Ejercicios de Análisis Matematico
Ejercicios de Análisis Matematico
Ejercicios de Análisis Matematico
2. El objetivo de este ejercicio es mostrar que la noción de continuidad es ligeramente más general en cuanto a
su aplicación que la noción de lı́mite sólamente.
3. Construya una función f definida en el intervalo abierto (0, 2) que verifique que:
a) Sea discontinua en 12 , 1 y 3
2 pero continua en el resto de puntos.
1
b) Sea continua en (0, 2) excepto en todos los puntos de la forma n con n ∈ N.
4. Usando la caracterización de ı́nfimo, muestre que si f : [a, b] → R es continua en [a, b], entonces f alcanza su
mı́nimo, es decir, existe xm ∈ [a, b] tal que f (xm ) = mı́n f (x).
a≤x≤b
5. Sean I ⊆ R un intervalo y f : I → R una función continua en I. Muestre que el conjunto f (I) es un intervalo.
Hint: Use la caracterización de intervalo: I ⊆ R es un intervalo si, y sólo si, para cualesquier a, b ∈ I y c ∈ R
tales que a < c < b, entonces c ∈ I.
6. Sea f : [a, b] → R una función continua en [a, b] tal que f (x) > 0 para todo x ∈ [a, b]. Muestre que existe un
número α > 0 tal que f (x) ≥ α para todo x ∈ [a, b].
7. Sean f : [a, b] → R y g : [a, b] → R dos funciones continuas en [a, b]. Muestre que el conjunto
8. Sin hacer uso del teorema fundamental del álgebra, muestre que todo polinomio de grado impar, con coefi-
cientes reales, tiene al menos una raı́z real.
9. Sea
f : [0, π2 ] −→ R
x 7−→ f (x) := sup {x2 , cos(x)}.
x∈[0, π
2]
Muestre que f alcanza su mı́nimo en [0, π2 ]. Además, muestre que el punto xm donde f alcanza su mı́nimo es
una solución de la ecuación cos(x) = x2 .
10. Muestre que los teoremas del valor intermedio y de Bolzano son equivalentes.