Capı́tulo 5

Continuidad de Funciones

5.1. Continuidad de funciones definidas entre espacios métricos

5.1.1. Noción de continuidad. Discontinuidad
Definición 5.1 Sean X, Y dos espacios métricos, A ⊂ X, a ∈ A y f una función
de A en Y . Se dice que f es continua en a si, y solo si, para todo entorno G de
f (a) existe un entorno E de a, tal que f (E ∩ A) ⊂ G.

Esta definición es topológica, por lo que se podrı́a haber utilizado para la

misma dos espacios topológicos (X, ) e (Y, ’) en lugar de dos espacios métricos.
Sin embargo, sigue siendo válida en nuestro caso, puesto que todo espacio métrico
es topológico como ya se estudió en el Capı́tulo . La definición se simplifica en
espacios métricos recordando la relación entre bolas y entornos.

Definición 5.2 Sean X, Y dos espacios métricos, A ⊂ X, a ∈ A, y f una función

de en Y . Se dice que f es continua en a si, y solo si, para todo ε > 0 existe un
δ > 0, tal que si para todo x ∈ A se cumple

dX (x, a) < δ

entonces también se cumple

dY [f (x) , f (a)] < ε

Definición 5.3 Si la función f es continua para todo a ∈ A, se dice que f es

continua en A.

Las definiciones 5.2 y 4.3 se pueden relacionar mediante el siguiente teorema,

124 Continuidad de Funciones

Teorema 5.1 Sean X, Y dos espacios métricos, A ⊂ X, a punto de acumulación

de A, y f una función de A en Y . La función f es continua en a si, y solo si,
f (x) −→ f (a) cuando x −→ a, o lo que es lo mismo,

lı́m f (x) = f (a)

x→a

Este teorema implica tres condiciones para la continuidad de la función f en

el punto a: que f (x) esté definida en a, que exista el lı́mite de f (x) en a y que
ambos valores coincidan.

Definición 5.4 Una función f que no es continua en un punto a, se dice que tiene
una discontinuidad o que es discontinua en dicho punto.

Si existiese el lı́mite de f (x) en el punto a pero no coincide con f (a), se dice

que la función presenta una discontinuidad evitable en el punto a. Si el lı́mite de
f (x) no existe, se dice que tiene discontinuidad esencial en a.
El concepto de continuidad definido en esta sección se denomina también
continuidad simple.

5.1.2. Teoremas fundamentales de la continuidad en espacios métricos

Teorema 5.2 (Teorema de Caracterización de la Continuidad).
Sean X, Y , dos espacios métricos, la condición necesaria y suficiente para que la
función f definida de X, Y , sea continua en el punto x ∈ X, es que para toda
sucesión de puntos {xn } de X que converge en x, la sucesión {f {xn }} formada
por los puntos imágenes de la primera sucesión considerada, converja en f (x).

Teorema 5.3 Sean X, Y dos espacios métricos, A ⊂ X, a ∈ A, y la función f

de X en Y . Si la función f es continua en el punto a, se cumple que la imagen
de dicho punto, f (a), pertenece a la adherencia del conjunto formado por todas
las imágenes de A,

A ⊂ X, a ∈ A, f continua en a −→ f (a) ∈ f (A)

Teorema 5.4 La condición necesaria y suficiente para que la función f de X en

Y , sea continua en A es que para todo conjunto A ⊂ Y , tal que A sea abierto, se
cumpla que f −1 (A) sea también abierto, es decir,

∀ A ⊂ Y, A abierto :
−1
f (A) abierto ⇐⇒ f continua
Continuidad de funciones definidas entre espacios métricos 125

Teorema 5.5 La condición necesaria y suficiente para que la función f de X en

Y , sea continua en X es que para todo conjunto A ⊂ Y , tal que A sea cerrado,
se cumpla que f −1 (A) sea también cerrado, es decir

∀A ⊂ Y, A cerrado:
−1
f (A) cerrado ⇐⇒ f continua

Teorema 5.6 Sean f y g dos funciones continuas del espacio métrico X en el Y .

El conjunto A definido por

A = {x ∈ X / f (x) = g (x)}

es un cerrado.

Teorema 5.7 Si f es una aplicación continua del espacio métrico (X, dX ) en el

(Y, dY ), y sobre X se define otra distancia d0X equivalente a dX , f también es
continua de (X, dX ) en (Y, dY ) .

5.1.3. Continuidad uniforme. Propiedades

Definición 5.5 Sean X, Y , dos espacios métricos y f una función de X en Y . Se
dice que f es uniformemente continua en A ⊂ X si, y solo si, para todo ε > 0
existe un δ > 0, tal que si se cumple que para todo x1 , x2 pertenecientes a A

dX (x1 , x2 ) < δ

entonces también se cumple

dY [f (x1 ) , f (x2 )] < ε

Obsérvese que la continuidad uniforme no tiene sentido en un punto como

ocurre con la continuidad simple, sino en un conjunto de puntos.

Teorema 5.8 Toda función f de X en Y , uniformemente continua en A, es sim-

plemente continua en todos los puntos de A.

Demostración. Es casi inmediata a partir de la definición de continuidad uni-

forme y continuidad simple, puesto que de la primera se deduce que existe un
δ que cumple las condiciones de continuidad uniforme para todos los puntos de
A, y por lo tanto existe para cada punto en particular de A. Sean x1 , x2 ∈ A,
entonces dX (x1 , x2 ) < dY [f (x1 ) , f (x2 )] < ε, lo cual es válido para todo punto
de A.
En general, lo contrario no es cierto, es decir, no toda función simplemente
continua es uniformemente continua.
126 Continuidad de Funciones

5.1.4. Funciones lipschitcianas. Propiedades. Teorema del punto fijo

Sean (X, dX ), (Y, dY ) dos espacios métricos y f una función de X en Y.

Definición 5.6 Una función f se dice que es lipschitciana de razón r si se cumple

que existe una constante r > 0 tal que,

dY [f (x1 ) , f (x2 )] ≤ r dX (x1, x2 ) , ∀ x1, x2 ∈ X

La constante r recibe el nombre de constante de Lipschitz.

Ejemplo 5.1 Demostrar que la función g(x) = x2 es lipschitciana en [0, 1].

Sean los puntos a, b ∈ [0, 1] cualesquiera. Entonces se tiene que,

a2 − b2 = |(a − b)(a + b)| = |(a − b)| |(a + b)| ≤ 2 |a − b|

Por lo tanto, g(x) es una función lipschitciana de razón r = 2.

Definición 5.7 Una función de un espacio métrico X en sı́ mismo, lipschitciana

de razón estrictamente menor que la unidad, se denomina contracción,

dY [f (x1 ) , f (x2 )] < dX (x1, x2 ) , ∀ x1, x2 ∈ X

Ejemplo 5.2 Demostrar que la función g(x) = 3−x es una contracción en [0, 1].

Para que sea contracción se debe cumplir que,

3−a − 3−b < |a − b| , ∀a, b ∈ [0, 1]

En efecto, desarrollando en serie,

3−a − 3−b = 1 − a ln 3 + 1 2 2 1 3 3
2! a ln 3 − 3! a ln 3 + ...
1 2 2 1 3 3


− 1 − b ln 3 + 2! b ln 3 − 3! b ln 3 + ...
= −(a − b) ln 3 + 2! 1
(a2 − b2 )ln2 3 − 3!
1
(a3 − y 3 )ln3 3 + ...
= |a − b| |−ln 3| 1 − 2!1
(a + b)ln 3 + 3!1
(a2 + ab + b2 )ln2 3 + ...
1
≤ ln 3 |a − b| 1 − 2! (1 + 1)ln 3 + 3!1
(1 + 1 + 1)ln2 3 + ...
ln 3 ln2 3
= ln 3 |a − b| 1 − 1! + 2! + ... =
= 3−1 ln 3 |a − b| < |a − b|

Por lo tanto, g(x) es una contracción.

Continuidad de funciones definidas entre espacios métricos 127

Teorema 5.9 Toda función lipschitciana es continua uniforme.

Demostración.

f : (X, dX ) −→ (Y, dY ) lipschitciana implica

dY [f (x1 ) , f (x2 )] ≤ r dX (x1, x2 ) , ∀ x1, x2 ∈ X
ε
Considerando δ ≤ , entonces se verifica que,
r
ε
dX (x1, x2 ) < δ ≤ −→
r
ε
dY [f (x1 ) , f (x2 )] ≤ r dX (x1, x2 ) < r =ε
r
siendo, por tanto, uniformemente continua.

Ejemplo 5.3 Demostrar que la función f (x) = x2 es uniformemente continua en

[0, 1].

Ya demostramos en el ejemplo 5.3 que esta función es lipschitciana, por lo

tanto, en virtud del teorema 5.9, f (x) = x2 es una función uniformemente con-
tinua.

Definición 5.8 Sea f una función del espacio métrico X en sı́ mismo. Se dice que
x ∈ X es un punto fijo de f si
f (x) = x

Teorema 5.10 (Teorema del Punto Fijo).

Si X es un espacio métrico completo, toda contracción f definida sobre él admite
un punto fijo y este es único.

Demostración. a. El punto fijo existe. En efecto, para un punto cualquiera

x0 ∈ X, se puede formar la sucesión de términos {xn },

x1 = f (x0 )
x2 = f (x1 )
..
.
xn = f (xn−1 )

la cual es una sucesión de Cauchy, es decir,

∀ ε > 0, ∃ p ∈ N / ∀ n ≥ p, n + i ≥ p,
−→ dX (x1, x2 ) < ε
128 Continuidad de Funciones

Esto se demuestra teniendo en cuenta la forma en que se ha construido la sucesión

y que f es una contracción,
dX (x2 , x1 ) = dX [f (x1 ), f (x0 )] ≤ r dX (x1 , x0 )
dX (x3 , x2 ) = dX [f (x2 ), f (x1 )] ≤ r dX (x2 , x1 ) ≤ r2 dX (x1 , x0 )
hasta llegar
dX (xn+1 , xn ) ≤ rn dX (x1 , x0 )
Aplicando sucesivamente la desigualdad triangular,
dX (xn , xn+i ) ≤ dX (xn , xn+1 ) + dX (xn+1 , xn+2 ) + ... +
dX (xn+i−1 , xn+i ) ≤ rn dX (x1 , x0 ) + rn+1 dX (x1 , x0 ) +
rn+2 dX (x1 , x0 ) + ... + rn+i−1 dX (x1 , x0 )
= rn dX (x1 , x0 ) 1 + r + r2 + ... + ri−1

Utilizando el valor conocido de la suma de una progresión geométrica de razón

menor que la unidad, se tiene que,
i−1
X ∞
X
dX (xn , xn+i ) ≤ rn dX (x1 , x0 ) rj dX (x1 , x0 ) rj
j=0 j=0
1 r
= rn dX (x1 , x0 ) = dX (x1 , x0 )
1−r 1−r
ε(1−r)
log dX (x1 ,x0 )
Tomando ahora n ≤ , se cumple que,
log r
dX (xn , xn+i ) < ε
por lo que la sucesión {xn } es de Cauchy. Al estar considerando un espacio métrico
completo, la sucesión {xn } de Cauchy tiene lı́mite:
∃ x / x = lı́m xn
n→∞

Por lo tanto x = f (x), es decir, x es un punto fijo de la contracción f .

b. El punto fijo es único. En efecto, supongamos que existen dos puntos fijos
para f , α y β, entonces
α = f (α)
β = f (β)
y como f es una contracción,
dX (α, β) = dX [f (α) , f (β)] ≤ r dX (α, β)
lo cual es imposible ya que r < 1. Por tanto, solo existe un único punto fijo.
Continuidad de funciones definidas entre espacios métricos 129

Ejemplo 5.4 Demostrar que la función g(x) = 3−x tiene un único punto fijo en
el intervalo [0, 1].

Ya demostramos en el ejemplo 5.2 que g(x) = 3−x es una contracción en [0, 1].
Además, según el teorema 3.5, todo subconjunto cerrado de un espacio métrico
completo es también un espacio métrico completo. El intervalo [0, 1] es cerrado y
el espacio métrico (R, d1 ) es completo, luego aplicando el teorema 5.10, se puede
asegurar que g(x) tiene un único punto fijo en [0, 1].

5.1.5. Continuidad y compacticidad. Teorema de Bolzano-Weierstrass.

Teorema de Heine
Sean (X, dx ) e (Y, dy ) dos espacios métricos y f una función de X en Y .

Teorema 5.11 (Teorema de Bolzano-Weierstrass). Si A ⊂ X es compacto y f es

continua en A, entonces f (A) es compacto.

Demostración. Consideremos el caso en A = X, ya que cuando A ⊂ X, se

trata de igual forma tomando A como espacio métrico con la distancia conocida
y restringiendo f al conjunto A.
Sea {Pi0 }i∈I un recubrimiento abierto de f (X) con la distancia inducida. En-
tonces se tiene que para todo i ∈ I existe un Pi abierto en Y , tal que

Pi0 = Pi ∩ f (X)

Como se cumple
f (X) ⊂ ∪i (Pi ), i∈I⊂N
entonces
X ⊂ ∪i f −1 (Pi ), i∈I⊂N
y cada f −1 (Pi ) con i ∈ I, es abierto en X al ser f continua, por lo que f −1 (Pi) i∈I


es un recubrimiento abierto de X. Como X es compacto, existe un subrecubri-

miento finito f −1 (P1 ), f −1 (P2 ),..., f −1 (Pn ) de X. Luego P10 , P20 , ...Pn0 es un subre-
cubrimiento finito de f (X) obtenido del recubrimiento inicial y por tanto f (X)
es compacto.

Definición 5.9 Una función definida de A en Y se dice que está acotada en A si

y solo si f (A) es un conjunto acotado de Y .

Teorema 5.12 Sean X, Y, dos espacios métricos, A ⊂ X y f una función de A

en Y . Si A es compacto y f es continua en A, f está acotada en A.
130 Continuidad de Funciones

Teorema 5.13 (Teorema de Heine).

Sean X, Y , dos espacios métricos y f una función continua de X en Y . Si A ⊂ X
es compacto, f es uniformemente continua en A.

Demostración. Supongamos que f no sea uniformemente continua, entonces

existe un ε > 0 tal que para todo n ≥ 1 existen xn , yn ∈ A, tales que se cumple,

1
dX (xn , yn ) < y dY [f (xn, ), f (yn )] ≥ ε
n
Como A es compacto, existe una subsucesión xnk de xn convergente en X, cuyo
lı́mite será x. La subsucesión ynk correspondiente converge también a x pues-
to que dX (xnk, ynk ) ≤ n1k . Al ser f continua , las sucesiones f (xnk ), f (ynk ),
convergen
  y entonces dY [f (xnk ), f (ynk )] → 0, lo cual contradice que
a f (x)
dY f (xn ), f (yn) ≥ ε para todo k ≥ 1.

x2 − x
Ejemplo 5.5 Demostrar que la función f (x) = es uniformemente conti-
x2 + 1
nua en [0, 1].

Por una lado, la función es continua en todo R. Por otro lado, el intervalo
[0, 1] es cerrado y acotado, luego es un subconjunto compacto de R. Entonces, del
teorema de Heine (5.13), se deduce que f (x) es uniformemente continua en [0, 1].

5.1.5.1. Continuidad y conexibilidad. Conexión por arcos

Teorema 5.14 Sean X, Y , dos espacios métricos, A ⊂ X, y f una función de A
en Y . Si A es conexo y f es continua, entonces f (A) es conexo.

Demostración. Como en el teorema 5.11, demostramos el caso en que A = X,

ya que cuando A ⊂ X se sigue el mismo razonamiento.
Supongamos que f (X) no es conexa, para las condiciones del teorema, enton-
ces ∃A1, A2 (abiertos no vacı́os) ⊂ F (X)/A1 ∪ A2 = f (X) y A1 ∩ A2 = ∅.
Al ser f continua se cumple que f −1 (A1 ) Y f −1 (A2 ) son abiertos. Pero f es
una aplicación y además A1 ∩ A2 = ∅, por lo que se cumple

f −1 (A1 ) ∪ f −1 (A2 ) = X
−1 −1
f (A1 ) ∩ f (A2 ) = ∅

Fomando f −1 (A1 ) y f −1 (A2 ) una partición de X compuesta por dos abiertos e

implicando que X no es conexo, lo cual es falso por hipótesis.
Continuidad de funciones definidas entre espacios métricos 131

Ejemplo 5.6 Dada la función del ejemplo 5.5, demostrar el carácter conexo o no
de las imágenes de los siguientes subconjuntos de R,

a. f ({0, 1})
b. f ((0, 1))
c. f ([0, 1])
d. f (N)
e. f (Z)
f. f (Q)

Aplicando en teorema 5.14 la imagen de A será conexa si A es conexo. Entonces,

a. f ({0, 1}) no es conexo.

b. f ((0, 1)) sı́ es conexo.
c. f ([0, 1]) sı́ es conexo.
d. f (N) no es conexo.
e. f (Z) no es conexo.
f. f (Q) no es conexo.

Sea el espacio métrico conexo (R, d1 ) y el espacio métrico (Y, dY ), y una

función f de R en Y .
Definición 5.10 Se define camino o arco sobre Y , y se representa por ([a, b] , f ),
a toda aplicación continua f de un intervalo [a, b] sobre Y .

Definición 5.11 Se denomina trayectoria descrita por el arco ([a, b] , f ) sobre Y al

conjunto f ([a, b]), que será un subconjunto de Y .

Teorema 5.15 La trayectoria f ([a, b]) es conexa.

Definición 5.12 Un espacio métrico (Y, dY ) se dice que es conexo por arcos si se
verifica,
∀ y1, y2 ∈ Y ∃([a, b] , f )/f (a) = y1, f (b) = y2

Teorema 5.16 Todo espacio métrico conexo por arcos es conexo.

Teorema 5.17 Sea A un subconjunto de Y y sea y1 ∈ A, y2 ∈ Ext(A). Si ([a, b] , f )

es un arco tal que f (a) = y1 y f (b) = y2 , la trayectoria f ([a, b]) tiene puntos
comunes con la frontera de A, es decir

f ([a, b]) ∩ F r(A) 6= ∅

132 Continuidad de Funciones

H
G g(G)
E
f(E)
g(f(E))
g
f f(a)
q
a * j
*
* g(f(a))

Figura 5.1: Representación de una función compuesta relativa al teorema 5.19.

Teorema 5.18 Si (X, dX ) es un espacio métrico conexo por arcos y f es una

función continua de (X, dX ) sobre el espacio métrico (Y, dY ), entonces f (X) es
también conexa por arcos.

5.1.5.2. Continuidad de funciones compuestas

Teorema 5.19 Sea X, Y , Z, tres espacios métricos y f , g, dos funciones de X
en Y y de Y en Z, respectivamente. Si f es continua en a ∈ X y g lo es en
f (a) ∈ Y , la función compuesta g ◦ f es continua en a.

Demostración. Sea H un entorno de (g ◦f )(a). Al ser continua g en f (a) existe

un entorno G de f (a), tal que g(G) ⊂ H. Y por la continuidad de f en a existe
un entorno E de a tal que f (E) ⊂ g(G) ⊂ H y g ◦ f es continua en a.

Ejemplo 5.7 Dadas las funciones f (x) = cos x y g(x) = |x|, demostrar que la
función compuesta (g ◦ f )(x) es continua en el origen.

Por un lado, la función f (x) = cos x es continua en x = 0. Por otro, g(x)

también es continua en f (0) = 1. Entonces, aplicando el teorema 5.19, se puede
asegurar que (g ◦ f )(x) es continua en x = 0. Otra forma de comprobarlo es
estudiar la continuidad de la función compuesta construida, es decir, de (g ◦
f )(x) = g(f (x)) = |cos x|.
Continuidad de funciones definidas entre espacios métricos 133

5.1.5.3. Homeomorfismos entre espacios métricos

Definición 5.13 Sean X, Y , dos espacios métricos y f una función X en Y . Se
dice que f es un homeomorfismo si, y solo si, f es biyectiva y tanto f como su
inversa f −1 son continuas.

Los espacios métricos X, Y , con los que se ha definido un homeomorfismo f ,

se dice que son homeomorfos.

Teorema 5.20 Sean X, Y , dos espacios métricos y f una función biyectiva de X

en Y . La función f es un homeomorfismo si, y solo si, f (A) = f (A) para todo
A ⊂ X.

Teorema 5.21 Sean X, Y , dos espacios métricos y f una función biyectiva conti-
nua de X en Y . Si X es compacto, entonces f es un homeomorfismo.

Demostración. Las dos primeras condiciones se cumplen por estar impuestas

en el enunciado de este teorema.
Bastará con demostrar que f −1 es continua, lo cual es cierto si se verifica:

∀ A ⊂ X cerrado → f (A) es cerrado

Si A es cerrado, como todo subconjunto cerrado de un compacto es compacto,

A es compacto y, al ser f continua, su imagen f (A) es compacta y, por tanto,
cerrada. Luego f −1 es continua y f un homeomorfismo de X en Y .

Definición 5.14 Sean (X, dX ) e (Y, dY ) dos espacios métricos. Una función bi-
yectiva f de X en Y se dice que es una isometrı́a si, y solo si, conservan las
distancias.

dY [f (X1 ), f (X2 )] = dX (X1, X2 ) , ∀ X1, X2 ∈ X

Teorema 5.22 Toda isometrı́a es un homeomorfismo.

Un homeomorfismo, en general, no tiene por qué ser una isometrı́a.

Ejemplo 5.8 Dada la ecuación de una recta cualquiera f (x) = mx + n, demostrar

que f (x) es un homeomorfismo y una isometrı́a.

Es un homeomosfismo. En efecto, por un lado, f (x) es una aplicación biyecti-

va; su inversa f −1 (x) = x−n
m también es biyectiva. Además, ambas son continuas
(son dos rectas). Por tanto, f (x) cumple las condiciones de la definición de ho-
meomorfismo (5.13).
134 Continuidad de Funciones

La función f (x) será una isometrı́a, ∀a, b ∈ R, si se cumple (definición 5.14) que
|f (a) − f (b)| = |a − b|. En este caso,

|(m a + n) − (m b + n)| = |m||a − b|

Luego solo se cumple la definición de isometrı́a en el caso en que |m| = 1, es

decir, para m = ±1.

5.2. Continuidad de las funciones fundamentales

Pasamos, a continuación, al estudio de la continuidad de las funciones reales
de una,dos o más variables reales, donde los conceptos estudiados son válidos sin
más que sustituir el espacio métrico (X, dX ) por (R, d1 ), (R2 , d2 ) ó (Rn , d2 ), y el
espacio (Y, dY ) por (R, d1 ).

5.2.1. Continuidad de una función real de una variable real

La definición general de continuidad en el caso de una función real de una
variable real es la siguiente,

Definición 5.15 Se dice que una función f de A ⊂ R en R es continua en a ∈ A

si, y solo si, existe f (a) ∈ R, existe el lı́mite cuando x → a de f (x) y ambos
valores coinciden,
lı́m f (x) = f (a)
x→a

5.2.1.1. Continuidad local

Definición 5.16 Sea una función real definida en A ∈ R y α ∈ A. Si f está
definida en a, existe el lı́mite por la derecha de f y ambos valores coinciden, la
función se dice que es continua por la derecha en α,

lı́m f (x) = f (a)

x→a+

De igual forma se define la continuidad por la izquierda de f en a,

lı́m f (x) = f (a)

x→a−

Recordando la definición de lı́mite de una función real de una variable real a

partir de los lı́mites laterales, se puede establecer el siguiente teorema,

Teorema 5.23 Una función f de A ⊂ R en R es continua en a ∈ A si, y solo si,

lo es por la derecha y por la izquierda de a.
Continuidad de las funciones fundamentales 135

Ejemplo 5.9 Encontrar el valor de p para que la siguiente función sea continua
en el origen,
( p
(1 − tg x) x , si x 6= 0
f (x) =
e, si x = 0

Calculemos el lı́mite en x = 0,

p
p lı́m ln (1−tg x) lı́m − p tg x
lı́m (1 − tg x) x = ex→0 x = ex→0 x
= e−p
x→0

Luego la función es continua en x = 0 si p = −1.

5.2.1.2. Tipos de discontinuidades

Ya se han descrito los tipos de discontinuidades de funciones entre espacios

métricos en general. En este caso, con funciones reales de una variable real, se
puede concretar aún más sobre este concepto.
Si sucede que lı́m− f (x) = lı́m+ f (x) 6= f (a), la discontinuidad se denomina
x→a x→a
evitable, ya que se puede evitar haciendo que la función tome el valor del lı́mite
en el punto a.
Si los lı́mites laterales existen, pero son distintos, lı́m− f (x) 6= lı́m+ f (x), la
x→a x→a
discontinuidad es de primera especie. Si los dos lı́mites son finitos, es de salto
finito; si alguno de los lı́mites es infinito, la discontinuidad es de salto infinito.
Si algún lı́mite lateral no existe, la función es discontinua de segunda especie.

Ejemplo 5.10 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones,

x3 −8
a. f (x) = x3 −2x2 +x−2
(
etg x +1
etg x −1si x 6= (2k + 1) π2 , ∀k ∈ Z
b. g(x) =
1 si x = (2k + 1) π2 , ∀k ∈ Z
1
c. h(x) = e x
1
d. l(x) = sen
x

Estudiemos el lı́mite en los puntos conflictivos de cada caso.

136 Continuidad de Funciones

a. En este caso, la función no está definida en x = 2 y el lı́mite resulta,

3 2 2
x −8 (x−2)(x +2x+4)
lı́m x3 −2x2 +x−2 = lı́m (x−2)(x2 +1) = lı́m x x+2x+4
2 +1 = 12
5
x→2 x→2 x→2
Por tanto, la función presenta una discontinuidad evitable en x = 2, ya que no
está definida en ese punto, pero tiene lı́mite. La discontinuidad se evitarı́a si se
12
define f (2) = 5 .
b. Sabemos que g((2k + 1) π2 ) = 1. Calculemos los lı́mites laterales en esos puntos,
etg x + 1 etg x + 1
lı́m + etg x − 1
= −1; lı́m − etg x − 1
=1
x→((2k+1) π
2) x→((2k+1) π
2)

Luego la función en x = (2k + 1) π2 tiene una discontinuidad de primera especie

de salto finito igual a 2.
c. Calculemos los lı́mites laterales en x = 0 (punto en que h(x) no está definida)
1 1
lı́m e x = ∞; lı́m e x = 0
x→0+ x→0−
Por tanto, la función tiene en el origen una discontinuidad de primera especie
de salto infinito.
d. En este caso, la función no tiene lı́mites laterales ni está definida en el punto
x = 0, presentando en él una discontinuidad de segunda especie.

5.2.1.3. Teorema de Bolzano

Teorema 5.24 (Teorema de la conservación del signo)
Sea f definida en A ⊂ R. Supongamos que f es continua en un punto a ∈ A y
que f (a) 6= 0. Entonces existe una bola unidimensional B(a; δ) tal que f (x) tiene
el mismo signo que f (a) en B(a; δ) ∩ A.

Demostración. Sea f (a) > 0. Entonces ∀ε > 0, ∃ δ > 0 tal que ∀ x ∈

A, |x − a| < δ → |f (x) − f (a)| < ε, o también,

f (a) − ε < f (x) < f (a) + ε

Al ser ε tan pequeño como se quiera, f (x) tiene que tener el mismo signo que
f (a). El mismo razonamiento se sigue para el caso f (a) < 0.

Teorema 5.25 (Teorema de Bolzano)

Sea f real y continua en un intervalo compacto [a, b] de R, y supongamos que
f (a) y f (b) tienen signos opuestos, es decir, f (a) · f (b) < 0. Entonces existe al
menos un punto c del intervalo abierto (a, b) tal que f (c) = 0.
Continuidad de las funciones fundamentales 137

Demostración. Sea f (a) > 0 y f (b) < 0. Definamos el conjunto A de la forma,

A = {x : x ∈ [a, b] y f (x) > 0}

A es no vacı́o, puesto que a ∈ A, y está acotado por b. Sea c = Sup{A}, entonces

a ≤ c ≤ b. Veamos que f (c) = 0. Si f (c) 6= 0, existe, por el teorema anterior,
una bola unidimensional B(c; δ) en la que f tiene el mismo signo que f (c). En
este caso, si f (c) > 0, entonces habrá puntos x > c en los que f (x) > 0, lo que
contradice la definición de c. Por otro lado, si f (c) < 0, entonces c − δ/2 es una
cota superior para A, lo que también es una contradicción de la definición de c.
Por tanto, solo puede suceder que f (c) = 0.

Ejemplo 5.11 Demostrar que la ecuación x 3x −1 = 0 tiene al menos una solución

positiva menor que la unidad.

La función f (x) = x 3x − 1 es continua en todo R. Asimismo, f (0) = −1

y f (1) = 2. Entonces, según el teorema de Bolzano, existe al menos un punto
c ∈ (0, 1) tal que f (c) = 0.

Teorema 5.26 (Teorema de los valores intermedios)

Sea f una función real y continua definida en un intervalo [a, b] compacto de R.
Supongamos que existen dos puntos α < β del intervalo tales que f (α) 6= f (β).
Entonces f toma todos los valores intermedios entre f (α) y f (β) en el intervalo
(α, β).

5.2.2. Continuidad de una función real de dos variables reales

La definición de continuidad para funciones reales de dos variables reales es
similar a la de caso de una variable, siendo el campo de variación de la variable
R2 .

Definición 5.17 Se dice que una función f de A ⊂ R2 en R es continua en

(a1, a2 ) ∈ A si, y solo si, existe f (a1, a2 ) ∈ R, existe el lı́mite cuando (x1, x2 ) →
(a1, a2 ) de f (x1, x2 ), y ambos valores coinciden,

lı́m f (x1 , x2 ) = f (a1 , a2 )

x1 →a1
x2 →a2

Ejemplo 5.12 Estudiar la continuidad de la función en el origen,

 yx2 +xy2
 x2 +y2 si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =

0 si (x, y) = (0, 0)
138 Continuidad de Funciones

Si aplicamos el cambio a coordenadas polares, el lı́mite resulta,

yx2 + xy 2 ρ3 (sen ω cos2 ω + cos ω sen2 ω)

lı́m 2 2
= lı́m =0
x→0 x + y ρ→0 ρ2
y→0

Como f (0, 0) = 0 por definición, se puede asegurar que f (x, y) es continua en el

origen.

5.2.3. Generalización a una función real de n variables reales

Para n variables reales la definición resulta,

Definición 5.18 Se dice que una función f de A ⊂ Rn en R es continua en

(a1, a2 , ..., an ) ∈ A si, y solo si, existe f (a1, a2 , ..., an ) ∈ R, existe el lı́mite cuando
(x1, x2 , ..., xn ) → (a1, a2 , ..., an ) de f (x1, x2 , ..., xn ), y ambos valores coinciden,

lı́m f (x1 , x2 , ..., xn ) = f (a1 , a2 , ..., an )

x1 →a1
x2 →a2
·······
xn →an

5.2.3.1. Teorema de los valores intermedios

Teorema 5.27 (Teorema de los valores intermedios)
Sea f una función real continua definida en un subconjunto conexo A ⊂ Rn . Si f
alcanza dos valores distintos sobre A, tales como α y β, entonces para cada punto
γ comprendido entre α y β, existe al menos un punto (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ A tal que
f (x1 , x2 , ..., xn ) = γ.
Ejercicios resueltos 139

5.3. Ejercicios resueltos

ex
Ejercicio 5.1 Demostrar que la función f (x) = 3 tiene un punto fijo en [0, 1].

Según el teorema del punto fijo, en un espacio métrico completo, toda contracción
definida sobre él admite un punto fijo y es único. Entonces tenemos, por un lado,
que [0, 1] es un subespacio métrico de R. Como R es un espacio métrico completo
y [0, 1] es un conjunto cerrado, en virtud del teorema 3.5, el subespacio métrico
x
[0, 1] es completo. Veamos ahora si f (x) = e3 es una contracción, es decir, si
ea eb
∀a, b ∈ [0, 1] se cumple que 3 − 3 < |a − b|.
En efecto,

ea eb
−
3 3
1 a a2 an b b2 bn
= 1+ + +···+ + · · · − (1 + + +···+ + · · ·)
3 1! 2! n! 1! 2! n!
1 a − b a 2 − b2 an − bn
= + +···+ +···
3 1! 2! n!
|a − b| 1 a+b an−1 + b an−2 + · · · + bn−2 a + bn−1
= + +···+ +···
3 1! 2! n!
|a − b| 1 2 n
< + +···+ +···
3 1! 2! n!
|a − b| 1 1 1 |a − b| e
= + +···+ +··· = |e| = |a − b| < |a − b|
3 1! 1! (n − 1)! 3 3
ex
Luego f (x) = 3 es una contracción y, por tanto,

ec
∃c ∈ [0, 1] | 3 = c.

Ejercicio 5.2 Demostrar que la ecuación ex = 3x tiene solución en (0, 1).

Este problema es idéntico al anterior, pero lo vamos a plantear de forma diferente.

Según el teorema de Bolzano, si en una función continua en [a, b], se cumple que
f (a) · f (b) < 0 entonces ∃c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0. En este caso buscamos un
cero de la función f (x) = ex − 3x en el intervalo (0, 1). La función es continua
no solo en [0, 1] sino en todo R. Además, f (0) · f (1) = e − 3 < 0, por tanto, el
teorema de Bolzano asegura que

f (x) = ex − 3x tiene un cero en el intervalo (0, 1).

140 Continuidad de Funciones

Ejercicio 5.3 Estudiar la continuidad uniforme de f (x) = sen x en R.

Para que f (x) = sen x sea uniformemente continua, se debe cumplir que ∀a, b ∈
R, si |a − b| < δ, entonces ∃ε tal que |sen a − sen b| < ε. En efecto, sabiendo que,

sen a − sen b = 2 cos a+b sen a−b

2 2

Se tiene que,
a+b a−b
≤ 2 1 sen a−b




|sen a − sen b| = 2 cos 2 sen 2 2
 
|a−b|
2 sen a−b < 2 sen 2δ = ε


= 2 = 2 sen 2

Podemos concluir, pues, que,

f (x) = sen x es uniformemente continua en R.

Ejercicio 5.4 Estudiar la continuidad de f (x) para los distintos valores de a y b.

( ex −cos(x)
√ − π2 < x < 0
f (x) = 1−cos(x)
ax + b x≥0

Primero estudiaremos el dominio de la función. El único inconveniente es que

el denominador se haga cero. Por tanto, el coseno no puede ser 1; por tanto x
no podrı́a tomar los valores 0 + 2kπ, ∀k ∈ Z. Pero estos valores están fuera del
intervalo de definición.
Una vez sabemos esto, estudiemos la continuidad en el punto x = 0. Para esto
buscaremos los lı́mites laterales. Empezamos por el de la izquierda:
ex − cos(x) e−h − cos(−h) e−h − cos(h)
 
0
lı́m p = lı́m p = lı́m p =
x→0− 1 − cos(x) h→0 1 − cos(−h) h→0 1 − cos(h) 0
−h √ −h
 
I.E. e − cos(h) e − cos(h) 0
−−−→ lı́m q = 2 lı́m =
h→0 h2 h→0 h 0
2

LH0 √ −e −h
+ sen(h) √
−−−→ 2 lı́m =− 2
h→0 1
Seguimos por la derecha:

lı́m ax + b = lı́m a h + b = b
x→0+ h→0

Finalmente buscamos el valor de la función:

f (0) = b
Ejercicios resueltos 141

Para que la función sea continua deben coincidir los dos lı́mites laterales con el
valor de la función, por tanto:
√
lı́m− f (x) = lı́m+ f (x) = f (0) → b = − 2
x→0 x→0

√
La función será continua para b = − 2, ∀a ∈ R.

Ejercicio 5.5 Estudiar la continuidad de la siguiente función para los distintos

valores de a.
 !
 
1
arctan ln 1−x − π2 0<x<1



f (x) =


 a x=1
cos (ln (x)) − 1

x>1

Igual que en el caso anterior empezamos mirando el dominio. En la primera

definición de la función el logaritmo no puede ser negativo y el denominador no
puede ser cero, por tanto 1 − x > 0, lo que implica que x < 1 que coincide con los
lı́mites de definición. El segundo tramo no tiene problema y el tercero necesita
que x > 0 que coincide con su definición. Por tanto no hay puntos fuera del
dominio en el intervalo de definición.
A continuación estudiaremos la continuidad para x = 1, empezando por el
lı́mite cuando x tiende a 1 por la izquierda:
! !
   
1 π 1
lı́m− arctan ln 1−x − 2 = lı́m arctan ln 1−(1−h) − π2
x→1 h→0
!
1 π


= lı́m arctan ln h − 2 =0
h→0

Por otro lado,el lı́mite por la derecha resulta:

lı́m cos (ln (x)) − 1 = lı́m cos (ln (1 + h)) − 1 = 0

x→1+ h→0

En x = 1 la función toma el valor f (1) = a. Como debe coincidir con los dos
lı́mites laterales para que sea continua, se tiene que:

lı́m f (x) = lı́m+ f (x) = f (1) → a = 0

x→1− x→1

La función será continua para a = 0 y discontinua evitable para a 6= 0.

142 Continuidad de Funciones

Ejercicio 5.6 Estudiar la continuidad en R de la función f (x) = E(x) (E(x) es

la parte entera de x).

Los únicos puntos donde se produce discontinuidad de la función son aquello

valores reales a que son enteros (a ∈ Z). Estudiemos esos puntos,
a. f (a) = a, ∀a ∈ Z.
b. Lı́mites laterales,

lı́m E(x) = a
x→a+
lı́m E(x) = a−1
x→a−

Por tanto, la función f (x) = E(x) presenta una discontinuidad de primera especie
de salto finito igual a a − (a − 1) = 1 en los punto enteros de R. En los valores
no enteros de R la función es continua, es decir,

f (x) = E(x) es continua ∀x ∈ R − Z.

Ejercicio 5.7 Estudiar la continuidad en el origen de la función,

 x

 |x| si x 6= 0
f (x) =


0 si (x) = 0

a. f (0) = 0.
b. Lı́mites laterales,
x
lı́m = 1
x→0+ |x|
x
lı́m = −1
x→0− |x|

Luego,

En x = 0, f (x) es discontinua de primera especie de salto finito igual a 2.

Ejercicio 5.8 Estudiar la continuidad en el origen de la función,

 1
 e x si x 6= 0
f (x) =
0 si (x) = 0

Ejercicios resueltos 143

a. f (0) = 0.
b. Lı́mites laterales,
1 1
lı́m e x = lı́m e h = ∞
x→0+ h→0
1 1
lı́m− e x = lı́m e −h = 0
x→0 h→0

Luego,

f (x) presenta en x = 0 una discontinuidad de primera especie de salto infinito.

Ejercicio 5.9 Estudiar la continuidad en el punto (1, 1) de la función,


x2 − y 2
si (x, y) 6= (0, 0)


 2
f (x, y) = x − 2xy + y 2


0 si (x, y) = (1, 1)


Empezamos calculando el lı́mite doble de f (x, y) en el punto (1, 1),

x2 − y 2 (x − y)(x + y) x+y 2
lı́m = lı́m = lı́m = =∞
x→1 x2 − 2xy + y 2 x→1 (x − y)2 x→1 x − y 0
y→1 y→1 y→1

Como el lı́mite no coincide con el valor de la función en dicho punto, entonces

f (x, y) es discontinua en (1, 1).

Ejercicio 5.10 Estudiar la continuidad en el origen de la función,

 p
x2 + y 2
si x 6= 0 e y 6= 0



f (x, y) = y

 √
2 si x = 0 o y = 0


Busquemos el lı́mite doble de f (x, y) en (0, 0) usando coordenadas polares,

p
x2 + y 2 ρ 1
lı́m = lı́m =
x→0 y ρ→0 ρ sen ω sen ω
y→0

Como el resultado depende de ω, el lı́mite doble no existe. Consecuentemente,

la función f (x, y) no es continua en (0, 0).

144 Continuidad de Funciones

Ejercicio 5.11 Estudiar la continuidad de la función,


xy 3
si (x, y) 6= (0, 0)


 2
f (x, y) = x + y2


0 si (x, y) = (0, 0)


Calculemos el lı́mite doble de la función en el origen aplicando el cambio a

coordenadas polares,

xy 3 3
2 cos ω sen ω
lı́m = lı́m ρ = ρ2 cos ω sen3 ω = 0
x→0 x2 + y 2 ρ→0 cos2 ω + sen2 ω
y→0

Por tanto, el resultado del lı́mite doble es 0 y coincide con el valor de la función
en el origen. Es decir,

la función f (x, y) es continua en (0, 0).

Ejercicio 5.12 Estudiar la continuidad en el punto (0, 0) de la función,


x sen2 y
si (x, y) 6= (0, 0)


 2
f (x, y) = x + y2


0 si (x, y) = (0, 0)


Calculemos el lı́mite doble. Como el factor sen2 y está multiplicando, se puede

sustituir por su infinitésimo equivalente: y 2 ; y luego pasar a coordenadas polares,

x sen2 y x y2 cos ω sen2 ω

lı́m = lı́m = lı́m ρ = ρ cos ω sen2 ω = 0
x→0 x2 + y 2 x→0 x2 + y 2 ρ→0 cos2 ω + sen2 ω
y→0 y→0

Luego el lı́mite doble es 0 y coincide con el valor de la función en (0, 0), es decir,

f (x, y) es continua en (0, 0).

Problemas propuestos 145

5.4. Problemas propuestos

1 2 3
Problema 5.1 Demostrar que x−1 + x−2 + x−3 = 0 tiene una solución en el
intervalo (1, 2) y otra en (2, 3).
1 2 3
Solución: La función f (x) = x−1 + x−2 + x−3 es continua en cada intervalo,
f (1 ) = +∞, f (2 ) = −∞, f (2 ) = +∞, f (3− ) = −∞. Por tanto, según el
+ − +

teorema de Bolzano, en cada intervalo tiene que existir un punto donde se anula
la función.

Problema 5.2 Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Para
cada caso poner un ejemplo que lo corrobore.

a. Si f (x) ≤ 7 para cualquier valor de x, entonces f (x) tiene un máximo.

b. Si f (1) = 1, f (2) = −2 y f (x) es continua en el intervalo [1, 2], entonces
existirá x en dicho intervalo tal que f (x) = 0.

Solución:

a. No. Tendrá un punto de tangente horizontal, pero ese punto puede estar en el
∞. Por ejemplo, y = 7(1 − e−x ).
b. Si. La función cumple las condiciones del teorema de Bolzano. Por ejemplo,
p
y = − 32 x3 + 53 x. El punto donde esta función se anula es x = + 5/2 ∈ (1, 2).

Problema 5.3 Estudiar si la ecuación x = a sen x + b, 0 < a < 1, b > 0, tiene al

menos una solución positiva no mayor que a + b.
Solución: La función x − a sen x − b cumple las condiciones del teorema de
Bolzano y, por tanto, tiene un cero tal que 0 < x < a + b.
54
Problema 5.4 Probar que la función f (x) = x23 − x2 −sen x +2 − 50 tiene por lo
menos un cero real.
Solución: La función cumple las condiciones del teorema de Bolzano y tiene una
solución en el intervalo (1, 2).
√
Problema 5.5 Sean f (x) = x3 + 3x − 2 y g(x) = x. Estudiar la continuidad de
f ◦ g.
Solución: La función es continua en [0, ∞).
x
Problema 5.6 Sean f (x) = x+1 y g(x) = x2 − 5. Estudiar la continuidad de f ◦g.
Solución: La función (f ◦ g)(x) = f (g(x)) es discontinua en x = −2 y x = 2,
con una discontinuidad de primera especie de salto infinito.
146 Continuidad de Funciones

Problema 5.7 Estudiar la continuidad uniforme de f (x) = sen x en R.

Solución: Se puede demostrar que la función es lipschitciana en R de razón
r = cos 1 < 1 (contracción). Por tanto, en virtud del teorema 5.9, la función es
uniformemente continua en R.

Problema 5.8 Decir si los siguientes conjuntos son conexos,

a. [0, 1]
b. [0, 1] ∩ [2, 3]
c. Q
d. 0, 1
e. 0

Solución:

a. Es conexo.
b. No es conexo.
c. No es conexo.
d. No es conexo.
e. Es conexo.

Problema 5.9 Buscar un intervalo donde la ecuación x3 − 3x + 3 = 0 tenga una

raı́z real.
Solución: La solución real se encuentra en el intervalo (−3, −2), donde se cum-
ple el teorema de Bolzano.

Problema 5.10 Sea la función f (x) = x(x−1)

sen πx , ∀x ∈ (0, 1). Definir f (0) y f (1) de
tal forma que f (x) sea continua en el compacto [0, 1].
Solución: f (0) = f (1) = − π1 .

Problema( 5.11 Estudiar la continuidad de la siguiente función,

x3 x<0
f (x) =
ex − 1 x ≥ 0
Solución: La función es continua en todo R.

Problema( 5.12 Estudiar la continuidad de la siguiente función,

1
e− x2 sen x1


x 6= 0
f (x) =
k x=0
Solución: La función es continua en todo R si k = 0.
Problemas propuestos 147

Problema 5.13 Encontrar los valores de p para que exista lı́m f (x), siendo
x→1

√ √
x+2− 3
 x−1
 si x > 1,
f (x) = 4 si x = 1,

p x
2 +p si x <1.

Para el valor de p hallado estudia la continuidad de la función.

5
Solución: La función tiene lı́mite para p = − 12 . Para este valor de p, la función
√
es discontinua evitable en x = 1; haciendo f (1) = 63 , la función serı́a continua.

Problema 5.14 Estudiar para qué valor de n la siguiente función es continua,

(
ex − 1 si x < 0
f (x) =
n+x si x ≥ 0

Solución: La función es continua en x = 0 si n = 0.

Problema 5.15 Estudiar la continuidad de la siguiente función en el punto x = 0,

( x−2
e x2 si x 6= 0
f (x) =
0 si x = 0

Solución: La función f (x) es continua en x = 0.

Problema 5.16 Estudiar la continuidad de la siguiente función en el punto x = 0,

(
kxk
si x 6= 0
f (x) = sen x
1 si x = 0

Solución: La función presenta en x = 0 una discontinuidad de primera especie

de salto finito igual a 2.

Problema 5.17 Estudiar la continuidad de la siguiente función en el punto x = 0,

( 1
x e x si x 6= 0
f (x) =
0 si x = 0

Solución: La función presenta en x = 0 una discontinuidad de primera especie

de salto infinito.
148 Continuidad de Funciones

Problema 5.18 Estudiar la continuidad en x = π2 de la siguiente función,

( tg x
e −1
tg x si x 6= π2
f (x) = e +1
1 si x = π2
π
Solución: La función es continua en x = 2.

Problema 5.19 Estudiar la continuidad en x = 0 y x = −1 de la función,


sen x
 si x ≥ 0
f (x) = x2 si − 1 < x < 0

−2x − 1 si x ≤ −1


Solución: La función es continua en ambos puntos.

Problema 5.20 Estudiar la continuidad de la siguiente función en x = 0,
( 1
x e x si x 6= 0
f (x) =
0 si x = 0
Solución: La función presenta en x = 0 una discontinuidad de primera especie
de salto infinito.
Problema 5.21 Estudiar la continuidad de la siguiente función en x = 0,
1
3x + 1
f (x) = 1
3x − 1

Solución: La función presenta en x = 0 una discontinuidad de primera especie

de salto finito igual a 2.
Problema 5.22 Estudiar la continuidad de la siguiente función en R,
1
f (x) =
x − E(x)

Solución: La función presenta una discontinuidad de primera especie de salto

infinito ∀x ∈ Z.
Problema 5.23 Estudiar la continuidad de la siguiente función en R,
1
f (x) =
1 − e1−x

Solución: La función presenta en x = 1 una discontinuidad de primera especie

de salto infinito.
Problemas propuestos 149

Problema 5.24 Estudiar la continuidad de la siguiente función en R,

1
f (x) = 1
1 − e 1−x

Solución: La función presenta en x = 1 una discontinuidad de primera especie

de salto finito igual a 1.

Problema 5.25 Estudiar la continuidad de la siguiente función en R,

1
f (x) = x2 sen
x

Solución: La función es continua en todo R.

Problema 5.26 Estudiar la continuidad de la siguiente función en x = 3,

1
2 x−3 − 1
f (x) = 1
2 x−3 +1
Comprobar a qué valor tiende la función en ±∞.
Solución:
1
2 x−3 − 1
lı́m 1 = 1
x→3+ 2 x−3 +1
1
2 x−3 − 1
lı́m− 1 = −1
x→3 2 x−3 + 1
La función en x = 3 es discontinua de primera especie de salto finito igual a 2.
1
2 x−3 − 1
lı́m 1 = 0
x→+∞ 2 x−3 +1
1
2 x−3 − 1
lı́m 1 = 0
x→−∞ 2 x−3 +1
Problema 5.27 Estudiar la continuidad de la siguiente función en R,
1
f (x) =
1 + 2tg x

Solución: La función es discontinua de primera especie de salto finito igual a 1,

∀x = π2 + kπ, k ∈ Z.
150 Continuidad de Funciones

Problema 5.28 Estudiar la continuidad de la siguiente función en R,

p
f (x) = + x − E(x) + E(x)

Solución: La función es continua en todo R, aunque no es derivable ∀x ∈ Z.

Problema 5.29 Estudiar la continuidad de la siguiente función real de una varia-

ble real,
π 1 1
x sen x sen sen πx si x 6= 0 y x 6= n , ∀n ∈ N

f (x) = c si x = 0

cn si x = n1 , ∀n ∈ N

Solución: La función es continua en x 6= 0 y x 6= n1 , ∀n ∈ N. La función es
discontinua en x = 0 y en x = n1 , ∀n ∈ N, ya que, en estos casos, el lı́mite de f (x)
es 0 y no coincide con el valor definido para la función (c y cn , respectivamente).
La discontinuidad es evitable y f (x) serı́a continua si hiciéramos c = cn = 0.

Problema 5.30 Estudiar la continuidad de la siguiente función en R,

x2 + x2n sen πx
2
f (x) = lı́m
n→∞ x2n + 1

Solución:
 El lı́mite tiene con resultado,
πx

a. sen 2 , si |x| > 1
b. x2 , si |x| < 1

f (x) =


c. 1, si x = 1
d. 0, si x = −1

En x = −1 es discontinua de primera especie de salto finito igual a 2,
lı́m f (x) = −1
x→−1−
lı́m f (x) =1
x→−1+

Por tanto, f (x) es continua en R − {−1}.

Problema 5.31 Estudiar la continuidad en el origen de la función,

 4xy

 2 si (x, y) 6= (0, 0)
x + y2
f (x, y) =


0 si (x, y) = (0, 0)

Solución: En (0, 0) la función no tiene lı́mite doble, por lo tanto, es discontinua.

Problemas propuestos 151

Problema 5.32 Estudiar la continuidad en el origen de la función,

 1
 xy cos
 si (x, y) 6= (0, 0)
xy
f (x, y) =


0 si (x, y) = (0, 0)

Solución: La función f (x, y es continua en (0, 0).

Problema 5.33 Estudiar la continuidad en el origen de la función,


xy 2
si (x, y) 6= (0, 0)


 2
f (x, y) = x + y2


0 si (x, y) = (0, 0)


Solución: La función no tiene lı́mite doble en (0, 0), por lo tanto en discontinua.

Problema 5.34 Estudiar la continuidad en el origen de la función,


3y 3
si (x, y) 6= (0, 0)


 2
f (x, y) = x + y2


0 si (x, y) = (0, 0)


Solución: La función f (x, y es continua en (0, 0).

Problema 5.35 Estudiar la continuidad en el origen de la función,

  
1 1
 x cos − si x · y 6= 0


y x
f (x, y) =


0 si x · y = 0


Solución: La función f (x, y es continua en (0, 0).

Problema 5.36 Estudiar la continuidad en el punto (2, −3) de la función,

 3x + 2y
 si 5 − x + y 6= (0, 0)
5−x+y

f (x, y) =


0 si 5 − x + y = (0, 0)

Solución: La función f (x, y) no es continua en (2, −3).

152 Continuidad de Funciones

Problema 5.37 Estudiar la continuidad en R2 de la función,

π π

 (x + y) cos x cos y si x 6= 0 e y 6= 0
f (x, y) =
0 si x = 0 o y = 0


Solución: La función f (x, y) es continua en (R − {0}) × (R − {0}) ∪ {(0, 0)}.

Problema 5.38 Dada la función,


x2 y 2
si (x, y) 6= (0, 0)

f (x, y) = x y − x2 − y 2
2 2
a si (x, y) = (0, 0)


a. Hallar el mayor número r ∈ R tal que f (x, y), esté definida en la bola abierta
B = (x, y) ∈ R|x2 + y 2 < r .


b. Estudiar si f (x, y) es continua en B.

Solución:
a. La función no está definida cuando el denominador se anula. Entonces, cal-
culemos la mı́nima distancia r desde la curva x2 y 2 − x2 − y 2 = 0, al origen. La
solución trivial x = 0, y = 0 no es considerada ya que la función está definida
en ese punto por el √ valor √
a. La distancia mı́nima es r = 2 que se produce en
los cuatro puntos (± 2, ± 2). Si el radio de la bola supera ese valor contendrá
puntos de esa curva, donde la función f (x, y) no está definida.
b. Estudiamos la continuidad en (0, 0) ya que en el resto de puntos de B es evi-
dente. El valor del lı́mite de la función en el origen toma el valor 0. Luego la
función serı́a continua en B si a = 0.

Problema 5.39 Estudiar la continuidad en el punto (a, a) de la función,

sen x − sen y
z=
x−y
Solución: La función tiene lı́mite en puntos de R2 de la forma (a, a): l = cos a;
pero no está definida en ellos. Por tanto, es discontinua evitable en (a, a). Si defi-
nimos f (a, a) = cos a, entonces z serı́a continua en (a, a) y, por tanto, en todo R2 .

sen xy
Problema 5.40 Estudiar la continuidad en (0, 0 de z = .
xy
Solución: La función no está definida si x = 0 o y = 0. Si se define la función
de la forma: f (x, y) = 1 si x · y = 0, la función serı́a continua en todo R2 .
Problemas propuestos 153

Problema 5.41 Estudiar la continuidad de la función,

  
1
 y sen x2 +y
 2 6 (0, 0)
si (x, y) =
f (x, y) =

0 si (x, y) = (0, 0)


Solución: La función f (x, y) es continua en todo R2 .

Problema 5.42 Hallar el valor de a para que f (x, y) sea continua en el origen.
  4 4

 arctg x + y

si (x, y) 6= (0, 0)
x2 + y 2

f (x, y) =


a si (x, y) = (0, 0)


Solución: La función es continua en (0, 0) si a = 0.

Problema 5.43 Estudiar la continuidad de la función,

x3 y 2

si (x, y) 6= (0, 0)


 2 3
f (x, y) = x y + (x2 + y 2 )2


0 si (x, y) = (0, 0)


Solución: La función f (x, y) es continua en todo R2 .

Problema 5.44 Estudiar la continuidad de la función,


yx2 − y 3
si (x, y) 6= (0, 0)


 2
f (x, y) = x + y2


0 si (x, y) = (0, 0)


Solución: La función f (x, y) es continua en todo R2 .

Problema 5.45 Hallar el valor de a para que f (x, y) sea continua en el origen.

xy 2 − x3
si (x, y) 6= (0, 0)


 2
f (x, y) = x + y2


a si (x, y) = (0, 0)


Solución: La función es continua en (0, 0) si a = 0.

154 Continuidad de Funciones

Problema 5.46 Estudiar la continuidad de la función,

 2 2
 x −y

 si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) = x+y


0 si (x, y) = (0, 0)


Solución: La expresión se puede simplificar, dando como resultado que f (x, y)

es continua en todo R2 .
Problema 5.47 Obtener el valor de a para que f (x, y) sea continua en (0, 0).
 3
y − xy 2
si (x, y) 6= (0, 0)


 2
f (x, y) = x + y2


a si (x, y) = (0, 0)


Solución: La función es continua en (0, 0) si a = 0.

Problema 5.48 Estudiar la continuidad de la función,
 2
x − 3xy + y 2
6 (0, 0)
si (x, y) =


x2 − y 2

f (x, y) =


0 si (x, y) = (0, 0)


Solución: La función es discontinua ∀(x, y)|x = y. Esto incluye el origen.

Problema 5.49 Estudiar la continuidad de la función,
 x3 +y2
 x2 +y2 si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =

0 si (x, y) = (0, 0)

Solución: La función no tiene lı́mite doble en (0, 0), por lo tanto, f (x, y) es
continua en R − {0} × R − {0}.
Problema 5.50 Hallar el valor de a para que la función sea continua en (0, 0),
 3
x − 2xy 2
si (x, y) 6= (0, 0)


x2 + y 2

f (x, y) =


a si (x, y) = (0, 0)


Solución: La función es continua en (0, 0) si a = 0.