Capítulo 0

Preliminares

0.1. Ecuaciones e inecuaciones

1. Expresar en forma reducida cada uno de los siguientes números.
   2  3  4  2
 4  2  2
2 3 4 2 3 1 6 6
a) b) c)
3 4 5 3 4 6 5 7
 1 −2  2  −3  2  
3 5   3 −3
d)  62  f )  31 
 
e)
5
4 4 5
7
1
1 1 1 3 2 4 1 1 4
     
g) 5 + + h) −1 − i) 1 2 3 + 1 j) + 4−
2 3 6 5 3 3 3+4
2 3 3
1 1 3 1 2 3 2 3 3 1 2 3
       
k) + l) − m) + n) +
2 5 5 3 3 2 2 3
2. Calcular:
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1
a) − + − + b) − − − + c) − − +
3 5 3 5 3 5 3 5 2 3 4 5
3 1 3! 5 1 5 6! 4!
d) + e) + f) + g) +
4! 3! 5 3! 3! 4! 4! 6!
3. Calcular:
 5 2 5 5 5
X  X
2
X (−1)k X (−1)k
a)  k  b) k c) d)
 k k
k=1 k=1 k=1 k=1

3 4 5
Y Y Y k+1
e) (2k + 1) f) 2k g)
k
k=1 k=0 k=1

1
0.2. POLINOMIOS 2

 i
4 X
  i 
4 Y
 i 
4 X
X  X  Y 
h) 2(k + 1) i) k j) k
     
     
  
i=1 k=1 i=2 k=1 i=2 k=1

4. Para cada par de números determinar cual es mayor

√ 150
a) 15; 220 b) ; 2,75 c) 152 ; 103
63
d) sin(2); 2 e) log(2); 2 f ) e2 ; 2
√
5. En la figura se muestran sobre la recta real los puntos 0, 1, 10, cos(1), cos(3), e. Deter-
minar cual punto corresponde a cada valor.

0.2. Polinomios
1. Calcular las raíces de los siguientes polinomios.

a) x2 − 3x + 2 b) x2 − 6x + 9 c) x2 + 1 d) x2 + 6x + 4
     
e) x2 − 1 x2 − 6 f) x2 + 2x + 1 x2 − 4x + 3 g) x(x − 1)(x + 2)(x − 3)

h) x6 − 4 i) x6 − x3 − 2 j) x10 − 4
k) x4 − 2 l) x4 − x2 − 2 m) x8 − 2

2. Calcular las raíces de los siguientes polinomios.

a) P (x) = x3 + 2x.
b) P (x) = 2x3 + 7x2 + 6x.
c) P (x) = x3 − x2 − 4x + 4, sabiendo que 1 es raíz.
1
d) P (x) = 8x3 + 14x2 − 5x − 2, sabiendo que 2 es raíz.

3. Ternas pitagóricas
Una terna de números (a, b, c) se dice pitagórica si (a, b, c) ∈ N3 y a2 + b2 = c2 . Por ejemplo
(5, 12, 13) es una terna pritagórica.

2
CAPÍTULO 0. PRELIMINARES 3

a) Encontrar el segundo punto de intersección, diferente de (−1, 0), de la círcunferencia

de ecuación x2 +y 2 = 1 con la recta de ecuación y = (x+1)/2. Haciendo denominador
común de sus coordenadas, verificar que la suma de los numeradores al cuadrado  dá 
el denominador al cuadrado. Es decir, si el otro punto de intersección es Q = ac , bc ,
entonces (a, b, c) forman una terna pitagórica.
b) Haciendo lo mismo que antes para
 la recta y = (x+1)/n con n natural, verificar que el
otro punto de intersección Q = ac , bc también cumple que (a, b, c) forman una terna
pitagórica.
c) ¿Se te ocurre cómo generar todas las posibles ternas pitagóricas (a menos de multi-
plos)?

En la página de EVA (dentro de la pestaña Tema 1 ... Práctico y materiales asociados se en-
cuentra una visualización geométrica de la parte del problema de ternas pitagóricas.

4. Polinomio de interpolación (I)

Fijos n puntos del plano (x1 , y1 ), ..., (xn , yn ) con xi , xj si i , j, el polinomio de interpo-
lación por estos puntos es el polinomio de grado n − 1 que pasa por estos n puntos. En
particular este polinomio se puede usar para aproximar funciones (tomando n puntos de
la forma (x, f (x))). Una aplicación estandar para este polinomio es la aproximación en el
cálculo de integrales.
5
Calcular el polinomio de interpolación para la función 1+x2
en los puntos −2, 0, 2
√
Calcular el polinomio de interpolación para la función x en los puntos 1, 4, 9. Repe-
tir para 0, 1, 4, 9. No es necesario realizar las cuentas “a mano”, simplemente plantea el
sistema a resolver y luego utiliza algún software para obtener el polinomio de forma
explícita.

0.3. Geometría
1. En cada parte, determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos mencionados.

a) (1, 4), (4, 1) b) (2, −3), (−2, 1) c) (4, 3), (−5, 3) d) (3, 5), (5, 10)

2. En cada parte, determinar el centro y el radio de la circunferencia en cuestión.

a) 3x2 + 3y 2 − 18y + 18 = 0 b) x2 − 2x + y 2 + 2y − 2 = 0

3. En cada parte, determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
P , Q, S.

a) P = (0, −1), Q = (4, −1), S = (2, 3) b) P = (1, 4), Q = (4, 3), S = (5, 2)

3
0.4. APLICACIONES 4

4. En cada parte, determinar el centro, ejes y los diámetros mayor y menor de las siguientes
elipses.
a) x2 − 2x + 4y 2 − 3 = 0 b) 4x2 − 8x + y 2 − 5 = 0
5. Determinar el eje de simetría de las siguientes parábolas.
a) x2 + 2x − 5 = y b) 3x2 + 5x − 7 = y c) x2 − 6x + 15 = y

6. Calcular el área de los triángulos determinados por las siguientes ternas de vértices.
a) A = (2, 2), B = (7, 2), C = (4, 5) b) A = (1, 1), B = (1, 6), C = (4, 7)
c) A = (1, 1), B = (5, 2), C = (3, 5) d) A = (2, 1), B = (6, 3), C = (4, 5)
e) A = (1, 1), B = (5, 3), C = (7, 6) f ) A = (1, 1), B = (11, 5), C = (8, 2)

0.4. Aplicaciones
1. Concentraciones

a) Se tienen 2 tazas de capacidad 200 ml, la primera con 150 ml de café y la segunda
con 150 ml de crema.
Se quita una cucharada a la de crema y se la vuelca en el café, luego se revuelve bien
hasta que se disuelva.
Por último se toma una cucharada de la taza con esta solución y se la vuelca en la
taza con crema.
¿Hay más café en la primera taza o más crema en la segunda?
b) La regulación de rotulados de alimentos actual en Uruguay esta regido por el decre-
to N 246/020. Por ejemplo una bebida debe presentar el logo de exceso en azúcares
si tiene mas de 3g de azúcar agregado cada 100ml.
Una empresa de bebidas gaseosas tiene en su catálogo una bebida cola común, que
tiene una cantidad de azúcares agregados de 22g cada 200ml y una versión sin
azúcares agregados.

La empresa decide crear una nueva versión de estas bebidas mezclando común y sin
azúcares, de forma que no deba tener el etiquetado de exceso en azúcares. ¿Cuanto
es lo mínimo que se debe agregar de bebida sin azucar a un litro de bedida común
para cumplir los requisitos?

4
CAPÍTULO 0. PRELIMINARES 5

2. Descuentos y porcentajes

a) Juan decide comprarse un celular nuevo, luego de ver distintos modelos selecciona
su favorito. Dos casas de telefonía, Alfa y Bravo venden ese celular a U $S 900.
La casa Alfa, al entrar en su semana aniversario, decide hacer un descuento del
20 %. Sin embargo, la casa Bravo decide no quedarse atrás y realiza un descuento
del 40 %. Para no perder clientela, Alfa decide realizar un nuevo descuento del 20 %.
¿Donde debería comprar Juan su celular?
b) Si usted es un mayorista que compra un producto en $20, ¿a cuánto deberá venderlo
para obtener una ganancia del 15 % de su precio de venta?
c) Un Shopping decide quitar el IVA a todos sus productos, realizando un descuento
del 18.03 %. Sin embargo el impuesto IVA aumenta en un 22 % el costo del producto.
¿Es esta una publicidad engañosa?

d) Explique qué está mal en las siguientes afirmaciones que aparecieron en el periódico
“T he N ew Y ork T imes00 .
1) Un nuevo enjuague bucal reduce la placa de los dientes en más de un 300 %.
2) Una aerolínea que está trabajando para reducir la pérdida de equipaje, ha me-
jorado un 100 % en los últimos 6 meses.
3) Las tasas de interés bajaron de un 10 % a un 5 %, esto es, una reducción del
100 %.

3. Dimensiones

a) Una empresa vende una bebida chocolatada en envases de 4,0×6,3×10,5 cm. Calcule
la capacidad del envase. Sabiendo que la cantidad de bebida por producto es una
capacidad estándar, determínela. Determine algún modelo de caja para transportar
10, 18 y 50 unidades. Compare con sus compañeros.
b) Se desea embaldosar una habitación de 4m2 . Si cada baldosa mide 20cm2 de la-
do. ¿Cuántas baldosas se necesitan como mínimo? Calcular para el caso de que la
habitación sea de 2 metros de lado y el caso de que sea de 1 por 4.
Repita el ejercicio para una habitacion de 4,5m2 . Es decir, calcule cuántas baldozas
mínimo se necesitan. ¿Qué ocurre si la habitación mide 1,5m por 3m? ¿Y si mide
1m por 4,5m?

5
0.5. LÓGICA 6

0.5. Lógica
1. En este ejercicio no importa si las frases son falsas o verdaderas.

a) Negar, sin usar la palabra no, las siguientes afirmaciones.

1) Ningún x ∈ R cumple que x2 = −1.
2) Algún juego de comedor trae menos de 3 sillas.
3) ( Primer parcial, primer semestre 2010 )
Todos los hombres son inmortales.
b) Dar el recíproco y contrarrecíproco de las siguientes afirmaciones.
1) Si tu casa está pintada de blanco gastas menos energía que el promedio.
2) Si el piso está mojado es porque llovió.

2. ¿Dónde está el error en la siguiente “demostración”?

Sea x = y, entonces

x2 = xy
x2 − y 2 = xy − y 2
(x + y)(x − y) = y(x − y)
x+y = y
2y = y
2=1

3. Un ejemplo, una prueba.

Probar que las siguientes igualdades son falsas.
1 1 1 1 + ab
a) (a+b)2 = a2 +b2 b) = + con a, b > 0 c) = 1+a con a, b > 0
a+b a b b
√ √
3
√
d) a2 + b2 = a + b con a, b ≥ 0 e) a3 + b3 = a + b f) a4 + b4 = a2 + b2
4. La niña de los ojos azules.
Se esta creando una nueva inteligencia artificial (IA) y se le presenta el siguiente proble-
ma:
Programador - El señor Juan tiene 3 hijas ¿Puedes decirme sus edades?
IA - Necesito más datos.
Programador - El producto de sus edades es 36 mientras que su suma es la cantidad de
ventanas de este edificio.
IA - Conozco ese número pero necesito más datos.
Programador - La hija menor tiene los ojos azules.
Luego de esta última información la IA da la respuesta correcta.
Determinar las edades de las niñas.

6
CAPÍTULO 0. PRELIMINARES 7

0.6. Complementarios
1. En la imagen se muestran los gráficos de las siguientes funciones:

x, x1/3 , log(x), ex , cos(x), sin(x)

Determinar cuál es el gráfico que le corresponde a cada función.

2. Determinar las raíces de las siguientes funciones en sus dominios correspondientes.

√
a) sin(x) b) cos(x) c) tan(x) d) ex e) x f ) log(x)

3. Fracciones Egipcias
Los antiguos Egipcios escribían todas sus fracciones como suma de fracciones de nume-
rador uno, y además no se permitía repetir el mismo denominador en una suma. Por
ejemplo
1 1
+
2 4
era una manera válida para escribir 3/4 para ellos pero

1 1
+
7 7
no era una manera válida de escribir 2/7.

a) Escribir 8/15 “como en antiguo Egipto”.

b) Escribir 2/7 “como en antiguo Egipto”.
c) ¿Podés divisar un método para encontrar la expresión Egipcia de una fracción cual-
quiera?

7
0.6. COMPLEMENTARIOS 8

4. Fracciones continuas
Las fracciones continuas sirven, entre otras cosas, para dar aproximaciones racionales
buenas de números irracionales. Mientras que dar una aproximación de un irracional
a partir de un número decimal da por lo general una aproximación “lineal” de este (es
decir, la distancia depende linealmente del denominador). Las fracciones continuas dan
una aproximación cuadrática en función del denominador.
1
Usemos la notación [2; 1, 4, 3] para denotar la fracción 2 + 1 . Salvo el primer valor
1+
4+ 1
3
(que puede ser entero), el resto son naturales.

a) Muestre que si [a1 ; a2 , a3 ] ≤ [b1 ; b2 , b3 ] con 1 ≤ a1 ≤ b1 entonces [a; a1 , a2 , a3 ] ≥

[a; b1 , b2 , b3 ].
b) Expresar 1, 1/2, 3/10, 3/100 como fracciones continuas.

5. Polinomio de interpolación (II)

Calcular el polinomio de interpolación de f en lo siguientes casos

a) f (x) = ex , por los puntos 0, 1, 2

b) f (x) = sin(x), por los puntos −π, 0, π
c) f (x) = cos(x), por los puntos −π, 0, π
d) f (x) = sin(x), por los puntos − π6 , 0, π4
e) f (x) = cos(x), por los puntos − π6 , 0, π4