Aplicaciones ID3 2023-2

Universidad Nacional Agraria La Molina
Facultad de Ciencias
Departamento Académico de Matemática
Curso: CC2076 Cálculo para Ciencias
CICLO : 2023 - II
3.4 Longitud de arco de una curva en coordenadas cartesianas, polares y

paramétricas.
3.5 Área de una superficie de revolución en coordenadas cartesianas
3.6 Aplicaciones físicas: Trabajo y Centro de masa.
CÁLCULO PARA CIENCIAS - 2023-II

3.4 Longitud de arco de una curva en coordenadas cartesianas, polares y
paramétricas.

Longitud de arco en coordenadas cartesianas
Teorema.
Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función tal que su derivada 𝑓′ es

continua en 𝑎, 𝑏 , la longitud de arco L de 𝑓 entre
𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 es:
𝑏 𝑏 2
2 𝑑𝑦
L=න 1 + 𝑓′(𝑥 ) 𝑑𝑥 = න 1+ 𝑑𝑥
𝑎 𝑎 𝑑𝑥

Teorema.
Si 𝑥 = 𝑓(𝑦) es una función tal que 𝑓′ es continua para

todo y ∈ 𝑐, 𝑑 , la longitud de arco L de 𝑓 entre y = 𝑐
y 𝑦 = 𝑑, es:
𝑑 𝑑 2
2 𝑑𝑥
L=න 1 + 𝑓′(𝑦) 𝑑𝑦 = න 1+ 𝑑𝑦
𝑐 𝑐 𝑑𝑦

Ejemplo 1. Calcule la longitud de arco de la curva:
𝑥5 1
𝑦= + , 𝑥𝜖 1,3
15 4𝑥 3
Solución.

Ejemplo 2.
Calcule, la longitud de arco de la curva 𝑥 2 = 4𝑦 3 desde el punto A(−2,1) hasta el punto B 2,1 .
Solución.

Ejemplo 3.
Calcule, la longitud de arco de la curva 𝑦 = 4 −𝑥, 𝑥𝜖 −4,0 .
Solución.

Longitud de arco en coordenadas polares
Teorema.
Sea 𝑟 = 𝑟(𝜃) una función tal que 𝑟′ es continua para todo 𝜃 ∈ 𝛼, 𝛽 , entonces la longitud de
arco L de 𝑟 entre 𝜃 = 𝛼 y 𝜃 = 𝛽 (en radianes) es:
𝛽
2 2
L=න 𝑟(𝜃) + 𝑟′(𝜃) 𝑑𝜃
𝛼

Ejemplo 1.
Halle el perímetro de la región común a las curvas 𝑟 = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 y curva 𝑟 = 3 𝑠𝑒𝑛𝜃 .
Solución.
Hallamos los puntos de intersección

3 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃
Resolviendo se tiene:
1 2𝜋 4𝜋
𝑐𝑜𝑠𝜃 = − ⇒ 𝜃 = , 𝜃= ;
2 3 3
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 1 ⇒ 𝜃 = 0, 𝜃 = 2𝜋

Para calcular el perímetro P, calculamos la longitud 𝐿1 (parte de la
circunferencia) y la longitud 𝐿2 (parte de la cardiode), según:
P = 2(𝐿1 + 𝐿2 )
2𝜋/3 𝜋
2 2
𝐿1 = න 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 2 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 𝑑𝜃 𝐿2 = න 3𝑠𝑒𝑛𝜃 + 3𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃
0 2𝜋/3
2𝜋/3 𝜋
𝐿1 = න 2 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 𝐿2 = න 3 𝑑𝜃
0 2𝜋/3
2𝜋/3
𝜃
𝐿1 = න 2 2 𝑠𝑒𝑛 𝑑𝜃 𝜋 3
0 2 𝐿2 =
3
1
𝐿1 = −4 −1 =2
2
El perímetro es:
𝜋 3
𝑃 = 2 𝐿1 + 𝐿2 =2 +2 𝑢
3

Ejemplo 2.
Calcule el perímetro de la región común a las curvas: 𝑟 = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 y 𝑟 = −3𝑐𝑜𝑠𝜃.
Solución.

𝑟 = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −3𝑐𝑜𝑠𝜃
2𝜋 4𝜋
𝜃= ; ;…
3 3

Ejemplo 3.
Calcule el perímetro de la región interior a 𝑟 = 2 + 2𝑠𝑒𝑛𝜃 y exterior a 𝑟 = 6𝑠𝑒𝑛𝜃.
Solución.

2 + 2𝑠𝑒𝑛𝜃 = 6𝑠𝑒𝑛𝜃
1 𝜋 5𝜋
= 𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝜃 = ;
2 6 6
Para calcular el perímetro P, calculamos la longitud 𝐿1 (parte de la

cardiode) y la longitud 𝐿2 (parte de la circunferencia), según:
P = 2(𝐿1 + 𝐿2 )

𝜋/6 𝜋/6
𝐿1 = න 2 + 2𝑠𝑒𝑛𝜃 2 + 2𝑐𝑜𝑠𝜃 2 𝑑𝜃 𝐿2 = න 6𝑠𝑒𝑛𝜃 2 + 6𝑐𝑜𝑠𝜃 2 𝑑𝜃
−𝝅/𝟐 0
𝜋/6 𝜋/6
𝐿1 = න 2 2 1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝐿2 = න 6 𝑑𝜃
−𝝅/𝟐 0
𝐿2 = 𝜋
𝐿1 = 4
El perímetro es:
𝑃 = 2 𝐿1 + 𝐿2 = 2 𝜋 + 4 𝑢

Longitud de arco en coordenadas paramétricas
Definición.
Una curva plana es suave si está determinada por un par de ecuaciones paramétricas 𝑥 = 𝑥 𝑡 ,
𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑡1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡2 donde 𝑥′(𝑡) y 𝑦′(𝑡) existen, son continuas y no son cero simultáneamente
para todo t ∈ 𝑡1 , 𝑡2 .
Teorema.
Sea 𝒞: 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑡1 , 𝑡2 , una curva
paramétrica con 𝑥′(𝑡) y 𝑦′(𝑡) continuas. La longitud
de arco de la curva está dada por:
𝑡2
L=න 𝑥′(𝑡) 2 + 𝑦′(𝑡) 2 𝑑𝑡
𝑡1

Ejemplo 1.
Calcule la longitud de arco de la curva:
𝑥 𝑡 = 2 cos 𝑡 + cos 2𝑡 𝜋
𝐶: ൜ , 𝑡𝜖 0,
𝑦 𝑡 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 3
𝜋
Solución. 3
L=න 𝑥′(𝑡 ) 2 + 𝑦′(𝑡 ) 2 𝑑𝑡 (∗)
0
Tenemos 𝑥 ′ 𝑡 = −2𝑠𝑒𝑛𝑡 − 2𝑠𝑒𝑛2𝑡 , 𝑦 ′ 𝑡 = 2𝑐𝑜𝑠𝑡 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑡
𝑥′ 𝑡 2 = −2𝑠𝑒𝑛𝑡 − 2𝑠𝑒𝑛2𝑡 2 = 4𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 4𝑠𝑒𝑛2 2𝑡 + 8𝑠𝑒𝑛𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡
𝑦′ 𝑡 2 = 2𝑐𝑜𝑠𝑡 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑡 2 = 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + 4𝑐𝑜𝑠 2 2𝑡 + 8𝑐𝑜𝑠𝑡𝑐𝑜𝑠2𝑡
𝑥′ 𝑡 2 + 𝑦′ 𝑡 2 = 8 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡
Reemplazando las derivadas en (*), se obtiene la longitud
𝜋Τ3
𝜋Τ3 𝜋Τ3
𝑡 𝑡
𝐿= න 8 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 4 න 𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑡 = 8 𝑠𝑒𝑛 อ =4𝑢
0 0 2 2
0

Ejemplo 2.
Calcule la longitud de arco de la curva paramétrica: 𝑥 = 𝑡 3 , 𝑦 = 𝑡 2 , −1 ≤ 𝑡 ≤ 3.
Solución.
Tenemos 𝑥 ′ 𝑡 = 3𝑡 2 , 𝑦 ′ 𝑡 = 2𝑡,
como 𝑥′(0) y 𝑦′(0) son cero, entonces se tiene:

0 3
L= න 3𝑡 2 2 + 2𝑡 2 𝑑𝑡 +න 3𝑡 2 2 + 2𝑡 2 𝑑𝑡
−1 0
0 3
L= න 9𝑡 4 + 4𝑡 2 𝑑𝑡 + න 𝑡 2 (9𝑡 2 + 4) 𝑑𝑡
−1 0

0 3
L=න 𝑡 (9𝑡 2 + 4) 𝑑𝑡 + න 𝑡 (9𝑡 2 + 4) 𝑑𝑡
−1 0
0 3
L = න −𝑡 9𝑡 2 + 4 𝑑𝑡 + න 𝑡 9𝑡 2 + 4 𝑑𝑡
−1 0
0 3
−1 3Τ2 ቤ
1 3Τ2 ቤ
L= 9𝑡 2 + 4 + 9𝑡 2 + 4
27 −1
27 0
1
L= 31 31 + 13 13 − 16 𝑢
27

Ejemplo 3. Calcule la longitud de arco de la curva:
𝑥 𝑡 = 1 + 3𝑡 2
𝐶: ቐ , desde 𝐴 = 1,4 hasta 𝐵 = 4,6 .
𝑦 𝑡 = 4 + 2𝑡 3
Solución.
Tenemos 𝑥 ′ 𝑡 = 6𝑡 , 𝑦 ′ 𝑡 = 6𝑡 2

3.5 Área de una superficie de revolución en coordenadas cartesianas

Teorema:
Sea 𝑓: 𝑎, 𝑏 → ℝ, una función positiva con derivada continua en 𝑎, 𝑏 . El área de la

superficie 𝑆 generada al rotar el arco de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) alrededor del eje 𝑋 entre los
puntos (𝑎, 𝑓(𝑎)) y (𝑏, 𝑓 𝑏 ), es:
𝑏 𝑏 2
𝑑𝑦
𝐴 𝑠 = 2𝜋 න 𝑟 𝑑𝐿 = 2𝜋 න 𝑦 1 + 𝑑𝑥 𝑢2
𝑎 𝑎 𝑑𝑥

Como se observa en la figura, en el segmento (la
curva) se toma un diferencial de longitud (dL) que
se encuentra a una distancia r del eje de rotación.
El área de la superficie generada por la rotación del

arco de curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) entre los puntos 𝑥 = 𝑎 y
𝑥 = 𝑏, alrededor de la recta 𝑦 = 𝑘, es:
𝑏 𝑏 2
𝑑𝑦
𝐴 𝑠 = 2𝜋 න 𝑟 𝑑𝐿 = 2𝜋 න 𝑦 − 𝑘 1+ 𝑑𝑥 𝑢2
𝑎 𝑎 𝑑𝑥
Observación: la definición anterior involucra, dos casos:

𝑓(𝑥) ≥ 𝑘 𝑜 𝑓(𝑥) ≤ 𝑘, para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 .

Teorema:
Sea 𝑓: 𝑐, 𝑑 → ℝ, una función con derivada continua en 𝑐, 𝑑 . El área de la superficie 𝑆

generada por la rotación del arco de la curva 𝑥 = 𝑓(𝑦) alrededor de la recta 𝑥 = 𝑘 entre
los puntos 𝐴(𝑓 𝑐 , 𝑐) y 𝐵(𝑓 𝑑 , 𝑑), es:
𝑑 𝑑 2
𝑑𝑥
𝐴 𝑠 = 2𝜋 න 𝑟 𝑑𝐿 = 2𝜋 න 𝑥 − 𝑘 1+ 𝑑𝑦 𝑢2
𝑐 𝑐 𝑑𝑦
Observación: la definición anterior involucra, dos casos:

𝑓(𝑦) ≥ 𝑘 𝑜 𝑓(𝑦) ≤ 𝑘, para todo 𝑦 ∈ 𝑐, 𝑑 .
En las fórmulas de áreas de superficie el
2 2
𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑑𝐿 = 1+ 𝑑x ó 𝑑𝐿 = 1+ 𝑑𝑦
𝑑𝑥 𝑑𝑦

Ejemplo 1. Halle el área de la superficie de revolución, generada, cuando el arco de curva:
𝑦 = 1 + 2 4 − 𝑥, 𝑥𝜖 1,4
a) gira alrededor de la recta 𝑦 = 1.
b) gira alrededor de la recta 𝑥 = 4.
Solución.
a) El área de la superficie de revolución es:
4
A 𝑠 = 2𝜋 න 𝑦 − 1 1 + (𝑦′)2 𝑑𝑥
1

1
𝑦′ = −
4−𝑥
2
1 5−x
1 + 𝑦′ =1+ =
4−x 4−x
4
5−x
A 𝑠 = 2𝜋 න 2 4 − 𝑥 + 1 − 1 𝑑𝑥
1 4−x
4
A 𝑠 = 4𝜋 න 5 − 𝑥𝑑𝑥
1
8 3/2
4
𝐴 𝑠 =− 𝜋 5−𝑥 ቚ
3 1
𝟓𝟔
𝑨 𝒔 = 𝝅 𝑢2
𝟑

b) El área de la superficie de revolución con eje de giro en
𝑥 = 4, es:
4
A 𝑠 = 2𝜋 න 4 − 𝑥 1 + (𝑦′)2 𝑑𝑥
1
2
1 5−x
1 + 𝑦′ =1+ =
4−x 4−x
4 4
5−x
A 𝑠 = 2𝜋 න 4 − 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝜋 න 5 − 𝑥 4 − 𝑥 𝑑𝑥
1 4−x 1
4
x 2
9 1 9
𝐴 𝑠 = 2𝜋 𝑥 − 9𝑥 + 20 − 𝑥 − 9𝑥 + 20 − 𝑙𝑛 𝑥 − + 𝑥 2 − 9𝑥 + 20 ቤ
2
2 4 8 2 1
𝟏 𝟏 𝟕
𝑨 𝒔 =𝝅 𝒍𝒏𝟐 + 𝒍𝒏 − 𝟐 𝟑 + 𝟕 𝟑 𝑢2
𝟒 𝟒 𝟐

Ejemplo 2. Halle el área de la superficie de revolución, generada, cuando el arco de la curva:
1 2
𝑦 = 𝑥 − 2 ln 𝑥 , 𝑥𝜖 1,4
4
a) gira alrededor del eje de las ordenadas.

b) gira alrededor del eje de las abscisas.
Solución.
2
1 2 2
1 1 1 1 1
𝑦′ = 2𝑥 − por tanto se tiene, 1 + 𝑦′ = 𝑥2 + + 2 = 𝑥+
4 𝑥 4 2 4𝑥 4 𝑥
a) Cuando gira alrededor del eje de las ordenadas.

4
𝐴 𝑠 = 2𝜋 න 𝑟𝑑𝐿 = 2𝜋 න 𝑟 1 + (𝑦′)2 𝑑𝑥 ↺
𝐷 1
4 2 4
1 1
𝐴 𝑠 = 2𝜋 න 𝑥 𝑥+ 𝑑𝑥 = 𝜋 න 𝑥 2 + 1 𝑑𝑥
1 4 𝑥 1
4
1
𝐴 𝑠 =𝜋 𝑥 3 + 𝑥 ቤ = 24𝜋 𝑢2
3 1
b) Cuando gira alrededor del eje de abscisas.

4
𝐴 𝑠 = 2𝜋 න 𝑟 1 + (𝑦′)2 𝑑𝑥
1

4 4 2
1 1 1
𝐴 𝑠 = 2𝜋 න 𝑦 1 + (𝑦′)2 𝑑𝑥 = 2𝜋 න (𝑥 2 − 2 ln 𝑥) 𝑥+ 𝑑𝑥
1 1 4 4 𝑥
𝜋 4 3 ln 𝑥
𝐴 𝑠 = න 𝑥 + 𝑥 − 2𝑥𝑙𝑛𝑥 − 2 𝑑𝑥
4 1 𝑥
4
𝜋 1 4 1 2 1
𝐴 𝑠 = 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 2 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥 2 − 𝑙𝑛2 𝑥 ฬ
4 4 2 2 1
𝝅 𝟑𝟏𝟓
𝑨 𝒔 = − 𝟒𝒍𝒏𝟐 𝟐 − 𝟑𝟐𝒍𝒏𝟐 𝒖𝟐
𝟒 𝟒

Ejemplo 3. Halle el área de la superficie de revolución generada por la rotación del arco de curva:
𝑥−1=2 𝑦 ; 𝑥 ∈ 5; 9
Cuando gira alrededor de la recta 𝑦 = 2.
Solución.

Ejemplo 4. Halle el área de la superficie de revolución generada por el arco de la curva
𝑦 = ln 𝑥 2 − 1 − 𝑥 , −5 ≤ 𝑥 ≤ −2,
al girar alrededor de la recta 𝑥 = 1
Solución.
En la gráfica se muestra el arco de la curva
La derivada es,
1
𝑦′ = −
𝑥2 − 1
1 𝑥2
1+ 𝑦′ 2 =1+ =
𝑥 2 −1 𝑥 2 −1

−2
𝑥
𝐴 𝑠 = 2𝜋 න (𝑥 − 1) 𝑑𝑥
−5 𝑥2 −1
Integrando por partes,
𝑢 = 𝑥 − 1, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑥
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥, 𝑣 = 𝑥 2 − 1
𝑥 2 −1
−2 1 1 −2
𝐴 𝑠 = 2𝜋 (𝑥 − 1) 𝑥2 −1 − 2
𝑥 𝑥2 −1− 2
𝑙𝑛 𝑥+ 𝑥2 −1
−5 −5
𝐴 𝑠 = 7 24 − 4 3 + 𝑙𝑛 3 − 2 − 𝑙𝑛 24 − 5 𝜋 𝑢2

Aplicaciones Físicas

Trabajo
Trabajo realizado por una fuerza variable
Si una particula es desplazada a lo largo de una recta por una fuerza (en Newton)
continuamente variable 𝐹(𝑥), entonces, el trabajo 𝑊 (en Joules) realizado por la fuerza,
para desplazar la particula desde 𝑥 = 𝑎 hasta 𝑥 = 𝑏 (metros), se define por:
𝑏
𝑊 = න 𝐹 𝑥 𝑑𝑥
𝑎

Ley de Hooke.
La fuerza 𝐹(𝑥), en Newton, requerida para mantener un resorte estirado o comprimido 𝑥 metros
desde su longitud natural está dado por:
𝐹(𝑥) = 𝑘𝑥
donde:
𝑘: es la constante del resorte (N/m).
𝑥: medido en metros

Trabajo para estirar o comprimir un resorte
En la siguiente figura se muestra el resorte estirado 𝑥1 y 𝑥2 unidades desde su longitud natural.

El trabajo que se realiza para estirarlo desde 𝐿1 hasta 𝐿2 es:
𝒙𝟐
𝑾𝑳𝟏−𝑳𝟐 = න 𝒌𝒙 𝒅𝒙
𝒙𝟏

Ejemplo 1. Si la longitud natural de un resorte es 20 cm y si es necesaria una fuerza de 16 N para
mantenerlo estirado 0.04 m, encuentre el trabajo realizado al estirar dicho resorte de su longitud
natural hasta una longitud de 0.3 m.
Solución.
16 = 𝑘 0.04 ⇒ 𝑘 = 400 ⇒ 𝐹 𝑥 = 400𝑥
0.1
0.1
𝑥2 1
𝑊=න 400𝑥𝑑𝑥 = 400 อ = 200 = 2𝐽
0 2 100
0
𝑊 =2𝐽

Ejemplo 2. Una fuerza de 80 N se requiere para mantener estirado un resorte desde su longitud
natural de 25 cm hasta una longitud de 30 cm. Cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte desde
32 cm hasta 36 cm de longitud.
Solución.
5
𝐹 = 𝑘𝑥 ⇒ 80 = 𝑘 ⇒ 𝑘 = 1600.
100
11
11 2 2
100
100 1 2 11 7
𝑊=න 1600𝑥𝑑𝑥 = 1600 𝑥 อ = 800 −
7 2 7 100 100
100
100
144
𝑊= 𝐽
25

Ejemplo 3. Un resorte tiene una longitud natural de 25 cm, si se requiere de una fuerza de 6 Newton
para mantenerlo comprimido hasta una longitud de 23 cm.
a) Determine el trabajo que se necesita para comprimirlo desde 24 cm hasta 22 cm
b) Determine el trabajo que se necesita para estirarlo desde su longitud natural hasta 30 cm.
Solución.
2
6𝑁 = 𝑘 ⇒ 𝑘 = 300 ⇒ la fuerza 𝑓 𝑥 = 300𝑥
100
a)
3/100
3/100
𝑥2 3
𝑊=න 300𝑥 𝑑𝑥 = 300 อ = 𝐽
1/100 2 25
1/100
b)
5/100
5/100
𝑥2 3
𝑊=න 300𝑥 𝑑𝑥 = 300 อ = 𝐽
0 2 8
0

Ejemplo 4.
Se necesitan 6J de trabajo para estirar un resorte helicoidal desde 12 cm hasta 14 cm y otros

10J de trabajo para estirarlo desde 14 cm a 16 cm. Calcule el trabajo que se requiere para
estirar dicho resorte desde 16 cm hasta 18 cm.
Solución.
De los datos tenemos:
Longitud natural: 𝐿
0.14−𝐿
6 = ‫׬‬0.12−𝐿 𝑘𝑥𝑑𝑥 ⇒ 12 = 𝑘(0.26 − 2𝐿)(0.02) … (1)
0.16−𝐿
10 = ‫׬‬0.14−𝐿 𝑘𝑥𝑑𝑥 ⇒ 20 = 𝑘(0.3 − 2𝐿)(0.02) … (2)

Dividiendo las ecuaciones (1) y (2), se tiene:
3 0.26−2𝐿
= ⇒ 𝐿 = 0.1m
5 0.3−2𝐿
Luego
Reemplazando L en la ecuación (1) o (2) tenemos 𝑘 = 10000 𝑁/𝑚
Finalmente el trabajo requerido es:
8 0.08
100 𝑥2
𝑾=න 𝑘𝑥𝑑𝑥 = 10000 อ = 14𝑱
6 2
100 0.06

Ejemplo 5. Para comprimir en 5 cm un resorte desde su longitud natural (L cm) se requiere de una fuerza de
un 80 N.
a) Calcule el trabajo (en Joules) que se requiere para comprimir el resorte de la longitud natural a (𝑳 − 𝟐) cm.
b) Si se requiere de 50 J para estirar el resorte hasta 70 cm. Calcule la longitud natural (en cm) del resorte.
Solución.
De los datos tenemos: Longitud natural: 𝐿
𝐹 = 𝑘𝑥
5
80 = 𝑘 ⇒ 𝑘 = 1600
100

a) Para comprimir 2 cm, desde L se requiere un trabajo de:
2/100
𝑊=න 1600𝑥𝑑𝑥
0
2/100
𝑥2 4
𝑊 = 1600 อ = 800
2 104
0
8
𝑊= 𝐽
25
b) Si con 50J se estira de L a 70 cm., su longitud natural L es:
70
−𝐿 70 2
100
𝑥2 1 2 100
−𝐿 70
𝑊 = 50 = 1600 อ ⇒ = 𝑥 ቚ = −𝐿
2 16 0 100
0
1 7
± = −𝐿
4 10
𝑳 = 𝟎. 𝟒𝟓 𝒎 = 𝟒𝟓 𝒄𝒎

Centro de masa
Momentos y Centro de masa en el plano XY
El momento de masa 𝑴𝑳 de una particula respecto a una recta L, se define como el producto de su
masa y su distancia a la recta L, es decir
𝑴𝑳 = 𝒎𝒅
Donde:
𝑚: masa de la partícula
𝑑: distancia a la recta

Supongamos de que la particula de masa m está ubicada en el punto (x,y) tal como se muestra en la
siguiente figura, entonces sus momentos 𝑀𝑥 y 𝑀𝑦 respecto al eje X y al eje Y respectivamente,
son:
𝑴𝒙 = 𝒎𝒚, 𝑴𝒚 = 𝒎𝒙

Centro de masa
Si consideramos cuatro partículas de masas 𝑚1 , 𝑚2 ,𝑚3 y 𝑚4 , ubicadas respectivamente en los
puntos 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑥3 , 𝑦3 y 𝑥4 , 𝑦4 , entonces se tiene:
El momento del sistema respecto al eje Y
𝑀𝑦 = 𝑚1 𝑥1 + 𝑚2 𝑥2 + 𝑚3 𝑥3 + 𝑚4 𝑥4
El momento del sistema respecto al eje X
𝑀𝑥 = 𝑚1 𝑦1 + 𝑚2 𝑦2 + 𝑚3 𝑦3 + 𝑚4 𝑦4

En general, para n partículas ubicadas en n puntos diferentes, tenemos:
𝑴𝒚 = 𝒎1 𝒙1 + 𝒎2 𝒙2 + 𝒎3 𝒙3 + 𝒎4 𝒙4 + ⋯ + 𝒎𝒏 𝒙𝒏 = ෍ 𝒎𝒊 𝒙𝒊
𝒊=1
𝑴𝒙 = 𝒎1 𝒚1 + 𝒎2 𝒚2 + 𝒎3 𝒚3 + 𝒎4 𝒚4 + ⋯ + 𝒎𝒏 𝒚𝒏 = ෍ 𝒎𝒊 𝒚𝒊
𝒊=1

El centro de masa de un sistema de partículas, es un punto 𝑃 𝑥,ҧ 𝑦ത , tal que, en el supuesto que la
masa total m del sistema esta concentrada en el punto 𝑃, entonces los momentos de P y del sistema
coinciden.
Si el sistema de 𝑛 partículas de masas 𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 , 𝑚4 , … , 𝑚𝑛 , ubicadas en los puntos

𝑥1 , 𝑦1 , 𝑥2 , 𝑦2 , … , 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 tienen su centro de masa en el punto 𝑃 𝑥,ҧ 𝑦ത y la masa total del
sistema es:
𝒏
𝒎 = ෍ 𝒎𝒊 ,
𝒊=1
entonces, 𝑀𝑥 = 𝑚𝑦,
ത 𝑀𝑦 = 𝑚𝑥ҧ ,
𝑴𝒚 𝑴𝒙
de donde: ഥ=
𝒙 ഥ=
y 𝒚
𝒎 𝒎

Ejemplo.
Encontrar el centro de masa de un sistema de masas puntuales 𝑚1 = 7, 𝑚2 = 4, 𝑚3 = 6 y 𝑚4 = 8,
localizados respectivamente en los puntos (3,-2), (0,0), (-4,3) y (5,2).
Solución.
La masa m=7+4+6+8 = 25
El momento del sistema respecto al eje Y
𝑀𝑦 = 7 3 + 4 0 + 6 −4 + 8 5 = 37
El momento del sistema respecto al eje X
𝑀𝑥 = 7 −2 + 4 0 + 6 3 + 8 2 = 20
𝑀𝑦 37 𝑀𝑥 20
𝑥ҧ = = = 1.48 𝑦ത = = = 0.8
𝑚 25 𝑚 25
ഥ) = (𝟏. 𝟒𝟖 , 𝟎. 𝟖 )
𝒙, 𝒚
Centro de masa (ഥ

Centro de masa de una región o lámina plana
Consideremos una región plana (lámina plana) como se muestra en la siguiente figura, con
densidad constante 𝜌 (uniforme), limitada por las curvas 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) y 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏.
Para determinar el centro de masa de la región, dividamos

el intervalo en 𝑛 subintervalos del mismo ancho (∆𝑥).
Sea (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) el centro del i-ésimo rectángulo y su altura
ℎ𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 − 𝑔(𝑥𝑖 ).
Como masa = densidad . área
m= 𝜌 𝐴
Entonces 𝑚𝑖 = 𝜌(𝑓 𝑥𝑖 − 𝑔 𝑥𝑖 )∆𝑥 …(1)

Donde:
❑ 𝑚𝑖 : es la masa del i-ésimo rectángulo localizada en el centro del rectángulo 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖
❑ La distancia del centro 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 al eje X es:

𝑓 𝑥𝑖 +𝑔(𝑥𝑖 )
𝑑 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑒𝑗𝑒 𝑋 = = 𝑦𝑖
2
Luego, el momento de la masa 𝑚𝑖 respecto al eje X es

𝑀𝑥,𝑖 = 𝑚𝑖 𝑦𝑖 … 2
Reemplazando (1) en (2), se tiene
𝑀𝑥,𝑖 = 𝜌 𝑓 𝑥𝑖 − 𝑔 𝑥𝑖 ∆𝑥 𝑦𝑖 … (3)
Ahora, reemplazando 𝑦𝑖 en la ecuación (3) tenemos
𝑓 𝑥𝑖 +𝑔(𝑥𝑖 )
𝑀𝑥,𝑖 = 𝜌(𝑓 𝑥𝑖 − 𝑔 𝑥𝑖 )∆𝑥
2

Luego,
𝑓 2 𝑥𝑖 −𝑔2 (𝑥𝑖 )
𝑀𝑥,𝑖 = 𝜌 ∆𝑥
2
Al sumar los momentos 𝑀𝑥,𝑖 y como 𝜌 es constante, tomamos límite cuando

𝑛 → +∞ tenemos:
𝒃 𝒇𝟐 𝒙 − 𝒈𝟐 (𝒙൯
𝑴𝒙 = 𝝆 න 𝒅𝒙
𝒂 𝟐

Por otro lado, el momento de la masa 𝑚𝑖 respecto al eje Y es:
𝑀𝑦,𝑖 = 𝑚𝑖 𝑥𝑖 …(4)
Reemplazando (1) en (4) tenemos
𝑀𝑦,𝑖 = 𝜌(𝑓 𝑥𝑖 − 𝑔 𝑥𝑖 )∆𝑥 𝑥𝑖
𝑀𝑦,𝑖 = 𝜌𝑥𝑖 (𝑓 𝑥𝑖 − 𝑔 𝑥𝑖 )∆𝑥
Al sumar los momentos 𝑀𝑦,𝑖 y como 𝜌 es constante, tomamos límite cuando

𝑛 → +∞ obtenemos:
𝒃
𝑴𝒚 = 𝝆 න 𝒙 𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒅𝒙
𝒂

Centro de masa de una lámina plana
Sean 𝑓 y 𝑔 funciones continuas tal que 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 en 𝑎, 𝑏 , y considerar la
lámina plana (región) de densidad uniforme 𝜌 limitada por las gráficas de
𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 = 𝑔(𝑥), 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏.
Entonces en centro de masa (𝑥,ҧ 𝑦)
ത está dado por:
𝑴𝒚 1 𝒃
ഥ
𝒙= = න 𝒙 𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒅𝒙
𝒎 𝑨 𝒂
𝑴𝒙 1 𝑏 2
𝑦ത = = න 𝑓 𝑥 − 𝑔2 (𝑥) 𝑑𝑥.
𝒎 2𝐴 𝑎
𝑨: área de la región

Sean 𝑓 y 𝑔 funciones continuas tal que 𝑓 𝑦 ≥ 𝑔 𝑦 en 𝑐, 𝑑 , y considerar la
lámina plana (región) de densidad uniforme 𝜌 limitada por las gráficas de
𝑥 = 𝑓 𝑦 , 𝑥 = 𝑔(𝑦), 𝑦 = 𝑐 e y= 𝑑.
Entonces en centro de masa (𝑥,ҧ 𝑦)
ത está dado por:
𝑴𝒚 1 𝑑 2
𝑥ҧ = = න 𝑓 𝑦 − 𝑔2 (𝑦) 𝑑𝑦
𝒎 2𝐴 𝑐
𝑴𝒙 1 𝑑
𝑦ത = = න 𝑦 𝑓 𝑦 − 𝑔 𝑦 𝑑𝑦
𝒎 𝐴 𝑐
𝐴: área de la región.

Observaciones:
❑ Si la región es simétrica respecto a la recta 𝑥 = 𝑥0 ⇒ 𝑥ҧ = 𝑥0 , entonces el centro de masa es (𝑥0 , 𝑦).

ത
Este hecho se aprecia en la siguiente gráfica.

Calculamos solamente:
𝑴𝒙
𝑦ത =
𝒎

❑ Si la región es simétrica respecto a la recta y = 𝑦0 ⇒ 𝑦ത = 𝑦0 , entonces el centro de

masa es (𝑥,ҧ 𝑦0 ).
Este hecho se aprecia en la siguiente gráfica, y calculamos solamente:
𝑴𝒚
𝑥ҧ =
𝒎

Ejemplo 1. Determine las coordendas del centro de masa de la región limitada por las curvas:
𝑦 = 𝑥 2 − 3; 𝑦 = −2𝑥 2 .
Solución.
En la gráfica mostramos la región
mencionada.
Hallando lo puntos de intersección
𝑥 2 − 3 = −2𝑥 2 ⇒ 𝑥 = ±1
Los puntos de intersección son:
(−1, −2) y (1, −2)

Notar que el centro de masa es simétrico respecto al eje Y, entonces 𝑥ҧ = 0.
Ahora hallaremos el área
1 1
𝐴=න −2𝑥 2 − 𝑥 2 − 3 𝑑𝑥 = න −3𝑥 2 + 3 𝑑𝑥 = 4
−1 −1
1 𝑏 2 1 1
𝑦ത = න 𝑓 𝑥 − 𝑔2 (𝑥) 𝑑𝑥 = න (−2𝑥 2 )2 −(𝑥 2 − 3)2 𝑑𝑥
2𝐴 𝑎 8 −1
1 1 4 2
8
= න 3𝑥 + 6𝑥 − 9 𝑑𝑥 = −
8 −1 5
8
Entonces en centro de masa es 𝑥,ҧ 𝑦ത = 0, − 𝑢
5

Ejemplo 2.
Encuentre el centroide de la región que contiene al punto 0,1 , la cual es limitada por las curvas:
1
𝑦 = 𝑒 −𝑥 + 𝑒 𝑥 , 𝑦=𝑒𝑥 + .
𝑒
Solución.
Hallemos los puntos de intersección
𝑒2 − 4
𝐴=
𝑒
1 2 3 −2
𝑀𝑥 = 𝑒 − 𝑒 + 1
6 2
𝑒 4 + 6𝑒 2 − 9
𝑥, 𝑦 = 0,
6𝑒 𝑒 2 − 4

Ejemplo 3.
Determine el centroide de la región limitada por las curvas:
𝑦 + 2𝑥 3 = 0, 𝑦 3 − 8𝑥 2 = 0.
Solución.
Los puntos de intersección se determinan resolviendo
𝑦 3 = 8𝑥 6 = −8𝑥 9 ⇒ 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = −1, de donde se obtienen los puntos −1,2 y 0,0 .
7 2
A= u
10
7 4
𝑀𝑦 = − 𝑀𝑥 = .
20 7
1 40
𝐶= − ,
2 49

Ejemplo 4. Halle las coordenadas del centro de gravedad de la región limitada por las
curvas:
𝑦 − 𝑥 = 0 ; 𝑥 − 𝑦 − 2 = 0; 𝑦 = 0.
Solución.
Hallaremos los puntos de intersección
𝑥 = 𝑦 + 2 = 𝑦 2 ⇒ 𝑦 = −1 ∨ 𝑦 = 2.
El punto de intersección es (4,2).

2
2
𝒚2 𝒚3 10
𝑨 = න 𝒚 + 2 − 𝒚2 𝒅𝒙 = + 2𝒚 − อ =
0 2 3 3
0
2
𝑑 2
1 2 2
3 2 2 2
3 (𝑦 + 2)3 𝑦5 3 184 46
𝑥ҧ = න 𝑓 𝑦 − 𝑔 (𝑦) 𝑑𝑦 = න (𝑦 + 2) −(𝑦 ) 𝑑𝑦 = − อ = . =
2𝐴 𝑐 2(10) 0 20 3 5 20 15 25
0
2
𝑑 2
1 3 2
3 𝑦3 𝑦4 3 4 4
𝑦ത = න 𝑦 𝑓 𝑦 − 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = න 𝑦 𝑦 + 2 − 𝑦 𝑑𝑦 = + 𝑦2 − อ = . =
𝐴 𝑐 10 0 10 3 4 10 5 5
0
46 4
Así, el centro de masa es ,
25 5

Ejemplo 5. Halle las coordenadas del centroide de la región limitada por las curvas:
1
𝑥 = 𝑦 3 − 2𝑦 2 , 𝑥 = 1 − 𝑦 2 , y el eje X.
4
Solución.
2
1 8
𝐴=න 1 − 𝑦 2 − 𝑦 3 − 2𝑦 2 𝑑𝑦 =
0 4 3
2
1 13
𝑀𝑥 = න 𝑦 1 − 𝑦 2 − 𝑦 3 − 2𝑦 2 𝑑𝑦 =
0 4 5
2
1 2 1 2 1 2 1 2 63 4 8
𝑀𝑦 = න 1− 𝑦 − 𝑦 3 − 2𝑦 2 2 𝑑𝑦 = න 1 − 𝑦 − 5 6
𝑦 + 4𝑦 − 𝑦 𝑑𝑦 = −
2 0 4 2 0 2 16 105
Por lo tanto, el centroide es:

𝟏 𝟑𝟗
𝐶= − ,
𝟑𝟓 𝟒𝟎

𝑀𝑦 𝑀𝑥
Ejemplo 7. Determine el centroide la región limitada por las curvas 𝑦 = −𝑥 2 , 𝑦 = −2 2𝑥 y la recta
𝑦 = −𝑥 − 2.
Solución.
Los puntos de intersección
Parábola con la recta:
𝑦 = −𝑥 2 = −𝑥 − 2 ⇒ 𝑥 = −1, 𝑥 = 2
Parábola con la raíz cuadrada:
𝑦 = −𝑥 2 = −2 2𝑥 ⇒ 𝑥 = 0, 𝑥 = 2.

Centroide: 𝑥,ҧ 𝑦ത donde:
𝑀𝑦 𝑀𝑥
𝑥ҧ = ; 𝑦ത =
𝐴 𝐴
0 2
𝐴 = න −𝑥 2 − −𝑥 − 2 𝑑𝑥 + න −2 2𝑥 − −𝑥 − 2 𝑑𝑥
−1 0
0 2
𝐴=න −𝑥 2 + 𝑥 + 2 𝑑𝑥 + න −2 2𝑥 + 𝑥 + 2 𝑑𝑥
−1 0
0 2
𝑥3 𝑥2 𝑥 3/2 𝑥 2
𝐴= − + + 2𝑥 + −4 2 + + 2𝑥
3 2 −1
3 2 0
7 2 11
𝐴= + =
6 3 6

0 2
𝑀𝑦 = න 𝑥 −𝑥 2 − (−𝑥 − 2) 𝑑𝑥 + න 𝑥 −2 2𝑥— (−𝑥 − 2) 𝑑𝑥
−1 0
0 2
𝑀𝑦 = න 𝑥 −𝑥 2 + 𝑥 + 2 𝑑𝑥 + න 𝑥 −2 2𝑥 + 𝑥 + 2 𝑑𝑥
−1 0
0 2
𝑀𝑦 = න −𝑥 3 + 𝑥 2 + 2𝑥 𝑑𝑥 + න −2 2𝑥 3/2 + 𝑥 2 + 2𝑥 𝑑𝑥
−1 0
0 2
𝑥4 𝑥3 𝑥 5/2 𝑥 3
𝑀𝑦 = − + + 𝑥 2 + −4 2 + + 𝑥2
4 3 −1
5 3 0
5 4 3
𝑀𝑦 = − + =−
12 15 20
Luego,
𝑀𝑦 9
𝑥ҧ = =−
𝐴 110

1 0 1 2 2
𝑀𝑥 = න −𝑥 2 2
− −𝑥 − 2 2
𝑑𝑥 + න −2 2𝑥 − −𝑥 − 2 2
𝑑𝑥
2 −1 2 0
1 0 4 1 2
𝑀𝑥 = න 𝑥 − 𝑥 2 − 4𝑥 − 4 𝑑𝑥 + න −𝑥 2 + 4𝑥 − 4 𝑑𝑥
2 −1 2 0
0 2
1 𝑥5 𝑥3 1 𝑥3
𝑀𝑥 = − − 2𝑥 2 − 4𝑥 + − + 2𝑥 2 − 4𝑥
2 5 3 −1
2 3 0
16 4 12
𝑀𝑥 = − − =−
15 3 5
Luego,
𝑀𝑥 72
𝑦ത = =−
𝐴 55
Por tanto, el centroide es
ഥ = − 9 , − 72
𝑥ത , 𝑦 110 55

Hasta aquí el Ex. de medio Curso
GRACIAS

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Universidad Nacional Agraria La Molina

3.4 Longitud de arco de una curva en coordenadas cartesianas, polares y

3.5 Área de una superficie de revolución en coordenadas cartesianas

3.6 Aplicaciones físicas: Trabajo y Centro de masa.

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Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función tal que su derivada 𝑓′ es

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Si 𝑥 = 𝑓(𝑦) es una función tal que 𝑓′ es continua para

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Halle el perímetro de la región común a las curvas 𝑟 = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 y curva 𝑟 = 3 𝑠𝑒𝑛𝜃 .

Hallamos los puntos de intersección

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Hallamos los puntos de intersección

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Para calcular el perímetro P, calculamos la longitud 𝐿1 (parte de la

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Reemplazando las derivadas en (*), se obtiene la longitud

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Calcule la longitud de arco de la curva paramétrica: 𝑥 = 𝑡 3 , 𝑦 = 𝑡 2 , −1 ≤ 𝑡 ≤ 3.

como 𝑥′(0) y 𝑦′(0) son cero, entonces se tiene:

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Sea 𝑓: 𝑎, 𝑏 → ℝ, una función positiva con derivada continua en 𝑎, 𝑏 . El área de la

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El área de la superficie generada por la rotación del

Observación: la definición anterior involucra, dos casos:

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Sea 𝑓: 𝑐, 𝑑 → ℝ, una función con derivada continua en 𝑐, 𝑑 . El área de la superficie 𝑆

Observación: la definición anterior involucra, dos casos:

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a) El área de la superficie de revolución es:

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a) gira alrededor del eje de las ordenadas.

a) Cuando gira alrededor del eje de las ordenadas.

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b) Cuando gira alrededor del eje de abscisas.

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En la gráfica se muestra el arco de la curva

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En la siguiente figura se muestra el resorte estirado 𝑥1 y 𝑥2 unidades desde su longitud natural.