Universidad Nacional Experimental De Guayana

Vicerrectorado Académico

Proyecto De Carrera: Ingeniería Industrial

Unidad Curricular: Matemática I

Sección: 06

FUNCIONES

Prof.

Jesús Carrión

ALUMNA:

Dorkis Ramírez C.I.V. 18.513.320

Ciudad Guayana 08, de Enero 2024

1.- Función. Dominio y Rango de una función

Definición: Se considera una función a una relación establecida entre dos

conjuntos A y B, donde existe una asociación entre cada elemento de A y uno y
solo un elemento de B a través de una ecuación.

 Fórmula:

La fórmula o ecuación de una función es la expresión, en términos de operaciones

algebraicas o no, de la relación de dependencia entre las dos variables:

X → variable independiente

Y → variable dependiente

y = f(x)

La fórmula nos dice qué operaciones debemos hacer con cada valor de x para
obtener su correspondiente valor y = f(x).

 Propiedades de una Función

Las funciones tienen varias propiedades que son importantes para entender su
comportamiento y aplicaciones. Algunas de las propiedades más comunes son:

 Dominio: Es el conjunto de valores para los cuales la función está definida.

En otras palabras, son los valores que se pueden ingresar en la función sin
que esta falle. Por ejemplo, la función f(x) = 1/x tiene un dominio de todos
los números reales excepto x = 01.

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  Recorrido: Es el conjunto de valores que la función puede tomar. En otras
palabras, son los valores que la función puede producir. Por ejemplo, la
función f(x) = x^2 tiene un recorrido de todos los números reales mayores o
iguales a cero1.
 Simetría: Una función es simétrica si su gráfica es invariante bajo ciertas
transformaciones. Por ejemplo, una función es simétrica respecto al eje y si
para cada punto (x, y) en la gráfica, el punto (-x, y) también está en la
gráfica2.
 Paridad: Una función es par si f(-x) = f(x) para todo x en el dominio de la
función. En otras palabras, la gráfica de una función par es simétrica
respecto al eje y. Por otro lado, una función es impar si f(-x) = -f(x) para
todo x en el dominio de la función. En otras palabras, la gráfica de una
función impar es simétrica respecto al origen2.
 Monotonía: Una función es monótona si siempre aumenta o siempre
disminuye en su dominio. Por ejemplo, la función f(x) = x^2 es creciente en
el intervalo [0, ∞) y decreciente en el intervalo (-∞, 0]3.
 Periodicidad: Una función es periódica si se repite a sí misma después de
un cierto intervalo. Por ejemplo, la función f(x) = sin(x) es periódica con un
período de 2π3.

Ejemplo1.- y = f(x) = 3·x3 + 4·x2 - 5·x - 6 → para hallar el valor de y que

corresponde a un valor x concreto, debemos elevar al cubo x, multiplicarlo por 3,
elevar al cuadrado x, multiplicarlo por 4, multiplicar x por 5 y por último, sumar o
restar esas cantidades, incluido el 6.

Así para x = 2 sustituimos x por 2 y operamos:

F (2) = 3·23 + 4·22 - 5·2 - 6

F (2) = 3·8 + 4·4 - 5·2 - 6

F (2) = 24 + 16 - 10 - 6

F (2) = 24

Pag.3
Con mucha diferencia, una fórmula es la mejor manera de expresar una función.
Con ella, podemos fácilmente construir cualquier tabla de valores de f(x) sin más
que evaluar repetidamente la función en los puntos de x que aparezcan en la
tabla.

También, usando el cálculo diferencial, podemos obtener la gráfica precisa de la

función a partir de la fórmula.

Además, viendo la fórmula, podemos deducir el tipo de dependencia entre ambas

variables.

Ejemplo 2.

Ejemplo 3.

Pag.4
  Dominio

Definición: El dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de

una funciónes el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para
los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede
transformar, se denota , o. En se denomina dominio a un conjunto
conexo, abierto y cuyo interior sea no vacío.

¿Cómo encontrar el dominio?

Podemos determinar el dominio de la función al buscar los valores de la variable

independiente (usualmente la x), los cuales sí podemos usar en la función.
Usualmente, esto implica evitar valores que producen un 0 en el denominador de
fracciones o evitar tener valores negativos dentro de raíces cuadradas.

Entonces, para encontrar el dominio, lo importante es recordar que:

 El denominador de una fracción no puede ser cero.

 El número dentro de una raíz cuadrada debe ser positivo.

 Propiedades:

Dadas dos funciones reales:

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Se tienen las siguientes propiedades:

Ejemplo 1.- Algunos dominios de funciones reales de variable real:

El dominio de esta función, así como el de cualquier función

polinómica y exponencial, es

El dominio de esta función es puesto que la función no

está definida para x = 0.

El dominio de esta función es ya que los logaritmos

están definidos sólo para números positivos.

El dominio de esta función es [0,+∞) porque la raíz de índice par de

un número negativo, no existe en el cuerpo de los reales.

Ejemplo 2.- La siguiente es la gráfica de √

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El dominio de esta función es x ≥−2x≥−2, debido a que x no puede ser menor que
-2. Para verificar esto, podemos intentar con el número -3. Reemplazando = −3x
=−3, tenemos =−3+2=−1y= √ √

Tenemos un número negativo dentro de una raíz cuadrada y el resultado no es un

número real, por lo que sólo valores de x mayores o iguales a -2 producen valores
reales en la función.

Ejemplo 3.

 Rango

Definición: El rango de la función es el conjunto de todos los valores posibles de

la variable dependiente luego de haber sustituido el dominio. Es decir, el rango
son los valores resultantes de y que obtenemos después de haber sustituido todos
los posibles valores de x.

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¿Cómo encontrar el rango?

Para encontrar el rango tenemos en cuenta lo siguiente:

El rango de una función es el conjunto de valores de y desde el valor mínimo

hasta el valor máximo.

Podemos sustituir algunos valores de x para determinar lo que sucede con los
valores de y. Podemos averiguar si es que los valores de y son siempre positivos,
siempre negativos.

Asegúrate de encontrar los valores mínimos y máximos de y.

Traza una gráfica básica para visualizar el problema.

 Propiedades:

El rango de una función es el conjunto de valores de salida para los cuales la

función está definida. Algunas propiedades del rango son:

El rango de una función es el conjunto de valores de salida para los cuales la

función está definida. Algunas propiedades del rango son:

 El rango de una matriz coincide con el de su traspuesta¹.

 El rango no varía si cambiamos el orden de líneas paralelas, multiplicamos
una línea por un número distinto de 0, o sumamos a una de las líneas otras
paralelas a ella multiplicadas por números cualesquiera¹.
 El rango no varía si suprimimos una línea de ceros o una línea que es
combinación lineal de otras paralelas a ella¹.

Ejemplo 1.- Nuevamente, miremos la gráfica de √

Podemos observar que la curva siempre está encima del eje horizontal. Sin
importar el valor de x que intentemos, siempre obtendremos un valor de y que es
cero o positivo. En este caso, el rango es y ≥0 y ≥0.

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La gráfica se va hacia la derecha indefinidamente, por lo que el rango es todos los
valores no negativos de y.

Ejemplo 2.-

Ejemplo 3.-

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  Clasificación de funciones; inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

Función Inyectiva:

Definición: Sea una función cuyo dominio es el conjunto , se dice que la

función f es inyectiva si para todo a y b en , entonces esto es
implica Equivalentemente, si entonces
Simbólicamente,

Que es equivalente a su contra reciproco

Para probar que una función no es inyectiva, basta con hallar dos valores distintos
del dominio, cuyas imágenes en el codominio son iguales.

 Fórmula:

La fórmula de una función inyectiva depende de la función específica. Sin

embargo, una forma común de definir una función inyectiva es mediante la fórmula
f(x) = mx + b, donde m y b son constantes y m ≠ 0. Esta es la fórmula de una
función afín, que es una función inyectiva si m ≠ 01.

 Propiedades de una función inyectiva

 Cada elemento del dominio tiene una imagen única en el codominio.
 Dos elementos diferentes del dominio no pueden tener la misma imagen en
el codominio.

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  Si f(x) = f (y), entonces x = y para todo x, y en el dominio.

Ejemplo 1.- Identifica cuál de las siguientes funciones es inyectiva.

Solución:

1.-Es inyectiva. Los elementos asociados del codominio son únicos para cada
valor de la variable independiente.

2.-No es inyectiva. Existen elementos del codominio asociados a más de un

elemento del conjunto de partida.

3.-Es inyectiva.

4.- No es inyectiva.

Ejemplo 2.- Sea la función F: R → R definida por la recta F ( x ) = 2x – 3

R: [Todos los números reales]

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Se observa que para todo valor del dominio existe una imagen en el codominio.
Esta imagen es única, lo cual hace que F sea una función inyectiva. Esto aplica
para todas las funciones lineales (funciones cuyo mayor grado de la variable es
uno).

Ejemplo 3.- Sea la función F: [–π/2, π/2] → R definida por F (x) = Cos (x)

En el intervalo [–π/2 → π/2] la función coseno varía sus resultados entre cero y
uno.

Tal como se aprecia en la gráfica. Comienza desde cero en x = –π/2 alcanzando

luego un máximo en cero. Es después de x = 0 que los valores empiezan a
repetirse, hasta volver a cero en x = π/2. De esta forma se sabe que F (x) = Cos
(x) no es inyectiva para el intervalo [–π/2, π/2].

Al estudiar la gráfica de la función F (x) = Cos (x) se observan intervalos donde el

comportamiento de la curva se adapta a los criterios de inyectividad. Como, por
ejemplo, el intervalo.

[0, Π]

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Donde la función varía resultados desde 1 hasta -1, sin repetir ningún valor en la
variable dependiente.

De esta forma, la función F: [0, π] → R definida por F (x) = Cos (x), es inyectiva.

Existen funciones no lineales donde se presentan casos similares. Para las

expresiones de tipo racional, donde el denominador alberga al menos una
variable, existen restricciones que impiden la inyectividad de la relación.

 Función Sobreyectiva

Definición: Una función sobreyectiva es una función cuya imagen es igual a su

codominio. Equivalentemente, una función con dominio y Codominio es
sobreyectiva si para cada y en Y existe al menos una x en X tal que .

Simbólicamente

Notación: En ocasiones para denotar que una función : → es sobreyectiva

se utiliza la notación:

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  Fórmula: La fórmula de una función sobreyectiva se puede expresar de la
siguiente manera: f(x) = y 2.

Por ejemplo, la función F: A → B definida por F(x) = 2x es sobreyectiva si y solo si

el conjunto de llegada B es igual al rango de la función 1.

 Propiedades de una función Sobreyectiva

 Sea F: Df → Cf
 b ℮ Cf E a ℮ Df / F ( a ) = b
 Esta es la manera algebraica para establecer que para todo “b” que
pertenece a Cf existe un “a” que pertenece a Df tal que, la función F
evaluada en “a” es igual a “b”.
 La sobreyectividad es una particularidad de las funciones, donde el
codominio y el rango son semejantes. Así, los elementos evaluados en la
función componen el conjunto de llegada.

Ejemplos 1.- Estudiar la función

F: [ 0, ∞) → R definida por F (x) = ± √x denote si se trata de una función

sobreyectiva

Solución:

La función F (x) = ± √x posee la particularidad de que define 2 variables

dependientes a cada valor de x. Es decir, el rango recibe 2 elementos por cada
uno que se efectúa en el dominio. Se debe verificar un valor positivo y negativo
para cada valor de x.

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Al observar el conjunto de partida se nota que el dominio ya ha sido restringido,
esto en pro de evitar las indeterminaciones producidas al evaluar un número
negativo dentro de una raíz par.

Al verificar el rango de la función se nota que cada valor del codominio pertenece
al rango.

De esta manera se puede concluir que: F: [ 0, ∞) → R definida por F ( x ) = ± √x

es una función sobreyectiva.

Ejemplo 2.- Estudiar la función valor absoluto F (x) = | x | y designar los conjuntos
de llegada y partida que se ajusten a los criterios de sobreyectividad.

Solución:

El dominio de la función se cumple para todos los números reales R. De esta

forma, el único condicionamiento se debe realizar en el codominio, tomando en
cuenta que la función valor absoluto solo toma valores positivos.

Se procede a establecer el codominio de la función igualándolo al rango de la

misma

[ 0, ∞)

Ahora se puede concluir que: F: [ 0, ∞) → R definida por F (x) = | x | es una función

sobreyectiva.

Ejemplo 3.- Definir las condiciones del codominio que harían sobreyectivas a las
funciones.

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 F: R → R definida por F (x) = Sen (x)

F: R → R definida por F (x) = Cos (x)

Solución:

El comportamiento de las funciones trigonométricas es similar al de ondas, siendo

muy común encontrar repeticiones de la variable dependiente entre las imágenes.
También en la mayoría de los casos el rango de la función se ve limitado a uno o
varios sectores de la recta real.

Este es el caso de las funciones seno y coseno. Donde sus valores fluctúan en el
intervalo [-1, 1]. Dicho intervalo debe condicionar el codominio para lograr la
sobreyectividad de la función.

F : R →[ -1 , 1 ] definida por F ( x ) = Sen ( x ) es una función sobreyectiva

F : R →[ -1 , 1 ] definida por F ( x ) = Cos ( x ) es una función sobreyectiva

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  Función Biyectiva

Definición: Una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y

sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una
imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de
llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función f:

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

Es decir, para todo y de Y se cumple que existe un único x de X, tal que la función
evaluada en x es igual a y.

Dados dos conjuntos finitos X e Y, entonces existirá una biyección entre ambos si
y solo si X e Y tienen el mismo número de elementos.

 Fórmula: Formalmente, una función f: A → B es biyectiva si y solo si para

todo y en B, hay exactamente un x en A tal que f(x) = y 2.

Por ejemplo, la función f(x) = 2x es biyectiva si y solo si el conjunto de llegada B es

igual al rango de la función.

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  Propiedades de la Función Biyectiva

Las propiedades de una función biyectiva son las siguientes

 Cada elemento del conjunto de llegada tiene una imagen única en el

conjunto de partida.
 Cada elemento del conjunto de partida tiene una imagen en el conjunto de
llegada.
 La función es invertible, es decir, existe una función inversa que deshace la
correspondencia.

Ejemplo 1.- Sea la función F: R → R definida por la recta F (x) = 5x +1

Solución:

R: [Todos los números reales]

Se observa que para todo valor del dominio existe una imagen en el codominio.
Esta imagen es única, lo cual hace de F sea una función inyectiva. De igual
manera observamos que el codominio de la función es igual a su rango.
Cumpliéndose así la condición de sobreyectividad.

Al ser inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo podemos concluir que

F: R → R definida por la recta F (x) = 5x +1 es una función biyectiva.

Esto aplica para todas las funciones lineales (funciones cuyo mayor grado de la
variable es uno).

Ejemplo 2.- Plantee las condiciones necesarias para Df y Cf. De manera que la
expresión F (x) = -x2 sea biyectiva.

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Solución:

Se observa la repetición de resultados cuando la variable toma valores opuestos:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Se condiciona el dominio, limitándolo al lado derecho de la recta real.

Df = [0, +∞]

De igual manera se observa que el rango de esta función es el intervalo [ –∞ , 0 ],

el cual al fungir como codominio cumple las condiciones de sobreyectividad.

De esta forma podemos concluir que: La expresión F: [0, +∞] → [–∞, 0] definida
por F (x) = -x2 Es biyectiva.

Ejemplo 3.- Sea la función F: R → R definida por F (x) = Sen (x) En el intervalo [–
∞, +∞] la función seno varía sus resultados entre cero y uno.

Solución:

La función F no corresponde a los criterios de inyectividad y sobreyectividad,

debido a que los valores de la variable dependiente se repiten cada intervalo de π.
Además, los términos del codominio fuera del intervalo [ -1 , 1 ] no son imagen de
ningún elemento del dominio.

Al estudiar la gráfica de la función F (x) = Sen (x) se observan intervalos donde el

comportamiento de la curva cumple con los criterios de biyectividad. Como, por

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ejemplo, el intervalo Df = [π/2 ,3π/2] para el dominio. Y Cf = [-1, 1] para el
codominio.

Donde la función varía resultados desde 1 hasta -1, sin repetir ningún valor en la
variable dependiente. Y al mismo tiempo el codominio es igual a los valores
adoptados por la expresión Sen (x)

De esta forma la función F : [ π/2 ,3π/2 ] → [ -1 , 1 ] definida por F ( x ) = Sen ( x

). Es biyectiva.

 Representación Gráfica de Funciones Reales de Variable Real.

Definición: Se define una función real de variable real, o simplemente función

real, como aquella función matemática que hace corresponder a cada número
real Otro número real a través de una regla de transformación f(x).
Formalmente:

Dónde:

 f: Es la función de ℝ en ℝ, es decir, una regla de correspondencia que

asigna a cada valor ℝ del dominio otro número real.

 f : Es la función de ℝ en ℝ, es decir, una regla de correspondencia que

asigna a cada valor ℝ del dominio otro número real
 ℝ : Es el codominio de la función, es decir, el conjunto de posibles valores
que podría tomar la variable dependiente
 x: Es la variable independiente. En este caso, un número real que hace las
veces de entrada de la función

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  y=f(x): Es la variable dependiente, imagen de x. Es un número real que
hace las veces de salida. Para obtener su valor se aplica la función sobre el
elemento

f: x → y = f(x)

Ejemplo 1.- Construir una tabla de valores y la gráfica de la siguiente función

F(x) = x2 −4

Antes de comenzar hay que hallar el dominio de la función, que es el conjunto de

valores reales para los cuales existe la función. Como se trata de una función
cuadrática, cualquier valor de x que pertenezca a los números reales tiene una
imagen real, de acuerdo a f(x).

Entonces, la tabla se puede construir eligiendo cualquier valor de x, y lo más

sencillo es comenzar con las intersecciones de la gráfica con los ejes, si es que
las hay. Después de encontrarlas, entonces se buscan otros puntos para
completar la tabla.

Solución:

Para x = 0

f (0) = −4
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Por lo tanto, el primer punto de la tabla es (0, −4). Esta es la intersección de la
gráfica con el eje y.

Para y = 0

Seguidamente se hace y = 0 y se resuelve la ecuación que resulta:

X2 −4=0

X2 = 4

Las soluciones de esta ecuación son: x1= 2 y x2= −2. Por lo tanto hay dos
intersecciones con el eje x, que son los puntos: (−2,0) y (2,0).

Ahora se pueden encontrar más puntos que añadir a la tabla de valores:

Para x = 1

f (1) = (1)2 − 4 = −3

Para x = − 1

f (−1) = (−1)2 − 4 = −3

Para x = 3

f (3) = (3)2 − 4 = 5

Para x = −3

f (−3) = (−3)2 − 4 = 5

Tabla de valores

En la siguiente tabla se muestran los puntos obtenidos, los cuales servirán para
construir la gráfica de f(x):

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Gráfica de la función f(x) = x2 −4

La gráfica de esta función es una parábola, que abre hacia arriba y tiene en A un
punto mínimo, llamado vértice, de coordenadas (0, −4). Es interesante destacar
que los valores de f(x) comienzan en y = -4 hasta ∞. Este es el rango de la
función.

De la gráfica se puede concluir que la función es continua, decreciente en el

intervalo (−∞,0) y creciente a partir de allí.

Ejemplo 2.- Teniendo la gráfica de la función es posible conocer su dominio, su

rango, las intersecciones que tiene con los ejes y visualizar su comportamiento
general (crecimiento y decrecimiento).

A continuación se muestra la gráfica de la función polinómica:

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f(x) = − x4+4x2+1

De la imagen se deduce que la función tiene dos intersecciones con el eje x, los
puntos (-2,0) y (2,0). También tiene una intersección con el eje y, el punto (0,1).

El dominio de una función polinomial es el conjunto completo de los números

reales, también se advierte que la función es continua y tiene simetría alrededor
del eje vertical. En efecto, se puede comprobar que esta función es de simetría
par. Una función es par si cumple:

f(x) = f(–x)

El lector puede comprobar que al sustituir –x en la función, esta no se altera.

Hay dos puntos interesantes, que están a la altura de y = 5, son los valores
máximos de la función. El rango de esta función, es decir, el conjunto de valores
que toma la variable y, se extiende desde -∞ hasta y =5 precisamente.

Para saber los valores de x cuya imagen es y =5, se sustituye este valor en la
función:

5 = − x4+4x2+1

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Y se obtiene esta ecuación:

Cuyas soluciones son −√2 y + √2. Pues bien, la función es:− x4 + 4x2 − 4 = 0

–Creciente desde x -∞ hasta x = −√2

–Decreciente desde x= −√2 hasta x=0

–Creciente desde x = 0 hasta x = + √2

–Decreciente desde x = + √2 en adelante.

Construir la gráfica de la siguiente función:

f(x)=√(x-5)

Solución:

Primero hay que determinar el dominio de la función, para saber qué valores de x
se pueden escoger para construir la tabla. En el caso de la función propuesta, la
cantidad dentro de la raíz debe ser siempre positiva o igual a 0, por lo tanto:

x−5 ≥ 0

x≥5

Por lo tanto, para la tabla solamente se pueden escoger valores mayores o iguales
a 5. En cuanto a las intersecciones con los ejes coordenados, la única posibilidad
es hacer y = 0, y entonces x = 5.

No sirve hacer x = 0 para esta función, pues este valor no pertenece al dominio.

Pag.25
La gráfica obtenida es:

 Traslaciones Verticales y Horizontales

Traslaciones verticales

Definición: Trasladar verticalmente K unidades una función f(x) es sumarle a la

variable dependiente y = f(x) la constante K.

Se obtiene la función y = f(x) + K

Si K > 0 la función se traslada hacia arriba.
Si K < 0 la función se traslada hacia abajo.

Para K > 0 : K1 = 2 y K2 = 4

(Se traslada hacia arriba)

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 Para K < 0 : K1 = - 2 y K2 = - 4

(Se traslada hacia abajo)

Traslaciones Horizontales

Definición: Trasladar horizontalmente K unidades una función f(x) es restarle

a la variable independiente x la constante K.

Se obtiene la función y = f(x + K)

Si K > 0 la función se traslada hacia la izquierda.
Si K < 0 la función se traslada hacia derecha.

Para K > 0: K1 = 2 y K2 =

(Se traslada a la izquierda)

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 Para K < 0: K1 = - 2 y K2 = - 4

(Se traslada a la derecha)

Fórmula de las traslaciones Verticales y Horizontales

Las fórmulas para las traslaciones verticales y horizontales son las siguientes:

Traslación vertical: Si queremos trasladar una función f(x) hacia arriba o hacia
abajo, debemos sumar o restar una constante “c” a la función original. La fórmula
para la traslación vertical es: f(x) + c.

Donde “c” es la constante que indica el desplazamiento hacia arriba o hacia abajo.

Traslación horizontal: Si queremos trasladar una función f(x) hacia la derecha o

hacia la izquierda, debemos sumar o restar una constante “c” al argumento de la
función. La fórmula para la traslación horizontal es: f(x - c)

Donde “c” es la constante que indica el desplazamiento hacia la derecha o hacia la

izquierda.

Propiedades de las Traslaciones son las siguientes:

Segmentos de recta: Los segmentos de recta trasladados tienen la misma

longitud que los originales.

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  Segmentos de recta: Los segmentos de recta trasladados tienen la misma
longitud que los originales.
 Ángulos: Los ángulos trasladados tienen la misma medida que los
originales.
 Líneas rectas y rectas paralelas: Las líneas rectas trasladadas siguen
siendo líneas rectas y las rectas paralelas trasladadas siguen siendo rectas
paralelas.

Estas propiedades son importantes porque una traslación es simplemente como

mover algo hacia arriba y abajo, o hacia la izquierda y derecha. No cambias su
naturaleza, solo su localización. Es como subirte al elevador o caminar sobre una
banda transportadora: inicias en un lugar y terminas en otro, pero eres la misma
persona que eras antes, ¿no?

Ejemplo 1.-

Ejemplo 2.-

Pag.29
Ejemplo 3.

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  Estudio de algunas funciones polinomicas, función cubica y potencial

Función Polinomica

Definición: Una función polinómica es una función cuya expresión algebraica es

un polinomio, es decir, una función polinómica está definida por la suma o resta de
un número finito de términos de diferente grado. Por lo tanto, una función
polinómica se describe matemáticamente con la siguiente expresión:

Donde los términos son coeficientes reales y n es el

grado de la función polinómica. El término se llama término principal, ya que
es el monomio de mayor grado de la función. El exponente de valor más grande
es el que indica el grado de la función polinómica.

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Fórmula: Forma general función polinómica

Propiedades de las funciones polinomicas:

Las funciones polinómicas tienen las siguientes características:

 La gráfica de una función polinómica corta al eje Y en (0,a0).

 Corta al eje X un número de veces igual o inferior al grado del polinomio n.

 El número de máximos y mínimos relativos de una función polinómica es,

como mucho, el grado del polinomio menos 1 (n – 1).

 En las funciones polinómicas no existen asíntotas.

 El número de puntos de inflexión es igual o menor a n – 2.

 Si el grado de todos los términos fuese impar, la gráfica sería simétrica

respecto al origen de coordenada. Pero si todos los términos tuviesen grado
par, la gráfica sería simétrica respecto al eje OY.

 En la gráfica de una función polinómica, la rama de la derecha será

creciente cuando el coeficiente del término de mayor grado, an, sea
positivo. Y esa rama será decreciente cuando an sea negativo.

 En la gráfica, la rama de la izquierda será decreciente cuando se cumpla

que el grado del polinomio n sea par y el coeficiente del término de mayor
grado, an, sea negativo. También será decreciente la rama izquierda
cuando n sea impar y, al mismo tiempo, an sea positivo. En el resto de los
casos, la rama izquierda será siempre creciente (irá creciendo hacia arriba).

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Ejemplo 1.- • La suma de dos funciones polinómicas es una función polinómica.
Es decir: f(x)+g(x) es polinómica

Ejemplo 2.- El producto de dos funciones polinómicas es una función polinómica.

Es decir: f(x) · g(x) es polinómica

Pag.33
Ejemplo 3.- La composición de dos funciones polinómicas es una función
polinómica. Por tanto: a · g(x) es polinómica

El producto de un escalar a y una función polinómica es una función polinómica.

Es decir: a · g(x) es polinómica

Pag.34
  Función Cubica

Definición: Función cúbica es una función polinómica de grado 3. Su expresión

matemática es f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.

La representación gráfica de la función cúbica es:

 Fórmula: forma y = un x 3 + b x 2 + c x + d

Donde un, b, c, y d son constantes y una no es igual a cero. Si quisiéramos

describir este tipo de función con palabras en lugar de con fórmulas, diríamos que
una función cúbica es cualquier función polinomial donde el mayor exponente es
igual a 3.

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  Propiedades
 El dominio de la función es la recta real es decir (-α : α)
 El recorrido de la función es decir la imagen es la recta real.
 La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x).
 La función es continua en todo su dominio.
 La función es siempre creciente.
 La función no tiene asintotas.
 La función tiene un punto de corte con el eje Y.
 La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección con el
eje X.

Ejemplos 1.- Grafique y analice las propiedades de la siguientes funciones a) f(x) =

3 2
2x + 3x - 12x

Propiedades

Dominio: El conjunto de los Reales

Imagen: El conjunto de los Reales

Ceros de la función:

Se iguala la función a cero

2x3 + 3x2 - 12x = 0 x ( 2x2 + 3x - 12) = 0 Extrayendo factor común x = 0 ( 2x2 + 3x +

12)= 0 Igualando a cero ambos factores y realizar la descomposición.

Simetría: Demostrar que cumple f(-x)=-f(x).

Para demostrar la simetría analíticamente de selecciona un número cualesquiera y

su opuesto ejemplo 1 y -1 Demostrar que f(-1) = - f(1) f(-1) = 2(-1)3 + 12 . (-1)2 + 2.
(-1)

f(-1) = 2(-1)3 + 12 . (-1)2 + 2. (-1 )

= 2.(-1) + 12 . 1 - 2

Pag.36
 = -2 + 12 - 2

= 10 - 2

= 8

f(1) = 2(1)3 + 12 . (1)2 + 2. (1 )

= 2.(1) - 12 . 1 + 2

= 2 - 12 + 2

= -10 + 2

= -8

Como f(-1) = - f(1) por tanto la función es simétrica.

Continuidad: La función es continua en todo su dominio pues gráficamente se

puede observar que no tiene ningún punto de discontinuidad.

La función no tiene asintotas.

Para determinar los puntos donde la función corta el eje de la y

Se determina el valor de la función para x=0 f(0) = 2. 03 + 3. 02 - 12. .0 Obteniendo

y= 0 y la función corta el eje de la y en el punto (0:0)

b) F(x) = -x3 +8

Pag.37
Ejemplo 2.-

Ejemplo 3.-

 Función Potencial

Definición: a función potencial es una función matemática de la forma f(x) = x^a,

donde a es un número real fijo. El dominio, gráfica y características de una función
potencial dependen del número a que figura en el exponente. Por ejemplo, f(x) =
x^2, g(x) = x^-1 y h(x) = x^(1/2).

Pag.38
  Fórmula: La fórmula de una función potencial es f(x) = x^a, donde a es un
número real fijo. Si deseas conocer más sobre las propiedades y gráficas
de las funciones potenciales,

 Propiedades

Algunas de las propiedades de las funciones potenciales son:

 Si a > 0, la función es creciente en todo su dominio.

 Si a < 0, la función es decreciente en todo su dominio.

 Si a = 0, la función es constante en todo su dominio.

 Si a es par, la función es simétrica respecto al eje y.

 Si a es impar, la función es simétrica respecto al origen.

 La función potencial f(x) = x^a es continua en todo su dominio, excepto en x

= 0 si a ≤ 0.

 La función potencial f(x) = x^a es diferenciable en todo su dominio, excepto

en x = 0 si a ≤ 1.

Ejemplo 1.- ¿Cuáles de las siguientes funciones se consideran funciones de

potencia?

f (x) = -2x2 · 3x

B. g (x) = 2√x + 5

C. h (x) = 0.5xπ

D. m (x) = - (x + 1) 2

mi. n (x) = 1 / x3

Pag.39
Solución

Inspeccione cada una de las funciones dadas y simplifique las expresiones

siempre que sea posible.

Una. La función aún se puede simplificar af (x) = -6x3. Podemos ver que solo
contiene un término y tiene un número real para su coeficiente y exponente, por lo
que f (x) es una función de potencia.

Los siguientes dos elementos (byd) contienen más de un término y no se pueden

simplificar, por lo que las funciones g (x) y m (x) no se consideran funciones de
potencia.

C. Siempre volvemos a la definición fundamental de funciones de potencia:

contienen un solo término, mientras que el coeficiente y los exponentes son
reales. Tanto 0.5 como π son números reales, entonces h (x) también es una
función de potencia.

mi. Dado que 1 / x3 = 1 · x-3, podemos ver mediante inspección que satisface las
condiciones de las funciones de potencia, por lo que n (x) también es una función
de potencia.

Por lo tanto, la funciones en a, c y e son funciones de potencia.

Ejemplo 2.- Determine el comportamiento final de las siguientes funciones de

potencia:

f (x) = x3

B. g (x) = -4x4

C. h (x) = (-3x) 3

Pag.40
Solución

Al predecir el comportamiento final de una función de potencia, inspeccione el

signo del coeficiente y el valor del exponente. Utilice la tabla que le
proporcionamos para guiarle en la predicción de comportamientos finales.

Una. La función f (x) = x3 tiene un coeficiente de 1 y un exponente positivo de 3.

Dado que la potencia es impar, se espera que la función aumente en todo su
dominio.

Esto significa que el lado izquierdo de su curva va hacia abajo mientras que el
lado derecho sube: (↓ ↑).

B. Para la segunda función, g (x) = -4x4, tiene un coeficiente negativo y un

exponente positivo par. Esto significa que se espera que el gráfico se abra hacia
abajo. La función también aumentará cuando x <0 y disminuirá cuando x> 0.

Esto significa que Se espera que tanto el lado izquierdo como el derecho de la
curva bajen: (↓↓).

C. Primero simplifiquemos la expresión para h (x): h (x) = -27x3. Podemos ver que
h (x) tiene un coeficiente negativo y un exponente impar. Cuando esto sucede, la
función disminuye en todo su dominio.

La curva del gráfico es subiendo por el lado izquierdo y bajando por el lado
derecho: (↑ ↓).

Ejemplo 3.- La función de potencia g (x) pasa por los puntos (4, -6) y (9, -9) ¿Cuál
es la expresión de g (x)?

B. Grafique la función g (x).

C. Encuentre su dominio y rango, luego describa su comportamiento final.

Pag.41
Solución

Sustituyamos cada par de valores en la forma general de funciones de potencia: y

= kxa y simplifiquemos la ecuación resultante.

Ahora que tenemos k en el lado derecho de las ecuaciones, igualemos las

expresiones del lado izquierdo. Resuelva para a de la ecuación resultante.

-6 / 4a = -9 / 9a

-2 / 4a = -3 / 9a

-21 / 22a = -31 / 32a

-21 - 2a = -31 - 2ª

Esta ecuación solo será cierta cuando ambos lados sean iguales a 1, por lo que
los exponentes tendrán que ser iguales a 0.

1 - 2a = 0

1 = 2a

a=½

Sustituye el valor de a en una de las expresiones de k.

k = -6 / 4a

= -6/41/2

= -6 / 2

= -3

Sustituye estos dos valores nuevamente en la forma general de funciones de

potencia para encontrar la expresión de g (x).

g (x) = kxa

= -3x1 / 2
Pag.42
 = -3√x

Por lo tanto, tenemos g (x) = -3√x.

Usemos los dos puntos dados para conectar la curva. Recuerde la forma de la
función madre de la función raíz cuadrada para saber qué esperar de la gráfica de
g (x).

b. Podemos encontrar el dominio y el rango de g (x) inspeccionando la gráfica.

Dado que g (x) tiene un exponente racional con un denominador par, esperamos
tener solo valores positivos para x. El gráfico también puede confirmar esto.

Dado que la gráfica de g (x) nunca pasa por encima del eje y negativo, esperamos
que su rango solo consista en números negativos.

C. Por lo tanto, la dominio de g (x) es [0, ∞) y el el rango es (-∞, 0]. El gráfico

muestra que está disminuyendo continuamente y la curva está bajando
constantemente.

 Función Racional

Definición: Una función racional es aquella función formada por el cociente de dos
polinomios, es decir, una función racional es una fracción que tiene un polinomio en el
numerador y en el denominador.

Las funciones racionales se caracterizan por tener singularidades en aquellos

puntos en los que se anula el denominador.

Pag.43
  Fórmula: La fórmula de una función racional es la siguiente:

Donde P(x) y Q(x) son polinomios. La función racional es una fracción que tiene un
polinomio en el numerador y otro en el denominador. El dominio de una función
racional son todos los números reales excepto aquellos valores que anulan el
denominador. Entonces, para sacar el dominio de una función racional debemos
encontrar cuándo el denominador es 0, ya que ese punto será el único que no
pertenece al dominio.

 Propiedades
 Toda función racional es de clase C∞ en un dominio que no incluya las
raíces del polinomio Q(x).
 Todas las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor o igual
que el grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas).
 Todas las funciones racionales cuyos coeficientes pertenecen a un cuerpo
forman un cuerpo que incluye al cuerpo base como subcuerpo. El cuerpo
de funciones racionales forma un subcuerpo del cuerpo de series de
potencias formales.

Ejemplo 1.- Halla el dominio de la siguiente función racional:

Se trata de una función racional, por tanto, el dominio son todos los números
menos los que anulan el denominador, ya que entonces la función daría ∞.

Sí que igualamos a cero todo el denominador para ver qué número no pertenece
al dominio:

Pag.44
Y resolvemos la ecuación resultante:

De modo que el dominio de la función son todos los números excepto el -2:

{ }

Ejemplo 2.- Representa en una gráfica la siguiente función racional:

Solución:

Lo primero que debemos hacer es calcular el dominio de la función:

{ }

Una vez conocemos el dominio de la función, construimos una tabla de valores:

Pag.45
Para acabar, solo nos falta representar los puntos obtenidos en una gráfica y
trazar las hipérbolas, dibujando así la función racional:

Ejemplo 3.- Determina las asíntotas de la función racional representada

gráficamente a continuación:

Pag.46
Solución:

Las asíntotas se aprecian muy bien en la gráfica, ya que está representadas en

forma de rectas discontinuas de color rojo.

En este problema, la función se aproxima mucho a la recta horizontal y=1 pero

nunca llega a tocarla. Por tanto, la función racional tiene una única asíntota
horizontal, que es y=1. Del mismo modo, la representación gráfica de la función se
acerca mucho a las rectas verticales x=-1 y x=1, pero nunca llega a alcanzar
dichos valores. Así que la función racional tiene dos asíntotas verticales diferentes,
que son x=-1 y x=1.

2.- función Definida a Trozos

Definición: Si A y B son dos conjuntos cualquiera y f una función

Definida entre ellos. Supongamos que A puede representarse como una unión de
conjuntos disjuntos Ai

y que, para cada uno de los Ai, existe una función fi

Entonces

f es una función definida a trozos si

En otras palabras, f es definida a trozos si su regla de asignación es diferente para

al menos dos valores de la variable independiente.

Pag.47
  Fómula: La fórmula general de una función definida a trozos es:

Dónde:

, , : Son las fórmulas concretas con las que se obtiene

el valor de la función f(x) (variable dependiente y). Se utiliza una u otra según la
rama o intervalo del dominio en el que esté la variable independiente x.

, , : Son los intervalos de números reales para los

cuales está definida esa rama. Deben expresar un rango de valores disjuntos de la
variable independiente x. Dicho de otra manera, un valor de x no puede estar en
dos ramas distintas.

Pag.48
  Propiedades

Las funciones definidas a trozos tienen las siguientes propiedades:

 Dominio: El dominio de una función definida a trozos es la unión de los

intervalos de los subconjuntos en los que está definida cada rama. Es decir,
el dominio de la función es la unión de los subconjuntos Subconjunto1,
Subconjunto2,..., Subconjunto.
 Continuidad: Una función definida a trozos es continua en un intervalo si
está definida por el intervalo, las expresiones matemáticas apropiadas que
constituyen a la función son continuas en ese intervalo, y no hay
discontinuidad en ningún punto extremo de los subdominios en ese
intervalo 1.
 Derivabilidad: Una función definida a trozos es derivable en un intervalo si
está definida por el intervalo, las expresiones matemáticas apropiadas que
constituyen a la función son derivables en ese intervalo, y no hay
discontinuidad en ningún punto extremo de los subdominios en ese
intervalo 2.
 Integralidad: Una función definida a trozos es integrable en un intervalo si
está definida por el intervalo, las expresiones matemáticas apropiadas que
constituyen a la función son integrables en ese intervalo, y no hay
discontinuidad en ningún punto extremo de los subdominios en ese
intervalo 2.

Ejemplo 1.- Estudiar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función

definida a trozos:

Pag.49
O escrita de otra forma:

Para ello, debemos estudiar la continuidad en los tres trozos, en los intervalos (-
∞,1) , [1,4] y (4,+∞) , y en los puntos de división x=1 y x=4.

La función es continua en todos sus trozos, ya que f(x)=-x+2, f(x)=1 y f(x)=x-2

Ejemplo 2.- Sea la función

Para calcular la imagen de un punto x, usamos la primera definición si x≤0 y la

segunda si x>0.

Esta función es la función valor absoluto f(x)=|x|.

Pag.50
También, podemos usar intervalos en lugar de desigualdades:

La gráfica de la función es

Observad que la parte de gráfica donde x≤0 coincide con la gráfica de la función
y=−x y la parte donde x>0 coincide con la de y=x.

Ejemplo 3.- Un ejemplo típico e importante de función por partes es la llamada

función de Dirichlet:

Es decir, la imagen de los racionales es 1 y la de los irracionales es 0.

Pag.51
  Función Valor Absoluto

La función valor absoluto es una función que contiene una expresión algebraica
dentro de los símbolos de valor absoluto. Recuerda que el valor absoluto de un
número es su distancia desde 0 en la recta numérica. La función padre de valor
absoluto, escrita como f(x)=∣x∣, está definida como:

En su forma más básica, la función valor absoluto es f(x)=∣x∣. Su dominio es todos

los números reales. Su rango es todos los números reales mayores que o iguales
a cero. Su gráfica se ubica completamente encima del eje x. Su gráfica es
simétrica con respecto al eje y. El vértice de su gráfica es el punto (0, 0)

 Fórmula: La fórmula para la función valor absoluto es:

ǀ {

La función valor absoluto se puede expresar como una función a trozos. Para
transformar la función valor absoluto en una función a trozos, se siguen los
siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

Pag.52
 3. Se define la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos
donde la función es negativa se cambia el signo de la función.

 Propiedades

1. No negatividad | a | ≥ 0

2. Definición positiva | a | = 0a = 0

3. Multiplicatividad | ab | = | a | | b |

4. Subaditividad | a + b | ≤ | a | + | b |

5. Idempotencia || a || = | a |

6. Simetría | −a | = | a |

7. Identidad de indiscernible | a - b | = 0 ⇔ a = b

8. Desigualdad triangular | a - b | ≤ | a - c | + | c - b |

9. Conservación de la división | a / b | = | a | / | b | si b ≠ 0

Ejemplo 1.- función valor absoluto es el siguiente: f(x) = |x|

Esta función equivale a:

 f(x) = x si x>0

 f(x) = 0 si x = 0

 f(x) = -x si x<0

La representación gráfica de esta función es por lo tanto la siguiente:

Pag.53
 Ejemplo 2.- La función valor absoluto f(x) = |x| es una función a trozos definida
por:

Mientras que su gráfica, dominio y rango son los siguientes:

Recuerda que el valor absoluto de un número, nos indica que tan lejos está el
número del cero.

Ejemplo 3.- Para la función f(x)=|4x+1|−7 , encuentra los valores de x tal que
f(x)=0 .

Solucion:

| |

| |

Pag.54
La funcion emite 0 cuando x = 1.5 ox = -2

 Función Parte Entera

Definición: La función parte entera de x o función suelo entero es la que asigna a

cada número real x el entero más próximo, pero que sea menor o igual que x.

Se representa por Ent(x) , por medio de ⌊x⌋ , o bien [x].

Dom f = R , Im f = Z

Pag.55
  Fórmula: La fórmula de la función parte entera es:

⌊ ⌋

Donde ⌊x⌋ es el mayor número entero que es menor o igual que x. También
existen otras funciones de parte entera, como la función techo.

 Propiedades
 La función parte entera siempre devuelve un número entero.
 Si el número x es entero, la función parte entera devuelve el mismo número
x.
 Si x es positivo, entonces la función parte entera de x es menor o igual que
x.
 Si x es negativo, entonces la función parte entera de x es mayor o igual que
x

Dominio función piso: R (Números Reales)

Imagen función piso: Z (Números Enteros)

Dominio función techo: R (Números Reales)

Pag.56
Imagen función techo: Z (Números Enteros).

Ejemplo 1.- f(x) = E(x)

Ejemplo 2.- f(x) = x - E (x)

x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2

f(x) = x - E(x) 0 0.5 0.9 0 0.5 0.9 0

Pag.57
Ejemplo 3.- f(x) = 2x − E(x)

x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2

E(x) 0 1.5 1.9 1 2 2.7 3

 Funciones definidas explícitamente e implícitamente

Definición:

Las Funciones Explícitas son aquellas funciones en las cuales la variable

dependiente (y) está expresada únicamente en términos de la variable
independiente (x). Esto es: y = f(x).

Una función es implícita aquellas en las cuales y no está expresada únicamente

en términos de x. Es decir: y ≠ f(x).

 Fórmulas: Las funciones definidas explícitamente se pueden expresar en

términos de una sola variable independiente, es decir, la variable
dependiente se puede despejar de la ecuación. Por ejemplo, la función

Pag.58
Es una función explícita, ya que podemos despejar y en términos de x. Por otro
lado, las funciones definidas implícitamente son aquellas que no se pueden
expresar en términos de una sola variable independiente. En lugar de eso, se
expresan como una ecuación que relaciona dos o más variables. Por ejemplo, la
ecuación

Define implícitamente la función

Ejemplo 1.- La función y = 7x - 3 está expresada en forma explícita y la podemos

transformar en implícita haciendo las transformaciones algebraicas adecuadas.

La función y - 7x + 3 = 0 estaría expresada en forma implícita.

La función y + 3x2 - 8x + 5 = 0 está expresada en forma implícita y si

despejamos la variable y obtenemos la forma explícita.

Es decir, y = - 3x2 + 8x - 5 sería la forma explícita.

Ejemplo 2.

Funciones explícita:

 y = -3x + 5

 x = y^2 + y

Funciones implícita:

 X^2 + y^2 = 1

Pag.59
  xy = 4

Ejemplo 3.

Funciones explícita:

 y = 2x + 1 → observamos que y está expresada únicamente en términos de

x, por lo tanto y = f(x), donde f(x) = 2x + 1.
 y = x2 - 2x + 1 → y está expresada solamente en términos de x, por lo tanto
y = f(x), donde f(x) = x2 - 2x + 1

Funciones implícita:

 y = 3x2y + 1 → observamos que y no está expresada únicamente en

términos de x, por lo tanto y ≠ f(x)
 xy = 3x2- x + 2

 Operaciones Algebraicas con funciones

Definición: Las operaciones algebraicas con funciones son una forma de

combinar dos o más funciones para crear una nueva función. Las operaciones que
se pueden realizar con funciones son la suma, la resta, el producto, la división y la
composición.

La suma de dos funciones `f(x) ` y `g(x) ` se define como ` (f + g) (x) = f(x) + g(x)`.
La resta de dos funciones `f(x) ` y `g(x) ` se define como ` (f - g) (x) = f(x) - g(x)

El producto de dos funciones `f(x) ` y `g(x) ` se define como ` (f * g) (x) = f(x) * g(x)

La división de dos funciones `f(x) ` y `g(x) ` se define como ` (f / g) (x) = f(x) / g(x) `

La composición de dos funciones `f(x) ` y `g(x) ` se define como ` (f ∘ g) (x) = f

(g(x)) `.

Es importante tener en cuenta que las operaciones algebraicas con funciones solo
se pueden realizar si las funciones involucradas tienen el mismo dominio ².

Pag.60
Además, las operaciones algebraicas con funciones pueden ser útiles para
simplificar expresiones y resolver ecuaciones ².

 Fórmula de operaciones algebraicas con funciones:

Suma

Resta

Multiplicación

División

 Propiedades

Las operaciones algebraicas con funciones tienen algunas propiedades

interesantes. A continuación, se describen las propiedades de la suma y el
producto de funciones:

Propiedad asociativa: el orden en el que se suman o se multiplican 3 o más

funciones es indiferente

 Propiedad conmutativa: el orden de la suma o multiplicación de dos

funciones no altera el resultado.

 Elemento neutro: la operación suma y la operación producto tienen como

elemento neutro las funciones constantes f(x)=0 y f(x)=1 respectivamente.

Pag.61
  Elemento simétrico: la función suma tiene como función opuesta
 Propiedad distributiva: esta propiedad relaciona las operaciones suma y
producto, y se basa en la siguiente igualdad:

Ejemplo 1.-

 f(x) = x^2 + 2x – 3: Esta función se puede expresar como una combinación

de operaciones algebraicas (suma, multiplicación y potenciación).

Ejemplo 2.-

 g(x) = (2x + 1)/(x – 3): Esta función también se puede expresar como una
combinación de operaciones algebraicas (suma, multiplicación, división y
potenciación).

Ejemplo 3.- operaciones algebraicas con funciones:

1. Suma: Sea f(x) = x + 2 y g(x) = 2x - 3, entonces f(x) + g(x) = (x + 2) + (2x -

3) = 3x - 1.

2. Resta: Sea f(x) = x^2 y g(x) = x, entonces f(x) - g(x) = x^2 - x.

3. Producto: Sea f(x) = x^2 y g(x) = x + 1, entonces f(x) * g(x) = x^3 + x^2.

4. División: Sea f(x) = x^2 y g(x) = x, entonces f(x) / g(x) = x.

5. Composición: Sea f(x) = x^2 y g(x) = x + 1, entonces f (g(x)) = (x + 1) ^2.

Pag.62
  Composición de funciones

Definición: Sean f: A → B y g: B → C dos funciones. Entonces la composición de

f y g, denotada por g ∘ f, se define como la función g ∘ f : A → C dada por g ∘ f (x)
= g(f (x)), x A.

El orden de la función es algo importante cuando se trata de la composición de

funciones ya que (f ∘ g) (x) no es igual a (g ∘ f) (x).

La relación y la función es un concepto importante de la clase 11 y 12. Vea a

continuación el símbolo de composición de funciones y el dominio con un ejemplo.

Símbolo: También se denota como (g∘f) (x), donde ∘ es un símbolo de círculo

pequeño. No podemos sustituir ∘ por un punto (.), porque se mostrará como el
producto de dos funciones, como (g.f) (x).

Dominio: f (g(x)) se lee como f de g de x. En la composición de (f o g) (x) el

dominio de la función f se convierte en g(x). El dominio es un conjunto de todos los
valores que entran en la función.

 Fórmula: La fórmula para la composición de funciones es (f o g) (x) = f

(g(x)). Esto significa que la composición de dos funciones f(x) y g(x) se
realiza al reemplazar la variable independiente de una función por la otra
función. Por ejemplo, si f(x) = x^2 y g(x) = x + 1, entonces f(g(x)) = (x + 1)^2.
En este caso, la función g(x) se evalúa primero y el resultado se utiliza
como entrada para la función f(x).

Pag.63
  Propiedades
 Propiedad asociativa: Según la propiedad asociativa de la composición de
funciones, si hay tres funciones f, g y h, se dice que son asociativas si y
sólo si; f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h
 Propiedad conmutativa: Se dice que dos funciones f y g son conmutativas
entre sí, si y sólo si; g ∘ f = f ∘ g

Algunas propiedades más son:

La composición de funciones de uno a uno es siempre uno a uno.

La composición de funciones de dos funciones onto es siempre onto

La inversa de la composición de dos funciones f y g es igual a la composición de la

inversa de ambas funciones, como (f ∘ g)-1 = (g-1 ∘ f-1).

Ejemplo 1.- Si f (x) = 2x y g(x) = x+1, encuentra (f∘g) (x) si x = 1.

Solución: Dado que f(x) = 2x

g(x) = x+ 1

Por tanto, la composición de f a partir de g será;

(f∘g)(x) = f (g(x)) = f(x+1) = 2(x+1)

Ahora poniendo el valor de x = 1

f (g(1)) = 2(1+1) = 2 (2) = 4

Ejemplo 2.- Si f(x) = 2x +1 y g(x) = -x2, encuentra (g∘f)(x) para x = 2.

Solución: Dada,

f(x) = 2x+1

g(x) = -x2

Hallar: g(f(x))

Pag.64
g(f(x)) = g(2x+1) = -(2x+1)2

Ahora pon x =2 para obtener

g (f (2)) = -(2,2+1)2

= -(4+1)2

=-(5)2

=-25

Ejemplo 3.- calcular la composición de las siguientes funciones:

 f(x) = 3x2 - 2x

 g(x) = -2x

Entonces:

(g ∘ f)(x) = 3(-2x)2 - 2(-2x) = 12x2 + 4x

 Función Inversa

Definición: Se llama función inversa o recíproca de una función f a una nueva

función cuyo dominio es la imagen de la función inicial, y su imagen es el dominio
de la función inicial.

Pag.65
Es decir, si la función g es la función inversa de f, entonces se cumple que si f (b)
= a, entonces g(a)=b.

 Fórmula: Para encontrar la fórmula de la función inversa, cuando se tiene la

fórmula de la función original, se pueden seguir los siguientes pasos:

1. Escribir la función original como y = f(x).

2. Despejar x en términos de y.

3. Reemplazar y por f^-1(x).

Por ejemplo, si f(x) = 3x + 2, entonces podemos encontrar la fórmula de la función

inversa f^-1(x) de la siguiente manera:

1. Escribir la función original como y = 3x + 2.

2. Despejar x en términos de y: x = (y - 2) / 3.

3. Reemplazar y por f^-1(x): f^-1(x) = (x - 2) / 3.

Por lo tanto, la fórmula de la función inversa de f(x) = 3x + 2 es f^-1(x) = (x - 2) / 3.

 Propiedades

1. La primera propiedad coincide con la que habíamos visto anteriormente en la

función compuesta. Si realizamos la función inversa de una composición de
funciones obtenemos la composición de sus inversas permutando el orden de la
composición:

2. Si hacemos la inversa de la inversa de una función, obtenemos la función inicial.

3. La composición de una función y su inversa nos da la función identidad.

4. La función inversa no siempre existe.

5. Si una función es continua también lo es su inversa y viceversa, si la inversa es

derivable también lo será la función inicial.

Pag.66
6. Análogamente, si una función es derivable su inversa también lo es y viceversa.

Ejemplo 1-. Hallar la función inversa de f(x)=3x+5.

Vamos a seguir los pasos anteriormente descritos, antes que nada tendremos en
cuenta que f(x)=y, por tanto empezaremos nuestros pasos a partir de la siguiente
función: y=3x+5.

1º. Hacemos el cambio, obteniendo: x=3y+5.

2º. Despejamos y en función de x: 3y=x-5; y=(x-5)/3.

3º. Por tanto la función inversa es y=(x-5)/3.

Ejemplo 2.- Calcular la siguiente función inversa:

1º. Hacemos el cambio de y por x:

2º. Despejamos la y:

3º. Finalmente, la función inversa es:

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Ejemplo 3.- Determina la función inversa de la siguiente función

f (x) = 3x + 5

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 Conclusión

Tras el estudio de las funciones matemáticas, se puede concluir en que son muy
importantes, de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria,
problemas de finanzas, economía, estadística, ingeniería, medicina, química y
física, astronomía, geología, y cualquier área social donde se haya que relacionar
variables.

Las funciones son importantes para realizar Fórmulas simplificadas de las

operaciones que se realizan comúnmente, como una sumatoria, un promedio, etc.
Podemos decir que las funciones son una herramienta matemática muy útil, que
nos ayuda a plasmar y moldear ejemplos de la vida cotidiana. Por ejemplo, nos
permiten saber los ingresos o utilidades máximos y mínimos de una empresa.

Adicionalmente, a través del estudio de las funciones matemáticas, se pueden

conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de ellos para realizar las
gráficas lo cual va a depender de cada tipo de función.

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 Bibliografía

https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/domain
-and-
range#:~:text=El%20dominio%20de%20una%20funci%C3%B3n,al%20rango%
20el%20conjunto%20soluci%C3%B3n.

https://www.fisicalab.com/apartado/f-inyectiva-sobreyectiva-biyectiva

https://sanfrancisco.utn.edu.ar/documentos/archivos/ingreso/Cap%C3%ADtu
lo%204_Ingenierias-%20Funciones-1ra%20y%202da%20parte(1).pdf

https://www.portaleducativo.net/cuarto-medio/8/traslaciones-horizontales-
verticales

https://openstax.org/books/prec%C3%A1lculo-2ed/pages/3-3-funciones-
potencia-y-funciones-polinomicas

https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/rational
-functions

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_definida_a_trozos#:~:text=Las
%20funciones%20definidas%20a%20trozos,asociadas%20a%20subconjunto
s%20del%20dominio.&text=Para%20todos%20los%20valores%20de,(x)%20d
ebe%20ser%20utilizada.

https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolut
e-value-
functions#:~:text=Una%20funci%C3%B3n%20de%20valor%20absoluto,0%20
en%20la%20recta%20num%C3%A9rica%20.

http://www.iesarangurenavila.com/files/ruben/public/jerezp/funcin_parte_ent
era.html

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