𝑪𝒐𝒏𝒔𝒖𝒍𝒕𝒐𝒓𝒊𝒐 𝑴𝒂𝒕𝒆𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒐 "𝑴𝑰𝑻𝑨𝑮𝑰"

𝐺𝐸𝑂𝑀𝐸𝑇𝑅Í𝐴 𝐴𝑁𝐴𝐿Í𝑇𝐼𝐶𝐴

𝑳𝒊𝒄. : 𝑴𝒊𝒈𝒖𝒆𝒍 Á𝒏𝒈𝒆𝒍 𝑻𝒂𝒓𝒂𝒛𝒐𝒏𝒂 𝑮𝒊𝒓𝒂𝒍𝒅𝒐

𝑮𝑹Á𝑭𝑰𝑪𝑶𝑺 𝑬𝑵 𝑬𝑳 𝑷𝑳𝑨𝑵𝑶
𝑪𝑶𝑵𝑪𝑬𝑷𝑻𝑶𝑺 𝑩Á𝑺𝑰𝑪𝑶𝑺.
Sistema coordenado rectangular

.
(-,+)
Y
3
2
b-
.
P(a, b)
I (+,+)
II 1 .
X

-
-4 -3 -2 -1 0 a
1 2 3 4

III
(-,-)
. -1
-2 .
IV ( + , - )
-3 a: abscisa de P
b: ordenada de P
 Distancia entre dos puntos
y
y2 .
P2(x2,y2)

| y2 - y1 |
P1(x1,y1)
y1 . |x2 - x1|
x
x1 x2

d(P1,P2) = ( x2  x1 )  ( y2  y1 )
2 2
Ejemplo 1: Halle la distancia entre los puntos
P1=(-3;4) y P2=(4;-2) .

d ( P1; P2 )  (3  4)  (4  (2))  49  36  85

2 2

Ejemplo 2: Halle la distancia entre los puntos

Q1=(1;-4) y Q2=(-2;3) .
 Fórmula del punto medio
y
P2(x 2 ,y2)
M2
M
P1(x 1 ,y1)

x1 M1 x2 x

M= (M1;M2) = ( x 1 + x2 , y1 + y)2
2 2
Área de un triángulo

Q x2 , y2 
y

P x1 , y1 

R x3 , y3 
x
x1 y1
1 x2 y2
Area 
2 x3 y3
x1 y1
Ejercicio:
1. Dados los puntos (-4,4), (3,1), (-1,-4)
2. Dado los puntos (-3,-1);(-1,4);(2,1)
3. Dado los puntos (-4,1)(-2,5)(3,-3)
Determinar :
a) Gráfico
b) Perímetro
c) Puntos medios
d) Área
 Ecuaciones y Gráficas
Una solución de una ecuación en dos variables, tal
como:
y  2x  3 o y  x  7x  2
2

Es un par ordenado de números tales que la

sustitución del primer número en x y el segundo en
y produce un enunciado verdadero.
 Ejemplo:
¿Cuáles de las siguientes son soluciones de

y = -2x + 3 ?
a. (2; -1)
b. (4; 7)
c. (0; 3)
d. (3/2; 0)
 Interceptos con los ejes
Los puntos de intersección de la gráfica de
una ecuación con los ejes coordenados X e Y
son:

Con eje X: (a, 0) Se obtiene haciendo y = 0

Con eje Y: (0, b) Se obtiene haciendo x = 0

La Recta
Gráfica de una Recta
Recta: y = 2x - 3
 Pendiente de una recta l
y
L1 • ¿Cuál de las rectas
está más inclinada?
• ¿Cómo medimos esa
L2 inclinación?
0 x
 Cálculo de la pendiente de una recta

Sea l es una recta no vertical que pasa

por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2).

y2 - y1
m= x -x
2 1
Cálculo de la pendiente de una recta
y2 - y1
m =x - x
2 1

y P2(x2, y2)

y=y2 - y1
P1(x1, y1)
x=x2 - x1
0 x
 *
Ejemplos
*Ubique los puntos en el plano y determine
la pendiente de estos segmentos:
1. A(-6; 1) y B(1; 2)
2. C(-1; 4) y D(3; 1)
3. E(4; 2) y F(6; 2)
4. G(2; 1) y H(2; -3)
 5

3
mCD = -3/4
mAB = 1/7 2

1 mEF = 0
6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
1

2

3

4 mGH = ¿?
5

6
 Conclusiones

1. Si m>0 la recta l es creciente

2. Si m<0 la recta l es decreciente
3. Toda recta horizontal tiene m = 0
4. Las rectas verticales no tienen
pendiente definida.
Ecuación de la recta 1. (Punto – pendiente:
Ordinaria)
La ecuación de la recta de pendiente m, y punto
de paso (x 1 , y1 ) es:
Y

(x 1 , y1) y - y1 = m(x - x1)

X
 Ecuación de la recta 2.
(Canónica)
La gráfica de una recta de pendiente m y
ordenada en el origen b, es:
Y

𝒚=𝒎𝒙+𝒃
b

X
 Ecuación de la recta 3.
Ecuación General de la recta
La gráfica de una ecuación lineal:
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 = 𝑪, es una recta, y
recíprocamente, toda recta es la gráfica
de una ecuación lineal:
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 = 𝑪
Ecuación General: mediante Matrices

Dado :
x y
A (2,3)
B (5,2)
 2
5 2
3
0

x y

3x  4  5 y   2 y  15  2 x   0
x  3 y  11  0
Cada ecuación representa una recta
Y-
- 2x + y = 8 2x + y = 8
- x + 2y = 7
-
-
-
2 - .(3,2)
- x + 2y = 7
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- - 3 X
 Rectas coincidentes
- x + 2y = 7
- 2x + 4y = 14
2x +- 4y = 14
-
-
- x + 2y = 7
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
 Rectas paralelas
Dos rectas no verticales l1 y l2 cuyas
pendientes son m1 y m2 , son paralelas
(l1 // l2) si y sólo si tienen la misma
pendiente.
Es decir: m =m
1 2
 Rectas paralelas

- x + 2y = 7
- 2x + 4y = 8
-
-
- x + 2y = 7
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- 2x + 4y = 8
-
 Rectas perpendiculares
Dos rectas no verticales l1 y l2 cuyas
pendientes son m1 y m2 , son perpendiculares
(l1 l2) si y sólo si el producto de sus pendientes
es -1.
Es decir:

m1 . m2 = -1
 recta recta // ecuación horizontal
al eje X y=b
5
Y
4

2
b
1

6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
X
1

2

3
a
4

5

6

recta recta // ecuación

vertical al eje Y x=a
Graficar y hallar la ecuación de la recta
que pasa por los siguientes puntos.

a) A=(2,1) b) D=(7,3)
B=(5,-3) C(3,-1)

d) H=(-3,1) c) P=(3-1)
I=(2,5) R=(7,2)
Ejemplo: Halle el valor de k para que las
rectas L1 y L2 sean perpendiculares:
L1 : y  5x  20
L 2 : y  Kx  10

L1  L 2  m1. m 2  1
1
K 
5
 Intersección de dos recta
La intersección de dos rectas no paralelas es un
punto cuyas coordenadas son el resultado de
resolver el sistema de ecuaciones que se forma con
sus ecuaciones:
Ejemplo:
Sean las rectas: L1 : y  x  2 L 2 : y  -x  4
yx  2
yx  4
 x  1;Entonces
y3

(1,3) es el punto de intersección de L1 y l2 .

 Problemas para resolver
1. Hallar la distancia entre los puntos
A(a  1, b) y B(a  8, b  9)
2. Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices
son (3,1), (0,3), (3,4), (4,1)
3. Dos de los vértices de un triangulo equilátero son
los puntos A(1) y B(3,1) .Hallar las coordenadas del
tercer vértice.
4. Hallar el valor de “a” si la pendiente entre los
puntos P(5  a,3) y Q(1,1) es 1
5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto
A(-6,-3) y tiene un ángulo de inclinación de 45°
6. Graficar en un solo plano: L1 : 3x  4  5  0
y L2 : y  3x  5. Indicando su punto de intersección.
7. Hallar el valor de K para que la recta sea paralela
kx  (k  1) y  18  0a la recta 4 x  3 y  7  0
8. Determinar el valor de k para que la recta
k 2 x  (k  1) y  3  0 sea perpendicular a la recta
3x  2 y  11  0
9. Hallar el valor de “k” para que:
L1 : (k  2) x  3 y  5  0 L2 : x  (2k  3) y  7
sean: a. Paralelas b. perpendiculares
10. Hallar la ecuación de L1 que pasa por el punto
(4 / 3,5 / 3) y es perpendicular a la recta L : x / 2  y / 3  1
2

11. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto

de intersección de las rectas: L1 : x  2 y  4  0 y es
L2 : 3x  2 y  8  0 perpendicular a la y L3 : 5x  y  11  0
12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por
(2,1) y (2,3)
 Resolver
1. Hallar la Ec. de la recta L que pasa porel pto.
P(1,7) y además es paralela a la recta
y  3x  2 : l
2. Hallar la Ec. de la recta L que pasa por el pto.
Q(3,-2) y es perpendicular a la
recta l : 5x  2 y  1  0

3. La ordenada de un punto es 8 y su distancia al

pto. B(5,-2) es 2 41 . Hallar la abscisa del punto.
4. Hallar la ecuación de la recta que pasa
por el punto medio del segmento AB y
es paralela a la recta x + 2y = -7,siendo
A = (2;4) y B = (5;-2) .
5. Hallar la ecuación de la recta que pasa
Perpendicularmente por el punto medio del
segmento AB , siendo A ( 2;-3) y B(-1;7).
6. Hallar la ecuaciones de la recta que pasa per-
pendicularmente por el baricentro del trián-
gulo ABC , siendo A ( 3;3) , B( -2;5) y C( -4;1).
7. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el
punto medio del segmento AB, A (1;2) B ( -1;4) y
es Ortogonal a la recta. l : 3x  y  3  0

8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por La

intersección de las rectas,
l1 : 5x  2 y  10  0 , l2 : 2 x  y  4  0

y es paralela a la recta l3 : x  y  5  0
Distancia de un Punto Exterior a una Recta
P x1 , y1 
y

Ax1   B y1   C L : 3x  2 y  2  0
d
A2  B 2 A= 3, B= -2 y C= 2
Ejercicios:
Hallar la distancia de un punto a la recta
1. d P; L  , P  1;2 P (1;-2)
L : 3x  2 y  5  0

2. d P; L  , P   1;1
L : x  3y  4  0
3. d Q; L  , P  5;3
L : 4x  y  3  0
La Circunferencia
Gráfica de una Circunferencia
y 2 = 4 - x2
4

3

2

1
Radio: 2
4 3 2 1 1 2 3 4 5
Centro: (0,0)
1

2

3

4
 Definición
La circunferencia es el lugar geométrico descrito por un
punto P (x ,y) del plano cartesiano de tal manera que
conserva siempre la misma distancia de un punto fijo
llamado centro de la circunferencia ; la distancia
constante se llama radio de la circunferencia .


C  (x; y)  R /(x  h)  (y  k)  r
2 2 2 2
,r  0
Ecuación de la Circunferencia
y
P(x,y)
r
k c (h , k)

h x

(x-h)2 + (y-k)2 = r2
Formas de ecuación de la circunferencia
Forma Ordinaria : C : (x  h)2
 (y  k) 2
 r 2

Centro (h , k) y radio = r
Forma Canónica : C: x  y  r
2 2 2

Forma General : C : x  y  Ax  By  C  0
2 2

Usando el método de completar cuadrados podemos

regresar la Ecuación General a su forma ordinaria.
Ejemplo:
x 2  y 2  8 x  4 y  4  0 Ec. Forma General
Usando el método de completar cuadrados
x 2  8x  y 2  4 y  4  0
x  4   y  2  16  4  4  0
2 2

x  4   y  2  16  0
2 2

 x  4   y  2
2 2
 16 Ec. Forma Ordin.

Centro = (4,2) Radio = 4

Halla el centro y el radio de la
Circunferencia
1. x 2  y 2  4
2. (x  1)  (y  2)  9
2 2

3. x 2  8x  y 2  0
4. 16x  400  16(y - 1)
2 2

5. 9x 2  72x  9y 2  36y  36  0
6. x  y  4x  10y  28  0
2 2
 Resolver
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo
centro es el pto. (2;-3) y es tangente a la recta
y = 3x+2
r
r
c. (2;-3)
Ec. Gener.
Ax1   B y1   C
3x – y + 2 = 0 d
A B
2 2

A=3, B = -1 y C =2
 Sol.
Centro (2;-3) y es tangente a la recta y = 3x+2
Ec :  x  2    y  3  r 2
2 2

32   (1) 3  2 11
d: r 
9 1 10
2
 11 
r 
2

 10 

Ec. Circunf. x  2 2
  y  3
2

121
10
 Problemas para resolver
1. Hallar la ecuación de la circunferencia de
centro (3,1) y pasa por el punto (6,3)
2. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo
centro es (1,3) y pasa por el punto (2.1)
3. Hallar la ecuación de la circunferencia de
radio 5 y centro ubicado en la intersección de las
rectas L1 : 3x  2 y  4  0 y L2 : x  3 y  6  0
4. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo
diámetro tiene por extremos los puntos A(1,1) y
B(3,1).
La Parábola
Gráfica de una Parábola
Y= 4 - x2
 Definición
Parábola es el lugar geométrico de los puntos P( x , y)
del plano que equidistan de un punto f ijo llamado
F (foco) y una recta fija (directriz) . La recta que
pasa por el foco es perpendicular a la directriz es un
eje de simetría de la curva y se denomina eje de la
parábola .


P  (x ; y)ε R /d (P ; LD )  d (P ; F)
2

 Lado recto=|4p|
Parábola
Y
P
vértice foco

p p
F X
directríz eje
LD
Tabulación
x y Intersección
0 4
2 0 con eje Y
-3 -5
Intersecciones
con eje X

Y= 4 - x2
 Lado recto
El lado recto (4p) es la cuerda paralela a la
directriz que pasa por el foco.
Lado recto=|4p|
Y

0 X
D
x2 = 4 p y

F(0,y)

V(0,0) x

Directriz
Parábolas con vértice V(h , k)
( y - k) 2 = 4 p (x-h)

V(h,k) p>0.F (x , y)

x
0
( y - k) 2 = - 4 p (x-h)

p<0
F. . V( h,k)
x
0
Elementos de la Parábola
(x-2)2 = 40 (y+3) Y
Ecuación de la forma:
F
x  4 py
2
2 X
-3
40  4 p V

 10  p
 y
(x-2)2 = 40 (y+3)
7 F(2,7)


N N1
p
2 x 1. V = (2,-3)
2. Foco = (2,7)


-3 V = (2,-3) 3. D : y= - 13
p 4. Eje : x = 2
-13 5. LLR : 4p = 40
Directriz
Hallando la ecuación de la Parábola
y2 + 6x – 5 + 2y = 0
y2 + 2y = - 6x + 5
(y + 1)2 – 1 = - 6x + 5
(y + 1)2 = - 6x + 6
(y+1)2 = - 6 (x-1) Listo

V (1,-1)
4x2 +24x - y+ 4 = 0

4x  24x  y  4
2

4(x  6x)  y  4
2

4(x  3 )   4  9   y - 4
2

4(x  3)  36  y  4
2

4(x  3)  y  4  36
2

4(x  3 ) 2  y  32 Terminó
Graficar y Hallar los elementos de la
Parábola, determinar el dominio y el rango.
1. 4 y  48 x  20 y  71
2

2. 9 x 2  24 x  72 y  16  0
3. y  4x  7
2

4. 4 x  48 y  12 x  159
2

5. y2  4x  0
4. 4 x 2  48 y  12 x  159
6. x  6 x  5 y  11  0
2
Graficar
1. y = 8x2
2. x -16y2=0
3. 8x2 + 12y=0
4. y2 = 4x+2y
5. x2+ 6x + 12y + 9=0
Ejercicio:
Graficar y hallar la ecuación general de una
Parábola con vértice en (3;-1) y foco(3;-7).

Solución:

V = (3,-1) y Foco = (3,-7)

Solución:
V = (3,-1) y Foco = (3,-7)
(x  h)2 = -4p (y k)
y
(x - 3)2 = -4p (y + 1)
3 x
-1


V(3,-1) Si : p = 6
p=6 => 4p = 24
-7 F(3,-7) (x-3)2 = -24 (y+1)
7
 Resolver
1.Graficar y hallar la ecuación general de una
parábola con foco en (2;6) y directriz x = -8
2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por
el foco de la parábola (x-2)2 = 16 (y+3) y es
paralela a la recta y = 2x+5
3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por
el foco de la parábola ( x-7)2 = -16 ( y-1)
y es perpendicular a la recta 2y -5 = x
 4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por
el foco de la parábola (x-2)2 = 16 (y+3) y es
paralela a la recta y = 2x+5
5. Hallar la ecuación de la parábola cuyo dominio
es 3, y su foco es el punto (5,4)
6. Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es
F(2,1) y la ecuación de la directriz es 4 x  3 y  2  0
7. Hallar la longitud de la cuerda focal de la
parábola x²+8y=0 y es paralela a la recta
3x+4y-7=0
8. Hallar la ecuación de la parábola de eje
focal paralelo al eje “y “sabiendo que su lado
recto es un diámetro de la circunferencia
x² + y² +2x +4y +4 = 0

9. Hallar la longitud de la cuerda focal de

la parábola (x-2)2=16(y-1) que es paralela a
l a recta y=3x+1
Elipse
Gráfica de Elipse
 Definición
Es el conjunto de puntos P ( x ,y) del plano tales
que la suma de sus distancias a dos puntos fijos
F1 y F2 (focos) es una constante.

E (x; y)   / d (P ; F1 )  d (P ; F2 )  cte
2
 La elipse
centro
y M
vértice . 1
vértice

. . F2
V foco
. foco. V. X
F 1
2 1
.M eje focal
2
V1V2 : eje mayor
M1M2: eje menor
Elipses con centro ( h,k)
y
. .
F2
.(h,k) F1

x
(x - h) 2 (y - k) 2
____ + ____ = 1
a2 b2
Elipses con centro ( h,k)
y .
F1
. (h,k)
.
F2 x

(y - k) 2 (x - h)2
____ + ____ = 1
a2 b2
 Ejemplos
2 2
x y
1.  1
9 12
2. 16x  25y  400
2 2

(x  1) (y  2)
2 2
3.  1
4 9
4. 9x  72x  16y  32y  16  0
2 2

5. 4x  32x  25y  156  0

2 2
Gracias