Una sucesión es una lista ordenada de números.

Por ejemplo,

2, 5, 8, 11, 14, . . . (1)

3, 6, 12, 24, 48, . . . (2)

son ejemplos de sucesiones. En la sucesión (1), el primer término es 2, el segun-

do término es 5, etc. Puede observarse que cada término se obtiene sumando 3 al
término anterior. En la sucesión (2), el primer término es 3 y el cuarto es 24, y cual-
quier término puede obtenerse duplicando el anterior. Sucesiones de estos tipos apa-
recen en muchos problemas, en particular en matemáticas financieras.
Una sucesión es finita si contiene un número limitado de términos, es decir,
si la sucesión tiene un último término. Si no hay un último término en la sucesión,
se denomina sucesión infinita. Los términos de una sucesión se denotarán por T1,
☛ 1. Para la sucesión 1, 1, T2, T3, etc. Así, por ejemplo, T7 denotará al séptimo término, T10 al décimo y Tn al
2, 2, 3, 3, 4, 4, ¿cuáles son n-ésimo término. El n-ésimo término de una sucesión por lo regular se conoce co-
T2 y T5? ¿La sucesión es finita? mo el término general. ☛ 1

7-1 PROGRESIONES ARITMÉTICAS E INTERÉS SIMPLE

Supóngase que el señor Muñiz pide al banco la cantidad de $5000 a un interés del
1% mensual. Él está de acuerdo en pagar $200 al capital cada mes, más el interés
en el balance. Al final del primer mes, paga $200 más el interés de $5000 al 1%
mensual, que son $50. En consecuencia, el primer pago es de $250 y sólo le debe
$4800 al banco. Al término del segundo mes, paga $200 al capital más los intereses
sobre $4800, los cuales son de $48 al 1% mensual. Por tanto, su segundo pago es de
$248. Continuando en esta forma, sus pagos sucesivos (en dólares) son

250, 248, 246, 244, . . . , 202

Esta sucesión es un ejemplo de una progresión aritmética.

DEFINICIÓN Una sucesión se dice que es una progresión aritmética (PA) si la

diferencia entre cualquier término y el anterior es la misma a lo largo de toda la su-
cesión. La diferencia algebraica entre cada término y el anterior se denomina dife-
rencia común y se denota por d.
La sucesión de pagos del señor Muñiz es una PA porque la diferencia entre
cualquier término y el anterior es 2. Esta PA tiene 250 como su primer término y
2( 248  250) como su diferencia común. De manera similar,

2, 5, 8, 11, 14, . . . ,

es una PA cuyo primer término es 2 y con diferencia común 3.

Si a es el primer término y d es la diferencia común de una PA, los términos
sucesivos de la PA son

Respuesta 1 y 3. Sí. a, a  d, a  2d, a  3d, . . . .

266 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS

 El n-ésimo término está dado por la fórmula

Tn  a  (n  1)d (3)

Por ejemplo, haciendo n  1, 2 y 3, encontramos que

T1n a  (1  1)d  a

T2n a  (2  1)d  a  d

T3n a  (3  1)d  a  2d

De manera similar, se pueden obtener otros valores.

La ecuación (3) contiene cuatro parámetros, a, d, n y Tn. Si se dan cualesquie-
ra tres de ellos, podemos calcular el cuarto.

EJEMPLO 1 Dada la sucesión

1, 5, 9, 13, . . .
calcule: a) el décimo quinto término; b) el n-ésimo término.
Solución La sucesión dada es una PA porque
5  1  9  5  13  9  4
En consecuencia, la diferencia común, d, es 4. También, a  l.
a) Usando la ecuación (3) con n  15,

Tn15  a  (15  1)d  a  14d  1  (14)(4)  57

☛ 2. Para la PA –3, 0.5, 2, . . . ,
determine una fórmula para el b) Tn  a  (n  1)d  1  (n  1)4  4n  3
n-ésimo término y calcule
el término 11°. Por tanto, el quinceavo término es 57 y el n-ésimo término es 4n  3. ☛ 2

EJEMPLO 2 (Depreciación) Una empresa instala una máquina con un costo de

$1700. El valor de la máquina se deprecia anualmente en $150. Determine una
expresión para el valor de la máquina después de n años. Si el valor de desecho es
de $200. ¿Cuál es el tiempo de vida útil de la máquina?
Solución Ya que el valor de la máquina se deprecia $150 cada año, su valor al tér-
mino del primer año, el segundo, el tercero, etc., será

1700150, 17002(150), 17003(150), . . .

o bien,

1550, 1400, 1250, . . .

Esta sucesión de valores forma una PA con primer término a  1550 y diferencia
común d  1400  1550  150. En consecuencia, el n-ésimo término es
Respuesta Tn  2.5n – 5.5;
T11  22 Tn  a  (n  1)d  1550  (n  1)(150)  1700  150n

SECCIÓN 7-1 PROGRESIONES ARITMÉTICAS E INTERÉS SIMPLE 267

 Esta cantidad Tn da el valor de la máquina en dólares al término del n-ésimo año.
Estamos interesados en el valor de n cuando se haya reducido al valor de dese-
cho, puesto que esto da la vida útil de la máquina. Así que, hacemos Tn  200 y
despejamos n.

1700  150n  200

☛ 3. Una PA con 25 términos 150n  1700  200  1500
tiene primer término 100 y último
término 28. Encuentre una expre- 55n  10
sión para el término general y
calcule el término de en medio. La vida útil de la máquina es de 10 años. ☛ 3

EJEMPLO 3 Los pagos mensuales que Alicia efectúa al banco por un préstamo for-
man una PA. Si sus pagos sexto y décimo son de $345 y $333, respectivamente, ¿de
cuánto será su décimo quinto pago al banco?
Solución Sea a el primer término y d la diferencia común de los pagos mensuales
de la PA. Entonces, los pagos sucesivos (en dólares) son

a, a  d, a  2d, . . .

Dado que los pagos sexto y décimo (en dólares) son de 345 y 333, T6  345 y T10 
333. Usando la ecuación (3) para el n-ésimo término y los valores dados de T6 y T10,
tenemos

T6  a  5d  345
T10  a  9d  333

Restamos la primera ecuación de la segunda y simplificamos.

4d  333  345  12

d  3

Sustituyendo este valor de d en la ecuación para T6, obtenemos

a  15  345 o a  360

Ahora

T15  a  14d  360  14(3)  308

Por tanto, su décimo quinto pago al banco será de $308.

Interés simple
Sea P una cantidad de dinero invertida a una tasa de interés anual del R por ciento.
En un año, la cantidad de interés ganada está dada (véase la página 68) por

Respuesta Tn  103 – 3n; el término

 
R
IP 
de en medio es T13  64 100

268 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS

 Si la inversión es a interés simple, entonces, en años sucesivos el interés sólo se paga
sobre el capital P y no sobre los montos de interés generados. Así que se agrega una
cantidad constante I a la inversión al final de cada año. Después de 1 año el valor
total es P  I, después de 2 años es P  2I, y así sucesivamente. La sucesión de va-
lores anuales de la inversión,

P, P  I, P  2I, P  3I, ...

forman de esta manera una progresión aritmética, cuyo primer término es P y con
diferencia común I. Después de t años el valor está dado por P  tI.

Interés simple:
Valor después de t años  P  tI, IP 
R
100 

EJEMPLO 4 (Interés simple) Se invierte una suma de $2000 con interés simple a
una tasa de interés anual del l2%. Encuentre una expresión para el valor de la inver-
sión t años después de que se realizó. Calcule el valor después de 6 años.
Solución Aquí P  2000 y R  12. Por tanto, la cantidad de interés anual es

 
12
I  2000   240
100

Después de t años el interés total agregado es tI  240t, de modo que el valor de la

inversión es
☛ 4. Una suma de $400 se in-
vierte a interés simple de 8% anual. P  tI  2000  240t
Encuentre el valor después de t
años. Después de 10 años, ¿cuál es Después de 6 años, este valor es
el valor y cuánto interés total se ha
devengado? 2000  6(240)  3440 dólares. ☛ 4

Suma de n términos de una PA

Si a es el primer término y d es la diferencia común de una PA, la sucesión es

a, a  d, a  2d, ...

Si la sucesión consta de n términos y si l denota el último término (esto es, el

n-ésimo término),

l  a  (n  1)d (4)

El penúltimo término será l  d, el antepenúltimo término será l  2d, etc. Si Sn de-

nota la suma de estos n términos,

Sn  a  (a  d)  (a  2d)      (l  2d)  (l  d)  l

Si escribimos esta progresión en orden inverso, la suma es la misma, de modo que

Respuesta $(400  32t) $720,
$320 Sn  l  (l  d)  (l  2d)      (a  2d)  (a  d)  a

SECCIÓN 7-1 PROGRESIONES ARITMÉTICAS E INTERÉS SIMPLE 269

☛ 5. En una PA finita, demuestre Sumando los dos valores de Sn, obtenemos
que el promedio de todos los
términos es igual al promedio del 2Sn  [a  l]  [a  d  l  d]  [a  2d  l  2d]    
primero y último términos.
 [l  d  a  d]  [l  a]

Hay n términos en el lado derecho y cada uno es igual a a  l. En consecuencia,

2Sn  n(a  l)

o bien,
n
Sn  (a  l) (5)
2
Respuesta El promedio de n térmi-
Sustituyendo el valor de l de la ecuación (4) en la ecuación (5),
nos es igual a su suma, Sn, dividido
entre n. De la ecuación (5), esto es n n
Sn/ n  12 (a  l) Sn   [a  a  (n  1)d]   [2a  (n  1)d] ☛ 5
2 2
Estos valores se resumen en el siguiente teorema.

TEOREMA 1 La suma de n términos de una PA con primer término a y diferencia

común d está dada por

n
Sn   [2a  (n  1)d]
2

También podemos escribir esta fórmula como

n
Sn   (a  l) en donde l  a  (n  1)d
2

EJEMPLO 5 Calcule la suma de los primeros 20 términos de la progresión

2  5  8  11  14    

Solución La sucesión dada es una PA porque

5  2  8  5  11  8  14  11  3

Así, la diferencia común es d  3. También, a  2 y n  20. Por tanto,

☛ 6. Determine la suma de todos
los números pares positivos meno- n
Sn   [2a  (n  1)d]
res que 200 y la suma de todos los 2
números impares positivos menores
20
que 200. S20   [2(2)  (20  1)3]  10(4  57)  610 ☛ 6
2

EJEMPLO 6 (Pago de préstamo) Considere el préstamo del banco al señor Muñiz

Respuesta 2  4  6    por $5000 a un interés mensual del 1%. Cada mes paga $200 al capital más el inte-
198  9900; rés mensual del balance pendiente. ¿Cuánto deberá pagar en total en el tiempo que
1  3  5      199  10,000 está pagando el préstamo?

270 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS

☛ 7. Una PA tiene segundo Solución Como expusimos al inicio de esta sección, la sucesión de pagos es
término 7 y sexto término 15. De-
termine el primer término y la dife- 250, 248, 246, . . . , 202
rencia común. ¿Cuántos términos
se requieren para hacer una suma Éstos forman una PA con a  250 y d  2. Dado que $200 del capital se paga ca-
de 320? da mes, el número total de pagos es n  5000/ 200  25. Por tanto, el último tér-
mino es

l  T25  a  24d  250  24(2)  202

como se indicó antes.

El pago total está dado por la suma de los 25 términos.

n 25
Sn   (a  l)   (250  202)  5650
2 2

La cantidad total pagada al banco es de $5650, lo cual significa que el interés paga-
do será por la cantidad de $650.

EJEMPLO 7 (Pago de préstamos) Un individuo está de acuerdo en pagar una deu-

da libre de interés de $5800 en cierto número de pagos, cada uno de ellos (empe-
zando por el segundo) debiendo exceder al anterior por $20. Si el primer pago es de
$100, calcule cuántos pagos deberá efectuar para finiquitar la deuda.
Solución Dado que el primer pago es de $100 y cada pago subsecuente se incre-
menta en $20, los pagos (en dólares) son

100, 120, 140, 160, . . .

Estos números forman una PA con a  100 y d  20. Indiquemos con n el número
de pagos necesarios con el objetivo de pagar la deuda de $5800. Entonces, la suma de
los n términos de esta sucesión debe ser igual a 5800, esto es, Sn  5800. Usando la
fórmula para la suma de una PA, obtenemos
n
5Sn   [2a  (n  1)d]
2
n n
5800   [200  (n  1)20]   (20n  180)  10n2  90n
2 2
Por tanto,

10n2  90n  5800  0

Dividiendo toda la ecuación entre 10, resulta

n2  9n  580  0

o bien,

(n  20) (n  29)  0

lo que da n  20 o n  29.
Respuesta a  5, d  2; Puesto que un valor negativo de n no tiene sentido, entonces n  20. En con-
16 términos secuencia, deberán efectuarse 20 pagos con la finalidad de saldar la deuda. ☛ 7

SECCIÓN 7-1 PROGRESIONES ARITMÉTICAS E INTERÉS SIMPLE 271

 EJERCICIOS 7-1
(1-4) Encuentre los términos indicados de las sucesiones 21. (Pago de préstamos) Los pagos mensuales de Esteban al
dadas. banco ocasionados por un préstamo forman una PA. Si el
octavo y décimo quinto pagos son de $153 y $181, respec-
1. Términos décimo y décimo quinto de 3, 7, 11, 15, 19, . . .
tivamente, ¿cuál será su vigésimo pago?
2. Términos séptimo y n-ésimo de 5, 3, 1, 1, . . .
22. (Incrementos en los salarios) El salario mensual de Carla
3. El r-ésimo término de 72, 70, 68, 66, . . . se incrementó anualmente formando una PA. Ella ganó
$440 al mes durante el séptimo año y $1160 al mes duran-
4. El n-ésimo término de 4, 413, 423, 5, . . .
te el vigésimo quinto año.
5. Si los términos tercero y séptimo de una PA son 18 y 30,
a) Calcule su salario inicial y su incremento anual.
respectivamente, encuentre el décimo quinto término.
b) ¿Cuál sería su salario de jubilación al completar 38
6. Si los términos quinto y décimo de una PA son 38 y 23,
años de servicio?
respectivamente, encuentre el n-ésimo término.
23. (Pago de préstamos) En el ejercicio 21, suponga que Este-
7. ¿Qué término de la sucesión 5, 14, 23, 32, . . . es 239?
ban pagó un total de $5490 al banco.
8. El último término de la sucesión 20, 18, 16, . . . es 4.
a) Calcule el número de pagos que efectuó al banco.
Calcule el número de términos de esta sucesión.
b) ¿De cuánto fue su último pago al banco?
(9-14) Determine la suma indicada de las siguientes progresio-
nes. 24. (Pago de préstamos) Debe saldarse una deuda de $1800
en 1 año efectuando un pago de $150 al término de cada
9. 1  4  7  10   ; 30 términos
mes, más intereses a una tasa del 1% mensual sobre el
10. 70  68  66  64   ; 15 términos saldo insoluto. Determine el pago total por concepto de in-
tereses.
11. 2  7  12  17   ; n términos
25. (Interés simple) Una persona deposita $50 al inicio de
12. 3  5  7  9   ; p términos
cada mes en una cuenta de ahorros, en la cual el interés
13. 51  48  45  42    18 permitido es de 12% al mes sobre el balance mensual. De-
termine el balance de la cuenta al término del segundo año,
14. 15  17  19  21    55
calculando a interés simple.
15. ¿Cuántos términos de la sucesión 9, 12, 15, . . . es necesa-
26. (Costos de perforación) El costo de efectuar una perfora-
rio considerar de modo que su suma sea 306?
ción a 600 metros es como sigue: se fijan $15 por el primer
16. ¿Cuántos términos de la sucesión 12, 7, 2, 3, 8, . . . metro y el costo por metro se incrementa a $2 por cada me-
deben sumarse de tal manera que la suma sea 105? tro subsiguiente. Calcule el costo de perforar el metro nú-
mero 500 y el costo total.
17. En una PA, si 7 veces el séptimo término es igual a 11 ve-
ces el décimo primer término, demuestre que el término * 27. (Descuento simple) Se pide un préstamo P al banco y debe
décimo octavo es cero. pagarse n meses después en un solo pago A. Si el banco
calcula el pago usando una tasa de descuento simple del R
18. (Pago de un préstamo) Un hombre salda un préstamo de
por ciento, entonces P y A están relacionados por la fórmula
$3250 pagando $20 en el primer mes y después aumentan-
do el pago en $15 cada mes. ¿Cuánto tiempo le tomará li-
 
R n
quidar su préstamo? PA 1   
100 12
19. (Depreciación) Una compañía manufacturera instala una
Un hombre pide prestado dinero al banco que utiliza una
máquina a un costo de $1500. Al cabo de 9 años, la máqui-
tasa de interés simple del l2%. Él pagará la deuda con pa-
na tiene un valor de $420. Suponiendo que la depreciación
gos de $100 al término de cada mes en los siguientes 12
anual es constante, calcule la depreciación anual.
meses. ¿De cuánto debe solicitar el préstamo? (Considere
20. (Depreciación) Si una máquina tiene un costo de $2000 y cada uno de los pagos mensuales A1, A2, . . . como genera-
ésta se deprecia $160 anualmente. ¿Cuál es la vida útil de dos por sus propias deudas iniciales P1, P2, . . . y sume to-
la máquina, si su valor de desecho fue de $400? das las P).

272 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS

* 28. (Descuento simple) La señorita Campos pidió dinero pres- a) Al término de 5 años?
tado de su fondo sindical, que aplica una tasa de descuen-
b) Al cabo de n años?
to simple del 10%. Ella prometió pagar $50 al término de
cada mes en los 24 meses siguientes. ¿De cuánto fue el in- 33. (Depreciación) A menudo el método de depreciación li-
terés total fijado por el fondo del sindicato? neal es inapropiado, porque el bien en cuestión pierde mu-
cho más valor durante el primer o segundo año que en años
29. (Pago de préstamos) Un individuo está de acuerdo en sal- posteriores. Un método alternativo es el de suma de los
dar una deuda de $1800 en cierto número de pagos, cada dígitos de los años. Sea N la vida útil del bien y d la de-
uno de ellos (empezando con el segundo) menor que el preciación durante el año N (esto es, durante el último
previo en $10. Si su quinto pago es de $200, ¿cuántos pa- año). Según este método el monto de depreciación durante
gos serán necesarios de modo que salde la deuda? el año (N  1) es 2d; durante el año (N  2), 3d, y así su-
cesivamente, por lo que la depreciación durante el primer
30. (Bonos de ahorro) El primer día de noviembre de cada año es Nd. Muestre que la depreciación durante el año n es
año, una persona adquiere bonos de ahorro por un valor (N  n  1)d, (n  1, 2, . . . , N), y que la depreciación
que excede los adquiridos el año anterior en $50. Después total durante los N años es D  12 N (N  1)d. (En la prác-
de 10 años, el costo total de los bonos adquiridos fue de tica D debe ser igual a [costo inicial  valor de desecho
$4250. Calcule el valor de los bonos adquiridos: después de N años]; por tanto, d está bien determinado).
a) En el primer año. 34. (Depreciación) Usando el método de depreciación de la
suma de los dígitos de los años (véase el ejercicio 33),
b) En el séptimo año. calcule la depreciación durante el primer año de una
computadora cuyo costo inicial es de $230,000 y cuyo va-
31. (Planes de ahorro) Un sujeto invierte $200 en el fondo de
lor de desecho después de 10 años será de $10,000.
una cooperativa que paga un interés simple del 10% al año.
¿Cuál es el valor de la inversión: 35. (Depreciación) Usando el método de depreciación de la
suma de los dígitos de los años (véase el ejercicio 33),
a) Después de n años? calcule la depreciación durante cada año de una flotilla de
automóviles, cuyo precio de compra es $500,000 y su pre-
b) Al cabo de 5 años? cio de reventa después de 3 años será $200,000.
32. (Planes de ahorro) Cintia deposita $1000 al inicio de ca-
da año en su plan regular de ahorro que gana un interés
simple del 8% anual. ¿De cuánto es el valor del plan (in-
cluyendo el último pago):

7-2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS E INTERÉS COMPUESTO

Suponga que se depositan $1000 en un banco que ofrece una tasa de interés del 10%
capitalizable anualmente. El valor de esta inversión (en dólares) al cabo de 1 año es
igual a

1000  10% de 1000  1000(1  0.1)  1000(1.1)  1100

Si la inversión es a interés compuesto, entonces, durante el segundo año el interés

se paga por la suma total de $1100 (véase páginas 220-222). Por tanto, el valor de
la inversión (en dólares) al término de 2 años es

1100  10% de 1100  1100  0.1(1100)

 1100(1  0.1)  1100(1.1)  1000(1.1)2

SECCIÓN 7-2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS E INTERÉS COMPUESTO 273

 De manera similar, el valor de la inversión al término de 3 años será de 1000(1.1)3
dólares, etc. De modo que los valores de la inversión (en dólares) al término de 0
años, 1 año, 2 años, 3 años, etc., son
1000, 1000(1.1), 1000(1.1)2, 1000(1.1)3, . . .
Observe la diferencia entre este ejemplo y el caso de interés simple analizado en la
sección anterior. Con interés simple, una cantidad constante se añade en cada perio-
do. Con interés compuesto, el valor se multiplica por un factor constante cada periodo
(1.1 en este ejemplo). Esta sucesión es un ejemplo de una progresión geométrica.

DEFINICIÓN Una sucesión de términos se dice que están en una progresión geo-
métrica (PG) si la razón de cada término al término anterior es siempre la misma.
Esta razón constante se denomina razón común de la PG.
De esta manera, la sucesión 2, 6, 18, 54, 162, . . . es una PG porque

6
2  168  5148  156
4  3
2

La razón común es 3.
También, la sucesión 13, 16, 112 , 214 , . . . es una PG con razón común 12.
Cada término de una PG se obtiene multiplicando al anterior por la razón co-
mún. Si a es el primer término y r es la razón común, los términos sucesivos de la
PG son

a, ar, ar2, ar3, . . .

En esta PG, observamos que la potencia de r en cualquier término es uno menos que
el número del término. Así que el n-ésimo término está dado por

Tn  arn1 (1)

EJEMPLO 1 Determine los términos quinto y n-ésimo de la sucesión 2, 6, 18,

54, . . .
Solución La sucesión es una PG debido a que

6
2  168  5148  3

En consecuencia, los términos sucesivos tienen una razón constante de 3; esto es,
☛ 8. Determine los términos r  3. Asimismo, a  2. Por tanto,
sexto y n-ésimo de la PG 3, 6,
12, 24, . . . T5  ar4  2(34)  162 y también Tn  arn1  2  3n1 ☛ 8

EJEMPLO 2 Los términos cuarto y noveno de una PG son 1 y 1

6
2 243 . Determine el
sexto término.
Solución Sea a el primer término y r la razón constante de la PG. Entonces, usan-
do nuestros valores dados, tenemos que

T4  ar3  12 y también T9  ar8  21463

Respuesta T6  96,
Tn  3  (2)n1 Dividimos la segunda ecuación entre la primera y despejamos a r.

274 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS

  16
ar8 243
3  
ar 1
2

r5  214
6
3  1  243  ( 3 )
2 32 2 5

r  23

Sustituyendo este valor de r en la primera ecuación, resulta que

a(23)3  12

Por tanto,

a  12  287  2176

y asimismo
☛ 9. En una PG, T7  2 y T6  ar5  2176 (23)5  2176  23423  29
T11  8. Encuentre una expresión
para Tn y calcule T15 En consecuencia, el sexto término es 29. ☛ 9

En el ejemplo 2 de la sección 7-1 vimos un ejemplo de depreciación, en el que

el monto de la depreciación anual era constante. Este método se denomina deprecia-
ción lineal (también véase la sección 4-3). Un método alterno es depreciar un por-
centaje fijo del valor del año anterior.

EJEMPLO 3 (Depreciación) Una máquina se compró en $10,000 y se deprecia

anualmente a una tasa del 20% de su valor. Determine una expresión para el valor
después de n años. Si el valor de desecho es $3000, ¿cuál es la vida efectiva de la
máquina (i.e., el número de años hasta que su valor depreciado sea menor que su
valor de desecho)?
Solución Ya que el valor de la máquina se deprecia cada año en un 20% de su va-
lor al inicio del año, el valor de la máquina al término de cada año es el 80% o cuatro
quintos del valor al inicio de ese año. Así que, el valor (en dólares) de la máquina al
término del primer año es

4
5 de 10,000  10,000(45)

y al acabar el segundo año es de

4
5 de 10,000(45)  10,000(45)2

De manera similar, el valor (en dólares) al término del tercer año será de 10,000(45)3,
etc. Por tanto, el valor (en dólares) de la máquina al término del primer año, del se-
gundo año, del tercer año, etc., es

10,000(45), 10,000(45)2, 10,000(45)3, . . .

Es claro que esta sucesión es una PG con primer término 10,000(45) y razón común
de 45. Por tanto, el n-ésimo término que da el valor de la máquina al término del n-ési-
mo año es
Respuesta Existen dos respuestas:
Tn  ( 2)n5, T15  32 Tn  arn1  10,000(45)  (45)n1  10,000(45)n

SECCIÓN 7-2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS E INTERÉS COMPUESTO 275

 Haciendo n igual a 1, 2, 3, . . , obtenemos los valores de la tabla 1. En conse-
☛ 10. Vuelva a resolver el ejem- cuencia, observamos que después de 5 años el valor de la máquina es un poco más
plo 3, si la tasa de depreciación es grande que el valor de desecho de $3000, pero después de 6 años, su valor está por
10% anual. debajo del valor de desecho. La vida útil de la máquina es de 6 años. ☛ 10

TABLA 1

n 1 2 3 4 5 6

Tn 8000 6400 5120 4096 3276.8 2621.44

Iniciamos esta sección con un ejemplo de interés compuesto. El caso general

de una inversión que crece a interés compuesto se expuso al final de la sección 6-1.
Si una suma P se invierte a una tasa de interés del R por ciento anual compuesto
anualmente, el valor de la inversión al término del n-ésimo año está dada por la
fórmula
R
Tn  P(1  i)n, i  
100k
Estos valores para n  1, 2, 3, . . . forman una PG. La razón común es r  1  i y
el primer término es a  T1  P(1  i).
En la siguiente sección se darán aplicaciones adicionales relacionadas con
esto.

TEOREMA 1 (SUMA DE n TÉRMINOS DE UNA PG) Si a es el primer térmi-

no y r la razón común de una PG, entonces, la suma Sn de n términos de la PG está
dada por

a(1  rn)
Sn   (2)
1r

DEMOSTRACIÓN Los n términos de la PG dada son

a, ar, ar2, . . . , arn2, arn1

Por tanto, la suma de estos términos es

Sn  a  ar  ar2    arn2  arn1

Multiplicamos ambos lados por r.

rSn   ar ar2   arn1  arn

Sumando estas dos ecuaciones, advertimos que todos los términos se cancelan ex-
cepto el primer término de la primera ecuación y el último de la segunda, lo que da
Respuesta El valor después de n Sn  rSn  a  arn

 
9 n
años  Tn  10,000  . Tn es
10 Factorizamos y despejamos Sn
menor que $3000 después de 12
años. Sn(1  r)  a(1  rn)

276 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS

 a(1  rn)
Sn  
1r
Esto prueba el resultado.
Multiplicando el numerador y el denominador de la ecuación (2) por 1, ob-
tenemos la fórmula alternativa

a(rn  1)
Sn  
r 1

Esta fórmula por lo general se usa cuando r 1, mientras que la ecuación (2) es
más útil cuando r 1.
Observación La fórmula anterior para Sn es válida sólo cuando r 1. Cuan-
do r  1, la PG se transforma en

a  a  a    a (n términos)

cuya suma es igual a na.

EJEMPLO 4 Calcule la suma de los primeros 10 términos de la sucesión 2  4 

8  16  .
Solución La sucesión dada es una PG con a  2 y r  42  2. Aquí n  10.
Por tanto,
a(1  rn)
S n  
1r
☛ 11. Encuentre la suma de los
o bien,
primeros 11 términos de las PG
a) 1  2  4  8  
9 27 2(1  (2)10)
b) 2  3       S10    23(1  210)  23(1  1024)  682 ☛ 11
2 4 1  (2)

EJEMPLO 5 (Planes de ahorro) Cada año una persona invierte $1000 en un plan
de ahorros del cual percibe intereses a una tasa fija del 8% anual. ¿Cuál es el valor de
este plan de ahorros al décimo aniversario de la primera inversión? (Incluya el pa-
go actual).
Solución Los primeros $1000 se invierten a 10 años, de modo que su valor se ha
incrementado a

R 8
$1000(1  i)10, i      0.08
100 100

En consecuencia, el valor es de $1000(1.08)10.

Los segundos $1000 se invierten 1 año más tarde; por lo que permanecerán en
el plan durante 9 años. Por tanto, su valor se incrementa a $1000(1.08)9. Los terce-
Respuesta a) 211  1  2047 ros $1000 estarán en el plan 8 años y tienen el valor de $1000(1.08)8. Continuamos
  
3 11 175,099 de esta manera hasta el décimo pago de $1000, el cual se hizo 9 años después del
b) 4   1  
2 512 primero. Su valor 1 año después es $1000(1.08).

SECCIÓN 7-2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS E INTERÉS COMPUESTO 277

 Así que el valor total del plan al cumplir su décimo aniversario se obtiene sumando
estas cantidades con el pago actual de $1000.
S  1000(1.08)10  1000(1.08)9      1000(1.08)  1000
Al escribir esto en orden inverso:
S  1000  1000(1.08)  1000(1.08)2      1000(1.08)10
Esta es una PG con a  1000, r  1.08 y n  11. Por tanto,

(1.08)11  1
S  1000 
1.08  1

usando la fórmula que da la suma de una PG. Simplificando, tenemos que

1000
S   [(1.08)11  1]  12,500(2.3316  1)  16,645
0.08
☛ 12. Vuelva a resolver el
ejemplo 5, si la tasa de interés
es 10% anual. Así que el valor es $16,645. ☛ 12

La suma de los primeros n términos de la sucesión geométrica

a  ar  ar2  
está dada por

a(1  rn)
Sn   (2)
1r

Consideremos el comportamiento de rn para n grande cuando 1 r 1. Elijamos

un ejemplo específico, sea r  12. La tabla 2 da los valores de rn para diferentes va-
lores de n. De esta tabla, observamos que a medida que n se hace más grande, rn se
hace cada vez más pequeño. Por último, cuando n tiende a infinito, rn se acerca a ce-
ro. Este comportamiento de rn (es decir, que rn se acerca cada vez más a cero a me-
dida que n se hace cada vez más grande) se cumple siempre que 1 r 1. Así
que de la ecuación (2), podemos decir que la suma de un número infinito de térmi-
nos de una PG está dada por

a(1  0) a
S∞    
1r 1r

TABLA 2

n 1 2 3 4 5 6 7

rn 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125

Esto nos conduce al siguiente teorema.

11
(1.1)1
Respuesta S  1000  1.1  1
TEOREMA 2 (SUMA DE UNA PG INFINITA) La suma S de una progresión geo-
 18,531 métrica infinita

278 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS

☛ 13. El decimal recurrente a  ar  ar2  
0.51515151. . . puede expresarse
como la suma de una PG infinita está dada por
como

    
1 2
1 1 3
0.51 1       a
100 100 100 S  , con tal de que 1 r 1 (3)
1r
  
Evalúe esta suma y de aquí exprese En matemáticas financieras, las PG infinitas ocurren en algunas situaciones
el decimal como una fracción. De que incluyen perpetuidad. Un ejemplo sería una anualidad que continúa de manera
forma análoga exprese los decimales indefinida.
1.222222. . . y 0.279279279. . .
como fracciones EJEMPLO 6 Calcule la suma de la sucesión infinita 1  13  19  217  
Solución La sucesión dada es una PG con a  1 y r  13. La suma está dada por

a 1 1  3 ☛ 13
S     
Respuesta 1
7 11  3
1 1r 1  ( 3 )
1 4
3 4
33 , 9 , 111

EJERCICIOS 7-2
(1-4) Encuentre el término específico. (11-17) Calcule la suma indicada de las siguientes sucesiones.
1. El noveno término de la sucesión 3, 6, 12, 24, . . . 11. 2  6  18  54  ; 12 términos

2. El sexto término de la sucesión 3, 3, 33, 9, . . . 12. 3  3  33  9  ; 10 términos
13. 1  2  4  8  ; n términos
3. El n-ésimo de la sucesión 29, 13, 12, . . .
14. 3  1.5  0.75  0.375  ; p términos
4. El p-ésimo término de la sucesión 25, 12, 58, . . .
15. 1  12  14  18  
(5-6) ¿Qué lugar ocupa en la sucesión el último término dado?
16. 1  13  19  217  
5. 96, 48, 24, 12, . . . ; 136
1 1
17. 2      
51
6. 18, 12, 8, . . . ;  2
729 2 22

7. El segundo término de una PG es 24 y el quinto es 81. De- 18. Si y  1  x  x2  x3   (1 x 1), demuestre que
termine la sucesión y el décimo término. y1
x  
8. Los términos quinto, octavo y undécimo de una PG son x, y
y y z, respectivamente. Demuestre que y2  xz. 19. Si v  1/ (1  i), pruebe que
9. Si x  9, x  6 y 4 son los primeros tres términos de una 1
PG, determine x. v  v2  v3    
i
10. En una PG, si el primer términos es a, la razón común r y 20. Pruebe que 91/ 3  91/ 9  91/ 27   3
el último término K, demuestre que el número de términos
en la PG está dado por 21. Evalúe 41/ 3  41/ 9  41/ 27  41/ 81 

ln K  ln a 22. Exprese 0.85555. . . como una fracción. [Sugerencia: Es-

n  1  
ln r criba 0.85555  0.8  0.05(1  0.1  0.01  )].

SECCIÓN 7-2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS E INTERÉS COMPUESTO 279

23. (Depreciación) Una máquina se deprecia anualmente a 32. (Plan de ahorro) Al inicio de cada mes, José deposita
una tasa del 10% de su valor. El costo original fue de $200 en una cuenta de ahorros que gana un interés a una
$10,000 y el valor de desecho de $5314.41. Calcule la vi- tasa del 1% al mes sobre el mínimo balance mensual.
2
da efectiva de la máquina. ¿Cuál es el valor de la inversión después de 2 años (esto es,
con 25 depósitos)?
24. (Depreciación) Un automóvil se compró por $8300. La
depreciación se calcula disminuyendo el valor en 10% pa- *33. (Fondo de amortización) Una compañía requerirá 1 millón
ra los primeros 3 años y 15% para los siguientes 3 años. de dólares exactamente dentro de 6 años con la finalidad de
Encuentre el valor del automóvil después de un periodo de retirar una emisión de obligaciones. Con el objetivo de acu-
6 años. mular tal cantidad, la compañía planea colocar cierta suma
P cada año en un fondo especial (denominado un fondo de
25. (Depreciación) Una máquina se compró en $10,000. La
amortización). La última suma será depositada 1 año antes
depreciación se calcula reduciendo el valor en 8% durante
de que se venzan las obligaciones. Si el fondo ganara un in-
los primeros 2 años y 10% para los siguientes 5 años. De-
terés del 8% anual, ¿de cuánto deberá ser P?
termine el valor después de un periodo de 7 años.
*34. (Fondo de amortización) Alfredo hipoteca su casa que de-
26. (Interés compuesto) Si $2000 se invierten en una cuenta de
berá pagar en un plazo de 5 años. En ese entonces, la deu-
ahorros a un interés del 8% capitalizable anualmente,
da será de $19,500. Alfredo planea guardar cierta cantidad
calcule su valor después de 5 años.
cada mes que invertirá en una cuenta de ahorros que paga
27. (Interés compuesto) En el ejercicio 26, la tasa de interés intereses a una tasa de interés nominal anual del 9%, con
decrece después de 6 años a un 6% anual. Calcule el valor capitalizaciones mensuales. La primera inversión la hará
de la inversión después de 6 años más. de inmediato y la última (la número 61) la hará en la fecha
del pago de la hipoteca. ¿Cuánto deberá guardar cada mes
28. (Interés con capitalizaciones trimestrales) Si $5000 se in-
si tiene que pagar la hipoteca por completo?
vierten en una cuenta de ahorros en que el interés se capi-
taliza trimestralmente a una tasa de interés nominal del 8% *35. (Valor presente de anualidades) Hoy cumple Andrés 65
anual, calcule su valor después de 3 años. años y acaba de recibir de la administración de veteranos
su cheque por $1000. Iguales cheques continuarán llegan-
29. (Interés con capitalizaciones mensuales) Suponga que
do cada día de su cumpleaños por el resto de su vida. Su-
$4000 se invierten a plazo fijo a una tasa de interés nomi-
poniendo que muere a la edad de 75 años, después de reci-
nal anual del 6% con capitalizaciones mensuales. Calcule
bir su undécimo cheque, calcule el valor presente de los
su valor:
cheques recibidos suponiendo una tasa de descuento de
a) Después de 1 año. b) Después de 4 años. 10% (véase página 228).
30. (Interés compuesto) Una persona desea invertir cierta can- *36. (Valor presente de anualidades) Repita el ejercicio 35 su-
tidad de dinero a plazo fijo ganando 10% del interés anual poniendo que Andrés viva hasta la edad de 80 años y una
por un periodo de 4 años. Al término de este tiempo, los in- tasa de descuento de 8%.
tereses provenientes de la inversión se usarán para pagar
*37. (Valor presente de anualidades) La tía Juana recibe una
una deuda de $10,000 que entonces deberá saldar. ¿Cuán-
pensión de vejez de $300 mensual. Suponiendo una tasa
to deberá invertir de modo que tenga lo suficiente para pa-
compuesta de descuento nominal de 12% mensual (véase
gar la deuda?
página 221), calcule el valor presente de 48 pagos siguien-
31. (Plan de ahorros) Cada año María invierte $2000 en una tes de su pensión si el primer pago lo recibirá dentro de un
cuenta de ahorros que gana un interés anual del 10%. mes. También calcule el valor presente de los siguientes 96
Calcule el valor de su inversión al cumplirse el vigésimo y 144 pagos.
aniversario de su primer depósito. (Incluya el pago actual).

7-3 MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Los problemas básicos en matemáticas financieras requieren interés simple y com-

puesto, los cuales se han expuesto en el capítulo 6 y en las primeras dos secciones
de este capítulo. Enseguida describiremos en forma breve algunas otras aplicacio-
nes muy importantes de sucesiones que aparecen en esta área.

280 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS