POTENCIAS Y RAiCES

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1
Unas multiplicaciones especiales

Para calcular cada uno de los números anteriores, debes hacer una mulr.i-
plicación de varios factores iguales.
Por ejemplo:

En es1a unid ad nos vamos a ocupar de los produccos de factores igwi.les, de

cómo exp resarlos y de cómo operar co n ellos. Empíe1..a calculando algunos:

2 Calcula es tos productos de factores iguales:

a) 3 • 3 • 3 b) 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 c) 1O • l O • 1O • 10 • 1O

Tres siglos después apareció en escena otro griego: Arquímedes de Siracu-

sa. Además de gran matemático, fue un extraordinario calculista. Y gracias
a esto, ideó un sistema para describir números enormes. Estaba basado en
los productos repetidos de 10 (potencias de base JO) , que estudiarás en
esta unidad.

Corno ya has visto, los números cuadrados y los cú bicos resultan de mul-
tiplicar dos o eres factores iguales. Hay otros números que resultan d e
multiplicar cuatro , cinco o más veces el mismo factor. Descu bre algunos:
3 ¿Cuántas veces tienes que multiplicar diez por di ez, por di c:z . . . para
obtener un millón ?

4 ¿Cuáles de estos números se pueden expresar COlll O proJ ucrus de un

mismo factor repetido varias veces?
a) 32 b) 81 c) 128 dl 10000

5 ¿Conoces alguna forma más co rta y más cómoda de ex presa r e~tm pro-
du ctos de facto res repetidos? En esta unidad aprendera, J hacerlo y lm
Llamarás potencias.
1 POTENCIAS

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales:

a • a • a • a • a = a5
En las potencias, el factor repetido se llama base, y el número de veces que se
repite, exponente.

anay-aeducacion .es
GeoGdna . Cona:pto de potencia. [ ab -
L_BASE
EXPONENTE
Se lee: a elevado a b.
J
J;~ pJQS
Números y_ geometría • Expresar cada producto en Jonna de potencia:
EL CUADRADO a) 3 · 3 · 3 · 3 = 34 Tres elevado a cuatro o tres elevado a la cuarta.
-s- b) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2 5 Dos elevado a cinco o dos elevado a la quima.
El cuadrado de 5 es:
r
s 52 = 5 · 5 = 25 • Calcular estas potencias:
(25 cuadraditos) a) 7 3 = 7 • 7 • 7 = 343 b) 104 = 10. 10-10 - 10= 10000
l
CI Dos potencias especiales: el cuadrado y el cubo
El cubo de 5 es: Elevar un número a la potencia de exponente 2 es elevar al cuadrado.
5 3 = 5 · 5 · 5 = 125 Por ejemplo: 7 2 = 7 •7 = 49 El cuadrado de 7 es 49.
(I 25 cubitos)
Elevar un número a la potencia de exponente 3 es elevar al cubo.
Por ejemplo: 7 3 = 7 • 7 • 7 = 343 El cubo de 7 es 343.

¿Cómo representarías geomecnca-

mence los números 3 2 y 33 ? ¿Serías CI Las potencias en la calculadora
capaz de idear una forma de repre-
Las potencias, excepto en los casos más sencillos, arrojan como resultados núme-
scncar cambién 34?
ros grandes.
Por ejemplo:
9 6 = 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 = 81 · 9 · 9 · 9 · 9 = 729 · 9 · 9 · 9 = ... = 531441
Estos cálculos resultan rutinarios y molestos, por lo que suelen hacerse con una
calculadora.
• En las calculadoras sencillas, utilizaremos las teclas 0 e 0 .
9 0 0 0 0 0 0 0
J, J, J, J, J,
92 93 94 95 96
• En una calculadora científica, utilizaremos la tecla 0 .
96 90 60 1 S 3 1 Y Y 1)

NOTA: Cuando el resultado es muy grande y no cabe en la pantalla, las calcul aJ o-

ras sencillas dan error, mientras que las científicas lo dan en formatos como cm ::
45 8 O. f i l l ~
' &D Éi DEL A.C que significa que el número decimal de la pantalla hay que multiplicarlo 13 veces
1 0 D DEID por 10 (esto es, desplazar la coma decimal 13 lugares a la derecha).
 Unidad 21
para fijar Ideas

1 Completa para calcular, con lápiz y papel, el valor de 7 5. Ayudas

5 1 Completa en tu cuaderno.
7 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = (7 · 7) · (7 · 7) · 7 = 49 · 49 · 7 = 0 ·7 = ...
52 = 5 · 5 = 25
2 ¿Cuál es el valor de x en cada caso? 53 = (5 . 5) · 5 = 25 · 5 = . . .
a) x3 = 125 X= .. • 54 = (5 · 5) · (5 · 5) = . · ·

Calcula y completa cada casilla con la cantidad que corresponda. 2 7x = 2401 ¿Cuánto vale x ?
13
2. o1 2
- 9 2) - 62 = 2 . o21 - O - 6 2
=2 . O- O = O -O = . .. Con la calculadora sencilla:
000000 ( 2 'l OI j

Para practicar

1 Expresa cada producto con una potencia. 9 Escribe los cuadrados de los veinte primeros núme-
a)6-6 b)7-7-7 ros naturales.
c) 4 · 4 . 4 . 4 d) 3 . 3 . 3 · 3 · 3 . 3 12 22 32 20 2
L L L L L
2 Lee estas potencias y exprésalas como producto: 4 9 400
a) 3 4 b) 27 c) 93 d) 15 2 e) 106 f) 204
10 Calcula expresando el proceso paso a paso.
3 Completa la tabla en tu cuaderno. a) 82 + 8 b) 33 - 32
,, d) 9 2 - (7 2 + 4 2)
M4·UMHt,M 1!=14-WMOW c) 53 - 52 + 5
zG '
! e) (26 - 24) 5 - 24 f) (8 2 - 7 2}2- 2 · 102
5 3 i 11 ¿Verdadero o falso?
ª4
' l a) Elevar un número al cubo es igual que multiplicar-

-m

4 Calcula mentalmente y ordena de mayor a menor.

5 1 lo por sí mismo tres veces.
b) Elevar a la cuarta es como multiplicar por cuatro.
2 3 c) El cuadrado de I O es 20.
a) 23 b) 5 c) 4
d) El cubo de 1O es 1 000.
d)20 3 e) 104 f) Jl 2
e) Dos elevado a cin co es igual que ci nco al cuadrado.
5 Calcula con lápiz y papel.
c) 123
12 [j() Recorta en papel cuadriculado dos cuadrados,
a) 28 b)3 5
uno de lado di ez y otro de lado cinco. ¿Hay en el
d) 94 e) 15 2 f) g52
primero el doble de cuadrados que.- en el segundo?
g) 103 h)304 i) 1003 Explica tu respuesta.
6 Obtén estas potencias con ayuda de la calculadora: 13 Expresa con poten cias el número de cubos unitarios
a) 311 b) 66 c) 95 que hay en ca da co nstrucción policubo:
2
d) 13 4 e) 35 3 f) 205

7 Escribe el valor de cada exponente:

a)2x =64 b).3'=81
c) 6' = 36 d} 8m = 512
e) 1O" = 1O000 f) 30' = 81 O000

8 Cal cula el valor de la base, a, en cada caso:

a)a4 = 16 b)a2=25 c) a3 =64
d) a4 = 2 401 e) a3 = 1 000
10
f) a = 1 024

31
1 POTENCIAS DE BASE 10. APLICACIONES
Ya sabes que para multiplicar por l O basta añadir un cero. Así:
___R
...•""'""';•:;X
:;:;l:.;:O;.:,n:,::a:.,__ _ _ _ ---l, -1. 102 = 10 . 1o = 1oo I o3 = 1o . 1o . 1o = 1 ooo
¿Qué es más cómodo de escribir? . 10 5 = 100000 10 9 = l 000000000
¿Y de interpretar? 1 9 ceros
1
1 000000000000 H 10 12
potencia de base I O es igual a la unidad seguida de tantos ceros coj o
ca el exponente.
-----
El Expresión abreviada de números grandes
Los números terminados en ceros pueden expresarse como producto de un nú-
de oxigeno hay mero por una potencia de base I O.
En
383un gramo
060 000 00 0000000 átomos
Por ejemplo: 400000 = 4. 100000 = 4 • 10 5
Este recurso facilita la expresión y la comprensión de números muy grandes.
j;jffl)_gjg_
Un año luz: 9460800000000 km. Observa las transformaciones que hacemos p ara
que esta cantidad sea mds fácil de leer, de escribir y de recordar:
• Redondeamos, dejando dos cifras significativas 9 500 000 000 000
• Descomponemos en producto 95 • 100000000000
• Expresamos el segundo factor como una potencia de base 1O 9 5 . JO 1 1
37 638 383 060 000 000 00 Un año luz equivale a 95. 10 11 km.
21 cifras

El Descomposición polinómica de un número

La descomposición de un número según el valor posicional de sus cifras y lo
que has aprendido sobre las potencias de base 1O permiten la transformación que
muestra el ejemplo siguiente. Es la descomposición polinómica del número.

800 000 + 30 000 + 6 000 + 200 + 70 + 9

836279 = ! ! ! ! ! !
{
8, 10 5 + 3, 104 + 6, 103 + 2, 102 + 7, 10 + 9

Para practicar

1 Escribe como potencias de base l O. 4 Realiza la descomposición polinómica de los siguien-

tes números:
a) Un millar. b) Un millón.
c) Mil millones. d) Un billón. a) 74238 b) 680290
c) 4528926 d) 46350000
2 Expresa con todas sus cifras.
S Escribe en notación abreviada los datos que siguen:
a) 4. 10 5 b) 15 · 10 9 c) 86 • 10 14
a) El número de moléculas elementales en un li tro d,
3 Escribe el valor de x en cada caso: agua es 334 326 000 000 000 000 000 000.
a) 2936428 = 29 • 10x b) 3601294835 = 36. 10x
b) Las estrellas Alfa Centauri están a unos cuarentJ bi-
e) 19570000000000 = 20 · 1ox llones de kilómetros del Sol.

anayacducacion .cs Practica la aproximación de númcrn·7

grandes utilizando potencias de base I O.
 Unidad 21
OPERACIONES CON POTENCIAS
Vas a aprender ahora algunas propiedades que facilitan el cálculo con potencias.
Por eso, es conveniente que las entiendas, las memorices y ensayes su aplicación
en diferentes situaciones.

CI Potencia de un producto
(Producto de potencias con el mismo exponente)
Compara las dos expresiones siguientes y observa que en ambas se obtiene el
No te confundas mismo resultado.
(2 + 3) 4 = 54 = 625
• (2 · 3) 3 = 63 = 6 · 6 · 6 = 216 } (2 . 3) 3 = 23 . 3J
z4+34 =16+81=97
• 23 • 33 = (2 . 2 . 2) . (3 . 3 . 3) = 8 . 27 = 216
(2 + 3) 4 " 24 + 34
La potencia de una suma (o una resta) O también:
NO ES IGUAL a la suma de las po- • 23 · 33 = (2 . 2 . 2) . (3 . 3 . 3) = (2 . 3) · (2 · 3) · (2 · 3) = (2 · 3)
3
tencias de los sumandos.
(a + b)" " a" + b"
~ otencia de un producto es igual al pro- } - (a . b)" = a" . b']
(a - b)" " a" - b" de las potencias de los factores.

CI Potencia de un cociente
(Cociente de potencias con el mismo exponente)
Observa otras dos expresiones que también tienen el mi smo valor.
• (6 : 3) 3 = 23 = 2 . 2 . 2 = s l (6 : 3)3 = 63 : 33
• 63 : 33 = (6 - 6 . 6) : (3 · 3 · 3) = 216 : 27 = 8 j
O también:
1
• 63 : 33 = (6. 6. 6): (3 · 3 · 3) = (6 : 3) · (6 : 3) · (6 : 3) = (6 : 3)·

~ otencia de un cociente es igual al cocien- } - > (a : /,)" = 11 11 : b"

las potencias del dividendo y del divisor.

imll!!
1 Estudia los ejemplos resueltos a la derecha y, siguiendo los mi smos proce- Ejemplo.
dimientos, comp leta y resuelve en tu cuaderno. • 56 . 26 = ( · 2/ ' = 106 = 1 000 000
a) 2 5. 55 = ( ... . ... )5 = .. _5 = ... • 123 : 4 1 = ( 1l. : /4 ) 1
= 3J = 27
b) ¡g4: 94 = ( ... : ... )4 = ... 4 = ... • 54 • 44 = (5 · 4) 4 = 204 = (2 · 10) 4 =
c) 63 . 53 = ( ... . ... )3 = ... 3 = ( ... . 10)3 = ... 3 . 103 = ... . 1000 = .. . o
= 24 . 1 4 =16 . 1 oooo
= 160 ooo
d) (85. 65) : 245 = (....... )5 : 245 = ... 5 : 245 = ( ... : 24)5 = ... 5 = .. . • (6 6 . 5(,) : 156 =
(6 . 5)6 : 156 =
3 3
e) (363 : 93). 253 = ( ... : ... ) 3 . 25 3 = ... 3 . 25 3 = ( .. .. 25) = .. . = .. . = 306 : 156 = (30 : 15)6 = 26 = 64

f) (542: 32): 22 = ( ... : ... )2: .. . 2 = ... z : ... z = ( ... : ... )2= .. . z = .. .

33
 3 OPERACIONES
CON POTENCIAS
a Producto de potencias de la misma base
Al multiplicar dos potencias del mismo número, se obtiene otra potencia de
dicho número.
4 3 4 7
1 54 · 53 = (5 · 5 . 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 57 5 · 5 = 5 +3 = 5
4 Vtct"S 3 vec,s
Observa que el exponente del producto final es la suma de los exponentes de los
factores.

multiplicar dos potencias de la muma } a"' . a" = a"'. n ]

~ ase, se deja la base y se suman los exponentes_. __

a Cociente de potencias de la misma base

~ anoynedurnclo n.e:-Gc~Gebra. Recordando las relaciones entre la multiplicación y la división, tenemos que:

- - --- ---
/ Cocle111e de poiencias de la misma base.
54 . 53 = 57 H { 57 : 53 = 54 57 : 53 = 57-3 = 54
57 : 54 = 53 57: 54 = 57-4 = 53

Observa que el exponente de cada cociente es la diferencia entre el exponente del

dividendo y el exponente del divisor.

a dividir dos potencias de la misma base,- }

am·a" -am- n
_ eja la base y se restan los exponentes. · -

a Potencia de otra potencia

r~ ; :)'l!tdu:idon.esGeoGcb:. · - -]
/ 0Porrncia_de Oll'll porencia. _ _ _
Al elevar una potencia a otra potencia, se obtiene una nueva potencia de la mis-
ma base.
(54)3 = 54. 54 . 54 = 54+4+4 = 54-3 = 512
Observa que el exponente final es el producto de los exponentes de la expresión
inicial.

~
l nnayJcdncnc~on.c:-Í>,: crica
1~ opernclon~ potcnc_ias_. _ _ __
-J Írara elevar una potaicia a otra potencia, se deja }
lla misma base y se multiplican los exponentes.
Para fij ar ideas

2 Completa en cu cuaderno y reduce. Ayudas

a) a3 . a5 = a·.. " ... = a· .. b) a8 : a 5 =a"· - ... = a...
• a3-a3=a3•3=j,
c) (a2)4 = a " ... . = O"' d) (a2)2 = ll ' " . ... = (J " '
(a3)3 = a3 ·3 = ª9

3 Opcrn y reduce a una sola potencia. • x9 : (x3 . x4) = x9 : x7 = x2

a) ª 12: (JI. a,¡) ,. (11 2: (1 "' = (1 '" (ys¡2: (y2. il = iº: I = i
b) (5 3) 3 : (5 4 · 53) = 5,.. : 5,.. = 5.. , (z3 . z5) : (z4 . z2) = ¡, : ¿, = z2
c) (m ' º: 1118) . (111 5 : 111 4) "' m·" • ,,,. .. = 111·"

.34
 Unidad 21
C Potencia de exponente cero
Observa lo que ocurre cuando dividimos una potencia cualquiera, por ejemplo
53, entre sí misma:
• Aplicando la propiedad del cociente 53 : 53 = 53 - 3 = 5º} 5o = 1
• Aplicando el cálculo habitual 53 : 53 = 125: 125 = 1
Así, a 5º le asignamos el valor 1.

otencia cero de un número (distinto de } 0o= ¡ (a "#- 0)7

'._J
----
es igual a uno.

Por ejemplo:
10° = 1 34º = 1

anayaeducacion .es GeoGebra. Operaciones con potencias.

Para practicar

1 Completa en cu cuaderno, como en el ejemplo. 6 Reduce a una sola potencia.

2 5
2 2 a) 52 · 52 b) 3 ·3
• (4,3) =12 =144 }-(4-3)2=42.32
4 • 3 = 16, 9= 144
2 2 c) 10 5 . 10 2 d)a 5 · a5
3 e) m7 • m f)x1- • x!>
a)(3-5) 2 = ... } 6)(4-2) = ... }
32. 52 = .. . .. . 43. 23 = . .. . .. 7 Expresa con una única potencia.
8 5
a) 26 : 22 b) 3 : 3
c)(l2:3) 2 = ... }
2 2 ...
12 : 3 = ... c) 107 : 106 d)aIO: ª6
4
2 Reflexiona y calcula de la forma más sencilla. e) m 5 : m f) :x
2 2
a) 53 • 23 b) 42 • 52 c) 25 •4
8 Reduce a una única potencia.
3 3
d) 203 . 53 e) 16 5 : 8 5 f) 18 : 6 a) (52)3 b) (25)2
g) 21 4 : ?4 3 3
h)35 2 : 52 i) 100 : 50 d) (a5) 3
c) (103)3
3 Calcula. e) (m2)6 f) ,x4)4
a) (2 5 • 35) : 65 b) (6 4 • 34) : 94
9 Reduce.
c) (80 3 : 83) : 53 d) (48 2 : 22) : 62
a) x • x1- • x' b)m 2 • m4 • m·1
2 2 f) (33 . 43) : (203 : 53)
e) (8 2 . 12 2): (6 ·8 ) d) (.\5 : .,J) : x 2
c) (k9 : k5) : k3
4 Calcula y observa que los resultados no coinciden. e) m6 : (m 8 : m4) fl (k2 . (i) : i '
a) (6 + 4)2 b) (5 + 2)3 g) (.~ )5: :l h) mto : (m_;)_¡

62 + 42 53 + z3 j) (x' : x )2
1
i) (k2)6 : (Á3).¡
1 5 Copia en cu cuaderno y sustituye cada casilla por el 10 !!i) Resuelve escas expresiones con oper:icio nes com-
signo «=» 0 «"#-», según corresponda: binadas:
a) (4 + 1)3 0 43 + ¡ 3 b) (4 + 1)3 0 53 b)24-JS: 36_ 22
a) 62 + 22 - 22 + 5
c) (6- 2)4 0 64 - 24 d) ?3 0 (10 - 3)3 c) 1O+ (5 2) 3 : (5 3)2 d) (I0'i : 5'i ) - (2 2 · 22)
e) 102 O 52 . 22 f) 104 O 52 . 22 f) [(7 - 4)-1- (9 - 4) 2]''
2 4 e) [(8 - 5) 2 • (9 - 6) 3] : 35
2
g) 02 : 3)20 12 2: 32 h) 12 : 6 06

35
1 RAÍZ CUADRADA

'
Calcular la raíz cuadrada es hacer la operación inversa de elevar al cuadrado.
b2 =a - fa =b
..EjfilDP~

• 4 2 = 16 /í6 = 4 La raíz cuadrada de 16 es 4.

• 15 2 = 225 ./IT5 = 15 La raíz cuadrada de 225 es 15.

1 . - RAÍZ 1
,[;= b -
r L_ L_ RADICANDO
Se lee: La raíz cuadrada de a es igual a b.
_____ _J

C Raíces exactas y raíces enteras

No lo olvides • Los cuadrados de los números naturales se llaman cuadrados perfectos:
Te conviene memorizar los primeros 12 22 32 42 52 sz 11 z 202
cuadrados perfectos. J,.J,.J,.J,.J,. J,. J,. J,.
12 = 1 102 = 100 l 4 9 16 25 121 64 400
22 = 4 11 2 = 121 La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es una raíz exacta.
32 = 9 12 2 = 144 Por ejemplo, son raíces exactas las siguientes:
4 2 = 16 13 2 = 169
Juí = 11 v'400=20
52 = 25 14 2 = 196
6 2 = 36
• Sin embargo, para la mayoría de los números, la raíz no coincide con una can-
15 2 = 225
tidad exacta de unidades enteras.
7 2 = 49 162 = 256
Busquemos, por ejemplo, la raíz de 40:
8 2 = 64 172 = . ..
9 2 = 81 182 = .. . 2
6 = 36 < 40} [4o La raíz cuadrada de 40 es un
6< <
7
7 2 = 49 > 40 número comprendido entre 6 y 7.
Al número narural que más se aproxima, por debajo, a la raíz, lo llamamos raíz
entera.

./4o = 6 La raíz entera de 40 es 6.

1 Teniendo en cuenta los datos del recuadro, completa en ru cuaderno: Ayudas

a) ./f75 = 13 Raíz entera

122 = 144
2
• 12 = 144 /144 = 12 Raíz exacta
b) ./200 .. . ... 13 2 = 169 • ff50 = 12 Raíz entera
2
14 = 196 2
c).ffB . .. .. . • 13 = 169 /f69 = 13 Raíz exacta
15 2 = 225
d) /250 ... ... 2
16 = 256
• ./230 = 15 Raíz encera
 Unidad 21
CI Cálculo de la raíz cuadrada por tanteo
Con lo que ya sabes, puedes calcular raíces mediante el canteo. Esca técnica re
ayudará a aclarar ideas y a fijar el concepto. Más carde aprenderás otras técnicas
más rápidas.

~EjemQ.I.Q..
Calcular, por tanteo, J3 900.
2
60 = 3 600 <3 9001
2 2
6: 2 = ~ < ~ Como ves, 3 900 es mayor que 62 y menor que 63 .
2 3 8 4 39 0
63 2 = 3 969 > 3 900

Por tanto: 62 <J3 900 < 63

139001
La raíz cuadrada de 3 900 es un 62 2 .J, 632
número comprendido entre 62 y
63.
La raíz encera de
3900 es 62.
3844

62
•
.J,
3969

63

Para practicar

1 Copia y completa, como en el ejemplo. 5 Calcula, teniendo en cuenca los resultados del ejerci-
cio anterior.
• ./E= 5 - Laraízde25esiguala5.
a)./289 b)./361 c)
a) ./49 = 7 - ...
d)./576 e)./676 f) J84f
b)./64= ... - .. .
c) ./8f = ... - ... 6 Observa el cuadro y calcula indicando si la raíz es
exacta o entera.
d) = . .. - . . .
50 2 = 2 500 5 12 = 2 601 52 2 = 2 704
2 Calcula mentalmente. 53 2 = 2 809 54 2 = 2 9 16 552 = 3 02 5
a) ./4 b) ./9 c) .{36
a) b) c)
d)./400 e)./900 f) 600
d) e) J2 9 16 f) J2 929
g) h) J8100 i) JJo ooo
7 Calcu la por ta nteo.
3 Calcula la raíz entera en cada caso:
a) ./96 b) JTso c) .ffo6
a) ./5 b)/iü c) ./24
d) Jí521 e)J68TG f) /io8í6
d)./32 e) ./39 f)
8 Resuelve.
g) ./68 h) ./92 i) /JOS
a) - !TTio+./Sf
4 Escribe en cu cuaderno los cuadrados perfectos com-
prendidos entre 200 y 900.
¡52 16 2 172 18 2 302 e) J4.3 _ zs- +7
1324] ¡9001 d)(8 - 6) 6 :Í44
1225 1 12561 [2891

[~ 1 nayacducacion.es Practicad cálculo de la raíz =ta. 37

 4 RAIZ CUADRADA

' D Algoritmo para el cálculo de la raíz cuadrada

Para calcula.r m n l.lpix y papel una míz cuadrada , sigue lo~ puos ti uc
a continuación.
_fjl!Jnplo
\!,unos,, rnlcular JI 05 674:
CD Separamos de dos en dos, desde la derecha, las ci fras del
di-,c ríllf.'n

radi ca ndo, y calc ula-

mos la raíz del paquete de la i1.quicrda (~ ) .
JO . 56. 74 3 +-- A A• /iO • 3 y deja I de rc1to .
3.3 -9 6 +-- B B: Escribimos d d oble de A.

Bajamos d paquete siguiente (56) y buSC1mos la cifra @ de form~ qur

6w x w sea lo más próximo a 156, sin sobrepasarlo.
10. 56. 74 3
- ---
10. 56 . 74
-9 J,.j, 6@ X W -9 62 X 2 • 12/4
1 56 w =2 156
6[1lx[1]= 124
032
® Subimos el valor w= 2 al campo de la solución, bajamos d siguiente paqucri-
(74) y repetimos el proceso.

10 . 56. 74 32 0 ~
. 56 ·1714 :~ X 2 • 124 -9 62 X 2--;/124
156 64~x~ 156 645x5 - 32 25
-1 24 - 124
Utili za la calculadora
32 74 ~ =5 3274
• En algunas calculadoras, la su- 64(3] X (3] = 3 225 - 3225
cesión de.- teclas para calcular 0049
/105674 es: © Subimos el valor = 5 aJ campo de la solución .
105674 .• ,.H).Q'H ..:) So/udó11:
• En ouu. a t.. siguiemc.-:
JI05 674 = 325
:- 105674 • n~.o,r."'
Prueba: 325 2 + 49 = 105674

Para practicar

g Cop ía en m cua.d crno y completa las siguientes raíces 10 Calcula con lápiz y papel )', después., comprueb• con
resudta.s mcdi:ance d aJgorírmo: la calculadora.

~- · 000
6 CTx IT
2 7 3 8

2 3 8
20._
102 X 2
a) /1444
d)
b)
e) Jf<iT64
11 Obrén con ayuda de la a lruladora.

a) h 936 b) /ios6s
e) .ff94. 5
f) ./f2<, -

e) , 1~S,

38
 de esta unidad
. ar el matenal de traba 1o
Recuerda se\ecc1on
para tu portfo\lo.
Unidad 2
~EIICICIOS l PROBLEM~S

Cálculo de potencias 12 En un kilómetro hay 103 = 1 000 metros, y en un

11111111]

metro hay 10 2 = 100 centímetros.

1 ,dJ Calcula mentalmente.
Expresa, de la misma forma , los centímetros que hay
a) 24 b) 63 c) 35 d) 20 4 e) 30° en un kilómetro.
2 ,dJ Copia en cu cuaderno y completa. 13 Redondea a la centena de millar y escribe abrevia-
11111111]

a)D 3 =8000 b)D 2 =4900 damente con el apoyo de una potencia de base 10 el
número de habitantes de cada una de estas ciudades:
c) D 4 = 10000 d)D4 = 160000
CASABLANCA: 5 899 000 PARÍS: 10858000
3 odJ Calcula el exponente en cada caso: PEKÍN: 21 009 000
SAN FRANCISCO: 5 929 000
a) 2x = 256 b) IOX = 10000
c) r = 2401 14 111111111 Ordena, de menor a mayor, estas cantidades:

8 · 10 9 117.107 1 198. 106 I

4 ,dJ Calcula con lápiz y papel.
1010 1 1 16. 10 8 1 1 9. 109 1
a) 55 b) 95 c) l 1 º d) l 53 e) 164
15 111111111 Escribe en la notación abreviada, con ayuda de
S ,dJ Obtén con la calculadora.
una potencia de base 1O.
a)4 12 b)5 1º c)45 3 d)6?4 e) 99 3
a) Ocho mil quinientos millones.
6 ,dJ Escribe codos los cuadrados perfectos comprendi- b) Dos billones, trescientos mil millones.
dos entre 1 000 y 1 500. c) Cuatro trillones, novecientos mil billones.

--
7 ,dJ Copia y completa en cu cuaderno.
. ,'," . 1
Operaciones con potencias
16 ,dJ Calcula.
'' 3
a) 72 - 62 + 52 - 42
16 ,'
' " \'
b) (5 - 4 + 2 - 1) 3
1
1000 '
' ¡ c) (10- 6) 2 - (10 - 8)3
' 16
d) 34 - (5 - 3) 2 - (2 3)2
'\ ' - - I l e) (13-3) 2 · (7 + 3) 2 + (15 - 5) 2 • 10

17 ,dJ Calcula de la form a más sencilla.

Potencias de base 10. Expresión abreviada
de números grandes
a) g2 . 52 b) 26 . 56 c) 25" • 43
d) 65 : 3 5 e) 15 3 : 53 f) 20·1 : 54
8 ,dJ Escribe con rodas sus cifras.
a) 102 b) 106 c) 1010 d) 1012 e) 1016 18 ,dJ Reflexiona sob re estos en unciados y rradú-
celos a igualdades o desigualdades mar.cmáricas:
9 ,dJ Escribe como potencia de base I O. a) Potenci a de un produ cto. H Producto de las po-
a) Cien. b) Cien millones. tencias de los factores.
d) Cien mil billones. b) Potencia de una suma. H Suma de las potencias
c) Cien billones.
de los sumand os.
10 ,dJ Expresa con rodas sus cifras. c) Producto de potencias de igual base. H La m isma
a) 13 . 10 7 b)34. 10
9 c) 62 • 10 11
base elevada a la suma de exponentes.

11 odJ Transforma como el ejemplo. d) Po ten cia de potenci a. H La misma base elevada al
producto de los expo nentes.
• 180000 = 18. 104
e) Potencia de expo nente cero. H Uno.
c) 4000000000
a) 5000 b) 1700000

39
11
~.
EJERCICIOS YPROBLEMAS

19 .c1J Reduce estas expresiones: 27 IIIIIC] Pon los exponentes en tu cuaderno y calcula.
a) x 8 :
x3 b) m4 • m 2 a) Monrse tiene una caja con muchos cubitos de go-
d)x5 • x5 e) (m3)2 ma de 1 cm de arista. Y con ellos construye tres
cubos iguales de 3 cm de arista.
20 IIIIICl Copia en tu cuaderno y sustituye cada asterisco
por el exponente que corresponda. Número de cubitos usados: = .. .
4
a) 6 · 63 = 6* · b) a 5 . a3 = a*
c) m3 · m* = m 9 d) 26 : 24 = 2*
9
e) a : a8 = a* f) m 8 : m* = m6 b) Un hortelano planta lechugas en una parcela de su
g) (42) 3 = 4* h) (a2)2 = a* huerta. Las distribuye en 25 surcos y en cada surco
,,,;___ pone 25 lechugas.
i) (m4)* = m 12 j) (x*)2 = xl2
21 ..- Calcula. \,
Número de lechugas: = .. .
a) 18'4 : (24 . 34) b) (3 5 · 3 3) : 3 6
c) (15 4 : 3 4): 52 d) (45)2 : (47 : 43) c) Un camión de reparto lleva 6 palés de cajas de
e) (6 2 • 6 5) : (63 . 64) f) (40 7 : 57) : (2 5 . 4 5) leche. En cada palé van 36 cajas, y en cada caja,
6 tetrabriks de litro.
22 ... Reduce a una sola potencia.
a) (a7 : a) • a3 b) (x9 : x4) : x3 Número de litros: 6° = .. .
c) (m2)5 : (m3)2 d) (a5)3 : (a4)3
e) (x3 · x7) : (x • x') f) (m 5 : m 4) • (m 4 : m3) Raíz cuadrada
28 .c:rJ Calcula, por tanteo, la raíz exacta o la entera.
23 .c1J Ejercicio resuelto
·Redw:ir a una sola potencia y, después, calcular:
a) ,/9o b) Jw c) JI 785
210 :4" 29 IIIIIC] Resuelve con la calculadora.
210: 44 = z10: (22)4 = 210: 2B = 22. = 4 a)/655 b) JI024 c) JI 369
1 24 .... Copia, sustituye cada ·asterisco por el número
d) J4225 e) Jr2664 f) J33 856

adecuado y, finalmente, calcula. 30 IIIIICl Copia en tu cuaderno los cuadrados perfectos.

a) z12: 45 = 212: (2*)5 = 212: 2* = 2* = ... 1000 1225 1600 1724 1601 2464
b) 3 6 : 9 2 = 3 6 : (3*) 2 = 3 6 : 3* = 3* = .. . 3364 3540 3773 3844 4000 5625
c) 25 3 : 54 = (5*) 3 : 54 = 5* : 54 = 5* = .. . 31 IIIIICl Copia en tu cuaderno y sustituye cada casilla por
d).16"4 : 45 = (4*)'4 : 4 5 = 4*: 4 5 = 4* = .. . el signo «=» o por el signo «,o», según corresponda.
25 .... Copia, sustituye cada asterisco por el número a) 2 · v'9 O v% b)3· /40./TI
adecuado y, finalmente, calcula. · ·
c)5 · d)/4 · 10
a) (5 5 • 53) : 25 3 = (5 5 • 53) : (5*) 3 = ...
b) (23 . 42) : 8 = [23 . (2*)2] : 2* = [2 3 • 2*] : 2* = .. . e) v'9 . v'9 m f)/4 - /40 "16
c) (34 . 9 2) : 272 = [34 • (3*)2] : (3*) 2 = [34 · 3*] : 3* = . . . 32 • Apoyándote en el concepto de raíz cuadrada. se
puede decir que:
Expresa y calcula 2
26 ....a:J Un restaurante ofrece en su carta nuc:ve prime- = b2 =a
' ros platos, nueve segundos y tres postres. Expresa con Teniendo en cuenta lo anterior, resuelve.
una potencia y calcula el número de menús diferentes
que se pueden elegir. a) b) (/2)4 +(13)2 -5°
 Unidad 2

Resuelve problemas 37 • Obsc:rva d cubo Je la iluma.ción formado por

5 X 5 x 5 cubitos unitarios.
33 • JJ Problema resuelt o
Decide los pasos Interm edios. é.Qué datos aún no
c:o noces pero necesitas para llegar a la solución?
Marta ha comprado cinco pliego, con cuarenta ¡,e-
gatlruu cada 11110 y ha decorado el cubo pequeño.
¡Le quedan n,ficiente, pegatinas para decorar de la
minnt1 forma el cubo grander a) Supón que lo pintamos de rojo. ¿Cuántos cubitos
unitarios habrían quedado parcialmente pintados?

b) Supón que lo queremos hacer más grande, recu-

briéndolo completamenre con una capa de cubitos
verdes. ¿Cuántos cubitos verdes necesitaríamos?
• ¿Cuántas pega tin as co mpró?
38 11111(] ¿Cuántos padres y cuántas madres tenían entre
Co mpró 5 X ff0 = 200 pega tinas.
todos tus tatarabuelos?
• ¿Cuántas usó para el cubo pequ ef10?
En el cubo pequeño usó 6 • 3 2 = •. . pegatinas.
• ¿Cuántas pegatinas le quedan?
Le quedan 200 - ... = . .. pegatin as.
• ¿Cuántas necesita para el cubo grande?
Para el cubo gra nde neces ita .. .
Cop ia y completa la resolución en tu cuaderno y escri-
be la solució n .

34 .:[] ¿Cuáles son las dimensiones del mayo r suelo cua-

drado que se puede cubrir con 200 baldosas cuadra-
das de 20 cm de lado, sin partir ninguna? ¿Cuántas
baldosas sobran?
35 .:!1 Marcos ti ene un a bolsa co n 50 dados de made- Problemas ((+»
ra de I cm de ari sta. ¿Cuál es la arisca del mayor cu-
bo qu e pued e co nstruir co n ell os? ¿Cuántos dados 39 • Alberto les cuenta un cotilleo a Nacho y '>a ra.
sobran? Diez minutos después, Nacho se lo ha conrado ~., J

36 .,. 1 Una finca cuad rada tiene 900 metros cuadrados Raquel y a Marta; y Sara, a Rosa y a l',1blo.
de superfi cie. ¿Cuá ntos metros lineales de alambrada Pasados otros diez minutos, cada un o de nro ul11
habría que comprar para cercarla? mos se lo ha contad o a otras dos pcr\ona.s
Si la difusión del cotilleo ,igue .1J ml\mo rnn10
¿cuántas personas lo sabrán una hora de;pu t", Je ,¡u,
se enteraran Nacho y Sara ?

40 .... El suelo de una habitaci ón cuad radJ rna enlu

sado con 484 baldosas de 15 cm de lado. \on rr,JJ\
blancas, excepto las que están a 15 Lm de la pared
que forman un marco decorati vo de rnl or ro jo.

¿Cuántas baldosas rojas hay en ese suelo ?

41
- 11\llR DE MlltM~TICAS

LEE E INFÓRMATE

OIIOE!olf'.S Números en las computadoras

DE UNIDADES
21 ' 2~ 1 Ya sabes que nosotros, para ocribir los números, UliJiz.a-
J1 21 ~ '
mos d sistema decimal, con diez signos, del O al 9.

rPªªrL
a
1
,,
¡
Los ordenadores y las calculadoras. en su lenguaje in1erno,
escriben los números en d si.nema binario; a deci r, uriJi-
zando solo dos signos, d O y d l.
l.;.I l o 1 o ¡r • Esrudia y completa las tablas en ru awkmo, siguiendo
ID r la lógica de las primeras filas.

o
o o m ¡
1 Cuando hayas terminado, habris uaducido al s~e,em~
l O
El J binario los primeros quince números naruralcs.

u ;-º--,-__,_-t-º- , m
m 1 I I 1 t
;
•
La computación, y en general las nuevas tecnologíu ,
son un ámbito de aplicación de las matemáticas co n di-

...
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Nálneros Impares, cuadrados y cubos [i)

El mundo de 1m números pTCSCnta múltiples relaciones, algunas tan sorprendentes que
paraxn toadas por la magia- Como ejemplo, e.e mostramos las siguicmes:
.. Cualquier númao C1ladr.ido se puede apresar como suma de unos cuantos de los prime-
- oúmaus impares.
• Según csro, alada:
a) La auna de los IÍctc primeros números impares.
S,zl+3+5+7+9+11+13
b) La suma de los diez primeros números impares (S10).
• e:C6mo caku1arias. de furma cipida y sencilla, la suma de los
cien primcml impara?
S11111 • 1 + 3 + 5 + ••• + 199

.. f.n la 111111& de loa númam impans. mcontnmos la suma de los números cúbicos.
6-4
r,

1 • •
ffl+CI::i:])•l7 • 9 • 11!•111 •IS• 17 + 19)•~
at 2' s• "'
• ~ q u i potd6rl de la 111111a amaior has & tomar para obttncr 51 • 125.
 Unidad 2

....
ENTRÉNATE RESOLVIENDO OTROS PROBLEMAS

Pon ejemplos, manipula, tantea

• Tengo tres cajas idénticas. Una contiene caramelos de
naranja; otra, caramelos de limón, y la tercera contiene
una mezcla de caramelos de naranja y de limón. Están
etiquetadas con estas referencias, pero ninguna caja lleva
la etiqueta que le corresponde. • Divide cada figura en cuatro partes, rodas ellas de igual
forma y tamaño.
NN Solo caramelos de naranja.
LL Solo caramelos de limón.
NL Caramelos de naranja y de limón.
Raquel dice que si me da una caja y yo saco un caramelo
y se lo enseño, puede adivinar el contenido de rodas las
cajas. ¿Está en lo cierto? Explica cómo lo consigue.

anayaeducacion.es Resoluciones de estos ejercicios.

1 Expresa en forma de potencia. 6 Calcula por el camino más corto.

a) 5 · 5 · 5 · 5 b) 10 · 10 · 10 a)2 4 - 54 6)18 3 : 93
c) a • a • a • a • a d)m • m 7 Copia y completa en ru cuaderno.
2 Calcula. a)x 3 -y 3 =(0 - 0) º b)x 4 : i = (0 : 0) 0
a) 26 b) 53 c) 72 d) 106 8 Reduce.
a) (x 5 • x 2) : x 4
3 Copia y completa en ru cuaderno.
9 Copia en tu cuaderno y completa.
a)2º =8 6)5º =125 c)0 2 =81 d)0 4 =81
a) /36 =0 b)#OO= O
4 Copia y completa esta tabla en ru cuaderno :
d)U =3 e) G =s =,
n ,L_ =3o
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS
10 Calcula con lápiz y papel la raíz cuadrada entera de
La potencia de un producto es igual al (a . b)" =a" . 11' 2 920. D espués. comprueba con la cal culadora.
producto de las potencias de los factores.
11 Ál varo dibuja u es cuadrados: uno de 5 cm de lado .
La potencia de un cociente es igual al co- otro de l 2 cm de lado y el tercero de 13 cm de la-
ciente de las potencias del dividendo y do. Despué.s, colorea de ro¡o lm dos primeros y de
del divisor.
verde el úlümo. ¿Qué ruperficie es mayo r, la verde o
Para mulá plicar dos potencias de la mis- la ro¡a?
ma base, se suman los exponentes.
12 ,Cuántos dados de madera , de 1 cm de arisca, hay
Para dividir.. . a"' : a" = a"' -• en 1O paq uetes co mo el que ves en la ilustració n?

Para elevar una potencia a otra potencia . ..

5 Reduce a una sola potencia.

a) a3 . a2 b) x5 : x 4 c) (a3)4

Visualiza el vídeo meta 1.5., piensa en una acción con l.i que podrías
Compromiso t::::l contribuir al logro de esa meta y com~ érere a 1='1.i a cabo.
43