lo que llamaremos la “utilidad esperada”.

Adoptando la función de utilidad propuesta por Cramer : 𝑢(𝑥) = √𝑥 , no es

complicado calcular el nivel de utilidad esperada que reporta la Paradoja de San
Petersburgo y el equivalente3 de esa utilidad en términos de riqueza:
∞
1 1 1 𝑢(2𝑛 )
𝑢̅(𝑦̃) ≡ 𝐸[𝑢(𝑦̃)] = 𝑢(2) + 2 𝑢(22 ) + 3 𝑢(23 ) + ⋯ = ∑ 𝑛
2 2 2 2
𝑛=1

Que equivale a una riqueza menor que 5,83 unidades monetarias.

2 Bernoulli, D. (1738), pág. 168.

3 Este concepto se conoce como equivalente cierto de la riqueza y lo definiremos más adelante.

12
1.1.2.- La axiomatización de la teoría.

Esta idea de una función de utilidad esperada se limitó a ser un criterio ad hoc
hasta un par de siglos más tarde, concretamente en el 1947, cuando John
vonNeumann y Oskar Morgenstern es su obra “Theory of games and economic
behavior” elaboraron un conjunto de axiomas que buscaron dar categoría de
“ciencia” a esta función de utilidad y fundamentarla en el comportamiento
racional. Por eso, también se las suele denominar a estas funciones, funciones
de vonNeumann-Morgenstern.

Estos axiomas propuestos por estos autores parten de considerar un conjunto

de loterías 𝛾̃ = {𝑦̃1 , 𝑦̃ 2 , … , 𝑦̃ 𝑠 } sobre los que el individuó decidirá. Se tienen que
cumplir los axiomas:4

1) Pre-orden completo: establecemos una relación binaria entre las diferentes

loterías que debe ser completa, reflexiva y transitiva. Esto posibilita el que el
individuo pueda elegir entre dos elementos y así pueda ordenar de más
preferidas a menos preferidas, pudiendo haber indiferencias, todas las loterías.

2) Continuidad: matemáticamente supone que, para cualquier 𝑦̃ 1 , 𝑦̃ 2 , 𝑦̃ 3 ∈ 𝑌,

𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑦̃1 ≥ 𝑦̃ 2 ≥ 𝑦̃ 3 , tiene que existir una probabilidad 𝑝 ≠ 0 que logre:
(𝑝; 𝑦̃ 1, 𝑦̃ 2 ) ~ 𝑦̃ 2. El sentido económico es que se cumple si el individuo puede
encontrar siempre una compensación probabilística al perder una lotería, que le
era más preferida, a favor de otra.

3) Reducción: matemáticamente supone que dada una lotería compuesta con

la estructura 𝑦̃ 𝑐 = (𝑘; 𝑦̃ 1 , 𝑦̃ 2 ), cuyas loterías simples se definen como 𝑦̃ 1 =
(𝑝; 𝑥 1 , 𝑥 2 ) & 𝑦̃ 2 = (𝑞; 𝑥 1 , 𝑥 2 ); dicha lotería compuesta tiene que ser
indiferente para el individuo a una lotería simple 𝑦̃ 𝑠 = (𝑘 𝑝 + (1 − 𝑘) 𝑞; 𝑥 1 , 𝑥 2 ).
Su sentido económico cuenta que, para que se cumpla el axioma, al individuo no
le importa la manera o proceso por el que se generen los premios, sino
únicamente le importa las cantidades de dichos premios y sus probabilidades.
De este axioma podemos extraer que las preferencias de los individuos se
plasmarán sobre los premios y probabilidades y no sobre el juego, más complejo
o más simple, por el que se llegue a estas.

4) Independencia o sustitución: matemáticamente implica que dadas dos

loterías 𝑦̃ 1 , 𝑦̃ 2 ∈ 𝑌 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦̃ 1 ≥ 𝑦̃ 2. Dada, además, una probabilidad 𝑝 > 0, junto
a una tercera lotería 𝑦´ ∈ 𝑌; se pueden definir otras dos loterías como 𝑦̃ 3 = (𝑝,
𝑦̃ 1 , 𝑦̃´) & 𝑦̃ 4 = (𝑝, 𝑦̃ 2 , 𝑦̃´); siempre se debe cumplir que 𝑦̃ 3 ≥ 𝑦̃ 4. El significado
que se extrae es que, para un individuo, su orden de preferencias para dos
loterías no puede cambiar cuando se mezclan con otra tercera lotería cualquiera,
si la mezcla tiene la misma estructura de probabilidades, es decir, en una

4 La lista de axiomas que se expone está basada en la versión de Takayama (1994), pág. 260 y siguientes.

13
situación estocástica como esta, la inclusión de alternativas irrelevantes no podrá
modificar el orden de preferencias inicial.

Una vez, establecidos estos axiomas, se cumple el siguiente teorema:

Existirá una función de utilidad definida sobre premios ciertos 𝑢(𝑥), a la que
denominaremos función de utilidad de Bernoulli5, con la que es posible calcular
utilidades esperadas de cualquier lotería como:
𝑅
𝑢̅(𝑦̃) ≡ 𝐸[𝑢(𝑦̃)] = ∑ 𝑝𝑟 𝑢(𝑥𝑟 )
𝑟=1

Y que preserva el orden de las preferencias:

∀ 𝑦̃ 1, 𝑦̃ 2 ∈ Υ: (𝑦̃1 ≿ 𝑦̃ 2 ) ↔ 𝐸[𝑢(𝑦̃ 1)] ≥ 𝐸[𝑢(𝑦̃ 2)]

1.2.- Las actitudes frente al riesgo.

Los individuos no se comportar de igual manera frente al riesgo. Como podemos

intuir, existen individuos con mayor propensión para soportar riesgo, de forma
que, se involucran en loterías o decisiones más arriesgadas, mientras que, para
otros, con mayor aversión al riesgo, dichas loterías les reportan mucha menor
utilidad y ven más factibles decisiones más seguras.

En este apartado abordaremos el tratamiento del riesgo desde la perspectiva de

la Teoría de la Utilidad Esperada.

Antes de nada, debemos explicar una diferencia fundamental entre la Teoría de

la Utilidad clásica de consumo (sin incertidumbre) y nuestra Teoría del la Utilidad
esperada (con incertidumbre). En la Teoría clásica, sucedía que lo realmente
importante de la función de utilidad era que fuese capaz de establecer un orden
entre los bienes para poder ordenarlos, es decir, establecer relaciones de
preferencia. Sin embargo, la función de utilidad esperada presenta cualidades
cuasicardinales, es decir, no solo será importante el orden sino también ciertos
valores absolutos de la función.

Esto es así porque las derivadas de la función de utilidad esperada nos indicarán
característica sobre cómo es la actitud del agente.6

Esta cardinalidad queda reflejada en un axioma básico, implícito de los

anteriores; se denomina “axioma de preferencia por la riqueza o de no saciedad”.

5 Es bastante habitual denominarla función de vonNeumann-Morgenstern, aunque aquí se optará por

denominarla de Bernoulli.
6 El tema de la cardinalidad en las funciones de utilidad puede consultarse, por ejemplo, en Allais. (1994).

14
Conlleva que nuestra función de utilidad esperada será siempre estrictamente
creciente con la riqueza: 𝑢´(𝑥) > 0. (Recordemos que la x es la variable que
simboliza los diversos premios en riqueza que pueden suceder en la lotería).

Se entiende como algo lógico y es que cualquier individuo toma una decisión o
lotería, en incertidumbre, o consume un bien, en certidumbre, con la idea de
conseguir utilidad o bienestar por dicha acción. De forma que, a medida que
aumenta el consumo del bien, o se toman decisiones con mayores riquezas,
aumenta el bienestar del individuo.

A continuación, introduciremos dos conceptos con los que vamos a trabajar en

esta teoría y para reflejar las actitudes frente al riesgo:

-Equivalente cierto () de una lotería (𝑦̃): es la cantidad en valor monetario

(en dinero) que le aporta al individuo el mismo nivel de utilidad que la
lotería en cuestión:

𝑢(𝜉) = 𝑢̅(𝑦̃) → 𝜉 = 𝑢 −1 [𝑢̅(𝑦̃)]

Como estamos utilizando una función de utilidad que da un valor a cada

lotería o decisión medido en una cierta unidad imaginaría; a través del
equivalente cierto, podemos saber en concreto cual es el valor de dicha
lotería o decisión para el individuo en dinero.

-Prima de riesgo () asociada a una lotería (𝑦̃): se define como la mayor
cantidad de dinero posible por la que el individuo estaría dispuesto a
recibir la media de la lotería sin ningún tipo de riesgo, en vez de
enfrentarse a la incertidumbre que supone dicha lotería en cuestión:

𝜌 = 𝑥̅ − 𝜉

Por lo tanto, vemos que dicho valor, expresado en dinero, es igual a la

esperanza de una lotería menos su equivalente cierto.

Los estudios referentes a ello, son el génesis del desarrollo actual de la Tª de la

utilidad esperada y datan del 1960 en los trabajos desarrollados por John W.
Pratt (1964) y Kenneth J. Arrow (1965). En dichos análisis se descubre que la
segunda derivada determinará la actitud de los individuos frente al riesgo,
pudiendo ser neutral (𝑢´´(𝑥) = 0), averso (𝑢´´(𝑥) < 0) ó amante (𝑢´´(𝑥) > 0) del
riesgo.

Vamos a suponer la siguiente lotería y función de utilidad, para realizar nuestro

análisis explicativo:

𝑦̃ ≡ (𝜋; 𝑥1, 𝑥2 ), 𝑥2 > 𝑥1 , 𝑠𝑒𝑎: 𝑢(𝑥) 𝑐𝑜𝑛 𝑢´(𝑥) > 0

𝑥̅ ≡ 𝐸(𝑦̃) = 𝜋 𝑥1 + (1 − 𝜋)𝑥2

15
 𝑢̅(𝑦̃) ≡ 𝐸[𝑢(𝑦̃)] = 𝜋 𝑢(𝑥1 ) + (1 − 𝜋) 𝑢(𝑥2 )

Así pues, podemos distinguir tres actitudes frente al riesgo:

1) Neutral al riesgo (risk-neutral):

Cuando 𝑢´´(𝑥) = 0; el sujeto se encuentra indiferente entre recibir con total

certeza la media de la lotería (𝑥̅ ) que apostar por jugar la lotería (𝑦̃) con
su consiguiente riesgo. Como intuímos, su prima de riesgo es igual a cero
ya que no está dispuesto a pagar nada por recibir la media con certeza en
vez de enfrentarse a la lotería, puesto que ambas le proporcionan la
misma utilidad.

Su función es una línea recta, ya que su utilidad marginal es constante.

Figura 1.2.- Función de Bernoulli de un neutral al riesgo

𝑢(𝑥)
𝑢
𝑢(𝑥2 )
𝐵

𝑢(𝑥̅ ) = 𝑥̅ 𝐶=𝐷
𝑢(𝑥̅ ) = 𝑢̅(𝑦̃)

𝜉 = 𝑥̅ ; 𝜌 = 0 𝐴 𝜌=0
𝑢(𝑥1 )

𝑢´´(𝑥) = 0
𝑥1 𝑥̅ = 𝜀 𝑥2 𝑥

Fuente: Elaboración propia a partir de los trabajos de John W. Pratt (1964) y Kenneth J.
Arrow (1965).

2) Amante al riesgo (risk-lover):

Cuando 𝑢´´(𝑥) > 0; el sujeto prefiere apostar por jugar la lotería (𝑦̃) que
recibir la media con certeza (𝑥̅ ), puesto que le reporta mayor utilidad las
decisiones que entrañen más riesgo. Como podemos observar, dada su
definición, la prima de riesgo será negativa, siendo más amante del riesgo
cuanto más negativa sea dicha prima.

Su función es convexa, ya que su utilidad marginal es creciente.

16
 Figura 1.3.- Función de Bernoulli de un amante al riesgo
𝑢(𝑥)
𝑢
𝑢(𝑥2 )
𝐵

𝐷
𝑢(𝑥̅ ) < 𝑢̅(𝑦̃) 𝑢̅
𝜌

𝜉 > 𝑥̅ ; 𝜌 < 0 (-)

𝑢(𝑥̅ )
𝐴 𝐶
𝑢(𝑥1 )
𝑢´´(𝑥) > 0
𝑥1 𝑥̅ 𝜀 𝑥2 𝑥

Fuente: Elaboración propia a partir de los trabajos de John W. Pratt (1964) y Kenneth J.
Arrow (1965).

3) Averso al riesgo (risk-averse):

En la gran mayoría de los casos y concretamente con las funciones y

modelos con los que vamos a trabajar, tenemos este tipo: 𝑢´´(𝑥) < 0. El
sujeto prefiere recibir con certeza la media de la lotería (𝑥̅ ) que enfrentarse
al juego o decisión (𝑦̃) y soportar su riesgo. Esto trae consigo una prima
de riesgo positiva, siendo más positiva cuanto más averso sea el
individuo.

Su función será cóncava, ya que su utilidad marginal es decreciente y

como analizaremos consiguientemente y dependiendo del grado de
concavidad, dicha aversión podrá ser mayor o menor:

Figura 1.4.- Función de Bernoulli de un averso al riesgo

𝑢(𝑥)
𝑢(𝑥2 ) 𝐵 𝑢
𝑢(𝑥̅ )
𝐶
𝑢̅ 𝐸
𝐷
𝑢(𝑥̅ ) > 𝑢̅(𝑦̃) 𝐴
𝑢(𝑥1 )
𝜌
𝜉 < 𝑥̅ ; 𝜌 > 0 (+)

𝑢´´(𝑥) < 0
𝑥1 𝜀 𝑥̅ 𝑥2 𝑥

Fuente: Elaboración propia a partir de los trabajos de John W. Pratt (1964) y Kenneth J.
Arrow (1965).

Esa desigualdad se conoce comúnmente como “Desigualdad de Jensen”.

17
1.3.- Los coeficientes de aversión al riesgo.

Ya hemos podido ver que, enfectivamente, la actitud frente al riesgo depende de

la personalidad de cada individuo caracterizada por su función de utilidad.
Además, dentro de los individuos aversos al riesgo, que es el comportamiento
que más se puede entender como racional, hemos podido ver, a través de su
prima de riesgo positiva, el grado de aversión al riesgo que puede ser mayor o
menor en unos individuos o en otros. Luego, esta prima de riesgo constituye un
primera medida para conocer esa intensidad en la aversión. Sin embargo, dada
su expresión, puede que resulte difícil calcularla en algunos casos.

La cuestión que nos plantearemos a continuacion es ¿qué se esconde detrás de

la prima de riesgo?

El primer tratamiento de esta cuestión se abordó por Arrow (1965) y Pratt (1964)
que utilizando los desarrollos de Taylor, llegaron a una conclusión para pequeños
riesgos (Apendice 1):

𝑢´´(𝑥0 )
1 2 (− )
𝜌(𝑥̃𝐹 ) ≅ ( ⁄2)𝜎 𝑢´(𝑥0 )
≡̌ 𝐴(𝑥0)

Analizando dicha expresión, tenemos que la prima de riesgo de un sujeto que

mide su grado de aversión al riesgo, se forma conjuntamente por una parte
objetiva: la varianza (𝜎2) y por una parte subjetiva: el coeficiente de aversión
absoluta al riesgo de Arrow-Pratt (𝐴(𝑥0 )).

-La varianza (𝜎2): nos proporciona una medida objetiva del riesgo de la
lotería, ya que es inherente a ella misma y no depende de la actitud del
sujeto ni de su riqueza cierta.

-El coeficiente de aversión absoluta al riesgo de Arrow-Pratt (𝐴(𝑥0 )):

denominado así por sus creadores, es capaz de medir la cuantía subjetiva
con la que un sujeto valora cierto riesgo, por lo que dependerá de su
función de utilidad.

𝑢´´(𝑥0 )
𝐴(𝑥0 ) = −
𝑢´(𝑥0 )

Puede, además, demostrarse que dadas dos funciones de utilidad de Bernoulli:

𝑢1 (𝑥) 𝑦 𝑢 2 (𝑥), diferenciables dos veces, que simbolizan las preferencias de dos
individuos amantes de la riqueza (𝑢´(𝑥) > 0) y aversos al riesgo (𝑢´´(𝑥) < 0) se
garantiza que las tres siguientes afirmaciones son equivalentes:7

7 Pratt (1964), Theorem 1.

18
 a. 𝜌1 (𝑥̃𝐹 ) ≥ 𝜌2 (𝑥̃𝐹 ), siendo el riesgo de 𝑦̃ pequeño.

b. 𝐴(𝑥0 )1 ≥ 𝐴(𝑥0 )2

c. 𝑢1 = 𝑇[𝑢 2 ]; 𝑇´ > 0; 𝑇´´ ≤ 0 (𝑢1 𝑒𝑠 𝑚á𝑠 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑢2 )

Una hipótesis habitual que se suele incorporar a los modelos de elección con
incertidumbre es la de que la aversión absoluta al riesgo es decreciente en la
riqueza (DARA).8

Esto significa que la percepción absoluta de un riesgo determinado deberá

decrecer a medida aumenta el montante de riqueza del individuo (x0).

Derivando en la definición del coeficiente, tenemos:

𝑢´´(𝑥0 )
𝑑 (− ) −𝑢´𝑢´´´ + (𝑢´´)2
𝑢´(𝑥0 )
𝐴´(𝑥0 ) = = <0
𝑑𝑥0 (𝑢´)2

Una condición necesaria para que se cumpla este principio es que 𝑢´´´(𝑥) > 0,
lo que puede interpretarse como un comportamiento “prudente”.9

Capítulo 2. LA DEMANDA DE SEGURO EN UN MODELO DE ESTADOS

CONTINGENTES.

Hasta ahora, hemos estado enfocando la teoría de la elección hacia un enfoque

diferente, más real que el de la teoría clásica, mediante la incorporación de la
incertidumbre.

Como es lógico, esto sucede en la práctica cotidiana, puesto que la mayoría de

las acciones se ven influidas por una gran multitud de variables que hacen
imposibles tenerlas en cuenta y por eso existe el riesgo.

En este capítulo nos vamos a enfocar en el mercado de seguros, el cuál se

encuentra a disposición del individuo para poder eliminar ese riesgo a través de
una cobertura de seguros.

8Se trata de las siglas de; Decreasing Absolute Risk Aversion.

9Kimball (1990). Puede demostrarse que una condición necesaria y suficiente para DARA es que
−𝑢´´´(𝑥0 )
𝑃(𝑥0 ) > 𝐴(𝑥0 ); siendo 𝑃(𝑥0 ) = ⁄𝑢´´(𝑥 ) el llamado “coeficiente de prudencia absoluta”.
0

19
Las estrategias de cobertura, como veremos, implican el pago de una prima
correspondiente, por parte del sujeto, que le sirve para poder compensar una
posible pérdida futura que se pudiera dar en alguno de sus activos, de forma
que, con ello, puede eliminar parte o toda esa incertidumbre futura.

Como conocemos, desde hace muchos años, los individuos de las sociedades
ingeniaron mecanismos para protegerse de posibles pérdidas venideras,
ejemplos de ello, son los contratos de opciones o de futuros, que tuvieron su
seno en la protección de transacciones en la agricultura. Estos instrumentos
financieros permitían a los contratantes acordar unas condiciones iniciales frente
una operación que sucedía en el futuro, para poder evitar contratiempos, como
pudiera ser, variaciones en el tipo de cambio, catástrofes económicas, epidemias
mundiales...

Estos instrumentos, tras varios años de uso, han sido perfeccionados y

actualmente, dada su naturaleza, son negociados en mercados financieros
secundarios, por lo que tienen la personalidad de ser muy líquidos.

Por otro lado, los contratos de seguros no presentan mercados secundarios,

dada su constitución más compleja y sus mayores costes de transacción, por lo
que no poseen esa peculiaridad de liquidez. Sin embargo, a diferencia de las
opciones, no aguardan ese riesgo intrínseco, con lo que se convierten en la mejor
manera para poder prevenir riesgos con gran certeza: son una cobertura
perfecta, ya que la ocurrencia del seguro se basa en que suceda una situación
de pérdida específica.10

2.1.- Descripción del modelo.

El modelo comienza con un individuo que posee un activo cualquiera valorado

en 𝑥0 u.m. Dicho activo se encuentra involucrado en un riesgo que supondría
perder 𝐿 u.m, siendo 𝐿 ≤ 𝑥0 y con una probabilidad de producirse dicho siniestro
de 𝑝.

Por lo tanto, tenemos una situación inicial donde el individuo presenta una lotería:
𝑥𝐹0 = (𝑝; 𝑥0 , 𝑥0 − 𝐿), que describe el problema de posible pérdida al que se
enfrenta, puesto que, por un lado puede suceder el estado de no siniestro: 𝑥10 =
𝑥0 , en el que no perdería nada y por el otro, el estado de siniestro: 𝑥20 = 𝑥0 − 𝐿,
en el se produciría dicha pérdida con una probabilidad 𝑝.

10 Por otra parte, si que es cierto que puede existir un cierto riesgo base para estos contratos, como el que
la compañía no pueda pagar todos sus pasivos, o también, que, debido a la gran variedad de posibles
pérdidas que se pueden dar, exista una mayor dificultad para calcular su prima justa. Aun así, esto no lo
vamos a tener en cuenta en nuestro desarrollo del modelo.

20
Es interesante destacar su valor esperado, importante para lo que viene
después:

𝑥̅ 0 = 𝐸[𝑥𝐹0 ] = (1 − 𝑝)𝑥0 + 𝑝 (𝑥0 − 𝐿) = 𝑥0 − 𝑝𝐿

Respecto al mercado de seguros, los posibles seguros que le individuo pudiera

contratar para cubrir dicha contingencia, presentan las siguientes características
fundamentales:

-Prima del seguro (𝑟): es la cantidad de u.m. que el sujeto debe pagar a
la compañía aseguradora, independientemente de lo que suceda, para
poder contratar el seguro.

-Cobertura (𝐶): es la cantidad de u.m. que la compañía pagaría al sujeto

únicamente en el estado de siniestro, para paliar, de forma total o parcial,
la pérdida acontecida.

-Precio del seguro (𝜋): es la cantidad de u.m. que le cuesta al sujeto cada
una de las u.m. de la cobertura contratada. Se podría entender como la
cantidad conocida de dinero que debe pagar el sujeto por cada unidad de
dinero, antes de que suceda la contingencia. Se extrae lógico que supone
la siguiente relación 𝜋 = 𝑟⁄𝐶, donde 𝜋 < 1.

Así pues, podemos plantear el modelo de la siguiente forma:

Tenemos a un sujeto involucrado necesariamente en la lotería descrita (𝑥𝐹0 ) cuya

preocupación sería la de decidir, dado un precio del seguro (𝜋) en el mercado
(nos movemos en mercados de competencia perfecta), qué cobertura contratará
(𝐶 ∗ ) para maximizar su utilidad esperada:

Se enfrenta a la siguiente lotería:

𝑥̃(𝜋, 𝐶) = (𝑝; 𝑥0 − 𝜋𝐶, 𝑥0 − 𝜋𝐶 − 𝐿 + 𝐶)

Cuyo valor esperado:

𝑥̅ (𝜋, 𝐶 ) = 𝐸 [𝑥̃(𝜋, 𝐶 )] = (1 − 𝑝)( 𝑥0 − 𝜋𝐶) + 𝑝 (𝑥0 − 𝜋𝐶 − 𝐿 + 𝐶) =

𝑥0 − 𝑝𝐿 + (𝑝 − 𝜋)𝐶

Generando así el siguiente problema de estados contingentes que

resolveremos en este capítulo:

max 𝐸{𝑢[𝑥̃(𝜋, 𝐶)]} = (1 − 𝑝) 𝑢[𝑥1(𝜋, 𝐶)] + 𝑝 𝑢[𝑥2 (π, C)] = (1 − 𝑝) 𝑢 ( 𝑥0 −

𝜋𝐶) + 𝑝 𝑢(𝑥0 − 𝜋𝐶 − 𝐿 + 𝐶)

21
 Antes de empezar con el desarrollo gráfico y matemático del modelo, es
importante destacar tres tipos de seguros importantes que existen y sus
propiedades más esenciales, para luego trabajar con ellos:

- Seguros de prima justa (Fair premium):

Un seguro es de prima justa cuando el sujeto paga como prima

exactamente la misma cantidad de lo que espera cobrar, en termino
medio, de la compañía en forma de cobertura.

Esto significa que en el caso de siniestro cobraría toda la pérdida y en

el caso de no siniestro no cobraría nada. De esta forma:

La prima justa sería: 𝑟 𝑃𝐽 = 𝑝 𝐶

𝑃𝐽 𝑝 𝐶⁄
El precio justo del seguro sería: 𝜋 𝑃𝐽 = 𝑟 ⁄𝐶 = 𝐶=𝑝
Estos seguros presentan una importante propiedad: El sujeto con este tipo
de seguros obtendrá siempre un valor esperado idéntico al caso de no
asegurarse.11

- Seguros de cobertura plena (Full coverage):

Un seguro es de cobertura plena si el sujeto cobra, en caso de

siniestro, la totalidad de su pérdida.

Esto se traduce en que: 𝐶 ∗ = 𝐿.

Estos seguros presentan otra propiedad importante: El sujeto obtendrá,

con estos seguros, siempre una cantidad determinada de riqueza. Es
decir, transformará su lotería inicial de riesgo en una lotería determinista
con un único estado posible.12

11 Podemos comprobarlo, utilizando la nueva lotería y su valor esperado:

𝑥̃𝐹𝑃𝐽 = (𝑝; 𝑥0 − 𝑝𝐶, 𝑥0 − 𝑝𝐶 − 𝐿 + 𝐶)
𝑥̅ 0𝑃𝐽 = 𝐸[𝑥̃0𝑃𝐽 ] = (1 − 𝑝)(𝑥0 − 𝑝𝐶) + 𝑝 (𝑥0 − 𝑝𝐶 − 𝐿 + 𝐶) = 𝑥0 − 𝑝𝐿 = 𝑥̅ 0

12 Podemos comprobarlo, utilizando la nueva lotería formada:

𝑥̃𝐹𝐶𝑃 = (𝑝; 𝑥0 − 𝑟, 𝑥0 − 𝑟 − 𝐿 + 𝐶)
Dónde 𝐿 = 𝐶, luego:
𝑥̃0𝐶𝑃 = 𝑥0𝐶𝑃 = 𝑥0 − 𝑟

22
 - Seguros de prima justa y cobertura plena (Fair and Full):

Este tipo de seguros es una combinación de los dos anteriores, esto

es, tendrá prima justa (𝑟 𝑃𝐽 = 𝑝 𝐶 // 𝜋 𝑃𝐽 = 𝑝) y cobertura plena (𝐶 ∗ = 𝐿).

De esta manera, también aunará ambas propiedades, extrayendo la

siguiente: El sujeto que obtenga estos seguros, recibirá siempre una
cantidad de riqueza con certeza y, además, dicha cantidad, será el
mismo valor que la media o valor esperado de la situación sin seguro.13

2.2.- Planteamiento gráfico: Un modelo de estados contingentes.

Para entender este modelo de estados contingentes, es necesario plasmar su

desarrollo gráfico, con el que poder entender la posterior solución matemática.

Vamos a fundamentarnos en la idea del artículo seminal de Rothschild & Stiglitz,

1976, de modo, que desarrollaremos el modelo en un entorno gráfico como el de
a continuación, en donde tenemos, por un lado, en el eje de abscisas, el estado
de no siniestro (𝑥1 ) con su probabilidad (1 − 𝑝) y por el otro, en el eje de
ordenadas, el estado de siniestro (𝑥2 ) con su probabilidad 𝑝.

Cualquier punto situado en el gráfico corresponde a una posible lotería que

proporciona al sujeto dichas riquezas en cada estado, como es el caso del punto
𝑥̃𝐹0 , el cual, es la situación inicial de no seguro.

Además, debemos tener en especial atención, su diagonal principal, denominada

línea de certeza, cuyas loterías situadas en dicha línea tiene la propiedad de
presentar la misma riqueza en ambos estados, es decir, sería seguros de
cobertura plena. Como el caso de la lotería S: 𝑥̃𝐹𝑆 = 𝑥𝐹𝑆 = 𝑥0 − 𝐿.

Podemos observarlo en la lotería que se forma:

13
𝐶𝑃𝑦𝑃𝐽
𝑥̃𝐹 = (𝑝; 𝑥0 − 𝑟, 𝑥0 − 𝑟 − 𝐿 + 𝐶)
Donde, teniendo en cuenta: 𝐶 = 𝐿 y 𝑟 = 𝑝𝐶 = 𝑝𝐿:
𝑥̃𝐹𝐶𝑃𝑦𝑃𝐽 = 𝑥𝐹𝐶𝑃𝑦𝑃𝐽 = 𝑥̅0 = 𝑥0 − 𝑝𝐿

23
Figura 2.1.- Modelo de Estados Contingentes. Situación inicial de no seguro.

𝑥2
(p) C

S 𝑥̃𝐹
(𝑥0 − 𝐿)

450 𝑥1
(1-p)
(𝑥0 − 𝐿) 𝑥0

Fuente: Elaboración propia a partir de Rothschild & Stiglitz, 1976.

Como ya dijimos, la idea principal del modelo es buscar la manera para la que el
individuo elija un nivel de cobertura (𝐶 ∗ ) que maximice su bienestar.

Para ello, primero tenemos que delimitar las posibles pólizas que puede contratar
en el mercado competitivo donde se mueve. Luego, dado un precio 𝜋 como dato,
existen un conjunto de seguros, a lo que lo denominaremos “restricción
presupuestaria en el espacio de estados o línea isovalor”.

Y finalmente, para plasmar las preferencias del individuo, utilizaremos las “curvas
de indiferencia” o “curvas de isoutilidad” que subyacen de su función de utilidad
esperada.

Así pues, en primer lugar, el individuo podrá pasar de su situación de lotería sin
seguro (𝑥̃𝐹0 ) a una serie de puntos que formarán su restricción, en función del
nivel de cobertura (𝐶) que elija.

Esto sería lo mismo que decir que, dado un precio 𝜋, el sujeto se mueve en la
siguiente lotería 𝑥̃𝐹 = (𝑝; 𝑥0 − 𝜋𝐶, 𝑥0 − 𝜋𝐶 − 𝐿 + 𝐶) que se convierte en varias
dependiendo de ese nivel que elija. De esa expresión podemos obtener dos
ecuaciones:

𝑥1 = 𝑥0 − 𝜋𝐶

𝑥2 = 𝑥0 − 𝐿 + (1 − 𝜋)𝐶

Despejando el sistema, se obtiene:

𝑥̅ 𝜋 (1 − 𝜋)
𝑥2 = − 𝑥1 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥̅ 𝜋 = (1 − 𝜋)𝑥0 + 𝜋(𝑥0 − 𝐿)
𝜋 𝜋
*Podemos observar que 𝑥̅ 𝜋 coincide con el valor esperado de la situación
sin seguro del individuo (𝑥̅ 0) únicamente cuando existe precio justo, es
decir, cuando 𝜋 = 𝑝.

24
La expresión que hemos obtenido antes es la restricción que estamos buscando
y tiene forma de línea recta, pasa por la lotería inicial sin seguro (cuando C=0) y
es decreciente.
(1−𝜋)
*Dicha pendiente (− ) se denomina “ratio de puja” y describe la
𝜋
cantidad de u.m. del estado de siniestro (𝑥2) que el sujeto podrá perder
para aumentar en una u.m. su cantidad de riqueza del estado de no
siniestro (𝑥1).

Teniendo en cuenta lo anterior, en función del valor del precio del seguro (𝜋) que
nos de el mercado, podrá encontrar el sujeto tres tipos de restricciones:

-Seguros de prima justa: como sabemos, supone 𝜋 = 𝑝. Y como

𝑃𝐽 𝑃𝐽
expusimos antes, presenta la propiedad: 𝑥̅ 𝐹 = 𝐸[𝑥̃𝐹 ] = 𝑥0 − 𝑝𝐿 = 𝑥̅ 0 .

-Seguros de prima desfavorable: supone 𝜋 > 𝑝.

-Seguros de prima favorable: supone 𝜋 < 𝑝.

En cualquiera de estos tres casos, en el punto donde corten las restricciones con
la línea de certeza tendremos cobertura plena. De esta manera, los contratos a
la derecha de este punto de cruce serán seguros de infracobertura, ya que 𝑥1 >
𝑥2, mientras que los contratos que estén a la izquierda serán de sobrecobertura,
puesto que 𝑥1 < 𝑥2. Todo esto, lo podemos encontrar representado en la
siguiente gráfica:

Figura 2.2.- Modelo de Estados Contingentes. Tres tipos de líneas isovalor.

𝑥2 𝑅𝐿 (𝜋̅ < 𝑝)
𝑅𝐼𝑉 (𝑝) C

𝑥̃𝐹𝛼̅
𝑅𝐻 (𝜋̅ > 𝑝)

𝑥̃𝐹
(𝑥0 − 𝐿)

450
𝑥1
𝑥0

Fuente: Elaboración propia a partir de Rothschild & Stiglitz, 1976.

25
Posteriormente, debemos plasmarla las preferencias del individuo mediante las
curvas de indiferencia. Una curva de indiferencia, en este modelo de estados
contingentes, es una línea formada por la combinación de loterías que reportan
al individuo el mismo nivel de utilidad. De modo que:

Dado una cierta lotería 𝑥̃𝐹 = (𝑝; 𝑥1 , 𝑥2).

Una función de Bernoulli 𝑢(𝑥) que representa las preferencias del sujeto.

Podemos calcular la utilidad esperada que le reporta dicha lotería y suponer un

nivel de utilidad contaste (𝑢̅ 𝑜 ), con lo que obtendríamos la expresión de las
curvas de indiferencia, también llamadas, curvas de iso-utilidad esperada:

𝑢̅(𝑥̃𝐹 ) ≡ (1 − 𝑝) 𝑢(𝑥1 ) + 𝑝 𝑢(𝑥2 ) = 𝑢̅ 𝑜 = 𝑐𝑡𝑒

*Dichas curvas de utilidad serán decrecientes si el sujeto es amante de la

riqueza (𝑢´ > 0), serán convexas si el sujeto es averso al riesgo (𝑢´´ < 0)
(1−𝑝)
y su pendiente es igual a − .
𝑝

*Es interesante destacar el concepto de: curva de iso-utilidad esperada de

reserva (𝑢̅ 𝑅 ). Dicha curva es la única curva que pasa por el punto (𝑥̃𝐹0 )
correspondiente a la lotería inicial sin seguro contratado. Luego el sujeto
se verá indiferente en contratar o no, todas las loterías (seguros) de dicha
curva. De esta forma, también podemos deducir que el agente rechazará
cualquier seguro que se encuentre en una curva de iso-utilidad esperada
menor a la de reserva.

Una vez que ya tenemos introducidas las preferencias del individuo en el modelo
y las variables dadas por el mercado en forma de la restricción; esto es, dada
una riqueza sujeta a un riesgo (𝑥0), un precio del seguro (𝜋), una probabilidad de
siniestro (𝑝) y una posible pérdida (𝐿); podemos poner en funcionamiento el
modelo, mediante el cual, podremos obtener como solución un nivel de cobertura
óptima (𝐶 ∗ ) a contratar por el individuo, esto es, un nivel de riqueza contingente
óptima (𝑥1∗ , 𝑥2∗).

Como veremos en la gráfica de abajo y comprobaremos con el desarrollo

matemático, la condición necesaria para encontrar el óptimo es que exista
tangencia entre la restricción iso-valor y la curva iso-utilidad esperada.

Al estilo de la teoría clásica de consumo de dos bienes, en ese punto es donde

se satisface la maximización del bienestar o utilidad esperada del sujeto dadas
las condiciones del mercado de seguros.

26
En función del precio del seguro en el mercado (𝜋), podemos diferenciar tres
casos:

-Caso 1º: cuando 𝜋 = 𝑝. De forma que tendremos una prima justa. En este
caso, la condición de tangencia solo se satisface en el punto de la línea
de certeza, ya que es en el único punto donde ambas pendientes son
(1−𝑝)
iguales a − .
𝑝

-Caso 2º: cuando 𝜋 > 𝑝. Tenemos un precio desfavorable. En este caso,

ambas pendientes solo coinciden en un punto por debajo de la línea de
certeza y como explicamos antes, tendremos infracobertura o coseguro.
Se entiende lógico, ya que el sujeto intentará contratar menos cobertura
dado ese precio excesivo del seguro.

-Caso 3º: cuando 𝜋 < 𝑝. El precio es favorable. Sucede lo contrario que

en caso anterior, consiguiendo el punto óptimo por encima de la línea de
certeza. Esto corrobora también lo que explicamos y tendríamos una
sobrecobertura y también se entiendo lógico, ya que el sujeto, si se lo
permiten, dado un precio del seguro muy bajo, buscará una cobertura que
exceda la cuantía de su pérdida.

Figura 2.3.- Tres tipos de óptimos del Modelo de Estados Contingentes.

̅𝑳
𝒖
𝑅𝐿 (𝜋̅ < 𝑝)
𝑥2 𝜶(𝑳)
𝑅𝐼𝑉 (𝑝) ̅∗
𝒖 ̃𝑭
𝒙 C

̅𝑯
𝒖
𝑳
̃𝜶𝑭̅
𝒙
𝑅𝐻 (𝜋̅ > 𝑝)
𝜶(𝑯)
𝑯 ̃𝑭
𝒙
𝑥̃𝐹
(𝑥0 − 𝐿)

450
𝑥1
𝑥0

Fuente: Elaboración propia a partir de Rothschild & Stiglitz, 1976.

27
2.3.- Resolución matemática.

Una vez descrito el modelo y analizado gráficamente, vamos a dar paso a su

realización matemática.

Recordemos que el modelo gira sobre la idea de, en un mercado de seguros

competitivo, elegir el grado de cobertura óptimo (𝐶 ∗ ) que maximice la utilidad
espera, es decir, el bienestar del sujeto. Elegir ese grado de cobertura óptimo,
en este modelo supone elegir los dos estados contingentes que componen la
lotería óptima: (𝑥1∗ , 𝑥2∗).

Luego nos enfrentamos al siguiente problema:

max 𝑢̅ (𝑥̃𝐹 ) = (1 − 𝑝) 𝑢(𝑥1) + 𝑝 𝑢(𝑥2 )

𝑠. 𝑎: 𝑥1 = 𝑥0 − 𝜋𝐶

𝑥2 = 𝑥0 − 𝐿 + (1 − 𝜋)𝐶

Para resolverlo, tendríamos que introducir las dos restricciones en 𝑢̅(𝑥̃𝐹 ):

max 𝑢̅ (𝑥̃𝐹 ) = (1 − 𝑝) 𝑢(𝑥0 − 𝜋𝐶) + 𝑝 𝑢(𝑥0 − 𝐿 + (1 − 𝜋)𝐶)

• Condición necesaria: Supone buscar el punto donde la 𝑢´ es nula para

garantizar que se trata de un posible máximo.

𝑑 𝑢̅(𝑥̃𝐹 ) 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2

= (1 − 𝑝) 𝑢´(𝑥1 ) + 𝑝 𝑢´(𝑥2)
𝑑𝐶 𝑑𝐶 𝐶
= (1 − 𝑝) 𝑢´(𝑥1) (−𝜋) + 𝑝 𝑢´(𝑥2 ) (1 − 𝜋) = 0
(1−𝑝) 𝑢´(𝑥1 ) (1−𝜋)
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜: =
𝑝 𝑢´(𝑥2 ) 𝜋

*Esto último es la condición de tangencia entre la restricción

presupuestaria y la curva iso-valor que vimos en el gráfico anterior.

• Condición suficiente: Supone comprobar que el punto elegido es el

máximo óptimo.

𝑑 𝑢̅ 2 (𝑥̃𝐹 ) 𝑑
= [(1 − 𝑝) 𝑢´(𝑥1 ) (−𝜋) + 𝑝 𝑢´(𝑥2) (1 − 𝜋)]
𝑑𝐶 2 𝑑𝐶
= (1 − 𝑝) 𝑢´´(𝑥1 ) (𝜋 2 ) + 𝑝 𝑢´(𝑥2 ) (1 − 𝜋)2 < 0

28
 *Esto únicamente se garantiza si 𝑢´´(𝑥) < 0, es decir, si el sujeto en
cuestión es averso al riesgo.

Para calcular ese posible punto óptimo que hemos comprobado que es
verdadero tenemos que utilizar la condición de tangencia y las dos ecuaciones
que forman la restricción del problema, formando un sistema de tres ecuaciones
y tres incógnitas que nos dará como resultado:

*Las funciones de demanda de riqueza de cada estado contingente del

sujeto:

𝑥1∗ = 𝑥1(𝜋; 𝑝, 𝑥0 , 𝐿)

𝑥2∗ = 𝑥2 (𝜋; 𝑝, 𝑥0 , 𝐿)

Podemos obtener, restando las restricciones del problema y despejando:

𝑥1 − 𝑥2 = 𝐿 − 𝐶

*La función de demanda de cobertura óptima del sujeto:

𝐶 ∗ = 𝐿 − (𝑥1∗ − 𝑥2∗ ) = 𝐶(𝜋; 𝑝, 𝑥0 , 𝐿)

Por último, vamos a comprobar el famoso Teorema de Mossin, 1968, a través de

las relaciones entre precio del seguro (𝜋) y cobertura contratada (𝐶 ∗ ) vistas en el
planteamiento matemático anterior:

Una versión adaptada del Teorema de Mossin podría resumirse así: Un

individuo, amante de la riqueza y averso al riesgo, siempre logrará
maximizar su bienestar si contrata seguros de cobertura plena, en el caso
de que la prima sea justa, si contrata seguros de sobrecobertura, en el
caso de que la prima sea favorable y si contrata seguros de infracobertura,
en el caso de que la prima sea desfavorable.

Así pues, se puede garantizar el cumplimiento de las premisas en el modelo:

• Si 𝜋 = 𝑝: en la condición de tangencia se comprueba: 𝑢´(𝑥1∗) = 𝑢´(𝑥2∗ ) y

para esto, es necesario: 𝑥1∗ = 𝑥2∗, por lo que, la función de demanda de
cobertura produce: 𝐶 ∗ = 𝐿.

• Si 𝜋 < 𝑝: en la condición de tangencia se comprueba: 𝑢´(𝑥1∗ ) > 𝑢´(𝑥2∗) y

como el individuo es averso al riesgo (𝑢´´(𝑥) < 0), necesariamente:
𝑥1∗ < 𝑥2∗, por lo que, la función de demanda de cobertura produce: 𝐶 ∗ > 𝐿.

• Si 𝜋 > 𝑝: en la condición de tangencia se comprueba: 𝑢´(𝑥1∗ ) < 𝑢´(𝑥2∗) y

como el individuo es averso al riesgo (𝑢´´(𝑥) < 0), necesariamente:
𝑥1∗ > 𝑥2∗, por lo que, la función de demanda de cobertura produce: 𝐶 ∗ < 𝐿.

29
Por lo tanto, se cumple el Teorema en nuestro modelo y además podríamos
generalizar esto anterior en el siguiente gráfico que ilustra el comportamiento de
la demanda de cobertura (𝐶 ∗ ) en función del precio del seguro(𝜋):

Figura 2.4.- Función de demanda de cobertura óptima del sujeto.

𝑝

𝜋>𝑝

𝜋=𝑝

𝜋<𝑝
𝐶 (𝜋; 𝑝, 𝑥0, 𝐿)
𝐶∗
𝐿
𝐶∗ < 𝐿 𝐶∗ > 𝐿

Fuente: Elaboración propia a partir de Rothschild & Stiglitz, 1976.

Capítulo 3. LA DEMANDA DE SEGURO EN UN MODELO CON RIESGO

CONTINUO

Hasta el momento, habíamos fundamentado la elección de la cobertura óptima

de seguro bajo un modelo de estados contingentes, en el que el riesgo o
incertidumbre, estaba presente en forma de diferentes estados de la naturaleza
que podían suceder bajo una probabilidad cierta.

Dichos estados contingentes, eran finitos, es decir, solo se podían dar dichas
situaciones y no más. Todo esto es la modelización de la “Teoría de la demanda
de seguros bajo riesgo discreto”.

En el siguiente capítulo, nos acercaremos todavía más a la realidad práctica,

introduciendo el riesgo continuo.

El riesgo continuo aporta un campo de infinitas posibilidades que le pueden

suceder al individuo en situaciones de elección, es decir, cuando se produce una
contingencia en un activo, este se puede dañar de infinitas maneras con infinitos
valores de pérdida.

30
Pongamos un breve ejemplo con el mercado de seguros del automóvil.
Supongamos un contrato de cobertura plena sobre los daños ocasionados al
vehículo. Pues sucede que, existen infinitos posibles daños que le pueden ocurrir
al vehículo, obviamente, limitados por la totalidad del valor de este, de manera
que, de un golpe, solo se rompa un faro o el cristal, o ambos… o solo una parte…
infinitas posibilidades.

Modelizar esto podría parecer imposible a simple vista, pero existe una
herramienta muy usada por los economistas y es la 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎.

Veremos como, utilizando variables aleatorias, con sus consiguientes funciones

de probabilidad (las cuáles, las suponemos dadas al tratarse de un mercado de
seguros competitivo), podemos establecer un modelo de Teoría de elección del
consumidor para el mercado de seguros con esta premisa, más realista, de
riesgo continuo.

3.1.- Planteamiento y resolución del problema con riesgo continuo

Suponemos un individuo que posee un activo valorado en 𝑥0 u.m., el cuál, se

encuentra sujeto a un riesgo continuo de pérdida de 𝐿̃ u.m.

Dicha pérdida es un variable aleatoria continúa que vamos a acotar sobre el

intervalo de soporte [0, 𝑥0 ]; puesto que, lógicamente, la pérdida sobre el activo
no puede ser negativa, ya que, sino sería una ganancia para el sujeto, ni tampoco
puede ser mayor que el valor del activo que la sufre. Esta variable aleatoria se
distribuye de acuerdo con una función de densidad de probabilidad 𝑓(𝐿) y
presenta una media 𝐿̅ .

Como venimos trabajando, las preferencias del individuo en cuestión, vienen

representadas por una la función de Bernoulli 𝑢(𝑥̃𝐹 ) regular; esto significa que el
individuo es amante de la riqueza (𝑢´(𝑥̃𝐹 ) > 0), averso al riesgo (𝑢´´(𝑥̃𝐹 ) < 0) y
prudente (𝑢´´´(𝑥̃𝐹 ) > 0).

El objetivo del agente es elegir el “ratio de coseguro” (𝑐) que maximice la utilidad
esperada del agente (𝑢(𝑥̃𝐹 )).14

Vamos a suponer que el individuo puede elegir desde no asegurarse (𝑐 = 0),

hasta conseguir un seguro de cobertura plena (𝑐 = 1), pasando por las diferentes
fórmulas de coseguro intermedias a estas dos (𝑐 ∈ [0,1]). De esta manera,

14 𝑐 = 𝐶̃⁄̃ ; y representa el porcentaje de cobertura deseado contratado por el individuo.

𝐿

31
descartamos los mercados de sobrecobertura que en la práctica real no tienen
uso. 15

Por el lado de las compañías aseguradoras, estas, se encuentran en un mercado

competitivo y atienden a una serie de clientes individualizados que presentan
riesgos independientes, por lo que podrían ofrecer un precio actuarialmente justo
a todos los demandantes. No obstante, supondremos que las compañías
incurren en unos costes de gestión variables que repercuten a sus asegurados
en forma de “tasa de recargo” sobre el precio justo del seguro de “𝜆” u.m. por
cada u.m. de cobertura abonado. Esto se traduce en que la prima (𝑟) que van a
cobrar por estos seguros es:

𝑟(𝜆) = 𝐸[𝐶̃ + 𝜆𝐶̃ ] = 𝐸[(1 + 𝜆) 𝐶̌ ] = (1 + 𝜆) 𝑐𝐿̅

La riqueza 𝑒𝑥 𝑝𝑜𝑠𝑡 que el demandante debe maximizar (𝑥̃𝐹 ) será una variable
aleatoria que, en este modelo de riesgo continuo, adquiere esta forma:16

𝑥̃𝐹 = 𝑥0 − (1 − 𝜆)𝑐𝐿̃ − 𝐿̃ + 𝑐𝐿̃

Por consiguiente, tenemos ya todos los componentes para formular nuestro

problema de maximización de la utilidad esperada de un individuo con esta
premisa de riesgo continuo:

max 𝐸{𝑢[𝑥̃𝐹 ]} = max 𝐸{𝑢[𝑥0 − (1 − 𝜆)𝑐𝐿̃ − 𝐿̃ + 𝑐𝐿̃ ]}

• Condición necesaria: Supone buscar el punto 𝑐 ∗ donde la utilidad marginal

esperada es nula:

𝑑 𝐸{𝑢[𝑥̃𝐹 ]}
= 𝐸 {𝑢´(𝑥̃𝐹 )[𝐿̃ − (1 + 𝜆)𝐿̅ ]} = 0
𝑑𝑐

Despejando en la anterior expresión podríamos obtener el valor de 𝑐 ∗

• Condición suficiente: Supone comprobar que la función objetivo es

cóncava:

𝑑 2 𝐸 {𝑢[𝑥̃𝐹 ]}
= 𝐸 {𝑢´´(𝑥̃𝐹 )[𝐿̃ − (1 + 𝜆)𝐿̅ ]2 } < 0
𝑑𝑐 2

*Esto únicamente se garantiza si 𝑢´´(𝑥) < 0, es decir, si el sujeto en

cuestión es averso al riesgo.

15 Cabe mencionar que, de acuerdo con la anterior expresión, la cobertura del seguro que contrata el
individuo es una variable aleatoria, ya que depende de la pérdida que es aleatoria: 𝐶̃ = 𝑐 𝐿̃.
16 Recordemos que la riqueza final de un individuo que contrata un seguro (𝑥 ̃ 𝐹 ) es su riqueza inicial (𝑥0 ),
menos la prima que debe pagar ((1 − 𝜆)𝑐𝐿̃), menos la pérdida o contingencia producida (𝐿̃) y más el valor
de la cobertura contratada (𝑐𝐿̃ ).

32
Antes de pasar al apartado gráfico, es interesante comprobar que, para esta
modelización del mercado de seguros, también se cumple el “Teorema de
Mossin”:

Recordemos que establecía lo siguiente: “si un sujeto es amante de la

riqueza, averso al riesgo y dispone de prima justa en su seguro
contratado, solo podrá maximizar su utilidad esperada eligiendo cobertura
plena (𝑐 ∗ = 1)”

Para comprobarlo:

Primero, recordemos que un seguro de prima justa implicaba que el sujeto

debía pagar de prima exactamente lo mismo que esperaba cobrar por
término medio. Por tanto, en nuestro modelo de riesgo continuo sería:

𝑟 𝑃𝐽 = 𝐸(𝐶̃ ) = 𝐸(𝑐𝐿̃ ) = 𝑐𝐿̅

𝐿𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜆 = 0

Valorando las condiciones necesarias de óptimo en 𝜆 = 0:

𝑑 𝐸{𝑢[𝑥̃𝐹 ]}
| = 𝐸 {𝑢´(𝑥0 − 𝑐𝐿̅ − (1 − 𝑐)𝐿̃ )[𝐿̃ − 𝐿̅ ]} = 0
𝑑𝑐 𝜆=0

Donde denominaremos: 𝑥̃𝐹0 = 𝑥0 − 𝑐𝐿̅ − (1 − 𝑐)𝐿̃

Operando en dicha igualdad:

𝐸{𝑢´(𝑥̃𝐹0 )[𝐿̃ − 𝐿̅ ]} = 𝐸{𝑢´(𝑥̃𝐹0 ) 𝐿̃ } − 𝐿̅ 𝐸(𝑢´(𝑥̃𝐹0 )) = 0

𝐸{𝑢´(𝑥̃𝐹0 ) 𝐿̃ } = 𝐿̅ 𝐸(𝑢´(𝑥̃𝐹0 ))

Aplicando las propiedades de la esperanza sobre variables aleatorias

vemos que la siguiente igualdad solo se cumple si 𝑢´(𝑥̃𝐹0 ) 𝑦 𝐿̃ son
variables aleatorias independientes.17 Como es lógico, para que esto
ocurra, 𝑥̃𝐹0 no tiene que depender de 𝐿̃ , lo cual solo se produce cuando
existe cobertura plena, esto es, 𝑐 = 1:

𝑥̃𝐹0 |𝑐=1 = 𝑥0 − 𝐿̅ − (1 − 1)𝐿̃ = 𝑥0 − 𝐿̅ ≠ 𝑓(𝐿̃ )

17La propiedad a aplicar es la siguiente:

𝐸{𝑢´(𝑥̃𝐹0 ) 𝐿̃} = 𝐸{𝑢´(𝑥̃𝐹0 ) } 𝐸{ 𝐿̃} + 𝑐𝑜𝑣(𝑢´(𝑥̃𝐹0 ), 𝐿̃) = 𝐿̃ 𝐸{𝑢´(𝑥̃𝐹0 ) } + 𝑐𝑜𝑣(𝑢´(𝑥̃𝐹0 ), 𝐿̃)
Si 𝑢´(𝑥̃𝐹0 ) 𝑦 𝐿̃ son variables independientes, entonces: 𝑐𝑜𝑣(𝑢´(𝑥̃𝐹0 ), 𝐿̃) = 0, por lo que nos quedaría:
𝐸{𝑢´(𝑥̃𝐹0 ) 𝐿̃} = 𝐿̃ 𝐸{𝑢´(𝑥̃𝐹0 ) }

33
3.2.- Interpretación gráfica

Para encontrar una interpretación gráfica de este modelo, podemos operar en

las condiciones necesarias de óptimo aplicando la definición de 𝑐𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 que
también hemos utilizado en la nota a pie de página 17.

Así pues, desarrollando la condición necesaria de óptimo:

𝐸 {𝑢´(𝑥̃𝐹 )[𝐿̃ − (1 + 𝜆)𝐿̅ ]} = 0

Aplicando dicha propiedad:

𝐸 {𝑢´ [𝐿̃ − (1 + 𝜆) ̅𝐿 ]} = 𝐸(𝑢´ 𝐿̃) − (1 + 𝜆)𝐿̅ 𝐸(𝑢´) = 0

𝐸(𝑢´) 𝐿̅ + 𝑐𝑜𝑣(𝑢´, 𝐿̃ ) = 𝐿̅ 𝐸(𝑢´) + 𝜆 𝐿̅ 𝐸(𝑢´)

𝑐𝑜𝑣 (𝑢´, 𝐿̃ )
= 𝜆 𝐿̅
𝐸(𝑢´)

𝜌(𝑐) = 𝜆 𝐿̅

𝑐𝑜𝑣 (𝑢´, 𝐿̃ )
∗ 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜌(𝑐) =
𝐸(𝑢´)

En dicha expresión se satisface la condición de óptimo, por lo que debemos

proceder plasmando en una gráfica estos componentes de la expresión:

Figura 3.1.- Situación del óptimo en un modelo con riesgo continuo.

𝜆𝐿̅ , 𝜌(𝑐)

𝜌(0)

𝐸∗
𝜆𝐿̅

𝜌(𝑐)

c
0 𝑐∗ 1

Fuente: Elaboración propia.

34
 En el gráfico anterior, aparecen representadas dos funciones, cuyo punto
de intersección representa la igualdad subyacente en la condición
necesaria de óptimo. Estas dos funciones son:

*La función “𝜆 𝐿̅”, que tiene forma de línea recta, puesto que permanece
constase con respecto a “c”.
𝑐𝑜𝑣 (𝑢´,𝐿̃ )
*La función “𝜌(𝑐)”, la cuál es igual a “ ”, es decreciente, está
𝐸(𝑢´)
acotada entre en el eje de ordenadas, cuando 𝑐 = 0 y el eje de abscisas,
cuando 𝑐 = 1. Dicho comportamiento se puede justificar de la forma
siguiente:

*Si Δ 𝐿̃, siendo 𝒄 = 𝟏: 𝑥̃𝐹 |𝑐=1 = 𝑥0 − (1 + 𝜆)𝐿̅ = 𝑐𝑡𝑒, ya que:

𝑥̃𝐹 |𝑐=1 ≠ 𝑓(𝐿̃ ), luego: 𝑢´(𝑥̃𝐹 |𝑐=1 ) = 𝑐𝑡𝑒 → 𝑐𝑜𝑣(𝑢´, 𝐿̃ ) = 0 → 𝜌(1) = 0

Esto es, aunque se produzca una realización del riesgo especialmente

elevada (Δ 𝐿̃), si el sujeto tiene contratada cobertura plena (𝑐 = 1) no va
a verse alterada su riqueza final por lo que la correlación entre el riesgo y
la utilidad marginal de la riqueza 𝑐𝑜𝑣(𝑢´, 𝐿̃ ) será nula y 𝜌(1) = 0.

* Si Δ 𝐿̃, siendo 𝒄 ∈ [𝟎, 𝟏): ∇ 𝑥̃𝐹 , ya que: 𝑥̃𝐹 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐿̃, luego:
∆ 𝑢´(𝑥̃𝐹 ) → 𝑐𝑜𝑣(𝑢´, 𝐿̃ ) > 0 → 𝜌(𝑐) >
0 (𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 "𝑐")

Esto es, ante una realización del riesgo especialmente elevada (Δ 𝐿̃), si el
sujeto tiene contratada cobertura parcial (𝑐 < 1) verá reducida su riqueza
final y, por tanto, (dado que 𝑢 ′′ < 0) aumentará la utilidad marginal de la
misma. De esta forma, la correlación entre el riesgo y la utilidad marginal
de la riqueza será positiva: 𝑐𝑜𝑣(𝑢´, 𝐿̃ ) > 0 y tendremos que: 𝜌(𝑐) > 0

Es interesante apreciar que 𝜌(𝑐) será tanto mayor cuanto:

• Menor sea el nivel de cobertura contratado, pues a menor

valor de “c”, mayor será la caída de la riqueza ante un cierto
siniestro. De hecho, esta función alcanza un máximo en el
caso de cobertura nula –esto es, 𝜌(0) es máximo– pues, en
este caso, el sujeto soporta por si mismo la magnitud total
de la perdida.

• Mayor sea la percepción absoluta del riesgo por parte del

sujeto, dado que, en este caso, la función de Bernoulli sería
“más cóncava” y mayor el aumento de la utilidad marginal
ante una cierta caída de la riqueza final del sujeto.

35
En el gráfico anterior puede apreciarse el Teorema de Mossin y sus corolarios:

1. Con prima justa (λ=0), el óptimo estaría en c=1 cobertura plena.

2. Con prima desfavorable (λ>0) se contrata cobertura parcial, esto es,

fórmulas de coseguro (c<1).

3. Aunque no se ha representado en el gráfico, si proyectamos la función

𝜌(𝑐) al cuarto cuadrante, podríamos apreciar que, con prima favorable,
esto es (λ<0), el sujeto demandaría sobrecobertura (c>1). Lo veremos
más adelante.

3.3.- Estática comparativa

Un aspecto muy interesante a la hora de formular un modelo es el análisis de su

comportamiento frente a las variaciones de las variables de las que depende. En
esto consiste la estática comparativa.

En concreto, vamos a analizar cómo varía el óptimo cuando varía: la percepción

subjetiva del nivel absoluto de riesgo (𝐴), el valor del activo a asegurar (𝑥0) y el
precio del seguro, medida, en este caso, a través de la tasa de recargo (𝜆).

3.3.1.- Efectos de un cambio en el grado de aversión al riesgo 𝐴.

Puede suceder que, por algún motivo o noticia, la percepción del riesgo del sujeto
aumente. En nuestro caso, un ejemplo vendría a ser que sacasen los nuevos
datos sobre el numero de accidentes entre vehículos del año y que fuese un
valor muy alto con respecto al valor esperado. Por ello, el sujeto puede llegar a
pensar que ahora su vehículo se encuentra más expuesto que antes a sufrir un
daño y desee contratar más cobertura.

Para comprobar analíticamente los efectos de este fenómeno suele utilizarse el

Teorema de Pratt que expusimos en el apartado 2.3 de este trabajo. De esta
forma, un aumento de la percepción global del riesgo ante, digamos, “malas
noticias” implica que la función de Bernoulli original del sujeto (𝑢0) se torna a otra
función (𝑢1 ) más cóncava que la anterior:

𝑢1 = 𝑇[𝑢0 ], con: 𝑇 ′ > 0, 𝑇 ′′ < 0

Si con la función original 𝑢0 la cobertura óptima era 𝑐0∗ , tenemos que:

𝐸 {𝑢0′[𝑥̃𝐹 (𝑐0∗ )][𝐿̃ − (1 + 𝜆)𝐿̅ ]} = 0

36
Pues bien, puede demostrarse18 que:

𝐸 {𝑢1′ [𝑥̃𝐹 (𝑐0∗)][𝐿̃ − (1 + 𝜆)𝐿̅ ]} > 0

Lo que, dada la concavidad de la función objetivo, implica que el nivel de

cobertura necesario para restablecer la igualdad debería ser mayor: 𝑐1∗ > 𝑐0∗

La comprobación gráfica de este efecto es bastante simple una vez definido el

comportamiento de la función 𝜌(𝑐).

Hemos visto que cuando aumenta la percepción global del riesgo entonces la
función 𝜌(𝑐) se hace mayor a cada nivel de cobertura (distinto de la plena)
contratado, es decir, esta función “se abre” y el agente contratará más cobertura
frente a esa mayor percepción del riesgo, por lo que tendríamos un nuevo óptimo
en 𝑐1∗ > 𝑐0∗.

Figura 3.2.- Efecto de un cambio en el grado de aversión al riesgo.

𝜆𝐿̅ , 𝜌(𝑐)

𝐸0∗ 𝐸1∗
𝜆𝐿̅

𝜌´(𝑐)
𝜌(𝑐)
c
0 𝑐0∗ 𝑐1∗ 1

Fuente: Elaboración propia.

3.3.2.- Efectos de una variación del valor del activo a asegurar 𝑥0.

Para poder analizar lo que sucede con el grado de cobertura óptimo que el
individuo contratará cuando cambia el valor del activo que va a asegurar,
manteniendo el resto de las variables constantes, debemos centrarnos en las
condiciones de óptimo a las que aplicaremos un análisis de sensibilidad.

18Por ejemplo, puede consultarse la demostración que hacen Eeckhoudt, et al. (2005), pág. 53 utilizando
esta definición o bien la de Melgar (2003), pág. 62.

37
A la condición necesaria de óptimo la podremos llamar “𝐻”, luego:

𝑑 𝐸{𝑢[𝑥̃𝐹 ]}
𝐻= = 𝐸 {𝑢´(𝑥̃𝐹 )[𝐿̃ − (1 + 𝜆)𝐿̅ ]} = 0
𝑑𝑐

Debemos diferenciar la anterior expresión, obteniendo:19

𝜕𝐻 𝜕𝐻
𝑑𝐻 = 𝑑𝑥0 + ∗
𝑑𝑐 ∗
𝜕𝑥0 𝜕𝑐

𝜕𝐻⁄
𝑑𝑐 ∗ 𝜕𝑥0
= −
𝑑𝑥0 𝜕𝐻⁄ ∗
𝜕𝑐
*El signo del denominador de la expresión anterior es negativo, ya
que se trata de las condiciones suficientes de óptimo.

Por lo tanto, para poder saber el sentido en el que variará nuestro óptimo
ante efectos de una variable basta con fijarse en el efecto que tiene dicha
variable sobre las condiciones necesarias de óptimo (𝐻):

𝑑𝑐 ∗ 𝜕𝐻
𝑠𝑔𝑛 { } = 𝑠𝑔𝑛 { }
𝑑𝑥0 𝜕𝑥0

Así pues, derivando en las condiciones necesarias de óptimo con respecto de

“𝑥0 " tendremos que:

𝜕𝐻
= 𝐸 {𝑢´´(𝑥̃𝐹 )[𝐿̃ − (1 + 𝜆)𝐿̅ ]}
𝜕𝑥0

Se trata de un efecto renta, estocástico como consecuencia de ese aumento del

valor del activo (𝑥𝟎), cuyo signo es ambiguo, ya que dependerá de la clase de
prima existente en el mercado (𝜆) y de cómo se relacione la aversión al riesgo
con la riqueza, esto es, de si el demandante presenta aversión absoluta al riesgo
constante (CARA), decreciente (DARA) o creciente (IARA).20

19 Debemos tener en cuenta que, en la siguiente expresión, diferenciando tenemos: 𝑑𝐿̃ = 𝑑𝜆 = 0 y que:
𝑑𝑐 ∗ ≠ 0 𝑦 𝑑𝑥0 ≠ 0.
20 Recordemos que un individuo DARA era el que presentaba aversión absoluta al riesgo decreciente
respecto a su riqueza, que en este caso la riqueza sería su activo para asegurar. Esto es: 𝐴´(𝑥) < 0.
También es interesante valorar individuos con aversión absoluta al riesgo constante o creciente con
respecto a su riqueza, esto es, serían CARA (𝐴´(𝑥) = 0) o IARA (𝐴´(𝑥) > 0), por sus siglas en inglés.

38
Lo vamos a entender utilizando el análisis gráfico que es más intuitivo:

A) Si el individuo en cuestión fuera CARA:

Esto es, si presenta aversión absoluta constante con respecto a las variaciones
de la riqueza, el consiguiente efecto de variar el valor del activo o riqueza no le
va a afectar a su percepción del riesgo, por lo tanto, independientemente de la
prima pagada, contratará el mismo nivel de cobertura óptimo (𝑐 ∗ ) que antes del
cambio.

Esto último se puede demostrar utilizando la expresión anterior:

𝜕𝐻
= 𝐸 {𝑢´´(𝑥̃𝐹 )[𝐿̃ − (1 + 𝜆)𝐿̅ ]}
𝜕𝑥0

−𝑢´´(𝑥)
Recordemos que 𝐴(𝑥) = ⁄𝑢´(𝑥), reordenando el término y
sustituyendo en la expresión anterior:

𝜕𝐻
= 𝐸 {−𝐴(𝑥)𝑢´(𝑥)[𝐿̃ − (1 + 𝜆)𝐿̅ ]} = −𝐴(𝑥) 𝐸{𝑢´(𝑥)[𝐿̃ − (1 + 𝜆)𝐿̅ ]} = 0
𝜕𝑥0

* Donde 𝐴(𝑥) = 𝐴̅ puede salir fuera de la esperanza, dado que es

constante y la esperanza de la expresión coincide con la condición
necesaria de óptimo que debe ser nula.

Desde el punto de vista gráfico, si la percepción del riesgo no varía, tampoco lo

hace la función 𝜌(𝑐) por lo que la cobertura óptima no cambia sea cual sea el
valor de 𝜆.

B) Si al individuo se le ofrece prima justa (𝜆 = 0):

Como ya sabemos, según el Teorema de Mossin, cuando existe prima justa el

sujeto siempre contratará cobertura plena (𝑐 ∗ = 1) para maximizar su nivel de
utilidad. Esta decisión es inamovible e independiente de cómo sea la actitud del
individuo hacia el riesgo. Lo podemos observar en el siguiente gráfico, en el que,
pese a producirse un incremento del nivel de riqueza (∆𝑥0), y aunque la función
𝜌(𝑐) se expanda21, el sujeto continúa contratando 𝑐 ∗ = 1: 22

21 Como veremos después, esa expansión se da porque el agente es DARA.

22 Como 𝜆 = 0, ahora la función 𝜆𝐿̅ es igual al eje de abscisas, esto es, igual a cero.

39
 Figura 3.3.- Efecto de un cambio en el valor del activo a asegurar con
prima justa.
𝜆𝐿̅ , 𝜌(𝑐)

𝜌(𝑐)
𝜌´(𝑐) 𝐸∗
𝜆𝐿̅ = 0 c
𝑐∗ = 1
Fuente: Elaboración propia.

C) Si el individuo es DARA:

El caso habitual es el que el individuo tenga aversión absoluta al riesgo

decreciente con respecto a su riqueza (DARA), puesto que como vimos, es muy
legítimo pensar que a medida que va aumentando la riqueza del individuo, su
aversión absoluta al riesgo decrezca. Desde este sentido, tenemos dos posibles
resultados en función de cómo sea la prima del seguro en el mercado:

- C.1) Prima desfavorable (𝜆 > 0):

La prima desfavorable y, por tanto, coseguro (𝑐 ∗ < 1), es el caso

más habitual y con el que construimos este modelo. De esta forma,
si aumenta el valor del activo (∆𝑥0) supondría una disminución de
la cobertura óptima para el sujeto (∇𝑐 ∗). Esto se entiende lógico con
lo que ya sabemos, ya que, si aumenta el valor del activo, el sujeto
se vuelve más rico y como es DARA, disminuirá su percepción del
∗ ∗∗
riesgo ∇𝜌(𝑐) y contratará menos cobertura (𝑐𝜆>0 → 𝑐𝜆>0 ). Se
puede observar en el gráfico siguiente. 23

𝜕𝐻
23 Matemáticamente se puede demostrar que = 𝐸 {𝑢´´(𝑥̃𝐹 )[𝐿̃ − (1 + 𝜆)𝐿̅]} < 0, siendo el agente
𝜕𝑥0
DARA. Véase, por ejemplo, Eeckhoudt, et al. (2005), pág. 54 o en Melgar (2003), pág. 57.

40
 - C.2) Prima favorable (𝜆 < 0):24

Bajo la premisa considerada, tendríamos como óptima una

situación de sobrecobertura (𝑐 ∗ > 1), de acuerdo a lo que se
muestra en el gráfico siguiente.

Si aumenta el valor del activo (∆𝑥0) supondría un aumento de la

cobertura óptima para el sujeto (∆𝑐 ∗). El enfoque es distinto al del
caso anterior, ya que ahora el seguro actúa como un bien “normal”
porque tiene un precio favorable para el individuo. Entonces, si
aumenta el valor del activo, el sujeto se vuelve más rico, sigue
siendo DARA, por lo que disminuirá su percepción del riesgo ∇𝜌(𝑐)
∗ ∗∗
y podrá contratar más cobertura (𝑐𝜆<0 → 𝑐𝜆<0 ).

Figura 3.4.- Efectos de un cambio en el valor del activo a asegurar con

prima no justa.
𝜆𝐿̅ , 𝜌(𝑐)

∗
𝜆𝐿̅ > 0 𝐸𝜆>0
(prima desfavorable)
∗∗
𝐸𝜆>0
∗ ∗∗
𝑐𝜆<0 𝑐𝜆<0
∗∗
0 𝑐𝜆>0 ∗
𝑐𝜆>0
c
1

𝜆𝐿̅ < 0
(prima favorable) ∗∗
∗
𝐸𝜆<0 𝐸𝜆<0 𝜌´(𝑐)

𝜌(𝑐)

Fuente: Elaboración propia.

Este caso no se ha contemplado en las restricciones iniciales del modelo, pero resulta interesante
24
modelizarlo.

41
D) Si el individuo hubiera sido IARA:

En este caso, tendríamos los resultados contrarios que, en el caso de DARA

(caso C), ya que su aversión absoluta al riesgo respecto a la riqueza ahora es
creciente. Por ejemplo, en el caso C.1 del modelo de prima desfavorable (𝜆 > 0),
si el valor del activo hubiera aumentado (∆𝑥0), el individuo tendría más riqueza,
pero ahora su aversión absoluta al riesgo se ve incrementada, por lo que optaría,
como es lógico, a aumentar su cobertura contratada (𝜌(𝑐) se “abre”).

3.3.3.- Efectos de un cambio en el precio del seguro 𝜆.

Hemos fundamentado el modelo de forma que el precio del seguro, que no es

otra cosa, que la prima (𝑟), dependiese directamente del parámetro “𝜆”.

Hemos supuesto la situación de un mercado competitivo donde dicho parámetro

se mantenía constante, sin embargo, puede suceder que, de una forma
generalizada, los precios de los seguros subieran, como consecuencia de una
nueva regulación que se tradujese en nuevos costes para las aseguradoras.
Sería interesante analizar cómo dicho efecto repercute sobre el modelo,
precisamente, sobre la decisión de cobertura óptima del individuo.

Matemáticamente, sería hacer lo mismo que en el apartado anterior, ya que

como:

𝑑𝑐 ∗ 𝜕𝐻
𝑠𝑔𝑛 { } = 𝑠𝑔𝑛 { }
𝑑𝜆 𝜕𝜆

Tendríamos que ver el efecto a través de la derivada:

𝜕𝐻
= 𝐸 {𝑢´(𝑥̃𝐹 )(−𝐿̅ ) + 𝑢´´(𝑥̃𝐹 )[𝐿̃ − (1 + 𝜆)𝐿̅ ] (−𝑐𝐿̅ )}
𝜕𝜆
= 𝐿̅ {−𝐸𝑢´(𝑥̃𝐹 ) − 𝑐 ∗ 𝐸 {𝑢´´(𝑥̃𝐹 )[𝐿̃ − (1 + 𝜆)𝐿̅ ]}}

Dado que 𝐿̅ > 0, el signo de esta derivada lo da la expresión entre llaves

cuyos sumandos podemos identificas con un efecto sustitución (ES) y un
efecto renta (ER):

𝜕𝐻
= 𝐸𝑆 + 𝐸𝑅
𝜕𝜆
El efecto sustitución obtenido es: 𝐸𝑆 = −𝐸𝑢´(𝑥̃𝐹 ) y su signo es siempre negativo
dado que el sujeto es amante de la riqueza (𝑢´ > 0).

42
 𝜕𝐻
El efecto renta es: 𝐸𝑅 = −𝑐 ∗ 𝐸{𝑢´´(𝑥̃𝐹 )[𝐿̃ − (1 + 𝜆)𝐿̅ ]} = −𝑐 ∗ 𝜕𝑥 . Este efecto solo
0
tiene lugar en el caso de que el sujeto contrate cobertura positiva (𝑐 ∗ > 0) y su
signo es el opuesto al previamente discutido al estudiar los cambios en el valor
𝜕𝐻
del activo (𝜕𝑥 ).
0

Finalmente tenemos que el signo de dicha derivada y, por tanto, la dirección del
efecto del cambio del precio sobre el óptimo es la suma de un efecto sustitución
(ES) que siempre es negativo y de un efecto renta (ER) cuyo signo depende de
como evolucione la aversión absoluta al riesgo del individuo con respecto a la
riqueza, es decir, depende de si el sujeto es DARA, CARA e IARA.

Vamos a ilustrarlo gráficamente, utilizando el modelo de referencia en el cuál el

sujeto sería DARA y se enfrentaría a una prima desfavorable (𝜆 > 0):

Ante un aumento del precio del seguro (∆𝜆), tendríamos:

. Un efecto sustitución (𝐸𝑆 < 0) indudablemente negativo, ya que,

al aumentar relativamente el precio del seguro, se produce, céteris
paribus, una disminución de su demanda, esto es, una disminución
del nivel de cobertura contratado (𝑐 ∗ → 𝑐𝐸𝑆
∗
). Se puede observar en
la gráfica con el desplazamiento de la función 𝜆𝐿̅ .

. Un efecto renta (𝐸𝑅 > 0) positivo con DARA, ya que, si aumenta

el precio del seguro, la riqueza del individuo disminuye (𝑥̃𝐹 ), lo que
hace que su percepción del riesgo aumente (por DARA) y contrate
más cobertura (𝑐 ∗ → 𝑐𝐸𝑅 ∗
). Lo observamos en la gráfica con la
“apertura” de la función 𝜌(𝑐).

Figura 3.5.- Efectos de un cambio en el precio del seguro con DARA.

𝜆𝐿̅ , 𝜌(𝑐)

𝐸 ∗∗
𝜆´𝐿̅
𝐸∗
𝜆𝐿̅
𝜌´(𝑐)
𝜌(𝑐)
∗
𝑐𝐸𝑆 ∗
𝑐𝐸𝑅 c
0 𝑐 ∗ 𝑐 ∗∗ 1
ES ∗
ER

E. Total

Fuente: Elaboración propia.

43
Lo que observamos finalmente es un efecto total positivo de la variación del
precio del seguro sobre la cobertura óptima. Esto ha sucedido, porque en este
ejemplo en particular, el 𝐸𝑅 > 𝐸𝑆, pero podría haber sido al revés, lo cuál
dependerá de la intensidad con la que el sujeto sea DARA (a mayor intensidad
mayor ER).

Por último, dentro de este mismo apartado, podemos intuir los efectos que
hubieran sucedido si el individuo fuese CARA o IARA.

Si hubiera sido CARA, el 𝐸𝑅 sería nulo, luego el 𝐸𝑇 = 𝐸𝑆 < 0.

Si hubiera sido IARA, el 𝐸𝑅 sería negativo, luego el 𝐸𝑇 = 𝐸𝑆 + 𝐸𝑅 < 0

(siempre).

Además, debe recordarse que estamos suponiendo, en todo este subapartado,

que la prima sea desfavorable (𝜆 > 0). De forma que, en función a lo que vimos
en el subapartado anterior (subapartado 4.3.2), la función 𝜆𝐿̅ cambiaría
dependiendo de si la prima hubiera sido justa (𝜆 = 0) o favorable (𝜆 < 0); con sus
consiguientes efectos.

CONCLUSIÓN

El objetivo principal del trabajo, como expusimos al comienzo, consiste en

modelizar la elección de los individuos en condiciones de incertidumbre, que es
exactamente lo que sucede en la 𝑇𝑒𝑜𝑟í𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑟𝑜𝑠.

Entramos de lleno en un mundo complejo, diferente al de la Teoría Clásica de

Elección, pero más real, puesto que, en pocas ocasiones la elección de las
personas se produce en condiciones de perfecta certeza.

El trabajo se divide en tres partes y a continuación, vamos a repasar los

resultados más importantes que hemos extraído de cada una de estas:

-En la primera parte, hemos plasmado el cómo, a través de los juegos de azar y
el afán de superación de los grandes matemáticos clásicos, nació la
𝑇𝑒𝑜𝑟í𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎, como base de los posteriores desarrollos
económicos de la elección en contexto de riesgo. Hemos explicado cuales fueron
las principales condiciones necesarias para configurar una “función de utilidad”,
la cual es el eje principal de la elección en este contexto. Así pues, en base a su
𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎, hemos podido definir y caracterizar la actitud
frente al riesgo del individuo y cómo podría elegir entre diferentes decisiones o
loterías que entrañen riesgo, mediante el criterio de búsqueda de la decisión que
le aporte mayor nivel de utilidad o bienestar. Y, por último, en esta primera parte,
dentro del tipo más común de actitud frente al riesgo, que es la aversión, hemos

44
desarrollado el famoso “𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑎𝑙 𝑟𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝐴𝑟𝑟𝑜𝑤 −
𝑃𝑟𝑎𝑡𝑡”, el cuál es un indicador bastante preciso del grado subjetivo de riesgo que
un individuo percibe de cierta lotería; utilizando para ello, por supuesto, su
función de utilidad esperada.

-En la segunda parte, nos introducimos en los 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑜𝑠 donde el

individuo puede acudir para eliminar de forma total o parcial el riesgo con una
cobertura de seguros. De esta forma, el individuo se asegurará solo si obtiene
una utilidad esperada mayor que la situación sin seguro y además elegirá la
cobertura óptima que es aquella que maximiza su bienestar.

Hemos desarrollado, también, los tres principales tipos de seguros existentes: el

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎, en donde el asegurado paga como prima la misma
cantidad de lo que espera cobrar, por lo que se verifica que el individuo siempre
obtendrá el mismo valor esperado que en el caso de no asegurarse. Luego
tenemos el 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑏𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑝𝑙𝑒𝑛𝑎, en donde el asegurado cobraría la
totalidad de la pérdida y se demuestra que, bajo esta premisa, la lotería inicial
aleatoria se transforma en una lotería determinista, es decir, con certeza
producirá un único resultado posible. Y, por último, el tercer tipo de seguro, que
es una combinación de las características y propiedades de estos dos anteriores.

En esta segunda parte, concretamente, hemos utilizado el Modelo de Estados

Contingentes, el cuál, hemos plasmado gráficamente mediante el artículo
seminal de Rothschild & Stiglitz, 1976, y, posteriormente, hemos planteado el
desarrollo matemático que nos ha permitido verificar la teoría anterior y
corroborar el famoso “𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛”.

Las conclusiones de dicho teorema establecen que, un individuo amante de la

riqueza y averso al riesgo solo podrá maximizar su bienestar contratando
cobertura plena, si la prima del seguro es justa; contratando sobrecobertura, si
la prima del seguro es favorable o, contratando infracobertura, en el caso de que
la prima sea desfavorable.

-En la tercera y última parte, hemos avanzado hacia un enfoque todavía más
realista, introduciendo el 𝑟𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜, de forma que, hemos transportado la
teoría de la demanda de seguros hacia este contexto más ajustable a al día a
día de los individuos.

Dicho modelo, a medida que cobra más realismo, también se vuelve más
complejo, aún así, bajo unas condiciones lógicas hemos podido desarrollar la
parte gráfica y la matemática, las cuáles, nos confirman los mismos resultados
del modelo anterior, entre ellos, el 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑀𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛.

45
Lo más destacable de esta parte, a parte de la corroboración de lo anterior, es el
análisis del comportamiento del modelo frente a las variaciones de las variables
de las que depende, es decir, el 𝑎𝑛á𝑙𝑖𝑠𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎. En concreto,
hemos analizado como le afectan al óptimo los cambios en la percepción
subjetiva del nivel absoluto de riesgo, en el valor del activo a asegurar y en el
precio del seguro.

Los resultados, plasmados matemática y gráficamente son, en el caso de una

variación en la percepción subjetiva del nivel del riesgo del individuo, tenemos
que pasará a contratar siempre más cobertura para maximizar su utilidad, ya
que, cómo es lógico, se sentirá más expuesto a sufrir el accidente y querrá
protegerse de ello.

En el caso de una variación del valor del activo a asegurar, se produce un efecto
renta estocástico, cuya influencia sobre el óptimo es ambigua, ya que dependerá
de la prima existente en el mercado y de si el demandante presenta aversión
absoluta al riesgo constante (CARA), decreciente (DARA) o creciente (IARA).
Como vimos en dicho capítulo, podríamos tener hasta cuatro casos distintos:

El primero, si el individuo presentara aversión al riesgo constante (CARA),

como demostramos, una variación en su riqueza no afectará a su decisión
de óptimo que se mantendrá constante.

El segundo caso, si existe prima justa en el mercado, el cual se relaciona

directamente con el Teorema de Mossin y demostramos que, únicamente,
podría maximizar su utilidad contratando cobertura plena.

El tercer caso, cuando el individuo presenta aversión absoluta al riesgo

decreciente (DARA), se subdivide en dos casos dependiendo de cómo
sea la prima del mercado y corrobora lo establecido en el Teorema de
Mossin: de forma que, por un lado, si existe prima desfavorable, el óptimo
se encuentra en una fórmula de coseguro mientras que, si existiera una
prima favorable, el óptimo sería en una fórmula de sobrecobertura. Así
pues, se acentuarían dichas fórmulas, si aumentase el valor del activo a
asegurar.

El cuarto caso, cuando el individuo presenta aversión absoluta al riesgo

creciente (IARA), de forma análoga al anterior, se subdivide en dos casos
en función, también, del valor de la prima del seguro y tendríamos los
resultados contrarios, como es lógico, que el caso anterior de DARA.

Por último, tendríamos el efecto de un cambio en el precio del seguro sobre el

óptimo, dónde comprobamos que, dicho efecto es la suma de un efecto
sustitución y un efecto renta. El efecto sustitución siempre es negativo para el
sujeto amante de la riqueza, mientras que el efecto renta es de signo ambiguo y
opuesto al discutido anteriormente, por lo que depende también de cómo

46
evolucione la aversión absoluta al riesgo del individuo con respecto a su riqueza.
Mencionando el caso más normal, que es cuando el individuo es DARA,
teníamos que el efecto renta era positivo, ya que, si aumentaba el precio del
seguro, la riqueza del individuo disminuiría, su percepción del riesgo aumentaría
y buscaría cubrirlo contratando más cobertura. Así pues, teníamos un resultado
final que dependerá de qué intensidad de los dos efectos es mayor, ya que
teníamos un efecto sustitución negativo y un efecto renta positivo.

47
BIBLIOGRAFÍA

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49
50
APÉNDICE 1:

Para averiguar ese grado de aversión al riesgo, la idea consistirá en encontrar

cuanto estaría dispuesto a pagar el individuo para evitar esta lotería de media
nula.

El proceso comienza considerando a un agente amante de la riqueza (u´ > 0) y

averso al riesgo (u´´(x) < 0) cuya riqueza compuesta es la suma de una riqueza
cierta que posee (x0) y la lotería ruido blanco (𝑦̃) que es aquella que tiene
esperanza nula, por tanto:

-Riqueza compuesta: 𝑥̃𝐹 = 𝑥0 + 𝑦̃

-Varianza de la lotería: 𝜎 2 = 𝐸(𝑦̃ 2 ) − 02 = 𝐸(𝑦̃ 2 )

-Esperanza de la riqueza compuesta: 𝐸 (𝑥̃𝐹 ) = 𝑥0 + 𝐸 (𝑦̃) = 𝑥0

-Prima de riesgo de la riqueza: 𝜌(𝑥̃𝐹 ) = 𝐸(𝑥̃𝐹 ) − 𝜉(𝑥̃𝐹 ) = 𝑥0 − 𝜉(𝑥̃𝐹 )

Luego como: 𝜌 = 𝑥0 − 𝜉 → 𝜉 = 𝑥0 − 𝜌

Aplicando la utilidad: 𝑢(𝜉) = 𝑢(𝑥0 − 𝜌)

Y por propiedades de la esperana: 𝑢(𝑥0 − 𝜌) = 𝐸{𝑢(𝑥0 + 𝑦̃)}

Vamos a aplicar desarrollos de Taylor a cada término de la siguiente manera:

-Aplicando un desarrollo de Taylor de primer orden en 𝑢(𝑥0 − 𝜌):

(𝑥0 − 𝜌 − 𝑥0)
𝑢(𝑥0 − 𝜌) ≅ 𝑢(𝑥0 ) + 𝑢´(𝑥0 ) = 𝑢(𝑥0) − 𝜌 𝑢´´(𝑥0 )
1!
-Aplicando un desarrollo de Taylor de segundo orden en 𝐸{𝑢(𝑥0 + 𝑦̃)}:
𝑢´(𝑥0 ) 𝑢´´(𝑥0 )
𝐸{𝑢(𝑥0 + 𝑦̃)} ≅ 𝐸 {𝑢(𝑥0) + 𝑢´(𝑥0 + 𝑦̃ − 𝑥0 ) + (𝑥0 + 𝑦̃ − 𝑥0)2 } =
1! 2!
1 1
𝐸 {𝑢(𝑥0 ) + 𝑦̃ 𝑢´´(𝑥0 ) + 2 𝑦̃ 2 𝑢´´(𝑥0 )} = 𝑢(𝑥0 ) + 𝐸(𝑦̃) 𝑢´´(𝑥0 ) + 2 𝐸(𝑦̃ 2 ) 𝑢´´(𝑥0 ) =
1
𝑢(𝑥0) + 𝜎 2 𝑢´´(𝑥0)
2

1
Agrupamos ambos términos: 𝑢(𝑥0) − 𝜌 𝑢´´(𝑥0) ≅ 𝑢(𝑥0) + 2
𝜎 2 𝑢´´(𝑥0)

Despejando, finalmente nos queda:

𝑢´´(𝑥0 )
1 2 (− )
𝜌(𝑥̃𝐹 ) ≅ ( ⁄2)𝜎 𝑢´(𝑥0 )
≡̌ 𝐴(𝑥0)

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