Universidad de Santiago de Chile

Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y C.C.
Introducción al Pensamiento Matemático -IPeMat 2020

Evaluación N◦6
Para cada uno de los siguientes ejercicios, justique matemáticamente cada una de sus armaciones.

Tiempo de desarrollo: 90 minutos

1) ¾Cuál de los siguientes grácos corresponde a las funciones f, g, h señaladas?

I) El gráco de f : [0, +∞[→ R, f (x) = 3 cos(2x)

II) El gráco de g : [0, +∞[→ R, g(x) = sin(4x)

III) El gráco de h : R → R, h(x) = −2 · tan(3x)

a) Solo I) CORRECTA
b) Solo II)
c) Solo III)
d) I) y II)
e) I), II) y III)

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2) Una larga cinta rectangular de papel de ancho W se dobla a lo largo del trazo AC hasta encontrar
el borde opuesto, como se muestra en la gura, en que el vértice B coincide con el punto E , creando
el ángulo ∠CAB = θ. El trazo AB es distinto del trazo BC .

¾Cuál es la longitud del trazo AC en términos de θ y W ?

W
I)
sin(θ) · (1 + cos(2θ))
W
II)
sin(2θ) · (1 + cos(θ))
a
W
III)
sin(2θ) · cos(θ)
W
IV)
sin(θ) · cos(2θ)

a) Solo I)
b) I y IV)
c) I) y III) CORRECTA
d) Solo IV)
e) II) y III)

3) Determine la alternativa correcta para la veracidad de la siguiente proposición:

a y b primos relativos, implica (a + b) primo relativo con b

a) Es verdadera solo si a y b son primos.

b) Es verdadera sin otras condiciones CORRECTA
c) Es verdadera solo si a es primo.
d) Es verdadera solo si b es primo.
e) Es verdadera solo si b = 1.

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m m
4) Sean a, b y m números enteros, la proposición ⇒ es válida si:
a·b b
a) Si m y a son primos relativos. CORRECTA
b) Si m y b son primos relativos.
c) Si a y b son primos relativos.
d) Si m es primo.
e) Si a es primo.
5) Si n es un número entero, considere la proposición

(n − 1)n(n + 1) divisible por 12 implica (n − 1)(n + 1) divisible por 12

a) La proposición es verdad para cualquier entero.

b) La proposición es verdad si n es primo relativo con 2.
c) La proposición es verdad si n es un primo mayor que 3. CORRECTA
d) No es posible conocer la validez de la proposición.
e) La proposición es verdad solo si n es múltiplo de 11.

6) ¾Cuál(es) de las siguientes armaciones es(son) verdaderas?

I) El gráco de la función real y = ax2 + bx + c interseca al eje de las abscisas
en dos puntos distintos, si y solamente si, el discriminante es negativo.
II) Sean las funciones reales f (x) = −|x + 1| y g(x) = ln(x + 3), entonces
a (g ◦ f )(x) = ln(−|x + 1| + 3).

III) Si f es una función real decreciente en D, entonces −f es una función cre-

ciente en D.
IV) La composición de dos funciones inyectivas es inyectiva.
a) III) y IV) CORRECTA
b) II), III) y IV)
c) Solo III)
d) I), II), III) y IV)
e) II) y III)

7) La solución de la siguiente ecuación logx (3x2 ) · log3 (x2 ) = 9 ,es:

√
a) 3 4 27 CORRECTA
b) ∅
√
c) 3 27
√
d) 4
27
7
e)
4

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8) Sea la función real f (x) = 2ln(x + 3) + 1. De las siguientes armaciones, cuáles son verdaderas:
I) Dom(f ) = R+
II) Rec(f ) = R
a III) La función es creciente en todo du dominio.
 
25
IV) La solución de la ecuación f (4x) − f (4x + 1) = ln es 1.
36

a) II) y III) CORRECTA

b) I) y II)
c) I), II) y III)
d) II), III) y IV)
e) I) y IV)

9) En la gura se puede determinar la cosecante de α si:

(1) AB ⊥ BC
(2) BC = 12

a) (1) por sí sola

b) (2) por sí sola
c) Ambas juntas, (1) y (2) CORRECTA
d) Cada una por sí sola, (1) o (2)
e) Se requiere información adicional

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10) Considere el conjunto A = {x ∈ R : − 1 ≤ x ≤ 1} y las funciones proposicionales:

p(x, y) : x2 ≤ y
√
q(x, y) : x+y ∈R

Dadas las armaciones:

I) ∀ x ∈ A, ∃ y ∈ A, p(x, y)
a II) ∃ x ∈ A, ∃ y ∈ A, q(x, y)
III) ∃ x ∈ A, ∃ y ∈ A, ∼ p(x, y) ∧ q(x, y)
entonces son verdaderas:

a) I) y II)
b) I) y III)
c) II) y III)
d) Solo I)
e) I), II) y III) CORRECTA

11) Sea A un subconjunto jo del conjunto de referencia U , y MA el conjunto denido por:

MA = {X ∈ P(U) : A ∩ X = ∅}

De las siguientes armaciones:

I) ∅ ∈ MA ∧ (U − A) ∈ MA

a II) A ∈ MA ⇔ A=∅

III) (X ∈ MA ∧ Y ∈ MA ) ⇒ [(X − Y ) ∩ (Y − X)] ∈ MA

Son verdaderas:

a) Solo I)
b) Solo II)
c) I) y II)
d) II) y III)
e) I), II) y III) CORRECTA

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12) De las aseveraciones:

I) (∀ a ∈ R − {0}) (∀ b ∈ R − {0}) 1 1 2


a2
+ b2
≥ a·b

a II) (∀ a ∈ R) (∀ b ∈ R) (|a − b| ≤ |a| − |b|)

√ 
III) (∀ a ∈ R) (∀ b ∈ R) a2 · b2 = a · b
son verdaderas:

a) Solo I) CORRECTA
b) I) y II)
c) I) y III)
d) II) y III)
e) I), II) y III)

13) Sean a, b, c ∈ R y f una función real determinada por f (x) = ax2 +bx+c. ¾Cuál(es) de las siguientes
armaciones es o son correctas?
I) Si b = 0, entonces f es una función par, para todo a, c ∈ R.
a II) Si a = 3, b = 1
3 y c = 4, entonces f es decreciente en el intervalo [−1, 0].
III) Si a = 1 y b = 0, entonces f es una función creciente en [5, 10].
a) Solo I)
b) Solo II)
c) Solo III)
d) I) y III)
e) II) y III) CORRECTA

14) Dadas las funciones reales f y g , determinadas por:

x2 + 1 x ≥ 1

f (x) =
x x<1
y
g(x) = ln [(2x − 1)(9 − x)]
Si A = f ([0, 5]) y B = Dom(g), entonces el conjunto A ∩ B corresponde a:

a) [0, 1] ∪ [2, 10]

b) CORRECTA
1 
2 , 1 ∪ [2, 9[
c) ]1, 2] ∪ [5, 9]
d)
1 
,9
 21 
e) 2 , 1 ∪ [5, 9]

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15) Para qué valores de k ∈ R, el esbozo del gráco de la función real f determinada por
f (x) = 3x2 − (k − 1)x + 12 es como el de la gura:

a) k ≤ 13
b) k < 13
c) −11 < k < 13 CORRECTA
d) −1 ≤ k ≤ 13
e) Otros valores
16) En un pueblo había dos tipos de ciudadanos, unos siempre mentirosos y otros siempre sinceros. Un
periodista [P] fue al pueblo y entrevistó a un ciudadano [C]. Este fue el diálogo:
P : Me informaron que Ud. cierta vez armó que en este pueblo no había alcalde. ¾Es eso verdad?
C : NO. Nunca armé eso.
P : Bueno, ¾alguna vez armó que este pueblo tenía alcalde?
C : Sí, yo dije eso.
Indique la proposición verdadera:
a) Con la información solo se puede armar con certeza que C es mentiroso.
b) Con la información solo se puede armar con certeza que C es sincero.
c) Con la información solo se puede armar con certeza que el pueblo tiene alcalde. CORR
d) Con la información solo se puede armar con certeza que el pueblo no tiene alcalde.
e) Con la información no se puede armar si hay o no alcalde y si el ciudadano miente o es sincero.
17) Dados los conjuntos A = {x ∈ R : |x − 3| ≤ 4} y B = {x ∈ R : |2x + 4| > 3}, entonces A ∩ B =
 
1 7
a) ,
2 2
 
1
b) − ,7 CORRECTA
2
 
1
c) ,7
2
   
1 7
d) −1, − ∪ , 7
2 2
   
1 7
e) −1, ∪ ,7
2 2

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18) Sea B = {x ∈ Z : |x| > 2} ¾Cuál es la cardinalidad del conjunto P(B C )?

a) 3
b) 7
c) 8
d) 16
e) 32 CORRECTA
19) Sea R conjunto de referencia y A, B ⊆ R. El conjunto [A − (A ∩ B)] ∪ [B − (A ∩ B)] ∪ (A ∩ B) es
equivalente a:
a) ∅
b) R
c) B
d) A∪B CORRECTA
e) A∩ BC

20) Considere las tres proposiciones siguientes:

I) ∀ x ∈ R, ∀ y ∈ Z, ∃ z ∈ N, x + y < z
a II) ∀ x ∈ R, ∃ y ∈ Z, ∀ z ∈ N, x + y < z
III) ∃ x ∈ R, ∀ y ∈ N, ∃ z ∈ Z, x + y < z
a) Solo es válida I)
b) Solo es válida II)
c) Solo es válida III)
d) Son válidas II) y III) CORRECTA
e) Ninguna de las tres es válida
√
(x + 1) x + 1
21) El conjunto solución de la inecuación ≤ 0 está dado por:
x2 − 1
a) ] − ∞, −1[
b) ] − 1, 1[ CORRECTA
c) ]1, ∞[
d) ] − 1, 1[∪]1, ∞[
e) ∅

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22) ¾Qué valores debe tener a y b para que el conjunto solución de la inecuación |x − a| ≤ b sea igual
al conjunto solución de la inecuación x2 − 7x − 8 ≤ 0?
a) a = −8, b = 1
b) a = 8, b = −1
7 9
c) a = , b = CORRECTA
2 2
9 7
d) a = , b =
2 2
7 9
e) a = − , b = −
2 2
23) La ecuación 2x + m2 = 4 tiene solución real si:
a) m>2
b) m ∈] − 2, 2[ CORRECTA
c) m < −2
d) m∈R
e) No tiene solución.
24) Si ln(y + 1) = ln(y) + x, entonces:
1
a) y = CORRECTA
ex −1
1
b) y =
1 − ex
1
c) y = x
e +1
d) y = ex − 1
1
e) y = x −1
e
 
4 4
25) Si sin(x) = , entonces cos−1 es:
5 5
Π
a) −x CORRECTA
2
Π
b) +x
2
c) Π − x
d) x + 1
e) Π + x

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